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MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA – Pruebas de acceso a la Universidad ÁLGEBRA 1. (2001-1A-3)

[2'5 puntos] De las matrices

1 23 4

A =

, 1 2 34 5 6

B =

, 1 13 3

C =

y 1 2 30 1 20 0 1

D =

determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas. 2. (2001-1B-3)

Considera 1 2 30 2

1 2A a

a a

− − = − −

, 101

B =

y x

X yz

=

.

a) [1 punto] Determina el rango de A en función del parámetro a. b) [0'75 puntos] Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial, AX B= . c) [0'75 puntos] Resuelve AX B= en los casos en que sea compatible indeterminado.

3. (2001-2A-3)

[2'5 puntos] Sea sen cos 0cos sen 0

sen cos sen cos 1

x xA x x

x x x x

− = + −

¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A? Calcula dicha matriz inversa. 4. (2001-2B-3)

Considera la matriz 0 3 41 4 51 3 4

A = − − −

a) [1 punto] Siendo I la matriz identidad 3×3 y O la matriz nula 3×3, prueba que 3A I O+ = . b) [1'5 puntos] Calcula 10A .

5. (2001-3A-3)

Se sabe que la matriz 0

0 1 00

a aA

b b

− = −

verifica que ( )det 1A = y sus columnas son vectores

perpendiculares dos a dos. a) [1'5 puntos] Calcula los valores de a y b. b) [1 punto] Comprueba que para dichos valores se verifica que 1 tA A− = donde tA denota la matriz

traspuesta de A. 6. (2001-3B-3)

Considera el sistema 14

mx y zx my zx y mz m

+ − = − + = + + =

a) [1'5 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [1 punto] ¿Cuál es, según lo valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas

son las tres que forman el sistema?

I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG 1

MATEMÁTICAS II SELECTIVIDAD ANDALUCÍA ÁLGEBRA

7. (2001-4A-3)

[2'5 puntos] Determina la matriz X tal que 3 0AX B− = , siendo

1 0 12 3 70 1 2

A−

= − −

y 1 21 02 1

B = − −

.

8. (2001-4B-3)

Considera la matriz 1 0 21 1 11 1 0

A−

=

a) [1'5 puntos] Calcula el determinante de las matrices: 2A , 31A y ( ) 131A−

.

b) [1 punto] Halla la matriz 1A− . 9. (2001-5A-3)

[2'5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, AX AX B= − + siendo 1 0 21 1 13 1 4

A = −

, 141

B =

y x

X yz

=

.

10. (2001-5B-4)

Considera la matriz 1 1

11 1

Aλ

= λ λ λ

a) [1 punto] Determina para qué valores del parámetro λ la matriz A no tiene inversa. b) [1'5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para 2λ = − .

11. (2001-6A-3)

[2'5 puntos] Determina a, b y c sabiendo que la matriz 3 1 11 21

A ab c

− = −

verifica: 1 22 93 4

A =

y ( )rango 2A = .

12. (2001-6B-3)

a) [1'5 puntos] Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m 2 0

3 1

x myx mz mx y z

+ = + = + + =

b) [1 punto] Resuelve el sistema anterior para 6m = . 13. (2002-1A-3)

En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: - El precio de la empresa A es 0’6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C. - El precio dado por B es la media de los precios de A y C. - El precio de la empresa C es igual a 2 euros mas 2/5 del precio dado por A mas 1/3 del precio dado por B.



14. (2002-1B-3)

Considera las matrices 0 0 10 1 01 0 0

A =

y 0 0 1

1 00 0

B xy

=

.

a) Calcula la matriz inversa de A. b) Calcula 127A y 128A . c) Determina x e y tal que AB BA= .

15. (2002-2A-4)

Sean: 1 1

1 3 22 1 3

Aα

= − −α

, 1 0 1

1 1 20 0

Bα − − = − −α

, 153

b−

= −

, 250

c− =

y x

X yz

=

.

Determina α, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial) AX b= y BX c=

tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos) 16. (2002-2B-4)


0 12 1 1

aA a

= − −

a) Halla los valores de a para los que la matriz 3A tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz 2A para 0a = . 17. (2002-3A-3)


2 13 0 1

tA t

=

Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

18. (2002-3B-3)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones 3 3

23 5 5

x y zx my z mx y mz

+ + = + + = + + =

a) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución. b) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos

soluciones. c) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.

19. (2002-4A-3)

Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que

( )det 7A = − y 2 6 4 121 3 1 3

A− −

= − − .



20. (2002-4B-3)

Determina una matriz X que verifica la ecuación AX X B= − siendo 0 0 10 0 01 0 0

A = −

y 1 0 10 1 10 1 1

B = − −

.

