Lucas Santos de Sá - USP · Lucas Santos de Sá Dissertação apresentada ......

O Caráter de Chern-Connescalculado em Ψ0

cl(S1) e Ψ0

cl(S2)

Lucas Santos de Sá

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Ciências

Programa: MatemáticaOrientador: Prof. Dr. David Pires Dias

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal deNível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001

São Paulo, abril de 2019

O Caráter de Chern-Connescalculado em Ψ0

cl(S1) e Ψ0

cl(S2)

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridaspela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,realizada em 23/04/2019. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. David Pires Dias - IME-USP

• Profa. Dra. Patricia Hess - UTFPR

• Prof. Dr. Pedro Tavares Paes Lopes - USP

Agradecimentos

Agradeço a Deus pela oportunidade e recursos recebidos. Aos meus pais, Odamir e Roseli,por materializarem tais recursos e seu apoio incondicional. Ao David, meu orientador, por seusconselhos e empatia. À Patricia, Pedro e Ricardo pelas valorosas contribuições na versão final dotexto. Agradeço ao Lucio por tantas horas de conversa e companhia. À Marina pelos inúmerosmomentos felizes.

Aos amigos do IME, Elivelton, Erick, Evandro, Fernando, Renata, Rodrigo, Rubens, Stella, quetornaram este ambiente agradável. Aos muitos cafés e a todas as horas debatendo problemas naslousinhas. Aos professores que partilharam um pouco de seu conhecimento.

Aos amigos de mocidade e ao próprio Movimento Jovem Espírita que me permitiram manter oequilíbrio.

“E a esperança na alvorada, foi o que me manteveOnde termina a estrada, onde começa o marOnde termina o mar, Deus me ensina a voarSou filho do improviso, eu danço eu me viro”

Bússola - Projeto Carrossel

i

Resumo

SA, Lucas. S. O Caráter de Chern-Connes calculado em Ψ0cl(S

1) e Ψ0cl(S

2). 2019. 68 f. Dis-sertação - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019.

Este trabalho busca explorar a definição dada por Connes em [Con01] do caráter de Chern paraa geometria não-comutativa. Construímos os funtores K0 e K1 com os principais resultados parademonstrarmos a Sequência Exata de Seis Termos e a Sequência de Mayer-Vietoris. Calculamos osgrupos de K-teoria de algumas álgebras de operadores pseudo-diferenciais clássicos de ordem zero.Posteriormente usamos as sequências exatas para calcular explicitamente o caráter de Chern-Connesnos C∗-sistemas dinâmicos.

Palavras-chave: Caráter de Chern-Connes, K-teoria, C∗-álgebra.

iii

Abstract

SA, LUCAS. S. The Chern-Connes Character calculate in Ψ0cl(S

1) and Ψ0cl(S

2). 2019. 68 f.Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, SãoPaulo, 2019.

This work intends to explore the definition given by Connes in [Con01] of the Chern charac-ter for noncommutative geometry. We construct the functors K0 and K1 with the main results todemonstrate the Exact Sequence of Six Terms and the Sequence of Mayer Vietoris. We computethe K-groups of some algebras of classical zero-order pseudo-differential operators. We then use theexact sequences to explicitly calculate the Chern-Connes Character of C∗-dynamic systems.

Keywords: Chern-Connes Character, K-theory, C∗-álgebra.

v

Sumário

Lista de Símbolos ix

Introdução 1

1 Conceitos Preliminares 31.1 Noções de C∗-álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Unitização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Noções de Topologia Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 K-teoria para C∗-álgebras 92.1 Construção de K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Construção de K0 para C∗-álgebras com unidade . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 K0 como funtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 A construção de K0 para C∗-álgebras sem unidade . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Construção de K1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 K1 como funtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Sequências Exatas de Seis Termos 173.1 Sequência Clássica de Seis Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 O caráter de Chern-Connes 354.1 O caráter de Chern Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 O caráter de Chern-Connes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 O C∗-sistema dinâmico (Ψ0cl(S

1), S1, α) 47

6 O C∗-sistema dinâmico (Ψ0cl(S

2), S2, α) 55

A Grupo de Grothendieck 61

B Produto Tensorial e Derivada Exterior 63

Referências Bibliográficas 65

Índice Remissivo 67

vii

viii SUMÁRIO

Lista de Símbolos

βA Aplicação de BottαA Função Índice∼h HomotopiaS1 z ∈ C : |z| = 1∼0 Relação de equivalência em K0

∼1 Relação de equivalência em K1

D z ∈ C : |z| 6 11 Função constante de valor igual a 1

z Função identidadeFd Transformada de Fourier discretam.p.f.g Módulo projetivo finitamente geradoA Unitização 1.1.1C(X) Espaço das funções f : X −→ C contínuasB(H) Espaço dos operadores limitados em espaço de HilbertHom(A,B) Homomorfismos entre A e B

ix

x LISTA DE SÍMBOLOS

Introdução

Em 1980 Alain Connes, no artigo [Con01], expandiu a noção do caráter de Chern para o,atualmente denominado, caso não-comutativo. Sua contribuição foi perceber e adaptar resultadosanálogos aos da teoria clássica para o caso das C∗-álgebras.

O caráter de Chern-Connes, denotado por chτ ; será definido numa terna (A,G, α), com A umaC∗-álgebra, G um grupo e α uma ação contínua, chamada de C∗-sistema dinâmico; é definido comoum homomorfismo entre os grupos Ki(A), de K-teoria, e os grupos de cohomologia de G.

Inicialmente definimos Chτ , o caráter de Chern-Connes para o caso em que o domínio é K0,para posteriormente, considerando o isomorfismo

K0(C(S1)×A) ≈ K0(A)×K1(A),

conseguirmos estender a definição para o domínio incluindo o K1. Além disso, mostramos que osfuntores se comportam de maneira independente.

Por fim explicitamos os cálculos do caráter de Chern-Connes, anteriormente definido, em doisC∗-sistemas dinâmicos cujas C∗-álgebras são dadas pelos operadores pseudo-diferenciáveis clássicosde ordem 0 de S1 e S2.

O primeiro capítulo é um apanhado com resultados de C∗-álgebra e topologia algébrica queserão utilizados ao longo do texto. Enunciamos, por exemplo, o Teorema de Gelfand e a construçãode Mn(A) onde A é uma C∗-álgebra. Apresentamos a unitização, isto é, uma maneira de, a partirde uma dada C∗-álgebra A, construir uma outra C∗-álgebra com unidade e que tem uma cópia deA.

Definimos, para o nosso contexto, o que são sequências exata curta, cindida e diagrama comu-tativo, logo após falamos sobre o Lema dos Cinco, que é uma maneira de provar a existência deisomorfismos em diagramas comutativos.

No segundo capítulo temos como objetivo construir os funtores K0 e K1. K0(A) é construído,inicialmente, para A uma C∗-álgebra com unidade e tendo como base as projeções da C∗-álgebradas matrizes Mn(A). Com a propriedade universal conseguimos apresentar a definição de K0 para∗-homomorfismos e utilizando a sequência exata cindida da unitização fazemos a extensão para ocaso em que A não tem unidade.

O funtor K1 é definido utilizando os elementos unitários de Mn(A). Ao contrário do caso K0

é possível realizar a construção independente da álgebra ter ou não unidade. Mostramos que K1 éum funtor meio-exato que cinde.

No capítulo 3 é feita a construção da sequência exata de seis termos e da sequência de Mayer-Vietoris, tais sequências serão responsáveis por conectar K0 e K1. Para a sequência de seis termosé necessário definir duas aplicações: do índice e exponencial. A aplicação do índice é feita de ma-

1

2 Introdução 0.0

neira tradicional e apenas enunciamos sua versão para isometrias parciais. Para construirmos aexponencial é necessário conhecer a aplicação de Bott, citamos os principais passos desta definição.

Com estes conceitos, mostramos a relação entre K0 e K1, definimos suspensão e mostramos queK1(SA) ≈ K0(A). Indutivamente, fazemos a extensão para o funtor Kn e a sequência exata longa.

Damos a motivação de Mayer-Vietoris e fazemos a sua demonstração utilizando uma C∗-álgebraauxiliar A. O principal passo é perceber que Ki(A) = Ki(A). Usamos o Lema dos Cinco paraconstruir a prova. Tendo este teorema, calculamos de maneira não convencional, os grupos de K-teoria de C(S1).

No capítulo 4 é apresentado brevemente o caráter de Chern para a geometria diferencial clássica.Partindo disso vamos adaptando as definições para o caso de C∗-álgebra, particularmente, definimosconexão e curvatura.

Ao longo do capítulo 5, são calculados os grupos de K-teoria da álgebra dos operadores pseudo-diferenciais de S1, denotado aqui por Ψ0

cl(S1). Para encontrar estes grupos usamos a sequência exata

de seis termos e um lema a respeito da sobrejetividade do índice neste contexto. Posteriormente,calculamos o seu caráter de Chern-Connes.

O capítulo 6 é uma continuação destes resultados, sendo calculados os grupos de K-teoria deΨ0cl(S

2). Utilizamos a sequência de Mayer-Vietoris e o lema a respeito da sobrejetividade do índice.Por fim, calculamos seu caráter de Chern-Connes e deixamos em função do traço desejado.

Por fim, o apêndice A é a construção detalhada do Grupo de Grothendieck e no apêndice B éfeita a definição de derivada exterior.

Capítulo 1

Conceitos Preliminares

Neste capítulo faremos um apanhando de resultados de C∗-álgebra e topologia algébrica queserão utilizados ao longo do trabalho. O leitor que desejar uma referência consolidada de introduçãoaos temas pode consultar o livro do Gerard Murphy [Mur14] que cobre vastamente os conceitos deC∗-álgebra. Além disso, uma referência mais enxuta é a apostila do Ruy Exel [Exe02].

Ao longo do texto utilizaremos também resultados e conceitos de topologia algébrica, recomen-damos como bibliografia o livro do Allen Hatcher [Hat05]1.

1.1 Noções de C∗-álgebra

Existem, essencialmente, duas maneiras de se motivar C∗-álgebra: pelo ponto de vista algébricoe do ponto de vista analítico. Algebricamente, de forma axiomática, define-se álgebras munidas deuma involução ∗, com propriedades semelhantes as da conjugação complexa. Analiticamente estuda-se as propriedades de um espaço de operadores como C(X) ou B(H), definindo então a estruturade C∗-álgebra baseada nas relações entre estes operadores.

De qualquer forma, um dos exemplos mais simples e que será nosso guia para fazer a definiçãoé o espaço de matrizes complexas Mn(C) com as operações usuais.

Definição 1.1 (Álgebra). (A, ·) é uma álgebra sobre C, se A é um espaço vetorial complexo emunido da operação · : A×A −→ A que é uma aplicação bilinear associativa.

Frequentemente chamaremos álgebra sobre C simplesmente de álgebra complexa ou ainda, álge-bra. Para simplificar a notação ao invés de (A, ·) vamos usar apenas A sempre que o contexto deixarclaro qual é a operação de multiplicação.

Definição 1.2 (Álgebra Abeliana). Seja A uma álgebra. Se a · b = b · a para todos elementosa, b ∈ A então diremos que A é abeliana ou comutativa.

Definição 1.3 (Unidade). Seja A uma álgebra, se existir um elemento 1A ∈ A tal que

a · 1A = a = 1A · a

para qualquer a ∈ A diremos que 1A é a unidade de A e chamaremos A de álgebra com unidade.1Assim como os demais livros do Hatcher este encontra-se gratuitamente disponível em seu site pessoal.

3

4 CONCEITOS PRELIMINARES 1.1

Definição 1.4 (Álgebra Normada). Uma álgebra A é chamada de álgebra normada quando estámunida com uma função ||.|| : A −→ R+ que satisfaz os axiomas de norma e que seja submultipli-cativa, isto é, dados quaisquer elementos a,b ∈ A temos a desigualdade

||a · b|| 6 ||a|| · ||b||.

A norma acima define, naturalmente, uma métrica na álgebra e, com isto, podemos tratar dosconceitos de completude. Uma álgebra normada completa também é dita álgebra de Banach.

Definição 1.5 (C∗-álgebra). Seja A uma álgebra de Banach, uma operação ∗ é chamada deinvolução se tiver as seguintes propriedades:

• (a+ b)∗ = a∗ + b∗;

• (λa)∗ = λa∗;

• (ab)∗ = b∗a∗;

• (a∗)∗ = a.

Se além destas propriedades tivermos

||a∗a|| = ||a||2,

diremos que A é uma C∗-álgebra. Caso A tenha unidade diremos que ela é uma C∗-álgebra comunidade.

Com estes axiomas podemos mostrar que, em uma C∗-álgebra, ||a∗|| = ||a||, para qualquer a ∈ A.

Daremos agora uma série de exemplos de C∗-álgebra que serão utilizados posteriormente nodecorrer do texto.

Exemplo 1.6. A álgebra nula 0 é uma C∗-álgebra. O conjunto dos números complexos C com asoperações usuais também é uma C∗-álgebra.

Exemplo 1.7. O espaço das matrizes Mn(C) é uma C∗-álgebra quando munido das operaçõesusuais. A involução é definida como A∗ := A

t, A ∈ Mn(C) e a norma é definida usando a relação

única entre uma matriz e o operador linear por ela definida.

Exemplo 1.8 (Espaço de funções). Seja X um espaço Hausdorff topológico compacto, o espaçodas funções f : X −→ C contínuas C(X) é uma C∗-álgebra com as operações definidas a seguir:

(f + g)(x) := f(x) + g(x)

(λf)(x) := λf(x)

(f · g)(x) := f(x)g(x)

(f∗)(x) := f(x)

||f || := supx∈X|f(x)|.

São exemplos importantes os espaços C([0, 1]), C(S1) e C(D), em que S1 = z ∈ C : |z| = 1 e Dé o disco complexo de raio 1.

Exemplo 1.9 (Funções que anulam no infinito). Seja X um espaço Hausdorff e localmentecompacto, denotaremos por C0(X) o conjunto das funções f : X −→ C tal que para todo ε > 0 o

1.1 NOÇÕES DE C∗-ÁLGEBRA 5

conjunto x : |f(x)| > ε é compacto. Diremos que estas funções se anulam no infinito. O leitorpode encontrar a demonstração de que C0(X) é uma C∗-álgebra com as operações iguais às doexemplo anterior. A demonstração com detalhes encontra-se em 1.1.3 de [Mur14]. Repare que se Xé compacto então C0(X) = C(X).

Observação 1.10. Este exemplo é notável porque ele carateriza as C∗-álgebras abelianas. Em ter-mos mais precisos: se A é uma C∗-álgebra abeliana então A é isomorfa a C0(X), onde X é oconjunto de todos os homomorfismos não nulos de A em C. Além disso, X é um espaço localmentecompacto.

O primeiro passo para a demonstração é definir uma transformada que associa a cada elementob um funcional linear b : X −→ C definido como b(ϕ) := ϕ(b).

Este resultado fundamental é conhecido como Teorema de Gelfand e sua demonstração completapode ser encontrada no teorema 1.3.6 de [Mur14] ou no teorema 8.2 de [Exe02].

Exemplo 1.11 (Álgebra de Matrizes). Seja A uma C∗-álgebra, defina o conjunto Mn(A) comoo conjunto das matrizes de ordem n com coeficientes em A. Assim como feito em Mn(C) pode-mos definir a soma de duas matrizes, produto por escalar e multiplicação. Além disso, define-se ainvolução ∗ inspirada na conjugação complexa:

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

. . ....

an1 an2 ann

∗

:=

a∗11 a∗21 · · · a∗n1a∗12 a∗22 · · · a∗n2...

. . ....

a∗1n a∗2n a∗nn

tal conjunto munido das operações usuais também é uma C∗-álgebra. A demonstração deste fatopode ser encontrado em 3.4.2 de [Mur14].

Definição 1.12 (C∗-subálgebra). Seja A uma C∗-álgebra e B ⊂ A, diremos que B é uma C∗-subálgebra quando B for uma subálgebra fechada pelas operações de soma e produto, além disso,fechada via involução e na topologia de A, isto é, o fecho de B em A é o próprio B. Consideraremosa restrição da norma em A como a norma de B.

