Livro Ga a Pizarro Geometria
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Geometria Analtica no Espao1r ur n1
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Luiz B. Castanheira Maria de Lourdes P. Pizarro
Editora G.S.P. 3a Edio
Geometria Analtica no Espao
Editora G.S.P.R. 29 de Julho, 1221 Porto Ferreira SP Fone: (19) 581-1227
3a Edio
Geometria Analtica no Espao3 Edio
Luiz Batista CastanheiraGraduao: UFSCar Licenciatura em Matemtica Mestrado: UNESP Fundamentos da Matemtica Professor de Matemtica da Academia da Fora Area
Maria de Lourdes Pimentel PizarroGraduao: UNESP Rio Claro Licenciatura em Matemtica Mestrado: USP So Carlos Geometria Diferencial Professora de Matemtica da Academia da Fora Area
Todos os direitos reservados. Obra registrada no Escritrio de Direitos Autorais da Fundao Biblioteca Nacional sob o nmero 171.464, Livro 288, Folha 109. Proibida a reproduo desta obra, em todo ou em parte, por qualquer meio (eletrnico, qumico, mecnico, eletro-ptico, gravao, fotocpia, etc.) sem prvia autorizao dos autores.
Editora G.S.P.2003
Prefcio
O contedo deste livro destina-se a estudantes que estejam cursando a disciplina Geometria Analtica em um curso superior, podendo ser adotado como livro-texto. A sua linguagem simples, objetivando melhor eficcia no processo ensino-aprendizagem. So apresentados, ao final de cada item, exerccios resolvidos como exemplos, pr-requisito para a resoluo das listas de exerccios propostos, com as respectivas respostas, que aparecem ao final de cada tpico.
Os Autores
SUMARIO
1.Vetores .......................................................................................................................................................................1 Espao R3.................................................................................................................................................................1 1.1.Vetor ..................................................................................................................................................................2 1.2.Caractersticas de um Vetor ..............................................................................................................................3 1.2.1.Mdulo .....................................................................................................................................................3 1.2.2.Direo .....................................................................................................................................................3 1.2.3.Sentido......................................................................................................................................................3 1.3.Tipos de Vetor...................................................................................................................................................4 1.3.1.Vetor Nulo................................................................................................................................................4 1.3.2.Vetor Unitrio ..........................................................................................................................................4 1.3.3.Versor de um Vetor..................................................................................................................................4 1.3.4.Vetor Oposto ............................................................................................................................................5 1.4.Relaes entre Vetores......................................................................................................................................5 1.4.1.Vetores Iguais...........................................................................................................................................5 1.4.2.Vetores Colineares ...................................................................................................................................6 1.4.3.Vetores Coplanares ..................................................................................................................................6 1.4.4.ngulo entre dois Vetores .......................................................................................................................7 1.5.Adio de Vetores .............................................................................................................................................7 1.5.1.Adio de um Ponto com um Vetor.........................................................................................................8 1.5.2.Adio de Dois Vetores ...........................................................................................................................8 1.5.3.Propriedades da Adio ...........................................................................................................................9 1.5.4.Diferena entre Vetores .........................................................................................................................10 1.6.Multiplicao de um Nmero Real por um Vetor ..........................................................................................10 1.6.1.Caractersticas da Multiplicao de um Nmero Real por um Vetor....................................................10 1.6.2.Propriedades ...........................................................................................................................................12 Lista 1 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................15 1.7.Dependncia Linear ........................................................................................................................................18 1.7.1.Combinao Linear ................................................................................................................................18 1.7.2.Dependncia e Independncia Linear ....................................................................................................20 1.7.3.Condio de Paralelismo........................................................................................................................21 1.7.4.Condio de Coplanaridade ...................................................................................................................23 1.7.5.Teoremas de Dependncia Linear..........................................................................................................25 1.8.Base do R3 .......................................................................................................................................................28 1.8.1.Base Ortogonal do R3 .............................................................................................................................28 1.8.2.Base Ortonormal do R3 ..........................................................................................................................28 1.8.3.Base Cannica do R3 ..............................................................................................................................28 1.9.Coordenadas de um vetor em relao Base Cannica. ..........................................................................29 Lista 2 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................34 2.Produtos de Vetores ...............................................................................................................................................38 2.1.Produto Escalar em R3 ..............................................................................................................................38 2.1.1.Propriedades do Produto Escalar ...........................................................................................................38 2.2.ngulos Diretores de um Vetor ................................................................................................................42 2.3.Cossenos Diretores....................................................................................................................................43 2.4.Vetor Projeo...........................................................................................................................................45 Lista 3 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................47 2.5.Produto Vetorial ........................................................................................................................................50 2.5.1.Propriedades do Produto Vetorial..........................................................................................................52 2.5.2.Aplicao Geomtrica do Produto Vetorial - rea ...............................................................................54 Lista 4 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................57
