Eάν η ενεργός ταχύτητα των µορίων ενός ιδανι κού αερίου σε κανονικές συνθήκες είναι v0, να βρείτε την ενεργό τα χύτητα των µορίων του, όταν το αέριο συµπιεστεί αδιαβατικά και αντι στρεπτά, µέχρις ότου υποδιπλασιαστεί ο όγκος του. Δινεται ο λόγος γ των γραµµοµοριακών ειδικών θερµοτήτων CV και CP του αερίου. ΛYΣH: Eάν T0 είναι η κανονικη θερµοκρασία του αέριου και T η θερµοκρασία του µετά την αντιστρεπτή αδιαβατική του συµπίεση, θα ισχύουν οι σχέσεις :

�

mvr

2/2 = 3KT/2

mv0

2/2 = 3KT

0/2

!

" #

$ #

!(: )

�

vr

2

v0

2=

T

T0

!

�

vr

2= v

0

2! T/T

0 !

v

r= v

0! T/T

0 (1)

όπου η µάζα κάθε µορίου του αερίου, K η σταθερά του Boltzman και vr η ζητούµενη ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου. Eξάλλου, εάν P0 είναι η αρχική (κανονική) πίεση το αέριου και P η τελική του πίεση, θα ισχύει ο νόµος του Poisson, δηλαδή η σχέση:

P

0 0

!

V = PV

0

2

!

" #

$

% &

!

! P

0V

0

!

=PV

0

!

2!

! P = P0!2

! (2)

Όµως για το αέριο ισχύει και ο συνδυαστικός νόµος, δηλαδή η σχέση:

P0V

0

T0

=PV

02

T !

T

T0

=P

2P0

!(2)

�

T

T0

=P

02

!

2P0

= 2!-1 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε :

vr= v

0! 2

!-1 ! vr= v

0!2

!"1

2 P.M. fysikos

Iδανικό µονοατοµικό αέριο θερµαίνεται ισοβαρώς, απορροφώντας θερµότητα Q από το περιβάλλον του. Nα υπολογισθεί η αύξηση της µέσης κινητικής ενέργειας των µορίων του. Δίνεται ο αριθµός N των ατόµων του αερίου.

ΛYΣH: Eάν n είναι ο αριθµός των mol του µονοτοµικού αερίου, CP η γραµµο µοριακή ειδική του θερµότητα υπό σταθερή πίεση και ΔT η ανύψωση της θερµοκρασίας του λόγω της ισοβαρούς θέρµανσής του, τότε για τη θερµότητα Q που απορρόφησε το αέριο ισχύει η σχέση:

Q = nCP!T ! !T = Q nCP (1) Eπειδή το αέριο είναι µονοατοµικό θα ισχύει CP

= 5R/2 , όπου R η παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων, οπότε η (1) γράφεται:

!T = 2 Q 5nR (2)

Eξάλλου, στην αυξηση ΔT της θερµοκρασίας του αερίου αντιστοιχεί αύξηση

!E" της µέσης κινητικής ενέργειας των µορίων του, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

!E" = 3K!T/2 (2)

! !E" =

3K

2!2Q

5nR=

3KQ

5nR (3)

όπου K η σταθερά του Boltzmann. Όµως, εάν NA είναι η σταθερά του Avogadro θα ισχύει R=NAK, οπότε η η (3) γράφεται:

!E" =

3KQ

5nNAK=

3Q

5nNA

=3Q

5N

P.M. fysikos

Iδανικό µονοατοµικό αέριο περιέχεται µέσα σε δοχείο µε σταθερά και αδιαβατικά τοιχώµατα, το οποίο κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή ταχύτητα

�

! v . Eάν το δοχείο σταµα

τήσει απότοµα, να υπολογισθεί η αύξηση της µέσης τιµής των τετρα γώνων των ταχύτητων των µορίων του αερίου. ΛYΣH: Όταν µηδενιστεί απότοµα η ταχύτητα του δοχείου στο οποίο περιέχεται το ιδανικό αέριο, θα µηδενιστεί η µακροσκοπική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου και θα µετατραπεί, µέσω των κρούσεων µε τα τοιχώ µατα του δοχείου και µεταξύ των µορίων, σε αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του αερίου, δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

Mv2

2= !U !

Mv2

2= nC

V!T !

�

Mv2

2=

3nR

2!T !

!T =

Mv2

3nR (1)

όπου Μ η µάζα του αερίου, ΔT η αυξηση της θερµοκρασίας του, n ο αριθµός των mol που αντιστοιχεί στην µάζα Μ, CV η γραµµοµοριακή ειδική του θερµότητα υπό σταθερό όγκο και R η παγκόσµια σταθερά των αερίων. Eξάλλου,

η µέση τιµή v2 των τετραγώνων των ταχύτητων των µορίων του αερίου σε

θερµοκρασία T, ικανοποιεί τη σχέση:

mv2

2=

3KT

2 !

v

2=

3KT

m (2)

όπου K η σταθερά του Boltzmann και m η µάζα ενός µορίου του αερίου. Παρα

τηρούµε από τη (2) ότι, η v2 είναι ανάλογη της απόλυτης θερµοκρασίας T του

αερίου, οπότε η µεταβολή της !v2 που αντιστοιχεί σε µεταβολή ΔT της θερµοκ

ρασίας του αερίου θα ικανοποιεί τη σχέση:

!v

2=

3K!T

m

(1)

! !v

2=

3K

m!Mv

2

3nR=

KMv2

nmR (3)

Όµως εάν NA είναι η σταθερά του Avogadro, το γινόµενο NAK αποτελεί την R, οπότε η σχέση (3) γράφεται:

!v2=

Mv2

nNAm

= v2

διότι το γινόµενο nNAm αποτελεί τη µάζα M του αερίου.

P.M. fysikos

Mέσα σε κλειστό δοχείο όγκου V, περιέχονται δύο µονοατοµικά ιδανικά αέρια α1 και α2. Tα δύο αέρια δεν αντιδρούν µε ταξύ τους το δε µίγµα τους παρουσιάζει ολική πίεση Pολ. Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια των µορίων του µίγµατος η οφειλόµενη στην άτακ τη θερµική τους κίνηση. ΛYΣH: Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία των αερίων η πίεση P ενός ιδανικού αερίου, δίνεται από τη σχέση:

P =

!v2

3=

m"v

2

3V=

mNv2

3V (1)

όπου ρ η πυκότητα του αερίου, mα η µάζα του, N ο αριθµός των µορίων του, m

η µάζα ενός µορίου του αερίου και v2 η µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυ

τήτων των µορίων του, λόγω της µεταφορικής τους θερµικής κίνησης. Όµως ισχύει η σχέση:

mv2

2=

3KT

2 ! mv

2= 3KT (2)

όπου K η σταθερά του Boltzmann και T η θερµοκρασία του αερίου. Συνδυάζον τας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε τη σχέση:

P =N

3V!3KT =

NKT

V (3)

Eφαρµόζοντας τη σχέση (3) για τις µερικές πιέσεις P1 και P2 των αερίων A1 και A2 που περιέχονται στο κλειστό δοχείο όγκου V, παίρνουµε:

P1= N

1KT/V

P2= N

2KT/V

! " #

!(+ )

P

1+ P

2=

KT

V! N

1+ N

2( ) (4)

όπου Ν1, Ν2 οι αριθµοί µορίων των αερίων α1 και α2 αντιστοίχως. Όµως η ολική πίεση Pολ του µίγµατος είναι ίση µε το άθροισµα των µερικών πιέσεων των αερίων A1 και A2, δηλαδή ισχύει:

P!"= P

1+ P

2 !

(4 )

P

!"=

KT

V! N

1+ N

2( ) !

KT =P

!"V

N1+ N

2

(5)

Eξάλλου, η θερµική κινητική ενέργεια EK των µορίων του µίγµατος θα είναι:

E

K= N

1!3KT

2+ N

2!3KT

2=

3KT

2! N

1+ N

2( ) !(5 )

EK=

3P!"V

2!

N1+ N

2

N1+ N

2

"

# $

%

& ' =

3P!"V

2

P.M. fysikos

Ένα δοχείο µε σταθερά και αδιαβατικά τοιχώµατα, χωρίζεται µε θερµοµωνοτικό διάφραγµα σε δύο χώρους. Στον ένα χώρο περιέχονται n mol µονοατοµικού ιδανικού αερίου θερµοκρα σίας T1, ενώ στον άλλο χώρο περιέχονται 2n mol ενός άλλου επίσης µονοατοµικού ιδανικού αερίου, θερµοκρασίας T2. Aνασύρουµε το διάφραγµα και τα δύο αέρια αναµειγνύονται, χωρίς όµως να αντιδ ρούν µεταξύ τους. Nα βρείτε την κινητική ενέργεια των µορίων του µίγµατος, την οφειλόµενη στη µεταφορική θερµική τους κίνηση. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά R των ιδανικών αερίων. ΛYΣH: Kατά την ανάµειξη των δύο αερίων, το σύστηµα δεν ανταλλάσσει έργο και θερµότητα µε το περιβάλλον του, αφού τα τοιχώµατα του δοχείου είναι σταθερά και αδιαβατικά (Q=0 και W=0), οπότε σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο η εσωτερική ενέργεια του συστήµατος των δύο αερίων δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει:

!U

"#= 0 ! !U

1+ !U

2= 0 (1)

όπου ΔU1, ΔU2 οι µεταβολές της εσωτερικής ενέργειας των δύο αερίων που αποτελούν το µίγµα. Eξάλλου, εάν Tκ είναι η θερµοκρασία του µίγµατος και CV η κοινή τους γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα υπό σταθερό όγκο θα έχουµε τις σχέσεις:

�

!U1 = nCV T"- T1( ) = (3nR/2) T

"- T1( )

!U2 = 2nCV T"- T2( ) = (6nR/2) T

"- T2( )

! " #

$ # (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

3nR

2T

!- T

1( ) +6nR

2T

!- T

2( ) = 0 !

T

!- T

1+ 2 T

!- T

2( ) = 0 ! 3T!= T

1+ 2T

2 !

T

!=

T1+ 2T

2

3 (3)

H κινητική ενέργεια των µορίων του µίγµατος, που οφείλεται στην άτακτη µεταφορική τους θερµική κίνηση, δίνεται από τη σχέση:

E

K= N

1!3KT

!

2+ N

2!3KT

!

2=

3KT!

2! N

1+ N

2( ) !(3 )

EK=

3K

2! N

1+ N

2( )T

1+ 2T

2

3

"

# $

%

& ' = 3K N

1+ N

2( )!T

1+ 2T

2

2

"

# $

%

& ' !

EK= 3K nN

A+ 2nN

A( )!T

1+ 2T

2

2

"

# $

%

& '

= 9KnNA!

T1+ 2T

2

2

"

# $

%

& ' !

EK= 9nR!

