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11
FUNCTIONS AND RELATIONS PAGE 1 OF 36 ! ∙ #$ = & ' ( ) ∙ #$ = 0 ! ∙ #+ = − #Φ . #/ ) ∙ #+ = 0 ( 1+0 ( ' ( 3 #/ MATHEMATICAL METHODS UNIT 2 CHAPTER 6–FUNCTIONS AND RELATIONS Key knowledge The key features and properties of cubic polynomials functions and their graphs The effect of transformations of the plane, dilation, reflection in axes, translation and simple combinations of these transformations, on the graphs of cubic polynomials The definition of a function, the concepts of domain, coOdomain and range, notation for specification of the domain (including the concept of maximal, natural or implied domain), coOdomain and range and rule of a function Key skills use algebraic, graphical and numerical approaches, including the factor theorem to determine and verify solutions to equations over a specified interval sketch by hand graphs of cubic polynomial functions, in factored form, including cases where an 4Oaxis intercept is a touch point or a stationary point of inflection CHAPTER 6 SET QUESTIONS EXERCISE 6.2: FUNCTIONS AND RELATIONS 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 16, 18 EXERCISE 6.3: THE CIRCLE 1, 2, 3c, 4, 5, 7ace, 8, 10, 12, 14, EXERCISE 6.4: THE RECTANGULAR HYPERBOLA AND THE TRUNCUS 1, 3, 5, 7, 9, 11, 16, 17, 18, 21 EXERCISE 6.5: THE RELATION y 2 =x 1, 3, 6, 7, 12ad, 13ad, 16,18,19 EXERCISE 6.6: OTHER FUNCTIONS AND RELATIONS 1, 3, 5, 7, 9, 12bd, 18ad, 21 EXERCISE 6.7: TRANSFORMATIONS OF FUNCTIONS 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 14, 17d, 18, 19 MORE RESOURCES http://drweiser.weebly.com

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FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)1)OF)36)

! ∙ #$ =&

'(

) ∙ #$ = 0

! ∙ #+ = −#Φ. #/

) ∙ #+ = 0(1 + 0('(#Φ3 #/

!

MATHEMATICAL)METHODS)UNIT!2)CHAPTER)6)–)FUNCTIONS)AND)RELATIONS)

Key)knowledge)

•! The)key)features)and)properties)of)cubic)polynomials)functions)and)their)graphs) )

•! The) effect) of) transformations) of) the) plane,) dilation,) reflection) in) axes,) translation) and) simple)

combinations)of)these)transformations,)on)the)graphs)of)cubic)polynomials) )

•! The)definition)of)a)function,)the)concepts)of)domain,)coOdomain)and)range,)notation)for)specification)of)

the)domain)(including)the)concept)of)maximal,)natural)or)implied)domain),)coOdomain)and)range)and)rule)

of)a)function) )

Key)skills)

•! use)algebraic,)graphical)and)numerical)approaches,)including)the)factor)theorem)to)determine)

and)verify)solutions)to)equations)over)a)specified)interval)

•! sketch)by)hand)graphs)of)cubic)polynomial)functions,)in)factored)form,)including)cases)where)an)

4Oaxis)intercept)is)a)touch)point)or)a)stationary)point)of)inflection) )

CHAPTER 6 – SET QUESTIONS

EXERCISE!6.2:)FUNCTIONS)AND)RELATIONS) 1,)3,)4,)5,)7,)8,)10,)12,)16,)18)

EXERCISE!6.3:)THE)CIRCLE) 1,)2,)3c,)4,)5,)7ace,)8,)10,)12,)14,))

EXERCISE!6.4:)THE)RECTANGULAR)HYPERBOLA)AND)THE)TRUNCUS! 1,)3,)5,)7,)9,)11,)16,)17,)18,)21)

EXERCISE!6.5:)THE)RELATION)y2=x) 1,)3,)6,)7,)12ad,)13ad,)16,18,19)

EXERCISE!6.6:)OTHER)FUNCTIONS)AND)RELATIONS) 1,)3,)5,)7,)9,)12bd,)18ad,)21)

EXERCISE!6.7:)TRANSFORMATIONS)OF)FUNCTIONS! 1,)2,)3,)4,)5,)7,)9,)14,)17d,)18,)19)

)

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FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)2)OF)36)

Table&of&Contents)

!