Definição 1.13 (C∗-álgebra gerada). Sejam A uma C∗-álgebra e B ⊂ A um conjunto qualquer.Podemos definir a C∗-álgebra gerada por B como a menor C∗-subálgebra de A que contém B.

Definição 1.14 (Soma Direta). Sejam A e B duas C∗-álgebras, definimos a soma direta como

A⊕B = (a, b) ∈ A×B

munindo este conjunto com as operações coordenada a coordenada e a norma do máximo temos queA⊕B é uma C∗-álgebra.

Os detalhes destas últimas definições também encontram-se em [Mur14].

1.1.1 Unitização

Uma frequente dificuldade na teoria de C∗-álgebras é trabalhar com álgebras sem unidade,como no exemplo 1.9 quando X não é compacto. Para contornar este desafio foi desenvolvida uma


maneira de criar uma álgebra equivalente que por sua vez tem unidade, chamaremos este processode unitização.

Seja A uma C∗-álgebra, definiremos A := A × C com a soma e produto por escalar definidocomo na soma direta entre espaços vetoriais. O problema está na definição do produto, apesar deextremamente natural fazer, para λ, µ ∈ C, (a, λ) · (b, µ) = (ab, λµ) esta operação não transformaA em uma C∗-álgebra.

Para contornarmos este problema e definir o produto faremos:

(a, λ) · (b, µ) := (ab+ λb+ µa, λµ)

Repare que temos 1A = (0, 1) como a unidade de A, além disso, se A for abeliano, A também éabeliano. Quando munimos A com a norma ||(a, λ)|| = ||a||+ |λ| a álgebra A se torna completa.

No caso em que A é uma C∗-álgebra com unidade podemos fazer as mesmas considerações, oque nos leva a estudar os homomorfismos entre C∗-álgebras e suas unitizações.

Dado um ∗-homomorfismo ϕ : A −→ B defina a extensão ϕ : A −→ B como ϕ(a, α) := (ϕ(a), α).Como ϕ(1

A) = 1

Bpodemos dizer que ϕ preserva a unidade.

O teorema abaixo, demonstrado em 1.2 de [Mur14] para o caso de espaços de Banach e em 1.15de [DC01] para C∗-álgebras, condensa e formaliza as informações acima.

Teorema 1.15. Se A é uma C∗-álgebra então A, munida da norma acima, também é uma C∗-álgebra com a operação ∗ definida como

(a, λ)∗ := (a∗, λ).

1.2 Noções de Topologia Algébrica

Neste trabalho usaremos apenas conceitos básicos de topologia algébrica e sempre aplicados aocontexto de C∗-álgebras, grupos abelianos e sequências exatas. Caso o leitor deseje se aprofundarneste tópico recomendamos, como anteriormente, o livro [Hat05].

Definição 1.16 (Homotopia). Seja X um espaço topológico, dois elementos, x e y ∈ X, sãohomotópicos se existir um caminho contínuo que os liga, isto é, se existir uma função contínuaf : [0, 1] −→ X tal que f(0) = x e f(1) = y. Denotaremos por x ∼h y.

A homotopia define, naturalmente, uma relação de equivalência, pois a função constante mostraque x ∼h x, o caminho inverso garante a comutatividade e a transitividade decorre da concatenaçãodos caminhos.

Exemplo 1.17. Considere o espaço C, quaisquer dois elementos são homotópicos pois, dados x,y ∈ C a função f : [0, 1] −→ C definida como f(t) = (1 − t)x + ty é um caminho contínuo entreeles.

A partir da função do exemplo anterior podemos concluir que dois elementos numa C∗-álgebrasão sempre homotópicos.

Definição 1.18 (Homotopia entre homomorfismos). Sejam A, B duas C∗-álgebras. Dois ∗-homomorfismos ϕ, ψ : A −→ B são chamados de homotópicos, e denotados por ϕ ∼h ψ, se existir

1.2 NOÇÕES DE TOPOLOGIA ALGÉBRICA 7

uma função contínua de [0, 1] em B com t 7→ ϕt ∈ Hom(A,B) e a 7→ ϕt(a) tal que

ϕ0 = ϕ e ϕ1 = ψ.

Definição 1.19 (Homotopia entre C∗-álgebras). Sejam A e B duas C∗-álgebras, diremos queelas são homotopicamente equivalentes se existir dois ∗-homomorfismos

ϕ : A −→ B e ψ : B −→ A

tais queψ ϕ ∼h idA e ϕ ψ ∼h idB .

Estudar o comportamento de ∗-homomorfismos é um dos pontos centrais da K-teoria. Parafacilitar o enunciado e demonstração das propriedades vamos, como é padrão na literatura, utilizarsequências exatas.

Definição 1.20 (Sequências Exatas). Uma sequência de C∗-álgebras An e ϕn ∗-homomorfismosserá chamada de sequência exata e denotada por

. . . An−1 An An+1 . . .ϕn−1 ϕn ϕn+1

quando Im(ϕn) = ker(ϕn+1) para todo n.

Definição 1.21 (Sequência exata curta). Quando a sequência estiver na forma

0 I A B 0ϕ ψ

diremos que ela é uma sequência exata curta. Repare que, neste caso, ϕ é injetor e ψ é sobrejetor.

Uma importante aplicação de sequências exatas curtas acontece quando I é um ideal de A.Neste caso podemos nos restringir em

0 I A A/I 0i π

onde i é a inclusão e π a projeção no quociente.

Definição 1.22 (Sequência Cindida). Caso a sequência exata curta admita λ : B −→ A umaaplicação (inversa à direita), tal que ψ λ = idB diremos que a sequência cinde e denotaremos por

0 I A B 0.ϕ ψ

λ

Sequências exatas também nos fornece uma maneira elegante de escrever a unitização, apresen-tada na seção 1.1.1. Repare que A/A ≈ C,

0 A A C 0.i π

λ

(1.22.1)


Dadas A, B, C e D quatro C∗-álgebras, diremos que o diagrama

A B

C D

ϕ g

f

ψ

é comutativo quandog f = ψ ϕ.

Este conceito será importante para expressar de forma resumida relações entre operadores e C∗-álgebras.

Vamos enunciar o resultado que é conhecido como Lema dos Cinco e que é extremamente útilpara encontrar isomorfismos em sequências exatas.

Seja o diagrama comutativo de C∗-álgebra abaixo.

A B C D E

A′ B′ C ′ D′ E′.

γβα εδ

Se ambas as linhas são sequência exatas, α, β, δ e ε são isomorfismos então γ também é umisomorfismo, a demonstração deste lema encontra-se na seção 2.1 de [Hat05].

Capítulo 2

K-teoria para C∗-álgebras

Neste capítulo apresentaremos as construções básicas referentes a K-teoria topológica de C∗-álgebras. Uma das primeiras referências completas e consolidadas sobre o tema é de Blackadarem [Bla86] no final da década de 80. Seguimos aqui duas referências posteriores e mais didáticas:[RLL00] e [WO93], ambas podem ser utilizadas para o leitor consultar o tema. Uma diferençaentre os dois livros é que o primeiro faz as proposições usando sequências exatas curtas enquantoo segundo usa a linguagem dos ideais. Deriva dos comentários do capítulo anterior que ambas asmaneiras são equivalentes.

O objetivo deste capítulo é construir dois funtores: K0 e K1 entre a categoria das C∗-álgebrase a categoria dos grupos abelianos. Enquanto K0 será construído estudando as projeções de umaC∗-álgebra, K1 será definido com base nos seus unitários.

A noção intuitiva das duas construções é bem semelhante: primeiro defina uma relação deequivalência na álgebra. Após isso, estenda a definição para a álgebra Mn(A), por fim, considereuma nova relação de equivalência no conjunto

⋃n∈N

Mn(A). O quociente resultará no grupo desejado.

2.1 Construção de K0

A construção de K0 é feita em duas etapas: primeiro definimos K0 para uma C∗-álgebra comunidade. Depois, aplicando a técnica de unitização, podemos definir para uma C∗-álgebra qualquer.

2.1.1 Construção de K0 para C∗-álgebras com unidade

Inspirado nas definições usuais e bastante comuns em álgebra linear, podemos definir projeçãoem uma C∗-álgebra.

Definição 2.1 (Projeção). Seja p um elemento de uma C∗-álgebra A, diremos que p é umaprojeção se

p2 = p e p∗ = p.

O conjunto das projeções de A será denotado por P(A). Além disso, definimos projeções no conjuntodas matrizes Mn(A). Para cada n ∈ N defina

Pn(A) := P(Mn(A)).

9

10 K-TEORIA PARA C∗-ÁLGEBRAS 2.1

Por fim, considere

P∞(A) :=

∞⋃n=1

P(Mn((A))).

Em P∞(A) iremos considerar a relação de equivalência de Murray-Von-Neumann dada por p ∼ qse, e somente se, existe v ∈ Mn×m(A)1 tal que p = v∗v e q = vv∗. Defina então a operação emP∞(A):

p⊕ q =

(p 0

0 q

).

Estamos deixando implícito o tamanho de cada elemento, a rigor os zeros que aparecem nessadiagonal possuem tamanhos distintos, por exemplo, se p ∈ Mn(A), q ∈ Mm(A) então p ⊕ q ∈Mn+m(A) e

p⊕ q =

(p 0n×m

0m×n q

).

Tal operação, aliada a equivalência de Murray-Von-Neumann, possui propriedades que permitemque o grupo quociente seja um semigrupo abeliano.

Definição 2.2. Seja A uma C∗-álgebra, defina

D(A) = P∞(A)/ ∼

É possível demonstrar que D é um semigrupo abeliano quando munido da operação[p] + [q] := [p⊕ q]. Os detalhes estão feitos na proposição 2.3.2 [RLL00].

Após estes comentários iniciais estamos prontos para a definição de K0.

Definição 2.3. Seja A uma C∗-álgebra com unidade 2, defina

K0(A) := G(D(A)),

onde G(S) é o Grupo de Grothendieck do semigrupo abeliano S, isto é, a construção que faz de umsemigrupo abeliano um grupo abeliano.

Esta técnica está explicada em detalhes no apêndice A.

Um conceito importante definido em A.2 é o da aplicação de Grothendieckγ : D(A) −→ G(D(A)). A partir dela, defina [ . ]0 a função canônica:

[ . ]0 : P∞(A) −→ K0(A)

p 7→ [p]0 = γ([p]).

Proposição 2.4 (Representação padrão de K0 com unidade). Seja A uma C∗-álgebra comunidade. Podemos dar uma descrição explícita de K0:

K0(A) = [p]0 − [q]0 : p , q ∈ P∞(A).1Posteriormente chamaremos v de uma isometria parcial.2Para uma explicação mais detalhada da importância de se considerar A com unidade consulte o comentário 3.1.5

de [RLL00].

2.2 K0 COMO FUNTOR 11

A demonstração decorre da construção do grupo de Grothendieck e pode ser encontrada naíntegra na proposição 3.1.7 de [RLL00].

Observação 2.5. Com a representação padrão podemos ver que a C∗-álgebra nula 0 é levada nogrupo nulo.

Proposição 2.6 (Propriedade Universal de K0). Seja A uma C∗-álgebra com unidade e G umgrupo abeliano, suponha que exista uma função V : P∞(A) −→ G satisfazendo as três propriedades:

1. V(p⊕ q) = V(p) + V(q);

2. V(0A) = 0G;

3. Se p e q estão em Pn(A) e são homotópicos (p ∼h q) então V(p) = V(q).

Então existe um único homomorfismo α : K0(A) → G tal que α [ . ]0 = V, ou seja, que torne oseguinte diagrama comutativo:

P∞(A)

K0(A) G.

[ . ]0V

α

2.2 K0 como funtor

Nosso objetivo agora é mostrar que K0 é um funtor entre a categoria das C∗-álgebras comunidade e a categoria dos grupos abelianos. Além disso, mostraremos que K0 é um funtor meio-exato, ou seja, leva sequências exatas em sequências curtas.

Definição 2.7 (K0 para homomorfismos com unidade). Sejam A e B duas C∗-álgebras comunidade e ϕ : A −→ B um ∗-homomorfismo. Definimos K0(ϕ) como o homomorfismo de gruposK0(ϕ) : K0(A) −→ K0(B) tal que

K0(ϕ)([p]0) = [ϕ(p)]0.

A princípio precisamos mostrar que K0(ϕ)([p]0) está bem definido, ou seja, que não dependeda escolha de um representante da classe de equivalência [p]0. Suponha dois representantes p e p′

da classe [p]0, por construção p e p′ são equivalentes e então usando a Propriedade Universal, vistaem 2.6, temos que [ϕ(p)]0 = [ϕ(p′)]0.

Uma outra maneira de definir K0(ϕ) é através da Propriedade Universal, onde K0(ϕ) será oúnico homomorfismo que torna o diagrama abaixo comutativo

P∞(A)

K0(A) P∞(B).

[ . ]0ϕ

K0(ϕ)


Teorema 2.8 (Funtoriedade). Sejam A, B, C três C∗-álgebras com unidade e ∗-homomorfismosϕ : A −→ B, ψ : B −→ C. As seguintes propriedades são válidas

1. K0(idA) = idK0(A);

2. K0(ψ ϕ) = K0(ψ) K0(ϕ);

3. O homomorfismo nulo 0 : A −→ B é levado no homomorfismo nulo K0(0) : K0(A) −→ K0(B).

Demonstração. 1. Da definição 2.7 temos que

K0(idA)([p]0) := [idA(p)]0 = [p]0.

Utilizando a representação padrão, vista em 2.12, temos que um elemento x ∈ K0(A) podeser escrito como x = [p]0 − [q]0 para algumas projeções p e q. Logo

K0(idA)(x) = K0(idA)([p]0 − [q]0) = K0(idA)([p]0)−K0(idA)([q]0) = x.

Portanto K0(idA) = idK0(A).

2. Novamente pela definição temos

K0(ψ ϕ)([p]0) = [ψ ϕ(p)]0

= K0(ψ)([ϕ(p)]0)

= K0(ψ) K0(ϕ)([p]0).

Novamente pela representação padrão concluímos o fato.

3. Observe que K0(0)([p]0) = [0(p)]0 = [0]0.

O primeiro resultado sobre K0 envolvendo sequências é que, dado uma sequência exata curtade C∗-álgebras ao aplicarmos o funtor K0 conseguimos uma sequência exata de grupos, não neces-sariamente curta, por isso o funtor é chamado de meio-exato.

Proposição 2.9 (Meio-Exato). Seja

0 I A B 0ϕ ψ

uma sequência exata curta de C∗-álgebras. K0 induz a seguinte sequência exata de grupos

K0(I) K0(A) K0(B).K0(ϕ) K0(ψ)

A demonstração encontra-se em 3.2.4 de [RLL00]. A pergunta natural que surge é “será que K0

leva sequências exatas curtas de C∗-álgebras em sequências exatas curtas de grupos?”. Infelizmentea resposta é não e para exemplificarmos é necessário conhecer dois grupos de K-teoria:

K0(C[0, 1]) ≈ Z e K0(C⊕ C) ≈ Z⊕ Z,

2.2 K0 COMO FUNTOR 13

o primeiro isomorfismo encontra-se em 3.3 e o segundo em 3.3.2 de [RLL00].Estamos agora em condições de apresentar um exemplo de sequência exata curta que não é

levada em sequência exata curta de grupos. Considere a sequência

0 C0((0, 1)) C([0, 1]) C⊕ C 0.i ψ

Aplicando o funtor K0 temos a sequência exata de grupos

K0(C0((0, 1))) K0(C([0, 1])) K0(C)⊕K0(C)K0(i) K0(ψ)

Substituindo os grupos de k-teoria temos

K0(C0((0, 1))) Z Z⊕ Z.K0(i) K0(ψ)

Logo K0(ψ) não pode ser sobrejetivo e então K0 não leva sequências exatas curtas em sequênciasexatas curtas. Entretanto quando existe uma função que torna a sequência exata em cindida, teremosuma sequência de grupos que cinde, isto é,

Proposição 2.10. Seja

0 I A B 0ϕ ψ

λ

uma sequência exata que cinde. K0 induz a seguinte sequência exata cindida

0 K0(I) K0(A) K0(B) 0.K0(ϕ) K0(ψ)

K0(λ)

A existência de λ garante que será possível encontrar elementos unitariamente equivalentes emK0(A). A demonstração completa encontra-se em 4.3.3 de [RLL00].