2.6.Produto Misto............................................................................................................................................60 2.6.1.Propriedades do Produto Misto..............................................................................................................61 2.6.2.Aplicao Geomtrica do Produto Misto - Volume ..............................................................................62 2.6.3.Volume da Pirmide...............................................................................................................................64 Lista 5 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................66 3.Retas No Espao .....................................................................................................................................................68 3.1.Equao da Reta ..............................................................................................................................................68 3.1.1.Equao Vetorial da Reta.......................................................................................................................68 3.1.2.Vetor Diretor ..........................................................................................................................................69 3.1.3.Equaes Paramtricas da Reta .............................................................................................................70 3.1.4.Equaes Simtricas da Reta .................................................................................................................71 3.1.5.Equaes Reduzidas da Reta .................................................................................................................77 Lista 6 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................79 3.2.ngulo entre Duas Retas...........................................................................................................................85 Lista 7 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................87 3.3.Posies Relativas entre Duas Retas.........................................................................................................88 3.3.1.Condio de Coplanaridade ...................................................................................................................88 Lista 8 de Exerccios Propostos ......................................................................................................................93 4.Planos no Espao ..................................................................................................................................................100 4.1.Equao Geral do Plano..........................................................................................................................100 Lista 9 de Exerccios Propostos ....................................................................................................................108 4.2.Plano que passa pela Origem ..................................................................................................................112 4.3.ngulo entre dois Planos ........................................................................................................................112 4.4.Posicionamento de um Plano em relao aos Eixos e Planos Coordenados..........................................113 4.4.1.Planos Paralelos aos Eixos Coordenados ............................................................................................114 4.4.2.Planos Paralelos aos Planos Coordenados ...........................................................................................115 4.5.Posicionamento entre Planos ..................................................................................................................118 4.5.1.Planos Paralelos ...................................................................................................................................118 4.5.2.Planos Perpendiculares ........................................................................................................................119 Lista 10 de Exerccios Propostos ..................................................................................................................121 5.Posicionamento entre Retas e Planos.....................................................................................................................124 5.1.ngulo entre Reta e Plano ............................................................................................................................124 5.2.Reta Perpendicular ao Plano .........................................................................................................................125 5.3.Reta Paralela ao Plano...................................................................................................................................126 5.4.Reta Interseco de Dois Planos ...................................................................................................................128 5.5.Interseco entre Reta e Plano ......................................................................................................................131 5.6.Interseco de um Plano com os Eixos Coordenados........................................................................................133 5.7.Interseco de um Plano com os Planos Coordenados............................................................................................135 Lista 11 de Exerccios Propostos ..................................................................................................................137 6. Distncias .............................................................................................................................................................145 6.1. Distncia de um Ponto a uma Reta ..............................................................................................................145 6.2. Distncia de um Ponto a um Plano ..............................................................................................................146 6.3. Distncia entre Retas....................................................................................................................................148 6.3.1. Retas Concorrentes .............................................................................................................................148 6.3.2. Retas Paralelas ....................................................................................................................................149 6.3.3. Retas Reversas ....................................................................................................................................150 6.4. Distncia entre Planos ..................................................................................................................................152 6.5. Distncia de uma Reta a um Plano ..............................................................................................................153 Lista 12 de Exerccios Propostos ..................................................................................................................154
Vetores
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1.VetoresEspao R33
Para trabalharmos no espao R , fixamos um sistema de eixos coordenados ortogonais Ox, Oy e Oz, respectivamente, eixo das abcissas, das ordenadas e das cotas, conforme figura abaixo. z z0
A(x0,y0,z0)
O x0 x
y0
y
Fixado tal sistema, cada ponto AR ser representado por uma terna ordenada de nmeros reais A(x0,y0,z0), sendo x0, y0 e z0, respectivamente, as projees ortogonais de tal ponto sobre o eixo das abcissas Ox, das ordenadas Oy e das cotas Oz.
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Vetores
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Exemplo Os pontos A(1,2,3), B(1,0,3), C(0,2,3), D(1,2,0), E(1,0,0), F(0,2,0), G(0,0,3) e O(0,0,0) tm a seguinte representao geomtrica no R3:
z 3 B G A C
O 1 E D
F 2
y
x
1.1.Vetor um ente geomtrico que possui como caractersticas: mdulo, r direo e sentido. Algebricamente, um vetor u pode ser obtido pela
diferena de dois pontos, ou seja, dados os pontos A(x0,y0,z0) e B(x1,y1,z1), o vetorr u = AB = B A = (x1 x0, y1 y0, z1 z0)
Geometricamente,
B(x1,y1,z1)
r uAB = (x1 x0, y1 y0, z1 z0)
A(x0,y0,z0)
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1.2.Caractersticas de um Vetor1.2.1.Mdulor O mdulo de um vetor u = (a,b,c), definido pelos pontos A(x0,y0,z0)
e B(x1,y1,z1), nada mais do que a distncia entre esses pontos, sendo calculado pela seguinte expresso:r u = a2 + b2 + c2 = ( x1 x 0 ) 2 + ( y1 y0 ) 2 + ( z1 z0 ) 2
Exemplosr 1) O mdulo do vetor u = (1,2,3) r u = 12 + 22 + 32 = 14 .
2) Dados os pontos A(1,2,3) e B(1,-2,4), o mdulo do vetor AB
AB = (1 1) 2 + (2 2) 2 + (4 3) 2 = 17 .
1.2.2.Direor Dado o vetor u = AB , sua direo coincide com a da reta que passa por A e B.
1.2.3.SentidoO sentido de um vetor depende dos pontos tomados como origem e
extremidade, ou seja, o vetor AB tem sentido oposto ao do vetor BA ,analiticamente, AB = BA .
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ExemploSe A(1,3,4) e B(2,1,0), ento AB = B A = (2 1, 1 3, 0 4) = = (1, 2, 4) e BA = A B = (1 2, 3 1, 4 0) = (1, 2, 4).
1.3.Tipos de VetorApresentamos, a seguir, alguns vetores especiais, juntamente com as suas definies.
