ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΠΑ.Λ

ΠΕΜΠΤΗ 21 – 05 – 15

11:40 πμ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ LISARI TEAM ΘΕΜΑΤΑ Α + Β Μάκης Χατζόπουλος

ΘΕΜΑ Γ + Δ Μιχάλης Γιαννόπουλος

SITE http://lisari.blogspot.gr

ΘΕΜΑΤΑ

ΚΑΙ

ΛΥΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

2015

Οι απαντήσεις και οι λύσεις

είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς

των συνεργατών του δικτυακού τόπου

http://lisari.blogspot.gr

3η έκδοση: 21 – 05 – 2015 (συνεχής ανανέωση)

Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά

από το μαθηματικό blog

http://lisari.blogspot.gr

Πρόλογος

Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων στο

μάθημα Μαθηματικά I των ΕΠΑ.Λ. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και

αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν

και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο.

Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα

Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team.

Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και

βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και πιο ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε

συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει

της προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών

περιθωρίων. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα

βελτιωθεί, ίσως εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια,

παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην

ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.

Με εκτίμηση

lisari team

20 – 05 – 2015

lisari team

Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος)

Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)

Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας)

Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο)

Γιαννόπουλος Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)

Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα)

Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)

Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας)

Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη)

Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου - Σέρρες)

Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)

Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)

Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 19+ - Πολύγωνο)

Κουλούρης Αντρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)

Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι)

Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη)

Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)

Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)

Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)

Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο)

Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα)

Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο)

Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος)

Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς – Ζάκυνθος)

Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)

Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη)

Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)

Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης)

Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι)

Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)

Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας)

Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη)

Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)

Φιλιππίδης Χαράλαμπος (Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί)

Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας)

Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων)

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 1

lisari team / σχολικό έτος 2014 – 15

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑΔΑΣ Α)

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΜΠΤΗ 21 ΜΑΙΟΥ 2015

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ( ) ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 212

A2. α) Λάθος, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 76

β) Σωστό, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 214

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 2

γ) Λάθος, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 235

δ) Λάθος, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 189

ε) Σωστό, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 65

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 3

Α3. α) Από το σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 241 έχουμε,

1

dx ln x ln lnx

β) Από το σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 187 έχουμε,

c 0

γ) Από το σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 78 έχουμε,

1 1 2 2 k k

1 2 k

x v x v ... x vx

v v ... v

ΘΕΜΑ Β

B1. Έχουμε,

Χρόνοι σε

λεπτά

Κέντρο

κλάσης i

k

Συχνότητα

vi

Αθροιστική

Συχνότητα Νi

i ik v

[5, 15) 10 20 20 200

[15, 25) 20 14 34 280

[25, 35) 30 12 36 360

[35, 45) 40 4 50 160

ΣΥΝΟΛΑ ν = 50 1000

αφού,

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 4

2 2 1 2 2N v v 34 v 20 v 14

και

1 2 3 4 4 4 4v v v v v 50 20 14 12 v v 50 20 14 12 v 4

Β2. Έχουμε,

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 4

k v k v k v k v 1000x 20

v v ... v 50

Β3. Έχουμε

4 2

2 2 2 2i i2 i 1

k x v10 20 20 20 20 14 30 20 12 40 20 4

sv 50

2000 1200 1600

50

480096

50

οπότε η τυπική απόκλιση είναι,

2s s 96 10

Β4. Έχουμε,

s 96 10CV% 100 100 100 50

20 20x

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 5

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Έχουμε,

x 2 2 2 0

x 2 x 2lim f x lim 4x 4e 4 2 4e 8 4e 8 4 12

Γ2. Έχουμε,

23 2 2

x 2 x 2 x 2 x 2

x 2 x 2x 4x 8 x 2x 4 2 2 2 4 12lim f x lim lim lim

x 2 x 2

Γ3. Για να είναι μια συνάρτηση συνεχής στο 0x 2 , πρέπει να ισχύει:

x 2

12 12lim f x f 2 12 12 12 1

12

Γ4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα 1,2 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και

επειδή λ = 1 είναι συνεχής και στο x0 = 2, άρα η f είναι συνεχής στο [1, 2] με τύπο

x 2f x 4x 4e

Επομένως,

2

22 2

x 2 x 2 2 x 2

111

x4x 4e dx 4 4e 2x 4e

2

2 2 2 2 1 2

0 1

2 2 4e 2 1 4e

2 4 4e 2 1 4e

18 4 2 4

e

410

e

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Ο ρυθμός μεταβολής του βάρους του παγόβουνου είναι:

3 2

2 2t 3tB t 2t 12t 15 2 2t 12 1 0 t 4t 12, 0 t 10

3 3

Δ2. Έστω

2B t 0 t 4t 12 0

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr

Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 6

2 24 4 4 1 12 16 48 64

άρα οι λύσεις είναι

1,2

4 64 4 8t

2 2 1 2

δηλαδή,

1

4 8 4t 2 0,10

2 2

απορρίπτεται ή 2

4 8 12t 6 0,10

2 2

,δεκτή

t 0 6 10

B t + –

B t 1 2

Επομένως, το βάρος του παγόβουνου γίνεται μέγιστο σε t 6 έτη.

Δ3. Η συνάρτηση B είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 6,10 .

Επομένως,

6 t 9 B 9 B t B 6

Δ4. Για κάθε t 0,10 έχουμε:

2B t t 4t 12 2t 4 1 0 2t 4

τότε,

4

B t 0 2t 4 0 2t 4 t t 22

t 0 2 10

B t + –

B t 1 2

Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής του βάρος του παγόβουνου γίνεται μέγιστο σε t 2 έτη.