MATEMÁTICA Questões de 01 a 04 x - Qconcursos.com · 2º VESTIBULAR UFOP 2008 GRUPO 1 ... após...

MAT. – 6

2º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 1 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 01 a 04

01. Considere o seguinte sistema nas incógnitas x e y :

=+−=+

βα

yx

yx

66

184 2

Estabeleça condições sobreα e β para que o sistema:

A) tenha solução única.

B) não tenha solução.

MAT. – 7


GRUPO 1 – TIPO A

02. Na figura abaixo, h representa a altura relativa ao lado AC do triângulo ABC ; a e b são as medidas dos lados BC e AC , respectivamente, e α é a medida do ângulo BCA ˆ .

A) Mostre que a área do triângulo ABC é igual a 2

absenα .

B) Se o perímetro do triângulo é cm40 , 030=α e cmc 10= , quais devem ser as medidas de a e b de modo que a área do triângulo ABC seja a maior possível? Qual é essa área?

C

a c

b

H

h

α A

B

•

MAT. – 8


GRUPO 1 – TIPO A

03. Numa pirâmide quadrangular, todas as arestas são iguais. Assumindo o fato de que tal pirâmide é regular, responda ao que se segue:

A) Qual o ângulo formado entre duas arestas laterais não adjacentes?

B) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?

C) Se cada aresta mede cm10 , qual é o volume da pirâmide?

MAT. – 9


GRUPO 1 – TIPO A

04. Considere as matrizes

+−=

73

4

x

xA e

−=

32

34xB e responda às questões abaixo:

A) Para que valores reais de x tem-se 0det >A e 1det >B ?

B) Dentre os valores de x encontrados no item anterior, quais satisfazem a desigualdade 1detlogdet ≥AB ?

MAT. – 1


GRUPO 5 – TIPO A

MATEMÁTICA


01. Para realizar a meta de produção diária de uma fábrica, são necessárias duas máquinas funcionando 3 horas por dia. Em um determinado dia, uma delas quebrou e a outra, sozinha, realizou a produção prevista na meta em 4 horas. Em quanto tempo a máquina quebrada realizaria a meta diária de produção?

02. Um lado de um retângulo mede 52 . Determine a medida da diagonal e a medida do outro lado desse retângulo, sabendo que essas medidas são números inteiros.

MAT. – 2


GRUPO 5 – TIPO A

03. Na igualdade seguinte, a representa um algarismo nos números que estão escritos na base dez:

37 4 8 1 1 13a a aa a− = + − .

Determine o valor de a .

(Lembremos que se abcd representa um número na base dez, então dcbaabcd +++= 101001000 )

04. Participam de um festival de música 100 profissionais, entre instrumentistas e compositores. Há 85 instrumentistas e 66 compositores. Quantos são os instrumentistas que não são compositores?

MAT. – 3


GRUPO 5 – TIPO A

05. Considere as matrizes

+−=

73

4

x

xA e

−=

32

34xB e responda aos itens abaixo:

A) Para que valores reais de x tem-se 0det >A e 1det >B ?

B) Dentre os valores de x encontrados no item anterior, quais satisfazem a desigualdade 1detlogdet ≥AB ?

MAT. – 4


GRUPO 5 – TIPO A

06. Todo assalariado brasileiro, que ganha mensalmente acima de um certo valor estipulado pela Receita Federal, é obrigado a pagar imposto de renda, que incide sobre seu salário mensal, após descontado o INSS. O cálculo desse imposto é feito do seguinte modo (no que se segue, considere que os salários mencionados já estão com o desconto do INSS):

- o assalariado que recebe até R$1.300,00 é isento de pagamento de imposto;

- aquele que receber acima de R$1.300,00 e até R$2.700,00 paga 15% de imposto sobre o valor que exceder a R$1.300,00;

- se o assalariado receber acima de R$2.700,00, descontam-se 15% de R$1.400,00 (que é a diferença entre R$1.300,00 e R$2.700,00) mais 27,5 % sobre o valor que exceder a R$2.700,00.

A) Qual o desconto de imposto de renda de pessoas que recebem por mês, respectivamente, R$1.000,00, R$2.000,00 e R$3.000,00?

B) Faça um esboço do gráfico que representa o imposto pago em função do salário mensal recebido, considerando apenas os salários na faixa de R$300,00 a R$6.000,00.

