Rijeeni zadaci iz matematike Rijeeni zadaci iz Zbirke zadataka iz vie matematike I Slaven Vukovi = = bankk kxdx x f x fk) ( ) ( lim10Rijeeni zadaci iz matematike 2A Uvod Ova zbirka zadataka iz matematike predstavlja skup rijeenih zadataka iz Zbirke zadataka iz vie matematike I ([USC88]), autora Pavla Milia i Momila Uumlia ili meu rajom poznata kao Uumli. Meni je uvijek problem sa matematikom predstavljalo to da zbirke imaju veinom samo zadatke i rjeenja, i nekad mi je dugo vremena trebalo da spoznam metodu rijeavanja datog problema. Tako sam odluio da napiem sve one zadatke koje sam izvjebao za pripremu ispita iz matematike i da ih samem u jednu zbirku rijeenih zadataka. Poto ova zbirka sadri samo neke zadatke iz gore pomenute zbirke, bilo bi dobro ako neko ima neke druge zadatke uraene da mi ih poalje na e-mail, kako bi se ova zbirka upotpunila (naravno uz navoenje imena autora zadatka). Svi zadaci su navedeni u obliku (br. strane/br. zadatka), koji predstavlja broj strane i broj zadatka u zbirci ([USC88]) tako da se lake snaete. Zbirka je potpuno free, tako da je moete slobodno kopirati, tampati, slati....uz to da ostane autorovo ime (itaj moje ime) vidljivo.Ukoliko naete neku greku ili imate neku sugestiju, kritiku(samo konstruktivnu molim ; ) ) javite mi na mail. Nadam se da e ova zbirka pomoi svima onima koji se mue sa matematikom da je poloe. Slaven Vukovi, 2005. slaven.slo@gmail.com Ova zbirka se moe nai na: http://fajlovi.misljen.org/Rijeseni%20Zadaci%20iz%20Matematike.pdf http://misljen.org/cs/blogs/matematika_blog/ Rijeeni zadaci iz matematke 3 1 Zadaci iz matematike indukcije A mathematician is a machine for turning coffee into theorems. -Paul Erds Princip matematike indukcije Ako je tvrdnja (n), n N istinita za broj 1 i ako na osnovu predpostavke da je tvrdnja istinita za broj k, ustanovimo da je istinita i za broj k+1 onda je tvrdnja tana za svaki prirodni broj. 1. (30/339.) Dokazati identitet putem matematike indukcije 2) 1 (3 2 1+= + + + +n nn K*Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 2) 1 1 ( 11+=2) 2 ( 11= (T) *Vidimo da vrijedi jednakost za n=1 *Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 2) 1 (3 2 1+= + + + +k kk K*Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 2) 2 )( 1 () 1 ( 3 2 1+ += + + + + + +k kk k K2) 2 )( 1 () 1 (2) 1 ( + += + ++ k kkk k 2) 2 )( 1 (2) 1 ( 2 ) 1 ( + +=+ + + k k k k k 2) 2 )( 1 (2) 2 )( 1 ( + +=+ + k k k k(T)Sa ovim je tvrdnja dokazana 2. (30/340. 1) Dokazati identitet putem matematike indukcije: 6) 1 2 )( 1 (3 2 12 2 2 2+ += + + + +n n nn K* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 Rijeeni zadaci iz matematike 46) 1 1 2 )( 1 1 ( 112+ +=6) 3 )( 2 ( 11= (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 6) 1 2 )( 1 (3 2 12 2 2 2+ += + + + +k k kk K *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 6) 3 2 )( 2 )( 1 () 1 ( 3 2 12 2 2 2 2+ + += + + + + + +k k kk k K6) 3 2 )( 2 )( 1 () 1 (6) 1 2 )( 1 (2+ + += + ++ + k k kkk k k 6) 3 2 )( 2 )( 1 (6) 1 ( 6 ) 1 2 )( 1 (2+ + +=+ + + + k k k k k k k [ ]6) 3 2 )( 2 )( 1 (6) 1 ( 6 ) 1 2 ( ) 1 ( + + +=+ + + + k k k k k k k 6) 3 2 )( 2 )( 1 (6) 6 6 2 )( 1 (2+ + +=+ + + + k k k k k k k 6) 3 2 )( 2 )( 1 (6) 6 7 2 )( 1 (2+ + +=+ + + k k k k k k 6) 3 2 )( 2 )( 1 (6) 6 3 4 2 )( 1 (2+ + +=+ + + + k k k k k k k [ ]6) 3 2 )( 2 )( 1 (6) 3 2 ( 2 ) 3 2 ( ) 1 ( + + +=+ + + + k k k k k k k 6) 3 2 )( 2 )( 1 (6) 3 2 )( 2 )( 1 ( + + +=+ + + k k k k k k (T) Tvrdnja je dokazana 3. (30/340. 2) Dokazati identitet putem matematike indukcije: 3) 2 )( 1 () 1 ( 4 3 3 2 2 1+ += + + + + + n n nn n K* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 3) 2 1 )( 1 1 ( 1) 1 1 ( 1+ += +3) 3 )( 2 ( 1) 2 ( 1 =(T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 3) 2 )( 1 () 1 ( 4 3 3 2 2 1+ += + + + + + k k kk k K*Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 Rijeeni zadaci iz matematke 5 3) 3 )( 2 )( 1 () 1 1 )( 1 ( ) 1 (+ + += + + + + +k k kk k k k3) 3 )( 2 )( 1 () 2 )( 1 (3) 2 )( 1 ( + + += + + ++ + k k kk kk k k 3) 3 )( 2 )( 1 (3) 2 )( 1 ( 3 ) 2 )( 1 ( + + +=+ + + + + k k k k k k k k 3) 3 )( 2 )( 1 (3) 3 )( 2 )( 1 ( + + +=+ + + k k k k k k (T) Tvrdnja je dokazana 4. (30/341.) Dokazati identitet putem matematike indukcije: 1 2 ) 1 2 )( 1 2 (15 313 11+=+ + ++ nnn nK* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 1 1 21) 1 1 2 )( 1 1 2 (1+ =+ 31) 3 )( 1 (1= (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 1 2 ) 1 2 )( 1 2 (15 313 11+=+ + ++ kkk kK*Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 3 21) 3 2 )( 1 2 (11 2 ++=+ +++ kkk k kk 3 21) 3 2 )( 1 2 (1 ) 3 2 (++=+ ++ +kkk kk k 3 21) 3 2 )( 1 2 (1 3 22++=+ ++ +kkk kk k 3 21) 3 2 )( 1 2 (1 2 22++=+ ++ + +kkk kk k k 3 21) 3 2 )( 1 2 () 1 2 ( ) 1 2 (++=+ ++ + +kkk kk k k 3 21) 3 2 )( 1 2 () 1 )( 1 2 (++=+ ++ +kkk kk k 3 213 21++=++kkkk (T) Tvrdnja je dokazana Rijeeni zadaci iz matematike 65. (30/342.) Dokazati identitet putem matematike indukcije: ) 3 )( 2 )( 1 (41) 2 )( 1 ( 5 4 3 4 3 2 3 2 1 + + + = + + + + + + n n n n n n n K* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 ) 3 1 )( 2 1 )( 1 1 ( 141) 2 1 )( 1 1 ( 1 + + + = + +) 4 )( 3 )( 2 ( 141) 3 )( 2 ( 1 = (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k ) 3 )( 2 )( 1 (41) 2 )( 1 ( 5 4 3 4 3 2 3 2 1 + + + = + + + + + + k k k k k k k K*Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 ) 4 )( 2 )( 2 )( 1 (41) 3 )( 2 )( 1 ( ) 3 )( 2 )( 1 (41+ + + + = + + + + + + + k k k k k k k k k k k) 4 )( 3 )( 2 )( 1 (414) 3 )( 2 )( 1 ( 4 ) 3 )( 2 )( 1 (+ + + + =+ + + + + + +k k k kk k k k k k k ) 4 )( 2 )( 2 )( 1 (41) 4 )( 3 )( 2 )( 1 (41+ + + + = + + + + k k k k k k k k (T) Tvrdnja je dokazana 6. (30/343.) Dokazati identitet putem matematike indukcije: 2) 1 () 1 ( ) 1 ( 3 2 11 2 1 2 2 2+ = + + n nnn nK* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 2) 1 1 ( 1) 1 ( 1 ) 1 (0 2 0+ = 2) 2 ( 1) 1 ( 1 ) 1 (0 2 0 = (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 2) 1 () 1 ( ) 1 ( 3 2 11 2 1 2 2 2+ = + + k kkk kK *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 2) 2 )( 1 () 1 ( ) 1 ( ) 1 (2) 1 () 1 (1 1 2 1 1 1+ + = + ++ + + k kkk kk k k Rijeeni zadaci iz matematke 7 2) 2 )( 1 () 1 ( ) 1 ( ) 1 (2) 1 () 1 (1 1 2 1 1 1+ + = + ++ + + k kkk kk k k 2) 2 )( 1 () 1 (2) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 (2 1+ + =+ + + k k k k kkk k [ ]2) 2 )( 1 () 1 (2) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 (1+ + =+ + +k k k k kkk k 2) 2 )( 1 () 1 (2) 1 ( 2 ) 1 ( 21) 1 () 1 (+ + =