21. (2002-5A-3)

Considera 1 1

2 13 2 2

mA m

− = − −

, x

X yz

=

y 211

C =

.

a) ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A? b) Resuelve, para 2m = , el sistema AX C= .

22. (2002-5B-3)

Denotamos por tM a la matriz traspuesta de una matriz M. Considera 121

A = −

, ( )1 4 3B = y 0 4 32 9 61 4 4

C−

= − − −

.

a) Calcula ( )tAB y ( )tBA .

b) Determina una matriz X que verifique la relación ( )12

tX AB C+ = .

23. (2002-6A-3)

Considera el sistema de ecuaciones 1

24

x my zx y z mx y mz

− + = + + = + + + =

a) Clasifícalo según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

24. (2002-6B-3)

Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz 1

2 23 3

k x axk y ayk z az

+ + +

y enuncia las propiedades que hayas usado. 25. (2003-1A-3)

Considera las matrices 1 0 01 01 1 1

A m =

, 0 1 11 0 00 0 0

B =

y 1 0 00 1 01 0 1

C =

a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial 2 3A X B C⋅ + = ? b) Resuelve la ecuación matricial dada para 1m = .



26. (2003-1B-3)


A− − = − − − −

y x

X yz

=

.

a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ¸ para los que la matriz A I+ λ no tiene inversa.

b) Resuelve el sistema 3A X X⋅ = e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones. 27. (2003-2A-3)

Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones 2

22 4

x y z mxx y z myx y z mz

+ + = + + = + + =

tiene más de una solución. 28. (2003-2B-3)

a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale –2 ¿Cuánto vale el determinante de la matriz 4A ?

b) Dada la matriz 1 2 0

0 10 1 2

B = λ −

, ¿para qué valores de λ¸ la matriz 23B B+ no tiene inversa?

29. (2003-3A-3)

Dadas las matrices 1 1 03 2 01 5 1

A− = − −

y 5 0 31 1 12 4 3

B− = − − −

,

halla la matriz X que cumple que ( )ttA X B A⋅ = ⋅ . 30. (2003-3B-3)

Dada la matriz 2

1 1 11 10 1

A mm

=

, se pide:

a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.

31. (2003-4A-3)

Considera los vectores ( )1, 1, 1u = , ( )2, 2,v a=

y ( )2, 0, 0w = .

a) Halla los valores de a para los que los vectores u , v y w son linealmente independientes. b) Determina los valores de a para los que los vectores u v+ y u w− son ortogonales.



32. (2003-4B-3)

Sean 1C , 2C y 3C las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de 3A . b) El determinante de 1A− . c) El determinante de 2A. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente,

1 33C C− , 32C y 2C . 33. (2003-5A-3)

Considera el sistema de ecuaciones: 2 2

4 5 26 10 1

x my z mymx y z z

x y z

+ − = − +− + = +− − = −

a) Discute las soluciones del sistema según los valores de m. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

34. (2003-5B-3)

Considera la matriz

( )2 0 00 10 0 1

x

M x x

=

a) ¿Para qué valores de x existe ( )( ) 1M x

−? Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz ( )( ) 1

M x−

.

b) Resuelve, si es posible, la ecuación ( ) ( ) ( )3 5M M x M⋅ = . 35. (2003-6A-3)

Considera las matrices 1 0 10 34 1

A mm

− = −

, 113

B = −

y x

X yz

=

.

a) ¿Para qué valores de m existe la matriz 1A− ? b) Siendo 2m = , calcula 1A− y resuelve el sistema A X B⋅ = . c) Resuelve el sistema A X B⋅ = para 1m = .

36. (2003-6B-3)

Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.

37. (2004-1A-3)

Se sabe que el sistema de ecuaciones 11

x yx zy z

+ α = + α = + = α

tiene una única solución. a) Prueba que 0α ≠ . b) Halla la solución del sistema.



38. (2004-1B-3)

Sabiendo que 6x y zt u va b c

= − , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) 333

x y zt u va b c

− − − b)

222

y x zu t vb a c

−−−

c) 2 2 2

x y zt u v

x a y b z c− − −.

39. (2004-2A-3)

Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones 3 1

2 14

x y zx y z

ax by z

+ + = − + + = − + + =

tiene al menos dos soluciones distintas. 40. (2004-2B-3)

a) Sabiendo que la matriz 3 2 11 4 21 1

Aa a

− = − − − −

tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?

b) Resuelve el sistema de ecuaciones 3 2 1 11 4 2 01 6 5 1

xyz

− − − = − − − −

.

41. (2004-3A-3)

Considera el sistema de ecuaciones

( )1 12

x yx y z

x y

+ λ = λ λ + + λ − = λ + = + λ

.

