Mathematica (Γενικές οδηγίες)

1

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

MATHEMATICA

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΕ ΤΟ

ΜΑΤΗΕΜΑΤICA

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ

MSc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΑΘΗΝΑ 2011

2


ΑΝΣΙ ΠΡΟΛΟΓΟΤ

Όια ηα παξαδείγκαηα πνπ αλαθέξνληαη ζηηο επόκελεο ζειίδεο, κπνξείηε λα

ηα κεηαθέξεηε ζην θύιιν εξγαζίαο ηνπ Mathematica:

i) Πιεθηξνινγώληαο ηελ εληνιή πνπ βιέπεηε ζην θείκελν. Απηό

βνεζάεη ζηε ζηαδηαθή εμνηθείσζε κε ηελ «ζύληαμε» ηνπ

Mathematica

ii) Κάλνληαο Copy & Paste ηελ εληνιή από ην θείκελν ζην θύιιν ηνπ

Mathematica. ηελ πεξίπησζε απηή «θεξδίδνπκε» ρξόλν.

iii) Θπκόκαζηε πάληα όηη ε εληνιή εθηειείηαη είηε παηώληαο δηαδνρηθά

ηα γεηηνληθά πιήθηξα SHIFT θαη ENTER (θόθθηλν θπθιάθη ζηε

θσηνγξαθία) ή (θαιύηεξα) παηώληαο ην πιήθηξν ENTER (πξάζηλν

θπθιάθη) ζηελ θάησ δεμηά γσλία ηνπ πιεθηξνινγίνπ.

ε θάζε πεξίπησζε «πεηξακαηηδόκαζηε» κεηαβάιινληαο αλάινγα ηα

νξίζκαηα ηεο πξνο ζρεδίαζε ζπλάξηεζεο (πρ ην πεδίν νξηζκνύ) ή θαη ηελ

ίδηα ηε ζπλάξηεζε, πξνθεηκέλνπ λα δνύκε ηηο κεηαβνιέο πνπ επέξρνληαη,

ώζηε λα θαηαλνήζνπκε πσο επηδξά θάζε επηινγή καο ζην γξαθεκα ηεο

ζπλάξηεζεο.

3


ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΣΟ MATHEMATICA

Σν Mathematica είλαη έλα παλίζρπξν παθέην ζπκβνιηθήο άιγεβξαο.

Δίλαη δειαδή έλα πξόγξακκα πνπ κπνξεί λα θάλεη εθηόο από «αξηζκεηηθέο»

θαη αιγεβξηθέο πξάμεηο.

Δίλαη έλα πξόγξακκα πνπ γηα ηελ «εθκάζεζή» ηνπ απαηηεί κεγάιε

πνζόηεηα εμάζθεζεο. Ο ρξήζηεο, αθνύ πξώηα κάζεη ηε «ζύληαμε» κηαο

ζπγθεθξηκκέλεο εληνιήο, πξέπεη ζηε ζπλέρεηα λα «πεηξακαηηζζεί»

αιιάδνληαο ηηο δηάθνξεο «επηινγέο» θαη «παξακέηξνπο» θαη βιέπνληαο πσο

νη αιιαγέο απηέο επηδξνύλ ζην απνηέιεζκα πνπ θάζε θνξά παίξλεη.

Απνηειείηαη από δύν κέξε. Σν kernel πνπ είλαη ε «ππνινγηζηηθή κεραλή

ηνπ Mathematica θαη ην front end πνπ απνηειεί ηε «δηεπαθή» αλάκεζα ζην

ρξήζηε θαη ην kernel. Η δηεπαθή γίλεηαη κέζσ ελόο Mathematica notebook

(ζηε ζπλέρεηα ζα ην ιέκε θύιιν εξγαζίαο ηνπ Mathematica) , ζην νπνίν ν

ρξήζηεο εθηόο από «εληνιέο» θαη Μαζεκαηηθά κπνξεί λα γξάςεη όπσο

ζάγξαθε αο πνύκε ζ΄έλαλ θεηκελνγξάθν. ε κία «ζπλεδξία» ηνπ

Mathematica, ν ρξήζηεο κπνξεί λα αλνίμεη θαη λα εξγάδεηαη ηαπηόρξνλα ζε

πεξηζζόηεξα ηνπ ελόο θύιια εξγαζίαο.