2.2.1 A construção de K0 para C∗-álgebras sem unidade

Para definir K0 em C∗-álgebras sem unidade vamos usar a unitização 1.1.1 e após isso aplicara definição usada em 2.3. Considere a sequência exata da unitização

0 A A C 0i π

λ

onde i(a) := (a, 0) é a imersão, π(a, α) := α e λ(α) := (0, α).

Nós queremos que a definição continue preservando sequências exatas cindidas, ou seja

0 K0(A) K0(A) K0(C) 0K0(π)

K0(λ)

é uma sequência exata cindida.Como é natural imaginar, faremos a definição de K0 como o núcleo de K0(π)


Definição 2.11. Seja A uma C∗-álgebra qualquer

K0(A) := ker(K0(π)).

Como amplamente discutido em 4.1.1 de [RLL00], no caso de A com unidade as definições setornam equivalentes. Uma importante aplicação para trabalhar comK0(A) é a aplicação s : A −→ A

definida como s := λ π. A relevância dessa aplicação é justificada com a próxima proposição.

Proposição 2.12. Seja A uma C∗-álgebra sem unidade. Podemos dar uma descrição explícita deK0:

K0(A) = [p]0 − [s(p)]0 : p ∈ P∞(A)

em que s := λ π.

Esta representação padrão apresenta uma grande diferença em relação ao caso com unidade.Isso decorre por conta da definição de K0 que agora é o núcleo da aplicação π.

2.3 Construção de K1

Quando comparado com K0, a construção de K1 é um pouco mais direta, por exemplo não énecessário discriminar quando a C∗-álgebra possui ou não unidade. Como muitas das propriedadesde K0 possuem enunciados e demonstrações análogas para K1, esta seção será mais curta e commenos comentários que a anterior, pois evitaremos repetições.

Nossa primeira definição nasce inspirada nos operadores unitários da álgebra linear:

Definição 2.13 (Elementos Unitários). Seja A uma C∗-álgebra com unidade. Um elemento userá chamado de unitário se

u∗u = uu∗ = 1A.

Repare que, por definição, u é invertível e u−1 = u∗. O conjunto de todos os elementos unitários deA será denotado por U(A). Definiremos também unitários “maiores”, ou seja, elementos unitáriosna álgebra das matrizes Mn(A). Para cada n natural defina

Un(A) := U(Mn(A)).

Por fim, considere o conjunto

U∞(A) =

∞⋃n=1

U(Mn(A)).

Vamos definir uma operação e uma relação de equivalência em U∞(A) de forma análoga ao feitopara o caso K0.

Definição 2.14. Sejam u, v ∈ U∞(A) defina a operação

u⊕ v :=

(u 0

0 v

)

e a operação de equivalência

u ∼1 v, se e somente se, existem k > n,m tais que u⊕ 1k−n ∼h v ⊕ 1k−m.

2.3 CONSTRUÇÃO DE K1 15

Definição 2.15 (K1). Seja A uma C∗-álgebra (com ou sem unidade) defina

K1(A) := U∞(A)/ ∼1

= [u]1 : u ∈ U∞.

Enunciaremos agora a Propriedade Universal de K1, análogo ao feito para o caso K0 em 2.6. Ademonstração desta propriedade pode ser encontrada em 8.1.5 de [RLL00].

Proposição 2.16 (Propriedade Universal de K1). Seja A uma C∗-álgebra e G um grupo abe-liano, suponha que exista uma função V : U∞(A) −→ G satisfazendo as três propriedades:

1. V(u⊕ v) = V(u) + V(v);

2. V(1) = 0G;

3. Se u e v estão em Un(A) e são homotópicos (u ∼h v) então V(u) = V(v).

Então existe um único homomorfismo α : K1(A) → G tal que α [ . ]1 = V. Ou seja, que torne oseguinte diagrama comutativo:

U∞(A)

K1(A) G.

[ . ]1V

α

O item 2 da Propriedade Universal pode causar estranheza no início, porém ressaltamos queestamos considerando G como um grupo aditivo e então usamos a notação do seu elemento neutrocomo 0G.

2.3.1 K1 como funtor

Nosso objetivo agora é mostrar que K1 é um funtor entre a categoria das C∗-álgebras e acategoria dos grupos abelianos. Além disso, mostraremos que K1 é um funtor meio-exato.

Definição 2.17 (K1 para homomorfismos). Sejam A, B duas C∗-álgebras e ϕ : A −→ B um∗-homomorfismo. Definimos K1(ϕ) como o homomorfismo de grupos K1(ϕ) : K1(A) −→ K1(B) talque

K1(ϕ)([u]1) = [ϕ(u)]1.

Observe que é importante considerar ϕ pois, na definição de K1, consideramos os unitários daC∗-álgebra A. É a propriedade universal, vista em 2.16, quem garante que K1(ϕ) está bem definido.Iremos omitir a demonstração das proposições desta seção pois, seguem raciocínios semelhantes aosfeito para o caso de K0. A demonstração com todos os detalhes pode ser encontrada no capítulo 8de [RLL00].

Teorema 2.18 (Funtoriedade). Sejam A, B, C três C∗-álgebras, ϕ : A −→ B e ψ : B −→ C

∗-homomorfismos. As seguintes propriedades são válidas

1. K1(id) = idK1(A);


2. K1(ψ ϕ) = K1(ψ) K1(ϕ);

3. O homomorfismo nulo 0 : A −→ B é levado no homomorfismo nulo K1(0) : K1(A) −→ K1(B).

Proposição 2.19 (K1 meio-exato). Seja

0 I A B 0ϕ ψ

uma sequência exata curta. K1 induz a seguinte sequência exata

K1(I) K1(A) B.K1(ϕ) K1(ψ)

Proposição 2.20 (K1 cinde). Seja

0 I A B 0ϕ ψ

λ

uma sequência exata que cinde. K1 induz a seguinte sequência exata cindida

0 K1(I) K1(A) K1(B) 0.K1(ϕ) K1(ψ)

K1(λ)

Exemplo 2.21. Vamos calcular K1(Mn(C)) com n ∈ N fixo. Observe que Mk(Mn(C)) é um con-junto conexo para qualquer k maior do que 1. Logo existe uma homotopia unitária entre todos osseus unitários. Com isto temos que o quociente U∞(Mn(C))/ ∼1 é igual ao grupo com apenas umelemento, ou seja, o grupo nulo. Portanto K1(Mn(C)) = 0.

Como em muitos casos K0 e K1 possuem as mesmas propriedades introduziremos a notação Ki,onde i irá representar 0 ou 1.

Proposição 2.22. Sejam A e B duas C∗-álgebras e ϕ, ψ : A −→ B dois ∗-homomorfismos. Seϕ,ψ são homotópicos então:

Ki(ϕ) = Ki(ψ).

Se A e B são homotopicamente equivalentes então:

Ki(A) = Ki(B).

Proposição 2.23 (Soma direta). Sejam A e B duas C∗-álgebras então

Ki(A⊕B) = Ki(A)⊕Ki(B).

A demonstração para i = 0 pode ser encontrada, respectivamente, em 4.3.4 e i = 1 em 8.2.6de [RLL00].

Capítulo 3

Sequências Exatas de Seis Termos

No capítulo anterior estudamos como os funtores K0 e K1 transformam sequências exatas curtasde C∗-álgebras em sequências exatas de grupos abelianos, vimos também que sequências exatas quecindem são levadas em sequências exatas que cindem.

Continuaremos neste capítulo explorando as consequências e relações de sequências exatas emK-teoria. Vamos utilizar algumas técnicas amplamente difundidas, com o objetivo de desenvolverduas sequências exatas de seis termos: a sequência de Mayer-Vietoris e a sequência clássica de seistermos daK-teoria. Estas sequências serão utilizadas nos próximos capítulos para calcular os gruposde K-teoria de determinadas C∗-álgebras.

3.1 Sequência Clássica de Seis Termos

Considere a sequência exata curta de C∗-álgebras

0 I A B 0.ϕ ψ

O objetivo desta seção é construir duas funções principais: a aplicação do índice δ1 e a funçãoexponencial δ0. Elas irão “ligar” os grupos K0 e K1 e de certa forma estas funções fazem uma ponteentre as projeções e os unitários. Ao final da seção chegaremos no teorema 3.18 da sequência exatacurta, com ele concluiremos que

K0(I) K0(A) K0(B)

K1(B) K1(A) K1(I)

δ1

K0(ϕ) K0(ψ)

δ0

K1(ϕ)K1(ψ)

é um diagrama comutativo.Antes da construção da aplicação do índice o lema a seguir é fundamental, ele diz explicitamente

como conseguir uma projeção de I a partir de um elemento unitário de B. A demonstração completaencontra-se em 9.1.1 de [RLL00].

17

18 SEQUÊNCIAS EXATAS DE SEIS TERMOS 3.1

Lema 3.1. Seja a sequência exata curta de C∗-álgebra

0 I A B 0.ϕ ψ

Dado u ∈ Un(B), existem v ∈ U2n(A) e p ∈ P2n(I) tais que

ψ(v) =

(u 0

0 u∗

), ϕ(p) = v

(1n 0

0 0

)v∗, s(p) =

(1n 0

0 0

).

Além disso, para v e p nestas condições, se w ∈ U2n(A) e q ∈ P2n(I) são tais que

ψ(w) =

(u 0

0 u∗

), ϕ(q) = w

(1n 0

0 0

)w∗,

então s(q) =

(1n 0

0 0n

)e p ∼u q em P2n(I).

Para definir δ1 vamos utilizar a Propriedade Universal de K1, vista em 2.16, considerandoV : U∞(B) −→ K0(I) como V(u) = [p]0 − [s(p)]0. Repare que o lema 3.1 garante que V está bemdefinido. Cada condição abaixo é necessária para aplicar a Propriedade Universal de K1:

1. V(u⊕ v) = V(u) + V(v) para quaisquer u, v ∈ U∞(B);

2. V(1) = 0K0(I);

3. Se u e v estão em Un(B) e são homotópicos (u ∼h v) então V(u) = V(v).

Para verificar em detalhes as afirmações acima são necessários alguns cálculos com matrizes e osdetalhes podem ser encontrados em 9.1 de [RLL00]. Feitas estas considerações estamos agora emcondições de definir a aplicação do índice.

Definição 3.2 (Aplicação do índice). Seja a sequência exata curta de C∗-álgebras

0 I A B 0ϕ ψ

defina a aplicação δ1 : K1(B) −→ K0(I) como

δ1([u]1) = [p]0 − [s(p)]0

com u ∈ Un(B), v ∈ U2n(A) e p ∈ P2n(I) como em 3.1, isto é:

ϕ(p) = v

(1n 0

0 0

)v∗ e ψ(v) =

(u 0

0 u∗

).

Como é padrão em K-teoria, vamos mostrar que a aplicação δ1 é natural.

Proposição 3.3 (Naturalidade do índice). Sejam duas sequências exatas curtas de C∗-álgebras

3.1 SEQUÊNCIA CLÁSSICA DE SEIS TERMOS 19

com α,β e γ *-homomorfismos formando o seguinte diagrama:

0 I A B 0

0 I ′ A′ B′ 0

γ α β

ϕ ψ

ϕ′ ψ′ (3.3.1)

considere δ1 a aplicação do índice associada a primeira sequência exata curta e δ′1 associada àsegunda. Nestas condições, o diagrama abaixo comuta.

K1(B) K0(I)

K1(B′) K0(I

′)

K1(β) K0(γ)

δ1

δ′1

chamamos esta propriedade de Naturalidade do Índice.

Demonstração. Precisamos mostrar que K0(γ) δ1 = δ′1 K1(β). Seja [u]1 um elemento de K1(B),por construção temos que existe n com u ∈ Un(B). O objetivo agora é encontrar uma maneira decalcularmos δ′1 K1(β)(u). Aplicando o lema 3.1 temos que existe v ∈ U2n(A) e p ∈ P2n(I) tal que

ψ(v) =

(u 0

0 u∗

), ϕ(p) = v

(1n 0

0 0

)v∗ , s(p) =

(1n 0

0 0

).

Para simplificar a notação defina v′ := α(v) e p′ := γ(p) e façamos alguns cálculos

ψ′(v′) = ψ′(α(v)) = ˜(ψ′ α)(v)

= ˜(β ψ)(v) (comutatividade de 3.3.1)

= β(ψ(v))

= β

(u 0

0 u∗

)

=

(β(u) 0

0 ˜β(u)

)

e


ϕ′(p′) = ϕ′(γ(p)) = ˜(ϕ′ γ)(p)

= ˜(α ϕ)(p) (comutatividade de 3.3.1)

= α(ϕ(p))

= α

(v

(1n 0

0 0

)v∗

)

= α(v)

(1n 0

0 0

)α(v)∗

= v′

(1n 0

0 0

)(v′)∗

repare então que p′ e v′ cumprem os requisitos do lema 3.1 para β(u) e então, por definição,δ′1([β(u)1]) = [p′]0 − [s(p′)]0.

Podemos agora calcular a composta

δ′1 K1(β)([u]1) = δ′1([β(u)]1) = [p′]0 − [s(p′)]0

= [γ(p)]0 − [s(γ(p))]0

= K0(γ)([p]0 − [s(p)]0) (pois s γ(p) = γ s(p))

= K0(γ)(δ1([u]1))

= (K0(γ) δ1)([u]1)

como [u]1 ∈ K1(B) era arbitrário concluímos que δ′1 K1(β) = K0(γ) δ1.

Optamos por dar a definição e fazer as demonstrações acima, pois estes cálculos serão utilizadosno decorrer do texto, além disso, a construção torna mais fácil a tarefa de exibir explicitamentecomo δ1 se comporta. Entretanto em alguns casos será mais conveniente trabalhar com a definiçãodo índice para isometrias parciais, a demonstração em 3.5 é um exemplo deste caso.

Vamos enunciar aqui a proposição para isometrias parciais, lembrando que v ∈ A é dito umaisometria parcial se v∗v é uma projeção. Repare que toda projeção é uma isometria parcial e quese v é isometria parcial então vv∗ é uma projeção.

Proposição 3.4 (Índice para isometria parcial). Seja a sequência exata de C∗-álgebras

0 I A B 0ϕ ψ

tome u ∈ Un(B) e v ∈ Mm(A) uma isometria parcial (n 6 m) tal que ψ(v) =

(u 0

0 0

). Então

1m − v∗v = ϕ(p) e 1m − vv∗ = ϕ(q) para algumas projeções p e q ∈ Pm(I). A aplicação do índiceδ1 : K1(B) −→ K0(I) será dada como

δ1([u]1) = [p]0 − [q]0.

Ressaltamos que a demonstração segue ideias parecidas com as feitas em 3.2. Para o leitor


interessado, a demonstração com todos os detalhes está em 9.2 de [RLL00]. Podemos agora enunciare demonstrar o principal resultado sobre a aplicação do índice.

Proposição 3.5 (Exatidão do índice). Seja a sequência exata curta de C∗-álgebras

0 I A B 0ϕ ψ

então a seguinte sequência de grupos é exata1

K0(I) K0(A) K0(B)

K1(B) K1(A) K1(I)

δ1

K0(ϕ) K0(ψ)

K1(ϕ)K1(ψ)

Demonstração. As duas sequências

K0(I) K0(A) K0(B)K0(ϕ) K0(ψ)

e K1(I) K1(A) K1(B)K1(ϕ) K1(ψ)

são exatas das proposições 2.9 e 2.19, respectivamente. Vamos mostrar que a parte relativa ao índiceδ1 é exata, ou seja, vamos mostrar que

ImK1(ψ) = ker δ1 e Im δ1 = kerK0(ϕ).

Note que Im δ1 ⊂ kerK0(ϕ), pois com u e p como no lema 3.1 temos

K0(ϕ)(δ1([u]1)) = [ϕ(δ1[u]1)]0

= [ϕ(p− s(p)]0= [ϕ(p)]0 − [ϕ(s(p)]0

= 0.