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

42. (2004-3B-3)

Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1€ las botellas del tipo A, a 3€ las del tipo B y a 4€ las del tipo C, entonces obtiene un total de 20€. Pero si vende a 1€ las del tipo A, a 3€ las del B y a 6€ las del C, entonces obtiene un total de 25€. a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. b) Resuelve dicho sistema. c) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero?

(Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo). 43. (2004-4A-3)

Denotamos por tM a la matriz transpuesta de una matriz M.

a) Sabiendo que a bA c d =

y que ( )det 4A = , calcula los siguientes determinantes:

( )det 3 tA− y 2 23 3

b ad c− −

b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que 3B I= . Calcula ( )det B .

c) Sea C una matriz cuadrada tal que 1 tC C− = . ¿Puede ser ( )det 3C = ? Razona la respuesta.



44. (2004-4B-3)

Considera el sistema de ecuaciones 2 2

2 0

mx y zx my mx mz

+ + = + = + =

a) Determina los valores de m para los que 0x = , 1y = y 0z = es solución del sistema.

b) Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. c) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

45. (2004-5A-3)


( )

3 02 13 2 0

2 12 12 0

x y zx y z

a x y z

+ + =− + = + − + =

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a.

46. (2004-5B-3)

Se sabe que 11 12 13

21 22 23

31 32 33

2a a aa a aa a a

= − . Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes:

a) 11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 3 1555

a a aa a aa a a

b) 21 22 23

11 12 13

31 32 33

3 3 3a a aa a aa a a

c) 11 12 13

21 31 22 32 23 33

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a− − −

47. (2004-6A-3)


mx yx my m

− = − = −

a) Clasifica el sistema según los valores de m. b) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que 3x = .

48. (2004-6B-3)

Considera las matrices

1 0 10 1 2A =

, 1 00 10 0

B =

y 1 00 21 0

C =

.

a) Calcula A B⋅ , A C⋅ , t tA B⋅ y t tC A⋅ , siendo tA , tB y tC las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente.

b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y A B⋅ tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

49. (2005-1A-3)

Sean las matrices 2 13 2A = −

, 0 1 03 1 2B = −

y 1 2 01 1 4C = −

.

a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala. b) [1'5 puntos] Determina la matriz X que cumple que t tA X C B B B⋅ + ⋅ = ⋅ , siendo tB la matriz

transpuesta de B.



50. (2005-1B-3)


( )

23 7

2 2 5

x y zx y z

x y z

+ + = −−λ + + = − + + λ + = −

a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

51. (2005-2A-3)


2 0x y z

mx zmy z m

+ + = + = − =

a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una única solución. Calcula dicha solución para 1m = .

b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones.

c) [0'5 puntos] Hay algún valor de m para el que el sistema no tiene solución? 52. (2005-2B-3)

[2'5 puntos] Halla la matriz X que cumple que 0 00 0A X A B ⋅ ⋅ − =

,

siendo 3 12 1A = − −

y 5 21 3B − =

.

53. (2005-3A-3)

Considera el sistema de ecuaciones ( )

( )( )

1 21 2

1 4

b x y zx b y zx y b z

+ + + = + + + = + + + = −

a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro b. b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

54. (2005-3B-3)

Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea 0 0 11 1 11 0

Ab

− = − −

.

a) [1'25 puntos] Determina el valor de b para el que 2 2 OA A I− + = .

b) [1'25 puntos] Para 2b = halla la matriz X que cumple que 2 OtA X A⋅ − = , donde tA denota la matriz transpuesta de A.

55. (2005-4A-3)

Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea 2 11 2A =

.

a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A xI− no tiene inversa.

b) [1'5 puntos] Halla los valores de a y b para los que 2 OA aA bI− + = .



56. (2005-4B-3)


( )5 2 0

42 3 0

x y zx y m z my

x y z

+ − = + + + = − + =

a) [1 punto] Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que 19z = .

57. (2005-5A-3)

[2'5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

58. (2005-5B-3)


x my zx y mzmx y z m

+ + = + + = + + =

.

a) [1 punto] ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? b) [1'5 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que 1x = ?

59. (2005-6A-3)

[2'5 puntos] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

60. (2005-6B-3)

Sabiendo que 2a b c

A d e fg h i

= = , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes:

a) [1 punto] 3A− y 1A− b) [0'75 puntos] 2 2 2

c b af e di h g

c) [0'75 puntos] a b a cd e d fg h g i

−−−

61. (2006-1A-3)

Sean ( ), 2, 0u x= , ( ), 2, 1v x −

y ( )2, , 4w x x− − tres vectores de 3

.

a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. b) [1'5 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.

62. (2006-1B-3)

Considera el sistema de ecuaciones lineales

2

1x y zx y zx y z

λ + − =+ λ + = λ + + λ = λ

a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) [1 punto] Resuélvelo para 2λ = .