+ ++k kk k kkk kk [ ] { }2) 2 )( 1 () 1 (22 2 ) 1 ( ) 1 ( + + =+ + + k k k k kkk 2) 2 )( 1 () 1 (2) 2 )( 1 () 1 (1 1 1+ + =+ + + k k k k kk k(T) Tvrdnja je dokazana 7. (31/356.) Dokazati da je zbir kubova tri uzastopna prirodna broja dijeljiv sa 9. 3 3 3) 2 ( ) 1 ( | 9 + + + + n n n* Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=1 3 3 3) 2 1 ( ) 1 1 ( 1 | 9 + + + +27 8 1 | 9 + +36 | 9(T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 3 3 3) 2 ( ) 1 ( | 9 + + + + k k k*Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 3 3 3) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( | 9 + + + + + k k k27 9 9 ) 2 ( ) 1 ( | 92 3 3 3+ + + + + + + k k k k k4 43 4 42 1 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1dijeljivo Tk k k k k ) 3 ( 9 ) 2 ( ) 1 ( | 92 3 3 3+ + + + + + + 8. (31/357.) Dokazati dijeljivost. 12 5 | 3++n n (n=0,1, 2,) * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=0 1 0 02 5 | 3++3 | 3 (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 12 5 | 3++k k Rijeeni zadaci iz matematike 8*Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 2 12 5 | 3+ ++k k 2 2 5 5 | 31 + + k k 2 2 5 ) 2 3 ( | 31 + ++ k k 2 2 5 2 5 3 | 31 + + + k k k ) 2 5 ( 2 5 3 | 31 ++ + k k k (T) 9. (31/360.) Dokazati dijeljivost. 1 2 2 2 1 22 3 2 5 | 19+ + + ++n n n n (n=0,1, 2,) * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=0 1 2 2 12 3 2 5 | 19 +2 9 4 5 | 19 + 38 | 19 (T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 1 2 2 2 1 22 3 2 5 | 19+ + + ++k k k k *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 1 ) 1 ( 2 2 1 2 1 1 ) 1 ( 22 3 2 5 | 19+ + + + + + + ++k k k k 3 2 3 3 3 22 3 2 5 | 19+ + + ++k k k k 1 2 2 2 1 22 4 3 3 2 2 5 25 | 19+ + + + + k k k k ) 2 3 ( 12 ) 2 5 ( 50 | 191 2 2 2 1 2 + + + ++k k k k ) 2 3 ( 12 ) 2 5 )( 12 38 ( | 191 2 2 2 1 2 + + + ++ +k k k k ) 2 5 ( 38 ) 2 3 ( 12 ) 2 5 ( 12 | 192 1 2 1 2 2 2 1 2 + + + + + ++ +k k k k k k ) 2 5 ( 38 ) 2 3 2 5 ( 12 | 192 1 2 1 2 2 2 1 2 + + + + + ++ +k k k k k k (T) 10. (31/362.) Dokazati dijeljivost. 1 2 212 11 | 133+ ++n n(n = 0,1, 2,) * Provjerimo dali vrijedi jednakost za n=0 1 0 2 012 11 | 133+ ++133 | 133(T) * Predpostavimo da jednakost vrijedi i za n=k 1 2 212 11 | 133+ ++k k *Provjerimo vrijedi li jednakost za n = k+1 Rijeeni zadaci iz matematke 9 1 ) 1 ( 2 2 112 11 | 133+ + + ++k k 3 2 312 11 | 133+ ++k k 1 2 212 144 11 11 | 133+ + + k k 1 2 212 ) 11 133 ( 11 11 | 133+ ++ + k k 1 2 1 2 212 133 12 11 11 11 | 133+ + + + + k k k 1 2 1 2 212 133 ) 12 11 ( 11 | 133+ + + + +k k k(T) Rijeeni zadaci iz matematike 102 Zadaci iz linearne algebre ...beware of mathematicians, and all those who make empty prophecies. The danger already exists that the mathematicians have made a covenant with the devil to darken the spirit and to confine man in the bonds of Hell. -Saint Augustine, De Genesi ad Litteram Determinante Determinanta je kvadratna ema brojeva koja ima svoju vrijednost. LaPlaceova teorema za izraunavanje determinante n-tog reda Ako je determinanta n-tog reda, D, proizvoljno odabrano k vrsta (ili k kolona) (1 k n-1) onda je zbir proizvoda svih minora k-tog reda iz izabranih k vrsta (k kolona) sa njihovim algebarskim kofaktorom jednak vrijednosti determinante. Osobine determinante: 1)Vrijednost determinante se ne mijenja ako vrste zamijene mijesta sa odgovarajuim kolonama. 2) Prilikom zamijene dvaju susjednih vrsta (kolona) determinanta mijenja znak. 3) Ako su elementi jedne vrste(kolone) proporcionalni odgovarajuim elementima druge vrste (kolone), determinanta je jednaka nuli. 4) Zajedniki inilac jedne vrste (kolone) moe se izdvojiti pred determinantu. 5) Vrijednost determinante se ne mijenja ako se elementima jedne vrste (kolone), dodaju odgovarajui elementi neke druge vrste ( kolone), umnoeni zajednikim faktorom. 6) Ako su svi elementi i-te vrste predstavljeni u oblikuaij= bj+ cj(j=1,2,...,n) tada je determinanta jednaka zbiru dvije determinante kod kojih su vrste u obje, osim i-te, jednake vrstama date determinante a i-ta vrsta jedne determinante jednaka je b a druge cj 11. ( 77/864.) 3 4 12 3 53 1 2= 40 1 5 3 2 2 4 3 3 1 4 5 3 2 1 1 3 3 2 = + + Ova determinanta je rijeena preko Sarusovog pravila.

-- - 32 3122 2112 1133 32 3123 22 2113 12 11a aa aa aa a aa a aa a a + + + Rijeeni zadaci iz matematke 11 33 21 12 32 23 11 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11a a a a a a a a a a a a a a a a a a + +Sarusovo pravilo vrijedi samo kod determinanti treeg reda. 12. ( 78/874.) 64 8 149 7 125 5 1= 39 3 024 2 025 5 1=15 1 024 2 025 5 1=15 1 06 0 025 5 1= -6 0 015 1 025 5 1= 6 Ova metoda rjeavanja determinante se bazira na pravljenju nula na odreenim mijestima. Nule pravimo tako sto jednu vrstu (ili kolonu) pomnoimo sa nekim brojem i dodamo je nekoj drugoj vrsti (ili koloni). Po pravilima determinante to je dozvoljen, tj.determinanta nee promijeniti vrijednost. Dakle u ovom sluaju pomnoimo prvu vrstu sa 1 i dodamo je drugoj i treoj, tako da dobijemo nule na pozicijama 2,1 i 3,1. Nakon toga moemo da napravimo nulu na mjestu 2,2 tako to treu vrstu pomnoimo sa 2 i dodamo je drugoj. Tako smo dobili i nulu na toj poziciji. Sada mijenjamo mijesto drugoj i treoj vrsti i tim se determinanti po pravilima determinante mijenja znak. Sada smo dobili determinantu takvu da njenu vrijednost dobivamo jednostavno mnoei njenu diojagonalu. Poto su slijedei zadaci u zbirci slini i poprilino jednostavni za rijeavanje ja u navesti kao slijedee zadatke, one koji imaju teinu ispitnih zadataka. 13. ( 79/890.) 5 4 14 21 2 3 + + + x x xx x xx x x= 0 5 4 14 21 2 3 + + + x x xx x xx x x = 4 2 21 6 51 2 3 + x x x = 0 0 211 11 57 3 5 3 x x = 1 17 3 511 2 =x= 22(5+3x-7) = 22(3x-2) Ako sada rijeimo jednainu: 22(3x-2) = 0 dobit emo da je 32= x . Dakle u ovom primjeru je pomnoena prva vrsta sa 1 i dodana drugoj i treoj. Nakon toga pomnoena je prva kolona sa 1 i dodata drugoj i treoj. Poto imamo dvije nule na mijestima 3,2 i 3,3 izdvajamo determinantu 2x2 koja je pomnoena elementom 3,1. Rijeeni zadaci iz matematike 12Takoer izdvajamo broj 11 pred determinantu jer je on zajedniki druge vrste. Nakon toga determinantu rijeimo po Laplaceovoj teoremi. 14. ( 80/892.) b a ca c bc b a =) ( 33 3 3 3 3 3c b a abc b a c abc ab abc + + = + + Zadatak je jednostavno rijeen preko Sarusovog pravila. 15. ( 80/893.) c x xx b xx x a =) ( 22 3 2 2 2 3 3c b a x x abc c x a x b x x x abc + + + = + + 16. ( 80/895.) y x y xx y x yy x y x+++= y x x y xy x y x yy x y x2 22 22 2+ ++ ++= 111) ( 2x y xy x yy xy x++ += =001) ( 2y x yx x yy xy x += y x yx x yy x+ ) ( 2=[ ] xy y x x y y x + ) )( ( ) ( 2 ==[ ] xy xy x y xy y x + +2 2) ( 2=[ ] ) ( ) ( 22 2y xy x y x + += =) )( ( 22 2y xy x y x + + = 3) ( 2 y x 17. ( 80/896.) 2 2 22 2 22 2 2) () () (b a c cb a c ba a c b+++=