A última igualdade acontece por uma consequência do lema 3.1, onde concluímos que ϕ(p) e ϕ(s(p))

são unitariamente equivalentes.Para ver que kerK0(ϕ) ⊂ Im δ1 tome g ∈ kerK0(ϕ) usando a representação padrão de K0, vista

em 2.12, sabemos que existe p ∈Mn(I) e w ∈ U(Mn(A)) tal que

g = [p]0 − [s(p)]0 e wpw∗ = s(p).

Repare que o elemento ψ(w(1n − p)) é uma isometria parcial e u = u0 + 1n − u∗0u0 é umelemento unitário. Usando a proposição para isometrias parciais temos que δ1([u]) = g. A igualdadeImK1(ψ) = ker δ1 é feita com raciocínios análogas e pode ser encontrada em 9.3.1 de [RLL00].

1Escolhemos apresentar o diagrama de forma circular para ficar coerente com o teorema da sequência exata deseis termos.


Daremos agora duas importantes definições de C∗-álgebras que serão importantes para encontraruma relação entre K0 e K1 e, posteriormente, definir o funtor Kn.

Definição 3.6. Sejam A, B duas C∗-álgebras e ϕ : A −→ B um ∗-homomorfismo. Definimos asuspensão de A como

SA = f ∈ C([0, 1], A) : f(0) = f(1) = 0) ≈ C0((0, 1), A)

eSϕ : SA −→ SB definida como Sϕ(f)(t) := ϕ(f(t)).

O cone de A é definido como

CA = f ∈ C([0, 1], A) : f(0) = 0).

Podemos pensar na suspensão como um funtor e tratá-lo de forma iterada, ou seja, Sn+1A :=

S(SnA) e Sn+1 ϕ = S(Sn ϕ). Considere agora a seguinte sequência exata curta

0 SA CA A 0i π

onde i é a inclusão e π(f) := f(1). Repare que a sequência é, de fato, exata curta, pois

Im i = f ∈ C([0, 1], A)|f(0) = 0 = f(1) = SA.

Um resultado inicialmente surpreendente é que o cone de A é homotópico a C∗-álgebra nula,como podemos ver a seguir.

Exemplo 3.7. Como na definição 1.19, mostraremos que o cone CA é homotopicamente equiva-lente a C∗-álgebra nula. Considere a função

ϕt : CA −→ CA

ϕt(f)(x) = f(xt)

desta forma, ϕ0 = 0 e ϕ1 = id. Como t 7→ ϕt é contínua temos que CA é homotopicamenteequivalente a C∗-álgebra nula.

Proposição 3.8. Os grupos K1(A) e K0(SA) são isomorfos.

Demonstração. Considere a sequência exata curta

0 SA CA A 0i π

onde i é a imersão e π(f) = f(1). Aplicando a exatidão do índice 3.5 temos que a seguinte sequência


de grupos é exata

K0(SA) K0(CA) K0(A)

K1(A) K1(CA) K1(SA)

δ1

K0(i) K0(π)

K1(i)K1(π)

Do exemplo anterior temos que CA é homotópico à C∗-álgebra nula, com isto podemos aplicar aproposição 2.22 para concluir que K0(CA) = 0 = K1(CA). Logo temos

0 K1(A) K0(SA) 0.δ1

Da exatidão, concluímos que δ1 é um isomorfismo e então K1(A) e K0(SA) são isomorfos.

Este resultado motiva a definição do funtor Kn(A) como segue

Definição 3.9. Sejam A, B duas C∗-álgebras, n ∈ N e ϕ : A −→ B um ∗-homomorfismo. Definaindutivamente

Kn+1(A) = Kn(SA)

eKn+1(ϕ) = Kn(Sϕ) : Kn+1(A) −→ Kn+1(B)

É possível definirmos o índice para ordens maiores de n, como δ2, o índice associado a sequência

... K2(B) K1(I) ...K2(ψ) δ2 K1(ϕ)

O próximo teorema, da sequência exata longa, está feito em [RLL00] para o caso geral, faremosaqui o caso n = 2 que é o que será necessário para a demonstração do principal teorema desta seção:3.18.

Proposição 3.10. Considere a sequência de C∗-álgebras

0 I A B 0ϕ ψ

a seguinte sequência de K grupos induzida é exata

K2(A) K2(B) K1(I) K1(A) K1(B) K0(I) K0(A) K0(B).K2(ψ) δ2 K1(ϕ) K1(ψ) δ1 K0(ϕ) K0(ψ)

Demonstração. Seja δ1 : K1(SB) −→ K0(S I) a aplicação do índice associado a sequência exatacurta

0 S I SA SB 0Sϕ Sψ

a proposição 3.8 garante o isomorfismo entre K1(C) e K0(SC) para C uma C∗-álgebra qualquer,


ou seja, podemos escrever

K2(I) K2(A) K2(B) K1(I) K1(A) K1(B)

K1(S I) K1(SA) K1(SB) K0(S I) K0(SA) K0(SB)

σ1

δ2

δ1

≈≈≈ σ2

repare ainda que, pela propriedade do índice, a linha de baixo é exata. Utilizando o lema dos cinco,visto em 1.2, concluímos que a linha de cima será exata. Explicitamente teremos que

δ2 := σ−12 δ1 σ1.

Nosso próximo objetivo é definir a Aplicação de Bott, uma aplicação entreK0(A) eK1(SA). Paratal será necessário definir inicialmente para A uma C∗-álgebra unitária. Defina a função auxiliar fpchamada de laço de projeção

fp : S1 −→ Un(A)

z 7→ fp(z) = zp+ (1n − p).

Podemos enxergar fp como um elemento do grupo abeliano C(S1,Un(A)). De forma análogaao feito com o índice, queremos utilizar a Propriedade Universal de K0, vista em 2.6, considerandoV : P∞(A) −→ C(S1,Un(A)) como V(p) = fp. Vamos então verificar cada condição necessária:

1. V(p⊕ q) = fp⊕q.

Aplicando em z temos

fp⊕q(z) = z(p⊕ q) + (1n+m − (p⊕ q))

= z

(p 0

0 q

)+

[(1n 0

0 1m

)−

(p 0

0 q

)]= fp ⊕ fq= vp ⊕ vq;

2. V(0A) = f0 ≡ 1n = 0C(S1,Un(A));

3. Se p e q estão em Pn(A) e são homotópicos (p ∼h q) então, fazendo algumas composições,V(p) = V(q).

Com estas condições podemos dar a seguinte definição:

Definição 3.11 (Aplicação de Bott). Seja A uma C∗-álgebra com unidade, definimos a aplicaçãode Bott como a aplicação βA : K0(A) −→ K1(SA) dada por

βA([p]0) = [fp]1


com fp o laço de p.

Os comentários acima garantem que a Aplicação de Bott está bem definida, ou seja, dois repre-sentantes p e p′ da mesma classe de equivalência [p]0 são levados até a mesma classe [fp]1.

Assim como nas demais definições de aplicações em K-teoria, vamos mostrar a noção de natu-ralidade na aplicação de Bott.

Proposição 3.12 (Naturalidade de Bott). Seja ψ : A −→ B um ∗-homomorfismo que preservaa unidade. Considere βA : K0(A) −→ K1(SA) e βB : K0(B) −→ K1(SB) as funções de Bott,respectivamente de A e B. Nestas condições

K0(A) K0(B)

K1(SA) K1(SB)

βA βB

K1(Sψ)

K0(ψ)

é um diagrama comutativo.

Demonstração. Precisamos mostrar que βB K0(ψ) = K1(Sψ) βA. Para isto tome a ∈ K0(A),usando a representação padrão de K0, vista em 2.12. Temos que a = [p]0 − [q]0 (lembre que A temunidade) para algumas projeções p, q ∈ P∞(A). Vejamos inicialmente que

Sψ(fp)(t) = ψ(fp(t)) = ψ(tp+ (1n − p)) = tψ(p) + (1n − ψ(p)) = fp(ψ(p))(t),

logo

K1(Sψ) βA([p]0) = K1(Sψ)([fp]1)

= [Sψ(fp)]1

= [fψ(p)]1

= βB([ψ(p)]0)

= βB(K0(ψ)([p]0))

= βB K0(ψ)([p]0).

A princípio a definição da aplicação de Bott foi feita apenas para C∗-álgebra com unidade. Aextensão desse conceito para o caso geral é feito utilizando a sequência da unitização (1.22.1) daseguinte maneira

0 K0(A) K0(A) K0(C) 0

0 K1(SA) K1(S A) K1(SC) 0.

βA βA βC


Repare que o diagrama

K0(A) K0(C)

K1(SA) K1(SC)

βA βC

K1(Sψ)

K0(ψ)

é comutativo justamente pela naturalidade da aplicação de Bott, vista em 3.12. Além disso, cadalinha acima é uma sequência exata curta que cinde, logo existe um único homomorfismo βA quetorna o diagrama comutativo. O principal resultado sobre esta aplicação é chamado de Periodicidadede Bott e está compilado no próximo teorema.

Teorema 3.13 (Periodicidade de Bott). Dada uma C∗-álgebra A a aplicação de Bott βA :

K0(A) −→ K1(SA) é um isomorfismo.

A demonstração é feita através de uma série de lemas, onde são definidos conjuntos auxiliarescom intenção de encontrar funções homotopicamente equivalentes às fp. Todos os detalhes sãodesenvolvidos ao longo do capítulo 11 de [RLL00].

Em 3.8 mostramos que K1(A) ≈ K0(SA), complementando este resultado vamos mostrar queKn(A) ≈ Kn+2(A).

Proposição 3.14. Seja n ∈ N e A uma C∗-álgebra então Kn(A) ≈ Kn+2(A).

Demonstração. Vamos utilizar indução. Se n = 2 temos que K2(A) := K1(SA) ≈ K0(A). Suponhaagora a proposição válida para n, isto é, Kn(A) ≈ Kn+2(A). Repare que

Kn+1(A) = Kn(SA)

≈ Kn+2(SA)

= Kn+3(A)

e com isto concluímos que Kn(A) ≈ Kn+2(A) para todos valores de n ∈ N.

Definição 3.15 (Aplicação Exponencial). Seja a sequência exata curta de C∗-álgebra

0 I A B 0.ϕ ψ

A função exponencial δ0 : K0(B) −→ K1(I) é definida como a composta δ0 := δ2 βB.

Proposição 3.16 (Naturalidade da Exponencial). Sejam duas sequências exatas curtas deC∗-álgebras com α, β e γ ∗-homomorfismos formando o seguinte diagrama:

0 I A B 0

0 I ′ A′ B′ 0.

γ α β

ϕ ψ

ϕ′ ψ′


Considere δ0 a função exponencial associada a primeira sequência exata curta e δ′0 associada àsegunda. Nestas condições, o diagrama de grupos

K0(B) K1(I)

K0(B′) K1(I

′)

K0(β) K1(γ)

δ0

δ′0 (3.16.1)

é comutativo. Chamamos esta propriedade de Naturalidade da Função Exponencial.

Demonstração. Usando que δ0 = δ2 βB e δ′0 = δ′2 βB′ Podemos escrever 3.16.1 da seguinte forma

K0(B) K2(B) K1(I)

K0(B′) K2(B

′) K1(I′)

K0(β)

βB δ2

K1(γ)

δ′2

K2(β)

βB′

a parte esquerda é comutativa pela naturalidade de Bott 3.12 e a parte direita pela sequência exatalonga 3.10.

É possível descrever explicitamente a função exponencial. Esta descrição que, talvez, justifiqueo nome exponencial. A demonstração da proposição abaixo pode ser encontrada em [RLL00].

Proposição 3.17. Seja a sequência exata curta

0 I A B 0ϕ ψ

e δ0 : K0(B) −→ K1(I) a aplicação exponencial. Tome g ∈ K0(B) e escreva g = [p]0− [s(p)]0. Sejaa ∈ Mn(A) um elemento autoadjunto tal que ψ(a) = p. Nestas condições, existe exatamente umelemento u ∈ Un(I) tal que ϕ(u) = e(2πia) e δ0(g) = −[u]1.

Teorema 3.18 (Sequência de seis termos). Seja uma sequência exata curta de C∗-álgebras

0 I A B 0ϕ ψ

então a sequência de grupos associada é exata

K0(I) K0(A) K0(B)

K1(B) K1(A) K1(I).

δ1

K0(ϕ) K0(ψ)

δ0

K1(ϕ)K1(ψ)


Demonstração. As duas sequências

K0(I) K0(A) K0(B)K0(ϕ) K0(ψ)

e K1(I) K1(A) K1(B)K1(ϕ) K1(ψ)

são exatas pelas proposições 2.9 e 2.19, respectivamente. Além disso, a proposição 3.5 garante que aparte relativa a δ1 é exata. Precisamos então mostrar a exatidão apenas em δ0. Para isto considereo diagrama

K2(A) K2(B) K1(I) K1(A)

K0(A) K0(B) K1(I) K1(A).

βA βB

K2(ψ) δ2 K0(ϕ)

K0(ψ) δ0 K1(ϕ) (3.18.1)

Repare que a naturalidade da aplicação de Bott 3.12 nos diz que

K1(SA) K1(SB)

K0(A) K0(B)

βA βB

K1(Sψ)

K0(ψ)

é um diagrama comutativo. Utilizando a definição K2(A) = K1(SA) ( 3.9) neste diagrama temosque o quadrado do lado esquerdo de 3.18.1 é comutativo. O quadrado do meio de 3.18.1 comutapela simples definição da função exponencial. Por fim, A linha

K2(A) K2(B) K1(I) K1(A)K2(ψ) δ2 K1(ϕ)

é exata graças a proposição 3.10. Logo a linha debaixo também é exata e com isto concluímos aexatidão de 3.18.1.

3.2 Mayer-Vietoris

A motivação da sequência de Mayer-Vietoris nasce do estudo de um espaço de Hausdorff com-pacto X que é a união de dois subespaços compactos X1 e X2 tendo uma intersecção não vazia.Analisando o conjunto das funções contínuas temos o diagrama

C(X) C(X1)

C(X2) C(X1 ∩X2)

3.2 MAYER-VIETORIS 29

em que cada aplicação representa as projeções/restrições naturais. Repare que, com estas condições,podemos descrever

C(X) = (f1, f2) ∈ C(X1)⊕ C(X2)|f1|X1∩X2 = f2|X1∩X2.

Inicialmente o matemático Mayer provou este resultado, no contexto de topologia algébrica,para o toro como união de dois cilindros. Vietoris estendeu o resultado para grupos de cohomologia.Posteriormente este teorema foi adaptado para a linguagem de C∗-álgebras.

Podemos agora enunciar o teorema na sua versão geral, baseada na demonstração feita ao longoda seção 7.2 de [POL].

Teorema 3.19 (Mayer-Vietoris). Sejam B1, B2 duas C∗-álgebras e A uma C∗-álgebra tal queA = (b1, b2) ∈ B1 ⊕B2|π1(b1) = π2(b2) formando o diagrama

A B1

B2 D

pr1

π1

π2

pr2

com pr1, pr2 projeções naturais e π1, π2 ∗-homomorfismos sobrejetores. Então a seguinte sequênciade seis termos é exata

K0(A) K0(B1)⊕K0(B2) K0(D)

K1(D) K1(B1)⊕K1(B2) K1(A).

(K0(pr1),K0(pr2)) K0(π2)−K0(π1)

(K1(pr1),K1(pr2))K1(π2)−K1(π1) (3.19.1)

No enunciado do teorema estamos cometendo um pequeno abuso de notação, visto que, a prin-cípio, K0(π2) − K0(π1) não está definido, pois cada parcela possui domínios diferentes. Como épadrão na literatura, vamos definir:

K0(π2)−K0(π1) : K0(B1)⊕K0(B2) −→ K0(D)

(K0(π2)−K0(π1))(b1, b2) := K0(π2)(b2)−K0(π1)(b1).

Para a demonstração deste teorema vamos definir o conjunto auxiliar A da seguinte maneira

A = (b1, b2, ω) : b1 ∈ B1, b2 ∈ B2, ω ∈ C([0, 1], D) com ω(0) = π1(b1), ω(1) = π2(b2)

com as operações naturais A é uma C∗-álgebra.