MAT. – 5


GRUPO 5 – TIPO A

07. A figura abaixo representa um paralelogramo no plano cartesiano:

As coordenadas dos pontos C e D são, respectivamente, (4,2) e (1,-1), o segmento BC é paralelo ao eixo x e O é o ponto médio do segmento MN .

Encontre as coordenadas do ponto A.

A

B

y

C

D

xM N

O

MAT. – 6


GRUPO 5 – TIPO A

08. As pirâmides ABCDE e AMNOP da figura abaixo são regulares e de bases quadradas.

A pirâmide ABCDE tem volume 1V e altura 1h . A pirâmide AMNOP tem volume 2V e altura 2h .

A) Mostre que3

2

1

2

1

=

h

h

V

V.

B) Se 1h mede o triplo de 2h e o volume do tronco de pirâmide acima é 13cm3, determine o volume da pirâmide ABCDE .

A

B C

DE

M

O

N

P

MAT. – 7


GRUPO 5 – TIPO A

09. Duzentas e trinta bolas de bilhar de mesmo tamanho, entre brancas e pretas, serão dispostas em forma triangular, do seguinte modo: coloca-se uma bola branca; depois duas pretas; depois três brancas; depois quatro pretas; e assim por diante, até o momento em que o número de bolas restantes não será suficiente para montar uma nova fileira (veja figura a seguir).

A) Quantas bolas serão utilizadas?

B) Quantas bolas pretas serão utilizadas?

MAT. – 8


GRUPO 5 – TIPO A

10. Sobre cada um dos lados de um hexágono regular, de lado a , constrói-se um quadrado, externamente ao hexágono, conforme indica a figura.

Mostre que os vértices desses quadrados que não pertencem ao hexágono são os vértices de um dodecágono regular de lado a .

MAT. – 9


GRUPO 5 – TIPO A

11. Considere a decomposição em fatores primos do número 10800, isto é: 234 5.3.210800 = .

A) Explique por que os divisores de 10800 são da forma ,5.3.2 cba onde ba, e c são números inteiros tais que 30,40 ≤≤≤≤ ba e 20 ≤≤ c .

B) Quantos divisores o número 10800 possui?

C) Quantos são os divisores de 756 5.3.2 que são múltiplos de 15?

MAT. – 10


GRUPO 5 – TIPO A

12. Os dados da tabela abaixo expressam, entre outras informações, a porcentagem de domicílios brasileiros com acesso a bens e serviços nos anos de 1970 e de 2006.

1970 2006 Eletricidade 47,5 % 97,7 % TV 24 % 93 % Telefone 4,7 % 74,5 % Computador - 22,1 % Pão (Kg) Cr$ 1,80 R$ 5,03 Feijão (Kg) Cr$ 1,27 R$ 2,56 Arroz (Kg) Cr$ 1,19 R$ 1,50 Banana (dúzia) Cr$ 0,45 R$ 2,15 Leite (litro) Cr$ 0,60 R$ 1,45 Salário Mínimo Cr$ 187,20 R$ 350,00 Um dólar Cr$ 4,95 R$ 2,15 Moradores por casa 5,1 3,4 Católicos 91,8 % 73,6 %

Fonte: Almanaque Abril 2008 IBGE (Censo de 1970, Pnad 2006, Censo de 2000); DIEESE (preços de dezembro de 1970 a dezembro de 2006, em São Paulo, pesquisa da cesta básica)

Com base nesses dados, resolva o que se pede nos seguintes itens:

A) Tomando o dólar como parâmetro, calcule o reajuste percentual sofrido pelo salário mínimo no período 1970-2006 (em relação ao seu valor em 1970).

MAT. – 11


GRUPO 5 – TIPO A

B) O poder de compra do salário mínimo de 2006, para os alimentos que constam da tabela, aumentou ou diminuiu em relação ao ano de 1970? Justifique sua resposta.

MAT. – 8


GRUPO 6 – TIPO A

MATEMÁTICA


01. Dado um segmento de reta MN , define-se sua mediatriz como sendo a reta perpendicular a MN que contém seu ponto médio. Usando essa informação, faça o que se pede nos seguintes itens:

A) Mostre que qualquer ponto P da mediatriz de MN é eqüidistante de M e de N , isto é, medida de PM = medida de PN .