1.3.1.Vetor Nulo o nico vetor que no possui direo e sentido definidos, sendo seu
mdulo igual a zero e sua representao algbrica dada por r 0 = (0,0,0 ) 1.3.2.Vetor Unitrio r Um vetor u unitrio quando seu mdulo igual a unidade, ou r seja, u = 1 . Exemplo
r 2 2 r 2 2 O vetor u = ( , ,0) unitrio, pois u = + + 0 = 1. 2 2 4 41.3.3.Versor de um Vetor r Dado o vetor u , seu versor um vetor unitrio com a mesma r r u direo e o mesmo sentido de u . r w r u =5 r v
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r Observe que v = r somente v versor de
r r r w = 1, ou seja, v e w so vetores unitrios mas, r u , em funo de seu sentido.
1.3.4.Vetor Opostor r Dado um vetor u = AB , o seu vetor oposto u = BA tem o r r mdulo e a direo de u e, o seu sentido contrrio ao sentido de u . r ur u
r r Algebricamente, se u = (a,b,c), seu oposto ser u = (a,b,c).
1.4.Relaes entre VetoresEstudaremos neste tpico algumas relaes entre dois ou mais vetores, tais como: igualdade, paralelismo, coplanaridade e outras.1.4.1.Vetores Iguais r r Dois vetores u = (a, b, c) e v = (d, f, g) so iguais se, e somente se,
possuem o mesmo mdulo, a mesma direo e o mesmo sentido. Algebricamente, r r u = v se, e somente se, a = d, b = f e c = g.
Por essa definio de igualdade, conclumos que dois vetores podem ser iguais mesmo sendo determinados por diferentes pontos, ou seja, um vetor pode ser movimentado no espao, desde que no se altere o seu mdulo, a sua direo e o seu sentido.
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Exemplo Determine os valores de x, y e z, para que os vetores r r u = (2x 1, 3y, 4) e v = (5, 6, 2z) sejam iguais. Resoluo: De acordo com a definio, basta igualarmos as coordenadas
correspondentes: 2x 1 = 5 x = 3 3y = 6 y = 2 4 = 2z z = 21.4.2.Vetores Colineares r r Dois vetores u e v so ditos colineares (ou paralelos) quando
possuem a mesma direo.a)r u
r v
b)
r u r v
Caso contrrio, os vetores so ditos no-colineares (no paralelos).1.4.3.Vetores Coplanares r r r Trs vetores u , v e w so ditos coplanares quando suas direes
so paralelas a um mesmo plano.
r u
r v
r w
Vetores
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Caso contrrio, os vetores no paralelos a um mesmo plano, so ditos no-coplanares.r u
r v
r w
1.4.4.ngulo entre dois Vetores r r Dados dois vetores u e v , o ngulo entre eles o menor ngulo
formado, quando suas origens coincidem. Geometricamente, temos r ur v
Notao: r r = ang ( u , v )
Observe que o ngulo tem sua variao definida por 0 rd.
1.5.Adio de VetoresA adio de dois vetores um vetor, ou seja, a adio de vetores possui a propriedade do fechamento. Antes de definirmos essa operao, apresentaremos a adio de um ponto com um vetor que tem como resultado um ponto.
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1.5.1.Adio de um Ponto com um Vetorr Dado um ponto A(x0, y0, z0) e um vetor u = (a, b, c), o resultado da
adio de ambos um segundo ponto B, obtido algebricamente por r A + u = (x0 + a, y0 + b, z0 + c), r localizado na extremidade de u , quando sua origem coincide com A.r u = (a , b, c )
B(x0 + a, y0 +b, z0 +c)
A(x0, y0, z0)1.5.2.Adio de Dois Vetores r r Dados dois vetores u = (a , b, c ) e v = (d, e, f ) , define-se a sua soma
por:
r r u + v = (a + d, b + e, c + f ) Geometricamente, dadosr u = (a , b, c ) r v = (d, e, f )
B(x0+a,y0+b,z0 +c)r u
r v
C(x0+a+d,y0+b+e,z0+c+f)
r r u+v
A(x0,y0,z0)
Vetores
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Efetuando-se, algebricamente, a diferena entre os pontos C e A, obtm-se as coordenadas do vetor soma r r AC = C A = u + v = (a + d, b + e, c + f)Exemplo r r r r Dados os vetores u = (1,2,3) e v = ( 2,5,7 ) , determine u + v . Resoluo:
r r u + v = (1 2, 2 + 5, 3 7) = (1, 7, 4)
1.5.3.Propriedades da Adio r r r 3 Dados os vetores u , v e w em R , as seguintes propriedades se
verificam: r r r 1) u + 0 = u (elemento neutro) r r r r 2) u + v = v + u (comutativa)
r u
r v
r r v+u r r u+v r u
r v
r r r r r r 3) (u + v) + w = u + ( v + w ) (associativa)r v
r u
r r u+v
r r v+w
r w
r r r r r r ( u + v) + w = u + ( v + w )
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r r r 4) u + ( u ) = 0 (elemento oposto)r u r u
1.5.4.Diferena entre Vetores r r r r Dados dois vetores u e v , a diferena entre eles u v obtida r r r r r r efetuando-se a adio de u com o oposto de v , ou seja, u v = u + ( v ).