Σελ πξώηε θνξά πνπ εηζάγνπκε ζην θύιιν εξγαζίαο κηα εθηειέζηκε

εληνιή ή δεηάκε λα γίλνπλ θάπνηεο πξάμεηο θιπ. ν kernel «αξηζκεί» θαηά

θάπνην ηξόπν ηελ ελέξγεηά καο σο In[1] θαη επίζεο αξηζκεί θαη ηελ

αληίζηνηρε «έμνδν», δειαδή ην απνηέιεζκα πνπ παίξλνπκε σο Out[1]. ηε

ζπλέρεηα όιεο νη ελέξγεηέο καο αξηζκνύληαη θαη΄αύμνληα αξηζκό, έηζη ώζηε ν

ρξήζηεο λα έρεη πάληα κπξνζηά ηνπ ην «ηζηνξηθό» ησλ ελεξγεηώλ ηνπ.

4


“ΙΓΙΟΣΡΟΠΙΔ” ΣΟΤ MATHEMATICA

1. Σν Mathematica είλαη εμαηξεηηθά επαίζζεην ζηε δηαθνξά θεθαιαίσλ θαη

κηθξώλ γξακκάησλ. (Case sensitive). Έηζη αλ γηα παξάδεηγκα γξάςνπκε

Sqrt[9] θαη παηήζνπκε Shift + Enter (ή απιά Enter, ζην θάησ δεμηό ηκήκα ηνπ

πιεθηξνινγίνπ –βιέπε εηθόλα ζηε ζειίδα 2) ζα πάξνπκε ζαλ απάληεζε ηνλ

αξηζκό 3. Αλ όκσο γξάςνπκε sqrt[9], ηόηε «απαληά» sqrt[9] (ζαλ λα ηνπ

γξάςακε θείκελν), γηαηί πξνθαλώο δελ «θαηαιαβαίλεη» όηη ηνπ δεηάκε ηελ

ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 9. Όιεο νη εληνιέο ηνπ Mathematica αξρίδνπλ κε

θεθαιαίν γξάκκα.

2. Σα «νξίζκαηα ησλ εληνιώλ ή ησλ ζπλαξηήζεσλ θιπ κπαίλνπλ πάληα ζε

«αγθύιε» [ ] θαη όρη ζε παξέλζεζε ( ). Έηζη γξάθνπκε: Cos[x] θαη όρη Cos(x)

(ή cos[x], όπσο ηνλίζακε ζην 1)

Οη παξελζέζεηο ρξεζηκεύνπλ γηα «νκαδνπνίεζε» . Πρ αλ γξάςνπκε:

(Sqrt[a]+Sqrt[b])*c, ζεκαίλεη όηη ζέινπκε λα πξνζζέζνπκε ηηο δύν

ηεξαγσληθέο ξίδεο θαη ζηε ζπλέρεηα λα ηηο πνιιαπιαζηάζνπκε κε ην c.

ε αγθύιεο { } ηνπνζεηνύληαη ηα ζηνηρεία κηαο ιίζηαο. Γξάθνπκε πρ

{a,b,c,d}.

5


ΥΡΗΙΜΔ ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ

Ο πνιιαπιαζηαζκόο παξηζηάλεηαη κε * ή κε ην θελό δηάζηεκα

( παηώληαο ην πιήθηξν space).

Μπνξνύκε λα εηζάγνπκε πρ ην Διιεληθό γξάκκα π, ζε έλα

ππνινγηζκό πεηώληαο ην πιήθηξν Esc (Escape), πξηλ θαη κεηά ην Αγγιηθό p.

