Magnétisme et induction

Dominic Grenier

Design III

A-09

2www.ulaval.ca

•B = champ d'induction magnétique [Tesla : T] ou densité de flux magnétique [Wb/m2 = T]

•H = champ magnétique [A/m] (par analogie avec le champ électrique E [V/m])

B = μ H

• μ = perméabilité [H/m] = μrμ0

•perméabilité du vide μ0=4 *10-7 H/m

•produit par un courant i.e. déplacement de charges électriques (champ E produit par des charges électriques)

Champ d'induction magnétique

3www.ulaval.ca

Perméabilités de matériaux

Matériau Perméabilité [H/m] Perméabilité relative / 0

.Eau 1.2566270 10-6 0.999992Cuivre 1.2566290 10-6 0.999994 Vide 1.2566371 10-6 ( 0) 1Hydrogène 1.2566371 10-6 1.0000000Aluminium 1.2566650 10-6 1.000022 Platine 1.2569701 x10-6 1.000265 Nickel 125 10-6 100-600 ferrite (nickel zinc) 20-800 10-6 16-640ferrite (manganèse zinc) >800 10-6 >640Acier 875 10-6 700 Acier électrique 5000 10-6 4000 Permalloy 10,000 10-6 8000 Mu-metal 25,000 10-6 20,000

(source : wikipédia)

4www.ulaval.ca

Champ d'induction par un fil infini

Fil infini parcouru par un courant I

•Règle de la main droite•Ligne de champ qui boucle sur elle-même

B =μI

2 ra

5www.ulaval.ca

Loi de l'induction

Première équation de Maxwell dite équation de Faraday

f.e.m.= Eidl

=d

dtBids

S

•f.e.m. = force électromotrice [V] Équivalent à une tension en quasi-statique i.e. basse-fréquence

•S est délimitée par le parcours fermé l

•ds pointe dans la direction exprimée par la règle de la main droite

= flux magnétique [Wb]

6www.ulaval.ca

Cas de N boucles

f.e.m.= Nd

dt1

1=flux intercepté par une seule boucle de fil

7www.ulaval.ca

Tension induite

f.e.m.= Nd

dtBids

S

•Variation de B(t) selon t (antenne boucle)•Variation du produit scalaire de B.ds selon t (génératrice)•Variation de S(t) selon t (frein magnétique)

8www.ulaval.ca

Inductance

Inductance :(auto-inductance externe)(self en bon français :-)

L =I

Boucles en solénoïde : L = N 1

I

μN 2A

h

9www.ulaval.ca

Loi d'Ampère

H idl = [I]

s+

tDids

S

assumé faible devant [I]s en quasi-statique

Cas de N boucles de fil sur lequel circule un courant I

H idl = NI

Seconde équation de Maxwell dite équation d'Ampère

10www.ulaval.ca

Bases du circuit magnétique -1

•Flux magnétique concentré dans le noyau (grande perméabilité du matériau)

H idl = NI H

•Pas de saturation du noyau

(relation linéaire)

•H et B uniformes dans le noyau

BidsS

= B S

hystérésis

11www.ulaval.ca

Bases du circuit magnétique -2

•Loi d'Ampère et conservation de flux

•Analogie avec la relation d'Ohm

NI = H =B

μ

= B S

NI =B

μ=μS

V = RI

R

12www.ulaval.ca

Réluctance

•symbole : R [H-1]

•équivalences Circuit magnétique

R NI [A·tours]

Circuit électrique

• R

• V

• I

•élément de volume :

(bloc)

13www.ulaval.ca

Exemple simple de circuit magnétique

tore

2 a d

μtorebc

entrefer

d

μ0bc

R

R

14www.ulaval.ca

Exemple plus complexe

15www.ulaval.ca

Énergie emmagasinée• énergie électrique

emmagasinée dans un champ électrique E

(dans un condensateur par exemple)

• énergie magnétique

emmagasinée dans un champ magnétique H ou B

(dans une inductance par exemple)

We=

1

2CV

ab

2=

1

2E

2dv

V

densité d'énergie électrique [J/m3]

Wm=

1

2LI

0

2=

1

2BH dv =

1

2

B2

μVVdv

densité d'énergie magnétique [J/m3]

Eidl =Vab

a

b

H idl = I0

16www.ulaval.ca

Exemple simple d'énergie magnétique

Wm=

1

2

Btore

2

μtoreV

tore

dv +1

2

Bentrefer

2

μ0V

entrefer

dv

=1

2

B2

μtore

dvAd

2 a

+1

2

B2

μ0

dvA0

d

=1

2B

2A

2 a d

μtore

+d

μ0

=1

2

2

A

2 a d

μtore

+d

μ0

=1

2(R

tore+R

entrefer) 2

A = bc

BA

W

m=

1

2

(NI )2

Rtore+R

entrefer

17www.ulaval.ca

Force magnétique

Force agissant sur chaque charge qui se déplace dans un champ magnétique

•composante perpendiculaire au déplacement (courant) de B•règle de la main droite

F = qv B

= I dl B

18www.ulaval.ca

Force développée par un aimant

Calcul à partir de la variation d'énergie magnétique emmagasinée•considérer de l'épaisseur d de la pièce dans le calcul de sa réluctance•supposer un entrefer (ou sur la figure de 2 entrefers) de dimension non-nulle •déterminer la variation de l'énergie magnétique emmagasinée selon la variation de •faire tendre vers quelque chose de petit(la rugosité du noyau, de la pièce, et autres éléments susceptibles d'empêcher un contact franc)

F = W F =dW

m

d

entrefer1=

entrefer2=

19www.ulaval.ca

Flux déformable avec entrefer

entrefer

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Énergie vs déplacement

0%10%20%

30%40%50%60%70%

80%90%

100%

0 2 4 6 8

entrefer (mm)

Force % Énergie magnétique %

•Énergie magnétique emmagasinée

•À I constant, l'énergie magnétiqueemmagasinée diminue en augmentant

•Force F tend à déplacer les piècesferromagnétiques afin de maximiserl'énergie magnétique emmagasinée

W

m( ) = 1

2L( ) I

2

21www.ulaval.ca

Électronique de contrôle

Régulateur :•Nécessaire au maintient d'une force constante et donc d'un courant I moyenconstant malgré la décharge de la capacité (qui contient l'énergie sous formeélectrique)•Optimisation de la consommation de l'énergie•Suggestion : régulation par hystérésis

•lecture du courant (e.g. au travers une petite résistance en série avec la bobine, avec amplificateur d'instrumentation)•rétroaction en tension pour réguler le courant par différence de potentiel•utilisation d'un MOSFET de puissance et d'une diode zener

ajustement d'un rapport cyclique pour modifier le I moyen