Loi Alpha Stable
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1 Notes et recherches personnelles : http://[email protected]
Distribution -stable
http://fordom.free.fr/ Notes et recherches personnelles
SOMMAIRE
Distribution -stable ..............................................................................2 DEFINITION ...................................................................................................................................... 2 NOTATION ....................................................................................................................................... 2 LES VARIATIONS DE TYPE ............................................................................................................ 4 FORME GENERALE POUR LEVALUATION DE LA DISTRIBUTION S1(,,,) .......................... 4 FORME GENERALE POUR LEVALUATION DE LA DISTRIBUTION S0(,,,) .......................... 5 LES FORMES EXPLICTES .............................................................................................................. 5 CONVERGENCE ASYMPTOTIQUE ................................................................................................ 6 DEVELOPPEMENT EN SERIE ........................................................................................................ 6
Estimation des paramtres de la distribution -stable.......................9 METHODE DE McCULLOCH ........................................................................................................... 9 METHODE PAR LE POINT MAXIMUM (Perso)............................................................................. 12
Simulation de variables alatoires -stable.......................................13 FORMULES DE CHAMBERS, MALLOWS, STUCK ...................................................................... 13
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2 Notes et recherches personnelles : http://[email protected]
Distribution -stable
DEFINITION
Une variable alatoire X est appel variable alatoire -stable si pour tout C1, C2 > 0, il existe C > 0 et d R tels que :
La fonction caractristique pour x > 0, 0 < 2, 1 1, et t R est dfinie par : [ ]
+
=
=
=
=
==
dtitXEexf
tsign
et
ttW
otWtsignttiitXEt
itx )(exp21)(
0 tsi 10 tsi 00 tsi 1
)(
1 si log2
1 si 2
tan),(
),()(1(exp)(exp)(
pi
pi
pi
On appelle : : exposant caractristique : paramtre d'chelle. : paramtre d'asymtrie. : paramtre de localisation.
NOTATION
Signifie que X est distribue selon une loi stable de paramtres , , , .
On note SS, la distribution centr et symtrique de variable alatoire X, soit =0 et =0.
PROPRIETE 1. Si X1 et X2 sont deux v.a. indpendantes avec :
Alors on a les relations suivantes :
dCXXCXCd
+=+ 2211
),,,( alors 1,2i ),,,,( 21 SXXSXd
iii
d
i =+==
21
1
2121
2211 ,)( ,
+=+=+
+=
),,,( SX d=
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PROPRIETE 2. Avec les proprits de translation de la moyenne et de la transposition du paramtre d'chelle, on a :
PROPRIETE 3. Invariance d'chelle. Si rf est le paramtre d'chelle calcul pour une unit de
rfrence, alors on a : 1
nrfn =
PROPRIETE 4. Ds que est strictement infrieur 2, la variance dune loi -stable est infinie. Ds que est strictement infrieur 1, cest aussi la moyenne qui devient infinie.
PROPRIETE 5. Moments fractionnaires d'ordre infrieur
Les moments du second ordre d'une v.a. avec 0 < < 2 n'existent pas, les moments d'ordre infrieur existent et s'appellent les moments fractionnaires dordre infrieur ou Fractionnary Lower Order Moment (FLOM).
Soit x une v.a qui suit S(, , , 0) alors :
Les moments fractionnaire positifs : [ ]
[ ]
+
=
+ 0 et ]0,1[, on a :
+
=
+
+
=
1
21
2
2)(
sin)(!
)1(1
2tan
)(k
k akxk
kx
xp pipi
pi
Pour x > 0 et ]1,2[, on a :
+
=
+
+
=
1
21
2
2)(
sin)(!
)1/(1
2tan
)(k
k akxk
kx
xp pipi
pi
Les valeurs pour x
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9 Notes et recherches personnelles : http://[email protected]
Estimation des paramtres de la distribution -stable
Plusieurs mthodes existent reposant soit sur une statistique d'ordre ou sur la fonction caractristique.
METHODE DE McCULLOCH
Mthode fonde sur les "quantiles" de la distribution, et qui fournit une estimation des paramtres aprs lecture dans des tables prtablies. Cette mthode est valable que pour > 0,6.