T1+ 2T

2

2

"

# $

%

& '

όπου K η σταθερά του Boltzmann και NA η σταθερά του Avogadro.

P.M. fysikos

Mια ορισµένη µάζα ιδανικού µονοατοµικού αερίου (CV=3R/2) υποβάλλεται στις εξής δύο συνεχόµενες αντιστρεπτές µεταβολές. i) Στην ισόθερµη εκτόνωση AB, κατά την οποία ο όγκος του τετρα πλασιάζεται. ii) Στην ισόχωρη θέρµανση BΓ κατά την οποία η πίεση του διπλα σιάζεται. α) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της όλης µεταβολής του αερίου. β) Nα εξετάσετε εάν είναι δυνατή η επαναφορά του αερίου στην κατάσταση A, µέσω µιας αντιστρεπτής αδιαβατικής µεταβολής. γ) Nα βρείτε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων των µορίων του αερίου

στις καταστάσεις A και Γ. δ) Nα βρείτε την ολική θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του. Δίνονται ο όγκος V0 και η πίεση P0 του αερίου στην κατάσταση A. ΛYΣH: α) Eπειδή κατά την ισόθερµη εκτόνωση AB του αερίου ό όγκος του τετραπλασιάζεται, η πίεση του σύµφωνα µε τον νόµο του Boyle υποτετρα πλα σιάζεται δηλαδή απο P0 θα γίνεται P0/4. Eξάλλου κατά την ισόχωρη θέρµανση BΓ του αερίου η πίεσή του διπλασιάζεται και σύµφωνα µε το νόµο του Charles η θερµοκρασία του διπλασιάζεται, δηλαδή από T0 γίνεται 2T0. Όλα τα παρα πάνω εκφράζονται στο σχήµα (1) το οποίο αποτελεί και διάγραµµα P-V της όλης µεταβολής της θερµοδυναµικής κατάστασης του αερίου. β) Για να είναι δυνατή η επαναφορά του αερίου στην αρχική του κατάσταση A, µέσω µιας αντιστρεπτής αδιαβατικής µεταβολής, πρέπει να ισχύει η σχέση:

P!V!

"= P

AV

A

" ή

P0

24V

0( )!

= P0V

0

! ή

4!

2= 1 ή 4

3/5= 2

Σχήµα 1 η οποία όµως δεν ισχύει, που σηµαίνει ότι δεν είναι δυνατή η επαναφορά του αερίου στην κατάσταση A µε αδιαβατική µεταβολή. γ) Eάν vA, vΓ είναι οι ενεργές ταχύτητες των µορίων του αερίου στις καταστάσεις A και Γ αντιστοίχως, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

vA

= 3KTA/m = 3KT

0/m

v!

= 3KT!/m = 6KT

0/m

!

" #

$ #

!

vA

v!

=1

2

όπου K η σταθερά του Boltzman και m η µάζα ενός µορίου του αερίου. δ) H ολική θερµότητα Qολ που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του κατά τη µεταβολή ABΓ είναι ίση µε το άθροισµα των επιµέρους θερµοτήτων QAB, QBΓ, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

Q!"

= QAB + QB#= nRT0ln 4V0/V0( ) + nCV 2T0 - T0( ) !

�

Q!"

= nRT0ln4 + 3nRT0/2 = V0P0 2ln2 + 3/2( )

P.M. fysikos

Oρισµένη µάζα µονοατοµικού ιδανικού αερίου (CV=3R/2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή, η οποία αποτελείται από τις εξής συνεχόµενες µεταβολές: i) την αδιαβατική µεταβολή AB, κατά την οποία ο όγκος του οκταπ λασιάζεται, ii) την ισόχωρη θέρµανση BΓ, κατά την οποία η πίεσή του επανέρ χεται στην αρχική της τιµή και iii) την ισοβαρή συµπίεση ΓA, µέσω της οποίας το αέριο επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση A. α) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής του αερίου. β) Nα βρείτε τον λόγο των ενεργών ταχυτήτων των µορίων του αερί ου στις καταστάσεις A και Γ. γ) Nα βρείτε την ολική θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του. Δίνεται ο όγκος V0 και η πίεση P0 του αερίου στην κατάσταση A. ΛYΣH: α) Eφαρµόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση AB του αερίου το νόµο του Poisson, παίρνουµε τη σχέση: P0V0

!

= PB(8V0 )! ! P0

= PB!2

3! (1) Όµως ισχύει:

! =C

P

CV

=C

V+ R

CV

= 1 +R

CV

= 1 +2

3=

5

3

Σχήµα 2 οπότε η σχέση (1) γράφεται:

P0

= PB!2

5 ! PB= P

0/2

5= P

0/32 (2)

Eφαρµόζοντας για την κατάσταση B την καταστατική εξίσωση έχουµε:

PB!8V

0= nRT

B

(2)

!

8P0V

0

32= nRT

B !

nRT0

4= nRT

B !

TB

=T

0

4

δηλαδή κατά την αδιαβατική εκτόνωση AB η απόλυτη θερµοκρασία του αερίου υποτετραπλασιάζεται, ενώ η πίεσή του γίνεται 32 φορές µικρότερη. Kατά την ισόχωρη θέρµανση BΓ η πίεση του αερίου επανέρχεται στην αρχική της τιµή P0, δηλαδή γίνεται 32 φορές µεγαλύτερη και σύµφωνα µε τον νόµο του Cha rles η απόλυτη θερµοκρασία του αυξάνεται 32 φορές, δηλαδή απο T0/4 γίνεται 8T0. Mε βάση τα παραπάνω το διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής ABΓA του αερίου είναι αυτό που φαίνεται στο σχήµα (2). β) Eάν vA, vΓ είναι οι ενεργές ταχύτητες των µορίων του αερίου στις κατα στάσεις A και Γ αντιστοίχως, θα ισχύουν οι σχέσεις:

vA

= 3KTA/m = 3KT

0/m

v!

= 3KT!/m = 24KT

0/m

!

"

#

(: )

!

vA

v!

=1

8=

1

2 2

όπου K η σταθερά του Boltzmann και m η µάζα ενός µορίου του αερίου. γ) H ολική θερµότητα Qολ που ανταλλάσσει το αέριο κατά την κυκλική µεταβολή ABΓA, είναι ίση µε το άθροισµα των επιµέρους θερµοτήτων, δηλαδή ισχύει:

Q!"= QAB + QB#

+ Q#A = 0 + nCV(T

#- TB ) + nCP(TA - T

#) !

Q

!"=

3nR

28T0 - T0 /4( ) +

5nR

2T0 - 8T0( ) !

�

Q!"

=93nRT0

8-35nRT0

2= -

47nRT0

8= -

47P0V0

8

P.M. fysikos

Oρισµένη µάζα µονοατοµικού αερίου (CV=3R/2) υποβάλλεται στις εξής δύο συνεχόµενες αντιστρεπτές µεταβολές: i) στην αδιαβατική εκτόνωση AB, κατά την οποία ο όγκος του διπλα σιάζεται και

ii) στην ισόθερµη συµπίεση BΓ, κατά την οποία ο όγκος του επα νέρχεται στην αρχική του τιµή. Eάν οι θερµοδυναµικές συντεταγµέ νες της αρχικής κατάστασης του αερίου είναι P0,V0,T0 να βρεθούν: α) η τελική θερµοκρασία του αερίου, β) η µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας και γ) το ολικό έργο που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του. ΛYΣH: α) Eφαρµόζοντας για την αδιαβατική εκτόνωση AB του αερίου τον νόµο του Poisson, παίρνουµε τη σχέση: PAV0

!

= PB(2V0 )! ! PAV0V0

!-1= PB2V0 (2V0 )

!-1 (1)

Σχήµα 3 H (1) σύµφωνα µε την καταστατική εξίσωση για τις καταστάσεις A και B γράφεται: nRT0V0

!-1= nRTB(2V0 )

!-1 ! T0= T

B!2

!-1 ! TB= T

0/2

!-1

(2) µε

! =

CP

CV

=C

V+ R

CV

= 1 +R

CV

= 1 +R

3R/2=

5

3

Eπειδή η µεταβολή BΓ είναι ισόθερµη θα ισχύει:

T!= T

B

(2)

! T! = T0/2

"-1 (3) β) H µεταβολή ΔUολ της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά την θερµική διεργασία ABΓ είναι:

!U

"#= nC

VT

$- T

A( ) (3)

! !U"# =

3nR

2T

0/2

$-1- T

0( ) !

!U"# =

3nRT0

2

1

2$-1

- 1!

" #

$

% & =

3P0V

0

2

1

2$-1

- 1!

" #

$

% & !

�

!U"#

=3P

0V

0

2

1

22/3

- 1!

" #

$

% & =

3P0V

0

2

1

43

- 1!

" #

$

% & (4)

γ) Tο ολικό έργο Wολ που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του κατά τη µεταβολή ABΓ, σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο για τη µεταβολή αυτή είναι: W!"

= Q!"

-#U!"

= QAB + QB$- #U

!" !

�

W!"

= 0 + nRT#ln V

0/2V

0( ) - $U!"

�

!

(3),(4)

�

W!"

=nRT

0

43

ln1

2

!

" #

$

% & -

3P0V

0

2

1

43

- 1!

" #

$

% & !

�

W!"

= -P

0V

0

43

ln2 -3P

0V

0

2

1

43

!

" #

$

% & +

3P0V

0

2 !

�

W!"

=P

0V

0

23 -

2ln2

43

-3

43

!

" #

$

% &

P.M. fysikos

Iδανικό µονοατοµικό αέριο (CV=3R/2) όγκου V0 υποβάλλεται στις εξής δύο συνεχόµενες µεταβολές. i) Στην ισόθερµη εκτόνωση AB κατά την οποία ο όγκος του τετρα πλασιάζεται και απορροφά θερµότητα Q από το περιβάλλον του. ii) Στην ισοβαρή συµπίεση BΓ κατά την οποία δίνει στο περιβάλλον του θερµότητα Q/ln2. Nα βρεθεί σε συνάρτηση µε τον όγκο V0, o τελικός όγκος του αερίου και να σχεδιαστεί το διάγραµµα P-V της όλης µεταβολής της κατά στασης του αερίου. ΛYΣH: Eπειδή κατά την ισόθερµη εκτόνωση AB του ιδανικού αερίου ο όγκος του τετραπλασιάζεται, η πίεση του σύµφωνα µε τον νόµο του Boyle θα υποτετ ραπλασιάζεται, δηλαδή από P0 θα γίνει P0/4. Eξάλλου, εάν TΓ είναι η απόλυτη θερµοκρασία του αερίου στην τελική του κατάσταση Γ για την θερµότητα QBΓ που ανταλλάσσει το αέριο κατά την ισοβαρή συµπίεση BΓ θα ισχύει η σχέση:

�

QB!= nCP(T

!-T0) !

�

-Q

ln2=

5nR

2(T

!-T0) !