= + + + + + + + + =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b a b a c b c b a c c a c b a c b a b a a c c b= + + + + + + + + + + + + + =) 2 ( ) 2 () 2 ( 2 ) 2 )( 2 )( 2 (2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b ab a b a c bc b c ba ac c c a c b a b ab a a ac c c bc b Rijeeni zadaci iz matematke 13 = + + + + + + + + + + + =4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4 2 4 3 3 4 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 3 2 22 2 22 ) 2 )( 2 2 4 2 2 (b a b a b a c b c b c b c a c a c ac b a b ab a c a bc a b a ac abc c ab c bc c b = + + + + + ++ + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + =4 2 3 3 2 4 4 23 3 2 4 2 4 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 34 4 2 3 3 2 4 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 43 2 2 3 2 4 4 2 4 3 3 2 3 2 3 4 2 3 2 2 2 222 2 2 2 2 42 2 2 4 2 4 8 4 24 2 2 2 4 2 2b a b a b a c bc b c b c a c a c a c b a c b a c b a b a c ab c abc ab c b c b c b bc a c b a b a bc a c b a c b a abcc ab c ab c a bc a b a c a bc a c b a c a bc a c b a = + ++ + + + + + + + =c ab c b aabc c ab c ab bc a bc a c b a bc a c b a4 3 24 3 2 2 3 4 2 3 2 3 3 2 2 2 22 62 6 6 2 6 6 6 12 = + + + + + + + + + =3 2 3 2 2 3 2 2 23 3 3 6 3 3 6 ( 2 b ab c abc c b a c a b a ac abc abc [ ]3) (3 2 2 3) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( 23c b a abc c b a c c b a b a abcc b a+ + = + + + + + ++ +4 4 4 4 4 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 7 6 *3 2 2 3 33 3 ) ( b ab b a a b a + + + = +** c b abc c a c b a2 2 23 6 3 ) ( 3 + + = +***2 2 23 3 ) ( 3 bc ac b a c + = + 18. ( 80/904.) ) )( )( (111c a a b c bab cca bbc a =bc ab a cbc ca a bbc a 001 = ) ( 0) ( 01c a b a cb a c a bbc a = bcbc ac a a b1 01 01) )( ( = =c bcbc ac a a b 0 01 01) )( (=) )( )( ( c b c a a b 19. ( 80/905.) ) )( )( (111222b c a c a bc cb ba a =Rijeeni zadaci iz matematike 142 22 22001a c a ca b a ba a = 2 22 22001a c a ca b a ba a = ) )( ( 0) )( ( 012a c a c a ca b a b a ba a+ + == a ca ba aa c a b++ 1 01 01) )( (2 = b ca ba aa c a b+ 0 01 01) )( (2=) )( )( ( b c a c a b 20. ( 81/906.) ) )( )( )( (1 1 13 3 32 2 2y z x z x y yz xz xyz y xz y x + + ==+ + + + + + = ) )( ( ) )( () )( ( ) )( (0 0 12 2 2 23 3 3 3 32 2 2 2 2x zx z x z x xy y x yx z x z x y x yx z x y xx z x y x=+ + + ++ + =2 2 2 2) )( (x zx z x xy yx z x yx z x y[ ] = + + + + + + = ) )( ( ) )( ( ) )( (2 2 2 2x xy y x z x zx z x y x z x y[ ] = + + + + + + + + + + = ) ( ( ) )( (3 2 2 2 2 3 2 2 2 2x y x xy z x xyz z y x zx xz y x xyz yz x z x y[ ] = + = ) ( ) )( (2 2 2 2xy z y xz yz x z x y[ ] = + = ) ( ) ( ( ) )( (2 2 2yz z y y z x x z x y[ ] = + + = ) ( ( ) )( ( ( ) )( ( y z z y y z y z x x z x y[ ] ) )( )( )( ( ) ) ( ( ) )( )( ( yz xy xz y x x z x y yz y z x y x x z x y + + = + + = 21. ( 81/909.) 3) (2 22 22 2c b ab a c c cb a c b ba a c b a+ + = = + + + + + +b a c c cb a c b bc b a c b a c b a2 22 2 = + +b a c c cb a c b b c b a2 22 21 1 1) (Rijeeni zadaci iz matematke 15 = + + =c b a cb c b a b c b a0 22 20 0 1) (=+ + + + + + =) ( 0 22 ) ( 20 0 1) (c b a cb c b a b c b a[ ][ ] { }3) ( ) ( ) ( ) ( c b a c b a c b a c b a + + = + + + + + + = 22. ( 81/910.) 3) ( 2222c b ac b a b ac c b a ac b c b a+ + =+ ++ ++ + c b a b c b ac c b a c b ac b c b a2 2 2 22 2 2 22 2 2+ + + ++ + + ++ +=+ ++ + + + =c b a bc c b ac bc b a2 12 11) ( 2c b ac b ac bc b a+ ++ + + + =0 00 01) ( 2 = + + + + + + + = ) )( )( ( 2 c b a c b a c b a3) ( 2 c b a + + = 23. ( 82/918.) ( )( ) 4 1 39 1 3 25 1 3 23 2 2 13 2 1 12 222 =x xxx = = 22223 3 11 3 10 0 13 3 1 01 3 1 00 0 1 03 2 1 1xxxx ( ) = =223 3 11 3 10 0 11xx Rijeeni zadaci iz matematike 16( ) = =223 3 01 3 00 0 11xx ( ) = 223 3 01 3 00 0 11xx ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 1 3 4 1 3 4 3 12 2 2 2 2 2 = = = x x x x x x Rijeeni zadaci iz matematke 17 Sistemi linernih jednaina = + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x aLL L L L L L L L L L LLL2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 Sistem od m jednaina n nepoznatih. Cramerovo pravilo Neka je m=n, D=det [ ]ija i Dk determinanta koja se dobiva od D kada se umijesto k-te kolone u D stave slobodni lanovi. , , ,2 1 nb b b K1) Ako je D0 onda system ima jedinstveno rjsenje DDxkk = ) , , 2 , 1 ( n k K = 2) Ako je D=0 I bar jedna Dk0 sistem je protivrjean 3) Ako je), , , 2 , 1 ( 0 n k bkK = = tj ako je system homogen sa n jednaina I n nepoznatih tada on uvijek ima tz. Trivijalno rjeenje. 02 1= = = =nx x x LDa biovaj sistem imao netrivijalnih rjeenja potrbno je i dovoljno daje D=0 24. ( 90/961.) 3 92 4= += +ay xy ax

3294aa ) 6 )( 6 ( 36942+ = = = a a aaaD ) 6 ( 2 12 234 2 = = = a aaDx ) 6 ( 3 18 33 92 = = = a aaDy Rijeeni zadaci iz matematike 18( )( )( ) 626 66 2+=+ =a a aax ( )( )( ) 636 66 3+=+ =a a aay Za6 asistem je odreen, za6 = a sistem je neodreen, za6 = a sistem je protivrjean. 25. ( 90/977.) 5 6 8 53 5 5 32 3 2= + = + = + z y xz y xz y x

5326 8 55 5 31 3 2 0 54 80 25 24 75 606 8 55 5 31 3 2= + + + == D 06 8 55 5 31 3 2==xD 0 36 50 15 15 50 366 5 55 3 31 2 2= + + = =yD 0 45 50 48 45 505 8 53 5 32 3 2= + + ==zD Sistem je neodreen. Rijeeni zadaci iz matematke 19 26. ( 90/978.) 2 4 51 6 2 64 3 3= += + = + y xz y xz y x

2140 4 56 2 63 1 3 0 0 72 30 72 30 00 4 56 2 63 1 3= + + = = D 84 96 12 12 12 00 4 26 2 13 1 4 = + + = =xD 105 0 36 15 36 120 00 2 56 1 63 4 3= + + + = =yD 119 12 12 40 96 5 122 4 61 2 54 1 3= + + + = =zD Sistem je protivrjean. 27. ( 92/991.) 13 2 ) 2 ( 65 46= + + += + += + +z y a xz y axz y x