6.2!FUNCTIONS!AND!RELATIONS! 3)

DOMAIN!AND!RANGE! 3)FUNCTIONS) 3)

VERTICAL)LINE)TEST) 3)

WORKED)EXAMPLE)1) 3)

QUESTION)2) 4)

TYPE!OF!CORRESPONDENCE! 4)WORKED)EXAMPLE)2) 4)

QUESTION)4) 5)

FUNCTION)NOTATION) 5)

FORMAL)MAPPING)NOTATION) 6)

WORKED)EXAMPLE)3) 6)

QUESTION)6) 7)

6.3!THE!CIRCLE! 8)

EQUATION!OF!A!CIRCLE! 8)GENERAL)FORM)OF)THE)EQUATION)OF)A)CIRCLE) 8)

WORKED)EXAMPLE)4) 9)

SEMICIRCLES) 10)

THE)SEMICIRCLE) 10)

REGIONS) 10)

QUESTION)3AB) 10)

TANGENTS!TO!CIRCLES! 10)WORKED)EXAMPLE)6) 11)

6.4!THE!RECTANGULAR!HYPERBOLA!AND!THE!TRUNCUS! 12)

THE!HYPERBOLA! 12)DILATION)FROM)THE)XOAXIS ) 12)

VERTICAL)TRANSLATION) 12)

HORIZONTAL)TRANSLATION)AND)REFLECTION)IN)THE)XOAXIS13)

GENERAL!EQUATION!OF!A!HYPERBOLA! 13)WORKED)EXAMPLE)7) 14)

PROPER)RATIONAL)FUNCTIONS) 15)

FORMING)THE)EQUATION) 15)

WORKED)EXAMPLE)8) 15)

INVERSE)PROPORTION) 16)

WORKED)EXAMPLE)9) 16)

THE!GRAPH!OF!THE!TRUNCUS! 17)DILATION)AND)TRANSLATION) 17)

MODELLING!WITH!THE!HYPERBOLA!AND!TRUNCUS! 17)WORKED)EXAMPLE)11) 18)

QUESTION)10) 19)

6.5!THE!RELATION!Y2=X! 20)

THE!RELATION!Y2=X! 20)

TRANSFORMATIONS)OF)THE)GRAPH)OF)Y2=X) 20)

WORKED)EXAMPLE)12) 21)

DETERMINING)THE)RULE)FOR)THE)SIDEWAYS)PARABOLA) 22)

WORKED)EXAMPLE)13) 22)

THE)SQUARE)ROOT)FUNCTION) 23)

THE)GRAPH)OF)Y = X) 23)

VARIATIONS)OF)THE)BASIC)GRAPH) 23)

TRANSFORMATIONS)OF)THE)SQUARE)ROOT)FUNCTION) 23)

WORKED)EXAMPLE)14) 24)

QUESTION)5) 25)

DETERMINING)THE)EQUATION)OF)A)SQUARE)ROOT)FUNCTION

) 26)

WORKED)EXAMPLE)15) 26)

6.6!OTHER!FUNCTIONS!AND!RELATIONS! 27)

MAXIMAL!DOMAINS! 27)WORKED)EXAMPLE)16) 27)

INVERSE!RELATIONS!AND!FUNCTIONS! 28)THE)EQUATION)OF)THE)INVERSE) 28)

GRAPHS)OF)INVERSE)RELATIONS) 28)

NOTATION)FOR)INVERSE)FUNCTIONS) 28)

WORKED)EXAMPLE)17) 29)

CONDITION)FOR)THE)INVERSE)FUNCTION)F81)TO)EXIST) 29)

WORKED)EXAMPLE)18) 30)

THE!INVERSE!OF!X!CUBED ! 31)THE)GRAPH)OF)Y$=)XN,$N$=)1/3) 31)

WORKED)EXAMPLE)19) 31)

HYBRID!FUNCTIONS! 31)WORKED)EXAMPLE)20) 32)