Geometricamente, r vr r uv r u r v r r uv
1.6.Multiplicao de um Nmero Real por um Vetorr 3 Dados o vetor u = (a,b,c) em R e R, define-se o produto entre
eles por:r u = (a, b, c)
Exemplo r r Dados o vetor u = (2, 1,7) e o escalar = 3, temos u = (6, 3, 21). 1.6.1.Caractersticas da Multiplicao de um Nmero Real por um Vetorr Dados um nmero real e um vetor u = (a, b, c), as seguintes
caractersticas se verificam:
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r r r mdulo de u = u = u r r De fato, u = (a , b, c) = 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) = u
r r direo de u a mesma de u , se 0 .r r r sentido de u o mesmo de u se > 0 , contrrio ao de u se < 0 e
indefinido se = 0 .
Geometricamente, r u r u, > 1 r u, 0 < < 1 r u , < 1 r u , 1 < < 0 Exemplo r Determine o versor de u = (2, 1, 0). Resoluo: De acordo com as caractersticas da multiplicao de um nmero r real por um vetor, para calcularmos o versor de u , basta determinarmos r r r > 0, tal que u = 1. Mas, u = u = 1, de onde obtemos que
r 1 = r .Portanto, a expresso do versor de u u
1 r r u. u
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r r No caso, tomando v como sendo o versor de u , temos:
r v=
1 2 2 + ( 1) 2 + 0
(2,1,0) =
2 5 5 5 (2,1,0) = ( , ,0 ) 5 5 5
1.6.2.Propriedades
r r 3 Dados e nmeros reais e u, v R , as seguintes propriedades severificam:r r 1) ( u ) = () u r r r 2) ( + ) u = u + u r r r r 3) ( u + v ) = u + v r r 4) 0u = 0 r r 5) 1u = u
Exemplos 1) Dados dois pontos A(1, 3, 1) e B (2, 5, 3), determine o ponto
P(x, y, z), tal que AP = PB .Resoluo: De acordo com as coordenadas dos pontos A, B e P, temos:
AP = P A = (x + 1, y + 3, z 1) = PB = B P = (2 x, 5 y, 3 z) x + 1 = 2 x 2x = 1 x = 1 / 2 y + 3 = 5 y 2y = 2 y = 1 z 1 = 3 z 2 z = 2 z = 1 A Portanto, o ponto pedido P(1/2,1,1). B P(observe que P o ponto mdio do segmento AB)
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2) Dados os pontos A(1,2,3) e B(3, 2,0), determine o ponto P tal queAP = 5 AB .
Resoluo: Tomando o ponto P(x,y,z), obtemos:AP = P A = (x 1, y 2, z 3) e AB = B A = (3 1, 2 2, 0 3) = (2, 4, 3)
Usando a igualdade dada AP = 5 AB , temos: (x 1, y 2, z 3) = (10, 20, 15) x 1 = 10 y 2 = 20 x = 11, y = 18 e z = 12 P(11, 18, 12) z 3 = 15 r r r 3) Determine o vetor v , dados u = (3,7,1), w = (2,5,4) e sabendo-se que r r r r u+ 2v = wv.
Resoluo: De acordo com a equao vetorial dada, obtemos:r r r r r r r r 1 r r u + 2v = w v 3v=w u v= (w u ) 3
Substituindo-se as coordenadas dos vetores:r 1 1 1 v = [(2,5,4) (3,7,1)] = (2 3, 5 7, 4 1) = (1, 2, 3) = (1/3, 2/3, 1) 3 3 3 r r r r 4) Encontre os nmeros e tais que w = u + v , dados u = (1,2,1), r r v = (1,2,4) e w = (3,6,9).
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Resoluo: Inicialmente, substitumos as coordenadas dos vetores na equao r r r vetorial w = u + v :
(3, 6, 9) = (1, 2, 1) + (1, 2, 4) = (, 2, 1) + (, 2, 4) = + = 3 = (+, 2+2, 4) 2 + 2 = 6 4 = 9 Resolvendo tal sistema, encontramos = 1 e = 2.
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Lista 1 de Exerccios Propostos r r r r r 1. Determine o vetor w na igualdade 5 w + 3 u = 2 v + w , dados r r u = (2,3,1) e v = (1,5,2). Res.: (2,1/4,7/4)r r r 2. Encontre e , nmeros reais, tais que w = u + v , sendo dados r r r u = (2,3,1), v = (1,2,3) e w = (0,7,5).
Res.: = 1 e = 2 3. Dados os pontos A(1,2,4), B(3,2,3) e C(2,1,1), encontre as
coordenadas do ponto D que juntamente com A, B e C determinam um paralelogramo.Res.: D(0,1,0) 4. Dados os pontos A(1,2,3), B(4,2,4) e C(4,5,0), encontre o ponto D, tal
que AB = CD .Res.: D(7,1,1)r r r 5. Dados os vetores u = (3,1,4) e v = (1,2,2), determine o vetor w tal r r r r que 3( u v ) = v + w . r Res.: w = (13,11,4)
6. Determine o ponto mdio M do segmento de reta que tem como
extremos A(2,3,1) e B(4,5,2).Res.: M(3,1,1/2) 7. Calcule a distncia entre os pontos A(3,3,7) e B(2,6,8). Res.: 11 u.c.
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r r r 8. Sendo u = (1,2,3), v = (2,1,3) e w = (1,2,4), determine r r r a) 2 u 3 v + w r b) o versor de v r r c) u + w
Res.: a) (3, 5, 7)
1 r 14 14 3 14 b) r v = 7 , 14 , 14 v
r r c) u + w =
5
r r 9. Sendo A(1,7,4) e u = (3,4,5), encontre B(x, y, z) tal que AB = 3u .