+ 13562 ) 2 ( 61 4 01 1 1a Rijeeni zadaci iz matematike 20= + + + + =+= a a a aaa D 2 ) 2 ( 24 ) 2 ( 6 82 ) 2 ( 61 41 1 1 = = + = 12 2 2 10 22 2a a a a a a) 3 )( 4 ( ) 4 ( 3 ) 4 ( 12 3 42+ = + = + = a a a a a a a a ) 3 ( 3 10 ) 2 ( 6 52 ) 2 ( 5 13 482 ) 2 ( 131 4 51 1 6+ = = + + + + =+= a a a aaDx 3 12 13 30 13 36 102 13 61 51 6 1+ = + = = a a y a Dy ) 3 )( 4 ( 6 ) 12 ( 6 13 ) 2 ( 5 144 ) 2 ( 6 30 5213 ) 2 ( 65 46 1 12+ = = + + + + =+= a a a a a a a aaa Dz ) 4 )( 3 () 4 )( 3 ( 6,) 4 )( 3 (3,) 4 )( 3 () 3 ( + += ++= ++ =a aa aza aaya aax siste je odreen za; 4 , 3 a aneodreen za3 = a ; protivrjean; 4 = a Rijeeni zadaci iz matematke 21 Matrice Operacije sa matricama: 1)Zbir dvije matrice A i B, istog tipa, je matrica C za koju jecij=aij+ bij(i=1,2,...,n; j=1,2,...,m) 2) Proizvod skalara i matrice A je matrica C za koju cij=aij(i=1,2,...,n; j=1,2,...,m) 3) Proizvod AB matrice[ ]m nj iija A,1 , == i matrice[ ]p mj iijb B,1 , ==je matrica[ ]p nj iijc C,1 , == za koju je) ,..., 2 , 1 ; ,..., 2 , 1 ( ,1p j n i b a cmkkj ik ij= = == Neke specijalne matrice: 1) Kvadratna matrica O, iji su svi elementi jednaki nuli, zove se nula matrica. 2) Kvadratna matrica D, iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli a elementi na glavnoj dijagonali razliiti od nule, zove se dijagonalna. 3) Dijagonalna matrica E, iji su svi elemenzi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, zove se jedinina. 4) Matrica AT, koja se dobiva kada se vrste matrice A uzmu za kolone matrice AT, zove se transponovana matrica matrice A. 5) MatricaA~, koja se dobiva kada se elementi matrice ATzamijene sa njihovim algebarskim komplementima, zove se adjungovana matrica matrice A. 6) Matrica kod koje je detA=0 kae se da je singularna, ako je detA0 kae se da je regularna 7) Matrica 1 A , za koju jeE A A AA = = 1 1, zovemo inverzna matrica matrice A. Matrica A ima inverznu matricu ako i samo ako je regularna. Tada je AAA~) det(11= 28. ( 101/1044.) Date su matrice

=4 52 3A ,

=5 24 3B . Nai 1) A+B; 2) A-B; 3) AB; 4) BA 1)

=

+

1 72 65 24 34 52 3 2)

=

9 36 05 24 34 52 3 Rijeeni zadaci iz matematike 22 3)

=

=

0 72 520 20 8 1510 12 4 95 24 34 52 3 4)

=

+ +=

24 3122 2920 4 25 616 6 20 94 52 35 24 3 29. ( 101/1048.) 1)

=

0 72 55 24 34 52 3 2)

+ ++ +=

+

d c d cb a b ad cb a 30. ( 101/1049.) 1)

=

+ + + ++ + + +=

3 103 90 0 3 1 0 90 1 2 1 2 60 11 21 32 0 31 1 2 2)

=

+ ++ +=

8106 2 03 4 33212 1 01 2 3 31. ( 101/1050.) [ ]

=

9 6 33 2 46 4 23 2 1312 32. ( 101/1051.) [ ] [ ] 13 3 8 21423 2 1 = + + =

Rijeeni zadaci iz matematke 23 33. ( 102/1052.) =

+ + + + + + + +=

15 24 20 27 7 4 12 28 1225 27 30 45 9 6 30 36 1820 24 25 36 8 5 24 32 155 9 63 1 45 1 33 7 45 9 64 8 5

=56 24 5832 48 2429 39 23 34. ( 102/1053.)

=

+ + + + + + + + + =

0 0 00 0 00 0 036 24 12 18 12 6 9 6 324 16 8 12 8 4 6 4 212 8 4 6 4 2 3 2 14 2 14 2 14 2 19 6 36 4 23 2 1 35. ( 102/1054.) 1) =

+ + =

=

4 32 116 6 12 38 2 6 14 32 14 32 14 32 14 32 13

=

+ + =

=22 2114 1340 18 30 924 10 18 54 32 110 96 5 2)

=

=

=

=

=

=

=

1 011 01 11 03 11 01 11 02 11 01 11 02 11 01 11 01 11 01 11 01 132nnnK

=

=1 01,1 01 1 nA Ann *Provjerimo dali tvrdnja vrijedi za n=1.

1 01 1 (T) Rijeeni zadaci iz matematike 24* Predpostavimo da je izraz taan za n=k.

=1 01 kAk *Provjerimo vrijedi li izraz za n=k+1 Znamo da vrijedi =+A A Ak k 1

+=

+ ++ +=

=

+1 01 11 0 0 01 0 11 01 11 011 01 1 k k k k(T) 36. ( 102/1055.) Izraunati AB-BA ako je: 1)

=

=1 2 10 2 41 1 4,3 2 12 1 22 2 1B A

=

+ + + + + + + + + + + + + + + =

4 11 14 8 63 9 23 0 1 6 4 1 3 8 42 0 2 4 2 2 2 4 82 0 1 4 4 1 2 8 41 2 10 2 41 1 43 2 12 1 22 2 1

=

+ + + + + ++ + + + + + + + + + + +=

9 6 64 6 03 11 73 4 2 2 2 2 1 4 10 4 8 0 2 8 0 4 43 2 8 2 1 8 1 2 43 2 12 1 22 2 11 2 10 2 41 1 4

=

= 5 5 78 14 610 2 99 6 64 6 03 11 74 11 14 8 63 9 2BA AB 2)

=

=1 5 34 2 32 1 3,1 2 12 1 10 1 2B A

=

+ + + + + + + + + + +=

9 0 00 9 00 0 91 8 2 5 4 1 3 6 32 4 2 10 2 1 6 3 30 4 4 0 2 2 0 3 61 5 34 2 32 1 31 2 12 1 10 1 2 Rijeeni zadaci iz matematke 25

=

+ + + + + + + + + +=

9 0 00 9 00 0 91 10 0 2 5 3 1 5 64 4 0 8 2 3 4 2 62 2 0 4 1 3 2 1 61 2 12 1 10 1 21 5 34 2 32 1 3

=

= 0 0 00 0 00 0 09 0 00 9 00 0 99 0 00 9 00 0 9BA AB37. ( 102/1057.) Ako je

=1 0 01 1 00 1 1Apokazati da je

=1 0 01 02) 1 (1nn nnAn 1) Provjerimo dali vai za n=1

=

1 0 01 1 00 1 11 0 01 1 02) 1 1 ( 11 1 (T) 2) Predpostavimo da vrijedi za n=k kA kk kk=

1 0 01 02) 1 (1 3) Provjerimo vrijedi li za n=k+1 11 0 01 1 02) 1 (1 11 0 01 1 02) 1 1 )( 1 (1 1+=

+++=

+ + ++kA kk kkkk kk Znamo da vaiA A Ak k =+1 =

+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +=

=

1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 02) 1 (0 0 1 0 0 11 0 01 1 00 0 11 0 01 02) 1 (1kk kk kkk kk Rijeeni zadaci iz matematike 26

+++=

++ +=1 0 01 1 02) 1 (1 11 0 01 1 02) 1 (1 1*kk kkkk kk k48 47 6(T)Tvrdnja je ovim dokazana 2) 1 (2 222) 1 (*2 2+=+= +=+k k k k k k k k kk 38. ( 104/1068.) Nai inverznu matricu AAA~) det(11= 1)

=4 32 1A

=4 23 1TA 2 6 44 32 1) det( = = = A

=1 23 4~A

=

=21231 21 32 4211A 1)

=5 43 1B

=5 34 1TB 7 12 55 43 1) det( = = = B

=1 43 5~B Rijeeni zadaci iz matematke 27

=

=717473751 43 5711B 3)

=5 22 1C

=5 22 1TC 1 4 55 22 1) det( = = = C

=1 22 5~C

=1 22 51C 39. ( 104/1069.) Nai inverznu matricu 1)

