Lugaresgeom©tricos.c³nicas solucionesanaya1bachilleratot

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  1. 1. Unidad 9. Lugares geomtricos. Cnicas 1 Pgina 213 REFLEXIONA Y RESUELVE Cnicas abiertas: parbolas e hiprbolas Completa la siguiente tabla, en la que a es el ngulo que forman las generatri- ces con el eje, e, de la cnica y b el ngulo del plano con e. Pgina 215 1. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geomtricos: a) Mediatriz del segmento de extremos A(5, 3), B(7, 1). Comprueba que es una recta perpendicular al segmento en su punto medio. b) Circunferencia de centro O(3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas. c) Bisectrices de los ngulos formados por las rectas: r1 : 5x + y + 3 = 0 r2 : x 2y + 16 = 0 Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cor- tan en el mismo punto que r1 y r2. b = 90 PASA POR EL VRTICE NO PASA POR EL VRTICE b > a b = a b < a punto circunferencia punto elipse recta parbola dos rectas que se cortan en V V hiprbola b = 90 PASA POR EL VRTICE NO PASA POR EL VRTICE punto circunferencia b > a b = a recta b < a LUGARES GEOMTRICOS. CNICAS9
  2. 2. a) Los puntos X (x, y) deben cumplir dist (X, A) = dist (X, B): = Elevamos al cuadrado y desarrollamos: x2 + 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = x2 14x + 49 + y2 2y + 1 10x + 14x + 6y + 2y + 34 50 = 0 8 24x + 8y 16 = 0 3x + y 2 = 0 8 y = 3x + 2 El punto medio de AB es M(1, 1) que, efectivamente, est en la recta (pues verifica la ecuacin). La pendiente de la recta es mr = 3, y la del segmento es: mAB = = = Cumplen que mr mAB = (3) ( )= 1 8 AB 2 r b) Los puntos X(x, y) son tales que: dist (X, O) = 5 8 = 5 8 x2 + 6x + 9 + y2 8y + 16 = 25 8 8 x2 + y2 + 3x 8y + 25 = 25 8 x2 + y2 + 3x 8y = 0 c) Son los puntos X (x, y): dist (X, r1) = dist (X, r2) 8 = Se dan dos casos: (5x + y + 3) = (x 2y + 16) (5x + y + 3) = (x 2y + 16) Son dos rectas: b1: (5 )x + ( + 2 )y + 3 16 = 0 b2: (5 + )x + ( 2 )y + 3 + 16 = 0 Sus pendientes son: m1 = m2 = 8 m1 m2 = = = 1 8 b1 2 b2 Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que est tambin en ambas bisectrices: 8 x 2(5x 3) + 16 = 0 8 8 x + 10x + 6 + 16 = 0 8 11x = 22 8 x = 2 r1: 5x + y + 3 = 0 8 y = 5x 3 r2: x 2y + 16 = 0 99 99 25 5 26 5 4 26 (5 5 + 26 ) 5 2 26 (5 5 26 ) 5 + 2 26 265265265 265265265 265 265 |x 2y + 16| 5 |5x + y + 3| 26 (x + 3)2 + (y 4)2 1 3 1 3 4 12 1 (3) 7 (5) (x 7)2 + (y 1)2(x + 5)2 + (y + 3)2 Unidad 9. Lugares geomtricos. Cnicas 2 8
  3. 3. Luego: y = 5(2) 3 = 7 El punto de corte es (2, 7), que se puede comprobar fcilmente que est en b1 y b2 sustituyendo en sus ecuaciones respectivas: b1: (5 ) (2) + ( + 2 ) 7 + 3 16 = = 10 + 2 + 7 + 14 + 3 16 = 0 b2: (5 + ) (2) + ( 2 ) 7 + 3 + 16 = = 10 2 + 7 14 + 3 + 16 = 0 Por tanto, b1 y b2 son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r1 y r2. Pgina 217 1. Halla la ecuacin de la circunferencia de centro (5, 12) y radio 13. Comprue- ba que pasa por el punto (0, 0). (x + 5)2 + (y 12)2 = 169 8 x2 + y2 + 10x 24y = 0 Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuacin, esta se verifica. Por tanto, la circunferen- cia pasa por (0, 0). 