63. (2006-2A-3)

Considera el sistema de ecuaciones lineales 142

x y zx y zx y z

λ − − = − + λ + = + + = λ +

a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) [1 punto] Resuelve el sistema para 2λ = .

64. (2006-2B-3)

[2'5 puntos] Resuelve 2tA B X C= − , siendo tB la matriz traspuesta de B y 1 0 32 1 0A = −

, 1 3 00 2 2B − = −

y 1 40 1C = −

.

65. (2006-3A-3)

Considera 10aA a = −

, siendo a un número real.

a) [1 punto] Calcula el valor de a para que 2 12 10 20A A − − =

.

b) [1 punto] Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y tA , siendo tA la traspuesta de A. c) [0'5 puntos]¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta.

66. (2006-3B-3)

[2'5 puntos] Resuelve 2 0 5 2 51 1 2 2 01 1 1 3 2

xyz

− − + = −

67. (2006-4A-3)

Sea 1 1 10 3 3

1 2 0A m

m

− = − +

a) [1 punto] Determina los valores de m∈ para los que la matriz A tiene inversa.

b) [1'5 puntos] Para 0m = y siendo ( )X x y z= , resuelve ( )3 1 1X A = . 68. (2006-4B-3)

Sea 4 21 3A =

y sea I la matriz identidad de orden dos.

a) [1'25 puntos] Calcula los valores de λ∈ tales que 0A I−λ = .

b) [1'25 puntos] Calcula 2 7 10A A I− + . 69. (2006-5A-3)


10

x y zx y zx y z

− + = + λ + = λ + + λ =

a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) [1 punto] Resuelve el sistema para 2λ = .



70. (2006-5B-3)


4 1 1A

m m

= − −

, x

X yz

=

y 000

O =

a) [1 punto] Halla el valor de m∈ para el que la matriz A no tiene inversa. b) [1'5 puntos] Resuelve A X O= para 3m = .

71. (2006-6A-3)

Considera las matrices 32A − =

, ( )2 1B = y 1 2

6 6C − − =

a) [1'25 puntos] Halla, si existe, la matriz inversa de AB C+ .

b) [1'25 puntos] Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican: 3x xC y y =

.

72. (2006-6B-3)


3 12 2

x y zx y zx y

+ − = − + λ + = λ − + λ = −

a) [1'25 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) [1'25 puntos] Resuelve el sistema para 1λ = .

73. (2007-1A-3)

Sean I la matriz identidad de orden 2 y 11 1

mA =

.

a) [1'25 puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que ( )2A I O− = , donde O es la matriz nula de orden 2.

b) [1'25 puntos] Para 2m = , halla la matriz X tal que 2 TAX A O− = , donde TA denota la matriz traspuesta de A.

74. (2007-1B-3)


2

ax y zx ay zx y z a

+ + = − + = + + = +

.

a) [1'5 puntos] Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para 2a = − .

75. (2007-2A-3)


A−

= λ

a) [1 punto] Determina la matriz 2 2B A A= − . b) [0'75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.

c) [0'75 puntos] Calcula 1B− para 1λ = .



76. (2007-2B-3)

a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de 1 1 00 1 11 0 1

A =

.

b) [1'5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz 1A− hallada en el apartado anterior,

123

x yy zx z

+ = + = − + =

77. (2007-3A-3)

Considera las matrices 1

2 3A

α =

y 2 01 1

B = −

.

a) [0'75 puntos] Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa.

b) [1'75 puntos] Para 1α = , calcula 1A− y resuelve la ecuación matricial AX B= . 78. (2007-3B-3)


2 21

x y zx y z

x y z

+ + = + λ + = + + λ = λ −

.

a) [1'5 puntos] Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible. b) [1 punto] Resuelve el sistema para 1λ = .

79. (2007-4A-3)

[2'5 puntos] Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a,

( )( )

01 2

2 2 2

x y za y z y

x y a z z

+ + = + + = − + − =

.

80. (2007-4B-3)

Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales

( )

( )

1 20

1 0

x y zx y z

x y

−λ + + λ + = λ + + + = −λ −λ =

tiene más de una solución. a) [1'5 puntos] Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ. b) [1 punto] Halla todas las soluciones del sistema.

81. (2007-5A-3)

a) [1'5 puntos] Calcula el valor de m para el que la matriz 1 01

Am

=

verifica la relación 22A A I− = y

determina 1A− para dicho valor de m.

b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 22M M I− = , determina la expresión de 1M − en función de M y de I.



82. (2007-5B-3)

[2'5 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible:

1

x my mmx y m

mx my

+ = + = + =

.

