Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Lois avec queues régulières et estimations des paramètres

Shuyan LIU

Laboratoire Paul Painlevé

Université des Sciences et Technologies Lille 1

MECANISME DE TRANSPORT DES COMETES DU NUAGE DE OORT

Lille, 29 Avril 2008

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Plan

1 Introduction

2 Analyse de α sur les perturbations

3 Méthode d'estimation (PPP)

4 Comparaison

5 Appendice

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Plan

1 Introduction

2 Analyse de α sur les perturbations

3 Méthode d'estimation (PPP)

4 Comparaison

5 Appendice

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Lois avec queues régulières

Dé�nition

La loi d'une variable aléatoire (v.a.) X dans R1 a la queue à

variation régulière (VR), si ∃σ: mesure �nie sur {−1, 1} t.q.

limr→∞

rαP{X > r} = σ(1), limr→∞

rαP{X < −r} = σ(−1),

σ s'appelle la mesure spectrale.

Remarques:

{−1, 1} est la sphère unité de R1, notée S .

σ(−1), σ(1) ≥ 0, σ(−1) + σ(1) = σ(S) > 0.

0 < α ≤ 2: X est strictement α-stable.

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Lois avec queues régulières

Dé�nition

La loi d'une variable aléatoire (v.a.) X dans R1 a la queue à

variation régulière (VR), si ∃σ: mesure �nie sur {−1, 1} t.q.

limr→∞

rαP{X > r} = σ(1), limr→∞

rαP{X < −r} = σ(−1),

σ s'appelle la mesure spectrale.

Remarques:

{−1, 1} est la sphère unité de R1, notée S .

σ(−1), σ(1) ≥ 0, σ(−1) + σ(1) = σ(S) > 0.

0 < α ≤ 2: X est strictement α-stable.

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Lois avec queues régulières

Dé�nition

La loi d'une variable aléatoire (v.a.) X dans R1 a la queue à

variation régulière (VR), si ∃σ: mesure �nie sur {−1, 1} t.q.

limr→∞

rαP{X > r} = σ(1), limr→∞

rαP{X < −r} = σ(−1),

σ s'appelle la mesure spectrale.

Remarques:

{−1, 1} est la sphère unité de R1, notée S .

σ(−1), σ(1) ≥ 0, σ(−1) + σ(1) = σ(S) > 0.

0 < α ≤ 2: X est strictement α-stable.

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Strictement α-stable

Dé�nition

Une v.a. X ∈ R1 est strictement α-stable (SαS) si ∀a, b > 0

a1/αX1 + b1/αX2d= (a + b)1/αX ,

où X1,X2: copies indépendantes de X ,d=: égalité en loi.

Exemples:

N (0, σ2) est SαS avec α = 2: a1/2X1 + b1/2X2 ∼ N (0, (a+ b)σ2).

La densité : p(x) = 1

2σ√πe−

(x−µ)2

4σ2 .

Cauchy(σ, µ) est SαS avec α = 1: p(x) = σπ((x−µ)2+σ2) .

Lévy(σ, µ) est SαS avec α = 1/2:

p(x) =(σ2π

)1/2 1

(x−µ)3/2exp

(− σ

2(x−µ)

).

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Strictement α-stable

Dé�nition

Une v.a. X ∈ R1 est strictement α-stable (SαS) si ∀a, b > 0

a1/αX1 + b1/αX2d= (a + b)1/αX ,

où X1,X2: copies indépendantes de X ,d=: égalité en loi.

Exemples:

N (0, σ2) est SαS avec α = 2: a1/2X1 + b1/2X2 ∼ N (0, (a+ b)σ2).

La densité : p(x) = 1

2σ√πe−

(x−µ)2

4σ2 .

Cauchy(σ, µ) est SαS avec α = 1: p(x) = σπ((x−µ)2+σ2) .