Res.: B(10,19,19) 10. Determine o simtrico de A(3,1,5) em relao ao ponto B(1,1,2). Res.: P(1,1,9)r 11. Determine as coordenadas do versor do vetor u = (3,4,0).
Res.: (3/5, 4/5, 0) 12. Encontre o mdulo dos vetores: r a) u = (2,1,2) r b) v = (1,2,5) r c) w = (2,3,0) r r v Res.: a) u = 3; b) v = 30 ; c) w = 13 13. Dados A(2,3,4) e B(2,5,6), determine o vetor AB e seu mdulo. Res.: AB = (0,2,2) e AB = 2 2 r r r r r 3 14. Dado u = (2,1,0), determine o vetor x , no espao R , tal que 2 x + 3 u = 0 . r Res.: x = (3,3/2,0) r r r 15. Determine o vetor v , sabendo-se que (3,7,1) + 2 v = (6,10,4) v . r Res.: v = (1,1,1)
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r r r 16. Dados os vetores u = (3,2,1), v = (1,3,0) e w = (1, 0, 1), determine o r r r r r r mdulo do vetor 2 u + v w e o versor do vetor 3 u + 2 v + w .
4 17 17 r r r ,0, Res.: I2 u + v w I = 114 e o versor tem coordenadas ( ) 17 17 17. Determine o ponto P localizado no eixo das abcissas e eqidistante dos pontos A(2,3,1) e B(2,1,1). Res.: P(1,0,0)18. Dados os pontos A(1,2,3), B(6,2,3) e C(1,2,1), determine o versor do vetor 3 BA 2 BC . Res.: (7/9,4/9,4/9) r r r 19. Encontre os nmeros reais e , tais que w = u + v , sendo r r r u = (1,2,1), v = (2,0,4) e w = (4,4,14). Res.: = 2 e = 3 20. Mostre que os pontos A(1,2,3), B(4,3,1), C(5,7,3) e D(2,2,1) so
vrtices de um paralelogramo.21. Qual o permetro do tringulo determinado pelos pontos A(1,2,3),
B(3,3,1) e C(2,1,7)?Res.: (3 + 110 + 93 ) u.c.
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1.7.Dependncia Linear1.7.1.Combinao Linear
Essa definio fundamental para que se possa chegar definio de base e, a partir dela, escrevermos qualquer vetor do R3 em funo de trs vetores fixos.r r r 3 Um vetor u em R dito combinao linear dos vetores v1 , v 2 , ...,
r 3 v n R se, e somente se, existirem escalares t1, t2, ..., tn R, tais que r r r r u = t 1 v1 + t 2 v 2 + ... + t n v n
Exemplo r Verifique se o vetor u = (1,2,3) combinao linear dos vetores r r r v1 = (1,1,1), v 2 = (1,1,0) e v 3 = (1,0,0). Resoluo: Seguindo exatamente a definio de combinao linear, temos: r r r r u = xv1 + yv 2 + zv 3
Substituindo-se as coordenadas dos vetores, obtemos (1,2,3) = x (1,1,1) + y (1,1,0) + z (1,0,0) = = (x ,x, x) + (y ,y ,0) + (z, 0, 0) = (x + y + z , x + y, x)
x + y + z = 1 Pela igualdade entre vetores, obtemos o sistema: x + y = 2 x=3 que tem como soluo: x = 3, y = 1 e z = 1.
Vetores
19
r r r r Podemos ento concluir que u combinao linear de v1 , v 2 e v 3 , r r r r sendo u = 3v1 v 2 v 3 .
Contra-exemplo r r O vetor u = (1,2,3) no combinao linear dos vetores v = (1,1,1), r r w = (3,1,0) e s = (1,5,4). Resoluo: r r r r De fato, escrevendo u como combinao linear de v , w e s ,
teremos: (1,2,3) = x (1,1,1) + y (3,1,0) + z (1,5, 4) =
x + 3y z = 1 = (x + 3y z, x y 5z, x 4z) x y 5z = 2 x 4z = 3 Da equao (c), obtemos x = 4z + 3.
( a) ( b) ( c)
Substituindo-se essa expresso nas equaes (a) e (b), chegamos ao seguinte sistema:y + z = 1 3y + 3z = 2 de onde obtemos que 3 = 2, multiplicando-se a primeira equao por 3, um r absurdo. Portanto, podemos concluir que o vetor u no combinao linear r r r dos vetores v, w e s.
Vetores
20
1.7.2.Dependncia e Independncia Linear r r r 3 Os vetores v1 , v 2 ,...v n R so Linearmente Dependentes (L.D.)se, e somente se, existirem escalares t1, t2, ... , tn R, no todos nulos, tais que
r r r r t 1 v1 + t 2 v 2 + ... + t n v n = 0 Caso contrrio, para que se verifique a equao vetorial, obrigatoriamente, t1 = t2 = ... = tn = 0, os vetores so ditos LinearmenteIndependentes (L. I.). Exemplo Estude a dependncia linear dos seguintes de vetores: r r r a) v = (1,2,1), u = (2,1,0) e w = (2,9,4) r r r b) v = (1,0,1), u = (1,1,0) e w = (0,1,0) Resoluo: a) Em primeiro lugar, montamos a equao vetorial dada na definio de
dependncia linear: r r r r xv + yu + zw = 0 r r r Substituindo-se as coordenadas dos vetores v, u e w , temos: x (1,2,1) + y (2,1,0) + z (2,9,4) = (0,0,0) x + 2 y + 2 z = 0 (x, 2x, x) + (2y, y, 0) + (2z, 9z, 4z) = (0, 0, 0) 2 x y + 9 z = 0 x + 4z = 0 Resolvendo-se tal sistema, obtemos:
Vetores
21
x = 4z 2 (4z) y + 9z = 0 y = z ou seja, existem infinitas solues para tal sistema. Em particular, ao tomarmos z = 1 0, teremos: y = 1 0 e x = 4 0 r r r Podemos ento concluir que os vetores v, u e w so L. D.