=1 0 02 1 03 2 1A

=1 2 30 1 20 0 1TA 1 ) det( = A

=

=1 0 02 1 07 2 11 20 10 20 10 10 02 30 11 30 11 20 02 31 21 30 21 20 1~A

=1 0 02 1 07 2 11A 2) Rijeeni zadaci iz matematike 28

=1 5 31 3 25 4 3B

=1 1 55 3 43 2 3TB 11 5 31 3 25 4 3) det( = = B

=

=1 3 17 18 511 29 83 42 35 43 35 33 21 52 31 53 31 13 21 53 41 55 41 15 3~B

=

=1 3 17 18 511 29 81 3 17 18 511 29 811B 40. ( 106/1084.) Rijei matrinu jednainu 3 2 1 3 2 1B AX

=

9 55 34 33 1 B A X A AB X A1 1 = = === = j i zaj i zaEE AA A A Defij01, :1 1 B A X1 = ili laiki reeno to je matrica ija se dijagonala sastojiod jedinica dok su svi ostali elementi nule 5 9 4 ) det(4 33 1 = =

=AAT

=1 33 4~ARijeeni zadaci iz matematke 29 AAA~) det(11=

=

=

+ + =

=5 6 5 45 7 5 36 47 3519 15 5 927 20 15 12519 55 31 33 451X 41. ( 106/1085.) Rijei matrinu jednainu {BAX

=

211 11 243 42 1 B A XB A X A AB X A11 1 == = 3 1 2 ) det(1 11 2 = =

=AAT

=2 11 1~A AAA~) det(11=

=

=

+ =

=1133314 12 131212 11 131X 42. ( 106/1086.) Rijei matrinu jednainu 43 42 1 3 2 1 43 42 1C B AX

=

10 916 148 76 52 51 3 Rijeeni zadaci iz matematike 30 1 11 1 111 1 == = = = CB A XCB A BB XC A B XC A B X A AC B X A 1 5 6 ) det(2 15 3 = + =

=AAT

=3 51 2~A AAA~) det(11=

=3 51 21A 2 42 40 ) det(8 67 5 = =

=BBT

=5 76 8~B

=5 76 8211B =

=5 76 810 916 143 51 221X =

5 76 830 80 27 7010 32 9 2821 =

+ + =

=250 258 350 344110 114 154 152215 76 850 4322 1921

=

=4 32 18 64 221 Rijeeni zadaci iz matematke 31 43. ( 106/1087.) Rijei matrinu jednainu 4 43 4 42 1 4 43 4 42 1B AX

=

8 7 107 2 100 3 10 1 24 2 33 2 1 B A XB A X A AB X A11 1 == =

=0 4 31 2 22 3 1TA 1 21 16 40 1 24 2 33 2 1) det( = + == A

=

=4 5 75 6 82 3 42 23 11 22 11 22 34 33 10 32 10 42 34 32 20 31 20 41 2~A =

+ + + + + + + + + =

=32 35 0 28 10 21 40 50 740 42 0 35 12 24 50 60 816 21 0 14 6 12 20 30 48 7 107 2 100 3 14 5 75 6 82 3 4X

=3 3 32 1 25 4 6 Rijeeni zadaci iz matematike 3244. ( 106/1088.) Rijei matrinu jednainu 43 42 1 43 42 1B AX

=

7 5 77 11 17 9 30 3 13 3 42 1 3 B A XB A X A AB X A11 1 == =

=0 3 23 3 11 4 3TA9 30 3 180 3 23 3 11 4 3) det( = + = = A

=

=5 10 151 2 33 6 94 14 33 11 33 31 43 24 30 21 30 31 43 23 10 23 10 33 3~A

=5 10 151 2 33 6 9911A =

+ + + + + + =

=35 70 105 25 110 135 35 10 457 14 21 5 22 27 7 2 921 42 63 15 66 81 21 6 277 5 77 11 17 9 35 10 151 2 33 6 991X

=

=0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 091 Rijeeni zadaci iz matematke 33 3 Zadaci iz uvoda u analizu Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man mit ihnen, so bersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.-Johann Wolfgang von Goethe 45. ( 183/1868.) =+ + + + 23 5 4 3 2lim3 4 72 6 7x x xx x x xx=+ + + + 7 7374777 7 72767723 5 4 3 2limx xxxxxxx xxxxxxxxx 2122 1 113 5 4 32lim7 4 37 6 5= =+ + + += x x xx x x xx Limes tipa x rijeavamo tako to razlomak podijelimo sa lanom koji ima najvei eksponent. U ovom sluaju je to 7x . Kada pokratimo razlomke koje smo dobili ostaju nam slobodni lanovi i razlomci koji u nazivniku imaju x. Kada rijeimo limes dobivamo izraze oblika0 =c. 46. ( 183/1869.) =+ xxx3 32lim =+ 3332limxxx12lim33 33= + x xxx 47. ( 183/1872.) =+ 2 2) 1 (lim33x xxx=+ + 2 21 3 3lim32 3x xx x xx02 21 3 3lim3 3 333 3 3233=+ + x xxxxx xxxxxxx 48. ( 183/1874.) =++ 1 001 , 010 500lim24xxx0001 , 001 001 , 010 500lim2 22242= =++ x xxx xxx Rijeeni zadaci iz matematike 3449. ( 183/1876.) = 7 214lim22xx xx217 214lim2 22222 = x xxxxxxx 50. ( 183/1877.) =++ 14 3 2lim42xx xx214 3 2lim4 442 2 22=++ x xxx xxxxx 51. ( 183/1878.) =+ x xxxlim =+ x xxxlim 1 lim =+ xxxxxxx 52. ( 184/1879.) 1111 21 2lim220 ==+ +x xx xx 53. ( 184/1880.) = 11 2lim221xx xx=+ 11lim22 21xx x xx+11lim221xxx=1lim221xx xx=+ + =) 1 )( 1 () 1 (lim 11x xx xx232111lim 11= + =++xxx 54. ( 184/1881.) =+ + 15 86 5lim223x xx xx( )( )=+ + 15 86 5lim223x xx xx218 65 68 25 2lim3 ==xxx Ovaj zadatak je rijeen pomou L'Hopitalovog pravila koje glasi: Ako su funkcije) (x fi) (x beskonano male ili beskonano velike zaa x , tj. ako je ) () (xx f kadaa x neodreen izraz oblika ili00 tada je Rijeeni zadaci iz matematke 35 =) () (limxx fa x=) () (limxx fa x 55. ( 184/1889.) =22lim2xxx=++2222lim2xxxxx=+ ) 2 )( 2 (2lim2x xxx2 2121lim2=+xx 56. ( 184/1890.) = +hx h xx 0lim =+ ++ + +x h xx h xhx h xx 0lim =+ + +) (lim0x h x hx h xx x x h xx21 1lim0=+ += 57. ( 184/1891.) =a xa xa xlim =++a xa xa xa xa xlim =+ ) )( (lima x a xa xa xa a xa x21 1lim =+ 58. ( 184/1892.) = +1 3 1lim0xxx=+ ++ + +1 3 11 3 11 3 1lim0xxxxx= ++ +1 3 1) 1 3 1 (lim0xx xx3231 3 1lim0=+ +xx 59. ( 184/1894.) =44lim3 34xxx=+ ++ +2 3 3 3 2 32 3 3 3 2 3 3 34) 4 ( 4 ) () 4 ( 4 ) (44limx xx xxxx[ ]=+ + =2 3 3 3 2 34) 4 ( 4 ) ( ) 4 (4limx x xxx=+ + 3 3 3 2 416 41limx xx=+ +3 3 316 16 161= =3161 60. ( 184/1896.) = + +1 11 1lim0xx xx=+ ++ + + +1 11 11 11 1lim0xxxx xx= + + + +1 1) 1 1 )( 1 1 (lim0xx x xx = + + + + +=xx x x x x xx1 1 1 1 1lim0=+ xx xx1lim0( ) 1 1 lim0 = + xx Rijeeni zadaci iz matematike 3661. ( 185/1913.) =xxx3 sinlim0= 33 3 sinlim0xxx=xxx33 sin 3lim0333 sin3 lim0=||

\|xxx Ovaj limes je rijeen preko limesa: 1sinlim0=xxx Rijeeni zadaci iz matematke 37 4 Zadaci iz diferencijalnog rauna Some humans are mathematicians; others aren't -Jane Goodall Granina vrijednostkolinikaxy, kada0 x (ako postoji), naziva se prvi izvod funkcije) (x f y =u 1x x = , i obiljeava se dxdyy= . Znai da je == xyyx 0lim ) () ( ) (lim11 10x fxx f x x fx = + . U proizvoljnoj taki prvi izvod je: == xyyx 0lim ) () ( ) (lim0x fxx f x x fx = + Geometrijsko znaenje prvog izvoda je:k tg y = = , gdje je k koeficijent pravca tangente na krivoj) (x f y =u taki x. Osnovna pravila izvoda Neka je c konstanta,) (x u =i) (x v = funkcije koje imaju izvod; tada vai: 1)0 ) ( = c2)1 ) ( = x3)u c cu = ) (3)v u v u = ) (4)u v v u uv + = ) (5) 2vu v v uvu =||