Lema 3.20. Seja A uma C∗-álgebra nas condições do teorema de Mayer-Vietoris, visto em 3.19,então

K0(A) = K0(A) e K1(A) = K1(A).


Para tornar mais claro a demonstração, vamos assumir o lema e provar o teorema de Mayer-Vietoris. Caso o leitor prefira seguir de forma linear, a demonstração do lema será feita em 3.2.

Demonstração. (teorema) Considere a seguinte sequência

0 C0((0, 1), D) A B1 ⊕B2 0ϕ ψ (3.20.1)

com ϕ(ω) = (0, 0, ω) e ψ(b1, b2, ω) = (b1, b2), repare que ϕ é injetor e ψ é sobrejetor. Além disso

Imϕ = kerψ

e então a sequência (3.20.1) é exata curta. Aplicando o teorema 3.18 da sequência clássica de seistermos temos que

K0(C0((0, 1), D)) K0(A) K0(B1 ⊕B2)

K1(B1 ⊕B2) K1(A) K1(C0((0, 1), D))

δ1

K0(ϕ) K0(ψ)

δ0

K1(ϕ)K1(ψ)

é um diagrama comutativo. Por definição C0((0, 1), D) = SD, logo a periodicidade de Bott, vistaem 3.13, nos diz que

K0(C0((0, 1), D)) = K0(SD) = K1(D).

E a proposição 3.8 garante

K1(C0((0, 1), D)) = K1(SD) = K0(D).

Usando estas duas informações, a proposição Ki(B1 ⊕ B2) = Ki(B1) ⊕ Ki(B2), vide 2.23, e olema 3.20 chegamos em

K1(D) K0(A) K0(B1)⊕K0(B2)

K1(B1)⊕K1(B2) K1(A) K0(D)

δ1

K0(ϕ) K0(ψ)

δ0

K1(ϕ)K1(ψ)

rotacionando o diagrama temos

K0(A) K0(B1)⊕K0(B2) K0(D)

K1(D) K1(B1)⊕K1(B2) K1(A).

K0(ϕ)

K0(ψ) δ0

K1(ϕ)

K1(ψ)δ1


Precisamos verificar um detalhe, que as funções do diagrama acima correspondem com as doenunciado. Veja que

K0(ψ)[(b1, b2, ω)]0 = [ψ(b1, b2, ω)]0 = [(b1, b2)]0 = ([b1]0, [b2]0).

De forma análoga conseguimos que K1(ψ)[(b1, b2, ω)]1 = ([b1]1, [b2]1). E, além disso, desenvolvendocálculos análogos para ϕ temos

Ki(ϕ) = (Ki(pr1),Ki(pr2)).

Antes da demonstração do lema 3.20, façamos algumas considerações preliminares a respeito daimersão i : A −→ A definida por i(b1, b2) 7→ (b1, b2, π1(b1)). Note que i é um ∗-homomorfismo deC∗-álgebra. Defina então o ideal

I := ker(pr1) = a ∈ A : pr1(a) = 0

= (b1, b2) ∈ A : pr1(b1, b2) = 0

= (b1, b2) ∈ B1 ⊕B2 : π2(b2) = π1(b1) = 0

repare que temos o isomorfismo I ≈ ker(π2) pois

ker(π2) = b2 ∈ B2 : π2(b2) = 0

≈ (0, b2) ∈ A : π2(0, b2) = 0

= ker(pr1) = I.

A imagem do ideal I por i é:

i(I) := i(ker(pr1)) = i((0, b2)) : π2(b2) = 0

= (0, b2, 0) : π(b2) = 0

≈ I.

Logo podemos considerar o seguinte diagrama comutativo

0 I A A/I 0

0 i(I) A A/I 0

α β γ

onde α é isomorfismo, β := i e γ são injetivos. Além disso, i(I) := I.Para tornar as ideias mais claras denotaremos por x a função constante de valor x.

Lema 3.21. Seja A uma C∗-álgebra, A/I é homotopicamente equivalente a A/I.


Demonstração. Defina as seguintes funções

ϕ : B1 −→ B ≈ A/I

ϕ(b1, ω) = b1

e

ψ : B −→ B1

ψ(b1) = (b1, π1(b1))

temos entãoϕ ψ = idB e ψ ϕ(b1, ω) = (b1, π1(b1)).

Defina agora

ϕt : B1 ≈ A/I −→ B1

ϕt(b1, ω) = (b1, (1− t)ω + tπ1(b1))

com isto temos ϕ0 = id e ϕ1 = ψ ϕ e podemos seguir para a conclusão do lema.

Uma conclusão do lema anterior é de que, usando a proposição 2.22, K0(γ) e K1(γ) são isomor-fismos. Façamos agora a demonstração do lema 3.20, isto é, a demonstração de que K0(A) = K0(A)

e K1(A) = K1(A).

Demonstração. (lema 3.20) Considere o seguinte diagrama

K0(I) K0(A) K0(A/I)

K0(I) K0(A) K0(A/I)

K1(A/I) K1(A) K1(I)

K1(A/I) K1(A) K1(I)

K0(α)K0(β)

K0(γ)

K1(γ)K1(β)

K1(α)

como K0(α) e K0(γ) são isomorfismos, o lema dos cinco, vide 1.2, garante que K0(β) é isomorfismo.Com o mesmo raciocínio concluímos que K1(β) é isomorfismo.

Utilizaremos agora Mayer-Vietoris para calcular, de maneira não convencional, a K-teoria deC(S1).

Exemplo 3.22. Calcularemos a K-teoria de C(S1) := f : S1 −→ C|fé contínua. Para istovamos enxergar S1 como a união de dois “intervalos” disjuntos ou, mais precisamente, usar ohomeomorfismo S1 ≈ I1 ∪ I2, com I1 = [−1, 1] e I2 = [−1, 1]. Graficamente temos:


Figura 3.1: Decomposição de S1.

Veja que C(I1) ≈ C(I2) e C(I1 ∩ I2) = C(−1, 1) ≈ C⊕C e então considere agora o diagrama

C(S1) C(I)

C(I) C⊕ C

π1

π2

onde π1(f) = (f(−1), f(1)) e π2(f) = (f(1), f(−1)). Aplicando Mayer-Vietoris temos que

K0(C(S1)) K0(C(I))⊕K0(C(I)) K0(C⊕ C)

K1(C⊕ C) K1(C(I))⊕K1(C(I)) K1(C(S1)).

K0(π2)−K0(π1)

K1(π2)−K1(π1)

Para facilitar a notação, definimos ξ0 := K0(π2)−K0(π1) e ξ1 := K1(π2)−K1(π1).Como K0(C) = [1]0 · Z = K0(C(I)) e K1(C) = 0 = K1(C(I)), onde 1 representa a função

constante com valor igual a 1. Logo nosso diagrama fica

0 K0(C(S1)) ([1]0, 0)Z⊕ (0, [1]0)Z ([1]0, 0)Z⊕ (0, [1]0)Z K1(C(S1)) 0.ξ0 ψ

Vamos calcular agora ξ0 nos geradores:

ξ0(1, 0) = (K0(π2)−K0(π1))(1, 0) = K0(π2)([1], 0)−K0(π1)([1], 0)

= [π2(0)]0 − [π1(1)]0

= 0− [(1, 1)]0

= −([1]0, [1]0)

e analogamente concluímos que ξ0([0]0, [1]0) = (K0(π2) − K0(π1))([0]0, [1]0) = ([1]0, [1]0). Logo aimagem ∆ := Im(K0(π2)−K0(π1)) é a diagonal do grupo Z⊕ Z gerada por ([1]0, [1]0).


Como ψ é sobrejetora, pelo teorema do homomorfismo temos que

K1(C(S1)) = Imψ ≈ Domψ

kerψ=

([1]0, 0)Z⊕ (0, [1]0)Z∆

= [1]0Z.

Para encontrar K0 observe, a partir dos cálculos anteriores nos geradores, que ker(K0(π2) −K0(π1)) = ∆. Logo pela exatidão

K0(C(S1)) = [1]0Z⊕ [1]0Z.

Capítulo 4

O caráter de Chern-Connes

Alain Connes foi um dos matemáticos que sistematizou a geometria não comutativa, uma refe-rência que compila diversos resultados é [Con98]. Um dos conceitos generalizados por ele é do Cará-ter de Chern, que por este motivo designamos Caráter de Chern-Connes, apresentado em [Con01].Posteriormente, David Dias, em [Dia08], calculou alguns exemplos que aqui foram desenvolvidosnos capítulos finais.

Começamos este capítulo com uma breve apresentação das definições usuais da geometria di-ferencial para depois fazermos a generalização introduzida por Connes. O objetivo é comparar assemelhanças entre ambas definições.

4.1 O caráter de Chern Clássico

Antes de fazer a definição do caráter de Chern precisamos do conceito de Classes de Chern.Informalmente, uma classe característica é uma aplicação (com algumas propriedades boas) queleva um espaço topológico compacto X até uma família de fibrados vetoriais (definidos precisamenteabaixo) sobre X a H∗(X), que é a cohomologia singular de X.

Lembramos que uma classe característica é uma classe de cohomologia associada à fibradosvetoriais. Alguns exemplos centrais na matemática são as classes de Stiefel-Whitney, Pontryain eas classes de Euler. Seja M uma variedade diferenciável defina a álgebra comutativa graduada

Ω(M) =

dimM⊕k=0

Ωk(M).

Denote também por Derk Ω(M) o espaço graduado das derivações de grau k, onde uma derivaçãoD é uma transformação linear tal que

D(ϕ ∧ ψ) = D(ϕ) ∧ ψ + (−1)klϕ ∧D(ψ).

Em [Mic08] encontra-se a demonstração de que Derk(Ω) é uma álgebra de Lie.

Definição 4.1. Chamamos de fibrado vetorial a tripla (E, πE , X) onde E, X são espaços topológi-cos, πE : E −→ X uma projeção (isto é, sobrejetora e contínua) e tal que o conjunto Ex := π−1E (x)satisfaz duas condições

35

36 O CARÁTER DE CHERN-CONNES 4.1

• Existem uma vizinhança aberta U de x, n ∈ N e um homeomorfismo

ϕU : π−1E (U) −→ U × Cn tal que ϕU (Ex) = x × Cn;

• ϕU |Ex é uma aplicação linear entre Ex e x × Cn.

Frequentemente faremos a referência ao fibrado apenas como E, nestes casos fica subentendidoquem é o espaço base X e a projeção πE . Um dos principais exemplos de fibrados vetoriais sãoos fibrados tangentes e cotangentes de uma variedade. Tais conceitos derivam da noção de espaçotangente do cálculo diferencial. Um exemplo simples de fibrado é (X × Cn, π,X), na literatura talexemplo é chamado de fibrado trivial.

Dados dois fibrados E e F , uma aplicação contínua f : E −→ F é chamada de aplicação fibradaquando

• π f = π;

• fx := f |Ex é uma aplicação linear fx : Ex −→ Fx.

Caso f seja, além disso, um homeomorfismo chamaremos de isomorfismo de fibrado.Nosso objetivo agora é definir uma noção de derivada nos espaços que estamos trabalhando e,

para isso, devemos nos perguntar: quais as principais propriedades do operador derivação D quequeremos manter? D é um operador linear e possui uma singular propriedade para o produto,tradicionalmente chamada de regra de Leibniz:

D(f · g) = D(f)g + fD(g).

Considere então o conjunto C∞(X) das funções f : X −→ C onde f é de classe C∞. Dadoum fibrado vetorial vamos considerar o fibrado da aplicação linear tangente Tp : TE −→ TM edenote kerTp := V E1. Daremos agora duas definições da geometria diferencial clássica que possuemdefinições análogas na geometria não comutativa definidas em 4.4 e 4.8.

Definição 4.2. Definimos conexão no fibrado vetorial (E, π,X) como uma 1-forma Ψ ∈ Ω1(E, V E) =

Ω1(E, kerTp) tal queΨ Ψ = Ψ e Im Ψ = V E

em outras palavras, Ψ é uma projeção TE −→ V E.

Definição 4.3. Seja Ψ : TE −→ V E uma conexão no fibrado. Definimos a curvatura R como

R(X,Y ) =1

2[Ψ,Ψ](X,Y )

Agora estamos em condições de introduzir e caracterizar o caráter de Chern, definiremos elecomo uma aplicação linear das classes de Chern Ω(X) até a cohomologia singular H∗(X). Quando

1Em determinados locais da literatura este núcleo é chamado de fibrado vertical de E.

4.2 O CARÁTER DE CHERN-CONNES 37

X é uma variedade compacta podemos descrever explicitamente:

ch(E) = tr

(exp

(∇2

2πi

))= tr

∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!(∇2)k

=

∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!tr((∇2)k).

Apesar da definição conter uma conexão ∇ pode se demonstrar que o valor de ch(E) é independenteda escolha desta conexão. Faremos esta demonstração para o caso na geometria não comutativaem 4.6.

Pode-se mostrar que a definição é coerente, pois existe uma única aplicação linear entre asclasses de Chern Ω(M) e a cohomologia singular H∗(M).

4.2 O caráter de Chern-Connes

Sejam A uma C∗-álgebra com unidade, G um grupo de Lie (isto é, uma variedade diferenciávelcom estrutura de grupo) e α : G −→ Aut(A) uma ação contínua na topologia forte de operadores.Nestas condições dizemos que (A,G, α) é um C∗-sistema dinâmico.

Seja a ∈ A, dizemos que a é de classe Ck se α(a) : A −→ A é de classe Ck, onde 1 6 k 6 ∞.Isto nos permite definir um importante conjunto auxiliar para este trabalho

A∞ := a ∈ A : a é de classe C∞.

O primeiro fato a notarmos sobre A∞ é que este conjunto, não necessariamente, é uma C∗-álgebra,entretanto ela sempre será uma álgebra de Fréchet. Além disso, A∞ é um conjunto denso em A,tal resultado é consequência imediata do Teorema de Garding cujo enunciado preciso e demonstra-ção pode-se encontrar no apêndice A de [Dia08]. Podemos utilizar o teorema visto no apêndice 3de [Con81] e então concluir que a subalgebra A∞ é invariante pelo cálculo funcional holomorfo oque faz com que a inclusão de A∞ em A induza a um isomorfismo. Sinteticamente temos

K0(A∞) ≈ K0(A) e K1(A

∞) ≈ K1(A).

Veja que αg(a−1) = αg(a)−1 pois, αg(a) · αg(a−1) = α(1A) = idA. Como em uma C∗-álgebrao conjunto dos invertíveis é aberto temos que o conjunto dos invertíveis de A∞ também é aberto.Logo a aplicação a 7→ a−1 é contínua.

Estas considerações nos dizem que no lugar de um módulo projetivo finitamente gerado, quea partir de agora denotaremos apenas por um m.p.f.g., M sobre A podemos simplesmente tomarM∞ sobre A∞. A grande vantagem nesta troca está expressa na próxima proposição.

Como consequência da proposição 3.10 de [Jac80], com raciocínio descrito nas preliminares docapítulo 1 de [Dia08], concluímos que dado um M m.p.f.g. existe uma projeção p tal que

p((A∞)n) ≈M∞.


A partir de agora, sempre que estivermos trabalhando com M ficará implícito p a projeção quedescreve M . Durante todo este trabalho denotaremos por g a Álgebra de Lie do grupo G. Considereδ como uma representação de g na álgebra de Lie das derivações de A∞

δX(a) = limt→0

αgt(a)− at

.

A demonstração com detalhes de que δ é uma representação está no apêndice A de [Dia08].Ao longo de todo este texto a propriedade de δX que mais utilizaremos é aquela análoga a regra

de Leibniz:δX(ab) = δX(a)b+ aδX(b).

No apêndice B definimos o produto tensorial e derivada exterior, conceitos estes que serão usadosdaqui em diante. A próxima proposição é um apanhado de propriedades que a derivada exteriorpossui quando aplicada numa projeção. Lembrando que g∗ representa o conjunto dual de g.

Definição 4.4 (Conexão). Dado um m.p.f.g. M∞ sobre A∞, chamamos ∇ de conexão sobreM∞

se ∇X : M∞ −→M∞ ⊗ g∗ é uma aplicação linear que satisfaz:

∇X(ξa) = ∇X(ξ)a+ ξδX(a),

para quaisquer que sejam ξ ∈M∞, X ∈ g e a ∈ A∞.