83. (2007-6A-3)

Sea A la matriz 3 05 5

0 3A

λ = − λ − λ

e I la matriz identidad de orden 3.

a) [1'25 puntos] Calcula los valores de λ para los que el determinante de 2A I− es cero. b) [1'25 puntos] Calcula la matriz inversa de 2A I− para 2λ = − .

84. (2007-6B-3)


2 0

x y mzmy z

x my

+ + = − = − + =

.

a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m. b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

85. (2008-1A-3)

Dado el sistema de ecuaciones lineales 0

2 05 1

x y zx y z

x y z

+ λ − = + + λ = + − λ = λ +

a) [1'5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. b) [1 punto] Resuélvelo para 1λ = − .

86. (2008-1B-3)

[2'5 puntos] Dadas las matrices 1 1 10 1 01 2 2

A =

, 1 00 12 1

B = −

y 2 0 11 1 1

C− −

= −

Calcula la matriz P que verifica TA P B C⋅ − = ( TC es la matriz traspuesta de C). 87. (2008-2A-3)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones 1

21

x y z ax y az a

x ay z

+ + = − + + = + + =

a) [1'5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. b) [1 punto] Resuélvelo en el caso 2a = .



88. (2008-2B-3)

Sabemos que el sistema de ecuaciones: 2 3 1

2 2x y z

x y z− + =

+ − =

tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación 7 7ax y z+ + = .

a) [1'25 puntos] Determina el valor de a. b) [1'25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los

valores de las incógnitas sea igual a la unidad. 89. (2008-3A-3)

Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) [1'25 puntos] ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? b) [1'25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50,

calcula cuántos billetes hay de cada tipo. 90. (2008-3B-3)


2

1 1 1

A m m m

m m m

=

.

a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

b) [1'5 puntos] Estudia si el sistema 111

xA y

z

⋅ =

tiene solución para cada uno de los valores de m

obtenidos en el apartado anterior. 91. (2008-4A-3)

Dado el siguiente sistema de ecuaciones

( )

10

1 1

x yky z

x k y kz k

+ = + = + + + = +

a) [1'25 puntos] Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) [1'25 puntos] Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga 2z = .

92. (2008-4B-3)

[2'5 puntos] Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones:

2

2 2 22

3

x y zx y z m

x y z m

− + − =+ + =

+ − =

93. (2008-5A-3)

[2'5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y 0 1 21 0 21 1 3

A− −

= − −

. Calcula, si existe, el valor de k para

el cual ( )2A kI− es la matriz nula.



94. (2008-5B-3)

Dadas las matrices 1 1 21 2 11 1 1

A =

y 1 0 22 0 41 1 1

B = −

a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial AX B A I+ = + , donde I denota la matriz identidad de

orden 3. 95. (2008-6A-3)

a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

222 4

x y z mxx y z myx y z mz

+ + = + + = + + =

b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso 0m = y para el caso 1m = . 96. (2008-6B-3)

Dada la matriz 1 3

1 31 7

kA k

k

=

a) [1'25 puntos] Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) [1'25 puntos] Para 0k = , halla la matriz inversa de A.

97. (2009-1A-3)

Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C. Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros. Pista 2: Si compramos n unidades de A, 3n + de B y tres de C gastamos 390 euros.

a) [1'5 puntos] ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) [1 punto] Sabiendo que 4n = y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de

cada producto. 98. (2009-1B-3)

Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican AXB C= . a) [1 punto] Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es –1

y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X.

b) [1'5 puntos] Si 1 10 2

A = −

, 1 22 3

B−

= − y

0 34 2

C =

, calcula la matriz X.

99. (2009-2A-3)

a) [1'75 puntos] Discute según los valores del parámetro λ el siguiente sistema 3 0

3 1

x yx zx y z

+ λ = + λ = λ+ + =

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para 0λ = .



100. (2009-2B-3)

[2'5 puntos] Sean las matrices 1 2 12 1 11 0 1

A−

= − − −

, 3 1 01 2 1

B = −

y 2 11 20 3

C− = −

Determina la matriz X que verifica 2tAX B C− = ( tB es la matriz traspuesta de B). 101. (2009-3A-3)

Sean F1, F2, F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale –2. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) [0'5 puntos] El determinante de 1B− .

b) [0'5 puntos] El determinante de ( )4tB ( tB es la matriz traspuesta de B).

c) [0'5 puntos] El determinante de 2B . d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son,

respectivamente, 1 35F F− , 33F , 2F . 102. (2009-3B-3)

[2'5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas.

103. (2009-4A-3)

Dadas las matrices 3 71 2

A =

y 1 34 2

B−

= −

a) [1 punto] Calcula, si existe, la matriz inversa de A. b) [1'5 puntos] Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales 2XA A B= + y

2AY A B= + . 104. (2009-4B-3)


3 54

x y zx y zx y z

+ λ + = + + = λ + + =

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro λ. b) [0'75 puntos] Resuélvelo en el caso 1λ = .