\| 62. ( 197/2068.) Nai xyx 0limako jen kx y + = n kx y + === xyyx 0lim =+ + + xn kx n x x kx) (lim0= + xkx x k kxx 0lim kxx kx= 0lim Rijeeni zadaci iz matematike 3863. ( 197/2069.) Nai) 1 ( f ako jex x f = ) ( = f = + xf x fx) 1 ( ) 1 (lim0= + xxx1 1lim0=+ ++ + + 1 11 1 1 1lim0xxxxx =+ + + += ) 1 1 (1 1lim0x xxx211 11lim0=+ += xx 64. ( 197/2073.) 3x y == y = + xx x xx3 30) (lim = + + + xx x x x x x xx3 3 2 2 30) ( ) ( 3 3lim= + + = xx x x x xx) 3 3 (lim2 20( )2 2 203 3 3 lim x x x x xx= + + = 65. ( 197/2074.) 3 24 = x y= y =+ + xx x xx3 2 3 ) ( 2lim4*4048 47 6 *4 3 2 2 3 4 4) ( 4 ) ( 6 4 ) ( x x x x x x x x x x + + + + = + = + + + += xx x x x x x x x xx4 4 3 2 2 3 402 2 ) ( 8 ) ( 12 8 2lim= + + + = xx x x x x x xx4 3 2 2 302 ) ( 8 ) ( 12 8lim[ ]= + + + = xx x x x x x xx3 2 2 302 ) ( 8 12 8lim[ ]3 3 2 2 308 2 ) ( 8 12 8 lim x x x x x x xx= + + + = 66. ( 197/2075.) xy1=Rijeeni zadaci iz matematke 39 = y = + xx x xx1 1lim0= + xx x xx x xx) (lim0= + xx x xxx) (lim0= + ) (1lim0x x xx2 201 1limx x x xx = + 67. ( 197/2076.) x y 2 1+ == y =+ + + xx x xx2 1 2 2 1lim0=+ + + ++ + + ++ + += x x xx x xxx x xx2 1 2 2 12 1 2 2 1 2 1 2 2 1lim0( )=+ + + + + += x x x xx x xx2 1 2 2 12 1 2 2 1lim0( )=+ + + + x x x xxx2 1 2 2 12lim0=+ + + += x x xx2 1 2 2 12lim0=+ x 2 1 22x 2 11+ 68. ( 199/2093.) xy1== y = 12121x3322121xx = Zadatak je rijeen pomou tablinog izvoda. 69. ( 199/2094.) 3 3 2x xbxay =3 4 3 2xbxa =3432 = bx ax= y = + 1341323432bx ax = + 37353432bx ax = 3 5 3 73234xaxb3 2 3 23234x xax xb Rijeeni zadaci iz matematike 4070. ( 199/2095.) cb axy+=cbcax+ == ycaca= + 0 71. ( 199/2096.) ( ) x x a a x a y + = = 22 = yxaxax a = + = + 1 1 1212 0121 72. ( 199/2098.) m nnx mx y == y ) (1 1 1 1 = m n m nx x mn mnx mnx 73. ( 199/2099.) 21 xxy== y2 22 22) 1 () 1 ( ) 1 (1 xx x x xxx =||

\|2 22) 1 () 2 ( 1xx x x =2 22 2) 1 (2 1xx x+ =2 22) 1 (1xx+= 74. ( 199/2100.) d cxb axy++== y2) () )( ( ) ( ) (d cxd cx b ax d cx b axd cxb ax+ + + + +=||

\|++=++ +=2) () ( ) (d cxc b ax d cx a =+ +=2) ( d cxbc acx ad acx=+2) ( d cxbc ad Rijeeni zadaci iz matematke 41 75. ( 199/2101.) 122+=xxy= y2 22 2 2 2) 1 () 1 ( ) 1 ( ) (+ + + xx x x x2 22 2) 1 () 2 ( ) 1 ( 2+ +=xx x x x2 22 2) 1 () 1 ( 2+ +=xx x x2 2) 1 (2+=xx 76. ( 199/2102.) 1 +=xxy= y2) 1 () 1 ( ) 1 ( ) (+ + + xx x x x2) 1 (21) 1 (21+ +=xxx xx=+ +=2) 1 (21xxx x 2) 1 (21+=xx2) 1 ( 21+=x x 77. ( 199/2103.) ) 1 )( 1 ( + = x x y= y x x x x x x x 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( = + = + + + 78. ( 200/2124.) xe y== y x t ex = = ) ( = x tt y y = xx t tee e x e y1) ( ) ( = = = = U ovom zadatku se radi o sloenoj funkciji. Data fukacija nas podsjea na tablini izvod x xe e = ) (. U ovom sluaju imamo x i ne moemo se okoristiti tablinim izvodom. Ako izvrimo smjenu t=-x postupamo na slijedei nain: naemo izvod od y po t i pomnoimo ga izvodom od t po x. x tt y y = 79. ( 200/2125.) x e yxcos =Rijeeni zadaci iz matematike 42= y = + ) (cos cos ) ( x e x ex x= + x e x ex xsin cos ( ) x x exsin cos + 80. ( 200/2126.) 1 =xeyx = y = 2) 1 () 1 ( ) 1 ( ) (xx e x ex x= 2) 1 () 1 (xe x ex x=2) 1 () 2 (xx ex 81. ( 200/2127.) xxe y== y = + 8 7 6*) (x xe x e x *x t xe x e x t e = = = = ) ( ) ( ) ( = y ) 1 ( x e xe ex x x = 82. ( 200/2128.) arctgx e yx== y =++211xe arctgx ex x=||

\|++211xarctgx ex 83. ( 200/2129.) 22 x yx+ == y xx2 2 ln 2 + 84. ( 200/2130.) = =xxy23x||

\|23 = y23ln23x||

\| 85. ( 200/2131.) 2 2ln x t x y = = =Rijeeni zadaci iz matematke 43 = yx xxtx t yx t2 12122= = = Rijeeni zadaci iz matematike 445 Zadaci iz integralnog rauna Math is like love -- a simple idea but it can get complicated.-R. Drabek Neodreeni integral Za funkciju) (x F y =kaemo da je primitivna funkcija funkcije) (x f y =u oblasti D ako je njen izvod u D jednak) (x f y = , tj vrijedi ) ( ) ( x f x F = Skup svih primitivnih funkcija funkcije f u datoj oblasti D naziva se neodreenim integralom funkcije na D i oznaava se pomou simbola C x F dx x f + =) ( ) (* Osnovne osobine neodreenog integrala 1)[ ] dx x f dx x f d ) ( ) ( = 2)c x x d + =) ( ) ( 3)) ( , ) ( ) ( = = const A dx x f A dx x Af4)[ ] = dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( = vdu uv udv 86. ( 263/3133.) 6 1 56 1 55x xdx x =+=+ 87. ( 263/3134.) + + = + = + x xxdx xdx dx x dx x x 333 2 ) 3 2 (232 2 88. ( 263/3135.) =+= =+31212132121xxdx x dx x * Obje definicije su uzete iz knjige Elementi integralnog rauna, Dr. Jovo M. arovi Rijeeni zadaci iz matematke 45 89. ( 263/3136.) 3 2 3 7134343137373134x x xxdx x dx x x dx x x = =+= = = + 90. ( 263/3137.) =dx x x x 87212121* x x x x x x x =

|||

\| =8 1581587158815xxdx x = = = 91. ( 263/3138.) 2 2 321) 1 3 (1x x xdx == 92. ( 263/3139.) 3213131323131xxdx xxdx=+ = =+ 93. ( 263/3140.) xxdx xx xdx 213213223 =+ = =+ 94. ( 263/3141.) = + + + = + dx x x x dx x ) 2 3 2 3 2 ( ) 2 (6 4 2 2 3 3 2 = + + + = + + + = dx x dx x dx x dx dx x x x6 4 2 6 4 26 12 8 ) 6 12 8 (x x xx x x xx 8 4567 7 5631282 57 7 5 2+ + + = + + + = 95. ( 264/3143.) += = ==+ == +7) 1 (71) 1 (7 76 6x udu udx dux udx x = Rijeeni zadaci iz matematike 4696. ( 264/3144.) + = + + = + + xx xxdxxdx x x dx x dx x dxxx x x x1733251)1(3723 523 423 4

97. ( 264/3145.) = + =+ dxxdxxxdxxxdxxx x4 43 24 43 2121 2 = + = + 4 3 12 17 4 54112541341724542 x x x dx x dx x dx x4 3 12 5 434172454x x x x x + =98. ( 264/3146.) = + = + =+ xdxdx dx xxdxdxxxdxxxdxxx x4 2 4 24 223 3 x xxln 4 233+ =99. (264/3147.) = + + =+ +=+xdxdxxxdxxxdxxx xdxxx21 2 ) 1 (2 2 2 = + + = + + =x x x dx x dx x dx x 2345223 5212123 ||