WORKED)EXAMPLE)20)ON)THE)CAS) 32)

6.7!TRANSFORMATIONS!OF!FUNCTIONS! 33)

HORIZONTAL!AND!VERTICAL!TRANSLATIONS!OF!Y%= F(X) ! 33)WORKED)EXAMPLE)21) 33)

REFLECTIONS)IN)THE)COORDINATE)AXES) 34)

WORKED)EXAMPLE)21) 34)

DILATIONS)FROM)THE)COORDINATE)AXES) 34)

DILATION)FROM)THE)XOAXIS)BY)FACTOR)A) 35)

DILATION)FROM)THE)YOAXIS)BY)FACTOR)A) 35)

WORKED)EXAMPLE)22) 35)

COMBINATIONS)OF)TRANSFORMATIONS) 36)

WORKED)EXAMPLE)24) 36)

)

)) )

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FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)3)OF)36)

6.2&Functions&and&Relations&Domain!and!range!!

For)a)set)of)ordered)pairs)(4, <),)the)domain!is)the)set)of)all)the)4Ovalues)of)the)ordered)pairs)and)the)range!is)the)set)of)all)the)<Ovalues)of)the)ordered)pairs.)For)> = ? −2,4 , (1,5), (3,4)),)the)domain)is)

−2, 1, 3)and)the)range)is)4, 5).)For)both)D = ? (4, <):?< = 24$and)F = ? (4, <):?< ≤ 24$,)the)domain)is)H$and)the)range)is)H.))

The) graph) of) any) polynomial) relation) normally) has) a) domain) of)H.) For) some) practical) situations,)

restrictions)have)been)placed)on)the)values)of)the)variables)in)some)polynomial)models.)In)these)cases,)

the)polynomial)relation)has)been)defined)on)a)restricted!domain.)A)restricted)domain)usually)affects)

the)range.)Set)notation)or)interval)notation)should)be)used)for)domains)and)ranges.))

Functions))

A)function!is)a)set)of)ordered)pairs)in)which)every)xOvalue)is)paired)to)a)unique)yOvalue.)No)two)ordered)pairs)of)a)function)can)have)the)same)xOcoordinate.))Vertical)line)test))

Functions)can)be)recognised)from)

their) graphs) by) the) vertical! line!test.) Any) vertical) line) which) cuts)the)graph)of)a) function)will)do)so)

exactly) once.) If) the) vertical) line)

cuts) the) graph) at)more) than) one)

place,) the) graph) is) not) that) of) a)

function.))

Worked)Example)1)

For)each)of)the)following,)state)the)domain)and)range,)and)whether)the)relation)is)a)function)or)not.))

a)! {(1,4), (2,0), (2,3), (5, −1)})))

)

)

b)! )

)

c)! {(4, <): < = 4 − 43} )

)

) )

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Question)2)

Sketch)the)graph)of)y$=)−4x,)x$ )[−1,)3))and)state)its)domain)

and)range.))

Type!of!correspondence!!

Functions)and)relations)can)be)classified)according)to)the)correspondence!between)the)coordinates)of)their)ordered)pairs.)There)are)four)possible)types:))

)

Here)‘many’)means)more)than)one.)The)graph)of)a)function)is)recognised)by)the)vertical)line)test)and)

its)type)of)correspondence)is)determined)by)the)horizontal!line!test.))

Graphically,)the)type)of)correspondence)is)determined)by)the)number)of)intersections)of)a)horizontal)

line) (one)or)many)) to) the)number)of) intersections)of)a)vertical) line) (one)or)many))with) the)graph.)

Functions)have)either)a)oneOtoOone)or)manyOtoOone)correspondence,)since)their)graphs)must)pass)the)

vertical)line)test.))

