MATHEMATICA Α ÿ GEOGEBRA - TEI EMTdigilib.teiemt.gr/jspui/bitstream/123456789/3230/1/... ·...

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΤΜΗΜΑ

ΑΝ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

MATHEMATICA ΚΑΙ GEOGEBRA

ΑΝΝΑ-ΣΥΛΒΙΑ ΚΟΝΤΟΣΤΕΡΓΙΟΥ 1915

ΡΕΒΕΚΚΑ ΣΙΔΙΡΟΠΟΥΛΟΥ 1914

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2014

ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΔΡ. ΜΑΡΔΥΡΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Σελ. 1 από 108

Ευχαριστούμε πολύ

το Δρ. Σάλτα Βασίλειο

για την πολύτιμη βοήθειά του


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ……………………………………………………………………………………….2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ…………………………………………………………………………………………….4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

…………………………………………………………………………………………6

ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………………………………………………6

1.1 Μαθηματικά λογισμικά……… …………………………………………………………..6

1.2 Σκοπός….…………………………………………………………………………………..6


…………………………………………………………………………………………8

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ ΔΥΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ

(ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ)………………………………………………………8

2.1 GeoGebra………………………………………………………………………………….8

2.2 Mathematica……………………………………………………………………………...12


………………………………………………………………………………………..16

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΙΔΡΥΜΑΤΩΝ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ

ΤΑ ΕΝ ΛΟΓΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ…………………………………………...16

3.1 Ιδρύματα που χρησιμοποιούν το GeoGebra…………………………………………..16

3.2 Ιδρύματα που χρησιμοποιούν το Mathematica……………………………………….16

3.3 Συμπεράσματα……………………………………………………………………………17


………………………………………………………………………………………..18

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ ΔΥΟ ΕΝ ΛΟΓΩ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ (ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥΣ…………………………………………………………………..18

4.1 Όρια, συνέχεια συναρτήσεων, απροσδιόριστες μορφές……………………………...18

4.2 Παραγώγους και παράγωγος σύνθετης συνάρτησης………………………………….25

4.3 Μελέτη συνάρτησης, ακρότατα…………………………………………………………31

4.4 Αόριστα ολοκληρώματα…………………………………………………………………36

4.5 Ορισμένο Ολοκλήρωμα και εφαρμογή στον υπολογισμό εμβαδών χωρίων……….42

4.6 Μιγαδικοί Αριθμοί……………………………………………………………………….47

4.7 Επίλυση γραμμικού συστήματος εξισώσεων…………………………………………..58

4.8 Πίνακες……………………………………………………………………………………66

4.9 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, τόποι, πεδία ορισμού……………………………75

4.10 Μερική Παράγωγος…………………………………………………………………….78

4.11 Αναπτύγματα δυναμοσειράς Taylor…………………………………………………..84

4.12 Διπλά ολοκληρώματα………………………………………………………………..…86



………………………………………………………………………………………..90

ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΤΑΞΗ ΤΩΝ ΔΥΟ ΑΥΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ- ΕΠΙΚΟΥΡΙΚΑ ΚΑΤΑ

ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΤΕΙ……………………….90

5.1 Εισαγωγή στην εκμάθηση των λογισμικών……………………………………………90

5.2 GeoGebra…………………………………………………………………………………90

5.3 Mathematica……………………………………………………………………………...96

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ…………………………………………………………………………………104

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ……………………………………………………………………………………..107

Πτυχιακή Εργασία

της Άννα-Σύλβια Κοντοστεργίου και της Ρεβέκκα Σιδηροπούλου


Πρόλογος

Η παρούσα πτυχιακή εργασία πραγματοποιήθηκε στην Καβάλα, στο

τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ.

Στόχος αυτής της πτυχιακής είναι η συγκριτική ανάλυση δύο

μαθηματικών λογισμικών, του Mathematica και του GeoGebra. Γίνεται αναφορά

στην χρησιμότητα του κάθε λογισμικού και στο πως αυτά τα δυο λογισμικά

βοηθούν στην επίλυση απλών ή σύνθετων μαθηματικών ασκήσεων.

Στο 1ο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η εισαγωγή της Πτυχιακής εργασίας

γίνεται μια γενική περιγραφή για τα μαθηματικά λογισμικά και για τον σκοπό της

παρούσας εργασίας.

Στο 2ο κεφάλαιο, γίνεται η ανάλυση των λογισμικών Mathematica και

GeoGebra, αναφέρεται η ιστορία των εν λόγω λογισμικών και οι βασικές

λειτουργίες του κάθε ενός από αυτά.

Στο 3ο κεφάλαιο, πραγματοποιείτε έρευνα μέσω διαδικτύου με σκοπό την

καταγραφή των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων που χρησιμοποιούν στην μέθοδο

διδασκαλίας τους τα λογισμικά Mathematica και GeoGebra.

Στο 4ο κεφάλαιο, γίνεται έλεγχος των δυνατοτήτων των λογισμικών,

επιλύονται ασκήσεις και με τα δυο λογισμικά, όπου αυτό είναι εφικτό, και γίνεται

σύγκριση ως προς την χρησιμότητα του κάθε ενός. Αναφέρεται ακόμη πιο από

αυτά τα λογισμικά είναι πιο εύχρηστο, ανάλογα με τις απαιτήσεις τις εκάστοτε

άσκησης.

Στο 5ο κεφάλαιο, πραγματοποιούνται διδακτικά πλάνα μαθήματος για την

διδασκαλία των δυο αυτών λογισμικών. Τα πλάνα μαθήματος είναι εβδομαδιαία

και δείχνουν πως θα μπορούσε να γίνει η παράδοση του μαθήματος, σε χρονική

περίοδο 11 εβδομάδων (ένα ακαδημαϊκό εξάμηνο), για την εκμάθηση των

λογισμικών.




Έπειτα καταγράφονται κάποια συμπεράσματα που έχουν παρθεί, όσον

αφορά τα λογισμικά Mathematica και GeoGebra, κατά την εκπόνηση της

εργασίας,.

Τέλος, αναφέρεται η βιβλιογραφία.




Κεφάλαιο 1ο

Εισαγωγή

1.1 Μαθηματικά λογισμικά

Στις μέρες μας η χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή εκτός από άνεση

και ευκολία που προσφέρει αποτελεί και αναγκαιότητα . ο τομέας των

μαθηματικών, ο οποίος χρησιμοποιείται σε πάρα πολλούς κλάδους όπως είναι

αυτός της Πληροφορικής, της Φυσικής, της Χημείας και πολλών άλλων, είναι

θεμελιώδης. Για αυτό το λόγω δημιουργήθηκαν πολλά λογισμικά μαθηματικών,

που έχουν ως σκοπό την εκμάθηση, την εξοικείωση, την κατανόηση και την

διευκόλυνση των χρηστών. Αυτά τα λογισμικά χρησιμοποιούνται τόσο στη

δευτεροβάθμια όσο και στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Μερικά από αυτά είναι :

Skechpad, Cabri Geometri II για την Γεωμετρία του Επιπέδου, Cabri Geometri

3D για την Γεωμετρία του Χώρου, Geogebra για Γεωμετρία και Αναλυτική

Γεωμετρία, Functionprobe για μελέτη συναρτήσεων. Εισαγωγή στην χρήση των

Πακέτων Mathematica και Maple που καλύπτουν ευρύτατο φάσμα μαθηματικών

εφαρμογών. Εμείς θα επικεντρωθούμε σε δύο από αυτά στο Mathematica και στο

GeoGebra.

1.2 Σκοπός

Ο σκοπός και ο στόχος αυτού του εγγράφου είναι αρχικά να γνωρίσουμε

τα δύο αυτά προγράμματα σε λειτουργικό επίπεδο και σε ακαδημαϊκό επίπεδο και

στη συνέχεια να εμβαθύνουμε στην σύγκριση τους μέσω των διαφορετικών και

ποικίλων ασκήσεων. Να δούμε ποία είναι τα δυνατά και ποία τα αδύναμα




στοιχεία στο κάθε ένα από αυτά. Και στο τελικό στάδιο να δούμε πώς μπορούμε

να τα εντάξουμε σε εργαστηριακό διδακτικό μάθημα.





Ανάλυση των δυνατοτήτων των δυο μαθηματικών

λογισμικών(βιβλιογραφική επισκόπηση)

2.1 GeoGebra

2.1.1 Σύντομη Ιστορία του GeoGebra

Ο δημιουργός του, Μάρκους Χόενβαρτερ (Markus Hohenwarter),

ξεκίνησε το πρότζεκτ το 2001 στο Πανεπιστήμιο του Σάλτσμπουργκ της

Αυστρίας, συνεχίζοντας στο Πανεπιστήμιο Φλόριντα Ατλάντικ (2006-2008), το

Κρατικό Πανεπιστήμιο της Φλόριδας (2008-2009) και πλέον στο Πανεπιστήμιο

της Λιντς (Αυστρία) με τη βοήθεια προγραμματιστών και μεταφραστών από όλο

τον κόσμο. Tο GeoGebra είναι ένα λογισμικό που τρέχει κάτω από όλες τις

πλατφόρμες (Mac OS X, Windows, Linux, Solaris) είτε ως αυτόνομη εφαρμογή,

είτε μέσω του φυλλομετρητή ιστού (π.χ.Firefox). Δεν υπάρχουν διαφορετικές

εκδόσεις για κάθε υπολογιστή, μια και η εφαρμογή είναι γραμμένη στη γλώσσα

Java που έχει αναπτύξει η Sun Microsystems (οι εφαρμογές που είναι γραμμένες

σε Java μπορούν να τρέξουν σε όλους τους υπολογιστές, φτάνει να έχουν

εγκατεστημένα το περιβάλλον κάτω από το οποίο δουλεύουν, το Java Runtime

Environment). Από το 2006 το πρόγραμμα υποστηρίζεται από το αυστριακό

Υπουργείο Παιδείας έτσι ώστε να διατηρηθεί η ελεύθερη διαθεσιμότητα του. Τον

Ιούλιο του 2006, το πρόγραμμα GeoGebra άρχισε να υποστηρίζεται και

στις ΗΠΑ, όπου η ανάπτυξη του συνεχίζεται στο Florida Atlantic University.

Το GeoGebra μεταφράστηκε από εκπαιδευτές και καθηγητές

μαθηματικών από όλο τον κόσμο σε περισσότερες από 25 γλώσσες και έχει λάβει




πολλά βραβεία εκπαιδευτικού λογισμικού στην Ευρώπη και τις Ηνωμένες

Πολιτείες.

Συγκεκριμένα:

MERLOT Award for Exemplary Online Learning Resources – MERLOT Classics

2013 (Las Vegas, Nevada, USA)

NTLC Award 2010: National Technology Leadership Award 2010 (Washington

D.C., USA)

Tech Award 2009: Laureate in the Education Category (San Jose, California,

USA)

BETT Award 2009: Finalist in London for British Educational Technology Award

: Finalist, Best Project for Educators AECT Distinguished Development Award

2008: Association for Educational Communications and Technology (Orlando,

USA)

Learnie Award 2006: Austrian Educational Software Award for

"Wurfbewegungen mit GeoGebra" (Vienna, Austria)

eTwinning Award 2006: 1st prize for "Crop Circles Challenge" with GeoGebra

(Linz, Austria)

Les Trophées du Libre 2005: International Free Software Award, category

Education (Soisson, France)

Comenius 2004: German Educational Media Award (Berlin, Germany)

Learnie Award 2005: Austrian Educational Software Award for "Spezielle

Relativitätstheorie mit GeoGebra" (Vienna, Austria)

digita 2004: German Educational Software Award (Cologne, Germany)

Learnie Award 2003: Austrian Educational Software Award (Vienna, Austria)

EASA 2002: European Academic Software Award (Ronneby, Sweden)

2.1.2 Τι είναι το GeoGebra;

Το GeoGebra (σύνθεση των λέξεων geometry και algebra) αποτελεί

διαδραστικό λογισμικό δυναμικής μαθηματικών που απευθύνεται σε όλες τις

βαθμίδες της εκπαίδευσης, από το δημοτικό μέχρι και την τριτοβάθμια

εκπαίδευση καθώς επίσης Χρησιμοποιείται από χιλιάδες ανθρώπους σε όλο τον




κόσμο. Από τη μία πλευρά, το πρόγραμμα GeoGebra είναι ένα δυναμικό σύστημα

γεωμετρίας. Μπορούν να γίνουνε κατασκευές με σημεία, διανύσματα,

ευθύγραμμα τμήματα, ευθείες, κωνικές τομές καθώς και συναρτήσεις και να τις

αλλάξουμε δυναμικά στη συνέχεια. Από την άλλη πλευρά, οι εξισώσεις και οι

συντεταγμένες μπορούν να εισαχθούν άμεσα. Με αυτόν τον τρόπο η GeoGebra

έχει τη δυνατότητα να χειρίζεται μεταβλητές για αριθμούς, διανύσματα και

σημεία, να βρίσκει παραγώγους και ολοκληρώματα συναρτήσεων και να παρέχει

εντολές για την εύρεση Ριζών και ακρότατα. Αυτές οι δύο όψεις είναι

χαρακτηριστικές του GeoGebra: μια έκφραση στο παράθυρο άλγεβρας

αντιστοιχεί στο αντικείμενο στο παράθυρο της γεωμετρίας και αντίστροφα.