Έηζη ινηπόλ παηώληαο δηαδνρηθά Esc p Esc, βιέπνπκε ην p λα

κεηαζρεκαηίδεηαη ζε π. Δλαιιαθηηθά κπνξνύκε λα επηιέμνπκε έλα γξάκκα ηνπ

Διιεληθνύ αιθαβήηνπ, θαζώο θαη άιια ζύκβνια, από ηελ παιέηηα «Basic

Input». Πξνθεηκέλνπ λα ηελ εκθαλίζνπκε ζην θύιιν ηνπ Mathematica,

αθνινπζνύκε ηελ πνξεία:

File Palettes Basic Input

6


Μηα πνιύ ρξήζηκε «παιιέηα» είλαη απηή ησλ Βαζηθώλ

ππνινγηζκώλ. Σελ εκθαλιηδνπκε παηώληαο δηαδνρηθά:

File Palettes Basic Calculations

7


Σν Διιεληθό εξσηεκαηηθό (;) (semicolon), ζην ηέινο κηαο

εληνιήο ιέεη ζην πξόγξακκα λα κελ «γξάςεη» ην απνηέιεζκα. Υξήζηκν όηαλ

πεξηκέλνπκε πρ. έμνδν κε ηε κνξθή θεηκέλνπ.

Μπνξνύκε λα εκθαλίζνπκε ην ζύκβνιν ηεο ηεηξαγσληθήο ξίδαο,

είηε παηώληαο ζην αληίζηνηρν εηθνλείδην ζηελ παιιέηα Basic Input, είηε

παηώληαο δηαδνρηθά ηα πιήθηξα: Ctrl θαη 2 .

Μπνξνύκε λα εκθαλίζνπκε ην ζύκβνιν ηεο ύςσζεο ζε δύλακε,

(εθζέηεο) είηε παηώληαο ζην αληίζηνηρν εηθνλείδην ζηελ παιιέηα Basic Input,

είηε παηώληαο δηαδνρηθά ηα πιήθηξα: Ctrl θαη 6 . Γηα λα «βγνύκε» από ηνλ

εθζέηε, (ή ηε ξίδα) θαη λα ζπλερίζνπκε «εθηόο», παηάκε ην πιήθηξν Ctrl θαη

θξαηώληαο ην παηεκέλν παηάκε ην πιήθηξν Space.

Μπνξνύκε λα εκθαλίζνπκε ην ζύκβνιν θιάζκαηνο (γξακκή

θιάζκαηνο), είηε παηώληαο ζην αληίζηνηρν εηθνλείδην ζηελ παιιέηα Basic

Input, είηε παηώληαο δηαδνρηθά ηα πιήθηξα: Ctrl θαη / Οδεγνύκαζηε ηόηε

ζηνλ αξηζκεηή. Γηα λα πάκε ζηνλ παξνλνκαζηή παηάκε ην πιήθηξν Tab.

8


ΔΝΩΜΑΣΩΜΔΝΔ ΤΝΑΡΣΗΔΙ

(BUILT-IN FUNCTIONS)

Οη ζπλαξηήζεηο πνπ ζπλαληά θαλείο πην ζπρλά θαη ηηο νπνίεο

«ελζσκαηώλεη» ην Mathematica, είλαη:

Exp[x] , καο δίλεη ην xe

Log[x] , καο δίλεη ην ln( )x

Log[10,x] , καο δίλεη ην δεθαδηθό ινγάξηζκν ηνπ x.

Πρ: Log[10,100], καο δίλεη ην 2.

N[x] , καο δίλεη ηε δεθαδηθή πξνζέγγηζε ηνπ x.

Πρ: N[Pi] , καο δίλεη: 3.14159

N[3/11] , καο δίλεη: 0.272727 κλπ.

Sqrt[x] , καο δίλεη: ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ x.

Γείηε όηη γηα ην Sqrt[-9] , καο δίλεη: 3.i , πνπ ζεκαίλεη όηη

«γλσξίδεη» ηνπο θαληαζηηθνύο (θαη ηνπο κηγαδηθνύο) αξηζκνύο.