\|+ + = + + = 23452234522 2x x x x x x x x100. (264/3149.) ( ) + = + =+=+ +x x dxxdxxxdxxxdxxx xln1 1 1 222 101. (264/3151.) =++=+ +=+dxxdxxdxxxdxxx222222111111 11 arctgx xxdxdx =+ 21 102. (264/3152.) = = +=dxxdxxxdxxxdxxx2 222222111111 11 Rijeeni zadaci iz matematke 47 ++ = =xxx dxxdx11ln21112 103. (264/3153.) =|||

\|++++=++ +=++dxx xxdxxxdxxx111111 1122 222222 + =++ =++++arctgx x dxxdx dxxdxxx1111112 2 22 104. (264/3155.) ( ) =+++=+ +=+ +dxxdxxxx dxxx xdxxx x1121112 ) 1 (122 222223 arctgxxdxxxdx 22 11222 =+ = 105. (264/3156.) = + +dxxx x42 211 1=++ dxxxdxxx42421111 =++= dxxxdxxx42421111 =+ ++ += dxx xxdxx xx) 1 )( 1 (1) 1 )( 1 (12 222 22 ( ) + + + =++22 21 ln arcsin1 1x x xxdxxdx 106. (264/3157.) ( ) = = 4 ln43 ln34 3 4 3x xx x x xdx dx dx107. (264/3159.) ( ) [ ] = + + = + dx dxx x x x x x 2 22) 5 ( 5 2 2 ) 2 ( 5 2 = + + = dx dx dxx x x x25 5 2 2 4 = + + = dx dx dxx x x25 10 2 425 ln2510 ln1024 ln4x x x+ + =108. (264/3162.) = + = + xdx xdx xdx dx x x x cos sin 3 2 ) cos sin 3 2 (x x x x xxsin cos 3 sin cos2222+ + = + + =Rijeeni zadaci iz matematike 48109. (264/3164.) = == = x tgx dxxdxdxxdxxxxdx tg2 22222cos coscos 1cossin 110. (264/3165.) = == = ctgx x dxxdxdxxdxxxxdx ctg2 22222sin sinsin 1sincos 111. (264/3169.) adtdxdt adxb t axt b axdx b ax f== == += +) ( c b ax Fac t Fadt t fa+ + = + = =) (1) (1) (1 112. (265/3171.) ==+ = = ==dt dxt xx tx txdx22) 2 () 2 (3 32 223) 2 ( 212 = = =xttdt 113. (265/3172.) === = = == dt dxtdt dxt xx tx tdx x2 23 23 23 23 222 3) 3 2 (3) 3 2 (3233 32== = = = x x tdt t tdt t114. (265/3173.) = = = = == dt t dxt xx tx tdx x4555551111Rijeeni zadaci iz matematke 49 566 565 4) 1 (65) 1 (6565 5 5 x xtdt t dt t t = = = = = 115. (265/3174.) == = = = ==522 52 55 25 25 222tdtdxtdt dxt xx tx txdx x t dtttdt5 252525252 = = = = 116. (265/3177.) ==== =+ =+ ==252 25 25 25 25 2222txtdt dxtdt dxt xx tx tdxxx = = = === ttdt dt t dt dttdtttdttt256 2521252 2525322 22 25 2 5) 5 2 (613+ + =xx117. (265/3185.) =====+tdt dxx tx tx xdx2) 1 (2 ) ( 2 2) 1 (2) 1 (22 2x arctg arctgttdtt ttdt= =+=+ Rijeeni zadaci iz matematike 50118. (265/3186.) ======+22221 22 22dtdxdt dxx tt xxdx = =+= ) 2 (21211 212x arctg arctgttdt 119. (265/3187.) =======+=|||

\|+=+ dt dxxtt xt xtxxdxxdxxdx33399199119992 2222 2 2 3 313113912xarctg arctgttdt= =+= 120. (265/3188.) ======+=|||

\|+=+ dt dxt xt xtxxdxxdxxdx3333133113332 2222 2 2 = =+=3 33331 332xarctg arctgttdt 121. (265/3189.) ======+=|||

\|+=+ dt dxt xt xtxxdxxdxxdx3232322323121231 23 22 2222 2 2 Rijeeni zadaci iz matematke 51 |||

\|= =+=2361611 2322x arctg arctgttdt 122. (265/3192.) =+ 72xdx ( )7 7777 2217 1 , 72 22222 2+= +=|||||

\|++ +=|||

\|++ =

+ + = + + =xdxtdtdxxtdtdxxx xdtdxxxdtdx x dt x x tt48 47 6 + + = = = 7 ln ln2x x ttdt 123. (265/3197.) = = = ==dt dxt xx tdx ex52522525 xt te e dt e25525252 = = = 124. (265/3198.) = + = + 43 42 1 3 2 12 12 2) (IxIx x xdx e dx e dx e e= = == =dt dxx tdx e Ix1 x t te e dt e = = = Rijeeni zadaci iz matematike 52= = == =2222 dtdxx tdx e Ix x t te e dt e2212121 = = = x xe e221 =125. (265/3199.) =====dt dxt xx txdx23233232sinx t tdt32cos23) cos (23sin23 = = 126. (265/3200.) = dx x ) 5 sin 5 (sin = = dx xdx 5 sin 5 sin = dx xdx ) 5 (sin 5 sin = + =xdx x 5 sin 5 sin = ===== tdtdt dxxt xxdx sin51515155 sinx t 5 cos51cos51 = = x x 5 cos515 sin = Rijeeni zadaci iz matematke 53 127. (265/3201.) === =+ == +223 23 2) 3 2 sin(dtdxdt dxt xx tdx x) 3 2 cos(21cos21sin21+ = = =x t tdt 128. (265/3202.) = = = = == 331 33 1) 3 1 cos(dtdxdt dxt xx tdx x) 3 1 cos(31sin31cos31x t dt = = = 129. (265/3203.) === == +=+332 32 3) 2 3 ( cos2dtdxdt dxt xt xxdx + = = = ) 2 3 (3131cos 312x tg tgttdt 130. (265/3204.) === == +=+224242)42 ( sin2dtdxdt dxt xt xxdx + = = = )42 (21) (21sin 212x ctg ctgttdt Rijeeni zadaci iz matematike 54131. (266/3208.) = = = = 13 ) 13 ( ) 13 (21) 13 (2 2 23 2 23 2x t x d x dx x x24 22423) 13 (48148 21 = = =xtdt t 132. (266/3209.) = + + dx x x x x x7 2 3 2) 9 )( 1 2 3 (= = + = = + + = dt t x x x t x x x d x x x7 2 3 2 3 7 2 39 ) 9 ( ) 9 (8) 9 (88 2 3 8 + = =x x x t 133. (266/3210.) = = + =xdx x dxxdx4 ) 3 2 (2 32 = = = + = =+ =2 2222 3 ln41ln41413 2 (2 3) 3 2 (41x ttdtx txx d 134. (266/3211.) = = + =++=+ t xxx dxxdx1) 1 () 1 (21) 1 (22 222 2 + = = =) 1 ( 212121212xttdt 135. (266/3212.) dx x x d dx x x2 3 3 23 ) 9 ( 9 = = 3 3233 3213) 9 (92) 9 (92) 9 ( ) 9 (31 = = x x x d x 136. (266/3214.) = = = = 212222) 1 () 1 (212 ) 1 (1xx dxdx x dxxdx 2212121) 1 (21xx = = Rijeeni zadaci iz matematke 55 137. (266/3215.) = + += + = + = ++ 10 3) 10 3 () 3 2 ( ) 10 3 (10 3) 3 2 (2222x xx x ddx x x x dx xdx x 4 43 4 42 1*2 210 3 ln 10 3 + = + = = x x x x t* ) 2 )( 5 ( ) 2 ( 5 ) 2 ( 10 5 2 10 32 2 + = + = + = + x x x x x x x x x x2 ln 5 ln ) 2 )( 5 ( ln + + = + = x x x x 138. (266/3216.) = + += + = + = + = ++ 5 6) 5 6 (21) 6 ( 2 ) 6 2 ( ) 5 6 (5 6) 3 (2222x xx x ddx x dx x x x dx xdx x 5 6 ln215 62 2 + + = = x x x x t 139. (266/3217.) ( )= + += + = + = + = ++ 2122229 2) 9 2 (21) 1 ( 2 ) 2 2 ( ) 9 2 (9 2) 1 (x xx x ddx x dx x x x dx xdx x 9 2 ) 9 2 (2121219 222122121212 + = + = = = = + = =x x x x tttdtx x t140. (266/3218.) = = + =+ +=+ + xdx x dx xxdxx xxdx2 ) 1 () 1 )( 1 (1 ) 1 (2212 22 2 1121) 1 (21) 1 () 1 (21) 1 )( 1 () 1 (22122322212 22+ =+=++=+ ++= xxxx dx xx d 141. (266/3219.) = = = = dx x dx x x x d dx x x x ) 3 ( 3 ) 9 3 ( ) 9 ( 9 ) 3 (2 2 3 5 3 2 56 35635633513) 9 (185) 9 (18556) 9 (31) 9 ( ) 9 (31x x x xx xx x d x x = == = 142. (267/3267.) =+ ) 3 )( 1 ( x xdx Rijeeni zadaci iz matematike 56) 3 )( 1 () 3 ( ) 1 ( ) 3 )( 1 (1+ ++=+ x xxBxAx x B Bx A Axx B x A + + = + + =3 1) 1 ( ) 3 ( 1 4141 ==BA 3 2 1 3 2 12 13 411 41341141I Ixdxxdxdxxdxx +=+=1 ln ln111 = = === == x ttdtdt dxt xxdxI3 ln ln332+ = = === +=+= x ttdtdt dxt xxdxI 31ln413 ln411 ln41+= + =xxx x 143. (267/3268.) =+ +) 3 )( 2 ( x xxdx ) 3 )( 2 () 3 ( ) 2 ( ) 3 )( 2 (+ + +++=+ +x xxBxAx xx ) 2 3 ( ) (2 3) 1 ( ) 3 (B A B A x xB Bx A Ax xx B x A x+ + + = + + =+ + + = 32= =BA ++= + + + =+++ =23) 2 (3ln 3 ln 3 2 ln 23322xxx xxdxxdx 144. (268/3294.) == == ==== =dxxdx x dux dx vdx dvx uxdx1) (lnlnlnRijeeni zadaci iz matematke 57 = vdu uv udv ) 1 (ln ln ln = = =x x x x x dxxxx x 145. (268/3295.) == == ==== =dxxdx x duxdx vxdx dvx uxdx x1) (ln2lnln2 )21(ln2 4ln2 2ln22 2 2 2 2 = = =xx xxxdxxxxx 146. (268/3296.) == == ==== =xdxxdx x duxdx vxdx dvx uxdx xln2) (ln2lnln2222 = = = 43 42 11ln ln2 2ln 2ln222 222Ixdx x xxdxxx xxx ====== =dxxduxvxdx dvx uxdx x I12lnln21 4ln2 2ln22 2 2 2xxxdxxxxx = = ||