b) Inicialmente, montamos a equao vetorial: r r r r xu + yv + zw = 0 x (1, 0, 1) + y (1, 1, 0) + z (0, 1, 0) = (0, 0, 0) x + y = 0 de onde obtemos o sistema homogneo y + z = 0 x=0 Resolvendo tal sistema, chegamos a x = y = z = 0, soluo nica, de r r r onde conclumos que os vetores v, u e w so L. I.
1.7.3.Condio de Paralelismo r r Dois vetores u = (a, b, c) e v = (d, e, f) so paralelos se, e somente r r se, existe um , real no nulo, tal que u = v .Dessa forma, as seguintes relaes entre as coordenadas dos vetores devem ser observadas: a = d b = e c = fr r de onde se obtm a condio de paralelismo entre os vetores u e v :
a b c = = d e f
Vetores
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Obs.:Se uma das coordenadas de um dos vetores for nula, ento, a sua correspondente, no outro vetor, tambm dever ser nula.
Exemplos1 3 r r 1) Os vetores u = (1,3,0) e v = (4,12,0) so paralelos dado que: = e 4 12 r r a terceira coordenada de ambos nula. J w = (2,6,1) e s = (1,3,0) no so, pois embora 2 6 = , 1 0. 1 3
r r 2) Determine a e b de modo que os vetores u = (4,1,3) e v = (6,a,b)
sejam paralelos.
Resoluo: Usando a condio de paralelismo, temos:
9 4 1 3 3 , de onde conclumos que a = e b= = = 2 2 6 a b3) Verifique se so colineares os pontos: a) A(1,5,0), B(2,1,3) e C(2,7,1) b) D(2,1,1), E(3,1,0) e F(1,0,4) Resoluo: Dados trs pontos, eles so colineares quando os dois vetores por
eles determinados forem paralelos. Assim, temos:a)AB = B A = (2 + 1, 1 + 5, 3 0) = (3, 6, 3)
AC = C A = (2 + 1, 7 + 5, 1 0) = (1, 2, 1)
Vetores
23
Aplicando a condio de paralelismo em AB e AC , temos: 3 6 3 = = e a igualdade verificada. Portanto, os vetores AB 1 2 1 e AC so paralelos e, conclumos que os pontos A, B e C so colineares.
b) seguindo o mesmo procedimento utilizado em a), temos:DE = E D = (1, 2, 1) e EF = (2, 1, 4) mas, substituindo-se as
coordenadas dos vetores na condio de paralelismo, obtemos:1 2 1 1 4 2
Dessa forma, os vetores DE e EF no so paralelos e os pontos D, E e F no so colineares.1.7.4.Condio de Coplanaridade
claro que dois vetores so sempre coplanares pois, sempre possvel desloc-los para um mesmo plano. r r r 3 Dados trs vetores u = (a,b,c), v = (d,e,f) e w = (g,h,i), em R , a condio necessria e suficiente para que eles sejam coplanares a b c d e f =0 g h i
Exemplos r r r 1) Verifique se os vetores u = (1,2,1), v = (2,0,1) e w = (1,1,0) so
coplanares.
Vetores
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Resoluo: Basta tomarmos a condio de coplanaridade e nela substituir as r r r coordenadas dos vetores u , v e w :
1 2 1 2 0 1 = 3 0 . Portanto, tais vetores no so coplanares. 1 1 0 r r r 2) Verifique se os vetores u = (1,2,3), v = (2,0,1) e w = (0,4,7) so coplanares.Resoluo: Usando a condio de coplanaridade, obtemos:
1 2 3 2 0 1 = 0, concluindo que os vetores so coplanares. 0 4 7
3) Verifique se os pontos A(1,0,1), B(1,1,0), C(1,1,1) e D(2,3,1) so vrtices
de um tetraedro. AResoluo: Para que os quatro pontos
determinem um tetraedro, conforme figura, eles no podem ser coplanares, o que equivalente a afirmar que os vetores CAB , AC e AD tambm no devem ser coplanares.
D B
Aplicando-se a condio de coplanaridade aos trs vetores,
Vetores
25
AB = B A = (0,1,1), AC = C A = (0,1,0) e AD = D A = = (1,3,0),
temos:
0 1 1 0 1 0 = 1 0 1 3 0 Portanto, os vetores no so coplanares, o que implica que os pontos
A, B, C e D so vrtices de um tetraedro.1.7.5.Teoremas de Dependncia Linear
Apresentamos agora, alguns teoremas referentes a dependncia e independncia linear de vetores em R .Teorema 1 O vetor nulo linearmente dependente.3
Prova:r r Dado um t R, qualquer, bvio que t 0 = 0 , ou seja, o vetor nulo
L.D., pois podemos tomar t 0. Em decorrncia desse teorema, podemos afirmar que qualquer vetor r 3 r em R , u 0 , L.I.Teorema 2
r r 3 Em R , dois vetores u e v so L.D. se, e somente se, forem
paralelos. Prova:
r r r 3 r Dados dois vetores u , v R , u paralelo a v se, e somente se, r r existe um t R, tal que u = tv .