�

Q

ln2=

5nR

2(T0-T!

) (1)

H θερµότητα Q που απορροφά το αέριο κατά την ισόθερµη εκτόνωσή του AB υπολογίζεται από τη σχέση:

�

Q = nRT0ln 4V0 /V0( ) = 2nRT0 ln2 !

Q

ln2= 2nRT0 (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

5nR T0- T

!( )/2 = 2nRT0 ! 5T

0- 5T

!= 4T

0 ! T!

= T0/5 (3)

Σχήµα 4 Eφαρµόζοντας για την κατάσταση Γ την καταστατική εξίσωση έχουµε:

P0V

!

4= nRT

!

(3)

!

P0V

!

4=

nRT0

5 !

P0V

!

4=

P0V

0

5 !

V!

=4V

0

5

όπου VΓ ο ζητούµενος τελικός όγκος του αερίου. Στο σχήµα (4) απεικονίζεται το διάγραµµα P-V της µεταβολής ABΓ της θερµοδυναµικής κατάστασης του αερίου.

P.M. fysikos

Iδανικό µονοατοµικό αέριο (CV=3R/2) ορισµένης µάζας, υποβάλλεται σε δύο συνεχόµενες µεταβολές AB και BΓ. Kατά την AB η πίεση και ο όγκος του αερίου µεταβάλλονται σύµφωνα µε τη σχέση P=λV, όπου λ θετική και σταθερή ποσότητα, ο δε όγκος του αερίου διπλασιάζεται εκ της τιµής V0. Kατά την BΓ η πίεση και ο όγκος του αερίου µεταβάλλονται σύµφωνα µε τη σχέση PV=µ, όπου µ θετική και σταθερή ποσότητα, το δε έργο που αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον είναι ίσο µε τα 8/3 του αντίστοιχου έργου κατά την µεταβολή AB. i) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της όλης µεταβολής του αερίου και να βρείτε τον τελικό του όγκο. ii) Nα βρείτε την ολική µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Δίνονται η πίεση P0 και ό όγκος V0 του αερίου στην αρχική του κατάσταση A.

ΛYΣH: i) Eφαρµόζοντας για τις καταστάσεις A και B τη σχέση P=λV έχουµε:

�

P0

= !V

PB

= !2V0

!

"

#

! PB= 2P

0 (1)

δηλαδή κατά την µεταβολή AB η πίεση του αερίου διπλασιάζεται. Eφαρµό ζοντας εξάλλου για τις καταστάσεις A και B την καταστατική εξίσωση των ιδα νικών αερίων παίρνουµε τις σχέσεις:

P0V

0= nRT

0

2P02V

0= nRT

B

! " #

! TB= 4T

0 (2)

δηλαδή κατά την µεταβολή AB η απόλυτη θερµοκρασία του αερίου τετραπλα σιάζεται. Το διάγραµµα P-V της µεταβολής αυτής είναι η ευθεία ΑΒ, της οποίας η προέκταση διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Εξάλλου η σχέση PV=µ εγγυάται ότι η µεταβολή ΒΓ του αερίου είναι ισόθερµη αντιστρεπτή εκτόνωση, το δε διάγραµµα P-V της µεταβολής αυτής είναι η ισοσκελής υπερβολή ΒΓ. Εξάλλου το έργο WAB που παράγει το αέριο κατά την µεταβολή AB είναι ίσο µε εµβαδόν του σκιασµένου τραπεζίου (AB2V0V0), δηλαδή ισχύει:

WAB = !µ"(AB2V0V0 ) =P0 + 2P0

2

!

" #

$

% & 2V0 - V0( )

=

3P0V

0

2 (3)

Σχήµα 5 Tο έργο WBΓ που παράγει το αέριο κατά την ισόθερµη εκτόνωση του BΓ δίνε ται από τη σχέση:

WB!

= nR4T0ln

V!

2V0

!

" #

$

% &

= 4P0V

0ln

V!

2V0

!

" #

$

% & (4)

όπου VΓ ο ζητούµενος τελικός όγκος του αερίου. Όµως σύµφωνα µε το πρόβ ληµα ισχύει η σχέση:

W

B!=

8WAB

3

�

!

(3),(4)

4P0V

0ln

V!

2V0

!

" #

$

% & =

8

3'P

0V

0

2 !

ln

V!

2V0

!

" #

$

% & = 1 !

lnV

!

2V0

!

" #

$

% & = lne !

V!

2V0

= e ! V!= 2eV

0 (5)

όπου e η βάση των φυσικών λογαρίθµων. Τέλος η πίεση PΓ, σύµφωνα µε την καταστατική εξίσωση, ικανοποιεί τη σχέση: P!

2eV0

= nR4T0 ! 2eP

!V

0= 4P

0V

0 ! P!

= 2P0/e

Στο σχήµα (5) φαίνεται το διάγραµµα P-V της όλης µεταβολής ABΓ της θερµο δυναµικής κατάστασης του αερίου. ii) H ολική µεταβολή ΔUολ της εσωτερικής ενέργειας του αερίου θα είναι ίση µε το άθροισµα των επιµέρους µεταβολών ΔUAB και ΔUAΓ της εσωτερικής του ενέργειας, δηλαδή θα ισχύει.

!U

"#= !U

AB+ !U

B$= nC

VT

B- T

0( ) + 0 !

�

!U"#

=3nR

24T

0- T

0( ) =9nRT

0

2=

9P0V

0

2

P.M. fysikos

Mια ορισµένη µάζα ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε αντιστρεπτή κυκλική µεταβολή ABΓA, της οποίας το διάγραµµα P-V φαίνεται στο σχήµα (6). Nα δείξετε ότι, το έργο που παράγει το αέριο κατά την µεταβολή αυτή είναι ανεξάρτητο από τις θέσεις των καταστάσεων A, B, Γ επί των ισόθερµων T1, T2 και εξαρτάται µόνο από τις θερµοκρασίες T1 και T2. ΛYΣH: Tο έργο Wολ που παράγει το αέριο κατά την κυκλική µεταβολή ABΓA είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των έργων WAB, WBΓ και WΓA που ανταλ λάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του κατά τις επιµέρους µεταβολές AB, BΓ και ΓA, δηλαδή ισχύει η σχέση: W!"

= WAB

+ WB#

+ W#A

(1)

Σχήµα 6 Όµως για τα επιµέρους έργα ισχύουν οι σχέσεις:

�

WAB

= nRT1ln V

B/V

A( ) = nRT1ln V

B/V

!( )

W

B!= P

BV

!- V

B( ) και W!A= 0

οπότε η (1) γράφεται:

�

W!"

= nRT1ln V

B/V

!( ) + PB

V#- V

B( ) (2)

Eφαρµόζοντας για την ισοβαρή συµπίεση BΓ το νόµο Gay-Lussac παίρνουµε τη σχέση:

VB

T1

=V

!

T2

!

V!=

T2V

B

T1

οπότε η (2) γράφεται:

�

W!"

= nRT1ln V

BT

1/V

BT

2( ) + PBV

BT

1/T

2- 1( ) !

�

W!"

= nRT1ln T

1/T

2( ) + nRT1

T1/T

2- 1( ) (3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι το έργο Wολ εξαρτάται µόνο από τις θερµοκρασίες T1, T2 και όχι απο τις θέσεις των καταστάσεων A, B, Γ επί των ισόθερµων που αντιστοιχούν στις θερµοκρασίες αυτές.

P.M. fysikos

Oρισµένη µάζα µονοατοµικού ιδανικού αερίου (γ=5/3) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή ABΓA, της οποίας το διάγραµµα P-V φαίνεται στο σχήµα (7). Eάν κατά την ισοβαρή συµπίεση ΓA το αέριο παίρνει απο το περιβάλλον του έργο W*=200 J να βρείτε: i) τη θερµότητα QAB που παίρνει το αέριο κατά την ισόχωρη θέρ µανση του και ii) το έργο WBΓ που δίνει το αέριο κατά την ισόθερµη εκτόνωσή του BΓ. ΛYΣH: i) H θερµότητα QAB που παίρνει το αέριο από το περιβάλλον του κατά την ισόχωρη θέρµανσή του AB υπολογίζεται από τη σχέση:

QAB = nCP T0 -T0

2

!

" #

$

% & =

nCPT0

2 (1)

‘Οµως για της γραµµοµοριακές ειδικές θερµότητες CP και CV του αερίου ισχύουν οι σχέσεις:

CP

- CV

= R

CV

= CP/!

! " #

! CP- C

P/! = R !

CP

=!R

! - 1=

5R/3

5/3 - 1=

5R

2

οπότε η σχέση (1) γράφεται:

QAB =

5nRT0

4 (2)

Eξάλλου για το έργο W* που παίρνει το αέριο από το περιβάλλον του κατά την ισοβαρή συµπίεσή του ΓA ισχύει η σχέση:

W

*=

P0

2V

0- 2V

0( ) = -P

0V

0

2= -

nRT0

2 (3)

Σχήµα 7 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

QAB = -

10W*

4= -

5W*

2= 500 J

ii) Tο έργο WBΓ που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την ισόθερµη εκτόνωσή του BΓ δίνεται απο τη σχέση:

�

WB!

= nRT0ln 2V

0/V

0( )

(3)

!

�

WB!

= -2W*ln2 !

WB!

= -2(-200)!0,7 J = 280 J P.M. fysikos

Mια µάζα n=2 mol ιδανικού µονατοµικού αερίου (CV=3R/2) µεταβαίνει από την κατάσταση A στην κατάσταση B, µέσω των εξής δύο µεταβολών: α) Της µεταβολής ANB, η οποία αποτελείται από την ισοβαρή εκτό νωση AN και την ισόχωρη ψύξη NB. Kατά την µεταβολή αυτή το αέριο παίρνει απο το περιβάλλον του θερµότητα QANB=126 J και δίνει σ' αυτό έργο WANB=209 J. β) Tης µεταβολής AMB, η οποία αποτελείται απο την ισόθερµη εκτό νωση AM και την αδιαβατική εκτόνωση MB, κατά την εξέλιξη της οποίας το αέριο απορροφά θερµότητα QAMB=210 J.

i) Nα σχεδιάσετε κατά προσέγγιση το διάγραµµα P-V των δύο αυτών µεταβολών. ii) Nα βρείτε το έργο εκτόνωσης του αερίου κατά την αδιαβατική µεταβολή MB και την αντίστοιχη µεταβολή της θερµοκρασίας του αερίου. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά R=8,32 J/mol.K των αερίων. ΛYΣH: i) H ισόθερµη εκτόνωση AM απεικονίζεται στο επίπεδο P-V µε τµήµα ισόθερµης καµπύλης θερµοκρασίας TA, ενώ η αδιαβατική εκτόνωση MB απεικο νίζεται µε καµπύλη, η οποία παρουσιάζει στο σηµείο M πιο απότοµη κλίση, δη λαδή βρίσκεται κάτω απο την ισόθερµη θερµοκρασίας TA. Aυτό σηµαίνει ότι η κατάσταση B βρίσκεται σε ισόθερµη καµπύλη, θερµοκρασίας TB<TA. Tέλος είναι φανερό ότι κατά την µεταβολή ANB το αέριο διέρχεται από την ενδιάµεση κα τάσταση N, η οποία βρίσκεται επί ισόθερµης καµπύλης, θερµοκρασίας TN>TA (σχήµα 8).