Lévy(σ, µ) est SαS avec α = 1/2:

p(x) =(σ2π

)1/2 1

(x−µ)3/2exp

(− σ

2(x−µ)

).

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Strictement α-stable

Dé�nition

Une v.a. X ∈ R1 est strictement α-stable (SαS) si ∀a, b > 0

a1/αX1 + b1/αX2d= (a + b)1/αX ,

où X1,X2: copies indépendantes de X ,d=: égalité en loi.

Exemples:

N (0, σ2) est SαS avec α = 2: a1/2X1 + b1/2X2 ∼ N (0, (a+ b)σ2).

La densité : p(x) = 1

2σ√πe−

(x−µ)2

4σ2 .

Cauchy(σ, µ) est SαS avec α = 1: p(x) = σπ((x−µ)2+σ2) .

Lévy(σ, µ) est SαS avec α = 1/2:

p(x) =(σ2π

)1/2 1

(x−µ)3/2exp

(− σ

2(x−µ)

).

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Paramétrisation

Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).

Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,

σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.

X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.

Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.

Relation avec la mesure spectrale σ:

σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).

Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).

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Paramétrisation

Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).

Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,

σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.

X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.

Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.

Relation avec la mesure spectrale σ:

σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).

Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).

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Paramétrisation

Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).

Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,

σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.

X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.

Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.

Relation avec la mesure spectrale σ:

σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).

Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).

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Paramétrisation

Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).

Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,

σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.

X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.

Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.

Relation avec la mesure spectrale σ:

σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).

Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).

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Paramétrisation

Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).

Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,

σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.

X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.

Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.

Relation avec la mesure spectrale σ:

σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).

Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).

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Paramétrisation

Fonction caractéristique: E exp iθX = exp(f (θ, α, β, σ, µ)).

Notation: X ∼ Sα(β, σ, µ)α ∈ (0, 2]: indice de stabilité, β ∈ [−1, 1]: paramètre de biais,

σ > 0: facteur d'échelle, µ ∈ R1: paramètre de translation.

X + a ∼ Sα(β, σ, µ+ a), aX ∼ Sα(sign(a)β, |a|σ, aµ), α 6= 1.

Quand α 6= 1, µ = 0 i� X est SαS.

Relation avec la mesure spectrale σ:

σ = (Cασ(S))1/α, β = (σ(1)− σ(−1))/σ(S).

Exceptions: S2(0, σ, µ) = N (µ, 2σ2), S1(0, σ, µ) = Cauchy(σ, µ),S0.5(1, σ, µ) = Lévy(σ, µ).

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Images des densités stables

Densités stables pour α variés avec β = 0 σ = 1 et µ = 0.

Densités stables pour β = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 avec α = 1.5, σ = 1

et µ = 0.

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Images des densités stables

Densités stables pour α variés avec β = 0 σ = 1 et µ = 0.

Densités stables pour β = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 avec α = 1.5, σ = 1

et µ = 0.

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2 Analyse de α sur les perturbations

3 Méthode d'estimation (PPP)

4 Comparaison

5 Appendice

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Une distribution des perturbations dans

l'espace

Plan des perturbations contenant 2, 4× 106 points avec la grille (20× 80).

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Résultat d'estimation des paramètres

Plots des α estimés. Plots des β estimés.

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Plan

1 Introduction

2 Analyse de α sur les perturbations

3 Méthode d'estimation (PPP)

4 Comparaison

5 Appendice

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Introduction Analyse de α sur les perturbations Méthode d'estimation (PPP) Comparaison Appendice

Construction d'estimateur

Regroupement d'échantillon

ξ1, . . . , ξm︸ ︷︷ ︸,Gm1 ,

ξm+1, . . . , ξ2m︸ ︷︷ ︸,Gm2 , ...,

ξ(n−1)m+1, . . . , ξnm︸ ︷︷ ︸Gmn .

En pratique on choisit m et n = [N/m], alors nm = [N/m]m ∼ N

quand N →∞.