Factorial[n] , καο δίλεη: ην n!

Πρ. Factorial[5] , καο δίλεη: 120

Factorial[2.5] , καο δίλεη: 3.32335

9


Παρατηρείστε ότι: Factorial[2.5] = Gamma[3.5] ,

Όπνπ Gamma , εγλσζηή ζπλάξηεζε Γάκκα ηνπ Euler, κε ηδηόηεηα:

Gamma[n]=(n-1)!

θαη γξαθηθή παξάζηαζε:

Plot[Gamma[x],{x,-4,4}]

Σξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο:

Sin[x] , Cos[x] , Tan[x] , Cot[x] , Sec[x] , Csc[x]

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

10


ε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ε γσλία x είλαη ζε αθηίληα (rad). Αλ ηε ζέινπκε ζε

κνίξεο , γξάθνπκε πρ. 60 Degree.

Sin[60 Degree] = 3

2

ημειώστε:

Γηα λα γξάςνπκε: 2sin ( )x , γξάθνπκε: Sin[x]^2

Έτσι λοιπόν: Sin[x]^2+Cos[x]^2=1

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συνσρτήσεις είναι:

ArcSin[x] , ArcCos[x] , ArcTan[x] , ArcCot[x] ,

ArcSec[x] , ArcCsc[x]

Οι υπερβολικές συναρτήσεις και οι αντίστροφες τους είναι:

Sinh[x] , Cosh[x] , Tanh[x] , ArcSinh[x] , ArcCosh[x] ,

ArcTanh[x]

11


ΒΑΙΚΔ ΠΡΑΞΔΙ

1. Αο πνιιαπιαζηάζνπκε ην 15 κε ην άζξνηζκα ησλ 6 θαη 13. Γξάθνπκε:

15*(6+13)

Καη θπζηθά παηώληαο (Shift+Enter, ή απιά ην θάησ δεμηό Enter) παίξλνπκε

ηελ απάληεζε 285.

2. Αο πξνζζέζνπκε Σε ξίδα ηνπ 8 ,ηε ξίδα ηνπ 9 θαη ηε ξίδα ηνπ 24. Γξάθνπκε:

Sqrt[8]+Sqrt[9]+Sqrt[24]

Καη παίξλνπκε ηελ απάληεζε:

3 2 2 2 6

ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ

i) Μπορούμε (εναλλακτικά) να γράψουμε:

8 9 24 (βλέπε χρήσιμες παρατηρήσεις)

ii) Παρατηρείστε ότι για τη ρίζα 8 και τη ρίζα 24, παίρνουμε την «ακριβή» απάντηση.

Αν θέλουμε προσεγγιστική, (δεκαδική) απάντηση, το δηλώνουμε με μια τελεία μετά το

8 (ή /και το 24). Γράφουμε:

8 9 24. ή

12


8. 9 24 ή

8. 9 24. και παίρνουμε την απάντηση: 10.7274

3. Αλ ξσηήζνπκε ην Mathematica,:

(4*13+32/9)*6

Παίξλνπκε ην απνηέιεζκα:

100/3

Δπεηδή ην Mathematica καο δίλεη πάληα ην «αθξηβέο» απνηέιεζκα,

παίξλνπκε ην παξαπάλσ θιάζκα. Αλ ζέινπκε ηελ δεθαδηθή πξνζέγγηζε

κπνξνύκε:

i) Να γξάςνπκε:

%//N , νπόηε παίξλνπκε:

333.333

Σν Ν ( Numerical), ιέεη ζην Mathematica, λα «δώζεη» ηελ δεθαδηθή

ηηκή, ελώ ην % «θαιεί» ην πξνεγνύκελν απνηέιεζκα (ην 1000/3).

ii) Μπνξνύζακε λα γξάςνπκε:

N[(4*13+32/9)*6,20] , νπόηε παίξλνπκε:

13


333.33333333333333333, όπνπ κε ην 20 πξνζδηνξίδνπκε ηνλ αξηζκό

ςεθίσλ (θαη άξα ηελ πξνζέγγηζε) πνπ επηζπκνύκε

iii) Μπνξνύζακε λα γξάςνπκε:

(4.*13+32/9)*6

, νπόηε ζα παίξλακε

333.333 ( Ο αξηζκόο ησλ 6 ςεθίσλ είλαη ε «πξνεπηινγή» ηνπ

πξνγξάκκαηνο

4. Αο πνύκε όηη ζέινπκε ην π

Πιεθηξνινγώληαο:

N[Pi] , παίξλνπκε:

3.14159 (6 ζπλνιηθά ςεθία).

Αο πνύκε όκσο όηη ρξεηαδδόκαζηε 20 δεθαδηθά ςεθία ηνπ π. (Άξα 21 ζπλνιηθά

ςεθία)

Πιεθηξνινγνύκε:

N[Pi,21] , νπόηε παίξλνπκε:

3.14159265358979323846

5. Αο πνύκε ηώξα όηη ζέινπκε ην 3 ζηελ 30

Πιεθηξνινγώληαο:

14


3^30 , παίξλνπκε:

205891132094649 , Γειαδή ην «αθξηβέο» απνηέιεζκα πνπ κάιινλ

είλαη άβνιν. ηε ζπλέρεηα πιεθηξνινγώληαο:

N[%] , παίξλνπκε:

2.05891 x 1014 , πνπ ζαθώο «ππεξηεξεί», αθνύ καο δίλεη ηελ ηάμε

κεγέζνπο ηνπ αξηζκνύ.

ημείωση:

Η «ύςσζε» ζε δύλακε γίλεηαη Παηώληαο Shift+6 , ή Ctrl+6

6. Αο ππνζέζνπκε όηη ζέινπκε ην εκίηνλν ησλ 60 κνηξώλ.

Πιεθηξνινγνύκε:

Sin[Pi/3] , θαη παίξλνπκε ην «αθξηβέο» απνηέιεζκα:

3

2

Γηα ηελ δεθαδηθή πξνζέγγηζε, γξάθνπκε:

N[%] , νπόηε παίξλνπκε:

0.866025

Αλ γηα θάπνην ιόγν ρξεηαδόκαζηαλ 20 δεθαδηθά ςεθία , ζα γξάθακε:

N[Sin[Pi/3],20] , θαη ζα παίξλακε:

0.86602540378443864676

( Βάδνπκε 20 αληί γηα 21, αθνύ ην αθέξαην είλαη κεδέλ).

15


ΑΛΓΔΒΡΙΚΟΙ «ΥΔΙΡΙΜΟΙ»

Μπνξνύκε λα θάλνπκε ηνπο δηάθνξνπο αιγεβξηθνύο ρεηξηζκνύο πνπ

πεξηγξάθνληαη ζηα επόκελα κε δύν ηξόπνπο:

α) Πιεθηξνινγώληαο ηελ αληίζηνηρε εληνιή (κε όξηζκα ηελ αιγεβξηθή

παξάζηαζε πνπ ζέινπκε λα ρεηξηζζνύκε)

β) Δπηιέγνληαο κε αξηζηεξό θιηθ θαη «ζύξζηκν» ηελ παξάζηαζε θαη ζηε

ζπλέρεηα θάλνληαο αξηζηεξό θιηθ ζηελ επηζπκνύκελε εληνιή πνπ βξίζθεηαη

ζηελ «Παιέηηα» Αιγεβξηθνί ρεηξηζκνί. (Algebraic Manipulation). Σελ

παιέηηα απηή κπνξνύκε λα ηελ εκθαλίζνπκε ζην θύιιν εξγαζίαο ηνπ

Mathematica, αθνινπζώληαο ηε ζεηξά (Mathematica 4)

File Palettes AlgebraicManipulation

16


Οη εληνιέο ινηπόλ κε ηηο νπνίεο δηαρεηξηδόκαζηε αιγεβξηθέο

παξαζηάζεηο είλαη:

Expand[Expression] , αλαπηύζζεη ηηο δπλάκεηο θαη θάλεη

ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο πνπ ζεκεηώλνληαη ζηελ «έθθξαζε»

Πρ Expand[(a+b)^5]

Expand[(a-b)*(a+b)]

a2-b2

PowerExpand[Expression], απινπνηεί ηελ έθθξαζε

ζεσξώληαο σο ζεηηθέο όιεο ηηο κεηαβιεηέο.