Σχήµα 8 ii) Για τη θερµότητα QAMB που παίρνει το αέριο απο το περιβάλλον του κατά την µεταβολή AMB ισχύει:

QAM + QMB = WAM + 0 ! WAM = QAMB = 210 J Για το έργο που δίνει το αέριο στο περιβάλλον του κατά την ίδια µεταβολή ισχύει:

WAMB= W

AM+ W

MB ! WMB

= WAMB

- WAM

(1) Eφαρµόζοντας για τη µεταβολή AMB τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, παίρ νουµε τη σχέση: QAMB = !UAMB + WAMB = !UANB + WAMB (2) Όµως η µεταβολή ΔUANB της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά το στάδιο ANB, σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, είναι: !UANB = QANB - WANB = 126 J - 209 J = 83 J οπότε η σχέση (2) γράφεται: 210 J = -83 J + W

AMB ! WAMB

= 293 J

Eπιστρέφοντας στη σχέση (1) έχουµε: WMB

= 293 J - 210 J = 83 J Eξάλλου για το έργο WMB, σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο για την αδιαβατική µεταβολή MB, έχουµε:

WMB = QMB - !UMB = 0 - nCV !TMB !

W

MB= -

3nR

2!!T

MB !

!TMB = -

2WMB

3nR= -3,329 K

P.M. fysikos

Mέσα σ’ ένα κυλινδρικό δοχείο µε αδιαβατικά τοιχώµατα έχει αποκλεισθεί, µε τη βοήθεια ενός θερµοµονωτικού έµβολου, µια ορισµένη µάζα ιδανικού αερίου. Tο αέριο θερµαίνεται µε τη βοήθεια ενός ηλεκτρικού αντιστάτη, που βρίσκεται µέσα στον κύλινδρο. Eάν η ηλεκτρική ισχύς του αντιστάτη είναι N, να βρεθεί το έργο εκτόνωσης του αέριου σε χρόνο t*. Στη διάρκεια της θέρµανσης του αέριου η εξωτερική πίεση στο µετακινούµενο έµβολο θα θεωρηθεί σταθερή. Δίνεται ακόµη ο λόγος γ των γραµµοµοριακών ειδικών θερ µοτήτων CV και CP του αέριου. ΛYΣH: Έστω Wηλ η ηλεκτρική ενέργεια που προσφέρεται στο σύστηµα του αερίου και του αντιστάτη σε χρόνο t* και W το αντίστοιχο έργο εκτόνωσης του αέριου. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα αυτό τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο παίρνουµε τη σχέση:

0=ΔU+W-Wηλ ! ΔU=Wηλ-W (1) όπου ΔU η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου *. Όµως ισχύουν οι σχέσεις:

ΔU=nCVΔT και Wηλ=Nt* όπου ΔT η ανύψωση της θερµοκρασίας του αερίου σε χρόνο t*, n ο αριθµός των mol του αερίου και CV η γραµµοµοριακή του ειδική θερµότητα υπό σταθερό όγκο. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: nCVΔT=Nt*-W (2) Eξάλλου, εάν Pεξ είναι η σταθερή εξωτερική πίεση που επικρατεί στο έµβολο, θα ισχύει: PεξΔV=nRΔT ! W=nRΔT (3) ---------------------------- * H µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του ηλεκτρικού αντιστάτη θεωρήθηκε αµελητέα.

όπου ΔV η αύξηση του όγκου του αέριου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε τη σχέση:

nCV!T

nR!T=

Nt*-W

W !

CV

CP- C

V

=Nt

*-W

W !

W

CP/C

V- 1

= Nt* -W !

W

! - 1= Nt

*-W !

W

! - 1+ W = Nt

* !

W +!W - W

! - 1= Nt

* !

!W

! - 1= Pt

* !

W =

Nt*(! - 1)

!

P.M. fysikos

Mιά κενή φιάλη, µε αδιαβατικά τοιχώµατα συνδέ εται διά µέσου µιας βαλβίδας µε τον ατµοσφαιρικό αέρα, του οποίου η απόλυτη θερµοκρασία είναι T0. Aνοίγουµε τη βαλβίδα και ο ατµοσ φαιρικός αέρας εισέρχεται µέσα στη φιάλη, µέχρις ότου η πίεση στο εσωτερικό της γίνει ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση. Eάν ο λόγος των γραµµοµοριακών ειδικών θερµοτήτων CP και CV του ατµοσφαιρικού αέρα είναι γ, να βρείτε την τελική θερµοκρασία του αέρα της φιάλης. ΛYΣH: Έστω ότι µέσα στην φιάλη εισέρχονται n mol ατµοσφαιρικού αέρα. Eφαρµόζοντας για την µάζα αυτή τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο παίρνουµε τη σχέση: Q=ΔU+W (1) όπου Q η θερµότητα και W το έργο που ανταλλάσσει η µάζα αυτή µε την υπόλοιπη µάζα του ατµοσφαρικού αέρα. Όµως λόγω των αδιαβατικών τοιχωµά των της φιάλης και της απότοµης εισροής της µάζας του αέρα µέσα σ’ αυτή ισχύει: Q=0, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

0=ΔU+W (2) Eξάλλου, έαν T είναι η τελική θερµοκρασία του αέρα της φιάλης και CV η γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα του αέρα υπό σταθερό όγκο, η µεταβολή ΔU της εσωτερικής ενέργειας της µάζας των n mol θα είναι: ΔU=nCV(T-T0) (3) Tέλος για τον υπολογισµό του έργου W που ανταλλάσσει η µάζα αυτή µε τον υπόλοιπο ατµοσφαιρικό αέρα, παρατηρούµε ότι, καθώς η µάζα αυτή “σπρώχ νεται” µέσα στη φιάλη όγκου V0, ο υπόλοιπος ατµοσφαρικός αέρας παράγει έργο ίσο µε P0(V0-0), γεγονός που σηµαίνει ότι η µάζα αυτή απορροφά έργο P0V0. Δηλαδη θα ισχύει:

W=-P0V0 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2), (3) και (4) παίρνουµε: 0=nCV(T-T0)-P0V0 ! 0=nCV(T-T0)-nRT0 ! nRT0=nCV(T-T0) ! T0(CP-CV)=CV(T-T0) ! T0CP-T0CV=CVT-CVT0 ! TCV=T0CP ! T=T0(CP/CV)=T0γ

όπου CP η γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα του ατµοσφαιρικού αέρα, υπό σταθερή πίεση.

P.M. fysikos

Δίνεται οριζόντιος κύλινδρος µε αδιαβατικά τοιχώ µατα, ο οποίος κλείνεται µε δύο θερµοµονωτικά έµβολα, που µπο ρούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβή κατά µήκος του κυλίνδρου. Mε τη βοήθεια ενός ακλόνητου µεταλλικού διαγράγµατος χωρίζεται ο κύλινδρος σε δύο χώρους, που ο καθένας περιέχει n mol ιδανικού αερίου. Aρχικά σε κάθε χώρο επικρατούν κανονικές συνθήκες πιέσεως και θερµοκρασίας, η δε εξωτερική πίεση είναι ίση µε την κανονική πίεση. Συµπιέζουµε το αέριο του αριστερού χώρου µε τη βοήθεια του αντίστοιχου εµβόλου, το οποίο σταθεροποείται σε µια θέση, προσφέροντας µε τον τρόπο αυτό στο αέριο έργο W1. Nα βρείτε: i) την τελική θερµοκρασία του συστήµατος, όταν αυτό ισορροπήσει θερµοδυναµικά και ii) την θερµότητα που µεταβιβάζεται από το ένα αέριο στο άλλο. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά R των αερίων και η γραµµοµοριακή ειδική θερµότητα CV του αερίου, υπό σταθερό όγκο. ΛYΣH: i) Eπειδή το διάφραγµα που χωρίζει το κύλινδρο στα διαµερίσµατα A και B είναι διαθερµικό, δηλαδή επιτρέπει τη µεταβίβαση θερµότητας από τον ένα χώρο στον άλλο, τα δύο αέρια θ’ αποκτήσουν κοινή τελική θερµοκρασία T. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα των δύο αερίων τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο παίρνουµε τη σχέση:

Qολ=ΔUολ+Wολ (1)

Σχήµα 9 Όµως η θερµότητα Qολ που ανταλλάσσει το σύστηµα µε το περιβάλλον του είναι µηδενική, αφού τα τοιχώµατα του κύλινδρου και τα δύο έµβολα είναι αδια

βατικά, η δε συνολική µεταβολή ΔUολ της εσωτερικής ενέργειας του συστή µατος είναι ίση µε το άθροισµα των µεταβολών ΔU1 και ΔU2 των δύο αερίων. Tέλος το ολικό έργο Wολ, που ανταλλάσσει το σύστηµα µε το περιβάλλον του είναι W2-W1, όπου W2 το έργο που παράγει το αέριο του δεξιού διαµερίσµατος B και W1 το έργο που απορροφά το άεριο του αριστερού διαµερίσµατος A. Έτσι η σχέση (1) γράφεται:

0=ΔU1+ΔU2+W2-W1 ! 0=nCV(T-T0)+nCV(T-T0)+W2-W1 ! 0=2nCV(T-T0)+W2-W1 (2) όπου T0 η κανονική θερµοκρασία και n ο αριθµός των mol κάθε αερίου. Όµως το αέριο του χώρου B εκτονώνεται υπό σταθερή εξωτερική πίεση P0 και εποµέ νως το έργο εκτόνωσής του είναι : W2=P0(V-V0) (3) όπου V τελικός και V0 ο αρχικός όγκος του αερίου. Aλλά από την καταστα τική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουµε τις σχέσεις:

P0V = nRT

P0V

0= nRT

0

! " #

!

V = nRT/P0

V0

= nRT0/P

0

! " #

(! )

"

V - V0=

nR T - T0( )

P0

(4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε τη σχέση:

W2=

nRP0

T -T0( )

P0

= nR T - T0( ) (5)

Έτσι η (2) µε βάση την (5) γράφεται:

0 = 2nC

VT -T

0( ) + nR T - T0( ) - W

1 !

W

1= n T -T

0( ) 2CV+ R( ) !

T - T0=

W1

n 2CV+ R( )

!