Uma das conexões mais importantes na literatura e a que será constantemente utilizada nestetrabalho é chamada de Levi-Civita2. Ela possui a propriedade de caracterizar todas as outras cone-xões, fato este que está demonstrado em 4.6.

Definição 4.5 (Levi-Civita). A conexão de Levi-Civita é denotada por ∇0 e definida como

∇0 : M∞ −→M∞ ⊗ g∗

∇0X(ξ) = pδX(ξ).

Repare que ∇0X realmente satisfaz as condições necessárias de conexão, ela é linear pois δX é

uma representação, calculemos agora:

∇0X(ξa) = pδX(ξa) = pδX(ξ)a+ pξδX(a)

= ∇0X(ξ)a+ pξδX(a).

Do isomorfismo p((A∞)n) ≈ M∞ e usando que p é projeção concluímos que pξδX(a) ≈ ξδX(a),disto decorre da última igualdade que

∇0X(ξa) = ∇0

X(ξ)a+ ξδX(a).

Proposição 4.6. Seja (A,G, α) um C∗-sistema dinâmico e ∇ uma conexão qualquer sobre M∞

então existe um único Γ ∈ pMn(Ω1)p tal que podemos escrever ∇ como

∇X(ξ) = ∇0X(ξ) + ΓX(ξ)

2Parte da literatura chama esta conexão de grassmanianna.


para todo ξ ∈ p((A∞)n) e X ∈ (g).

A demonstração completa encontra-se no Lema 1.3 de [Dia08]. Ela também exibe explicitamenteΓ.

Proposição 4.7. Seja p ∈Mn(A∞) uma projeção e d a derivação exterior então

1. p(d p)p = 0;

2. pd p ∧ d p = p(d p ∧ d p)p = (d p ∧ d p)p;

3. (2p− 1) d p = −d p(2p− 1);

4. (p d p ∧ d p)k = p(d p ∧ d p)k;

5. d(pd p ∧ d p) = d p ∧ (p d p ∧ d p) + (p d p ∧ d p) ∧ d p.

Demonstração. (1) Como p é projeção temos que p2 = p, aplicando d dos dois lados e usando aregra de Leibniz temos que (d p)p + p d p = d p, multiplicando por p pela esquerda e pela direitatemos p(d p)p+ p(d p)p = p(d p)p. Logo p(d p)p = 0.

(2) Do item anterior concluímos que d(p d pp) = 0, desenvolvendo o lado esquerdo temos

d p ∧ d pp+ p d2 pp− p d p ∧ d p = 0.

Logo d p ∧ d pp = pd p ∧ d p.

(3) Vejamos que

(2p− 1) d p = 2pd p− d p = pd p+ (pd p− d p)

= pd p− d pp pela relação de (1)

= (d p− d pp)− d pp novamente por (1)

= −2(d p)p+ d p

= −d p(2p− 1).

(4) Basta vermos que p comuta com d p ∧ d p por (2) e pk = p.(5) Usando a igualdade p d p ∧ d p = p(d p ∧ d p)p de (2) temos:

d(p d p ∧ d p) = d(p(d p ∧ d p)p) = d p ∧ d p ∧ d pp+ p d p ∧ d p ∧ d p

= d p ∧ (pd p ∧ d p) + (p d p ∧ d p) ∧ d p.

Definição 4.8. Seja ∇ uma conexão sobre o m.p.f.g. M∞, definimos a curvatura associada a ∇como o elemento Θ ∈ EndA∞(M∞) ⊗ Λ2g∗, onde End(M∞) representa o conjunto dos endomor-fismos de M∞. Θ é definido como

Θ(X,Y ) = ∇X∇Y −∇Y∇X −∇[X,Y ].


Exemplo 4.9. A curvatura Θ0 associada a conexão de Levi-Civita é dada por

Θ0 = p d p ∧ d p.

Usando o resultado em 4.6, que uma conexão ∇ qualquer se escreve como ∇ = ∇0 +Γ, podemosencontrar uma forma explícita para a curvatura de ∇:

Θ = Θ0 + p(d Γ + Γ ∧ Γ)p.

O leitor interessado encontrará a demonstração na proposição 1.6 de [Dia08].É de conhecimento geral que, dada uma matriz

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

. . ....

an1 an2 ann

o seu traço Tr é a soma da diagonal principal, isto é,

Tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ ann

O objetivo agora é generalizar este conceito para uma C∗-álgebra qualquer, queremos preservar,principalmente, a linearidade e uma propriedade análoga a da comutatividade. Além disso, deseja-mos que o traço seja G-invariante no caso do (A,G, α) um C∗-sistema dinâmico.

Definição 4.10. Seja (A,G, α) um C∗-sistema dinâmico, um funcional linear contínuo τ : A −→ Cé chamado de traço finito G-invariante se

• τ(ab) = τ(ba);

• τ é positivo, isto é, τ(a∗) = τ(a);

• τ(αg(a)) = τ(a).

Cabe observar que, se duas projeções em uma C∗-álgebra são tais que p ∼0 q então τ(p) = τ(q).Por consequência

K0(τ)([p]0) = K0(τ)([q]0).

Faremos duas extensões da definição de traço, a primeira para projeções maiores ou seja, paraMn(A) e a segunda para uma aplicação k-linear num espaço vetorial Ω. Seja p ∈ Mn(A) umaprojeção definiremos τ(p) := τ Tr(p), onde Tr é o traço usual das matrizes. Vamos agora estender,para k natural, um traço τ para uma aplicação k-linear

τk : Ω× Ω . . .× Ω︸︷︷︸k

−→ Λg∗

da seguinte maneira

τk(a1 ⊗ ω1, . . . , ak ⊗ ωk) := τ(a1 . . . ak)ω1 ∧ . . . ∧ ωk.


A principal relação que utilizaremos sobre o traço estendido é conseguida após alguns cálculos:

τk(a1 ⊗ w1, . . . , ak ⊗ wk) = τ1(a1 . . . ak ⊗ w1 ∧ . . . ∧ wk).

Como os elementos de Ω possuem mais de uma representação é necessário verificar que τk está bemdefinido.

Lema 4.11. Nas condições acima, τk está bem definido para qualquer k ∈ N.

Demonstração. Sejam Ω e X1, X2, . . . Xn uma base qualquer de g e tome dois elementos quaisquer

com mesma representaçãoN∑i=1

ai ⊗ wi =M∑j=1

bj ⊗ λj . Segue que

n∑k=1

(N∑i=1

wi(Xk)ai

)⊗ Xk =

n∑k=1

M∑j=1

λj(Xk)bj

⊗ Xk,

E entãoN∑i=1

wi(Xk)ai =

M∑j=1

λj(Xk)bj .

Calculando o traço podemos concluir que

τ1

(N∑i=1

ai ⊗ wi

)=

N∑i=1

τ(ai)wi.

Como X1, X2, . . . Xn é base, temos

N∑i=1

τ(ai)n∑k=1

wi (Xk) Xk =n∑k=1

τ

(N∑i=1

wi(Xk)ai

)Xk

=

n∑k=1

τ

M∑j=1

λj (Xk) bj

Xk

=

M∑j=1

τ (bj)

n∑k=1

λj (Xk) Xk.

Novamente por ser base temos

M∑j=1

τ(bj)λj = τ1

M∑j=1

bj ⊗ λj

.

Logo τ1 está bem definido, escrevendo τk em função de τ1 concluímos que τk também está bemdefinido.

Pode-se mostrar que τk possui propriedades semelhantes às do determinante, como aquelasrelativas à permutação. A demonstração é parecida com a feita para funções k-alternadas, no casode álgebra linear. O leitor pode encontrar esta generalização no Lema 1.9 de [Dia08].

Lema 4.12. A derivada exterior comuta com o traço 1-linear, isto é, τ1 d = d τ1.


Demonstração. Utilizaremos a igualdade τ(δX(a)) = 0. Para enxergá-la basta calcular:

τ(δX(a)) = τ

(limt→0

αgt(a)− at

)= lim

t→0

τ(αgt(a))− τ(a)

t(pela continuidade de τ)

= 0 (Propriedade 3. do traço 4.10)

Desenvolvendo o lado direito da igualdade temos

d(τ1(a⊗ w)) = d(τ(a)w) = τ(a) dw ( lembre que τ(a) ∈ C)

por outro lado

τ1(d(a⊗ w)) = τ1(δ(a)w + a dw)

= τ(δ(a))w + τ(a) dw

= τ(a) dw

e portanto, como a⊗ w era arbitrário, τ1 d = d τ1.

O próximo exemplo utiliza algumas propriedades de d vistas até aqui, além disso, será importantena demonstração de que τk é uma forma fechada.

Exemplo 4.13. Se p é uma projeção então τ1(d p2k+1) = 0.

Demonstração.

τ1(d p2k+1) = τ1((2p− 1)2 d p2k+1)

= τ1((2p− 1) d p2k+1(2p− 1)).

Utilizando as propriedades de d vistas em 4.7

τ1(d p2k+1) = −τ1(−(2p− 1) d p2k+1(2p− 1))

= −τ1(−(−1)2k+1(2p− 1)2 d p2k+1)

= −τ1(d p2k+1).

Lema 4.14. A classe de cohomologia da forma diferencial τk(Θ,Θ, . . . ,Θ) independe da conexãoescolhida em M∞.

Demonstração. Mostraremos que

τk(Θ,Θ, . . . ,Θ)− τk(Θ0,Θ0, . . . ,Θ0) = 0.

Defina ∇t := ∇0 + tΓ, para t ∈ [0, 1], um caminho entre ∇ e ∇0, a justificativa desse caminho éque toda conexão pode ser escrita em função de ∇0. Denotaremos a curvatura de ∇t por Θt. De 4.2e 4.9 temos que

Θt = Θ0 + p(d(tΓ) + tΓ ∧ tΓ)p.


Derivando em função de t temos que

d

d tτk(Θt, . . . ,Θt) =

k−1∑i=0

τk(Θt, . . . ,Θt︸︷︷︸i

,d

d tΘt,Θt, . . . ,Θt︸︷︷︸

k−i−1

)

= kτk(d

d tΘt,Θt, . . . ,Θt)

= kτk(pd(Γ)p,Θt, . . . ,Θt)

= d(kτk(Γ,Θt, . . . ,Θt)).

Como τk(Θ,Θ, . . . ,Θ)− τk(Θ0,Θ0, . . . ,Θ0) =∫ 10

dd tτk(Θt, . . . ,Θt) d t e esta integração comuta com

d e também do fato de dd tτk(Θt, . . . ,Θt) = d(kτk(Γ,Θt, . . . ,Θt)), podemos concluir que esta forma

fechada independe da conexão tomada em M∞.

Proposição 4.15. A forma diferencial τk(Θ,Θ, . . . ,Θ) ∈ Λ2kg∗ é fechada.

Pelo resultado anterior, basta provarmos que τk(Θ0,Θ0, . . . ,Θ0) é uma forma fechada, ou seja,d(τk(Θ0,Θ0, . . . ,Θ0)) = 0. Da definição

τk(Θ0,Θ0, . . . ,Θ0) = τk(p d p ∧ d p, . . . , p d p ∧ d p)

= τ(pk) d p ∧ d p ∧ . . . ∧ d p ∧ d p

= τ(p)(d p ∧ d p)k = τ1(p(d p ∧ d p)k).

Como a derivada exterior comuta com τ1 temos

d(τk(Θ0,Θ0, . . . ,Θ0)) = d(τ1(p d p2k))

= τ1(d(p d p2k))

= τ1(d p ∧ d p2k)

= τ1(d p2k+1) = 0 (exemplo 4.13).

A próxima proposição descreve a imagem do que virá a ser o Caráter de Chern.

Proposição 4.16. Seja p ∈Mn(A∞) uma projeção, então(

12πi

)k 1k!τk(Θ, . . . ,Θ) é uma forma real,

ou seja, é um elemento de HparR (G).

Demonstração. Repare inicialmente que, se d a∧ d b ∈ A∞⊗Ω2, temos (d a∧ d b)∗ = −(d b∗ ∧ d a∗)

Calculemos agora

τ1(p(dp ∧ dp)k) = τ1((p(dp ∧ dp)k)∗)

= τ1((−1)k(dp ∧ dp)kp)

= (−1)kτ1(p(dp ∧ dp)k)

logo

1

(2πi)kτ1(p(dp ∧ dp)k) =

−ik

(2π)kτ1(p(dp ∧ dp)k)

=−ik

(2π)k(−1)kτ1(p(dp ∧ dp)k).


Concluímos então que 1(2πi)k

τ1(p(dp ∧ dp)k) ∈ R.

Definição 4.17. Seja (A,G, α) um C∗-sistema dinâmico, definimos o Caráter de Chern-Connes(para o caso par) como o homomorfismo Chτ : K0(A) −→ Hpar

R (G)

Chτ ([p]0) =

∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!τk(Θ, . . . ,Θ)

=∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!τk(Θ0, . . . ,Θ0)

=∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!τ1(p(d p ∧ d p)k).

Nesta definição estamos cometendo novamente um pequeno abuso de notação, como já ocorreuem 4.10, pois τk(Θ, . . . ,Θ︸︷︷︸

k

), a princípio, só faz sentido quando k > 0. A definição precisa é

Chτ ([p]0) = τ0(p) +

∞∑k=1

(1

2πi

)k 1

k!τk(Θ, . . . ,Θ)

= τ0(p) +∞∑k=1

(1

2πi

)k 1

k!τ1(p(d p ∧ d p)k)

= τ0(p) +∞∑k=1

(1

2πi

)k 1


Para tornarmos a escrita mais concisa vamos escrever simplesmente∞∑k=0

(1

2πi

)k 1k!τ1(p(d p ∧ d p)k) e

ficará implícito que em k = 0 a parcela a ser somada é τ0(p)3.No exemplos calculados neste trabalho, o somatório da definição é sempre finito, pois todas as

parcelas serão nulas após o índice superar a dimensão do grupo de cohomologia. Calculemos agoraum exemplo simples para ilustrar a definição.

Exemplo 4.18. Seja (C,C, α) um C∗-sistema dinâmico, onde α : C −→ Aut(C) é o operador demultiplicação. O caráter de Chern-Connes será o homomorfismo

Chτ : K0(A) −→ HparR (C)

Chτ ([p]0) =

∞∑k=0

(1

2πi

)k 1


3Tal fato não deve causar confusão visto que frequentemente abusos como estes são cometidos, por exemplo, aoescrevermos a série de Taylor.


Sabemos que K0(C) = [1]0Z, logo precisamos calcular apenas Chτ ([1]0)

Chτ ([1]0) =

∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!τ1(1(d 1 ∧ d 1)k)

=∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!τ1((d 1 ∧ d 1)k)

= 0

pois, como 1 é a função constante d 1 = 0.

Nosso objetivo agora é definir o Caráter de Chern-Connes para o caso ímpar, isto é, com domínioK1(A).

Lema 4.19. Seja A uma C∗-álgebra temos que K0(C(S1)⊗A) ≈ K0(A)⊗K1(A).

Demonstração. Temos um isomorfismo entre as C∗-álgebras C(S1, A) e C(S1) ⊗ A. Considere asequência exata curta que cinde

0 SA C(S1, A) A 0.

λ

Aplicando a propriedade de K0 para sequências exatas cindidas 2.10 e o isomorfismo K0(SA) ≈K1(A) temos que

0 K0(SA) K0(C(S1, A)) K0(A) 0

é exata curta (e cinde). Logo K0(C(S1, A)) ≈ K0(A)⊕K1(A)

Nossa intenção agora é explicitar a definição do Caráter de Chern, usaremos estes cálculosno final do capítulo] 5. Tome [u]1 ∈ K1(A), isto é, u ∈ Un(A), para algum n ∈ N. Retomando oisomorfismo, visto em 3.2, δ1 : K1(A) −→ K0(SA), com δ1([u]1) = [p]0−[pn]0, onde p e pn projeções

em P2n(SA), além disso pn = s(p) =

(1n 0

0 0n

)e, para θ ∈ [0, 2π], pθ = wθpnw

∗θ . Wegge-Olsen em

[WO93] explicitou wθ, chegando em

wθ =

(u 0

0 1n

)cos(θ4

)− sen

(θ4

)sen(θ4

)cos(θ4

)(u∗ 0

0 1n

) cos(θ4

)sen(θ4

)− sen

(θ4

)cos(θ4

) .

