Loi normale

1) La loi normale centrée réduite.

• La loi normale centrée réduite N (0, 1) est la loi de probabilité dont la densité est la fonction f définie par :

pour tout réel t, f(t) =1

√2π

e−t2

2 .

1 2 3−1−2−3−4

y = f(t)

1√

2π

0, 5

Remarque. Au cours des études post-bac, on sait démontrer que l’intégrale de Gauss

∫+∞

−∞

e−t2

2 dt est égale à√2π.

En divisant par√2π, on normalise :

∫+∞

−∞

1√2π

e−t2

2 dt = 1.

• La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est la fonction F définie par :

pour tout réel x, F(x) = p(X 6 x) =

∫x−∞

1√2π

e−t2

2 dt.

1

1 2 3−1−2−3−4

y = F(x)

0, 5

Pour tous réels a et b tels que a < b, on a p(a 6 X 6 b) =

∫ba

1√2π

e−t2

2 dt = F(b) − F(a).

1 2 3−1−2−3−4

y = f(t)

1√

2π

0, 5

a b

p(a 6 X 6 b) =

∫ba

1√2π

e−t2

2 dt = F(b) − F(a)

On ne sait pas exprimer les intégrales précédentes à l’aide des fonctions usuelles à disposition en terminale. Pour obtenirdes valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on dispose soit de la calculatrice, soit detables numériques fournies à la fin de certains livres.

• L’espérance de la loi normale centrée réduite est 0 (la loi est centrée) et l’écart-type de la loi normale centrée réduiteest 1 (la loi est réduite).

2) Théorème de Moivre-Laplace.

La loi normale approche la loi binomiale. Plus précisément :

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n, on considère une variable aléatoire Xn qui suit une loi binomiale

B(n, p) puis on considère Zn =Xn − np

√

np(1− p), la variable centrée réduite associée.

Alors, pour tous réels a et b tels que a < b

limn→+∞

p(

np + a√

np(1− p) 6 Xn 6 np+ b√

np(1 − p))

= limn→+∞

p(a 6 Zn 6 b) =

∫ba

1√2π

e−t2

2 dt.

c© Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

3) Loi normale : cas général.

• Une variable aléatoire X suit la loi N (µ, σ2) si et seulement si la variable aléatoireX− µ

σsuit la loi normale centrée

réduite N (0, 1).µ est l’espérance de N (µ, σ2), σ2 est sa variance et σ est son écart-type.

y=f(t)

(µ

4) Intervalle associé à une probabilité

Théorème. Soit X une variable aléatoire régie par la loi normale centrée réduite N (0, 1).Pour tout réel α ∈]0, 1[, il existe un réel strictement positif uα et un seul tel que p(−uα 6 X 6 uα) = 1− α.

1 2 3−1−2−3−4

y = f(t)

1√

2π

0, 5

−uα uα

p(−uα 6 X 6 uα) = 1− α

On doit connaître en particulier u0,05 = 1, 96 et u0,01 = 2, 58.

Inversement, pour une loi normale en général, on doit connaître les probabilités associées à des intervalles centrésautour de µ de rayon σ, 2σ ou 3σ :

Théorème. Soit X une variable aléatoire régie par une loi normale N (µ, σ2) de paramètres µ ∈ R et σ > 0.

p(µ− σ 6 X 6 µ+ σ) = 0, 683 p(µ−2σ 6 X 6 µ+2σ) = 0, 954 p(µ−3σ 6 X 6 µ+3σ) = 0, 997

µ − σ µ µ + σ

68, 3%

µ − 2σ µ µ + 2σ

95, 4%

µ − 3σ µ µ + 3σ

99, 7%

Conséquence. Si Xn est une variable aléatoire régie par une loi binomiale B(n, p) et si Zn =Xn − np

√

np(1− p)

limn→+∞

P(

np− uα

√

np(1− p) 6 Xn 6 np+ uα

√

np(1− p))

= limn→+∞

P(−uα 6 Zn 6 uα) = 1− α.

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