105. (2009-5A-3)

a) [1'25 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones 2

2 02 5 2

x zx y zx y z

+ = − + + = − + + =

b) [1'25 puntos] Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado a).

13 1

2 3

x y zx y zx y z

+ + = − + + = + + λ = −



106. (2009-5B-3)


A− − = − − − −

y x

X yz

=

a) [1 punto] Calcula, si existe, 1A− . b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema 3AX X= e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones.

107. (2009-6A-3)

Se consideran las matrices 3 12 1

A−

= − y B A kI= − , donde k es una constante e I la matriz identidad de

orden 2. a) [0'75 puntos] Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.

b) [0'5 puntos] Calcula 1B− para 1k = − .

c) [1'25 puntos] Determina las constantes α y β para las que se cumple 2A A I+α = β . 108. (2009-6B-3)

Sea el sistema de ecuaciones 11

x y mx my z

mx y z m

+ = + + + = + − =

a) [1'5 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema es compatible. b) [1 punto] Resuelve el sistema en el caso 1m = − .

109. (2010-1A-3)

Considera el sistema 3 2 52 3 4

x y zx y z− + =

− + = −

a) [1'5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación 9x y z+ + λ = sea compatible indeterminado.

b) [1 punto] ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución? 110. (2010-1B-3)

Sean las matrices 1 2 3

1 30 2

A = α α

y 234

B− =

a) [0'5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa. b) [1'25 puntos] Calcula la inversa de A para 1α = . c) [0'75 puntos] Resuelve, para 1α = , el sistema de ecuaciones AX B= .

111. (2010-2A-3)

Sean las matrices 1 0 10 34 1

A mm

− = −

, 1 03 21 1

B = −

y 5 3 43 2 2

C−

= − −

a) [0'5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible.

b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial tXA B C− = para 0m = . ( tB es la matriz traspuesta de B).



112. (2010-2B-3)

Sea el siguiente sistema de ecuaciones 2

2 2x y zx y zx y z

λ + + = λ +− λ + =− + λ = λ

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores de λ. ¿Tiene siempre solución? b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para 1λ = − .

113. (2010-3A-3)

Considera las siguientes matrices 1 20 1

A−

=

y 3 02 1

B−

= −

a) [0'75 puntos] Calcula 1A− .

b) [1'75 puntos] Resuelve la ecuación matricial 2tAXA B I− = , donde I es la matriz identidad de orden 2 y tA es la matriz traspuesta de A.

114. (2010-3B-3)

[2'5 puntos] Obtén un vector no nulo ( ), ,v a b c= , de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

1 11 01 1

aA b

c

=

2 00 13 1

aB b

c

= −

115. (2010-4A-3)

Sea la matriz 5 4 22 1 14 4 1

A−

= − − −

a) [1'25 puntos] Comprueba que se verifica 22A A I− = .

b) [1'25 puntos] Calcula 1A− . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado a)). 116. (2010-4B-3)

Considera el sistema de ecuaciones ( )2 1

1m x y z

x y zx my z m

+ − − = − − + = − + − =

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0'75 puntos] Resuélvelo para el caso 1m = .

117. (2010-5A-3)

a) [1'75 puntos] Discute, según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones

( )2 2 43 2 6

x y zx y zx y z

− + λ + = λ λ + + λ + = + + = −λ

b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema anterior para 0λ = .



118. (2010-5B-3)

[2'5 puntos] Sean las matrices

1 01 1

A = −

, 1 0 00 1 10 1 2

B = − −

y 3 1 20 1 2

C = −

Calcula la matriz X que cumpla AX B C= . 119. (2010-6A-3)

Considera el sistema de ecuaciones 2 6 0

2 4 22 6 2

x y zx y zx y z

λ + + = + λ + = + λ + = λ −

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro λ. b) [0'75 puntos] Resuélvelo para 2λ = .

120. (2010-6B-3)

De la matriz a b

Ac d

=

se sabe que ( )det 4A = . Se pide:

a) [1'25 puntos] Halla ( )det 3 tA− y 2 2

det3 3

b ad c

− −

. Indica las propiedades que utilizas.

b) [0'75 puntos] Calcula ( )1det tA A− .

c) [0'5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que 3B I= , siendo I la matriz identidad, halla ( )det B .

121. (2011-1A-3)


A = λ − λ

y 0 0 11 0 00 1 0

B =

a) [1 punto] ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa? b) [1'5 puntos] Para 1λ = , resuelve la ecuación matricial 1A X A B− = .