Πρ. PowerExpand[Log[x^y]]

yLog[x]

PowerExpand[Log[(x^a*y^b)/(z^c*u^d)]]

[ ] [ ] [ ] [ ]dLog u aLog x bLog y cLog z

a5 5 a

4b 10 a

3b2 10 a

2b3 5 a b

4 b5

17


ExpandAll[rational expressions] , εθηειεί ηελ εληνιή

Expand ζε θάζε κέξνο ηεο έθθξαζεο, αθόκα θαη ζηνλ

παξνλνκαζηή

Πρ.

ExpandAll[(x+a)(x+b)/((x+c)(x+d))]

2

2 2 2 2

ab ax bx x

cd cx dx x cd cx dx x cd cx dx x cd cx dx x

Factor[Expression] , παξαγνληνπνηεί ηελ έθθξαζε

Πρ. Factor[16*x^4-y^8]

2 2 2 4(2 )(2 )(4 )x y x y x y

ΗΜΕΙΩΗ:

Η εληνιή : FactorInteger[n] , αλαιύεη ηνλ αθέξαην n ζε γηλόκελν

παξαγόλησλ.

Πρ. FactorInteger[258961]

{{17,1},{15233,1}}

Γειαδή: 17 * 15233 = 258961

18


FactorInteger[2048]

{{2,11}}

Γειαδή: 2^(11) = 2048

FactorInteger[15485863]

{{15485863,1}} , Γειαδή «πέζακε» ζε πξώην αξηζκό.

Simplify[Expression], κε κηα ζεηξά από πξάμεηο πξνζπαζεί

λα «απινπνηήζεη» κηα έθθξαζε

Πρ.

Simplify[1/(1+x)^3+1/(2+x)^3+3/((1+x)(2+x)^2)+3/((1+x)^2(2+x))]

3

3 3

(3 2 )

(1 ) (2 )

x

x x

FullSimplify[Expression], κε κηα ζεηξά πην

«πνιύπινθσλ αιγόξηζκσλ» πξνζπαζεί λα απινπνηήζεη όζν γίλεηαη

πεξηζζόηεξν ηελ παξάζηαζε. Όπσο είλαη θπζηθό θαη αλακελόκελν δηαξθεί

πεξηζζόηεν ρξόλν.

19


Cancel[Expression], Παξαγνληνπνηεί αξηζκεηή θαη

παξνλνκαζηή θαη απινπνηεί

Πρ. Cancel[(x^2+3*x+2)/(3*x^2+15*x+18)]

1

3( 3)

x

x

Together[sum of rational Expressions], ρξεζηκν-

πνηώληαο θνηλό παξνλνκαζηή, πξνζπαζεί λα «καδέςεη» ηνπο όξνπο ηεο

παξάζηαζεο.

Apart[RationalExpression] , Ξαλαγξάθεη ηελ παξά-

ζηαζε ζαλ άζξνηζκα απιώλ θιαζκάησλ.

Ο ηειεζηήο «αληηθαηάζηαζεο» (replace all)

είλαη: /.

Η εληνιή replace all (/.), ιέεη ζην Mathematica, λα αληηθαηαζηάζεη (πρ ην x)

ζηελ έθθξαζε, κε ηελ ππνδεηθλπόκελε ηηκή.

Πρ. 3 x +2/.x->-1

-1

20


ΛΤΗ ΑΛΓΔΒΡΙΚΩΝ ΔΞΙΩΔΩΝ

Πξηλ μεθηλήζνπκε λα πνύκε όηη ε ηζόηεηα αλάκεζα ζην αξηζηεξό θαη ζην

δεμηό κέινο ζε κηα εμίζσζε δειώλεηαη κε δηπιό ίζνλ (==).