Worked)Example)2)

Identify)the)type)of)correspondence)and)state)whether)each)

relation)is)a)function)or)not.))

a)! {(4, <): < = (4 + 3)(4 − 1)(4 − 6)})

< = (4 + 3)(4 − 1)(4 − 6)))4Ointercepts:)(−3, 0), (1, 0), (6, 0))<Ointercept:)(0, 18)The)graph)is)a)positive)cubic.)A)horizontal)line)cuts)the)graph)in)more)than)one)place.)A)vertical)line)cuts)the)

graph)exactly)once.)This)is)a)manyOtoOone)correspondence.)< = (4 + 3)(4 − 1)(4 − 6))is)the)equation)of)a)polynomial)function)with)a)manyOtoOone)correspondence.))

)

b)! {(1,3), (2,4), (1,5)}))x$=)1) is)paired)to)both)y$=)3)and)y$=)5.)The)relation)has)a)oneOtoOmany)

correspondence.) It) is) not) a) function.) A) horizontal) line) cuts) the) graph)

exactly)once. A)vertical)line)cuts)the)graph)in)more)than)one)place.)This)

is)a)oneOtoOmany)correspondence.))

)

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Question)4)

a)! Sketch)the)graph)of)< = (4 − 2)M,)stating)its)domain,)

range)and)type)of)correspondence. )

)

)

)

)

)

b)! Restrict)the)domain)of)the)function)defined)by)< = (4 − 2)M)so)that)it)will)be)a)oneOtoOone)and)increasing)function.))

)

)

)

)

)

)

Function)notation))

The)rule)for)a)function:)<? = ?42)can)be)written)as)N(4) = 42.)This)is)read)as)‘f%of!x%equals!x2’.))

We) shall) also) refer) to) a) function)as)< = N(4),) particularly)when)graphing)a) function)as) the) set)of)ordered)pairs)(4, <))with)4$as)the) independent)or)explanatory)variable)and)y$as)the)dependent)or)response)variable.))

N(4))is)called)the)image!of)4$under)the)function)mapping,)For)N 4 = 42, N(2) = 22

?

= 4.)The)image)

of)2)under)the)mapping)f$is)4;)the)ordered)pair)(2, 4))lies)on)the)graph)of)< = N(4);)2)is)mapped)to)4)under)f:)these)are)all)variations)of)the)mathematical)language)that)could)be)used)for)this)function.))

The) ordered) pairs) that) form) the) function)with) rule)N(4) = 42,) could) be) illustrated) on) a)mapping)

diagram.))

Under)the)mapping,)every)xOvalue)in)the)domain is)mapped)to)its)square,)4? → ?42.))

For)example,)the)polynomial)function)has)a)domain)of)R$and)a)range)of)[0,∞),)(since)squared)numbers)are)not)negative).)The)set)of)all)the)

available) yOvalues) is) called) the) codomain.) Only) the) set) of) those) yOvalues) which) are) used) for) the) mapping) form) the) range.) For) this)

example,)the)codomain)is)R$and)the)range)is)a)subset)of)the)codomain)

since)[0,∞) ?⊂ ?H.))

The) mapping) diagram) also) illustrates) the) manyOtoOone)

correspondence)of)the)function)defined)by)<? = ?42.))

)

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Formal)mapping)notation))

The)mapping)4? → ?42)is)written)formally)as:))

)

The)domain)of)the)function)must)always)be)specified)when)writing)functions)formally.))

We)will)always)use)R$as)the)codomain.)Mappings)will)be)written)as)f$:)D$→)R,)where)D$is)the)domain.)Usually)a)

graph)of)the)function)is)required)in)order)to)determine its)range.))

Note)that)f$is)a)symbol)for)the)name)of)the)function)or)mapping,)whereas)f(x))is)an)element)of)the)range)of)the)

function:)f(x))gives)the)image)of)x$under)the)mapping)f.)While)f$is)the)commonly)used)symbol)for)a)function,)

other)symbols)may)be)used.))

)

Worked)Example)3)

Consider)N:?H → H, N(4) = S + T4,)where)N 1 = 4)and)N(−1) = 6.))

a)! Calculate)the)values)of)a$and)b$and)state)the)function)rule.)b)! Evaluate)N(0).)c)! Calculate)the)value)of)4$for)which)N(4) = 0.)d)! Find)the)image)of)−5.)e)! Write)the)mapping)for)a)function)g$which)has)the)same)rule)as)N$but)a)domain)restricted)to)HU.) )

)

)

) )

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Question)6)

Express)< = 42

?