122. (2011-1B-3)

Dadas las matrices 1 1 02 1 1

2 1 0 3A t t

t t

= + − − − +

y x

X yz

=

a) [1'75 puntos] Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. b) [0'75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema homogéneo 0AX = tiene más de una solución.

123. (2011-2A-3)

Dadas las matrices 1 1

1 11 1

Aα −

= α − − − α

y 011

B =

a) [1'75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α. b) [0'75 puntos] Para 2α = , resuelve la ecuación matricial AX B= .



124. (2011-2B-3)

Sean las matrices 13

Aα

= −α y

1 3 11 4 2

B = −

a) [1'25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es 112

A .

b) [1'25 puntos] Para 3α = − , determina la matriz X que verifica la ecuación tA X B= , siendo tA la matriz traspuesta de A.

125. (2011-3A-3)

Sean A y B dos matrices que verifican: 4 23 2

A B + =

y

2 41 2

A B − = −

a) [1 punto] Halla las matrices ( )( )A B A B+ − y 2 2A B− .

b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial ( ) 2tXA XB A B I− − + = , siendo I la matriz identidad de

orden 2 y ( )tA B+ la matriz traspuesta de A B+ . 126. (2011-3B-3)

Sea la matriz 3 05 5

0 3A

λ = − λ − λ

a) [1 punto] Determina los valores de λ para los que la matriz 2A I− tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) [1'5 puntos] Para 2λ = − , resuelve la ecuación matricial 2AX X I= + . 127. (2011-4A-3)

Considera el sistema de ecuaciones 2 2 4 423 3 3 3

x y zx z ax y z

− + = + = − − + = −

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. b) [0'75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.

128. (2011-4B-3)

Dada la matriz 1 12 1

A−

= −

a) [1 punto] Demuestra que 2 2A A I+ = y que 1 2A A I− = + , siendo I la matriz identidad de orden 2.

b) [1'5 puntos] Calcula la matriz X que verifica la ecuación 2 5 4A XA A I+ + = . 129. (2011-5A-3)

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son 12

A = y 2B = − . Halla:

a) [0'5 puntos] 3A .

b) [0'5 puntos] 1A− .

c) [0'5 puntos] 2A− .

d) [0'5 puntos] tAB , siendo tB la matriz traspuesta de B.

e) [0'5 puntos] El rango de B.



130. (2011-5B-3)

Dada la matriz 0 3 41 4 51 3 4

A = − − −

a) [0'5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad 3A I= − , siendo la matriz identidad de orden 3. b) [1'25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa.

c) [0'75 puntos] Calcula razonadamente 100A . 131. (2011-6A-3)


x y zx y zx y z

−λ + + = + λ + = λ + + =

a) [1'75 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para 0λ = .

132. (2011-6B-3)

Dada la matriz 1 0

1 1A

λ + = −

a) [1'25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz 2 3A A+ no tiene inversa. b) [1'25 puntos] Para 0λ = , halla la matriz X que verifica la ecuación 2AX A I+ = , siendo I la matriz

identidad de orden 2. 133. (2012-1A-3)

[2'5 puntos] Considera las matrices 1 2 00 1 21 2 1

A =

0 11 0

B =

y 1 2 01 1 2

C−

=

Determina, si existe, la matriz X que verifica tAXB C= , siendo tC la matriz traspuesta de C. 134. (2012-1B-3)

Dado el sistema de ecuaciones 2 3

2 13 7 1

kx yx kzx y z k

+ = − + = − − − = +

a) [1'75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. b) [0'75 puntos] Resuélvelo para 1k = .

135. (2012-2A-3)


( )1 2 12

2 1

x k y zkx y zx y z k

+ + + = − + + = − − = +

a) [1'75 puntos] Clasifícalo según los distintos valores de k. b) [0'75 puntos] Resuélvelo para el caso 2k = .



136. (2012-2B-3)

[2'5 puntos] Encuentra la matriz X que satisface la ecuación 3XA A B A+ = , siendo 0 0 10 1 01 0 0

A =

y 2 1 00 2 11 0 2

B−

= − −

137. (2012-3A-3)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas 2 2

21

kx yx ky kx y

+ = + = − = −

a) [0'5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k. b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso.

138. (2012-3B-3)

Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

20

x yy z

x y z

− = λ λ + λ = λ − − + λ =

a) [1'25 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ . b) [1'25 puntos] Resuélvelo para 0λ = y 1λ = − .

139. (2012-4A-3)

Sea la matriz 0 0 12 1 21 1

Ak

=

a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifíca la respuesta.

b) [1'5 puntos] Para 0k = , resuelve la ecuación matricial ( ) tX I A A+ ⋅ = , donde I denota la matriz

identidad y tA la matriz traspuesta de A. 140. (2012-4B-3)


( )

13 2 2 3

3 1

x y zy z

x y z

+ + = λ + + = λ + + λ − + = λ

a) [1 punto] Resuelve el sistema para 1λ = . b) [1 punto] Halla los valores de λ _ para los que el sistema tiene una _única solución.

c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de λ para el que el sistema admite la solución 1 1, 0,2 2−

?