Estimation de :
On calcul d'abord les deux quantits V et V :
Puis, il suffit de lire une estimation de dans le tableau suivant :
V V 0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1
2,439 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,5 1,916 1,924 1,924 1,924 1,924 1,924 1,924 2,6 1,808 1,813 1,829 1,829 1,829 1,829 1,829 2,7 1,729 1,730 1,737 1,745 1,745 1,745 1,745 2,8 1,664 1,663 1,663 1,668 1,676 1,676 1,676 3 1,563 1,560 1,553 1,548 1,547 1,547 1,547
3,2 1,484 1,480 1,471 1,460 1,448 1,438 1,438 3,5 1,391 1,386 1,378 1,364 1,337 1,318 1,318 4 1,279 1,273 1,266 1,250 1,210 1,184 1,150 5 1,128 1,121 1,114 1,101 1,067 1,027 0,973 6 1,029 1,021 1,014 1,004 0,974 0,935 0,874 8 0,896 0,892 0,887 0,883 0,855 0,823 0,769 10 0,818 0,812 0,806 0,801 0,780 0,756 0,691 15 0,698 0,695 0,692 0,689 0,676 0,656 0,595 25 0,593 0,590 0,588 0,586 0,579 0,563 0,513
Remarque : (V,V) = (V,-V)
Approximation : (Perso) - On peut estimer les valeurs du tableau par la formule suivante :
( )21
21439,2ln4334,00123,01226,0
1
21
2 +
++
=
eVVV
Lerreur maximum est comprise entre 0,03 et -0,045.
05,095,0
50,005,095,0
25,075,0
05,095,0
2xx
xxxV
xx
xxV
+=
=
-
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Estimation de :
V V 0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1
2,439 0,000 2,160 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 2,5 0,000 1,592 3,390 1,000 1,000 1,000 1,000 2,6 0,000 0,759 1,800 1,000 1,000 1,000 1,000 2,7 0,000 0,482 1,048 1,694 1,000 1,000 1,000 2,8 0,000 0,360 0,760 1,232 2,229 1,000 1,000 3 0,000 0,253 0,518 0,823 1,575 1,000 1,000
3,2 0,000 0,203 0,410 0,632 1,244 1,906 1,000 3,5 0,000 0,165 0,332 0,499 0,943 1,560 1,000 4 0,000 0,136 0,271 0,404 0,689 1,230 2,195 5 0,000 0,109 0,216 0,323 0,539 0,827 1,917 6 0,000 0,096 0,190 0,284 0,472 0,693 1,759 8 0,000 0,082 0,163 0,243 0,412 0,601 1,596 10 0,000 0,074 0,147 0,220 0,377 0,546 1,482 15 0,000 0,064 0,128 0,191 0,330 0,478 1,362 25 0,000 0,056 0,112 0,167 0,285 0,428 1,274
Remarques : (V,V) = - (V,-V) et Les valeurs suprieurs 1 seront prises 1.
Approximation : (Perso) - ( ) 14389,2ln1483,23992,0
1
2
++
+=
eVVV
Estimation de :
0 0,25 0,5 0,75 1
2 1,908 1,908 1,908 1,908 1,908 1,9 1,914 1,915 1,916 1,918 1,921 1,8 1,921 1,922 1,927 1,936 1,947 1,7 1,927 1,93 1,943 1,961 1,987 1,6 1,933 1,94 1,962 1,997 2,043 1,5 1,939 1,952 1,988 2,045 2,116 1,4 1,946 1,967 2,022 2,106 2,211 1,3 1,955 1,984 2,067 2,188 2,333 1,2 1,965 2,007 2,125 2,294 2,491 1,1 1,98 2,04 2,205 2,435 2,696 1 2 2,085 2,311 2,624 2,973
0,9 2,04 2,149 2,461 2,886 3,356 0,8 2,098 2,244 2,676 3,265 3,912 0,7 2,189 2,392 3,004 3,844 4,775 0,6 2,337 2,635 3,542 4,808 6,247 0,5 2,558 3,073 4,534 6,636 9,144
Remarque : (,) = (,) Il suffit de calculer : ),(
25,075,0 xx =
Approximation : (Perso) - ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )908,11202,02071,003,02167,024,02106,0122,0
1,
234+++++
=
-
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Estimation de :
