LOS POLIEDROS REGULARES

LOS POLIEDROSETIMOLOGICAMENTEEtimolgicamente, la palabra poliedro (oos) deriva de los trminos griegosos (mucho) y (plano).

CUERPOS SLIDOSUn cuerpo slido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.Los cuerpos geomtricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

POLIEDROSSon slidos limitados por caras en forma de polgonos.

Observa los siguientes poliedros.

Si los sitas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. Cules son?

A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cncavos y a los dems convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

POLIEDROS REGULARESSe les conoce con el nombre de slidos platnicos en honor a Platn (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qu poca llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitgoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.)

Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vrtices son del mismo orden.

SOLIDOS PLATNICOSLos slidos platnicos, son cuerpos geomtricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polgonos regulares iguales y en cuyos vrtices se unen el mismo nmero de caras.

Reciben estos nombres en honor del filsofo griego Platn (ca. 427 adC/428 adC 347 adC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Se les llegaron a atribuir incluso propiedades mgicas o mitolgicas; Timeo de Locri, en el dilogo de Platn dice El fuego est formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como an es posible una quinta forma, Dios ha utilizado sta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de lmite al mundo.

TETRAEDROFormado por tres tringulos equilteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparacin con su superficie. Representa el fuego. Est formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vrtices.

FUEGO

OCTAEDROFormado por ocho tringulos equilteros. Gira libremente cuando se sujeta por vrtices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Est formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vrtices.

AIRE

ICOSAEDROFormado por veinte tringulos equilteros. Es el tiene mayor volumen en relacin con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vrtices.

AGUA

HEXAEDRO O CUBOFormado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Est formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vrtices.

TIERRA

DODECAEDROFormado por doce pentgonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vrtices.

UNIVERSO

POLIEDROS EN LA VIDAOrnamentaciones, en farolas, lmparas, etc.

Los balones de ftbol han estado hechos siempre con 12 pentgonos y 20 hexgonos (icosaedro truncado), aunque hoy da se han cambiado por otra forma polidrica ms redondeada (el pequeo rombicosidodecaedro) que tiene 20 tringulos, 30 cuadrados y 12 pentgonosEn 1.996 se concedi el premio Nobel de Qumica a tres investigadores por el descubrimiento del fullereno cuya forma es un icosaedro truncado.Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonalesEl virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de IcosaedroLas clulas del tejido epitelial tienen forma de Cubos y Prismas

OTROS POLIEDROSTronco de pirmide.PirmidePrismas RombicosidodecaedroEsferaCilindroConoPoliedros duales

ELEMENTOS DE LOS POLIEDROSngulos diedrosDos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ngulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta comn a las dos caras se llama arista.

Si son tres planos los que se cortan, se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.

Al punto comn se le llama vrtice.

DESARROLLO DE LOS POLIEDROS

POLIEDROS NO REGULARESUn prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo en caso contrario.

La altura de un prisma ser el segmento de perpendicular a las bases comprendido entre estas.

Si la base del prisma es un tringulo, el prisma se llamar triangular; si es un cuadrado, se llamar cuadrangular, etc.

TriangularCuadrangularHexagonalPentagonalPIRMIDES

TriangularCuadrangularHexagonalPentagonalTRONCO DE PIRMIDESi cortamos una pirmide por un plano, obtenemos un tronco de pirmide, que ser recto u oblicuo, segn que el plano sea o no paralelo a la base. Fjate en que las caras laterales de un tronco de pirmide son trapecios y cuando ste es regular, entonces los trapecios son issceles iguales. Por otra parte, las bases son polgonos semejantes.

POLIEDROS DUALES

Tetraedro consigo mismoCubo y octaedroDodecaedro e IcosaedroCLASIFICACION DE POLIEDROSPoliedrosRegularesPrismasPirmidesTetraedroCubo o hexaedroOctaedroDodacaedroIcosaedroTriangularCuadrangularPentagonalHexagonalTriangularCuadrangularPentagonalHexagonalGRACIAS