T = T0+

W1

n 2CV+ R( )

(6)

ii) Eπειδή το αέριο του χώρου B παράγει θετικό έργο και επί πλέον αυξάνει η εσωτερική του ενέργεια, σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο απορρο φά θερµότητα Q2 από το αέριο του χώρου A και µάλιστα ισχύει η σχέση:

Q2 = !U2 + W2 !(5 )

Q2 = nCV T -T0( ) + nR T - T0( ) !

Q2 = n T - T0( ) CV + R( ) !

(6 )

Q2 =W1n CV + R( )n 2CV + R( )

!

Q2 =W1 CV + R( )2CV + R

P.M. fysikos

Mέσα σε οριζόντιο κυλινδρικό δοχείο, του οποίου τα τοιχώµατα είναι καλοί αγωγοί της θερµότητας, έχει αποκλεισθεί µία µάζα n=0,2 mol ιδανικού µονοατοµικού αερίου µε τη βοήθεια ενός εµβόλου, που έχει εµβαδόν S=4.10-4 m2. Όταν το έµβολο ολισθαίνει κατά µήκος του κυλίνδρου δέχεται απο τα τοιχώµατά του τριβή, της οποίας το µέτρο είναι f=8 Nt, ενώ όταν η ατµοσφαιρική πίεση είναι Pα=105 Nt/m2, τότε το έµβολο ισορροπεί καί η τριβή είναι µηδενική. Πρσφέρουµε στο αέριο θερµότητα µε πολύ αργό ρυθµό, µέχρις ότου η θερµοκρασία του αυξηθεί από T0=300 K σε T*=420 K. i) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα Ρ-V της µεταβολής της κατάστασης του αερίου. ii) Nα βρείτε τη θερµότητα που προσφέρθηκε στο αέριο. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά R=8,31 J/mol K των αερίων. ΛYΣH: i) Σε πρώτο στάδιο το αέριο υφίσταται ισόχωρη θέρµανση, µέχρις ότου αρχίσει η ολίσθηση του εµβόλου κατά µήκος του κυλίνδρου. Aυτό θα συµβεί, όταν η πιεστική δύναµη

!

F που δέχεται το έµβολο από το αέριο, εξισορροπηθεί από την τριβή ολίσθησης

!

f και από την πιεστική δύναµη !

! F που δέχεται από

τον ατµοσφαιρικό αέρα. Tη στιγµή λοιπόν που επίκειται η ολίσθηση του εµβό λου θα ισχύει:

F=Fα+f ! P1S=PαS+f ! P1=Pα+f/S ! P1=105 Nt/m2+8 Nt/4.10-4 m2 = 1,2.105 Nt/m2

Σχήµα 10 όπου P1 η αντίστοιχη πίεση του αερίου. Στη συνέχεια το αέριο θα εκτονώνεται υπό σταθερή πίεση P1, µέχρις ότου η θερµοκρασία του γίνει T* =420 K. Eάν V* είναι ο τελικός όγκος του αερίου, τότε σύµφωνα µε την καταστατική εξίσωση θα ισχύει η σχέση:

P1V*=nRT* ! V*=nRT*/P1 ! V*=(0,2.8,31.420/1,2.105)m3=5,82.10-3 m3 Eξάλλου γιά τον αρχικό όγκο V0 του αερίου ισχύει: PαV0=nRT0 ! V0=nRT0/Pα ! V0=(0.2.8,31.300/105)m3=4,98.10-3 m3 Mε βάση τα παραπάνω το διάγραµµα P-V της όλης µεταβολής της κατάστασης του αερίου θα έχει τη µορφή του σχήµατος (9). Στο διάγραµµα αυτό η γραµµή ΜΒ σχεδιάστηκε πλήρης µολονότι η ισοβαρής µεταβολή είναι µη αντιστρεπή λόγω ύπαρξης τριβής και τούτο διότι η µεταβολή αυτή εξελλίσεται βραδέως ii) H ολική θερµότητα Qολ που προσφέρθηκε στο αέριο είναι ίση µε το άθροισµα της θερµότητος QV που απορρόφησε κατά την ισόχωρη θέρµανση του και της θερµότητας QP που απορρόφησε κατά την ισοβαρή θέρµανση του, δηλαδή ισχύ ει: Qολ=QV+QP=nCV(T1-T0)+nCP(T*-T1) !

Q

!"=

3Rn

2T1 - T0( ) +

5Rn

2T* - T1( ) !

Q

!"=

nR

23T1 - 3T0 + 5T* - 5T1( ) !

Q

!"=

nR

25T* - 3T0 - 2T1( ) (1)

όπου T1 η θερµοκρασία του αερίου τη στιγµή που ξεκινά η ολίσθηση του εµβό λου. H θερµοκρασία αυτή υπολογίζεται, µέσω της σχέσεως:

�

P1V

0= nRT

1

P!V0= nRT

0

"

#

$

�

!

(:)

T1

T0

=P

1

P!

!

T1

=T

0P

1

P!

!

T1=(300.1,2.105/105) K=360 K Aντικαθιστώντας στην (1) τα γνωστά µεγέθη, έχουµε:

Qολ=(0,2.8,31/2)(5.420-3.300-2.360) J=315,78 J

P.M. fysikos

Mια µάζα n mol ιδανικού µονοατοµικού αερίου (CV=3R/2) περιορίζεται µέσα σε κατακόρυφο δοχείο, µε τη βοήθεια θερµοµονωτικού εµβόλου, το οποίο µπορεί να κινείται χωρίς τριβή κατά µήκος του δοχείου. Aρχικά το αέριο είναι συµπιεσµένο µέσα στο δοχείο υπό θερµοκρασία T0 και κάποια στιγµή αρχίζουµε να ελατ τώνουµε µε πολύ αργό ρυθµό το µέτρο της πιεστικής δύναµης επί του

εµβόλου µέχρις ότου αυτή µηδενιστεί. Tότε διαπιστώνουµε ότι το έµβολο ισορροπεί, η δε τελική θερµοκρασία του αερίου είναι ίση µε T0/4. Nα βρεθεί το έργο που δίνει το αέριο στο εξωτερικό του περι βάλλον. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά R των ιδανικών αερίων καί ότι, τα τοιχώµατα του δοχείου είναι αδιαβατικά. H ατµοσφαιρική πίεση να θεωρηθεί αµελητέα. ΛYΣH: Tο έµβολο θα ισορροπήσει στη θέση εκείνη για την οποία η πιεστική δύναµη

!

! F που δέχεται από το αέριο, εξισορροπείται από το βάρος

! w του εµβό

λου, δηλαδή στη θέση ισορροπίας του εµβόλου θα ισχύει:

Fα=w ! PτελS=w (1) που Pτελ η τελική πίεση του αερίου καί S το εµβαδόν του εµβόλου. Eξάλλου, εφαρµόζοντας για το αέριο τον πρώτo θερµοδυναµικό νόµο παίρνουµε τη σχέ ση: 0=ΔU+Wαερ ! 0=nCV(T0/4-T0)+Wαερ !

0 =3nR

2-3T

0

4

!

" #

$

% & + W

!"# !

W

!"#=

9nRT0

8 (2)

όπου Wαερ το έργο εκτόνωσης του αερίου. Όµως το έργο αυτό κατά ένα µέρος αποδίδεται στο εξωτερικό περιβάλλον, µέσω της πιεστικής δύναµης που αυτό εξασκεί επί του εµβόλου και το υπόλοιπο µετατρέπεται σε αύξηση της βαρυτι κής δυναµικής ενέργειας του εµβόλου, δηλαδή ισχύει η σχέση:

Σχήµα 11 Wαερ=Wπερ+wh ! Wαερ=Wπερ+PτελSh (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) καί (3) παίρνουµε τη σχέση:

9nRT0

8= W!"# + P$"%Sh !

W!"# =

9nRT0

8- P$"%Sh (4)

Όµως το αέριο υφίσταται αντιστρεπτή αδιαβατική εκτόνωση, οπότε ισχύει ο νόµος του Poisson, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέση:

!"#

$

!"#P .V = %&'

$

%&'P .V ! !"#

$-1

!"#P . !"#V V = %&'

$-1

%&'P . %&'V V !

!"#

$-1

nRT0.V = nR

T0

4. %&'

$-1V !

!-1

V"#$

V%&'

!

" #

$

% & =

1

2

2 !

3/2

V!"#

V$%&

!

" #

$

% & =

1

2

2 !

V!"#

V$%&

=1

6

2=

1

8 !

V!"# = 8V$%& (5)

Eξάλλου το γινόµενο Sh εκφράζει την αύξηση του όγκου του αερίου, δηλαδή ισχύει:

Sh=Vτελ-Vαρχ (4 )

! Sh=8Vαρχ-Vαρχ=7Vαρχ (6) Έτσι η σχέση (4) µε βάση την (6) γράφεται:

W!"# = -7P$"%V&#' +

9nRT0

8- -7P$"% .

V$"%

8+

9nRT0

8 !

W

!"#= -

7nR

8.

T0

4+

9nRT0

8= -

7nRT0

32+

36nRT0

32 !

W

!"#=

29nRT0

32

P.M. fysikos

Ένα οριζόντιο κυλινδρικό δοχείο µε αδιαβατικά τοιχώµατα, χωρίζεται µε θερµοµονωτικό διάφραγµα σε δύο χώρους A και B. Στον χώρο A έχει συµπιεστεί αέριο σε πίεση 32P0, όπου P0 η ατµοσφαιρική πίεση, το οποίο κρατά τη βαλβίδα του διαφράγµατος κλειστή καί έτσι εµποδίζεται η είσοδός του στο χώρο B. Eξάλλου στο χώρο B έχει αποκλειστεί µε τη βοήθεια ενός αδιαβατικού εµβόλου ιδανικό µονοατοµικό αέριο (CV=3R/2), όγκου V0 και πιέσεως P0. Nα βρεθεί το έργο της πιεστικής δύναµης

�

! F επί του εµβόλου, ώστε µόλις

ν' ανοίξει η βαλβίδα. Nα δεχθείτε ότι το αέριο του χώρου B συµπιέζε ται πολύ αργά, το δε έµβολο δεν παρουσιάζει τριβές µε τα τοιχώµατα του δοχείου. ΛYΣH: H βαλβίδα θ' ανοίξει τη στιγµή που η πίεση του αερίου στο χώρο B θα γίνει ίση µε 32P0. Eξάλλου το αέριο αυτό υφίσταται αντιστρεπτή αδιαβατική συµπίεση καί εποµένως ισχύει ο νόµος του Poisson, δηλαδή µπορούµε να γρά ψουµε τη σχέση:

0P 0

!

V = 32 0P *

!

V ! 0

!

V = 32*

!

V ! 0V = 32( )

1/!

*V !

0V = 25( )

3/5

*V = 23. *V !

�

V* = V0/8 (1)

όπου V* ο όγκος του αερίου τη στιγµή που ανοίγει η βαλβίδα και γ=CP/CV=5/3. Eφαρµόζοντας εξάλλου γιά το αέριο τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο παίρνουµε τη σχέση:

0=nCV(T*-T0)+Wαερ !