To GeoGebra δημιουργήθηκε για να βοηθήσει τους μαθητές να

αποκτήσουν μια καλύτερη κατανόηση των μαθηματικών. Μπορεί να

χρησιμοποιηθεί για ενεργή και προσανατολισμένη σε προβλήματα

διδασκαλία, ενισχύοντας τον μαθηματικό πειραματισμό και την διερεύνηση τόσο

στην τάξη όσο και στο σπίτι.Ενώνει τη γεωμετρία, άλγεβρα, πίνακες, γραφήματα,

στατιστικά και λογισμός σε ένα εύκολο στη χρήση πακέτο. Τα περισσότερα

τμήματά του αποτελούν ελεύθερο λογισμικό.

Επιπλέον το Geogebra υπάρχει και σε εφαρμογή ιστού από το Chrome

Web Store.

Οι εφαρμογές ιστού προσφέρουν λειτουργίες παρόμοιες με τα

προγράμματα που εγκαθιστάτε από κάποιο CD, αλλά είναι πάντα ενημερωμένες

και διαθέτουν τις πιο πρόσφατες τεχνολογίες ιστού. Το link του προγράμματος

στη σελίδα του chrome είναι το εξής:

https://chrome.google.com/webstore/detail/geogebra/bnbaboaihhkjoaolfnfoablhll

ahjne

2.1.3 Το GeoGebra στην Ελλάδα

Υπάρχουν πάνω από 100 τοπικά Ινστιτούτα GeoGebra σε 64 χώρες. Το

Ινστιτούτο GeoGebra της Αθήνας στην Ελλάδα, συστάθηκε το Σεπτέμβριο του

2012. Αποτελεί παράρτημα του Διεθνούς Ινστιτούτου

του GeoGebra (International GeoGebra Institute-IGI) και έχει ως σκοπό να

https://chrome.google.com/webstore/detail/geogebra/bnbaboaihhkjoaolfnfoablhllahjne

https://chrome.google.com/webstore/detail/geogebra/bnbaboaihhkjoaolfnfoablhllahjne

http://www.geogebra.org/cms/institutes




συνεισφέρει και να υποστηρίξει τους στόχους του, το οποίο δημιουργήθηκε από

μία ομάδα καθηγητών της Ανώτατης Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής

Εκπαίδευσης (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) και από εκπαιδευτικούς της δημόσιας και της

ιδιωτικής εκπαίδευσης.

Γενικότερα, το IGI ιδρύθηκε στο τέλος του 2007, με σκοπό να

υποστηρίξει την κοινότητα των χρηστών του λογισμικού GeoGebra.

Οι τέσσερις βασικοί στόχοι του IGI είναι:

η προσφορά κατάρτισης και υποστήριξης εκπαιδευτικών

η ανάπτυξη διδακτικού υλικού και λογισμικού

η διεξαγωγή ερευνών

η προβολή του λογισμικού σε οικονομικά ασθενέστερες κοινότητες.

2.1.4 Οι Βασικές Λειτουργίες του GeoGebra

Ανοίγοντας το πρόγραμμα εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο. Το

πρόγραμμα μας δίνει την δυνατότητα να επιλέξουμε ανάμεσα σε 5 Όψεις ανάλογα

µε την εργασία που επιθυμούμε να κάνουμε.




Η επιφάνεια εργασίας μας χωρίζεται σε δύο μέρη. Το ένα είναι το

παράθυρο γεωμετρίας που βρίσκεται στο δεξιό μέρος, όπου εκεί απεικονίζονται οι

γραφικές παραστάσεις των σημείων, των ευθειών, των διανυσμάτων, των

πολυγώνων, των κωνικών τομών, των ευθυγράμμων τμημάτων και συναρτήσεων.

Το άλλο είναι το παράθυρο άλγεβρας που είναι στα αριστερά μας, εκεί

εμφανίζονται πληροφορίες σχετικά με αυτά που έχουμε δημιουργήσει στο

παράθυρο γεωμετρίας, όπως για παράδειγμα συντεταγμένες, συναρτήσεις των

αντικειμένων, αποστάσεις σημείων κτλ.

Κάτω στο παράθυρο μας βλέπουμε το πεδίο εισαγωγής. Αν δεν φαίνεται

το εµφανίζουµε από το µενού Προβολή→ Πεδίο Εισαγωγής. Σε αυτό το πεδίο

μπορούν να κατασκευαστούν και να τροποποιηθούν αντικείμενα μέσω

συντεταγμένων ή εξισώσεων. Στα δεξιά του πεδίου Εισαγωγής υπάρχει ένα

κουµπί µε ένα τρίγωνο στο εσωτερικό του. Με το κουµπί αυτό ενεργοποιείται η

Βοήθεια Εισαγωγής όπου υπάρχουν όλες οι συναρτήσεις και οι εντολές

καταχωρημένες ανά κατηγορία.

Στο πάνω μέρος του παραθύρου υπάρχει η γραμμή μενού και ακριβώς από

κάτω της βρίσκεται το πλαίσιο επιλογών, με το οποίο μπορούμε να σχεδιάσουμε

η να τροποποιήσουμε κάποιο σχήμα. Επιλέγουμε ένα από αυτά απλά κάνοντας

κλικ επάνω του.

2.2 Mathematica

2.2.1 Η ιστορία του Mathematica

To Mathematica είναι το πιο δυνατό στον κόσμο υπολογιστικό σύστημα.

Βγήκε στην αγορά το 1988 και είχε πρωτοφανή επίδραση στον τρόπο που

χρησιμοποιούνται οι υπολογιστές στην τεχνολογία και σε άλλους τομής.

Εκατομμύρια χρήστες, 500 επιχειρήσεις σε κυβερνητικές υπηρεσίες

και χιλιάδες πανεπιστήμια παγκοσμίως το χρησιμοποιούνε.

Αν και το Mathematica είναι στην πραγµατικότητα περιβάλλον

προγραμματισμού και περιλαµβάνει εντολές και συναρτήσεις, διαφέρει κατά

πολύ από άλλα προγραµµατιστικά περιβάλλοντα που ίσως έχετε χρησιµοποιήσει




µέχρι σήµερα (π.χ. αυτό της Borland C++). Πρώτα-πρώτα, λειτουργεί ως

διερµηνέας εντολών (interpreter), που σηµαίνει ότι µπορείτε να δίνετε µια εντολή

υπολογισµού και να παίρνετε άµεσα την απάντηση, χωρίς να χρειάζετε να

γράψετε πρόγραµµα για το σκοπό αυτό. Επίσης, είναι σε θέση να εκτελεί εύκολα

και συµβολικούς (όχι µόνο αριθµητικούς) υπολογισµούς, π.χ. υπολογισµό

ολοκληρωμάτων και παραγώγων, αναλυτική επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών

εξισώσεων, κ.ά. Άλλα τέτοια πακέτα είναι τα Maple, Matlab, κ.λπ.

2.2.2 Πλεονεκτήματα του λογισμικού Mathematica

Κάποια από τα πλεονεκτήματα του είναι:

Εφαρμόζει την ευφυή αυτοματοποίηση σε κάθε μέρος του συστήματος,

από την επιλογή του αλγορίθμου έως τον σχεδιασμό.

Έχει ενσωματωμένη εξειδικευμένη λειτουργία για πολλούς τεχνικούς

τομείς. Με αυτόν τον τρόπο δεν χρειάζεται να προσθέσει κάποιος κάτι

επιπλέον.

Το Mathematica τα κάνει όλα σε μια ενιαία ροή της δουλειάς, που

κρατά όλα τα στοιχεία ενός project - υπολογισμούς, απεικονίσεις,

στοιχεία, τεκμηρίωση, και ακόμα και διαδραστικές εφαρμογές-

μαζί, στα μεμονωμένα ευέλικτα έγγραφα. Δεν χρειάζονται διαφορετικά

προγράμματα για το κάθε ένα από αυτά.

Κανένα προγραμματιστικό στυλ δεν είναι ιδανικό για κάθε πρόβλημα.

Το Mathematica ξεχωρίζει από τις παραδοσιακές γλώσσες

προγραμματισμού, με την ταυτόχρονη υποστήριξη πολλών

παραδειγμάτων προγραμματισμού, όπως διαδικαστικών και λειτουργικών,

βασισμένο σε κανόνες, με βάση το πρότυπο, και πολλά άλλα.

Είναι μοναδικό μεταξύ των υπολοίπων τεχνικών υπολογιστικών

πλατφορμών, διότι περιλαμβάνει μια τεράστια συλλογή από δεδομένων

όλων των ειδών, που συνεχώς ανανεώνεται και επεκτείνεται.




Ο συμβολικός και ο αριθμητικός υπολογισμός εκ παραδόσεως

θεωρούνται ως ξεχωριστοί. Στο Mathematica, αυτό δεν ισχύει,

επιτρέποντας μοναδικές μεθόδους για πολλά προβλήματα και βεβαιώνει

για σταθερά αποτελέσματα οποτεδήποτε οι ποσότητες κάθε ακρίβειας,

συνδυάζονται.

2.2.3 Βασικές λειτουργίες του Mathematica

Με τα πλήκτρα Shift-Enter ή με το πλήκτρο Enter από το αριθμητικό

πληκτρολόγιο εισάγονται στοιχεία και εντολές για επεξεργασία

στο MATHEMATICA.

Εάν θέλουμε να διακόψουμε έναν υπολογισμό που φαίνεται να είναι

αρκετά μεγάλος, μπορούμε να διακόψουμε την επεξεργασία επιλέγοντας "Abort

Evaluation" από τον κατάλογο επιλογών "Kernel".

(Σημείωση: Shift-Enter σημαίνει ταυτόχρονο πάτημα των

πλήκτρων Shift + Enter .)

To πλήκτρο Enter (ή Return), του γενικού πληκτρολογίου, αρχίζει μια νέα

γραμμή στην οθόνη αλλά δεν ενεργοποιεί το MATHEMATICA για να

επεξεργασθεί τις εντολές. Χρησιμεύει ώστε οι γραμμές των εντολών να μη

κρύβονται προς τα δεξιά , και βοηθά επίσης να κάνουμε εκτυπώσεις χωρίς να

χάνεται τμήμα του κειμένου.

Εντολές και Συναρτήσεις του MATHEMATICA αρχίζουν πάντοτε με

κεφαλαίο γράμμα (και πάντοτε στα Αγγλικά). Τα ορίσματα περικλείονται πάντα

μέσα σε τετράγωνες αγκύλες " [ ]".

Παρενθέσεις " ( )" χρησιμοποιούμε για να προσδιορίσουμε την σειρά με την

οποία θέλουμε να εκτελεσθούν διαδοχικές πράξεις.

Με το ερωτηματικό " ; " στο τέλος κάθε γραμμής το αποτέλεσμα που

υπολογίστηκε από το MATHEMATICA απλώς δεν παρουσιάζεται στην οθόνη.

Με την χρήση του " %" και την πράξη μας δίνει το αποτέλεσμα της τελευταίας

πράξης. Ενώ με το " %%" μας δίνει το αποτέλεσμα της προτελευταίας.




Χρήσιμη είναι η χρήση των πινάκων με σύμβολα και εντολές που μπορούν να

εμφανισθούν από τον κατάλογο επιλογών File -> Palettes.

Στο Mathematica υπάρχουν πέντε βασικές σταθερές και σύμβολα και αυτά

είναι : π=3.144159…, e=2.7182818…, ∞-άπειρο, i- μιγαδικοί και ⁰ - μοίρες.