0 0,25 0,5 0,75 1 2 0 0 0 0 0
1,9 0 -0,017 -0,032 -0,049 -0,064 1,8 0 -0,03 -0,061 -0,092 -0,123 1,7 0 -0,043 -0,088 -0,132 -0,179 1,6 0 -0,056 -0,111 -0,17 -0,232 1,5 0 -0,066 -0,134 -0,206 -0,283 1,4 0 -0,075 -0,154 -0,241 -0,335 1,3 0 -0,084 -0,173 -0,276 -0,39 1,2 0 -0,09 -0,192 -0,31 -0,447 1,1 0 -0,095 -0,208 -0,346 -0,508 1 0 -0,098 -0,223 -0,383 -0,576
0,9 0 -0,099 -0,237 -0,424 -0,652 0,8 0 -0,096 -0,25 -0,469 -0,742 0,7 0 -0,089 -0,262 -0,52 -0,853 0,6 0 -0,078 -0,272 -0,581 -0,997 0,5 0 -0,061 -0,279 -0,659 -1,198
Remarque : (,) = (,)
On a lestimation du paramtre G = (,) + x0,50 , puis,
=
= 1,2
tan
1,
pi
siG
siG
Approximation : (Perso) -
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
++++
++=
267,012,022,0236,058,008,1223,058,03,1221,0075,0465,0,
23223
323423
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METHODE PAR LE POINT MAXIMUM ET PAR LE POINT PARTICULIER x= (Perso)
Mthode simple dans le cas o le point maximum et le point particulier x= de la distribution sont trs bien connus, ce qui ne pose aucun problme par le calcul de EVI. (voir Calcul de la distribution vraie par lobservation statistique).
En partant de la formule (3) et en remarquant que pour deux priodes de temps dobservation selon un processus de Wiener, on a : /1irf t= et irf tx = .
Sur une srie statistique centr sur les classes dtendu d, on a lestimation de la probabilit au point particulier x= du rsultat thorique :
(a)
12
tan
2tanarctan
1cos
11),(
21
2/1
pipi
pi
+
+
==
irf
iirf
t
ttxp
Dtermination de : : : :
),(),(
),(),(
max
max
/1
jj
ii
j
i
jjrf
iirftxptxp
t
t
ttxpttxp
=
=
=
Soit
=
=
=
),(),(ln
ln
),(),(
ln
ln
max
max
jj
ii
j
i
jjrf
iirf
j
i
txptxp
t
t
ttxpttxp
t
t
Lapproximation par le rapport des maximums est trs proche de celui des points particuliers x=.
Dtermination de :
On utilise la relation ci-dessus, en recherchant le rapport qui vrifie : ),(),(
),(),(
max
max
jj
ii
jj
ii
txptxp
tktxptktxp
=
=
On a alors : krf 2= .
De plus, par la formule prcdente : 1),(),( /1
=
=
=
i
j
jjrf
iirft
t
ttxpttxp
, donnant une indication sur la
prcision obtenue.
Dtermination de :
Si 1 on peut valuer de manire trs proche lapproximation suivante : pi
/1max ),(
11
iiirf
ttxp
+
Dtermination de :
On rsous lquation (a), soit :
02
tanarctan1
cos12
tan),(),( 2
12
max
=
+
= pi
pi
ii
iirftxp
ttxp
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Simulation de variables alatoires -stable
FORMULES DE CHAMBERS, MALLOWS, STUCK
- Gnrer une v.a. V uniforme sur [-pi/2 ; pi/2]
- Gnrer une v.a. W exponentielle de paramtre 1. On gnre d'abord une v.a. U uniforme sur [0,1[ puis on calcul : W=-ln(1-U ).
- Fabriquer la v.a. X donne par :
[ ]
+
+=
=
=
=
+
=
++=
V
VWVVX
B
A
WBVV
VBV
AX
pipi
pipi
pi
pipi
2
cos2lntan
22
: aon ,1Pour
2tanarctan
2tanarctancos1
2tan
o
))(cos()(cos
)(sin: aon ,1Pour
,
12/12
,
/)1(,
/1,
,
X est alors une variable alatoire de distribution S0(,,1,0).
On passe une variable alatoire Y de distribution S0(,,,) par :
=++
+=
1 si ln21 si
pi
X
XY