Πρ. 3 3 1 0x x

Γηα ηελ επίιπζε αιγεβξηθώλ εμηζώζεσλ ην Mathematica δηαζέηεη ηηο εληνιέο:

Solve[equation,variable],

NSolve[equation,variable],

FindRoot[equation,{x,x0}]

Η εληνιή: Solve[equation,variable], ρξεζηκνπνηείηαη

γηα ηελ ειγεβξηθή επίιπζε ηεο εμίζσζεο, σο πξνο ηε κεηαβιεηή –άγλσζην-

πνπ ππνδεηθλύνπκε (ε εμίζσζε κπνξεί λα πεξηέρεη θαη παξακέηξνπο).

Πρ. Solve[x^2+2*a*x+c==0,x]

2 2{{ },{ }}x a a c a a c

Αλ ζέινπκε λα ιύζνπκε έλα ζύζηεκα πρ δύν εμηζώζεσλ κε δύν αγλώζηνπο,

γξάθνπκε:

Solve[{equation(1),equation(2)},{x,y}]

21


Η εληνιή γεληθεύεηαη γηα ζύζηεκα λ εμηζώζεσλ κε λ αγλώζηνπο.

Η εληνιή NSolve[equation,variable], (αξηζκεηηθή

επίιπζε) δίλεη κηα πξνζεγγηζηηθή ιύζε θαη ρξεζηκνπνηείηαη όηλ ε εληνιή δελ

καο δώζεη απνηέιεζκα.

Πρ. NSolve[x^(1/3)+x^(1/2)+x-1==0,x]

0.130778x

Η εληνιή: FindRoot[equation,{x,x0}], βξίζθεη ηελ ιύζε

ηεο εμίζσζεο, ρξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Newton, κε ζεκείν «εθθίλεζεο» ην

ζεκείν x0.

Πρ. FindRoot[Sin[x]+2==x^2,{x,1}]

1.72847x , ελώ:

FindRoot[Sin[x]+2==x^2,{x,-1}]

1.06155x

Γξαθηθή παξάζηαζε: Plot[{Sin[x],x^2-2},{x,-4,4}]

22


ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΑ

Οη εληνιέο γηα ηε «δηαρείξεζε»

ηξηγσλνκεηξηθώλ ππνινγηζκώλ βξίζθνληαη ζηελ

παιέηηα «Αιγεβξηθνί ρεηξηζκνί»

(AlgebraicManipulation).

Τριγωνομετρικοί

χειρισμοί

Οη ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο είλαη:

Sin[x] , Cos[x] , Tan[x] , Cot[x] , Sec[x] , Csc[x]

Δλώ, νη αληίζηξνθεο ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο είλαη:

ArcSin[x] , ArcCos[x] , ArcTan[x] , ArcCot[x] ,

ArcSec[x] , ArcCsc[x]

23


ε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ε γσλία x είλαη ζε αθηίληα (rad). Αλ ηε

ζέινπκε ζε κνίξεο , γξάθνπκε πρ. 60 Degree.

Sin[60 Degree] = 3

2

Δλαιιαθηηθά κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνήζνπκε ην

ζύκβνιν γηα ηηο κνίξεο πνπ βξίζθεηαη ζηελ παιέηηα

«BasicInput».