2. Cul es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuyo cociente de distan- cias a los puntos M (6, 0) y N (2, 0) es 3 (es decir, PM/ PN = 3)? Si P(x, y) es un punto del lugar geomtrico, entonces: = 3 8 = 3 (x 6)2 + y2 = 9 [(x + 2)2 + y2] x2 12x + 36 + y2 = 9 [x2 + 4x + 4 + y2] x2 12x + 36 + y2 = 9x2 + 36x + 36 + 9y2 8x2 + 8y2 + 48x = 0 x2 + y2 + 6x = 0 Es la circunferencia de centro (3, 0) y radio 3. Pgina 218 3. Estudia la posicin relativa de la circunferencia C: x2 + y2 6x 4y 12 = 0 respecto a las rectas: s1: 3x 4y 26 = 0 s2: 5x 8y + 60 = 0 s3: 3x 4y 1 = 0 s4: x = 5 Halla los puntos de corte y de tangencia, si los hubiera. (x 6)2 + y2 (x + 2)2 + y2 PM PN 265265265 265265265 265265265 265265265 Unidad 9. Lugares geomtricos. Cnicas 3 9UNIDAD
  4. 4. 8 3x = 4y + 26 8 x = y + y + 2 + y2 6 y + 4y 12 = 0 8 8 y2 + + y + y2 8y 52 4y 12 = 0 8 8 16y2 + 676 + 208y + 9y2 72y 468 36y 108 = 0 8 8 25y2 + 100y + 100 = 0 8 y2 + 4y + 4 = 0 8 (y + 2)2 = 0 8 8 y = 2 (solucin nica) x = (2) + 8 x = 6 C y s1 son tangentes en el punto (6, 2). 8 5x = 8y 60 8 x = y 12 y 12 2 + y2 6 y 12 4y 12 = 0 8 8 y2 + 144 y + y2 + 72 4y 12 = 0 8 8 64y2 + 3600 960y + 25y2 240 + 1800 100y 300 = 0 8 8 89y2 1060y + 4860 = 0 8 No tiene solucin. s2 es exterior a la circunferencia C. 8 3x = 4y + 1 8 x = y + y + 2 + y2 6 y + 4y 12 = 0 8 8 y2 + + y + y2 8y 2 4y 12 = 0 8 8 16y2 + 1 + 8y + 9y2 72y 18 36y 108 = 0 8 8 25y2 100y 125 = 0 8 y2 4y 5 = 0 C y s2 son secantes en los puntos (7, 5) y (1, 1). 8 25 + y2 30 4y 12 = 0 8 y2 4y 17 = 0 y = = = = 2 C y s4 se cortan en los puntos (5, 2 + ) y (5, 2 ).2121 y1 = 2 + 21 y2 = 2 21 21 4 221 2 4 84 2 4 16 4 (17) 2 C: x2 + y2 6x 4y 12 = 0 s4: x = 5 y1 = 5 8 x1 = 7 y2 = 1 8 x2 = 1 8 9 1 9 16 9 )1 3 4 3()1 3 4 3( 1 3 4 3 C: x2 + y2 6x 4y 12 = 0 s3: 3x 4y 1 = 0 48 5 192 5 64 25 )8 5()8 5( 8 5 C: x2 + y2 6x 4y 12 = 0 s2: 5x 8y + 60 = 0 26 3 4 3 208 9 676 9 16 9 )26 3 4 3()26 3 4 3( 26 3 4 3 C: x2 + y2 6x 4y 12 = 0 s1: 3x 4y 26 = 0 Unidad 9. Lugares geomtricos. Cnicas 4
  5. 5. 4. Para qu valores de b la recta y = x + b es tangente a la circunferencia x2 + y2 = 9? La recta ser tangente a la circunferencia si la distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual al radio de la circunferencia. C: x2 + y2 = 9 8 O = (0, 0), R = 3 r: y = x + b 8 x y + b = 0 dist (O, r) = = = 3 8 b = 3 5. Halla la posicin relativa de C: x2 + y2 6x + 8y = 0 respecto a las rectas: r1: x + y = 10 r2: 4x + 3y + 20 = 0 r3: 3x 4y = 0 r4: y = 2 C: x2 + y2 6x + 8y = 0 8 O = (3, 4), r = 5 dist (O, r1) = = 7,78 > 5 8 r1 es exterior a C. dist (O, r2) = = = 4 < 5 8 r2 y C se cortan en dos puntos. dist (O, r3) = = = 5 8 r3 y C son tangentes. dist (O, r4) = = = 2 < 5 8 r4 y C se cortan en dos puntos. Pgina 219 1. Halla la potencia de P(3, 8) a las circunferencias: C1: x2 + y2 14x + 20 = 0 C2: O(4, 3), r = 20 Di si P es interior o exterior a C1 y a C2. C1: x2 + y2 14x + 20 = 0 8 O1 = (7, 0), r1 = = C2: O (4, 3), r = 20 P (3, 8) P(P a C1) = (7 + 3)2 + (0 8)2 ( )2 = 100 + 64 29 = 135 > 0 8 8 P es exterior a C1. P (P a C2) = (4 + 3)2 + (3 8)2 (20)2 = 49 + 121 400 = 230 < 0 8 8 P es interior a C2. 29 2949 20 2 1 |4 + 2| 0 + 1 25 5 |3 3 4(4)| 9 + 16 20 5 |4 3 + 3(4) + 20| 16 + 9 11 2 |3 4 10| 1 + 1 2 |b| 2 |0 0 + b| 12 + (1)2 Unidad 9. Lugares geomtricos. Cnicas 5 9UNIDAD
