MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu...

24
MAKSVELOVE JEDNAČINE

Transcript of MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu...

Page 1: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

MAKSVELOVE JEDNAČINE

Page 2: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

+ -

+ -

( ) rrE ˆ4

12

0r

q

πε=

rr

I.II. Gausov zakon

Daje vezu izmeñu raspodele naelektrisanja i električnog polja

Tačkasto naelektrisanje

Linije električnog poljaE

…dobro opisuje za tačkasto naelektrisanje.

Page 3: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

+ -

Page 4: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

+ -

Page 5: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

1S

2S

1v

2v

2211vSvS =

dS

E

0=⋅∫∫S SdB

Page 6: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

III. Faradejev zakon indukcije

Page 7: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

•• Promenljivi magnetni fluks generiše Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu ememss

•• Ili, promenljivo Ili, promenljivo BB--polje generiše polje generiše EE--poljepolje

•• Promena magnetnog fluksa je Promena magnetnog fluksa je potrebnapotrebna

dt

d Φ−−−−====ε

Page 8: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

( )BvEqFrrrr

×+=

v

FF

Nestankom sile:

Sila koja deluje na provodne elektrone:

0=ems

Faraday

Page 9: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

Kretanje namotaja u promenljivom B polju

( )BvEqFrrrr

×+=

Sila se ne poništava: 0≠ems

FF

v

Page 10: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

v

EE

( )BvEqFrrrr

×+=

0=vr

EqFrr

=

Električno polje mora biti kreirano!

Ostaje samo:

Stacionarni kalem sa pokretnim B izvorom:

Ali mi još imamo ems …

Page 11: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

EE

i

Uopšteno:

tems B

Φ∂−=

Faradejev zakon(integralna forma)

Stacionarni kalem i izvor B

polja, ali se polje B povećava:

0≠ems

∫∫∫ ⋅∂

∂−=⋅

SCSd

t

BldE

Page 12: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

IV. Amperov zakon

iB

zatvorenaC

ild0

µ=⋅∫rr

B

Oopštenije:

J = gustina struje

MaxwellAmpere

“Nešto nedostaje...”

∫∫∫ ⋅=⋅SC

SdJldB0

µ

Page 13: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

∫ ⋅C

ldrr

B

Punjenje kondenzatora

i

- +

- +

- +- +

- +

∫∫ ⋅S

SdJ

Page 14: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

∫ ⋅C

dlrr

B

i

- +

- +

- +- +

- +

Punjenje kondenzatora

Maxwell: “…promena električnog polja u kondenzatoru je takoñe struja.”

∫∫ ⋅S

SdJ

∫∫∫ ⋅

∂+=⋅

SCSd

t

EJldB εµ

“Struja pomeraja”

Page 15: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

MAKSVELOVE JEDNAČINE

(INTEGRALNA FORMA)

∫∫∫ ⋅∂

∂−=⋅

SCSd

t

BldE

∫∫∫ ⋅

∂+=⋅

SCSd

t

EJldB εµ

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅VS

dVSdE ρε0

1

0=⋅∫∫S SdB

Page 16: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

MAKSVELOVE JEDNAČINE U VAKUUMU

(INTEGRALNA FORMA)

∫∫∫ ⋅∂

∂−=⋅

SCSd

t

BldE

0=⋅∫∫S SdE

0=⋅∫∫S SdB

∫∫∫ ⋅∂

∂=⋅

SCSd

t

EldB

00µε

Page 17: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

Maksvelovske jednačine u diferencijalnom obliku

Gausova teorema za divergenciju

∫∫ ∫∫∫ ⋅∇=⋅S V

dVFdSF

Stoksova teorema za rotor

∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅L S

SdFdlF

Page 18: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅L S

SdEdlE

∫∫ ∫∫ ⋅∂

∂−=⋅×∇ Sd

t

BSdE

t

BE

∂−=×∇

∂+=×∇

t

EJB εµ

∫∫ ∫∫∫ ⋅∇=⋅S V

dVESdE ∫∫∫ ∫∫∫=⋅∇ dVdVE ρε

1

ε

ρ=⋅∇ E 0=⋅∇ B

Page 19: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

Elektromagnetni talasi

PED +=0

ε00

εε

PDE −= ED ε= MHB +=

0µ BH

1−= µ EJ σ=

ε

ρ=⋅∇ E

0=⋅∇ Bt

BE

∂−=×∇

t

EEB

∂+=×∇ µεµσ

( ) ( ) ( )Et

EB ×∇∂

∂+×∇=×∇×∇ µεµσ ( )

2

2

t

B

t

BB

∂−

∂−=×∇×∇ µεµσ

( ) ( ) 2∇−⋅∇∇=×∇×∇ ( ) ( ) BBB 2∇−⋅∇∇=×∇×∇ ( )2

2

2

2

2

2

2

z

B

y

B

x

BBB

∂+

∂+

∂=∇=∇⋅∇

02

2

2 =∂

∂+

∂=∇

t

B

t

BB µσµε ( ) ( )B

tE ×∇

∂−=×∇×∇ ( )

2

2

t

E

t

EE

∂−

∂−=×∇×∇ µεµε

( )ερµρµε /2

2

2 ∇=∂

∂−

∂−∇

t

E

t

EE

( ) ( )ερ /∇=⋅∇∇ E 02

2

2 =∂

∂−

∂−∇

t

E

t

EE µεµε

02

2

00

2 =∂

∂−∇

t

BB εµ 0

2

2

00

2 =∂

∂−∇

t

EE εµ

Page 20: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

00/1 µε=v

( )( ) ./1012.11/104/1085.822182732212

00msCkgmkgmCs

−−− ×=⋅×⋅⋅×= πµε

./103/18

00smv ×≈= µε

./1099792458.28

smc ×=

Page 21: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

Transverzalni talsi

02

2

00

2 =∂

∂−∇

t

EE εµ ( )txEE ,= 0=

x

Ex ( )txEjE y ,=

t

B

y

E

x

Ezxy

∂−=

∂−

t

B

x

Ezy

∂−=

∂ ( ) ( )[ ]00

/cos, ϕω +−= cxtEtxE yy

∫ ∂

∂−= dt

x

EB

y

z

( )[ ]∫ +−−= dtcxtc

EB

y

z 0

0/sin ϕω

ω( ) ( )[ ]

00/cos

1, ϕω +−= cxtE

ctxB

yz

zy cBE =

Page 22: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

Er

Br

kr

c

EB

y

z

0

0=

zy BE , su u fazi

krrr

⊥⊥BE

Ovo je ravanski talas kao rešenje EM talasne jednačine.

Page 23: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

Energija i impulsPointigov (Poynting) vektor

20

2EuE

ε=

2

02

1BuB

µ=

2

0

2

0

1BEuuu BE

µε ==+=

uctS

tSucP =

∆= EBP

0

1

µ=

BEcP ×=0

Gustina energije (J/m3) u elektrostatičkom polju:

Gustina energije (J/m3) u magnetnostatičkom polju:

Brzina transporta energije: snaga (W)

kr

c∆t

S

t

tuSc

t

Vu

t

energijaP

∆=

∆=

∆=

Snaga po jedinici površine (W/m2):

John Henry Poynting

Page 24: MAKSVELOVE JEDNA ČINE - ucg.ac.me · •Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu eemms • Ili, promenljivo Ili, promenljivo B-polje generiše

10-910-1210-15 10-6 10-3 1 103

X-rayGamma ray UV Infrared radar radio

λ (meters)

Visible Light

400 nm 700 nm