Ακολουθεί ένας πίνακας με τις βασικές συναρτήσεις στο Mathematica:

Συμβολισμοί στο Mathematica Μαθηματικοί συμβολισμοί

Sqrt[x] x

Exp[x] xe

Log[x] lnx

Log[b,x] xblog

Sin[x] ημx

Cos[x] συνx

Tan[x] εφx

ArcSin[x] τοξημx

ArcCos[x] τοξσυνx

ArcTan[x] τοξεφx

Abs[x] x

Round[x] Στρογγυλοποίηση

Mod[n,m] Υπόλοιπο διαίρεσης του n με το m

Min[x,y,…] Ελάχιστος μεταξύ των αριθμών x,y,…

Max[x,y,…] Μέγιστος μεταξύ των αριθμών x,y,

FactorInteger[n] Ανάλυση του φυσικού αριθμού n σε

γινόμενο πρώτων παραγώντων

Re[z] Πραγματικό μέρος μιγαδικού z

Im[z] Φανταστικό μέρος μιγαδικού αριθμού z

Arg[z] Όρισμα μιγαδικού αριθμού z

Conjugate[z] Συζυγής μιγαδικού αριθμού z





Αναζήτηση εκπαιδευτικών ιδρυμάτων τα οποία

χρησιμοποιούν τα εν λόγω μαθηματικά λογισμικά

Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο, έγινε αναζήτηση μέσω διαδικτύου, με σκοπό

την εύρεση εκπαιδευτικών ιδρυμάτων που χρησιμοποιούν τα λογισμικά

Mathematica και GeoGebra. Έγινε αναζήτηση στα εκπαιδευτικά ιδρύματα της

Ελλάδας, ελέγχοντας το πρόγραμμα σπουδών τους, για την διδασκαλία – χρήση

των εν λόγω λογισμικών.

3.1 Ιδρύματα που χρησιμοποιούν το GeoGebra

Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ (www.math.auth.gr/el/content/μαθηματικά-

λογισμικά-και-γλώσσες-αναπαράστασης-γνώσης)

3.2 Ιδρύματα που χρησιμοποιούν το Mathematica

Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ (qa.auth.gr/el/x/class/1/40049925)

Τμήμα Φυσικής, Σχολή Θετικών Επιστημών

(http://www.physics.auth.gr/courses/12)

Τμήμα Χημείας, ΑΠΘ

(http://www.chem.auth.gr/index.php?rm=5&mn=642&cid=1072)

http://www.math.auth.gr/el/content/μαθηματικά-λογισμικά-και-γλώσσες-αναπαράστασης-γνώσης

http://www.math.auth.gr/el/content/μαθηματικά-λογισμικά-και-γλώσσες-αναπαράστασης-γνώσης

mailto:http://www.physics.auth.gr/courses/12

mailto:http://www.chem.auth.gr/index.php?rm=5&mn=642&cid=1072




Τμήμα Στατιστικής και Πληροφορικής Οικονομικών Επιστημών,

Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

(http://www.aueb.gr/objects/results.php?cx=006260578783948215331%3Akfiekli

zdvk&cof=FORID%3A11&q=mathematica&sa=%C1%ED%E1%E6%DE%F4%

E7%F3%E7&ie=iso-8859-7&oe=iso-8859-7)

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήμιο

Πατρών

(mailto:http://www.civil.upatras.gr/el/ProptixiakhEkpaideysh/Mathimata/

AEtos/entry/3fc37d31-6aa0-42b5-9b0c-f727fedf0790/?PageNo=0)

Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

(http://www.math.uoi.gr/GR/studies/undergraduate/courses/644.html)

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήμιο

Θεσσαλίας (http://www.mie.uth.gr/n_syllabus.asp?id=12)

3.3 Συμπεράσματα

Κατά την αναζήτηση των ιδρυμάτων αυτών παρατηρήθηκε ότι το

λογισμικό Mathematica, λόγω της πολυπλοκότητας των πράξεων που μπορεί να

επιλύσει, χρησιμοποιείτε περισσότερο στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, ενώ

αντίθετα το λογισμικό GeoGebra, χρησιμοποιείτε περισσότερο στην

δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

mailto:http://www.aueb.gr/objects/results.php?cx=006260578783948215331%3Akfieklizdvk&cof=FORID%3A11&q=mathematica&sa=%C1%ED%E1%E6%DE%F4%E7%F3%E7&ie=iso-8859-7&oe=iso-8859-7



mailto:http://www.civil.upatras.gr/el/ProptixiakhEkpaideysh/Mathimata/AEtos/entry/3fc37d31-6aa0-42b5-9b0c-f727fedf0790/?PageNo=0

mailto:http://www.civil.upatras.gr/el/ProptixiakhEkpaideysh/Mathimata/AEtos/entry/3fc37d31-6aa0-42b5-9b0c-f727fedf0790/?PageNo=0

mailto:http://www.math.uoi.gr/GR/studies/undergraduate/courses/644.html

mailto:http://www.mie.uth.gr/n_syllabus.asp?id=12





Συγκριτικός έλεγχος των δυνατοτήτων των δύο εν λόγω

μαθηματικών λογισμικών (επίλυση ασκήσεων ανώτερων

μαθηματικών με τη βοήθειά τους)

4.1 Όρια, συνέχεια συναρτήσεων, απροσδιόριστες μορφές

4.1.1 Τι είναι το όριο συνάρτησης;

Η έννοια του ορίου συνάρτησης σχετίζεται άμεσα με την έννοια «σημείο

συσσώρευσης». Συγκεκριμένα έστω ότι δίνεται η συνάρτηση x

xxf1

)( .

Ο ορισμός του εν λόγω σημείου υλοποιείται ως ακολούθως:

Η συνάρτηση x

xxf1

)( δεν ορίζεται για x 0. Τίθεται το εξής ερώτημα: «Τι

συμβαίνει με τη συναρτησιακή της τιμή όταν x=0;»

Αφού η συνάρτηση f(x) αποτελείται από δύο υποσυναρτήσεις – την

g(x)=x και την h(x)=x, με την τελευταία να έχει πεδίο τιμών [-1,1], εύκολα

διαπιστώνεται, ότι για κάθε x 0, η συναρτησιακή τιμή της f(x) θα βρίσκεται

μεταξύ –x και x.




Η γραφική παράσταση της f(x) θα βρίσκεται μεταξύ των ευθειών y=x και

y=-x και συγκεκριμένα στο εσωτερικό των γωνιών που σχηματίζουν οι δυο αυτές

ευθείες. Αν στο x δοθεί τιμή τέτοια ώστε να είναι όσο το δυνατόν κοντά στο

μηδέν, θα αντιστοιχεί σημείο της γραφικής παράστασης το οποίο θα πλησιάζει

αρκετά στην αρχή των αξόνων Ο(0,0) ή όπως αλλιώς λέγεται η γραφική

παράσταση θα «τείνει» στο σημείο αυτό. Η συναρτησιακή τιμή της συνάρτησης

f(x) από την πλευρά της θα «τείνει» στο μηδέν.

4.1.2 Άσκηση 1

Να υπολογιστούν τα ακόλουθα όρια:

i. 8

82lim

3

2

2

x

xxx ii.

2

321lim 4

x

xx

iii. iv. xxx

2lim

4.1.3 Μαθηματική λύση

i. Αρχικά γίνεται «νοητή» αντικατάσταση του x με τον αριθμό 2 (αφού x2) και

λαμβάνεται, ότι 0

0, το οποίο, όπως θα αναφερθεί και εν συνεχεία, είναι

απροσδιόριστη μορφή, δηλαδή δεν δύναται να υπολογιστεί. Γι’ αυτό γίνεται

παραγοντοποίηση αριθμητή και παρανομαστή και λαμβάνεται:

2

2

3 2 2 22 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 22 2

lim( 4)2 8 ( 2)( 4) 4lim lim lim

8 ( 2)( 2 4) 2 4 lim( 2 4)

lim lim 4 2 4 6 6 6 1

4 4 4 12 2lim lim 2 lim 4 2 2.2 4lim 2lim 4

x

x x x

x

x x

x x xx x

xx x x x x

x x x x x x x x

x

x xx x

ii. Για x⟶4 τα όρια των συναρτήσεων στον αριθμητή και τον παρανομαστή είναι

0, δηλαδή εκ νέου απροσδιοριστία. Γι’ αυτό πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και

παρανομαστή με τις συζυγές παραστάσεις του αριθμητή και του παρανομαστή,

εφαρμόζοντας την ταυτότητα ))(()( 22 και συγκεκριμένα:




)321)(2)(2(

)2)(321)(321(lim

2

321lim 44

xxx

xxx

x

xxx

)321)(4(

)2)(921(lim

)321)(2(

)2](3)21[(lim 4

22

22

4xx

xx

xx

xxxx

3

4

)321(

)2(2lim)321)(4(

)2)(4(2lim 44

x

x

xx

xxxx

iii. Για να βρω εάν η f(x) είναι συνεχής εξετάζω αν το 10 x είναι σημείο

συνέχειας. Για να είναι η f(x) συνεχής στο πρέπει να ισχύει

,

1

1lim)(lim 11

xxf xx

211)1(lim)(lim 2

11 xxf xx

211)1( 2 f

Αφού , η f(x) είναι ασυνεχής στο 10 x .

iv. = = =

Βρίσκω τα όρια:

xxlim

= =1

= -

Άρα: = -




4.1.4 Λύση άσκησης με το λογισμικό Mathematica

i.

ii.

iii.




iv.

4.1.5 Λύση άσκησης με το λογισμικό GeoGebra

i.




ii.




iii.




iv.

4.1.6 Συμπεράσματα

Τόσο το Mathematica όσο και το GeoGebra επιλύνουν της ασκήσεις του

κεφαλαίου των Ορίων και συνέχεια συναρτήσεων, όμως υπάρχει μία δυσκολία

στα συστήματα άνω των 2 εξισώσεων καθώς και επίσης εάν υπάρχει και επιπλέον

μεταβλητή μέσα σε αυτά.

4.2 Παράγωγους και Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

4.2.1 Τι είναι παράγωγος συνάρτησης;

Η παράγωγος μιας συνάρτησης με πραγματική μεταβλητή είναι ένα μέτρο

που εκφράζει τη μεταβολή της τιμής της συνάρτησης (μια συνάρτηση ή

εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία προσδιορίζεται από μια άλλη ποσότητα

(η ανεξάρτητη μεταβλητή). Είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο του λογισμού. Για

παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ενός κινητού αντικειμένου σε σχέση με το

χρόνο είναι η ταχύτητα του αντικειμένου: η οποία μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η

θέση του αντικειμένου όταν ο χρόνος προχωρήσει. Η παράγωγος μετρά

τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, όπως διακρίνεται από

τον μέσο ρυθμό μεταβολής, και ορίζεται ως το όριο του ρυθμού μεταβολής της




συνάρτησης όπου το μήκος του διαστήματος που ορίζεται ο μέσος όρος τείνει στο

μηδέν.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης με επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει

την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σε αυτή τιμή εισόδου.

H παράγωγος σε ένα σημείο της συνάρτησης μιας μεταβλητής είναι

η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στο

σημείο αυτό.

Η έννοια της παραγώγου μπορεί να γενικευθεί σε συναρτήσεις πολλών

πραγματικών μεταβλητών. Η παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών

είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που ονομάζεται διαφορικός πίνακας. Η

αναπαράσταση του πίνακα είναι ένας Ιακωβιανός πίνακας, ο οποίος μειώνει

την κλίση του διανύσματος στην περίπτωση πραγματικής συνάρτησης πολλών

μεταβλητών.

Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται παραγώγιση. Η

αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται αντιπαραγώγιση. Το Θεμελιώδες Θεώρημα

του λογισμού αναφέρει ότι η αντιπαραγώγιση είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα.

Παραγώγιση και ολοκλήρωση αποτελούν δυο βασικές λειτουργίες στο λογισμό.


Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης:

542

3

3

22

5

1)( 2345 xxxxxxf

4.2.3 Μαθηματική Λύση

'54

2

3

3

22

5

1)(' 2345 xxxxxxf

'5)'4('

2

3'

3

2'2'

5

1 2345 xxxxx




0422

333

24*25

5

1 12131415 xxxx

4328 234 xxxx

4.2.4 Λύση με το Mathematica




4.2.5 Λύση με το GeoGebra



)1)(1(

1)(

42 xxxf


)1)(1(

4)1()1(2'

)1)(1(

1)('

42

324

42 xx

xxxx

xxxf

2422

35

2422

535

)1()1(

246

)1()1(

)4422(

xx

xxx

xx

xxxx




4.2.8 Λύση με το Mathematica

4.2.9 Λύση με το GeoGebra






2

3

361

238)(

xxx

xxxf


22

2323

)361(

)'361)(238()361()'238()('

xxx

xxxxxxxxxxxf

22

32

361

)63

6)(238(336122

9

xxx

xx

xxxxxxx





4.2.13 Λύση με GeoGebra


Τόσο το Mathematica όσο και το GeoGebra μπορούνε να επιλύσουν

γρήγορα και εύκολα τις ασκήσεις που σχετίζονται με τους παραγώγους των

συναρτήσεων.

4.3 Μελέτη συνάρτησης, Ακρότατα

4.3.1 Τι είναι η μελέτη συνάρτησης;

Η μονοτονία μιας συνάρτησης αναφέρεται ποιοτικά στην κατεύθυνση της

μεταβολής των τιμών της στο πεδίο ορισμού της ή σε τμήμα αυτού. Με άλλα

λόγια, έστω ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης αυξάνεται, η μονοτονία




είναι η πληροφορία που αναφέρει αν η εξαρτημένη μεταβλητή αυξάνεται και

αυτή ή αντίθετα μειώνεται ή μένει αμετάβλητη.

