MATHEMATICSCoordinate Geometry The perpendicular distance from (h, k)to ax+by+c =0is |ah+bk+c| √...
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Sixth Term Examination Papers MATHEMATICS LIST OF FORMULAE AND STATISTICAL TABLES
Transcript of MATHEMATICSCoordinate Geometry The perpendicular distance from (h, k)to ax+by+c =0is |ah+bk+c| √...
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Sixth Term Examination Papers
MATHEMATICS
LIST OF FORMULAE
AND STATISTICAL
TABLES
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Pure Mathematics
Mensuration
Surface area of sphere = 4πr2Area of curved surface of cone = πr × slant height
Trigonometry
a2 = b2 + c2 − 2bc cos AArithmetic Series
un = a + (n − 1)dSn = 12n(a + l) = 12n{2a + (n − 1)d}
Geometric Series
un = arn−1Sn = a(1 − r
n)1 − r
S∞ = a1 − r for |r | < 1Summations
n
∑r=1
r2 = 16n(n + 1)(2n + 1)
n
∑r=1
r3 = 14n2(n + 1)2
Binomial Series
(nr) + ( n
r + 1) = (n + 1r + 1 )(a + b)n = an + (n
1)an−1b + (n
2)an−2b2 + . . . + (n
r)an−rbr + . . . + bn (n ∈ ),
where (nr) = nCr = n!r!(n − r)!
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)1.2
x2 + . . . + n(n − 1) . . . (n − r + 1)1.2.3 . . . r
xr + . . . (|x| < 1, n ∈ �)Logarithms and exponentials
ex ln a = axComplex Numbers
{r(cos θ + i sin θ)}n = rn(cos nθ + i sin nθ)eiθ = cos θ + i sin θThe roots of �n = 1 are given by � = e 2πkin , for k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
2
-
Maclaurin’s Series
f(x) = f(0) + xf ′(0) + x22!
f ′′(0) + . . . + xrr!
f (r)(0) + . . .ex = exp(x) = 1 + x + x2
2!+ . . . + xr
r!+ . . . for all x
ln(1 + x) = x − x22+ x3
3− . . . + (−1)r+1 xr
r+ . . . (−1 < x ≤ 1)
sin x = x − x33!
+ x55!
− . . . + (−1)r x2r+1(2r + 1)! + . . . for all xcos x = 1 − x2
2!+ x4
4!− . . . + (−1)r x2r(2r)! + . . . for all x
tan−1 x = x − x33+ x5
5− . . . + (−1)r x2r+1
2r + 1 + . . . (−1 ≤ x ≤ 1)sinh x = x + x3
3!+ x5
5!+ . . . + x2r+1(2r + 1)! + . . . for all x
cosh x = 1 + x22!
+ x44!
+ . . . + x2r(2r)! + . . . for all xtanh−1 x = x + x3
3+ x5
5+ . . . + x2r+1
2r + 1 + . . . (−1 < x < 1)Hyperbolic Functions
cosh2 x − sinh2 x = 1sinh 2x = 2 sinh x cosh xcosh 2x = cosh2 x + sinh2 xcosh−1 x = ln{x + √(x2 − 1)} (x ≥ 1)sinh−1 x = ln{x + √(x2 + 1)}tanh−1 x = 1
2ln(1 + x
1 − x) (|x| < 1)Coordinate Geometry
The perpendicular distance from (h, k) to ax + by + c = 0 is |ah + bk + c|√(a2 + b2)The acute angle between lines with gradients m1 and m2 is tan
−1 ∣∣∣∣ m1 − m21 +m1m2 ∣∣∣∣Trigonometric Identities
sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bcos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin Btan(A ± B) = tan A ± tan B
1 ∓ tan A tan B (A ± B ≠ (k + 12)π)For t = tan 1
2A: sin A = 2t
1 + t2 , cos A = 1 − t2
1 + t2sin A + sin B = 2 sin A + B
2cos
A − B2
sin A − sin B = 2 cos A + B2
sinA − B
2
cos A + cos B = 2 cos A + B2
cosA − B
2
cos A − cos B = −2 sin A + B2
sinA − B
2
3
-
Vectors
The resolved part of a in the direction of b isa.b|b|
The point dividing AB in the ratio λ : µ isµa + λb
λ + µVector product: a × b = |a| |b| sin θ n̂ = ∣∣∣∣∣
i a1 b1j a2 b2k a
3b
3
∣∣∣∣∣ = (a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a
1b
2− a
2b
1
)If A is the point with position vector a = a1i + a2j + a3k and the direction vector b is given by
b = b1i + b
2j + b
3k, then the straight line through A with direction vector b has cartesian equation
x − a1b1
= y − a2b2
= � − a3b3
(= λ )The plane through A with normal vector n = n1i + n2j + n3k has cartesian equation
n1x + n2y + n3� + d = 0, where d = −a.nThe plane through non-collinear points A, B and C has vector equation
r = a + λ (b − a) + µ(c − a) = (1 − λ − µ)a + λb + µcThe plane through the point with position vector a and parallel to b and c has equation r = a + sb + tcThe perpendicular distance of (α, β , γ ) from n1x + n2y + n3� + d = 0 is