Vetores
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r r r r r r r r Supondo u 0 v , u = tv 1u tv = 0, uma combinao linear do r vetor nulo com coeficiente de u igual a 1 0, de onde conclumos que r r u e v so L.D. r r r r Se um dos vetores for nulo, u = 0 ou v = 0, na equao vetorial r r r xu + yv = 0 claro que x 0 ou y 0 , de onde conclumos que os vetores r r u e v so L.D.
Teorema 3
r r r 3 Trs vetores u, v e w em R so L.D. se, e somente se, foremcoplanares (determinante nulo). Prova:
r r r Supondo u, v e w L.D. ento, de acordo com a definio, existem r r r r x, y, zR, no todos nulos, tais que xu + yv + zw = 0. Tomando, porexemplo, x 0, temos:yr z r r u = v w x x r r r ou seja, u pode ser escrito como combinao linear de v e w , de onde r r r conclumos que u , v e w so coplanares. r r r Supondo agora que u , v e w sejam coplanares. possvel
obtermos y e z, no todos nulos, tais que r r r u = yv + zw r r r r u yv zw= 0
r r o que, de acordo com a definio de dependncia linear, implica que u , v e r w so L.D.
Vetores
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Apresentamos, a seguir, mais alguns teoremas que no sero provados, sendo sua demonstrao mais apropriada a um curso de lgebra Linear.Teorema 4
Quatro vetores no R so Linearmente Dependentes.Teorema 5
3
Se um conjunto de vetores em R possui subconjunto de vetores Linearmente Dependente, ento os vetores desse conjunto so L.D.Teorema 6
3
Se, em um conjunto de vetores em R , um deles for combinao linear dos demais, ento os vetores de tal conjunto sero Linearmente Dependentes.Teorema 7
3
Qualquer vetor do R pode ser escrito como combinao linear de n vetores linearmente independentes.Corolrio
n
r 3 Em R , qualquer vetor u pode ser escrito como combinao linear r r r de trs vetores linearmente independentes, v1 , v 2 e v 3 , isto , r r r r u = x v1 + y v 2 + z v 3
Vetores
28
1.8.Base do R3Uma base do R um conjunto ordenado de trs vetores linearmente r r r independentes = { e1 , e 2 , e 3 }. De acordo com esta definio e o corolrio anterior, pode-se garantir que qualquer vetor do R pode ser r r r escrito como combinao linear dos vetores e1 , e 2 e e3 , isto , dado umr r r r 3 r vetor qualquer u R , u = a e1 + b e 2 + c e3 . A terna (a, b, c) so as r coordenadas do vetor u em relao base .3 3
1.8.1.Base Ortogonal do R3
3
Uma base do R dita ortogonal se, e somente se, seus vetores forem dois a dois perpendiculares.
1.8.2.Base Ortonormal do R
3 3
Uma base ortogonal do R dita ortonormal se, e somente se, seus vetores forem unitrios.
1.8.3.Base Cannica do R
3
3 r r r A base cannica do R { i , j , k } ortonormal e o sentido de seus r r r vetores i , j e k coincide com o dos eixos positivos Ox, Oy e Oz,
respectivamente.
Vetores
29
Geometricamente,
z
r kr ir j
0
y
x Pelo fato de serem unitrios, os vetores da base cannica possuem a seguinte expresso:r i = (1,0,0) r j = (0,1,0) r k = (0,0,1)
1.9.Coordenadas de um vetor em relao Base Cannica. r 3 Dado um vetor u = (a, b, c) em R , ele pode ser escrito, de forma
nica, como combinao linear dos vetores da base cannica da forma seguinte:r r r r u= a i + b j+ ck r r De fato, substituindo-se as coordenadas do vetor u e dos vetores i , r r r r r r j e k na expresso u = x i + y j + z k , temos:
(a,b,c) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1)
Vetores
30
de onde obtemos: x = a, y = b e z = c Ou seja, os coeficientes da combinao linear coincidem com as coordenadas do vetor:r r r r u = (a, b, c) = a i + b j + c k
Geometricamente,
z
c
r k r ur j
r i
b y
0
a xExemplos 1) Estude a dependncia linear dos seguintes vetores: r r r r a) u = (1,4,0) e v = 3 i + 11 j r r r r b) u = (2,0,4) e v = i 2 k r r c) u = (1,2,1) e v = (14,92,24) r r r r r r r d) u = (1,2,1), v = 3 i + 2 k e w = 2 i + j r r r r r r r r r e) u = 4 i + 2 j + 6 k , v = i + j + k e w = (7,5,9)
Vetores
31
Resoluo: a) De acordo com o Teorema 2, dois vetores so L. D. se, e somente se,
forem paralelos. Ento, usando-se a condio de paralelismo, temos: r r r r 1 4 u = (1,4,0) e v = (3,11,0) u e v no so paralelos. 3 11 Portanto, no so L.D., so L.I.b) Aplicando-se a condio de paralelismo, temos:
2 4 = , o que implica que os vetores so paralelos e, segundo o teorema 1 2 2, os vetores so L.D.c) Aplicando-se diretamente a condio de paralelismo, temos:
1 1 2 os vetores so L.I. 14 92 24d) Segundo o Teorema 3, trs vetores no R so L. D. se, e somente se,3
forem coplanares. Usando a condio de coplanaridade, temos: 1 2 1 3 0 2 = 9 0 , de onde conclumos que os vetores so L.I. 2 1 0 Podemos ainda concluir que os trs vetores formam uma base para o R .e) Usando a condio de coplanaridade, como no item anterior, temos:4 2 6 r r r r u = (4,2,6), v = (1,1,1) e w = (7,5,9) 1 1 1 = 0 os vetores u ,3
r r v e w so L.D.