  6. 6. 2. Halla el eje radical de estas circunferencias: C1: x2 + y2 4x + 12y 11 = 0 C2: x2 + y2 6y = 0 Comprueba que es una recta perpendicular a la lnea de sus centros. Calculamos las potencias de un punto genrico P(x, y) a C1 y a C2: Igualamos ambas expresiones: x2 + y2 4x + 12y 11 = x2 + y2 6y 8 4x + 18y 11 = 0 Ecuacin del eje radical: 4x 18y + 11 = 0 8 m = = 8 O1O2 = (2, 9) 8 8 La pendiente de la recta que une O1 y O2 es m' = . Como m m' = = 1, el eje radical y la recta que une O1 y O2 son per- pendiculares. Pgina 221 1. Halla la ecuacin de la elipse de focos F1(4, 0), F2(4, 0) y cuya constante es 10. Una vez puesta la ecuacin inicial, pasa una raz al segundo miembro, eleva al cuadrado (atencin con el doble producto!), simplifica, asla la raz, vuelve a elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuacin 9x2 + 25y2 = 225. Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P , F1) + dist (P , F2) = 10 + = 10 = 10 Elevamos al cuadrado: (x 4)2 + y2 = 100 + (x + 4)2 + y2 20 Operamos: x2 8x + 16 + y2 = 100 + x2 + 8x + 16 + y2 20 20 = 16x + 100 5 = 4x + 25 Elevamos al cuadrado: 25(x2 + 8x + 16 + y2) = 16x2 + 200x + 625 Simplificamos: 25x2 + 200x + 400 + 25y2 = 16x2 + 200x + 625 8 9x2 + 25y2 = 225 (x + 4)2 + y2 (x + 4)2 + y2 (x + 4)2 + y2 (x + 4)2 + y2 (x + 4)2 + y2(x 4)2 + y2 (x + 4)2 + y2(x 4)2 + y2 )9 2()2 9( 9 2 Centro de C1 8 O1 = (2, 6) Centro de C2 8 O2 = (0, 3) 2 9 4 18 P (P a C1) = x2 + y2 4x + 12y 11 = 0 P (P a C2) = x2 + y2 6y = 0 Unidad 9. Lugares geomtricos. Cnicas 6
  7. 7. 2. Halla la ecuacin de la hiprbola de focos F1(5, 0), F2(5, 0) y cuya constante es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresin 16x2 9y2 = 144. Si P (x, y) es un punto de la hiprbola, entonces: |dist (P , F1) dist (P , F2)| = 6 dist (P , F1) dist (P , F2) = 6 = 6 = 6 + Elevamos al cuadrado: x2 10x + 25 + y2 = 36 + x2 + 10x + 25 + y2 12 12 = 20x + 36 3 = 5x + 9 Elevamos al cuadrado: 9(x2 + 10x + 25 + y2) = 25x2 + 90x + 81 9x2 + 90x + 225 + 9y2 = 25x2 + 90x + 81 16x2 9y2 = 144 3. Halla la ecuacin de la parbola de foco F (1, 0) y directriz r: x = 1. Simplifi- ca hasta llegar a la expresin y2 = 4x. Si P (x, y) es un punto de la parbola, entonces: dist (P , F) = dist (P , r) = |x 1| Elevamos al cuadrado: x2 + 2x + 1 + y2 = x2 2x + 1 Simplificamos: y2 = 4x Pgina 223 1. Una elipse tiene sus focos en los puntos F (5, 0) y F' (5, 0) y su constante es k = 26. Halla sus elementos caractersticos y su ecuacin reducida. Represntala. Semieje mayor: k = 26 8 2a = 26 8 a = 13 Semidistancia focal: FF' = 10 8 2c = 10 8 c = 5 Semieje menor: b2 = a2 c2 = = = = 12 8 b = 12 Excentricidad: = 0,38 8 8 exc 0,38 Ecuacin reducida: + = 1 y2 144 x2 169 5 13 c a 144 169 25 (x + 1)2 + y2 (x + 5)2 + y2 (x + 5)2 + y2 (x + 5)2 + y2 (x + 5)2 + y2(x + 5)2 + y2 (x + 5)2 + y2(x 5)2 + y2 Unidad 9. Lugares geomtricos. Cnicas 7 9UNIDAD F' F 12 13 13 12
  8. 8. Pgina 224 2. Representa y di su excentricidad: + = 1 c = = exc = 0,87 3. Representa y di su excentricidad: + = 1 c = = exc = 0,87 Pgina 226 1. Una hiprbola tiene sus focos en los puntos F1 (5, 0) y F2 (5, 0) y su cons- tante es k = 6. Halla sus elementos caractersticos y su ecuacin reducida. Re- presntala. Semieje: k = 2a = 6 8 a = 3 Semidistancia focal: F1F2 = 10 8 c = 5 Clculo de b: b2 = c2 a2 8 8 b = = = 4 8 b = 4 Excentricidad: exc = = 1,67 Asntotas: y = x