∣∣n1α + n2β + n3γ + d ∣∣√(n21 + n22 + n23)Matrix transformations
Anticlockwise rotation through θ about O: ( cos θ − sin θsin θ cos θ )
Reflection in the line y = (tan θ)x: ( cos 2θ sin 2θsin 2θ − cos 2θ )
Differentiation
f(x) f ′(x)tan kx k sec2 kx
sin−1 x 1√(1 − x2)cos−1 x − 1√(1 − x2)tan−1 x 1
1 + x2sec x sec x tan xcot x − cosec2 x
cosec x − cosec x cot xsinh x cosh xcosh x sinh xtanh x sech2 x
sinh−1 x 1√(1 + x2)cosh−1 x 1√(x2 − 1)tanh−1 x 1
1 − x2
4
-
Integration ( + constant; a > 0 where relevant)f(x) � f(x) dx
sec2 kx1k
tan kx
tan x ln |sec x|cot x ln |sin x|
cosec x − ln |cosec x + cot x| = ln ∣∣tan 12x∣∣sec x ln |sec x + tan x| = ln ∣∣tan(12x + 14π)∣∣sinh x cosh xcosh x sinh xtanh x ln cosh x
1√(a2 − x2) sin−1(xa) (|x| < a)1
a2 + x2 1a tan−1(xa)1√(x2 − a2) cosh−1(xa) or ln{x + √(x2 − a2)} (x > a)1√(a2 + x2) sinh−1(xa) or ln{x + √(x2 + a2)}1
a2 − x2 12a ln ∣∣∣ a + xa − x ∣∣∣ = 1a tanh−1(xa) (|x| < a)1
x2 − a2 12a ln ∣∣∣ x − ax + a ∣∣∣� udv
dxdx = uv − � vdu
dxdx
Area of a sector
A = 12� r2 dθ (polar coordinates)
A = 12� (x dy
dt− y dx
dt) dt (parametric form)
Numerical Mathematics
Numerical integration
The trapezium rule: � ba
y dx ≈ 12h{(y0 + yn) + 2(y1 + y2 + . . . + yn−1)}, where h = b − an
Simpson’s Rule: � ba
y dx ≈ 13h{(y0 + yn) + 4(y1 + y3 + . . . + yn−1) + 2(y2 + y4 + . . . + yn−2)},
where h = b − an
and n is even
Numerical Solution of Equations
The Newton-Raphson iteration for solving f(x) = 0: xn+1 = xn − f(xn)f′(xn)
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Mechanics
Motion in a circle
Transverse velocity: v = rθ̇Transverse acceleration: v̇ = rθ̈Radial acceleration: − rθ̇2 = −v2
r
Centres of Mass (for uniform bodies)
Triangular lamina: 23
along median from vertex
Solid hemisphere, radius r: 38r from centre
Hemispherical shell, radius r: 12r from centre
Circular arc, radius r, angle at centre 2α:r sin α
αfrom centre
Sector of circle, radius r, angle at centre 2α:2r sin α
3αfrom centre
Solid cone or pyramid of height h: 14h above the base on the line from centre of base to vertex
Conical shell of height h: 13h above the base on the line from centre of base to vertex
Moments of Inertia (for uniform bodies of mass m)
Thin rod, length 2l, about perpendicular axis through centre: 13ml2
Rectangular lamina about axis in plane bisecting edges of length 2l: 13ml2
Thin rod, length 2l, about perpendicular axis through end: 43ml2
Rectangular lamina about edge perpendicular to edges of length 2l: 43ml2
Rectangular lamina, sides 2a and 2b, about perpendicular axis through centre: 13m(a2 + b2)
Hoop or cylindrical shell of radius r about axis: mr2
Hoop of radius r about a diameter: 12mr2
Disc or solid cylinder of radius r about axis: 12mr2
Disc of radius r about a diameter: 14mr2
Solid sphere, radius r, about diameter: 25mr2
Spherical shell of radius r about a diameter: 23mr2
Parallel axes theorem: IA = IG +m(AG)2Perpendicular axes theorem: I� = Ix + Iy (for a lamina in the x-y plane)
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Probability & Statistics
Probability
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)P(A ∩ B) = P(A)P(B | A)P(A | B) = P(B | A)P(A)
P(B | A)P(A) + P(B | A′)P(A′)Bayes’ Theorem: P(Aj | B) = P(Aj)P(B | Aj)ΣP(Ai)P(B | Ai)
Discrete distributions
For a discrete random variable X taking values xi with probabilities piExpectation (mean): E(X) = µ = Σ x
ip
i
Variance: Var(X) = σ2 = Σ(xi − µ)2pi = Σ x2i pi − µ2For a function g(X): E(g(X)) = Σ g(xi)pi
The probability generating function of X is GX(t) = E(tX), andE(X) = G′X(1)Var(X) = G′′X(1) + G′X(1) − {G′X(1)}2
For Z = X + Y , where X and Y are independent: GZ(t) = GX(t)GY(t)Standard discrete distributions
Distribution of X P(X = x) Mean Variance P.G.F.Binomial B(n, p) (n
x)px(1 − p)n−x np np(1 − p) (1 − p + pt)n
Poisson Po(λ ) e−λ λ xx!