Μπνξνύκε λα ζρεδηάζνπκε ηηο ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο κε ηε εληνιή

Plot

Πεξηζζόηεξα γηα ηε ζρεδίαζε ζπλαξηήζεσλ, ζην

έγγξαθν: Γξαθηθέο παξαζηάζεηο κε ην Mathematica

σύμβολο για τις μοίρες

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B5D1y08wDS3FY2MwYTA4YzctYjczMS00OTk0LTk4OTItZDQyZDAxYmJiNjJi&hl=en&authkey=CLqcwoYJ

24


Γηα παξάδεηγκα:

Plot[{Sin[x],Tan[x]},{x,-2*Pi,2*Pi}]

Οη «αιγεβξηθέο εληνιέο» ExpandAll, Simplify,

FullSimplify, δνπιεύνπλ ην ίδην θαιά θαη γηα ηηο

ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο

Η εληνιή: TrigExpand[expression], «αλαπηύζζεη» ηηο

ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο ζηελ έθθξαζε (expression) πνπ

δέρεηαη ζαλ «όξηζκα»

25


Π.ρ: TrigExpand[Sin[3*x]]

2 33cos ( )sin( ) sin ( )x x x

Η εληνιή: TrigFactor[expression], «παξαγνληνπνηεί» ηηο

ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο ζηελ έθθξαζε (expression) πνπ

δέρεηαη ζαλ «όξηζκα»

Πρ: TrigFactor[Sin[x]^2+Tan[x]^2]

21

(3 cos(2 )) tan ( )2

x x

Η εληνιή: TrigReduce[expression], μαλαγξάθεη ηα

γηλόκελα θαη ηηο δπλάκεηο ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλαξηήζεσλ

ζηελ έθθξαζε (expression) πνπ δέρεηαη ζαλ «όξηζκα», κε ηε

κνξθή λέσλ ηξηγσλνκεηξηθώλ ζπλαξηήζεσλ κε «ζπλδπαζκέλα»

νξίζκαηα.

Πρ: TrigReduce[Sin[x]^2*Cos[x]^3]

1

[2cos( ) cos(3 ) cos(5 )]16

x x x

26


Η εληνιή: ExpToTrig[expression], κεηαηξέπεη ηηο

εθζεηηθέο ζπλαξηήζεηο ζε ηξηγσλνκεηξηθέο.

Πρ: ExpToTrig[Exp[2*I*x]]

cos(2 ) sin(2 )x i x

Η εληνιή: TrigToExp[expression], κεηαηξέπεη ηηο

ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο ζε εθζεηηθέο.

Πρ: TrigToExp[Tan[2*x]]

2 2

2 2

( )

( )

ix ix

ix ix

i e e

e e

ΗΜΔΙΩΗ:

Αο ππνζέζνπκε όηη ζέινπκε λα απνδείμνπκε ή λα επαιεζεύζνπκε κηα

ηξηγσλνκεηξηθή ηαπηόηεηα. Κάλνπκε ην εμήο: Από ην αξηζηεξό κέινο

αθαηξνύκε ην δεμί θαη κε δηαδνρηθέο απινπνηήζεηο (εληνιέο

Simplify[Expression], θαη FullSimplify[Expression]),

απινπνηνύκε ηελ παξάζηαζε. Αλ ινηπόλ ηειηθά πάξνπκε ηελ ηηκή 0 (κεδέλ),

απηό ζεκαίλεη όηη ε ηαπηόηεηα πνπ ζθεθζήθακε «αιεζεύεη».

27


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΑΝΑΦΟΡΕΣ

1. Theory and Problems of Mathematica, Eugene Don, Schaum’s Outline Series,McGraw-Hill,

2001

2. Μαθημαηικό Τσπολόγιο,Murray R. Spiegel, Μεηάθραζη Σωηήριος Περζίδης, ΕΣΠΙ, Αθήνα 1976

3. Οδηγός για ηο Mathematica, Κων. Ε. Παπαδάκης, Εκδόζεις Τζιόλα, Θεζζαλονίκη 2000

4. The Mathematica Book Edition 5, Stephen Wolfram,Wolfram Research Inc, 2003 (O Stephen

Wolfram είναι ο ¨δημιοσργός» ηοσ Mathematica

5. Mathematica Navigator, Heikki Ruskeepaa, Elsevier Academic Press,2004

6. Mathematical Methods Using Mathematica, Sadri Hassani, Springer-Verlag New York Inc.2003

Mathematica (Γενικές οδηγίες)

Documents

Transcript of Mathematica (Γενικές οδηγίες)