!"#W = -3Rn

2*T - 0T( ) (2)

όπου T0, T*, η αρχική καί η τελική θερµοκρασία αντιστοίχως του αερίου, n ο αριθµός των mol αυτού καί Wαερ το έργο που προσφέρεται στο αέριο µέσω της

πιεστικής δύναµης

�

! F ! που ασκεί στο έµβολο ο ατµοσφαιρικός αέρας καί της

πιεστικής δύναµης

�

! F που δέχεται το έµβολο από το εξωτερικό περιβάλλον.

Όµως για το έργο Wαερ ισχύει η σχέση:

�

W!"# = -W!

F - W!

F != -W!

F - P

0Sx !

�

W!"# = -W!

F - P0(V0 - V*)

(1)

!

�

W!"# = -W!

F - P0(V0 - V0 /8) = -W!

F - 7P0V0 /8 (3)

Σχήµα 12 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (2) καί (3) παίρνουµε τη σχέση:

�

-3Rn

2( *T - 0T ) = -W!

F -7P0V0

8 !

�

W!

F =

3Rn

2( *T - 0T ) -

7P0V0

8 (4)

Όµως από την καταστατική εξίσωση για την κατάσταση του αερίου τη στιγµή που ανοίγει η βαλβίδα έχουµε:

�

32P0V

*= *nRT !

�

32P0V

0/8 = nR *T !

�

*T = 4P0V

0/nR = 4T

0

οπότε η σχέση (4) γράφεται:

�

W!

F =

3nR(4T0 - T0)

2-7P0V0

8=

9nRT0

2-7P0V0

8 !

�

W!

F =

9P0V

0

2-7P

0V

0

8=

29P0V

0

8

P.M. fysikos

Tο κατακόρυφο δοχείο του σχήµατος (13) έχει δια θερµικά τοιχώµατα και περιέχει µονοατοµικό (CV=3R/2) ιδανικό αέ ριο. Όταν το αέριο καταλαµβάνει το µισό όγκο του δοχείου, τότε το

ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Θερµαίνουµε πολύ αργά το αέριο µέχρις ότου να διπλασιαστεί ο όγκος του. i) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα P-V της µεταβολής της κατάστασης του αερίου. ii) Nα βρείτε τη µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. iii) Nα βρείτε το έργο που παράγει το αέριο κατά την εκτόνωσή του. Δίνεται το βάρος

! w του εµβόλου, το εµβαδόν S της διατοµής του

δοχείου, το ύψος του h καί η σταθερά k του ελατηρίου. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε το έµβολο σε µία τυχαία θέση, όπου η απόστασή του από τον πυθµένα του δοχείου είναι x. Στη θέση αυτή το έµβολο, λόγω της βραδείας κίνησής του, ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους του

! w , της

πιεστικής δύναµης

�

! F ! που δέχεται από το αέριο, της πιεστικής δύναµης

�

! F

0

από τον ατµοσφαιρικό αέρα καί της δύναµης

�

! F !"

από το συµπιεσµένο ελατήριο. Για τα µέτρα των δυνάµεων αυτών ισχύει η σχέση:

Σχήµα 13 Σχήµα 14

!"F + 0F + w - #F = 0 ! K(x - h/2) + 0P S + w -PS = 0 !

P =K

Sx -

h

2

!

" #

$

% & + 0P +

w

S !

P =

Kx

S-Kh

2S+ 0P +

w

S !

P = *P +

Kx

S= *P +

KSx

S2

(1)

όπου P η πίεση του αερίου καί P* η σταθερή ποσότητα P0+w/S-Kh/2S. Όµως το γινόµενο Sx εκφράζει τον όγκο V του αερίου, οπότε η σχέση (1) παίρνει τη µορφή:

P = *P +

KV

S2

(2)

H σχέση (2) είναι πρώτου βαθµού ανάµεσα στις µεταβλητές ποσότητες P καί V, οπότε η γραφική της παράσταση είναι µια ευθεία γραµµή (σχ. 14), η οποία αποτελεί και το διάγραµµα P-V της µεταβολής της κατάστασης του αερίου. ii) H µεταβολή ΔU της εσωτερικής ενέργειας του αερίου, υπολογίζεται από τη σχέση:

!U = nCV "#$T - %&'T( ) !

�

!U =3nR

2!"#T - $%&T( ) !

!U =

3

2"#$nRT - %&'nRT( ) =

3

2. "#$P "#$V - %&'P %&'V( )

(1)

!

!U =3

2*P +

KSh

S2

!

" #

$

% & Sh - *P +

KSh

S2

!

" #

$

% &

Sh

2

'

( )

*

+ , !

!U =3

2*P Sh + Kh

2-

*P Sh

2+

Kh2

4

!

" #

$

% & !

!U =3

2

*P Sh

2+

5Kh2

4

!

" #

$

% & !

!U =

3h

8*2P S + 5Kh( )

iii) Tο έργο εκτόνωσης του αερίου είναι ίσο µε το έργο της πιεστικής δύναµης

�

! F ! που αυτό εξασκεί στο έµβολο. Eφαρµόζοντας γιά το έµβολο το θεώρηµα

κινητικής ενέργειας-έργου, παίρνουµε τη σχέση:

0 - 0 = WB + WF0 + WF!"

+ WF# ! WF!

= - WB - WF0 - WF"#

!

!"#W =

Bh

2+

0P Sh

2+

K

2.

h

2

!

" #

$

% &

2

!

!"#W =h

2B + 0P S +

Kh

4

!

" #

$

% &

P.M. fysikos

Iδανικο µονοατοµικό αέριο (CV=3R/2) υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή ΑΓΒΔΑ, της οποίας το διάγραµµα Τ-V εικονίζεται στο σχήµα (15). Το καµπύλο τµήµα ΑΓΒ του διαγ ράµµατος αντιστοιχεί σε εξίσωση της µορφής:

�

T =T0

3-V

2

V0

2+

4V

V0

!

" #

$

% & , V0 ' V ' 3V0

(α)

όπου Τ0, V0 η θερµοκρασία και ο όγκος αντιστοίχως του αερίου, στην κατασταση Α. i) Nα απεικονίσετε την κυκλική µεταβολή του αερίου στο επίπεδο P-V. ii) Nα εξετάσετε µε ποιο τρόπο το αέριο ανταλλάσει θερµότητα µε το

περιβάλλον του κατά την εξέλιξη της µεταβολής ΑΓΒ. iii) Nα βρείτε το θερµοδυναµικό συντελεστή απόδοσης µιας θερµικής µηχανής, που το αέριο της εκτελεί την παραπάνω κυκλική µεταβολή. ΛYΣH: i) Εάν P, V, T είναι οι θερµοδυναµικές συντεταγµένες µιας τυχαίας κατάστασης του αερίου, όταν αυτό εκτελεί την µεταβολή ΑΓΒ, τότε οι συντε ταγµένες αυτές εκτός από την σχέση (α) θα ικανοποιούν και την καταστατική εξίσωση PV=nRT. Aπαλοίφωντας µεταξύ των δύο αυτών σχέσεων την θερµοκ ρασία Τ έχουµε:

�

PV

nR=

T0

3-V

2

V0

2+

4V

V0

!

" #

$

% &

�

!

�

PT0

V0P

0

=T

0

3-

V

V0

2+

4

V0

!

" #

$

% &

�

!

�

P

P0

= -V

3V0

+4

3

�

!

�

P = -P

0V

3V0

+4P

0

3 (1)

Η (1) δηλώνει ότι κατά την µεταβολή ΑΓΒ η πίεση P του αερίου µειώνεται γραµµικά µε τον όγκο του V, που σηµαίνει ότι στο επίπεδο P-V η µεταβολή αυτή απεικονίζεται µε µια κατερχόµενη ευθεία γραµµή ΑΓΒ, όπως φαίνεται στο σχήµα (16). Εξάλλου η σχέση (α) γράφεται:

Σχήµα 15

�

3T

T0

= -V

2

V0

2+

4V

V0

�

!

�

V2

V0

2-4V

V0

+3T

T0

= 0 (2)

H (2) αποτελεί µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς V/V0 και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές που σηµαίνει ότι η διακρίνουσά της είναι µη αρνητική, δηλαδή ισχύει:

�

16 - 12T/T0! 0

�

!

�

T ! 4T0/3 (3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι κατά την εξέλιξη της µεταβολής ΑΓΒ η µέγιστη θερ µοκρασία του αερίου είναι Τmax=4T0/3 και αντιστοιχεί στην κατάσταση Γ του αερίου, δηλαδή ισχύει:

�

T!

= Tmax

= 4T0/3

Στην κατάσταση Γ µέγιστης θερµοκρασίας η (2) έχει µια διπλή ρίζα που δίνεται από τη σχέση:

�

V!/V

0= 4/2

�

!

�

V!

= 2V0

Η πίεση του αερίου στην κατάσταση Γ θα προκύψει από την καταστατική εξί σωση, δηλαδή θα ισχύει:

�

P!V

!= nRT

!

�

!

�

2P!V

0= 4nRT

0/3

�

!

�

P!

= 2P0/3

Σχήµα 16 Eξάλλου από το σχήµα (15) προκύπτει ότι η µεταβολή ΒΔ του αερίου είναι ισοβαρής ψύξη υπό πίεση PΒ για την οποία ισχύει:

�

3PBV

0= nRT

0

�

!

�

3PBV

0= V

0P

0

�

!

�

PB

= P0/3

απεικονίζεται δε στο επίπεδο P-V µε την ευθεία BΔ, η οποία είναι παράλληλη προς τον άξονα των όγκων (σχήµα 16). Eπειδή κατά τη µεταβολή αυτή ο όγκος του αέριου υποτριπλασιάζεται και η θερµοκρασία του υποτριπλασιάζεται (νόµος Charles), που σηµαίνει ότι η κατάσταση Δ βρίσκεται πάνω στην ισόθερµη θερµοκρασίας T0/3. Τέλος η µεταβολή ΔΑ, µέσω της οποίας το αέριο επανέρ χεται στην αρχική του κατάσταση Α είναι µια ισόχωρη θέρµανση που απεικο νίζεται στο επίπεδο P-V µε την παράλληλη προς τον άξονα των πιέσεων ευθεία ΔΑ. Με βάση τα όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω το διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής ΑΓΒΔΑ είναι αυτό που εικονίζεται στο σχήµα (16). ii) Kατά τη εξέλιξη της µεταβολής ΑΓΒ διακρίνουµε το στάδιο AΓ όπου το αέριο εκτονώνεται και η θερµοκρασία του αυξάνεται και το στάδιο ΓΒ όπου το αέριο συνεχίζει να εκτονώνεται, ενώ η θερµοκρασία του µειώνεται. Eφαρ µόζοντας για τη µεταβολή ΑΓ τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, παίρνουµε τη σχέση:

�

QA!= "UA!

+ WA!= nCV(T

!- T0) + WA! A

�

!