B) Use o item anterior para mostrar que as mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado circuncentro do triângulo. Explique por que o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

MAT. – 9


GRUPO 6 – TIPO A

C) Use as informações contidas nos itens (A) e (B) para resolver o seguinte problema:

Considere o triângulo ABC no plano cartesiano, em que )0,2(),0,2( =−= BA e )4,0(=C . Encontre a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

MAT. – 10


GRUPO 6 – TIPO A

02. Considere o seguinte sistema nas incógnitas x e y :

=+−=+

βα

yx

yx

66

184 2

.

Estabeleça condições sobreα e β para que o sistema:

A) tenha solução única.

B) não tenha solução.

MAT. – 11


GRUPO 6 – TIPO A

03. Uma turma de estudantes resolveu bancar sua festa de formatura coletando uma mesma quantia de cada um deles, totalizando R$2.304,00. Alguns dias antes da festa, quatro formandos desistiram de contribuir para a coleta, o que elevou em R$8,00 a contribuição de cada um dos que permaneceram. Quantos são os formandos dessa turma?

04. Numa pirâmide quadrangular, todas as arestas são iguais. Assumindo o fato de que tal pirâmide é regular, responda ao que se segue:

A) Qual o ângulo formado entre duas arestas laterais não adjacentes?

B) Se cada aresta mede 12cm, qual é o volume da pirâmide?

MAT. – 12


GRUPO 6 – TIPO A

05. Os dados da tabela abaixo expressam, entre outras informações, a porcentagem de domicílios brasileiros com acesso a bens e serviços nos anos de 1970 e de 2006.

1970 2006 Eletricidade 47,5 % 97,7 % TV 24 % 93 % Telefone 4,7 % 74,5 % Computador - 22,1 % Pão (Kg) Cr$ 1,80 R$ 5,03 Feijão (Kg) Cr$ 1,27 R$ 2,56 Arroz (Kg) Cr$ 1,19 R$ 1,50 Banana (dúzia) Cr$ 0,45 R$ 2,15 Leite (litro) Cr$ 0,60 R$ 1,45 Salário Mínimo Cr$ 187,20 R$ 350,00 Um dólar Cr$ 4,95 R$ 2,15 Moradores por casa 5,1 3,4 Católicos 91,8 % 73,6 %

Fonte: Almanaque Abril 2008 IBGE (Censo de 1970, Pnad 2006, Censo de 2000); DIEESE (preços de dezembro de 1970 a dezembro de 2006, em São Paulo, pesquisa da cesta básica)

Com base nesses dados, faça o que se pede nos seguintes itens:

A) Tomando o dólar como parâmetro, calcule o reajuste percentual sofrido pelo salário mínimo no período 1970-2006 (em relação ao seu valor em 1970).

MAT. – 13


GRUPO 6 – TIPO A

B) O poder de compra do salário mínimo de 2006, para os alimentos que constam da tabela, aumentou ou diminuiu em relação ao ano de 1970? Justifique sua resposta.

MAT. – 14


GRUPO 6 – TIPO A

06. Considere o triângulo ABC da figura abaixo e suponha que os ângulos B e C sejam agudos, de modo que a altura AH em relação ao lado BC seja um segmento de reta interno ao triângulo ABC.

A) Mostre que Csen

c

Bsen

bˆˆ

= .

B

cb

aH

h

α

C

A

•

MAT. – 15


GRUPO 6 – TIPO A

B) Use a igualdade do item anterior para resolver o seguinte problema: Um topógrafo encontra-se ao pé de uma torre A na margem de um rio largo e deseja encontrar a distância dessa torre a uma torre B na margem oposta, sem atravessar o rio. Para isso, ele escolhe uma árvore C na margem em que se encontra e, com sua trena, mede a distância de A a C, obtendo 100m. Com seu teodolito, mede os ângulos 075BÂC = e 060ˆ =BCA (veja figura). Tendo em vista esses dados, calcule a distância entre as torres.

B

A•

•

•

100m

75°

60°

C

MATEMÁTICA Questões de 01 a 04 x - Qconcursos.com · 2º VESTIBULAR UFOP 2008 GRUPO 1 ... após...

Documents

Transcript of MATEMÁTICA Questões de 01 a 04 x - Qconcursos.com · 2º VESTIBULAR UFOP 2008 GRUPO 1 ... após...