− 64 + 10,)0 ≤ 4 < 7)in)mapping)notation)and)state)its)domain)and)range.))

) )

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6.3&The&circle&&The)circle!is)an)example)of)a)relation)with)a)manyOtoOmany)correspondence.)A)circle)is)not)a)function.))

Equation!of!a!circle!!To)obtain)the)equation)of)a)circle,)consider)a)circle)of)radius)X$and)centre)at)the)point)F(ℎ, Z).))Let)[(4, <))be)any)point)on)the)circumference.)F[,)of)length)X,)is)the)radius)of)the)circle.))

Using)the)formula)for)the)distance)between)two)points:))

)

)

The)endpoints)of)the)horizontal)diameter)have)coordinates)(ℎ? − ?X, Z))and)(ℎ? + ?X, Z);)the)endpoints)of)the)vertical)diameter)are)(ℎ, Z? − ?X))and)(ℎ, Z? + ?X).)These)points,)together)with)the)centre)point,)are)usually)used)to)sketch)the)circle.)The)intercepts)with)the)coordinate)axes)are)not)always)calculated.))

)

The)domain)and)range)are)obtained)from)the)endpoints)of)the)horizontal)and)vertical)diameters.))

The)circle)with)the)centre)(ℎ, Z))and)radius)X$has)domain)[ℎ? − ?X, ℎ? + ?X])and)range)[Z? − ?X, Z? + ?X].))

If)the)centre)is)at)(0, 0),)then)the)circle)has)equation)4M + <M = XM,)with)domain)[−X, X])and)range)[−X, X].))

)

General)form)of)the)equation)of)a)circle))

The)general)form)of)the)equation)of)a)circle)is)the)expanded)form)of) 4 − ℎ M + < − Z M = XM.))

Expanding)gives)4M + <M − 2ℎ4 − 2Z< + ℎM + ZM − XM = 0.))

This)is)equivalent)to)4M + <M + S4 + T< + ] = 0))

where)S = −2ℎ, T = −2Z, ] = ℎM + ZM − XM,)

and) shows) that) three) pieces) of) information) are) needed) to) calculate)a,)b$ and) c$ in) order) to) determine) the)

equation.) )

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Worked)Example)4)

a)! State)the)domain)and)range)of)the)circle)with)equation))

4 + 3 M + < − 2 M = 16)and)sketch)the)graph.)

(x+3)2 +(y−2)2 =16 Centre (−3, 2); radius 16 = 4 Domain: x ∈ [h − r, h + r] x ∈ [−3 − 4, −3 + 4]Therefore, the domain is [−7, 1]

Range: y ∈ [k − r, k + r] y ∈ [2 − 4, 2 + 4]Therefore, the range is [−2, 6]. Circle has centre (−3, 2) and contains the points (−7, 2), (1, 2), (−3, −2), (−3, 6).

b)! Find)the)centre,)radius,)domain)and)range)of)the)circle)with)equation)24M + 2<M + 124 − 4< + 3 = 0))

Divide)both)sides)by)2.)∴ 4M + <M + 64 − 2< + 3 2 = 0)

Group)the)terms)in)x$together)and)the)terms)in)y$together,)and)complete)the)squares.))

(4M + 64 + 9) − 9 + <M − 2< + 1 − 1 =3

2)

(4 + 3)M + < − 1 M =3

2+ 9 + 1)

(4 + 3)M + < − 1 M =17

2)

State)the)centre)and)radius.))

Centre)(−3,)1);)radius)`a

M= ?

bc

M,))

State)the)domain)and)range.))