Η μονοτονία μπορεί να είναι:

Γνήσια αύξουσα

Γνήσια φθίνουσα

Αύξουσα

Φθίνουσα

Σταθερή


Να μελετηθεί η συνάρτηση : xxxxf 62

5

3

1)( 23


,0062

5

3

106

2

5

3

10)( 223

xxxxxxxxf

).0(062

5

3

1 2 xύ

Η παράγωγος της συνάρτησης είναι: 3 2 21 5( ) 6 5 6

3 2f΄ x x x x ΄ x x

.

f΄(x)=0 x2-5x+6=0 x=2 ή x=3 οι οποίες είναι πιθανές θέσεις ακρότατων.

f΄΄(x)=2x-5, οπότε f΄΄(2)= -1<0 και κατά συνέπεια η συνάρτηση παρουσιάζει

τοπικό μέγιστο στο x=2 το 3 21 5 8 20 14(2) 2 2 6.2 12

3 2 3 2 3f και

f΄΄(3)=1>0

και η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x=3 το

3 21 5 27 45 9(3) 3 3 6.3 18

3 2 3 2 2f .

,52)'65()('' 2 xxxxf




2

50520)('' xxxf

Αλλά 2

50)('' xxf και

2

50)('' xxf

Οπότε η εν λόγω συνάρτηση παρουσιάζει σημείο καμπής στο 12

55

2

5

2

5

fx


Δεν υπάρχει δυνατότητα επίλυσης της συγκεκριμένης άσκησης με το

Mathematica.






Να βρεθούν τα ακρότατα της ακόλουθης συνάρτησης:

122

1

3

2

4

1)( 234 xxxxxf


Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) είναι fD .

Η συνάρτηση f(x) είναι αναγνωρίσιμη με 22)(' 23 xxxxf ,

0)(' xf , οπότε οι x=1,x=-1 και x=2 είναι πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων.

)02)(1)(1(0220)(' 23 xxxxxxxf

-1 1 2 +

x-1 - - + +

X+1 - + + +

x-2 - - - +

- + - +

f(x) Γνησίως

φθίνουσα

Γνησίως

αύξουσα

Γνησίως

φθίνουσα

Γνησίως

αύξουσα

Με βάση τον προαναφερόμενο πίνακα ),2()1,1( x

Άρα, η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο -1 το f(-1)=- , τοπικό

μέγιστο στο 1 το f(1)= και τοπικό ελάχιστο στο 2 το f(2)= .





Με το GeoGebra λύνονται εύκολα οι ασκήσεις αυτού του κεφαλαίου, σε

αντίθεση με το Mathematica που δεν λύνει εξ’ ολοκλήρου μία άσκηση. Όπως για

παράδειγμα στις ασκήσεις των ακρότατων στο Mathematica που χρειάζεται να

ορίσουμε ένα η περισσότερα σημεία ώστε να υπολογίσει τα ακρότατα.

4.4 Αόριστα ολοκληρώματα

4.4.1 Τι είναι τα αόριστα ολοκληρώματα;

Αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(x) ορισμένη σε ένα διάστημα

λέμε τις συναρτήσεις που η παράγωγός τους ισούται µε f(x). Αν g(x) είναι µία

τέτοια συνάρτηση, δηλ. g΄(x) = f(x), τότε κάθε άλλη θα έχει τη μορφή g(x)+c

όπου c κάποια σταθερά. Τότε λέμε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) είναι

g(x)+c , και το συμβολίζουμε:

∫ f (x)dx=g(x)+c.

Αν h(x), g(x) διαφορίσιμες σε ένα διάστημα, και h΄(x) = g΄(x) = f(x) για

κάθε x , τότε υπάρχει σταθερά c έτσι ώστε h(x) = g(x)+c. Διότι από το Θεώρημα

μέσης τιμής, αν µία συνάρτηση όπως η h(x)-g(x) έχει σταθερά μηδενική

παράγωγο σε ένα διάστημα τότε είναι σταθερή

Βασικές έννοιες και ορισμοί του αόριστου ολοκληρώματος.

Ορισμός 1 : Έστω συνάρτηση f(x) με πεδίου ορισμού το G και μία συνάρτηση

F(x) για την οποία

(1)

Για κάθε x από το πεδίο ορισμού G της f(x). Η συνάρτηση F(x) λέγεται

παράγουσα της συνάρτησης f(x). Η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί και ως εξής:

(2) dF = f(x)dx




Ορισμός 2: Το σύνολο όλων των παραγουσών συναρτήσεων της δεδομένης

συνάρτησης f(x) λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και συμβολίζεται με

Κατά συνέπεια θα ισχύει ότι:

(3)

Όπου F(x) είναι τυχαία παράγουσα συνάρτησης της f(x), ενώ c είναι τυχαίος

πραγματικός αριθμός.

Ορισμός 3: Η συνάρτηση f(x) στην ισότητα (3) λέγεται συνάρτηση

ολοκλήρωσης.

Ορισμός 4: Η έκφραση f(x)dx στην ισότητα (3) λέγεται υπό ολοκλήρωση

έκφραση.

Ορισμός 5: Η μεταβλητή x στην ισότητα (3) λέγεται ολοκληρωτική μεταβλητή.

Θεώρημα: Αν η συνάρτηση είναι παράγουσα της συνάρτησης , η

συνάρτηση , όπου c R , επίσης είναι παράγουσα της συνάρτησης f(x).

Υπολογισμός βασικών ολοκληρωμάτων

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)




10)

11)

12)

Ιδιότητες αόριστου ολοκληρώματος

1)

2)

3)

4)

5)


Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα :

i. dxea xx ii. xdxx

iii.

dx

x

x2

1


i. ca

eac

ea

eac

ae

aedxaedxea

xxxxxxxx

1lnlnln)ln(

)()(

ii. cxxxxdxxxxxdxdxx

iii.

dx

x

x

x

x

xdx

x

xxdx

x

xdx

x

x2

2

222

2

2

222121)1(1

dxdxx

dxxdxdxx

dxx

dxxx

12

211

21 2

22




cxxx

ln21


i.

ii.

iii.





i. Αδυναμία του προγράμματος για την συγκεκριμένη άσκηση.

ii.




iii.


Συγκρίνοντας τα δύο προγράμματα μεταξύ τους βλέπουμε πως το

Mathematica λειτουργεί καλύτερα σε σχέση με το Geogebra, το οποίο έχει

αδυναμία στην επίλυση ορισμένων ασκήσεων.




4.5 Ορισμένο ολοκλήρωμα και εφαρμογή στον υπολογισμό

εμβαδών χωρίων

4.5.1 Τι είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα;

Γενικός Ορισμός

Έστω ότι η f(x) είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [a,b].

Χωρίζουμε το διάστημα [a,b] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+1 σημεία

τέτοια ώστε

a=x0<x1<…<xn-1<xn=b

Το σύνολο P={x0<x1<…<xn-1<xn} ονομάζεται διαμέριση του

διαστήματος [a,b]. Η διαμέριση αυτή ορίζει n κλειστά υποδιαστήματα [x0,x1],

[x1,x2],…, [xn-1,xn] με πλάτη Δx1, Δx2,..., Δxn όπου Δxk=xk- xk-1 το καθένα.

Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων προσεγγίζουν το εμβαδόν του

χωρίου που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης και του άξονα

xx’. Καθένα από αυτά τα εμβαδά ισούται με f(ck) .Δxk όπου το (ck ,f(ck)) είναι

σημείο της καμπύλης το οποίο ανήκει στο διάστημα [xk-1,xk].

Ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων:

1.

2. +

3.

4.

5. f(x)




Πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Αν η f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε η συνάρτηση

F(x)= είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και ισχύει:

Δεύτερο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Αν η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [α,β], και F είναι ένα αόριστο

ολοκλήρωμα της f(x), τότε


Να υπολογιστούν τα ακόλουθα ορισμένα ολοκληρώματα:

i. dxx

x

1

0

2

3

1 ii. dx

x

2

02 2

1


i.

2

1

0

2

22

1

0

2

21

0

2

3

1

11

2

1

12

1

1dx

x

xdx

x

xdx

x

x

2

1

0

2

1

0

22

1

0

2

2

1

0

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1dx

xdxdx

xdx

x

x

)01ln(11ln2

101

2

1)1ln(

2

1][

2

1 22221

0

21

0

2 xx

)2ln1(2

12ln

2

1

2

1

ii.

200ln2

2

2

2

2ln2ln

2

22

2

0

2

2

2

0

2

2xx

x

dx




2ln

2

102ln2ln

2

5

2

2ln2ln2

2

1

2

2ln

2

51ln


i.

ii.




4.5.5 Λύση με GeoGebra

i.




ii.


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τις ευθείες x=0, x=2 και τις

γραφικές παραστάσεις των καμπύλων y=2x και y=2x-x

2.


Αφού 2x-x22

x, για x[0,2], τότε το εμβαδόν θα είναι ίσο με:

2

0

2

0

32

2

0

2

3

4

2ln

3

32ln

222

xxdxxxS

xx


Δεν υπάρχει η δυνατότητα να λυθεί η άσκηση με το Mathematica.






Ενώ στον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων και τα δύο

προγράμματα λύνουν ισάξια τις ασκήσεις, στον υπολογισμό εμβαδών χωρίων, το

πρόγραμμα που λειτουργεί αποτελεσματικά είναι το GeoGebra.

4.6 Μιγαδικοί Αριθμοί

4.6.1 Τι είναι μιγαδικός αριθμός;

Στα Μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου

των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται

φανταστική μονάδα. Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

z=(α,β)=α+βi, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται

πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.

Αυτά συμβολίζονται αντίστοιχα ως Re(z)=α και Im(z)=β. Για τους μιγαδικούς




αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του

πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς.


Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 31 , 2 3 , 3 2z i z i z i . Να υπολογιστούν

τα ακόλουθα:

α) 1 2z z β) 1 3z z γ)

1 2z z δ) 1 2 1 2z z z z ε)

1 2 3z z z


α) 1 2 1 2 3 1 2 1 3 3 2z z i i i i

β) 1 3 1 3 2 1 3 1 2 2z z i i i i

γ)

1 2 1 2 3 1.2 1. 3 1. 3 1.2

2 3 3 2 5

z z i i i

i i

δ)

1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5

3 5 2 1 2

z z z z z z z z i i

i i

ε)

1 2 3 1 2 3 5 3 2 5.3 1.2 5.2 1 3

15 2 10 3 17 7

z z z z z z i i i

i i





α) 21 zz

β) 31 zz




γ) 21 * zz

δ) 2121 * zzzz




ε) 321 ** zzz


α) 21 zz




β) 31 zz

γ) 21 * zz




δ) 2121 * zzzz




ε) 321 ** zzz


Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 23 , 1z i z i . Να υπολογιστεί το πηλίκο 2

1

z

z.


2

2 2 2 2

1

3.1 1. 1 3. 1 1.13 3 1 3 1 2 4 1 2

1 3 1 3 1 9 1 9 1 10 10 5 5

z ii i i i

z i





Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 2z i και 2w i . Να υπολογιστούν τα

ακόλουθα: , , , z w z w z w .


2 2z i i , 2 2 2w i i i , 2 2 4 4z w i i και

επίσης 2 2 2 2 2 2 4z w i i i i i i .







Στους μιγαδικούς αριθμούς το πρόγραμμα Mathematica μπορεί να κάνει

τις πράξεις και να επιλύσει τις ασκήσεις, όμως δεν μπορεί να εμφανίσει σε σχήμα

τα αποτελέσματα. Αντίθετα το πρόγραμμα GeoGebra δεν μπορεί να κάνει τις

πράξεις, πρέπει να πληκτρολογηθούν από τον χρήστη, όμως το εν λόγω

πρόγραμμα μπορεί να εμφανίσει την γραφική αναπαράσταση των μιγαδικών

αριθμών και ο χρήστης να έχει και οπτική επίλυση της άσκησης.




4.7 Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Εξισώσεων

4.7.1 Τι είναι το Γραμμικό Σύστημα Εξισώσεων;

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή ανισώσεων ή γραμμικό σύστημα είναι

ένα σύνολο από γραμμικές εξισώσεις ή ανισώσεις με του ίδιους αγνώστους, τους

οποίους προσπαθούμε να προσδιορίσουμε ώστε να επαληθεύουν όλες οι

εξισώσεις ή ανισώσεις του συνόλου. Η πιο απλή περίπτωση γραμμικού

συστήματος είναι όταν έχουμε δύο άγνωστες μεταβλητές π.χ.:

342

243

yx

yx

ή ανισώσεων 342

243

yx

yx

Ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων μπορεί να είναι αδύνατο (να μην έχει

δηλαδή καμία λύση), να έχει μοναδική λύση ή να είναι αόριστο (να έχει δηλαδή

άπειρες λύσεις).