Fazendo as multiplicações temos

wθ =

(u cos

(θ4

)−u sen

(θ4

)sen(θ4

)cos(θ4

) )(u∗ cos

(θ4

)u∗ sen

(θ4

)− sen

(θ4

)cos(θ4

) )

=

(uu∗ cos2

(θ4

)+ u sen2

(θ4

)uu∗ cos

(θ4

)sen(θ4

)− u cos

(θ4

)sen(θ4

)u∗ cos

(θ4

)sen(θ4

)cos θ4 + cos

(θ4

)sen(θ4

)cos θ4u

∗ sen2(θ4

)+ u sen2

(θ4

) ).


Em [Dia08] foram feitas as devidas simplificações chegando em

pθ =

1n − sen2 (θ/2)4 (1− u)(1− u∗) (u− 1) sen (θ/2)

2

[cos2

(θ4

)+ u sen2

(θ4

)](u∗ − 1) sen (θ/2)

2

[cos2

(θ4

)+ u∗ sen2

(θ4

)] sen2 (θ/2)4 (1− u)(1− u∗)

(4.19.1)

Definição 4.20. Seja A uma C∗-álgebra definimos o Caráter de Chern Connes (para o caso ímpar)chτ como o homomorfismo K1(A) −→ H∗(G) dado por

chτ ([u]1) = Chτ ([p]0 − [pn]0).

Capítulo 5

O C∗-sistema dinâmico (Ψ0cl(S

1), S1, α)

Utilizaremos a definição de [Hör85] e [Mel05] para denotar Ψ0(X) como o conjunto de todoselementos de ordem zero na classe de Hörmander. A subclasse dos operadores pseudo-diferenciaiscujos símbolos possuem expansões assintóticas em componentes homogêneos de grau decrescenteserá denotado por Ψ0

cl(X). As definições com todos os detalhes encontram-se em [Hör85].Seguindo o roteiro proposto em [Dia08] vamos calcular o caráter de Chern-Connes para o C∗-

sistema dinâmico (Ψ0cl(S

1), S1, α) em que Ψ0cl(S

1) é a C∗-álgebra gerada pelos operadores pseudo-diferenciais clássicos de ordem zero na variedade S1 e α a ação contínua da conjugação por translaçãoagindo no grupo S1.

Ao longo de todo restante do capítulo, utilizaremos os resultados de Severino Melo em [Mel97]de que a C∗-álgebra Ψ0

cl(S1) é isomorfa a A definida a seguir, com esta identificação será possível

calcular os grupos de K-teoria de A. A definição de A irá exigir alguns operadores e conjuntosauxiliares clássicos:

• Considere o conjunto CS(Z) das sequências complexas indexadas em Z que admitem limitesem −∞ e +∞, isto é,

CS(Z) := (ai)i∈Z ⊂ C : a(∞) := limi→∞

ai e a(−∞) := limi→−∞

ai existem;

• Defina Ma como o operador de multiplicação pela sequência (ai)i∈Z ∈ CS(Z);

• Seja u uma função em S1, definimos a parametrização u como

u(θ) : ]− π, π[−→ C

u(θ) := u(eiθ);

• Lembrando a definição da transformada de Fourier discreta Fd;

Fd : L2(S1) −→ l2(Z)

(Fdu)j =1√2π

π∫−π

u(θ)e−ijθ d θ

47

48 O C∗-SISTEMA DINÂMICO (Ψ0CL(S1), S1, α) 5.0

• A inversa da transformada de Fourier será então

F−1d : l2(Z) −→ L2(S1)

(aj) 7→ F−1d (aj) =

∞∑j=−∞

ajeijθ;

• a(Dθ) := F−1d MaFd;

• A1 := Ma : a ∈ C∞(S1);

• A2 := b(Dθ) : b ∈ CS(Z).

Com estas ferramentas estamos em condições de definir a álgebra A.

Definição 5.1. Chamamos de A a C∗-subálgebra de B(L2(S1)) gerada por A1 = Ma : a ∈C∞(S1) e A2 = b(Dθ) : b ∈ CS(Z), onde A1 := Ma : a ∈ C∞(S1) e A2 := b(Dθ) :

b ∈ CS(Z).

O resultado sobre C∗-álgebra geradas, visto em 1.13, garante que A é uma C∗-álgebra. A seção2 de [Mel05] mostrou que os operadores compactos K estão em A. Além disso, mostrou que asequência

0 K A A/K 0i π (5.1.1)

é exata, onde i representa a inclusão e π a projeção no quociente. O corolário 2 de [Mel05] mostraque existe um isomorfismo ϕ : A/K −→ C(S∗S1). Considere também o isomorfismo natural ψ :

C(S∗S1) −→ C(S1 × −∞,+∞), resumidamente temos

A = Ψ0cl(S

1) A/K C(S∗S1) C(S1 × −∞,∞).π ∼ ∼

Uma importante ferramenta na teoria dos operadores pseudo-diferenciais é a utilização do sím-bolo principal . Definiremos aqui como a aplicação sobrejetora σ : A −→ C(S∗S1) σ := ϕ π.Calculemos agora o símbolo principal nos geradores da álgebra A, isto é, em Ma e b(Dθ).

ψ σ(Ma) = ψ(σ(Ma))

= ψ(ϕ(π(Ma)))

= ψ(a)

= (a, a) (5.1.2)

e

ψ σ([b(Dθ)]) = ψ(σ[b(Dθ)])

= ψ(ϕ(π(b(Dθ))))

= ψ(ϕ([b(Dθ)]K))

= (b(−∞), b(+∞)). (5.1.3)

5.0 49

Aplicando o teorema da sequência exata curta, visto em 3.18, na sequência ( 5.1.1) temos que

K0(K) K0(A) K0(A/K)

K1(A/K) K1(A) K1(K)

δ1

K0(i) K0(π)

δ0

K1(i)K1(π) (5.1.4)

é uma sequência exata de grupos. Encontra-se em 6.4.2 e 8.2.9 de [RLL00] que, respectivamente,

K0(K) = [1]0Z e K1(K) = 0.

Substituindo no diagrama ficamos com

[1]0Z K0(A) K0(A/K)

K1(A/K) K1(A) 0

δ1

K0(i) K0(π)

δ0

K1(i)K1(π) (5.1.5)

segue de A/K ≈ C(S1 × −∞,∞ que

K0(A/K) ≈ K0(C(S1 × −∞,+∞))

eK1(A/K) ≈ K1(C(S1 × −∞,+∞)).

Seja X um espaço topológico, os seguintes isomorfismos surgem de maneira natural

C(S1 ×X) ≈ C(S1)⊗X ≈ C(S1, C(X)).

Usando a definição de suspensão, podemos construir a sequência exata cindida

0 SC(X) C(S1, C(X)) C(X) 0i

aplicando o funtor Ki conseguimos que

Ki(C(S1, X)) ≈ Ki(C(S1, C(X))) ≈ K1−i(C(X))

Particularmente, se X = −∞,+∞,

Ki(C(S1, −∞,+∞)) ≈ Ki(C(S1, C(−∞,+∞))) ≈ K1−i(−∞,+∞).


Usando o exemplo 3.22, para concluir, temos

K0(A/K) ≈ K0(C(S1 × −∞,+∞)) ≈ [1, 0]0Z⊕ [0, 1]0Z

eK1(A/K) ≈ K1(C(S1 × −∞,+∞)) ≈ [1, 0]1Z⊕ [0, 1]1Z.

Como visto em 8.3.2 de [Bla86], no caso particular dos operadores compactos K a aplicação doíndice δ1, definida em 3.11, coincide com o índice de FredHolm. Além disso, δ1 será sobrejetora,como demonstrado a seguir:

Proposição 5.2. A aplicação δ1 : K1(A/K) −→ K0(K) é sobrejetora.

Demonstração. Nossa estratégia será definir um operador B ∈ A tal que δ1([[B]K]1) = 1, ou seja,o operador B será levado até o gerador de K0(K) = Z e portanto δ1 será sobrejetora. Para istoutilizaremos a transformada de Fourier discreta e três aplicações auxiliares bj , H e a, definidasabaixo.

bj =

1, se j > 0

z, se j < 0H(j) =

1, se j > 0

0, se j < 0a(z) = z

com isto, defina o operador B como

B(u(z)) :=∑j∈Z

zjbj(z)uj .

B está em A pois B = Ma(I − H(Dθ)) + H(Dθ). Utilizando a transformada de Fourier discretadefinida no início do capítulo vamos calcular FdBF−1d . Seja (uj) ∈ l2(Z)

B(F−1d (uj)) =∑j∈Z

zjbj(z)ˆF−1d (uj),

logo

Fd(B(F−1d (uj))) = (FdB(F−1d (uj)))j =1√2π

π∫−π

∑j∈Z

zjbj(eiθ) ˆF−1d (uj).

e portanto

FdBF−1d (uj)j∈Z =

uk−1, se k < 0

u0 + u−1, se k = 0

uk, se k > 0

Como a conjugação pela transformada não altera o núcleo do operador temos

kerB = ker(FdBF−1d ) = (uj) : uk = 0 para k 6= 0, 1eu0 = −u−1.

Ou seja, o núcleo possui dimensão 1. Lembrando que o índice de Fredholm é a dimensão do núcleo

5.0 51

menos a codimensão da imagem do operador temos

δ1([[B]K]1) = indice([B]K)

= dim kerB − codim ImB

= 1− 0

= 1.

Tendo este resultado, podemos voltar a estudar o diagrama 5.1.4. Substituindo os grupos deK-teoria já conhecidos temos:

[(1, 0)]0Z K0(A) [(1, 0)]0Z⊕ [(0, 1)]0Z

[(1, 0)]0Z⊕ [(0, 1)]0Z K1(A) 0

δ1

K0(π)

δ0

K1(π)

da exatidão concluímos que δ0 é sobrejetora e então K0(A) = [(1, 0)]0Z⊕ [(0, 1)]0Z. Observando asrelações 5.1.2 e 5.1.3 chegamos em

K0(A) = [[H(Dθ)]K]0Z⊕ [[I −H(Dθ)]K]0Z.

Ainda pela exatidão temos K1(A) = ker δ1. Além disso δ1([(1, 1)]) = 0. Com isto, concluímos que

K1(A) = [[z]K]1Z.

Como os grupos de cohomologia de S1 são dados por

H∗R(S1) = H0R ⊕H1

R = R⊕ R.

Como visto em [War13a] Hn(S1) = 0, para n > 2. Pelo exposto no capítulo 4 a imagem do caráterde Chern-Connes para o caso par são as cohomologias pares e, analogamente, a imagem para ocaso ímpar são as cohomologias ímpares. Logo, juntando as duas informações, no caso par a únicaparcela que não se anula é quando k = 0 e no caso ímpar quando k = 1. O caráter de Chern-Connespara o C∗- sistema dinâmico (Ψ0

cl(S1), S1, α) será o homomorfismo

chτ : [[H(Dθ)]K]0Z⊕ [[I −H(Dθ)]K]0Z⊕ [[z]K]1Z −→ R⊕ R.


Para o caso par temos então:

Chτ ([p]0) =∞∑k=0

(1

2πi

)k 1


= τ0(p) +

∞∑k=1

(1

2πi

)k 1


= τ0(p)

= τ(p).

Lembrando que pn =

(1n 0

0 0

)e portanto d pn = 0. Calculemos agora o caráter de Chern-Connes

para o caso ímpar, isto é,

chτ ([u]1) = Chτ ([p]0 − [pn]0)

= Chτ ([p]0)− Ch([pn]0)

=∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!τ1(p(d p ∧ d p)k)−

∞∑k=0

(1

2πi

)k 1

k!τ1(pn(d pn ∧ d pn)k)

=∞∑k=0

(1

2πi

)k 1


= 0 + τ1(p d p ∧ d p) +∞∑k=2

(1

2πi

)k 1


= τ1(p d p ∧ d p).

O leitor desconfiado poderia se questionar quanto a validade do argumento a respeito da pari-dade da dimensão da cohomologia de S1, para exemplificar calcularemos explicitamente a parcelareferente a k = 0. Lembrando da matriz apresentada em 4.19.1 temos que

p− pn =

− sen2 (θ/2)4 (1− u)(1− u∗) (u− 1) sen (θ/2)

2

[cos2

(θ4

)+ u sen2

(θ4

)](u∗ − 1) sen (θ/2)

2

[cos2

(θ4

)+ u∗ sen2

(θ4

)] sen2 (θ/2)4 (1− u)(1− u∗)

logo, lembrando a definição de τ para projeções τ0(p− pn) = τ(p− pn) = τ(Tr(p− pn)) = 0. Comoo caráter de Chern-Connes é um homomorfismo podemos escrever a sua matriz de transformação,para isso precisamos estudar a forma do traço τ .

Como estudado em [Mel05], todo traço τ em C(S1×−∞,+∞) é a combinação linear de duasintegrais sobre “cópias de S1”, ou seja, existem constantes reais c1 e c2, tais que

τ(a) =c12π

∫S1

σa(z,∞) d z +c22π

∫S1

σa(z,−∞) d z.

Calculemos então τ nos geradores do grupo

τ([[H(Dθ)]K]0) =c12π

∫S1

σH(Dθ)(z,∞) d z +c22π

∫S1

σH(Dθ)(z,−∞) d z

= c1,

5.0 53

τ([[I −H(Dθ)]K]0) =c12π

∫S1

σI−H(Dθ)(z,∞) d z +c22π

∫S1

σI−H(Dθ)(z,−∞) d z

= c2,

τ(z−1 d(z)) =c12π

∫S1

σz(z,∞) d z +c22π

∫S1

σz(z,−∞) d z

= 0.

Omitimos os detalhes a respeito do cálculo dessas integrais, lembramos que estes resultados sãoesperados em determinado sentido já que a definição de símbolo principal é justamente a integralsobre S1.

Capítulo 6

O C∗-sistema dinâmico (Ψ0cl(S

2), S2, α)

O objetivo agora é estender o resultado do capítulo anterior considerando o C∗-sistema dinâmico(Ψ0(S2), SO(3), α) onde Ψ0

cl(S2) é a C∗-álgebra dos operadores pseudo-diferenciais clássicos de

ordem 0 de S2 e α : SO(3) −→ Aut(Ψ0cl(S

2)) o operador de conjugação que leva g ∈ SO(3) emα(g) = TgAT

−1g onde Tgu(x) = u(g−1x).

Para explicitarmos o caráter de Chern-Connes é necessário conhecer os grupos de K-teoria dasálgebras analisadas, K0(A) e K1(A). Assim como fizemos no capítulo anterior, usaremos que asequência dos operadores compactos é exata, isto é,

0 K A A/K 0.

Ao longo de todo capítulo, iremos considerar o isomorfismo, visto no capítulo em VI.2 de [Cor87]:

A/K ≈ C(S∗S2) ≈ C(SS2).

Feitas estas considerações inicias, transformamos o problema inicial para conhecer os gruposde K-teoria da C∗-álgebra C(SS2). Para isto, aplicaremos a sequência de Mayer-Vietoris, vistaem 3.19, no diagrama

C(SS2) C(D× S1)

C(D× S1) C(S1 × S1)

pr2

pr1

π1

π2 (6.0.1)

onde pr1, pr2 são as projeções naturais e

π1 : C(D× S1) −→ C(S1 × S1)

ϕ 7→ ϕS1×S1

e

π2 : C(D× S1) −→ C(S1 × S1)

ϕ(z, w) 7→ ϕS1×S1

(z,−z2w).

55


A rigor, antes de usarmos Mayer-Vietoris é necessário verificar que

C(SS2) ≈ (a1, a2) ∈ C(D× S1)⊕ C(D× S1) : a1S1×S1

= a2S1×S1

.