Domain) −3 −bc

M, −3 +

bc

M,)Range) 1 −

34

2, 1 +

34

2)

Worked)Example)4a)on)the)CAS)

On)a)blank)graphs)page)c12))

Press).6(relation))

Type:)(4 + 3)2 + (< − 2)2 = 16?)

then)press)·

To)find)the)centre:)b691

Note:)to)reOsize)the)graph.)press)·41

After)finding)the)centre,)you)can)find)

the)domain)and)range)on)the)graph)

or)solve)for)them)

On)the)displayed)graph,)we)wish)to)find:))

The)domain)

Add)a)calculator)page)/~)

Enter)Solve((4 + 3)2 + (< − 2)2 = 16, 4)|< = 2,)

The)answer)is)the)domain:){4: −7 ≤ 4 ≤ 1})The)range)

Enter)Solve((4 + 3)2 + (< − 2)2 = 16, <)|4 = −3,)

The)answer)is)the)domain:) <:−2 ≤ < ≤ 6 )

)

On)the)graph:)

First)add)the)lines)4 − 3?and?< = 2)Then)press)b64)to)find)the)

intersections)

•! Choose)the)circle)and)< = 2)for)the)domain)

•! Choose)the)circle)and)4 = −3)for)the)range)

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Semicircles))

The)equation)of)the)circle)4M + <M = XM)can)be)rearranged)to)make)<$the)subject.))

<M = XM − 4M?)

< = ± XM − 4M?)

)

The)semicircle)

< = + XM − 4M The)semicircle) is)a) function)with)a)manyOtoOone)correspondence.) It) is) the)top)

half)of)the)circle,)with)centre)(0, 0),)radius)X,)domain)[−X, X])and)range)[0, X].)The) domain) can) be) deduced) algebraically) since) XM − 4M) is) only) real) if)?XM − 4M ≥ 0.)From)this)the)domain)requirement)−X ≤ 4 ≤ X$can)be)obtained.For)the)circle)with)centre)(ℎ, Z))and)radius)X,)we)have:)

< = XM − 4 − ℎ M + Z)

Regions))

The)region)defined)by)4M + <M ≤ XM)could)be)determined)by)testing)if)(0, 0))satisfies)the)inequation. )

The) region) on) or) outside) the) circle) is) defined) by) the) inequation:)

4M + <M ≥ XM.))

Question)3ab)

a)! Sketch)the)graph)of)<? = ?−? 2? − ?4M,)stating)the)domain)and)range.))

)

b)! Sketch)(4, <): 44M?+ 4<M

?> 25). )

)

)

Tangents!to!circles!A) line)and)a)circle)can) intersect) in)2,)1)or)0)places.)The)coordinates)of)any)

points)of)intersection)are)found)using)simultaneous)equations.))

•! If! there!are 2!points!of! intersection,) the) line) is) called)a)secant; a) line)

segment)joining)these)points)is)called)a)chord.))•! If!there!is!exactly!1!point!of!intersection,)the)line)is a)tangent!touching)

the)circle)at)that)point)of)contact.)This)tangent)line)is)perpendicular)to)the)

radius)drawn)to)the)point)of)contact.))

The)gradient)of)the)tangent)and)the)gradient)of)the radius)drawn)to)the)point)

of)contact)must)satisfy)the)relationship)pqSrstrq

?

×?pXS#1vw

?

= ?−1.)

Other)coordinate)geometry)formulae)may)be)required)to)determine)the)equation)of)a)tangent)or)to)calculate)

the)length)of)a)segment)of)the)tangent.)

Page 11: MATHEMATICAL)METHODS)UNIT!2 HAPTER)6 …...FUNCTIONS)AND)RELATIONS) ))))) )))))PAGE)1)OF)36))∙#$=0 !∙#+=−#Φ.)∙#+=0(1+0('(#Φ3#/ MATHEMATICAL)METHODS)UNIT!2) CHAPTER)6)–)FUNCTIONS)AND)RELATIONS)

FUNCTIONS)AND)RELATIONS) )))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))PAGE)11)OF)36)

Worked)Example)6)For)the)circle)with)equation)("# − #1)2

#

+ #)2

#

= #5,)determine:))a)! the)equation)of)the)tangent)at)the)point)(2, 2))on)the)circumference)of)the)circle))b)! the)length)of)the)tangent)drawn)from)the)point)(−4, −5))to)its)point)of)contact)with)the)circle,)..))c)! the)number)of)intersections)the)line)) + 3" + 4 = 0)makes)with)the)circle.))

)

)