Με τη βοήθεια της μεθόδου Grammer, να λυθεί το ακόλουθο 3x3 γραμμικό

σύστημα εξισώσεων:

1233

323

9232

121

321

321

xxx

xxx

xxx


2 3 2

3 2 1

3 3 2

A

,

1

2

3

x

x x

x

, και

9

3

1

B

με Ax b .

Οπότε θα έχουμε τα ακόλουθα, σχετικά με τις απαραίτητες ορίζουσες:

2 3 2

| | 3 2 1 1 0

3 3 2

A

, 1

9 3 2

| | 3 2 1 8

1 3 2

A

,




72

213

133

292

2

A και 3

2 3 9

| | 3 2 3 131

3 3 1

A

.

Άρα 1

1

| | 88

| | 1

Ax

A

, 72

1

722

2 A

Ax και 3

3

| | 131131

| | 1

Ax

A .

Συνεπώς η λύση του συστήματος αυτού είναι η 1 2 3, , 8,72,131x x x .



Δεν υπάρχει δυνατότητα επίλυσης της συγκεκριμένης άσκησης με το πρόγραμμα

GeoGebra.





Με τη βοήθεια της μεθόδου του αντίστροφου πίνακα να λυθεί το ακόλουθο 3x3

γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

02

222

12

321

321

321

xxx

xxx

xxx


Ορίζεται ο πίνακας:

121

212

121

Η ορίζουσα αυτού του πίνακα Α ισούται με 06 A .

Κατόπιν υπολογίζουμε τις ακόλουθες ελάσσονες ορίζουσες:

312

21)1( 11

11 A

,

412

12)1( 12

21

A

,

521

12)1( 13

31

A

,

011

22)1( 21

12 A

,

211

11)1( 22

22

A

,

422

11)1( 23

32

A

,

321

12)1( 31

13 A

,




021

21)1( 32

23 A

,

312

21)1( 33

33 A

.

Με βάση όσα έχουμε αναφέρει, θα έχουμε:

303

420

543

332313

322212

312111

AAA

AAA

AAA

C

Κατά συνέπεια, ο αντίστροφος του πίνακα Α θα ισούται με:

2

10

2

13

2

3

10

6

5

3

2

2

1

303

420

543

6

111 CA

A

Τότε, με βάση τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα, η λύση του

συστήματος θα είναι η ακόλουθη:

6

115.0)4(*2)3(*1

6

1)(

13132121111

AbAbAb

Ax

,

3

2)4(*02*20*1

6

1)(

13232221212

AbAbAb

Ax

, και

2

1)3(*00*23*1

6

1)(

13332321313

AbAbAb

Ax

.

Επομένως η λύση του εν λόγω συστήματος είναι η

)2

1,3

2,

6

11(),,( 321 xxx

.







GeoGebra.


Με τη βοήθεια της μεθόδου Gauss – Jordan, να λυθεί το ακόλουθο 3x3 γραμμικό

σύστημα εξισώσεων:

12

12

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx





2 2 1

3 1 3

1 1 2

3 2 3

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 1 0 1 3 1

2 1 1 1 2 1 1 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

0 1 3 1 0 1 3 1

0 3 3 3 3 0 0 12 6

A

1 3 1

2 2 3

1 1

2 2

3 3

1 0 5 3 5 12 12 0 0 6

0 1 3 1 0 1 3 1 4

0 0 12 6 0 0 12 6

11 0 0

212 0 0 6 : 121

0 4 0 2 : 4 0 1 02

0 0 12 6 : 1121

0 0 12

Οπότε, από την 3η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου

επαυξημένου πίνακα, βάσει την Παρατήρηση 14, συνεπάγεται ότι:

3

1

2x .

Τότε από τη 2η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου

πίνακα συνεπάγεται ότι:

2

1

2x .

Έτσι από την 1η γραμμή του τελευταίου μετασχηματισμένου επαυξημένου

πίνακα συνεπάγεται ότι:

1

1

2x .

Συνεπώς η λύση του συστήματος αυτού είναι η

1 2 3

1 1 1, , , ,

2 2 2x x x

.







GeoGebra.


Να λυθεί το ακόλουθο 3 3 γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

2 3

1 2 3

1 2 3

1

0

2 2 1

x x

x x x

x x x





1 2

3 1 3

3 3

0 1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 0 0 1 1 1

2 2 1 1 2 2 1 1 2

1 1 1 0 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 3 1 : 3 10 0 1

3

A

Οπότε 3

1

3x ,

2 3 2

41

3x x x και

1 2 3 1

50

3x x x x .




GeoGebra.





Το λογισμικό Mathematica είναι πραγματικά πάρα πολύ χρήσιμο για την

επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων. Οποιαδήποτε μέθοδος και να

χρησιμοποιείται με πολύ απλές εντολές το πρόγραμμα κάνει εύκολα τις πράξεις

και εμφανίζει τα ακριβή αποτελέσματα. Αντίθετα το λογισμικό GeoGebra δεν

μπορεί να επιλύσει τα γραμμικά συστήματα εξισώσεων λόγω δυσχέρειας του

λογισμικού για τρισδιάστατη σχεδίαση σε συστήματα εξισώσεων τρίτου βαθμού.

4.8 Πίνακες

4.8.1 Τι είναι πίνακας;

Στα Μαθηματικά ένας πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών,

συμβόλων ή εκφράσεων, διατεταγμένες σειρές και στήλες. Με μορφή:

Α=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Ο πίνακας αυτός λέμε ότι έχει διάσταση m x n.Ο πίνακας συμβολίζεται συνήθως

με ένα κεφαλαίο ελληνικό ή αγγλικό γράμμα. Οι αριθμοί ij( i=1, 2, …, m και

j=1, 2, …, n) λέγονται στοιχεία του πίνακα.

Αν ij R, τότε ο πίνακας λέγεται πραγματικός πίνακας, ενώ αν ij

C

τότε ο πίνακας λέγεται μιγαδικός πίνακας. Τα στοιχεία ij, 2i ,…, in

( i=1, 2,

…, m) αποτελούν την i γραμμή του πίνακα, ενώ τα στοιχεία mjjj ,...,, 21 (j=1,

2, …, n) αποτελούν την j στήλη του πίνακα. Οι αριθμοί m και n λέγονται

διαστάσεις

του πίνακα. Ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από μηδενικά στοιχεία, δηλαδή

ij=0, λέγεται μηδενικός πίνακας και συμβολίζεται με Ο.




Αν στον πίνακα, αλλάξουν αμοιβαία τα στοιχεία των γραμμών και των

στηλών, τότε προκύπτει ένας νέος πίνακας, ο οποίος ονομάζεται ανάστροφος.

Αυτός είναι ο ανάστροφος πίνακας:

mnnn

m

m

...

............

...

...

21

22212

12111

Αυτός είναι ένας πίνακας με διαστάσεις n x m. Έτσι συμπεραίνουμε ότι

)( .

Αν m=n, τότε ο πίνακας λέγεται τετραγωνικός πίνακας και ο αριθμός n λέγεται

τάξη ή σειρά του πίνακα. Τα στοιχεία nn ,...,, 2211 αποτελούν την διαγώνιο του

πίνακα. Αν όλα τα στοιχεία τα οποία δεν ανήκουν στη διαγώνιο ενός

τετραγωνικού πίνακα ισούνται με το μηδέν, τότε ο πίνακας λέγεται διαγώνιος

πίνακας.


Δίνονται οι πίνακες

1 2 3

3 4 3

2 1 5

A

,

2 3 7

2 4 0

1 2 3

B

.

Να υπολογιστεί ο πίνακας C A B .


1 2 3 2 3 7 1 2 2 3 3 7 3 5 4

3 4 3 2 4 0 3 2 4 4 3 0 5 0 3

2 1 5 1 2 3 2 1 1 2 5 3 3 1 2

C A B







Δίνεται ο πίνακας:

520

312

Να υπολογιστεί ο πίνακας C = 2*A.





2 1 3 4 2 62.2 2. 1 2.32 2

0 2 5 0 4 102.0 2.2 2.5C A







Δίνονται οι πίνακες:

21

32

,

12

42

Να υπολογιστούν οι πίνακες C=A*B και D=B*A.


2 3 2 4 10 112 .2 3 .2 2 4 3 .1

1 2 2 1 6 61.2 2.2 1.4 2.1C

2. 2 4.1 2. 3 4.22 4 2 3 0 2

2. 2 1.1 2. 3 1.22 1 1 2 3 4D







Δίνονται οι πίνακες

1 3

4 12A

και 2 3

1 0B

.

Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: A B , T

A B , TA , TB , και T TA B .


1 3 2 3 3 0

4 12 1 0 5 12A B

,

3 5

0 12

TA B

,

1 4

3 12

TA

,

2 1

3 0

TB

και 1 4 2 1 3 5

3 12 3 0 0 12

T TA B

.

Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι T T TA B A B .





A+B

(Α+Β)




B





Το Mathematica λύνει εύκολα τις πράξεις πινάκων και εμφανίζει τα

αποτελέσματα. Αντίθετα το GeoGebra δεν μπορεί να υπολογίσει τον ανάστροφο

πίνακα, έτσι ο χρήστης πρέπει να εισάγει μόνος του τους πίνακες και έπειτα από

τους πίνακες αυτούς μπορεί να εκτελέσει στο πρόγραμμα τις πράξεις των

πινάκων.

4.9 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, τόποι, πεδία ορισμού

4.9.1 Τι είναι η συνάρτηση;

Στα μαθηματικά, συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται

διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, που καλούνται σύνολο

ορισμού και σύνολο τιμών, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού

αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του πεδίου τιμών. Αν είναι μια

συνάρτηση από ένα σύνολο σε ένα σύνολο , γράφουμε .

Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθη στα μαθηματικά από τον

θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό

μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 1694.

Οι όροι συνάρτηση και απεικόνιση είναι συνώνυμοι. Ο πρώτος

χρησιμοποιείται περισσότερο στην στοιχειώδη άλγεβρα και τον απειροστικό

λογισμό, ενώ ο δεύτερος στα διακριτά μαθηματικά.


Να υπολογιστούν τα επαναληπτικά όρια της συνάρτησης f(x,y)= , για (x,y) να

τείνει στο σημείο Ο(0,0.)





= = =

= = =




GeoGebra.


Να υπολογιστούν τα όρια των ακόλουθων συναρτήσεων:


i. Θέτουμε x=ρσυνφ, y=ρημφ για τα οποία

=

=




Ισχύει ότι:

ii. Θέτουμε x=ρσυνφ, y=ρημφ. Αν x→+∞ και y→+∞, τότε, ανεξαρτήτου το τι τιμή

λαμβάνει η γωνία φ, το ρ θα τείνει και αυτό στο +∞ και κατά συνέπεια:


i.




ii.



GeoGebra.


Το Mathematica έχει φανερό πλεονέκτημα σε σχέση με το GeoGebra στην

επίλυση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, καθώς το GeoGebra δέχεται μόνο

μία μεταβλητή ως όρισμα.

4.10 Μερική Παράγωγος

4.10.1 Τι είναι η παράγωγος;

Η παράγωγος μιας συνάρτησης με πραγματική μεταβλητή είναι ένα μέτρο

που εκφράζει τη μεταβολή της τιμής της συνάρτησης (μια συνάρτηση

ή εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία προσδιορίζεται από μια άλλη ποσότητα

(η ανεξάρτητη μεταβλητή). Είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο του λογισμού. Για

παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ενός κινητού αντικειμένου σε σχέση με το

χρόνο είναι η ταχύτητα του αντικειμένου: η οποία μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η

θέση του αντικειμένου όταν ο χρόνος προχωρήσει. Η παράγωγος μετρά

τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, όπως διακρίνεται από

τον μέσο ρυθμό μεταβολής, και ορίζεται ως το όριο του ρυθμού μεταβολής της




συνάρτησης όπου το μήκος του διαστήματος που ορίζεται ο μέσος όρος τείνει στο

μηδέν.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης με επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει

την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σε αυτή τιμή εισόδου.

H παράγωγος σε ένα σημείο της συνάρτησης μιας μεταβλητής είναι

η κλίση της εφαπτομένης γραμμής στην γραφική παράσταση της στο σημείο

αυτό.

Η έννοια της παραγώγου μπορεί να γενικευθεί σε συναρτήσεις πολλών

πραγματικών μεταβλητών. Η παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών

είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που ονομάζεται διαφορικός πίνακας. Η

αναπαράσταση του πίνακα είναι ένας Ιακωβιανός πίνακας, ο οποίος μειώνει την

κλίση του διανύσματος στην περίπτωση πραγματικής συνάρτησης πολλών

μεταβλητών.

Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται παραγώγιση. Η

αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται αντιπαραγώγιση. Το Θεμελιώδες Θεώρημα

του λογισμού αναφέρει ότι η αντιπαραγώγιση είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα.

Παραγώγιση και ολοκλήρωση αποτελούν δυο βασικές λειτουργίες στο λογισμό.


Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης ως προς x και ως προς y των

ακόλουθων συναρτήσεων δύο ανεξάρτητων μεταβλητών:

i. )()( 2yxyxexf y

ii. yxexf xy 2)(





i.

ii.





Να υπολογιστούν οι τιμές των πρώτων μερικών παραγώγων ως προς x, και ως

προς y της συνάρτησης 2 3( , )f x y x y στο σημείο Α(-1,1).


32f

xyx

, οπότε 3

( 1,1)

2.( 1).1 2f

x

.

2 23f

x yy

οπότε 2 2

( 1,1)

3.( 1) .1 3f

y

.







Τόσο το Mathematica όσο και το GeoGebra επίλυσαν τα μαθηματικά

προβλήματα με άνεση και ευκολία.

4.11 Αναπτύγματα δυναμοσειράς Taylor

4.11.1 Τι είναι η δυναμοσειρά Taylor;

Στα μαθηματικά, σειρά Τέιλορ (αγγλ. Taylor series) είναι η

αναπαράσταση μίας συνάρτησης ως άθροισμα απείρων όρων οι οποίοι

υπολογίζονται από τις τιμές των παραγώγων της σε ένα συγκεκριμένο σημείο.

Η έννοια της σειράς Τέιλορ καθιερώθηκε επισήμως από τον Άγγλο

μαθηματικό Μπρουκ Τέιλορ (Brook Taylor) το 1715. Αν η σειρά έχει κέντρο

το μηδέν, τότε η σειρά ονομάζεται επίσης σειρά Maclaurin, η οποία το όνομά της

το πήρε από τον Σκωτσέζο μαθηματικό Κόλιν Μακλόριν ο οποίος έκανε

εκτεταμένη χρήση αυτής της ειδικής περίπτωσης των σειρών Taylor τον 18ο

αιώνα.

Είναι κοινός πρακτικό να χρησιμοποιείται πεπερασμένος αριθμός από

τους όρους της σειράς Τέιλορ για να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση. Το θεώρημα

του Τέιλορ δίνει ποσοτικές εκτιμήσεις για το σφάλμα της προσέγγισης. Κάθε

πεπερασμένος αριθμός αρχικών όρων της σειράς ονομάζεται πολυώνυμο Taylor.

Η σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης ισούται με το όριο του πολυωνύμου Τέιλορ

αυτής της συνάρτησης, υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Μία συνάρτηση

ενδέχεται να μην ισούται με την ίδια την σειρά Τέιλορ της, έστω και αν η Τέιλορ

σειρά της συγκλίνει σε κάθε σημείο. Μία συνάρτηση η οποία είναι ίση με την ίδια

τη σειρά Τέιλορ της σε ένα ανοιχτό διάστημα (ή σε ένα δίσκο στο μιγαδικό

επίπεδο) είναι γνωστή ως μια αναλυτική συνάρτηση.





Να βρεθεί το ανάπτυγμα της σειράς της f(x)= , στο σημείο με τετμημένη 2 στη

δύναμη 2.


Ο γενικός τύπος Taylor είναι ο εξής:

nn

axn

afax

afax

afafxf )(

!

)(...)(

!2

)(')(

!1

)(')()(

)(2

1)1(

)()!1(

)(

nn

axn

af

f(x)=f(a)+Στην εν λόγω άσκηση θα έχουμε ότι α=2 και n=2. Συνεπώς το

ανάπτυγμα Taylor, λαμβάνοντας επίσης υπόψη ότι

,)('',)(' xx exfexf θα ισούται με:

22

22222

2 )2(2

)2()2(!2

)2(!1

)( xe

xeexe

xe

exf

4.11.4 Λύση με Mathematica

Δεν γίνεται η συγκεκριμένη άσκηση με το πρόγραμμα Mathematica.





4.12 Διπλά Ολοκληρώματα


Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα

2

P

I x ydxdy ,

αν το P ορίζεται από τις ανισώσεις 0 x 1 και 0 y 2.


21 2 1 1 12

2 2 2 2 2 2

000 0 0 0 0

11 3 3 32

0 0

1 1 14

2 2 2

4 1 0 22 2 .

2 3 3 3 3

I x ydy dx x y dx x y dx x dx

xx dx







2 2

P

I x y dxdy ,

αν το P είναι η περιοχή–σχήμα που ορίζεται από τις ανισοτικές σχέσεις

11 2 και x y x

x .


2 2 2 32 2 2 2 2

11 11 1 1

22 2 62 3 5

3

1 1 1

3

1 1 1 1 1 1 63ln ln 2 .

3 3 3 6 3 6

xx x

xx x

yI x y dy dx x y dy dx x dx

xx x dx x dx x

x x







2

P

I x y x dxdy , αν

2

2:

0 1

y x

P x y

x

.


Αφού 0 1x , συνεπάγεται ότι 2x x . Επομένως:

2 2

2 0

y x x y x

xx y

Επίσης

2 4 3

2

0 1 0

1 1 0 1 0

x x x x x x

x x x x x

αφού 2 1 0,x x x R .




Βάσει τις προηγούμενες ανισοτικές σχέσεις, το σύνολο P ως

καμπυλόγραμμο τραπέζιο γράφεται ως

2

0 1:

xP

x y x

.

2 2

1 1 1 72 3 62 2 3 52

0 0 0

1.

2 2 2 504

xx

x x

y x xI x y x dy dx x x y dx x x



Το πρόγραμμα Mathematica μπορεί να επιλύσει τα διπλά ολοκληρώματα

και να εμφανίσει τα αποτελέσματα στην οθόνη. Από την άλλη όμως η επίλυση

διπλού ολοκληρώματος είναι αδύνατο με το πρόγραμμα GeoGebra





Προτάσεις για την ένταξη των δυο αυτών μαθηματικών

λογισμικών υπό μορφή εργαστηρίου – επικουρικά κατά την

διδασκαλία των μαθηματικών σε επίπεδο ΤΕΙ

5.1 Εισαγωγή στην εκμάθηση των λογισμικών

Σε αυτό το κεφάλαιο οργανώνονται επικουρικά δυο εργαστηριακά

μαθήματα με στόχο την εκμάθηση των λογισμικών Geogebra και Mathematica.

Τα δυο εργαστήρια θα διδάσκονται με την παράδοση του θεωρητικού μαθήματος

καθώς και με την υλοποίηση αυτών στο αντίστοιχο λογισμικό. Θα δημιουργηθούν

ωριαία διδακτικά πλάνα μαθήματος 11 εβδομάδων (ένα ακαδημαϊκό εξάμηνο), τα

οποία θα περιέχουν την παράδοση του θεωρητικού μέρους, την υλοποίηση αυτών

στο αντίστοιχο λογισμικό καθώς και ασκήσεις, που θα περιέχονται σε κάθε

κεφάλαιο, για την επίλυση στο σπίτι.

5.2 GeogGebra

5.2.1 Μάθημα 1ο: Εισαγωγή στην GeoGebra

Στο πρώτο αυτό κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή για το λογισμικό

Geogebra καθώς και για τις δυνατότητες του λογισμικού. Στο περιβάλλον της




Geogebra υπάρχουν έξι τμήματα τα οποία είναι: το παράθυρο γεωμετρίας, η

γραμμή μενού, το πλαίσιο επιλογών, το παράθυρο άλγεβρας, το μενού γεωμετρίας

και το πεδίο εισαγωγής. Στο παράθυρο γεωμετρίας παρουσιάζονται οι γραφικές

αναπαραστάσεις που έχουμε δημιουργήσει. Στη γραμμή μενού υπάρχουν διάφορα

εργαλεία για το λογισμικό. Το πλαίσιο επιλογών μας δίνει την δυνατότητα να

σχεδιάσουμε διάφορα σχήματα και να επέμβουμε στην τροποποίηση τους. Ακόμη

στο παράθυρο της άλγεβρας εμφανίζονται πληροφορίες που αφορούν το σχήμα

που έχουμε δημιουργήσει στο παράθυρο της γεωμετρίας. Το μενού γεωμετρίας

μας προσφέρει την δυνατότητα να σχεδιάσουμε άμεσα το σχήμα μας. Τέλος στο

πεδίο εισαγωγής μπορούμε να πληκτρολογήσουμε οποιαδήποτε εντολή

χρειαζόμαστε για την δημιουργία του σχεδίου μας. Ακόμη από το πλαίσιο

επιλογών, επιλέγοντας τις ιδιότητες ο χρήστης μπορεί να τροποποιήσει το χρώμα,

το μέγεθος, το στυλ, το πάχος γραμμής και το γέμισμα των αντικειμένων. Επίσης

στο παράθυρο γεωμετρίας υπάρχει η δυνατότητα να τροποποιηθούν οι άξονες

(εμφάνιση/απόκρυψη), να γίνει εμφάνιση ή απόκρυψη του πλέγματος, να

πραγματοποιηθεί μεγέθυνση ή σμίκρυνση του σχεδίου, να γίνει αλλαγή της

τετμημένης και της τεταγμένης, να εμφανιστούν όλα τα σχεδιασμένα αντικείμενα,

μπορεί ακόμη να γίνει επαναφορά στην αρχική προβολή των αντικειμένων και

τέλος να τροποποιηθεί η εμφάνιση των αξόνων.

5.2.2 Μάθημα 2ο: Σημεία και ευθείες

Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνουμε πώς να δημιουργούμε σημεία, να

βρίσκουμε την τομή δυο αντικειμένων καθώς και να βρίσουμε το μέσο αυτών των

σημείων. Ακόμη υλοποιείται η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία, το τμήμα

των δυο σημείων, ή με δοσμένο το μήκος, την ημιευθεία δυο σημείων, το

διάνυσμα και το διάνυσμα από σημείο.

Άσκηση 1η

Να κατασκευαστούν δυο σημεία Α και Β και να βρεθεί το μέσο τους.

Άσκηση 2η

Να δημιουργηθεί τμήμα μεταξύ δυο σημείων και να βρεθεί το μέσο της.




Άσκηση 3η

Να δημιουργηθεί τμήμα με δοσμένο μήκος από σημείο.

5.2.3 Μάθημα 3ο: Ευθείες και πολύγωνα

Στο 3ο κεφάλαιο δημιουργούμε ευθεία και μπορούμε να δημιουργήσουμε

μια κάθετη ευθεία, την παράλληλη ευθεία, την μεσοκάθετο, τη διχοτόμο γωνίας,

τις εφαπτόμενες, την διαμετρική ευθεία, την καλύτερη κατάλληλη γραμμή και τον

γεωμετρικό τόπο. Ακόμη μαθαίνουμε την δημιουργία πολυγώνου, κανονικού

πολύγωνου, σταθερού περιστρεφόμενου πολυγώνου και πολύγωνο διανυσμάτων.

Άσκηση 1η

Να κατασκευαστεί μια ευθεία και να δημιουργηθεί η παράλληλη της σε

απόσταση 2cm.

Άσκηση 2η

Να δημιουργηθεί μια ευθεία και να βρεθεί κάθετη και η μεσοκάθετη της.

Άσκηση 3η

Να δημιουργηθεί πολύγωνο Α,Β,Γ,Δ,Ε και να βρεθεί η διχοτόμος της Α και της

Δ.

5.2.4 Μάθημα 4ο: Κυκλικές και κωνικές τομές

Σε αυτό το κεφάλαιο θα δημιουργήσουμε κύκλο που διέρχεται από

σημείο, κύκλο με κέντρο και ακτίνα, διαβήτη, κύκλο που διέρχεται από τρία

σημεία, ημικύκλιο, κυκλικό τόξο με κέντρο που διέρχεται από δυο σημεία,

περίμετρο κυκλικού τομέα που διέρχεται από τρία σημεία. Ακόμη θα δούμε τις

κωνικές τομές, την έλλειψη, την υπερβολή, την παραβολή, την κωνική τομή που

διέρχεται από 5 σημεία.

Άσκηση 1η

Να δημιουργηθεί κύκλος με ακτίνα 3cm.

Άσκηση 2η

Να γίνει περίμετρος κυκλικού τόξου που να διέρχεται από τα σημεία (2,3), (1,4),

(3,2).




Άσκηση 3η

Να κατασκευαστεί παραβολή με ένα τυχαίο σημείο Α.