λ λ eλ (t−1)
Geometric Geo(p) on 1, 2, … p(1 − p)x−1 1p
1 − pp2
pt1 − (1 − p)t
Continuous distributions
For a continuous random variable X having probability density function f
Expectation (mean): E(X) = µ = � xf(x) dxVariance: Var(X) = σ2 = � (x − µ)2f(x) dx = � x2f(x) dx − µ2For a function g(X): E(g(X)) = � g(x)f(x) dxCumulative distribution function: F(x) = P(X ≤ x) = � x−∞f(t) dt
The moment generating function of X is MX(t) = E(etX) andE(X) = M′X(0)E(Xn) = M(n)X (0)Var(X) = M′′X(0) − {M′X(0)}2
For Z = X + Y , where X and Y are independent: MZ(t) = MX(t)MY(t)
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Standard continuous distributions
Distribution of X P.D.F. Mean Variance M.G.F.
Uniform (Rectangular) on [a, b] 1b − a 12(a + b) 112(b − a)2 e
bt − eat(b − a)tExponential λe−λx 1
λ1
λ 2λ
λ − tNormal N(µ, σ2) 1
σ√(2π)e−
12( x−µσ )2 µ σ2 eµt+12σ2t2
Expectation algebra
Covariance: Cov(X, Y) = E((X − µX)(Y − µY)) = E(XY) − µXµYVar(aX ± bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) ± 2ab Cov(X, Y)Product moment correlation coefficient: ρ = Cov(X, Y)
σX
σY
If X = aX′ + b and Y = cY ′ + d, then Cov(X, Y) = ac Cov(X′, Y ′)For independent random variables X and Y
E(XY) = E(X)E(Y)Var(aX ± bY) = a2 Var(X) + b2 Var(Y)
Sampling distributions
For a random sample X1, X2, . . . , Xn of n independent observations from a distribution having mean µand variance σ2
X is an unbiased estimator of µ, with Var(X) = σ2n
S2 is an unbiased estimator of σ2, where S2 = Σ(Xi − X)2n − 1
For a random sample of n observations from N(µ, σ2)X − µσ/√n ∼ N(0, 1)X − µS/√n ∼ tn−1 (also valid in matched-pairs situations)
If X is the observed number of successes in n independent Bernoulli trials in each of which the
probability of success is p, and Y = Xn
, then
E(Y) = p and Var(Y) = p(1 − p)n
For a random sample of nx observations from N(µx, σ2x ) and, independently, a random sample ofny observations from N(µy, σ2y )(X − Y) − (µx − µy)√(σ2x
nx+ σ2y
ny) ∼ N(0, 1)
If σ2x = σ2y = σ2 (unknown) then (X − Y) − (µx − µy)√{S2p( 1
nx+ 1
ny)} ∼ tnx+ny−2,
where S2p = (nx − 1)S2x + (ny − 1)S2y
nx + ny − 28
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Correlation and regression
For a set of n pairs of values (xi, yi)Sxx = Σ(xi − x)2 = Σ x2i − (Σ xi)
2
n
Syy = Σ(yi − y)2 = Σ y2i − (Σ yi)2
n
Sxy= Σ(x
i− x)(y
i− y) = Σ x
iy
i− (Σ xi)(Σ yi)
nThe product moment correlation coefficient is
r = Sxy√(SxxSyy) =Σ(xi − x)(yi − y)√{(Σ(x
i− x)2)(Σ(y
i− y)2)} = Σ xiyi −
(Σ xi)(Σ yi)n√{(Σ x2i − (Σ xi)2n )(Σ y2i − (Σ yi)2n )}
Spearman’s rank correlation coefficient is rs = 1 − 6Σ d2
n(n2 − 1)The regression coefficient of y on x is b = Sxy
Sxx= Σ(xi − x)(yi − y)
Σ(xi − x)2Least squares regression line of y on x is y = a + bx where a = y − bx
Distribution-free (non-parametric) tests
Goodness-of-fit test and contingency tables: ∑ (Oi − Ei)2
Ei
∼ χ2νApproximate distributions for large samples
Wilcoxon Signed Rank test: T ∼ N(14n(n + 1), 1
24n(n + 1)(2n + 1))
Wilcoxon Rank Sum test (samples of sizes m and n, with m ≤ n):W ∼ N(1
2m(m + n + 1), 1
12mn(m + n + 1))
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CUMULATIVEBINOMIALPROBABILITIES
n=5 p
0.05
0.1
0.15
1/60.