141. (2012-5A-3)


( )

2 12 3

1 2

x ky z kx y kz

k x y z k

+ + = + + + = + + + = +

a) [1'25 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. b) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para 0k = .

142. (2012-5B-3)

Dada la matriz 3 25 1

A−

=

, sea B la matriz que verifica que 2 17 3

AB−

=

a) [1 punto] Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.

b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial 1A X B BA− − = . 143. (2012-6A-3)

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. a) [1'25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora?

Razona las respuestas. b) [1'25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 %, un 20% y un

25% de descuento respectivamente, el estudiante habrá pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

144. (2012-6B-3)


2 12

x y kzx ky

y z k

+ + = + = + =

a) [1 punto] Clasifica el sistema según los valores del parámetro k. b) [0'75 puntos] Resuélvelo para 1k = . c) [0'75 puntos] Resuélvelo para 1k = − .

145. (2013-1A-3)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, 2 0

23 2

x y zx y mz m

mx y z m

+ + = − + = − + + = −

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) [0'75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para 2m = .

146. (2013-1B-3)

Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es ( )det 2M = . Calcula:

a) [0'5 puntos] El rango de 3M . b) [0'75 puntos] El determinante de 2 tM ( tM es la matriz traspuesta de M).

c) [0'75 puntos] El determinante de ( )21M − .

d) [0'5 puntos] El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.



147. (2013-2A-3)


A =

y 1 1 11 1 10 0 1

B− = − −

.

a) [1 punto] Halla, si es posible, 1A− y 1B− . b) [0'25 puntos] Halla el determinante de 2013 tAB A siendo tA la matriz traspuesta de A. c) [1'25 puntos] Calcula la matriz X que satisface AX B AB− = .

148. (2013-2B-3)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, 2 4 6 6

2 13 6 3 9

x y zmy z m

x y mz

− + = + = + − + − = −

.

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) [0'75 puntos] Resuélvelo para 3m = . Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que

0y = . 149. (2013-3A-3)

Sean 2 1 31 2

0 2A m m

m

− − = − −

, 110

B =

y x

X yz

=

.

a) [1'25 puntos] Determina el rango de A según los valores del parámetro m. b) [0'75 puntos] Discute el sistema AX B= según los valores del parámetro m. c) [0'5 puntos] Resuelve el sistema AX B= para 1m = .

150. (2013-3B-3)

Sean A y B las matrices 2 33 5A − = −

y 1 49 5B − = −

.

a) [1'25 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que 2X Y A− = y 3X Y B− = . b) [1'25 puntos] Halla la matriz Z que verifica 2 3tB ZA B I+ + = (I denota la matriz identidad y tB la

matriz traspuesta de B). 151. (2013-4A-3)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 0

2 3 3x y zx y z− + =

+ − = .

a) [1'5 puntos] Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación 4 3x my z+ + = −

al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones. b) [1 punto] Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.

152. (2013-4B-3)

Considera las matrices 1 20 1A − =

y 1 1

1 0B − =

.

a) [1'25 puntos] Calcula X e Y tales que tX Y A− = y 2X Y B− = ( tA es la matriz traspuesta de A). b) [1'25 puntos] Calcula Z tal que AZ BZ A= + .



153. (2013-5A-3)


A− =

, 0 2 11 2 0B =

y 1 21 6C = −

.

a) [0'75 puntos] Halla 1A− . b) [1'25 puntos] Calcula la matriz X que satisface tAX B C= ( tB es la matriz traspuesta de B).

c) [0'5 puntos] Halla el determinante de ( )20132013 1tA B B A− .

154. (2013-5B-3)

Sabiendo que el determinante de una matriz a b c

A d e fp q r

=

es 4, calcula los siguientes determinantes

indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: a) [1 punto] ( )det 2A− y ( )1det A− .

b) [1'5 puntos] 2 2 2a b cd e fp q r

−−−

y 3 3 3d e f

a b cp q r

− − −

− − −.

155. (2013-6A-3)

Sea 1 0 10 1 01 1 1

M mm

− = + −

.

a) [0'75 puntos] Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes.

b) [1 punto] Estudia el rango de M según los valores de m. c) [0'75 puntos] Para 1m = , calcula la inversa de M.

156. (2013-6B-3)

Sea 1 11 1A = −

.

a) [1'5 puntos] Comprueba que 2 2A I= y calcula 1A− . b) [1 punto] Calcula 2013A y su inversa.


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