5.2.5 Μάθημα 5ο: Αριθμοί, γωνίες και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Σε αυτό το κεφάλαιο θα σχεδιαστούν γωνίες, γωνίες με δοσμένο μέγεθος,

θα εμφανίζεται η απόσταση ή το μήκος δυο σημείων, το εμβαδόν, η κλίση μιας

ευθείας, θα δημιουργηθεί λίστα. Ακόμη θα εμφανίζετε το συμμετρικό

αντικειμένου ως προς μια ευθεία ή ως προς κάποιο σημείο, συμμετρία σημείου σε

κύκλου, περιστροφή αντικειμένου γύρω από σημείο με συντελεστή.

Άσκηση 1η

Να δημιουργηθεί πολύγωνο Α,Β,Γ,Δ,Ε να υπολογιστούν οι εσωτερικές γωνίες

του, καθώς και η απόσταση των πλευρών τους.

Άσκηση 2η

Να δημιουργηθεί γωνία 35ο.

Άσκηση 3η

Να βρεθεί το συμμετρικό του παραπάνω πολύγωνου (άσκηση 1η) ως προς την

ευθεία y=4x.

5.2.6 Μάθημα 6ο: Κείμενο, δρομέας και μετακίνηση προβολής γραφικών.

Στο 6ο κεφάλαιο μπορούμε να δημιουργούμε κείμενα, να εισάγουμε

εικόνες, υπάρχει δυνατότητα ελεύθερης σχεδίασης, μπορεί να υπολογιστεί

πιθανότητα, να γίνει επιθεώρηση συνάρτησης. Τέλος με το τελευταίο εικονίδιο

του μενού, μπορούμε να δημιουργήσουμε κάποιο δρομέα, έχουμε την δυνατότητα

να εμφανίσουμε ή να αποκρύψουμε κάποιο αντικείμενο, να εισάγουμε κουμπί,

ακόμη μπορεί να προστεθεί κουτί εισαγωγής. Μπορούμε να κάνουμε μετακίνηση

της προβολής γραφικών, μεγέθυνση, σμίκρυνση, εμφάνιση ή απόκρυψη

αντικειμένων ή ετικετών, να γίνει αντιγραφή των ιδιοτήτων κάποιου αντικειμένου

σε κάποιο άλλο ή και να διαγραφή τελείως κάποιο αντικείμενο.

Άσκηση 1η

Να εισαχθεί μια εικόνα και ένα κείμενο για την εικόνα αυτή.




Άσκηση 2η

Να εισαχθεί ένα κουμπί, όπου όταν το πατάς θα εμφανίζεται η ευθεία y=2x.

Άσκηση 3η

Να δημιουργηθούν δυο πολύγωνα μορφοποιώντας το στυλ του ενός, έπειτα να

γίνει αντιγραφή του στυλ του στο άλλο.

5.2.7 Μάθημα 7ο: Άλγεβρα

Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις αριθμητικές πράξεις που

μπορούν να πραγματοποιηθούν καθώς και πως συμβολίζονται στο λογισμικό

Geogebra. Στις αριθμητικές πράξεις που μπορούν να πραγματοποιηθούν γίνεται

αναφορά για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό, την διαίρεση,

την δύναμη, το παραγοντικό και την παρένθεση. Ακόμη γίνεται αναφορά για την

εισαγωγή συνάρτησης, την τετμημένη, την τεταγμένη, την απόλυτη τιμή, το

πρόσημο, την ρίζα, τον λογάριθμο, το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη,

το τόξο κτλ.

Ακόμη γίνεται αναφορά για τις λίστες αντικειμένων, τις Boolean

μεταβλητές, τις ισότητες.

Άσκηση 1η

Να δημιουργηθεί λίστα με τέσσερα σημεία.

Άσκηση 2η

Να βρεθεί το εμβαδόν ενός πολυγώνου.

Άσκηση 3η

Να βρεθεί η απόσταση δυο σημείων Α και Β.

Άσκηση 4η

Έστω τρία σημεία Α, Β και Γ, να βρεθεί η γωνία που σχηματίζεται από τα

τμήματα ΒΑ και ΒΓ. Το σημείο Β είναι η κορυφή της γωνίας.




5.2.8 Μάθημα 8ο: Επιλογές και εργαλεία

Στο 3ο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στο μενού των επιλογών και στην

δημιουργία εργαλείων σχεδίασης. Στο μενού των επιλογών μπορεί να καθοριστεί

σε τι θα μετριούνται οι γωνίες, μπορούμε ακόμη να ρυθμίσουμε τα δεκαδικά

ψηφία από 0 έως 15, μπορούν να προστεθούν ετικέτες στα κατασκευασμένα

αντικείμενα, μπορεί να γίνει αλλαγή στο στυλ του σημείου, ακόμη γίνεται αλλαγή

στο στυλ των ορθών γωνιών, μπορεί να τροποποιηθεί η εμφάνιση των

συντεταγμένων, καθορίζεται το μέγεθος γραμματοσειράς της ετικέτας. Επίσης το

λογισμικό GeoGebra έχει την δυνατότητα χρήσης πολλών γλωσσών. Στα

εργαλεία υπάρχει η δυνατότητα δημιουργίας νέου εργαλείου, όπου μπορούμε να

καθορίσουμε το όνομα του εργαλείου και της εντολής. Ακόμη μπορεί να γίνει

διαγραφή ή τροποποίηση ενός αντικειμένου ή να γίνει αλλαγή της θέσης

εμφάνισης (εμφάνιση/απόκρυψη). Μπορούμε ακόμη να προσαρμόσουμε την

εργαλειοθήκη μας, να προσθέσουμε δηλαδή ή να αφαιρέσουμε κάποιο εργαλείο

σχεδίασης.

5.2.9 Μάθημα 9ο: Εκτύπωση και εξαγωγή σχεδίων

Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην εκτύπωση του σχήματος που

σχεδιάσαμε, καθώς επίσης και στην εξαγωγή του σχεδίου αυτού για την

χρησιμοποίηση του σε κάποιο άλλο λογισμικό. Εκτός από το βασικό σχέδιο που

θέλουμε να εκτυπώσουμε μπορούμε να εκτυπώσουμε και τίτλο συγγραφέα,

ημερομηνία, κλίμακα εκτύπωσης και προσανατολισμό. Ακόμη μπορούμε να

ορίσουμε την κλίμακα και την ανάλυση του αρχείου εξαγωγής και την μορφή που

θέλουμε να επιλέξουμε.

5.2.10 Μάθημα 10ο & 11

ο : Επαναληπτικά μαθήματα

Στα δυο τελευταία αυτά μαθήματα πραγματοποιούνται επαναληπτικές

ασκήσεις πάνω στην διδακτέα ύλη που έχει παραδοθεί. Ακόμη οι σπουδαστές

μπορούν να ρωτήσουν οποιεσδήποτε απορίες μπορεί να έχουν, μπορούν να

συζητηθούν μέσα στην τάξη, να αναλυθούν και αν δεν βρεθεί η λύση τους τότε ο

καθηγητής βοηθάει στην επίλυση αυτή. Γενικά τα δύο τελευταία αυτά μαθήματα




προσφέρονται ώστε να υπάρχει η σιγουριά ότι θα έχουν γίνει κατανοητά από

όλους τους σπουδαστές όλα όσα έχουν διδαχθεί στην θεωρία, αλλά και στο

πρακτικό κομμάτι του μαθήματος.

5.3 Mathematica

5.3.1 Μάθημα 1ο: Εισαγωγή στο Mathematica

Σε αυτό το πρώτο μάθημα γίνεται εισαγωγή στο λογισμικό Mathematica,

για την επίλυση μαθηματικών ασκήσεων με βασικούς υπολογισμούς. Γίνεται

αναφορά στους βασικούς συμβολισμούς καθώς και στις βασικές πράξεις που

δύναται να εκτελεστούν μέσω του λογισμικού προγράμματος Mathematica.

Ακόμη θα αναφερθούν κάποιες βασικές συναρτήσεις και πράξεις που μπορούν να

εκτελεστούν. Διδάσκονται επίσης κάποιες αλγεβρικές πράξεις, τα ακριβή και

προσεγγιστικά αποτελέσματα, οι μαθηματικές σταθερές, τα σύμβολα, οι

συγκρίσεις.

Άσκηση 1η

Να υπολογιστούν τα εξής:

α) 5-28

β) 125*3

γ) 42/6

δ) 215

ε) 5!

στ) να δείξετε αν ισχύει 25

=1245




Άσκηση 2η

Να υπολογιστούν με ακρίβεια τα εξής:

α) 210

(240

+230

)

β) 3ημ45ο + 5ln3

Άσκηση 3η

Να υπολογιστούν με ακρίβεια είκοσι δεκαδικών ψηφίων τα εξής:

α) 2

3

β) 75

5.3.2 Μάθημα 2ο

Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στην έννοια του συνόλου, στην

γραφική αναπαράσταση των ευθειών, στα στοιχεία αναλυτικής γεωμετρίας, στις

ακολουθίες, στις σειρές, στις προόδους, στο όριο ακολουθιών. Γίνεται αναφορά

στους βασικούς ορισμούς και τον υπολογισμό των συνόλων, στον υπολογισμό

των εξισώσεων των ευθειών, στον υπολογισμό των ακολουθιών και στον

υπολογισμό του ορίου.

Άσκηση 1η

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) f(x)= x2

-5x+6=0

β) f(x)= 3x2-9x+3=0




Άσκηση 2η

Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

α)

n

i

i1

2

β)

14

1

i i

Άσκηση 3η

Να υπολογιστούν:

α)

4

1i

ix

β)

8

1 3

22

k

n

kS


Σε αυτό το τρίτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην έννοια της συνάρτησης,

στο όριο και στην συνέχεια. Διδάσκεται ο τρόπος ορισμού μιας συνάρτησης, τη

δημιουργία της γραφικής της παράστασης, ο υπολογισμός του ορίου της

συνάρτησης με πραγματικό αριθμό, η έννοια των συναρτήσεων και οι ιδιότητες

των ορίων.

Άσκηση 1η

Να βρεθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2,0,)(1 xxxg




Άσκηση 2η

Να υπολογιστεί το όριο )(lim 1 xfx , αν 1

2)(

x

xxf

Άσκηση 3η

Να υπολογιστεί το όριο )(lim xfx , αν 1

1)(

2

x

xxxf


Σε αυτό το κεφάλαιο μελετάτε η έννοια της παραγώγου, η παραγωγισιμότητα και

η συνέχεια, οι παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων, οι κανόνες παραγώγισης, το

διαφορικό της συνάρτησης. Θα διδαχθεί ο τρόπος υπολογισμού της παραγώγου

και η παραγωγισιμότητα των παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων, καθώς και

οι κανόνες παραγώγισης. Ακόμη υλοποιείται η γραφική παράσταση παραγώγων,

διδάσκονται οι κανόνες παραγώγισης, όπως και το διαφορικό του παραγώγου και

η γραφικής της παράσταση.

Άσκηση 1η

Να υπολογιστεί η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης xx

xxf 2

ln)(

3 .

Άσκηση 2η

Να υπολογιστεί η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης )12()( xf .

Άσκηση 3η

Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των ακόλουθων συναρτήσεων:

(α) 1)( 2 xxf

(β) )4()( 5xxf

(γ)

3

12

5)(

x

xxf



Σελ. 100 από 108


Στο κεφάλαιο αυτό διδάσκεται η έννοια των παραγώγων αλλά και τα

ακρότατα της συνάρτησης, για την επίλυση μαθηματικών ασκήσεων

Γίνετε εισαγωγή στις εφαρμογές των παραγώγων, ο ορισμός στα ακρότατα της

συνάρτησης, η αριστοποίηση συνάρτησης μιας μεταβλητής, η γραφική

παράσταση των συναρτήσεων. Αναλύεται ακόμη ο τρόπος ορισμού των

παραγώγων, η εφαρμογή στα ακρότατα μιας συνάρτησης και γενικότερα η

αριστοποίηση μιας συνάρτησης μια μεταβλητής, γίνετε υπενθύμιση βασικών

εννοιών εφαρμογών παραγώγων και η αριστοποίηση των συναρτήσεων.

Άσκηση 1η

Να βρεθούν τα ελάχιστα των συναρτήσεων:

α) xxf 2)(

β) 4,2,62

5

3

1)( 23 xxxxxf

Άσκηση 2η

Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης xxf 2)(

Άσκηση 3η

Να βρεθούν τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης 262493)( 23 xxxf

και να προσδιοριστεί το είδος τους.


Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνουμε πώς να χρησιμοποιούμε την έννοια της

μερικής παραγώγισης δυο συναρτήσεων, τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών,

τις μερικές παραγώγους 1ης

και 2ης

τάξης, την γεωμετρική ερμηνεία των μερικών

παραγώγων, αριστοποίηση συνάρτησης δυο μεταβλητών, το ολικό διαφορικό, ο

τρόπος υπολογισμού των μεταβλητών και η γεωμετρική ερμηνεία των μερικών

παραγώγων. Ακόμη γίνετε υπενθύμιση βασικών εννοιών σχετικά με την ερμηνεία

των μερικών παραγώγων.