20.
250.
31/3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
2/30.
70.
750.
85/6
0.85
0.9
0.95
x=0
0.77
380.
5905
0.44
370.
4019
0.32
770.
2373
0.16
810.
1317
0.11
600.
0778
0.05
030.
0313
0.01
850.
0102
0.00
530.
0041
0.00
240.
0010
0.00
030.
0001
0.00
010.
0000
0.00
001
0.97
740.
9185
0.83
520.
8038
0.73
730.
6328
0.52
820.
4609
0.42
840.
3370
0.25
620.
1875
0.13
120.
0870
0.05
400.
0453
0.03
080.
0156
0.00
670.
0033
0.00
220.
0005
0.00
002
0.99
880.
9914
0.97
340.
9645
0.94
210.
8965
0.83
690.
7901
0.76
480.
6826
0.59
310.
5000
0.40
690.
3174
0.23
520.
2099
0.16
310.
1035
0.05
790.
0355
0.02
660.
0086
0.00
123
1.00
000.
9995
0.99
780.
9967
0.99
330.
9844
0.96
920.
9547
0.94
600.
9130
0.86
880.
8125
0.74
380.
6630
0.57
160.
5391
0.47
180.
3672
0.26
270.
1962
0.16
480.
0815
0.02
264
1.00
001.
0000
0.99
990.
9999
0.99
970.
9990
0.99
760.
9959
0.99
470.
9898
0.98
150.
9688
0.94
970.
9222
0.88
400.
8683
0.83
190.
7627
0.67
230.
5981
0.55
630.
4095
0.22
625
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
00
n=6 p
0.05
0.1
0.15
1/60.
20.
250.
31/3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
2/30.
70.
750.
85/6
0.85
0.9
0.95
x=0
0.73
510.
5314
0.37
710.
3349
0.26
210.
1780
0.11
760.
0878
0.07
540.
0467
0.02
770.
0156
0.00
830.
0041
0.00
180.
0014
0.00
070.
0002
0.00
010.
0000
0.00
000.
0000
0.00
001
0.96
720.
8857
0.77
650.
7368
0.65
540.
5339
0.42
020.
3512
0.31
910.
2333
0.16
360.
1094
0.06
920.
0410
0.02
230.
0178
0.01
090.
0046
0.00
160.
0007
0.00
040.
0001
0.00
002
0.99
780.
9842
0.95
270.
9377
0.90
110.
8306
0.74
430.
6804
0.64
710.
5443
0.44
150.
3438
0.25
530.
1792
0.11
740.
1001
0.07
050.
0376
0.01
700.
0087
0.00
590.
0013
0.00
013
0.99
990.
9987
0.99
410.
9913
0.98
300.
9624
0.92
950.
8999
0.88
260.
8208
0.74
470.
6563
0.55
850.
4557
0.35
290.
3196
0.25
570.
1694
0.09
890.
0623
0.04
730.
0159
0.00
224
1.00
000.
9999
0.99
960.
9993
0.99
840.
9954
0.98
910.
9822
0.97
770.
9590
0.93
080.
8906
0.83
640.
7667
0.68
090.
6488
0.57
980.
4661
0.34
460.
2632
0.22
350.
1143
0.03
285
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
0.99
990.
9998
0.99
930.
9986
0.99
820.
9959
0.99
170.
9844
0.97
230.
9533
0.92
460.
9122
0.88
240.
8220
0.73
790.
6651
0.62
290.
4686
0.26
496
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
001.
0000
1.00
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x=0
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00
10
-
CUMULATIVEBINOMIALPROBABILITIES
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250.
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x=0
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x=0
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00
11
-
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12
-
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13
-
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14
-
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