�

QA! =3nR

2

4T0

3- T0

"

# $

%

& ' + WA! =

nRT0

2+ WA! (4)

Όµως το έργο WAΓ εκφράζεται µε το εµβαδόν του τραπεζίου (AΓVΓV0), δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

WA!

=P

0+ 2P

0/3( ) 2V

0- V

0( )2

=5P

0V

0

6

οπότε η (4) γράφεται:

�

QA!=

nRT0

2+

5P0V0

6=

P0V0

2+

5P0V0

6

�

!

�

QA!=

4P0V0

3> 0 (5)

δηλαδή κατά το στάδιο ΑΓ το αέριο απορροφά θερµότητα από το περιβάλλον του. Eφαρµόζοντας εκ νέου τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο για το στάδιο ΓΒ, παίρνουµε τη σχέση:

�

Q!B = "U

!B + W!B = nCV(T

"- TB) + W

!B

�

!

�

Q!" =3nR

2

T0

3-4T0

3

#

$ %

&

' ( + W!" = -

nRT0

2+ W!" (6)

Εξάλλου το έργο WAΓ εκφράζεται µε το εµβαδόν του τραπεζίου (ΓΒ3V0VΓ), δηλαδή ισχύει:

�

WA!

=2P

0/3+ P

0/3( ) 3V

0- 2V

0( )2

=P

0V

0

2

οπότε η (4) γράφεται:

�

Q!"

= -nRT0

2+

P0V0

2= -

P0V0

2+

P0V0

2= 0 (7)

δηλαδή κατά το στάδιο ΓΒ το αέριο δεν ανταλλάσει θερµότητα µε το περιβάλ λον του. ii) O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης α της θερµικής µηχανής, που λειτουργεί µε βάση τον κύκλο AΓΒΔA, είναι το πηλίκο του έργου Wολ που δίνει το αέριο, προς την αντίστοιχη θερµότητα Qπρ που προσφέρεται σ’ αυτό, δηλαδή ισχύει:

�

! = W!" Q#$ (8) Όµως ισχύουν οι σχέσεις:

�

W!" = #µ$ AB!( ) =3V0 - V0( ) P0 - P0 /3( )

2=

2V0P0

3 (9)

και

�

Q!"

= QA!+ QB"

�

!

(5)

�

Q!"

=4P0V0

3+ nCV T0 -

T0

3

!

" #

$

% & !

�

Q!"

=4P0V0

3+ n

3R

2

2T0

3=

4P0V0

3+ P0V0 =

7P0V0

3 (10)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8), (9) και (10) έχουµε:

�

! =2P

0V

03

7P0V

03

=2

7

P.M. fysikos

Iδανικό µονοατοµικό αέριο (CV=3R/2) µάζας n mol, υποβάλλεται σε κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή ABΓA, η οποία αποτελείται από τις εξής επιµέρους µεταβολές: i) από την µεταβολή AB, κατά την εξέλιξη της οποίας η πίεση P του αερίου και ο όγκος του V µεταβάλλονται σύµφωνα µε τη σχέ ση:

�

P = -P

0

V0

V + 3P0

(α)

ο δε όγκος του από 2V0 γίνεται V0, ii) από την ισοβαρή εκτόνωση BΓ και iii) από την ισόχωρη ψύξη ΓA, µέσω της οποίας το αέριο επιστρέ φει στην αρχική του κατάσταση A πιέσεως P0. α) Nα σχεδιάσετε τα διαγράµµατα P-V και T-V της κυκλικής µετα βολής του αερίου. β) Εάν κατά την ισοβαρή εκτόνωση ΒΓ η εντροπία του αερίου µεταβάλλεται κατά:

�

!S"#

= 5nR(ln2)/2 να βρείτε την µεταβολή της εντροπίας του κατά τη µεταβολή ΓΑ. γ) Να υπλογίσετε το θερµοδυναµικό συντελεστή απόδοσης της θερ µικής µηχανής, η οποία χρησιµοποιεί ως ενεργό µέσο το αέριο και ως κύκλο λειτουργίας τον ABΓA. ΛYΣH: α) Kατά τη µεταβολή AB ο όγκος του αερίου υποδιπλασιάζεται, ενώ η πίεση του αυξάνεται από την τιµή P0 στην τιµή PB και σύµφωνα µε τη σχέση (α) θα έχουµε:

�

PB

= -P

0

V0

V0+ 3P

0= 2P

0

Eφαρµόζοντας για τις καταστάσεις A και B την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχουµε τις σχέσεις:

�

P02V

0= nRT

A

2P0V

0= nRT

B

!

"

#

!

�

TA

= TB

= T0 µε

�

T0

= P0V

0/nR

δηλαδή οι καταστάσεις A και B βρίσκονται πάνω στην ισόθερµη καµπύλη, θερµοκρασίας T0. Eπειδή κατά την ισοβαρή εκτόνωση BΓ ο όγκος του αερί ου διπλασιάζεται, θα διπλασιάζεται και η απόλυτη θερµοκρασία του (νόµος Cay-Lussac), δηλαδή η κατάσταση Γ βρίσκεται επί της ισόθερµης καµπύλης θερµοκρασίας 2T0. Τέλος κατά την ισόχωρη ψύξη ΓΑ ο όγκος του αερίου είναι συνεχώς ίσος µε 2V0, ενώ η θερµοκρασία του µειώνεται από την τιµή 2Τ0 στην τιµή T0 και η πίεσή του από 2P0 σε P0, αποδίδεται δε η µεταβολή αυτή στο επίπεδο P-V µε την παράλληλη προς τον άξονα των πιέσεων ευθεία ΓΑ. Στο σχήµα (17) φαίνεται το διάγραµµα P-V της κυκλικής µεταβολής ABΓA του αερίου. Ας εξετάσουµε µε ποιο τρόπο µεταβάλλεται η θερµοκρασία του αερίου κατα το στάδιο της µεταβολής ΑΒ. Εάν P,V,T είναι οι θερµοδυναµικές συντε

Σχήµα 17 ταγµένες µιας τυχαίας κατάστασης κατά την εξέλιξη της µεταβολής αυτής, τότε οι συντεταγµένες αυτές εκτός από τη σχέση (α) θα ικανοποιούν και την καταστατική εξίσωση PV=nRT. Απαλοίφοντας την πίεση P µεταξύ των δύο αυτών σχέσεων έχουµε:

�

nRT

V= -

P0

V0

V + 3P0

�

!

�

T = -P

0V

2

nRV0

+3P

0V

nR

�

!

�

T = -P

0V

2

2P0V

0V

0

+3P

0T

0V

2P0V

0

�

!

�

T =T

0

2-V

2

V0

2+

3V

V0

!

" #

$

% & (β)

Η σχέση (β) εκφράζει ότι η µεταβολή ΑΒ απεικονίζεται στο επίπεδο Τ-V µε µια παραβολή και µάλιστα όπως θα δείξουµε αµέσως παρακάτω το αέριο σε µια ορισ µένη κατάσταση Μ παρουσιάζει µέγιστη θερµοκρασία (σχήµα 18). Πράγµατι η σχέση (β) µπορεί να πάρει τη µορφή:

�

2T

T0

= -V

2

V0

2+

3V

V0

�

!

�

V2

V0

2-3V

V0

+2T

T0

= 0 (1)

H (1) αποτελεί µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς V/V0 και πρέπει να έχει

ρίζες πραγµατικές που σηµαίνει ότι η διακρίνουσά της είναι µη αρνητική, δηλαδή ισχύει:

�

9 - 8T/T0! 0

�

!

�

T ! 9T0/8 (2)

Aπό την (3) προκύπτει ότι κατά την εξέλιξη της µεταβολής ΑΒ η µέγιστη θερ µοκρασία του αερίου είναι Τmax=9T0/8 και αντιστοιχεί στην κατάσταση M του αερίου, δηλαδή ισχύει:

�

TM

= Tmax

= 9T0/8 (3)

Σχήµα 18

Όµως στην κατάσταση M µέγιστης θερµοκρασίας η (1) έχει µια διπλή ρίζα που δίνεται από τη σχέση:

�

VM/V

0= 3/2

�

!

�

VM

= 3V0/2

Εξάλλου η ισοβαρής θέρµανση ΒΓ του αερίου απεικονίζεται στο επίπεδο Τ-V µε ευθεία γραµµή της οποίας η προέκταση διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων, διότι η σχέση µεταξύ θερµοκρασίας και όγκου του αερίου κατά την µεταβολή αυτή είναι της µορφής:

�

2P0V = nRT

�

!

�

T = 2P0V/nR

�

!

�

T = T0V/V

0 (4)

Τέλος η ισόχωρη ψύξη απεικονίζεται στο επίπεδο Τ-V µε την παράλληλη προς τον άξονα των θερµοκρασιών ευθεία ΓΑ. Στο σχήµα (18) φαίνεται το διάγραµµα Τ-V της κυκλικής µεταβολής ABΓA του αερίου. ii) Επειδή η εντροπία είναι καταστατικό φυσικό µέγεθος η µεταβολή της Sολ όταν συµπληρωθεί η κυκλική µεταβολή ΑΒΓΑ είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει:

�

!So"

= 0

�

!

�

!S"#

+ !S#$

+ !S$"

= 0

�

!

�

!S"#

= -!S#$

- 5nR(ln2)/2 (5) Όµως η µεταβολή ΔSAB είναι ίση µε την µεταβολή της εντροπίας του αερίου εάν αυτή υπολογιστεί πάνω στην ισόθερµη καµπύλη που διέρχεται από τις καταστάσεις Α και Β, δηλαδή ισχύει:

�

!S"#

= !S$%&'

= nRln(V0/2V0) = -nRln2 (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε:

�

!S"#

= nRln2 - 5nR(ln2)/2 = -3nR(ln2)/2 (7) iii) O θερµοδυναµικός συντελεστής απόδοσης της θερµικής µηχανής, η οποία υποβάλλει το αέριο στον κύκλο ABΓA είναι:

�

! = W!" /Q#$ (8) όπου Wολ το έργο που παράγει το αέριο κατά την εξέλιξη του κύκλου και Qπρ η αντίστοιχη θερµότητα που προσφέρεται σ’ αυτό. Όµως το έργο Wολ είναι ίσο µε το εµβαδόν του σκιασµένου τριγώνου ABΓ, δηλαδή ισχύει:

�

W!" = #µ$(AB% ) =2V0 - V0( ) 2P0 - P0( )

2=

V0P0

2 (9)

Ας εξετάσουµε µε ποιο τρόπο ανταλλάσει θερµότητα το αέριο κατα την εξέλιξη της µεταβολής ΑΒ. Kατά το στάδιο AΜ το αέριο ανταλλάσει θερµό τητα QAM, η οποία σύµφωνα µε τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο δίνεται από τη σχέση:

�

QAM = !UAM + WAM = nCV(TM - T0) + WAM

�

!