Σελ. 101 από 108

Άσκηση 1η

Να υπολογιστεί η μερική παράγωγος πρώτης τάξης ως προς x και ως προς y της

συνάρτησης xyyxf 2),( .

Άσκηση 2η

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης 20),( 22 yxyxf και να

προσδιοριστεί η φύση τους.

Άσκηση 3η

Να υπολογιστούν τα ακρότατα της ακόλουθης συνάρτησης:

1ln)( 2 xxxf .


Σε αυτό το μάθημα μαθαίνουμε να χρησιμοποιούμε να την έννοια του

αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Γίνετε ορισμός του αόριστου

ολοκληρώματος, των μεθόδων ολοκλήρωσης, του ορισμένου ολοκληρώματος.

Υπενθυμίζονται βασικές μαθηματικές έννοιες που αφορούν τα ολοκληρώματα,

των μεθόδων ολοκλήρωσης.

Άσκηση 1η

Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα:

α) xdx

β)

dx

x

xx

1

11

4

22

.



Σελ. 102 από 108

Άσκηση 2η

Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα

α)

1

0

2

3

1dx

x

x

β)

1

0

)1( dxex x

γ) 1

0

3 ln xdxx

Άσκηση 3η

Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα των συναρτήσεων

α) 2

3 1)(

xxxf

β) 4)32()( xxf

γ) 52

1)(

x

xf

δ) 32 )1(2)( xxxf

ε) x

xxf

ln)(

στ) 1

1)(

2

2

x

xxf


Σε αυτό το μάθημα μαθαίνουμε να χρησιμοποιούμε την έννοια των

διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και με χωριζόμενες μεταβλητές. Ακόμη

γίνετε υπενθύμιση κάποιων βασικών διαφορικών εξισώσεων με χωριζόμενες

μεταβλητές.



Σελ. 103 από 108

Άσκηση 1η

Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις

α) *,1)()(' axayxy

β) xxyxy )()('2

γ) 0)(2

1)(' xxyxy

Άσκηση 2η

Να λυθεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων )(3)()('

)()(3)('

tytxxy

tytxtx

.

Άσκηση 3η

Να λυθεί η διαφορική εξίσωση 0)(2)(')('' xyxyxy αν 1)0(,0)0(' yy .

5.3.9 Μάθημα 9ο, 10

ο & 11

ο

Στα τελευταία αυτά μαθήματα δίνονται κάποιες ασκήσεις για το σπίτι,

όπου οι μαθητές έχουν την υποχρέωση να ασχοληθούν στο σπίτι με αυτές, να

θέσουν τις απορίες τους ή τις δυσκολίες που αντιμετώπισαν. Ακόμη γίνονται

επαναληπτικές ασκήσεις σε όσα διδάχθηκαν όλο το εξάμηνο οι μαθητές, μπορούν

να ρωτήσουν τις απορίες που έχουν για επίλυση.



Σελ. 104 από 108

Συμπεράσματα

Από όλη την εργασία που εκπονήθηκε, συμπεραίνουμε ότι το κάθε

λογισμικό έχει τα δικά του πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Το κάθε ένα από

αυτά τα λογισμικά έχει διαφορετικές δυνατότητες και διαφορετικά σημεία

αδυναμίας.

Το Mathematica είναι καλύτερο σε πιο πολύπλοκες πράξεις, όπως είναι

για παράδειγμα τα διπλά ολοκληρώματα, μπορεί να κάνει πολύπλοκες πράξεις

εμφανίζοντας απευθείας το περιεχόμενο ακόμη και στρογγυλοποιημένο. Δίνει τη

δυνατότητα της επιλύσεις ασκήσεων με παραπάνω από μια μεταβλητή.

Το λογισμικό GeoGebra, είναι καλύτερο όταν θέλουμε να έχουμε και

γραφική αναπαράσταση των επιλυμένων ασκήσεων, οι σχηματικές αυτές

απεικονίσεις μπορούν να βοηθήσουν περισσότερο στην κατανόηση, καθώς επίσης

και σε ασκήσεις που η γραφικές παραστάσεις είναι απαραίτητες, όπως ο

υπολογισμός χωρίων, η εύρεση ακρότατων, η μελέτη συναρτήσεων και τα

αναπτύγματα Taylor.

Ακριβώς για τους προαναφερόμενους λόγους το GeoGebra χρησιμοποιείτε

περισσότερο σε ασκήσεις που έχουν να κάνουν με Γεωμετρία, δημιουργεί και

λύνει εύκολα ασκήσεις με σημεία, διανύσματα, ευθύγραμμα τμήματα, κωνικές

τομές και ευθείες αλλά και λίγο απλούστερες αλγεβρικές ασκήσεις.

Για αυτούς τους λόγους το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι το

GeoGebra είναι ένα λογισμικό που ανταποκρίνεται περισσότερο στη



Σελ. 105 από 108

δευτεροβάθμια εκπαίδευση όπου η απαιτήσεις των μαθηματικών είναι πιο

περιορισμένες.

Το Mathematica, από την άλλη μεριά, είναι ένα λογισμικό πιο

εξειδικευμένο στις πολύπλοκες ασκήσεις και στους απαιτητικούς αριθμητικούς

υπολογισμούς, οι οποίοι συναντιούνται κυρίως στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, το

οποίο όμως δεν έχει την ίδια ευχέρεια στην επίλυση Γεωμετρικών ασκήσεων.

Το κάθε πρόγραμμα είναι κατάλληλο αναλόγως τον σκοπό για τον οποίο

το χρησιμοποιούμε. Γνωρίζοντας τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα των

δύο αυτών λογισμικών μπορούμε να κάνουμε και τη σωστή επιλογή

προγράμματος αναλόγως των αναγκών μας και των απαιτήσεων των ασκήσεων

που έχουμε κάθε φορά προς επίλυση.

Τα δυο αυτά λογισμικά θα ήταν πολύ χρήσιμα αν χρησιμοποιούνταν για

την εκπαίδευση των μαθηματικών στα σχολεία ή σε ανώτερη εκπαίδευση.

Το GeoGebra θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στην δευτεροβάθμια

εκπαίδευση, θα βοηθούσε πάρα πολύ τους μαθητές στην εμπέδωση των

μαθηματικών ασκήσεων. Δίνοντάς τους την δυνατότητα να έχουν μια οπτική

απεικόνιση των αποτελεσμάτων των ασκήσεων. Η χρήση σύγχρονων τεχνολογιών

λειτουργεί καταλυτικά στην βελτίωση της απόδοσης των μαθηματικών στα

σχολεία. Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra δημιουργήθηκε από τον Markus

Hohenwanter το 2001, έχει μεταφραστεί σε περισσότερες από 25 γλώσσες. Δεν

υπάρχουν διαφορετικές εκδόσεις για κάθε υπολογιστή και είναι γραμμένο στην

γλώσσα java. Αποτελεί ελεύθερο λογισμικό ανοικτού κώδικα και επιτρέπει

δυναμικές αναπαραστάσεις διαφόρων εννοιών. Ενσωματώνει Γεωμετρία,

Άλγεβρα, Πίνακες, Γραφήματα και Λογισμό, σε ένα πακέτο εύκολο ως προς τη

χρήση. Ο χρήστης μπορεί αρκετά εύκολα να μάθει την χρήση του λογισμικού. Ο

χρήστης θα μπορεί να δημιουργεί γεωμετρικά σχήματα, να αξιοποιεί τα εργαλεία

του GeoGebra, για τη μέτρηση γωνιών, αποστάσεων, περιφέρειας κύκλου,

εμβαδού σχημάτων. Ακόμη υποστηρίζει τις κατασκευές με σημεία, γραμμές και

όλες τις κωνικές τομές. Το GeoGebra έχει πολλές δυνατότητες, όπως η εύρεση

ριζών, παραγώγων και την γραφική απεικόνιση τους. Η βασική ιδέα του

GeoGebra είναι να παρέχει δυο καταστάσεις για κάθε μαθηματικό αντικείμενο,



Σελ. 106 από 108

στο παράθυρο της άλγεβρας και στο παράθυρο με τα γραφικά. Εάν γίνει κάποια

αλλαγή ενός αντικειμένου σε κάποιο από αυτά τα δυο , τότε αμέσως

ενημερώνεται και το άλλο.

Το Mathematica απευθύνεται κυρίως στην τριτοβάθμια εκπαίδευση και

έχει σκοπό να εφοδιάσει τους μαθητές με τις βασικές γνώσεις γύρω από ένα πολύ

ισχυρό εργαλείο, για την αντιμετώπιση ενός μεγάλου πλήθους μαθηματικών

προβλημάτων. Είναι ένα πρόγραμμα που μπορεί να κάνει εκτός από αριθμητικές

και αλγεβρικές πράξεις. Για την εκμάθηση του απαιτείτε μεγαλύτερη ποσότητα

εξάσκησης, από ότι για το GeoGebra. Έτσι χρησιμοποιείτε συνήθως σε πιο

πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα.

.



Σελ. 107 από 108

Βιβλιογραφία

i. Δρ. Σάλτας Β. (2011). Μαθηματικά II Θεωρία και Πράξη. Αθήνα:

Κλειδάριθμος.

ii. Δρ. Σάλτας Β. (2013). Μαθηματικά I Θεωρία και Πράξη. Αθήνα:

Κωστόγιαννος.

iii. Δρ. Σάλτας Β.(2008). Σύγχρονη Διδασκαλία των Μαθηματικών.

Θεσσαλονίκη: Επίκεντρο.

iv. Δρ. Σάλτας Β.(2012). Mathematica Βοήθημα Χρήσης Λογισμικού. Αθήνα:

Συμμετρία.

v. Δρ. Σάλτας Β. (2012). GeoGebra Βοήθημα Χρήσης Λογισμικού, Αθήνα:

Συμμετρία.

http://www.physics.auth.gr/courses/137 (5/7/2014)

http://users.auth.gr/~voyatzis/DIFEQU/ (5/7/2014)

http://www.csd.auth.gr/undergraduate_studies.php (5/7/2014)

http://www.csd.auth.gr/course-info.php?id=13 (5/7/2014)

http://www.math.auth.gr/el/content/%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%

B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-

%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%B9%

CE%BA%CE%AC-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-

%CE%B3%CE%BB%CF%8E%CF%83%CF%83%CE%B5%CF%82-

http://www.physics.auth.gr/courses/137

http://users.auth.gr/~voyatzis/DIFEQU/

http://www.csd.auth.gr/undergraduate_studies.php

http://www.csd.auth.gr/course-info.php?id=13

http://www.math.auth.gr/el/content/%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%B3%CE%BB%CF%8E%CF%83%CF%83%CE%B5%CF%82-%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%AC%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7%CF%82-%CE%B3%CE%BD%CF%8E%CF%83%CE%B7%CF%82







Σελ. 108 από 108

%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%AC%

CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7%CF%82-

%CE%B3%CE%BD%CF%8E%CF%83%CE%B7%CF%82 (7/7/2014)

https://elearning.cs.unipi.gr/?id=146 (7/7/2014)

http://edu.eap.gr/pli/pli12/students.htm (7/7/2014)

Βιβλιογραφία για το λομισμικό Geogebra:

http://el.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

http://blog.geogebra.org/

http://www.geogebra.gr/gioa/

http://www.geogebra.gr/gioa/index.php/2012-10-16-16-18-03/2012-10-

16-16-18-55

http://www.mathman.gr/component/content/article/132.html

http://en.opensuse.org/GeoGebra

http://en.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

Βιβλιογραφία για το λομισμικό Mathematica:

http://www.wolfram.com/mathematica/

http://www.wolfram.com/company/mathematica-history.html

http://www.aueb.gr/users/mathpage/intromat/intro1/intro1_part1.html




https://elearning.cs.unipi.gr/?id=146

http://edu.eap.gr/pli/pli12/students.htm

http://el.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

http://blog.geogebra.org/

http://www.geogebra.gr/gioa/

http://www.geogebra.gr/gioa/index.php/2012-10-16-16-18-03/2012-10-16-16-18-55

http://www.geogebra.gr/gioa/index.php/2012-10-16-16-18-03/2012-10-16-16-18-55

http://www.mathman.gr/component/content/article/132.html

http://en.opensuse.org/GeoGebra

http://en.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

http://www.wolfram.com/mathematica/

http://www.wolfram.com/company/mathematica-history.html

http://www.aueb.gr/users/mathpage/intromat/intro1/intro1_part1.html

MATHEMATICA Α ÿ GEOGEBRA - TEI EMTdigilib.teiemt.gr/jspui/bitstream/123456789/3230/1/... ·...

Documents

Transcript of MATHEMATICA Α ÿ GEOGEBRA - TEI EMTdigilib.teiemt.gr/jspui/bitstream/123456789/3230/1/... ·...