Supposons n,m→∞ quand N →∞.

M(1)mi

= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi}, ‖ξmi‖ = M(1)mi

,

M(2)mi

= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi\{ξmi}}, i = 1, . . . , n.

θmi =ξmi‖ξmi‖

, i = 1, . . . , n.

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Construction d'estimateur

Regroupement d'échantillon

ξ1, . . . , ξm︸ ︷︷ ︸,Gm1 ,

ξm+1, . . . , ξ2m︸ ︷︷ ︸,Gm2 , ...,

ξ(n−1)m+1, . . . , ξnm︸ ︷︷ ︸Gmn .

En pratique on choisit m et n = [N/m], alors nm = [N/m]m ∼ N

quand N →∞.

Supposons n,m→∞ quand N →∞.

M(1)mi

= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi}, ‖ξmi‖ = M(1)mi

,

M(2)mi

= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi\{ξmi}}, i = 1, . . . , n.

θmi =ξmi‖ξmi‖

, i = 1, . . . , n.

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Construction d'estimateur

Regroupement d'échantillon

ξ1, . . . , ξm︸ ︷︷ ︸,Gm1 ,

ξm+1, . . . , ξ2m︸ ︷︷ ︸,Gm2 , ...,

ξ(n−1)m+1, . . . , ξnm︸ ︷︷ ︸Gmn .

En pratique on choisit m et n = [N/m], alors nm = [N/m]m ∼ N

quand N →∞.

Supposons n,m→∞ quand N →∞.

M(1)mi

= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi}, ‖ξmi‖ = M(1)mi

,

M(2)mi

= max{‖ξ‖ : ξ ∈ Gmi\{ξmi}}, i = 1, . . . , n.

θmi =ξmi‖ξmi‖

, i = 1, . . . , n.

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Construction d'estimateur

Estimateur de α

κmi =M

(2)mi

M(1)mi

, Sn =n∑i=1

κmi , α̂N =Sn

n − Sn.

Estimateur de σ(·)

σ̂N(·) =1

n

n∑i=1

δθmi(·).

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Construction d'estimateur

Estimateur de α

κmi =M

(2)mi

M(1)mi

, Sn =n∑i=1

κmi , α̂N =Sn

n − Sn.

Estimateur de σ(·)

σ̂N(·) =1

n

n∑i=1

δθmi(·).

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Resultats principaux

Théorème

(Davydov et al. 2000) Si ξ véri�e (VR) et Sn est dé�ni comme

précédent, alors

1

n

n∑i=1

M(2)mi

M(1)mi

p.s.−−−−→N→∞

α

1 + α.

Théorème

(Davydov et al. 2000) Si ξ véri�e (VR) et θmi est dé�ni comme

précédent, alors

θmi ⇒ σ quand m→∞,

pour chaque i .

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1 Introduction

2 Analyse de α sur les perturbations

3 Méthode d'estimation (PPP)

4 Comparaison

5 Appendice

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Comparaison avec la méthode de Hill

Plots des α estimés par PPP. Plots des α estimés par Hill .

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Analyse par histogramme

Histogramme des α estimés par PPP. Histogramme des α estimés par Hill .

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1 Introduction

2 Analyse de α sur les perturbations

3 Méthode d'estimation (PPP)

4 Comparaison

5 Appendice

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Vitesse de convergence optimale

Plot de (t, α̂N) et (t, β̂N) où t = logN m, (m = [Nt ]). Les lois réelles sont

S1.5(0, 1, 0),S0.5(−0.5, 1, 0).

On prend t = 0.4, la vitesse de convergence théorique est√n = N0.3. La taille

d'échantillon augmente de N1 = 500 à N25 = 106.

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Estimation avec grilles di�érentes

Estimation des α avec grille grande (20× 16). Estimation des α avec grille petite (40× 80).

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Plan Q07-15

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Plan Q15-25

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Plan Q25-32

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Merci de votre attention !!

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