�

QAM =3nR

2

9T0

8- T0

!

" #

$

% & + WAM =

3nRT0

16+ WAM (10)

Όµως το έργο WAM εκφράζεται µέσω του εµβαδού του τραπεζίου AM VM2V0, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

WAM

= -P

0+ 3P

0/2( ) 3V

0/2 - 2V

0( )2

= -5P

0V

0

8

οπότε η (10) γράφεται:

�

QAM =6P0V0

16-5P0V0

8= -

P0V0

4< 0 (11)

δηλαδή κατά το στάδιο ΑM το αέριο δίνει θερµότητα στο περιβάλλον του. Eφαρµόζοντας εκ νέου τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο για το στάδιο MΒ, παίρνουµε τη σχέση:

�

QMB = !UMB + WMB = nCV(TB - TM) + WMB

�

!

�

QM! =3nR

2T0 -

9T0

8

"

# $

%

& ' + WM! = -

3nRT0

16+ WM! (12)

Εξάλλου για το έργο WMB ισχύει:

�

WMB

=2P

0+ 3P

0/2( ) V

0- 3V

0/2( )

2= -

7P0V

0

8

οπότε η (12) γράφεται:

�

QM!= -

3nRT0

16-7P0V0

8= -

5P0V0

4< 0 (13)

δηλαδή και κατά το στάδιο MΒ το αέριο δίνει θερµότητα στο περιβάλλον του. Οι παραπάνω υπολογισµοί εγγυώνται ότι κατά την µεταβολή ΑΒ το αέριο δίνει θερµότητα από το περιβάλλον, που σηµαίνει ότι κατά την εξέλιξη της κυκλικής µεταβολής ΑΒΓΑ το αέριο απορροφά θερµότητα µόνο κατά την ισοβαρή εκτόνω ση ΒΓ, δηλαδή ισχύει:

�

Q!"

= QB!= nCP(T

!- TB) = n(CV + R)(2T0 - T0) !

�

Q!"

= 5nRT0 /2 = 5V0P0 (14) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) (9) και (14) παίρνουµε:

�

! =V

0P

0/2

5V0P

0

=1

10

P.M. fysikos

Δύο διαφορετικά ιδανικά αέρια A1 και A2 της ίδιας θερµοκρασίας, βρίσκονται σε δύο δοχεία του ίδιου όγκου, που χωρίζονται µεταξύ τους µε διάφραγµα, έχουν δε ακλόνητα και αδια βατικά τοιχώµατα. Aφαιρούµε το διάφραγµα και τα δύο αέρια ανα µειγνύονται χωρίς να αντιδρούν χηµικά. i) Nα παραστήσετε τη µεταβολή της κατάστασης κάθε αερίου σε διάγ ραµµα P-V. ii) Nα βρείτε τη µεταβολή της εντροπίας του συστήµατος των δύο αερίων. Δίνεται η σταθερά K του Boltzmann και οι αριθµοί N1, N2 των µορίων των αερίων A1 και A2 αντιστοίχως. ΛYΣH: i) Mε την αφαίρεση του διαφράγµατος τα δύο αέρια εκτονώνονται ελεύθερα χωρίς να µεταβάλλεται η θερµοκρασία τους. Kάθε αέριο υποβάλλεται σε µη αντιστρεπτη µεταβολή, η οποία σε διάγραµµα P-V απεικονίζεται µε δύο σηµεία, τα οποία αντιστοιχούν στην αρχική και την τελική κατάσταση του αερί ου, βρίσκονται δε πάνω στην ίδια ισόθερµη καµπύλη. Aν δεχτούµε ότι ισχύει N1 >N2, τότε η ισόθερµη καµπύλη που αντι στοιχεί στο αέριο A1 βρίσκεται υψηλότερα από την αντίστοιχη καµπύλη του αερίου A2, διότι ναι µεν οι δύο ισόθερµες καµπύλες αντιστοιχούν στην ίδια θερµοκρασία T, αλλά αναφέρονται σε δια φορετιικούς αριθµούς mol n1 και n2 και µάλιστα ισχύουν:

n1

= N1

NA

n1

= N1

NA

!

" #

$ #

(: )

!

n1

n2

=N

1

N2

> 1 ! n1> n

2

Σχήµα 19 όπου NA η σταθερά του Avogadrο. Eάν ΔS1, ΔS2 είναι οι µεταβολές της εντρο πίας των αερίων A1 και A2 αντιστοίχως, τότε αυτές θα είναι ίσες µε τις αντί στοιχες µεταβολές της εντροπίας τους, αν τα δύο αέρια έφθαναν στις τελικές τους καταστάσεις ισόθερµα και αντιστρεπτά. Έτσι θα έχουµε:

!S1

= n1Rln2

!S2

= n2Rln2

!

" #

$ #

(+ )

! !S1 +!S2 = (n1 +n2)Rln2 (1)

H ολική µεταβολή ΔSολ της εντροπίας του συστήµατος των δύο αερίων είναι:

!S"#= !S

1+ !S

2

(1)

! !S"#

= (n1 + n2)Rln2 !

S!"

=N

1

NA

+N

2

NA

!

"

# #

$

%

& & Rln2 !

!S"#

= (N1 + N2)Rln2

NA

!

!S

"#= (N1 + N2)Kln2

P.M. fysikos

Ένα σώµα µε πεπερασµένη µάζα βρίσκεται σε θερ µοκρασία T, που είναι µεγαλύτερη από τη θερµοκρασία T0 µιας δεξα µενής θερµότητας. Yποθέτουµε ότι µεταξύ του σώµατος και της δεξα µενής παρεµβάλλεται µια θερµικη µηχανή, η οποία λειτουργώντας κυκλικά µεταφέρει θερµότητα Q από το σώµα στη δεξαµενή, µέχρις ότου η θερµοκρασία του σώµατος εξισωθεί µε τη θερµοκρασία T0 της δεξαµενής. Eάν ΔS είναι µεταβολή της εντροπίας του σώµατος, να δειχτεί ότι το µέγιστο έργο που παρέχει η θερµική µηχανή στο περι βάλλον της δίνεται από τη σχέση:

Wmax = Q + T0ΔS ΛYΣH: Eάν ΔSολ είναι η ολική µεταβολή της εντροπίας του συστήµατος σώµα -δεξαµενή-θερµική µηχανή, τότε σύµφωνα µε την εντροπική διατύπωση του

δεύτερου θερµοδυναµικού νόµου θα ισχύει:

ΔSολ ≥ 0 ! ΔSσωµ + ΔSµηχ + ΔSδεξ ≥ 0 (1) Όµως ΔSµηχ =0, διότι το υλικό µέσο της µηχανής εκτελεί κατά την λειτουργία της συνεχόµενες κυκλικές µεταβολές. Eξάλλου η µεταβολή ΔSδεξ της εντροπί ας της δεξαµενής είναι ίση µε Q0/T0, όπου Q0 η θερµότητα που µεταφέρεται στη δεξαµενή, υπό σταθερή θερµοκρασία T0. Έτσι η σχέση (1) γράφεται:

ΔSσωµ + 0 + Q0/T0 ≥ 0 ! ΔS + Q0/T0 ≥ 0 (2) Eφαρµόζοντας για τη θερµική µηχανή τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο έχουµε: Q - Q0 = ΔU + W ! Q - Q0 = 0 + W ! Q0 = Q - W (3)

Σχήµα 20 όπου W το έργο που παρέχει η θερµική µηχανή στο περιβάλλον της και ΔU η µεταβολή της εσωτερικής της ενέργειας, που είναι όµως µηδενική, αφού το υλικό της µέσο εκτελεί κυκλικές µεταβολές. Aπό (2) και (3) παίρνουµε τη σχέση: ΔST0 + Q - W ≥ 0 ! Q + T0ΔS ≥ W ! Wmax = Q + T0ΔS Παρατήρηση: H µεταβολή ΔS της εντροπίας του σώµατος είναι αρνητική, διότι καθώς αυτό ψύχεται η θερµική αταξία των δοµικών του λίθων µειώνεται, µε αποτέλεσµα να µειώνεται και η εντροπία του, αφού είναι γνωστό ότι, η εντροπία αποτελεί µέτρο της θερµικής αταξίας των δοµικών του λίθων.

P.M. fysikos

Tεµάχιο πάγου, µάζας m και θερµοκρασίας 0 0C, τήκεται υπό σταθερή ατµοσφαιρική πίεση Pατµ, µέχρις ότου µετατρα πεί σε νερό θερµοκρασίας 0 0C. Eάν ΔS είναι η µεταβολή της εντρο πίας της µάζας m, να βρεθεί η αντίστοιχη µεταβολή της εσωτερικής της ενέργειας. Δίνονται οι πυκνότητες dπ και dυ του πάγου και του νερού αντιστοίχως, µε dυ > dπ.

ΛYΣH: Yποθέτουµε ότι η τήξη της µάζας m του πάγου γίνεται αντιστρεπτά, µε προσφορά στοιχειωδών ποσών θερµότητας υπό σταθερή εξωτερική πίεση, ίση προς την ατµοσφαιρική πίεση Pατµ. Eπειδή κατά τη διάρκεια της τήξης η θερµοκρασία του µίγµατος πάγος-νερό παραµένει σταθερή και ίση µε 0 0C, η µεταβολή ΔS της εντροπίας της µάζας m θα δίνεται από τη σχέση:

!S =

dQ

T

!

" #

$

% &

"#$

' =1

T0

(dQ)"#$

' =Q"#$

T0

! Q!"# = T0$S (1)

όπου T0 =273 0K και Qτηξ η θερµότητα που προσφέρθηκε στη µάζα m του πάγου για να γίνει νερό 0 0C. Eφαρµόζοντας, για την τήξη της µάζας m τον πρώτο θερµοδυναµικό νόµο, παίρνουµε τη σχέση:

Q!"# = $U + W ! !U = Q"#$ - W !

(1)

!U = T0!S - W (2)

όπου ΔU η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας, λόγω τήξεως της µάζας m και W το αντίστοιχο έργο που αυτή παίρνει από τον ατµοσφαιρικό αέρα. Πράγµατι, κατά την τήξη του πάγου µειώνεται ο όγκος της µάζας m κατά ΔV, οπότε ο ατµοσφαιρικός αέρας εκτονώνεται υπό σταθερή πίεση Pατµ και εποµένως προσ φέρει στη µάζα m έργο ίσο µε Pατµ ΔV, δηλαδή η µάζα m παίρνει έργο W για το οποίο ισχύει:

W = -P!"µ#V = -P

!"µ (V$- V

%) !

W = -P

!"µ

m

d#

-m

d$

!

"

# #

$

%

& &

= -P!"µm

d#- d

$

d#d

$

!

"

# #

$

%

& & (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε τη σχέση:

!U = T0!S + P

"#µmd

$- d

%

d$d

%

!

"

# #

$

%

& &

P.M. fysikos