\|+ = =21ln ln2 4ln2ln222 2 222x xx xxxxx Rijeeni zadaci iz matematike 58147. (268/3304.) == = = ==== = dxxdx x duxdx x vdxxdvx udxxx1) (ln211lnln22333 = + =+ = dx x xx x xdxxx32 2 221ln212ln21 ||

\|+ = =21ln2141ln212 2 2xx xxx 148. (268/3307.) = = == == ===== x t xx xe dt edt dxx tdx e vdx e dvxdx dux udx e x222 43 42 1122Ix xdx xe e x + == ===== =xxxe ve dvdx dux udx xe I1 3 2 122Ix xdx e xe + = x t xe dt edx dtx tdx e I = = = == = 2 x xe xe I =1 x x x x x xe x x x x e e xe e x I e x I + + = = = + = ) 2 2 ( ) 2 2 ( 2 2 22 2 212 Rijeeni zadaci iz matematke 59 149. (268/3311.) == ====x xdx vdx dux uxdx xsin coscos x x x x x x xdx x x cos sin ) cos ( sin sin sin + = = = 150. (268/3316.) = = ====== ====x tdtdtdxdt dxt xxdx vxdx dux uxdx x2 cos21sin212222 sin22 sin22 + = + =43 42 112 cos 2 cos22 cos 2212 cos22 2Ixdx x xxxdx x xx == ====== ==== =x tdtdtdxdt dxt xxdx vdx dux uxdx x I2 sin21cos212222 cos2 cos1 43 42 122 sin212 sin22 cos2Ixdx xxxx + = x xdx I 2 cos212 sin2= = Rijeeni zadaci iz matematike 60xxxxx xxxxI2 sin22 cos41 22 cos412 sin22 cos222+ =+ + = 151. (268/3317.) == ====x xdx vdx x dux uxdx xsin cos4 2 sin344 43 42 11sin 4 sin3 4Ixdx x x x = = = ==== =x xdx vdx x dux uxdx x Icos sin3 sin2331 43 42 12cos 3 cos2 3Ixdx x x x+ = == ==== =x xdx vxdx dux uxdx x Isin cos2 cos222 43 42 13sin 2 sin2Ixdx x x x = = = ==== =x xdx vdx dux uxdx x Icos sinsin3 x x x xdx x x sin cos cos cos + = + = ) sin cos ( 2 sin22x x x x x I + = [ ] ) sin cos ( 2 sin 3 cos2 31x x x x x x x I + + = Rijeeni zadaci iz matematke 61 [ ] { }= + + = ) sin cos ( 2 sin 3 cos 4 sin2 3 4x x x x x x x x x I) 24 4 ( cos ) 24 12 ( sinsin 24 cos 24 sin 12 cos 4 sin3 2 42 3 4x x x x x xx x x x x x x x x + + == + + = 152. (269/3339.) =+x xdx22=+) 2 (x xdx ) 2 (2 ) 2 (1+++ =+x xxBxAx x Bx x A + + = ) 2 ( 121,212 1 = =+ + =B ABx A Ax4 4 3 4 4 2 1 =+ =+ = 3 2 112 21ln2122121Ixdxxxdxxdx 2 ln ln221+ = = === +=+= x ttdtdt dxt xxdxI2ln212 ln21ln21+= + =xxx x 153. (269/3340.) =+x xdx32=+) 3 (x xdx ) 3 (3 ) 3 (1+++ =+x xxBxAx x Bx x A + + = ) 3 ( 131,313 1 = =+ + =B ABx A Ax4 43 4 42 1 =+ =+ = 3 313123131xdxxdxxdxxdx Rijeeni zadaci iz matematike 623ln213 ln31ln31+= + =xxx x 154. (269/3343.) = 1 2 32x xdx = 1 2 32x x ) 1 )( 1 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 1 3 32 + = + = + x x x x x x x x ) 1 )( 1 3 (1 1 3 ) 1 )( 1 3 (1 +++= +x xxBxAx x ) 1 3 ( ) 1 ( 1 + + = x B x A41,433 1= =+ + =B AB Bx A Ax4 4 4 3 4 4 4 2 1 =++ =++= 1 411 3 431411 343xdxxdxxdxxdx 1 31ln411 ln411 3 ln3143+= + + =xxx x 155. (270/3362.) = ++dxx xx27 22 = + 22x x = + 2 22x x x ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 2 ( + = + + x x x x x ) 1 )( 2 (1 2 ) 1 )( 2 (7 2 +++= ++x xxBxAx xx ) 2 ( ) 1 ( 7 2 + + = + x B x A x3 , 1) 2 ( ) ( 7 2= = + + = +B AA B B A x x4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 2) 1 (ln 1 ln 3 2 ln1323+= + + =++ = xxx xxdxxdx Rijeeni zadaci iz matematke 63 Odreeni integral knkkxbax f dx x fi == ) ( lim ) (10 Vanije osobine odreenog integrala 1)0 ) ( =aadx x f2) =abbadx x f dx x f ) ( ) (3) + =bccabadx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( ,) ( b c a < < Newton-Leibnizova formula [ ]babax F a F b F dx x f ) ( ) ( ) ( ) ( = = Ako su funkcije) (x ui) (x vdiferencijabilne na odsjeku[ ] b a, , tada je = ba ab badx x u x v x v x u dx x v x u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 156. (284/3674.) =+1021 xdx40 101= = arctg arctg arctg 157. (284/3683.) = ==+ == +211 ln) 1 (ln221xxdx vdxxdux ux x = = ( ) = +21212 221 ln2dxxxxx( ) = +12 212 22 211 ln2xxx( ) =

+12 2211 ln2xx [ ]babax F a F b F dx x f ) ( ) ( ) ( ) ( = = Rijeeni zadaci iz matematike 64= + + = ||

\| + ||

\| + =41211 2 2 ln 2211 1 ln21211 2 ln222 2 432 ln 241 2 4 82 ln 2 + =+ + = 158. (284/3686.) =+4121dxxx= + 41412 21dxxxdxx = =4121dx x I43141 111414 1= + = =xx = =412122dx x x I 1 1 2124222114211421= = += =xx 4744 31432 1=+= + = + = I I I 159. (284/3703.) ||

\| =2/ 12/ 121 1sin1sin1xdxdxx x1 cos2cos1cos/ 1/ 2= = = x Rijeeni zadaci iz matematke 65