Para isto, é preciso estudar as projeções π1 e π2. A essência desta verificação está na projeçãoestereográfica εN : S2\(0, 0,−1) −→ R2, são estes cálculos que justificam a forma como definimosπ1 e, principalmente, a definição de π2. Todos os detalhes encontram-se no Lema 3.2 de [Dia08].Finalmente, usando Mayer-Vietoris 3.19 em 6.0.1 temos que a sequência1

K0(C(SS2)) K0(C(D× S1))2 K0(C(S1 × S1))

K1(C(S1 × S1)) K1(C(D× S1))2 K1(A)

(K0(pr1),K0(pr2)) K0(π2)−K0(π1)

(K1(pr1),K1(pr2))K1(π2)−K1(π1)

(6.0.2)é exata. O próximo lema exibe um isomorfismo que facilitará os nossos cálculos.

Lema 6.1. As seguintes C∗-álgebras são isomorfas C(D × S1) ≈ C(S1, C(D)) e C(S1 × S1) ≈C(S1, C(S1)).

Demonstração. Para C(D× S1) ≈ C(S1, C(D)) considere o isomorfismo:

ϕ : C(D× S1) −→ C(S1, C(D))

ϕ(f)(z) = f(d, z)

de forma análoga, para C(S1 × S1) ≈ C(S1, C(S1)) considere o isomorfismo:

ϕ : C(S1 × S1) −→ C(S1, C(S1))

ϕ(f)(z) = f(w, z).

Para calcularmos os grupos de K-teoria de C(S1, C(D)) analise a sequência exata curta quecinde

0 SC(D) C(S1, C(D)) C(D) 0 (6.1.1)

como K0 preserva sequências exatas que cindem, como visto em 2.10, temos que a sequência deexata de grupos é exata

0 K0(SC(D)) K0(C(S1, C(D))) K0(C(D)) 0.

LogoK0(C(D× S1)) = K1(C(D))⊕K0(C(D)).

1Substituímos K0(C(D× S1)) ⊕K0(C(D× S1)) por K0(C(D× S1))2.

6.0 57

Dos exemplos 3.3 e 8.2 de [RLL00] temos

K0(C(D× S1)) = [1]0Z

Aplicando o funtor K1 na sequência 6.1.1 temos

K1(C(D× S1)) = K0(C(D))⊕K1(C(D))

= [w]1Z.

Denotamos o gerador por [w]1, para diferenciar de [z], a outra cópia de S1. Tome agora a sequênciaexata que cinde

0 SC(S1) C(S1, C(S1)) C(S1) 0

aplicando o mesmo raciocínio anterior temos

K0(C(S1 × S1)) = K1(C(S1))⊕K0(C(S1))

eK1(C(S1 × S1)) = K0(C(S1))⊕K1(C(S1))

com isto conseguimos queK0(C(S1 × S1)) = [1]0Z⊕ [θ]0Z

eK1(C(S1 × S1)) = [z]1Z⊕ [w]1Z

com 1 é a função constante igual a um, z a função z(eiθ) = eiθ. Logo o diagrama (6.0.2) se transformaem

K0(C(SS2)) [1]0Z⊕ [1]0Z [1]0Z⊕ [θ]0Z

[z]1Z⊕ [w]1Z [w]1Z⊕ [w]1Z K1(C(SS2)).

(K0(pr1),K0(pr2)) K0(π2)−K0(π1)

(K1(pr1),K1(pr2))K1(π2)−K1(π1)

Com as igualdades acima podemos calcular explicitamente o valor de Ki(π1) e Ki(π2):

K0(π1)[ϕ(x, z)]0 = [π1(ϕ(x, z))]0

=[ϕS1×S1

(z, z)]0

K0(π1)(x, y) = (x, 0) e K1(π1)(x, y) = (x, 0).

Para π2 temosK0(π2)(x, y) = (x, 0) e K1(π2)(x, y) = (x, 0)


logoK0(π2)−Ko(π1)(x, y) = (y − x, 0)

eK1(π2)−K1(π1)(x, y) = (2y,−y − x).

Como K1(π2)−K1(π1)(x, y) = (2y,−y − x) é injetora concluímos, pela exatidão, que

0 [1, 1]Z K1(C(SS2)) 0

e então K1(C(SS2)) ≈ [1, 1]Z.Por outro lado, ker(K0(π2)−K0(π1)) ≈ [1, 1]Z. Além disso, Im(K1(π2)−K1(π1)) ≈ 2Z⊕ Z.Logo podemos construir a seguinte sequência exata curta

0 [(1, 0)]Z2 K0(C(SS2)) [1, 1]Z 0

com isto temos que K0(C(S∗S2)) ≈ [(1, 1)]0Z⊕ [(1, 0)]Z2.

Considere agora a sequência exata curta

0 K A A/K 0.ϕ π

Usando o teorema da sequência exata de seis termos, visto em 3.18, obtemos o diagrama

K0(K) K0(A) K0(A/K)

K1(A/K) K1(A) K1(K)

δ1

K0(ϕ) K0(π)

δ0

K1(ϕ)K1(π)

substituindo os grupos de K-teoria que já conhecemos ficamos com

[1]0Z K0(A) [1, 1]0Z⊕ [1, 0]0Z2

[0, 1]1Z K1(A) 0.

δ1

K0(ψ) K0(π)

δ0

K1(ψ)K1(π)

Novamente vamos utilizar a sobrejetividade de δ1 : Z −→ Z vista no capítulo anterior. Tal resultadotambém foi usado e justificado por [Dia08]. Como δ1 : Z −→ Z é um homomorfismo de grupossobrejetor ele também é injetor logo, pela exatidão, K1(ψ) = 0 e então

0 K1(A) 0

ou seja,K1(A) = 0.

6.0 59

Ainda pela exatidão concluímos que K0(ψ) é uma aplicação nula, e ficamos com

0 K0(A) [1, 1]Z⊕ [1, 0]Z2 0

portantoK0(A) = [1, 1]Z⊕ [1, 0]Z2.

Repare que um homomorfismo f : K0(A) −→ R pode ser fatorado em dois homomorfismos

g := f[(1,1)]

Z e h := f[(1,0)]

Z2

, entretanto f2 será sempre nulo, pois está definido sobre Z2, onde 1 + 1 = 0 e então usando alinearidade:

0 = h(0) = h(2) = h(1 + 1) = h(1) + h(1) = 2h(1) =⇒ h(1) = 0.

Vamos agora calcular o caráter de Chern-Connes para o C∗-sistema dinâmico (Ψ0(S2), SO(3), α).Pela definição dada em 4.17 temos

Chτ : K0(A)⊕K1(A) −→ HparR (SO(3))

ou seja,Chτ : [(1, 1)]0Z⊕ [1, 0]Z2 ⊕ 0 −→ R

Como K1(A) é zero e, além disso, o único gerador cuja imagem não é nula é [1, 1], podemosescrever o caráter como

Chτ : [1, 1]0Z −→ R

Chτ ([1, 1]0) = τ(z).

60 O C∗-SISTEMA DINÂMICO (Ψ0CL(S2), S2, α)

Apêndice A

Grupo de Grothendieck

O Grupo de Grothendieck é uma maneira de gerar, a partir de um semigrupo abeliano S, umgrupo abeliano. A ideia é considerar um quociente do produto cartesiano S × S.

Seja (S,+) um semigrupo abeliano, isto é, a operação binária + : S × S −→ S é associativa ecomutativa. Considere a relação ∼ em S × S definida por

(x, y) ∼ (x, y)⇔ ∃z ∈ S tal que x+ y + z = x+ y + z.

A relação ∼ é baseada na regra do cancelamento e define uma relação de equivalência em S × S.Com isto podemos definir o conjunto quociente (S × S)/ ∼. Denotaremos tal conjunto por G(S),este será o grupo abeliano obtido através da construção de Grothendieck para o semigrupo abelianoS. O objetivo desta seção é definir uma operação e mostrar que G(S) é, de fato, um grupo.

Defina + : G(S)×G(S) −→ G(S) como:

[(x, y)] + [(z, w)] = [(x+ z, y + w)].

Lema A.1. A operação + : G(S)×G(S) −→ G(S) definida acima está bem definida.

Demonstração. Sejam (x′, y′), (z′, w′) ∈ S × S tais que (x′, y′) ∼ (x, y) e (z′, w′) ∼ (z, w). Calcule-mos a soma

[(x′, y′)] + [(z′, w′)] = [(x′ + z′, y′ + w′)] ∼ [(x+ z, y + w)].

A associatividade e a comutatividade em G(S) seguem das respectivas propriedades em S.Note agora que para quaisquer x, y ∈ S temos [(x, y)] + [(x, x)] = [(x, y)]. Logo G(S) possui comoelemento neutro 0G(S) = [(x, x)]. Por fim veja que que

[(x, y)] + [(y, x)] = [(x+ y, x+ y)] = 0G(S)

com isto, todo elemento possui oposto e −[(x, y)] = [(y, x)].

Definição A.2. A função γS : S −→ G(S) que faz x 7→ [(x + y, y)] é chamada de Função deGrothendieck.

61

62 APÊNDICE A

Repare que, como S é comutativo, γS é independente da escolha de y, pois [(x+y, y)] = [(x+z, z)]

quaisquer que sejam x, y ou z.

Observação A.3. A função de Grothendieck nos fornece uma maneira prática de escrever o grupo:

G(S) = γS(x)− γS(y) : x, y ∈ S

esta representação é a base para a representação padrão de K0, vista em 2.12. Para chegar narepresentação basta calcular

γS(x)− γS(y) = [(x+ y, y)]− [(y + x, x)]

= [(x+ y, y)] + [(x, y + x)]

= [(x+ y + x, y + y + x)]

= [(x, y)].

Apêndice B

Produto Tensorial e Derivada Exterior

Escreveremos aqui uma breve definição de produto tensorial e derivada exterior. Não temosa menor pretensão de esgotar esses temas, dando apenas suporte para o leitor que nunca tevecontato com tais conceitos. Aqueles que quiserem verificar os detalhes e aprofundar podem consultar[War13b].

Considere V e W espaços vetoriais sobre um corpo K1. Defina F(V,W ) como o espaço vetorialgerado por todos elementos de V ×W , isto é, F(V,W ) = spanV ×W. Defina R(V,W ) como osubespaço gerado por todas as combinações lineares naturais de F(V,W ), ou seja, gerado por

(v1 + v2, w)− (v1, w)− (v2, w)

(v, w1 + w2)− (v, w1)− (v, w2)

(av, w)− a(v, w)

(v, aw)− a(v, w)

onde v, v1, v2 ∈ V , w, w1, w2 ∈ W e a ∈ K. Definimos o produto tensorial de V e W como oquociente F(V,W )/R(V,W ).

Uma das propriedades mais importantes a respeito do produto tensorial é a Propriedade daAplicação Universal utilizada por [Coo15] para fazer a definição

V ×W V ⊗W

U

l

ϕ

Definimos o espaço tensorial Vr,s como o poduto tensorial

V ⊗ . . . V︸︷︷︸r

⊗V ∗ ⊗ . . . V ∗︸︷︷︸r

Definição B.1. Seja M uma variedade diferenciável, definimos o k-fibrado exterior sobre M comoo conjunto:

Ω∗k(M) =⋃m∈M

Ωk(M∗m).

Definição B.2. Seja d uma forma bilinear anti simétrica em Ω∗k(M). Chamaremos d de derivadaexterior. O conjunto de todas as derivadas exteriores de ordem p em m ∈ M será denotado porΩpm(M).

1para nossos objetivos K = C

63

64 APÊNDICE B

Referências Bibliográficas

[Bla86] Bruce Blackadar. K-theory for operator algebras, volume 5. Cambridge University Press,1986. 9, 50

[Con81] Alain Connes. An analogue of the thom isomorphism for crossed products of a C∗ algebraby an action of r. Advances in mathematics, 39(1):31–55, 1981. 37

[Con98] Alain Connes. Noncommutative geometry. Em Visions in Mathematics, páginas 481–559.Springer, 1998. 35

[Con01] Alain Connes. C∗ algebras and differential geometry. arXiv preprint hep-th/0101093,2001. iii, v, 1, 35

[Coo15] Bruce Cooperstein. Advanced linear algebra. Chapman and Hall/CRC, 2015. 63

[Cor87] Heinz Otto Cordes. Spectral theory of linear differential operators and comparison alge-bras, volume 76. Cambridge University Press, 1987. 55

[DC01] David Pires Dias e Cristina Cerri. O produto cruzado de C∗-álgebras por grupos medie-vais. 2001. 6

[Dia08] David P Dias. O caráter de chern-connes para c∗-sistemas dinâmicos calculado em al-gumas álgebras de operadores pseudodiferenciais. arXiv preprint arXiv:0808.0512, 2008.35, 37, 38, 39, 40, 41, 46, 47, 56, 58

[Exe02] Ruy Exel. Uma introdução às C∗-álgebras. Primeira Bienal de Matemática, MinasGerais, 2002. 3, 5

[Hat05] Allen Hatcher. Algebraic topology. , 2005. 3, 6, 8

[Hör85] Lars Hörmander. The analysis of linear differential operators iii. Grundlehren Math.Wiss, 274, 1985. 47

[Jac80] Nathan Jacobson. Basic algebra ii, ch. 9, 1980. 37

[Mel97] Severino T. Melo. Characterizations of pseudodifferential operators on the circle. Proce-edings of the American Mathematical Society, 125(5):1407–1412, 1997. 47

[Mel05] Severino T. Melo. Norm closure of classical pseudodifferential operators does not containhörmander’s class. Geometric Analysis of PDE and Several Complex Variables: Dedicatedto François Treves, 368:329, 2005. 47, 48, 52

[Mic08] Peter W Michor. Topics in differential geometry, volume 93. American MathematicalSoc., 2008. 35

[Mur14] Gerald J Murphy. C∗-algebras and operator theory. Academic press, 2014. 3, 5, 6

[POL] Lectures notes on the K-Theory of operator Algebras, author=Rainer Matthes, WojciechSzymański, journal=Notas de aula, year=2001. 29

65

66 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[RLL00] Mikael Rørdam, Flemming Larsen e N Larsen. An Introduction to K-theory for C∗-algebras, volume 49. Cambridge University Press, 2000. 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,18, 21, 23, 26, 27, 49, 57

[War13a] Frank W Warner. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, volume 94.Springer Science & Business Media, 2013. 51

[War13b] Frank W Warner. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, volume 94.Springer Science & Business Media, 2013. 63

[WO93] Niels Erik Wegge-Olsen. K-theory and C∗-algebras: a Friendly Approach, volume 1050.Oxford university press Oxford, 1993. 9, 45

Índice Remissivo

AÁlgebra, 3

Abeliana, 3com Unidade, 3de Matrizes, 5de Banach, 4Normada, 4

Aplicação de Bott, 24Aplicação do índice, 18Aplicação Exponencial, 26

Descrição Explícita, 27

BBott

Naturalidade, 25Definição, 24Periodicidade de, 26

CC*

Gerada, 5Subálgebra, 5

C* álgebra, 4C* sistema dinâmico, 37Caráter de Chern-Connes

Ímpar, 46Par, 44

Cone, 22Conexão, 38

de Levi-Civita, 38Curvatura, 39

DDiagrama Comutativo, 8

EExponencial

Definição, 26Naturalidade da, 26

GGrothendieck

Função de, 61Representação de, 62

HHomotopia, 6

IÍndice

Representação com isometria parcial, 20Definição, 18Naturalidade do, 18

Isometria parcial, 20

KK0

Cinde, 13Definição, 13Funtor, 11meio-exato, 12Propriedade Universal de, 11Construção para álgebras sem unidade, 13Construção para C∗-álgebras com unidade,

9Representação padrão com unidade, 10

K1

Cinde, 16Funtor, 15meio-exato, 16Propriedade Universal de, 15Construção, 14Definição, 15Funtoriedade, 15

Kn, 23

LLema dos Cinco, 8

MMayer-Vietoris, 29Murray-Von-Neumann, 10

PProduto Tensorial, 63

Aplicação Universal, 63Projeção, 9

Laço de, 24

67

68 ÍNDICE REMISSIVO

SSequência

Cindida, 7Exata Curta, 7

Sequência de seis termos, 27Soma Direta, 5Suspensão, 22

TTraço, 40

UUnitário, 14Unitização, 5

Lucas Santos de Sá - USP · Lucas Santos de Sá Dissertação apresentada ......

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