7 5 9
Vetores
323
Nesse caso, os trs vetores no formam uma base para o R .
2) Determine m, de modo que os vetores sejam L.D. r r r r r r a) u = (6,10,2), v = (1,0,2) e w = i + m j +3 k r r r r r b) u = (2,3,10) e v = 4 i + (1 + m) j + 20 k Resoluo: a) Usando-se a condio de coplanaridade, temos:6 10 2 1 0 2 = 0 10m + 10 = 0 m = 1 3 1 m
b) Usando-se a condio de paralelismo, temos:2 3 10 = = 2 + 2m = 12 m = 5 4 1 + m 203
3) Fixada a base cannica no R , verifique se os seguintes vetores formamuma base para o R : r r r a) u = (2,1,3), v = (0,1,1) e w = (4,5,3) r r r b) u = (6,10,2), v = (1,0,2) e w = (1,2,3)3
Resoluo: a) De acordo com a definio de base, como j temos trs vetores, bastaprovarmos que os trs vetores so L.I. Para tanto, devemos ter a condio de no-coplanaridade.
Vetores
33
2 1 3 Mas 0 1 1 = 0 . Logo, os vetores so coplanares. 4 5 33
Portanto, so L.D., ou seja, no formam uma base para o R .
b) Repetindo o procedimento do item anterior, temos:6 10 2 1 0 2 = 30 0 . 1 2 3
Portanto, no so coplanares e da so L.I., ou seja, formam uma base para o R .3
Vetores
34
Lista 2 de Exerccios Propostos 1) Encontre as coordenadas do vetor r r r r = { e1 , e 2 , e 3 }, dados e1 = (1,1,1), r Res.: u = (1,0,1)r u = (1,1,1) em relao base r r e 2 = (1,0,1) e e3 = (0,2,0).
r r r 2) Justifique porque os vetores u = (1,a,2), v = (a,0,3) e w = (0,2,3) sempre
formam uma base para o R3.r r r Res.: no existe um nmero real a, tal que, os vetores u , v e w sejam L.I. r r 3) Escreva w = (4,5,3) como combinao linear de u = (2,1,3) e r v = (0,1,1). r r r Res.: w = 2 u + 3 v r 4) Qual deve ser o valor de a para que o vetor w = (1,a,5) seja combinao r r linear de u = (1,3,2) e v = (2,1,1)?
Res.: a = 8r 5) Determine as coordenadas do vetor u = (1,2,5) em relao base
= {(1,1,1), (1,2,3), (2,1,1)}. r Res.: u = (6,3,2)r r r r 6) Encontre as coordenadas do vetor u = 2 i + 3 j k , em relao base
= {(1,1,0), (1,0,1), (0,0,1)}. r Res.: u = (3,1,0)r r r 7) Verifique se os vetores u = (1,1,0), v = (0,2,0) e w = (0,3,1) formamuma base para o R3.
Res.: sim
Vetores
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r 8) Escreva o vetor s = (4,0,13) como combinao linear dos vetores r r r u = (1,1,3), v = (2,1,3) e w = (1,1,4). r r r r Res.: s = u + 2 v w r r r 9) Dados A(1,1,1), B(2,2,3), u = (2,1,1), v = (3,0,2) e w = (1,1,1), r r r verifique se existem nmeros reais , e tais que w = AB + u + v . r 6 11 r 3 r u+ v Res.: w = AB + 7 7 7 r 10) Determine os valores de a e b de forma que os vetores u = (a+1,3,1) e r v = (4,2,2b-1) sejam paralelos.
Res.: a = 5 e b = 5/6 r r r 11) Dados u = (1,1,1), v = (1,0,1) e w = (1,2,3), verifique se o vetor r r r r s = (3,1,1) pode ser escrito como combinao linear de u , v e w . Res.: simr 12) Determine os valores de a e b, sabendo-se que os vetores u = (4,a,3) e r v = (8,2,b) so paralelos.
Res.: a = 1 e b = 6 13) Estude a colinearidade dos pontos: a) A(1,5,1), B(2,1,4) e C(1,2,5) b) D(1,5,0), E(2,1,3) e F(2,7,1) c) G(2,1,2), H(4,3,7) e I(2,2,2) d) J(1,0,1), L(0,1,1) e M(1,1,1) Res.: a), c), e d) no-colineares e b) colineares 14) Encontre os valores de x e y de modo que os pontos A(1,2,3), B(2,5,2) eC(x,y,1) sejam colineares.
Res.: x = 3 e y = 8
Vetores
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r r r r r 15) Dados os vetores v 1 = (1,2,1), v 2 = 2 i j e v 3 = (1,3,4), determine o r r r vetor unitrio, paralelo e de sentido contrrio ao do vetor 2 v 1 v 2 + v 3 .Res.: (1/3,2/3,2/3) 16) Verifique se os pontos A(1,2,4), B(1,0,2), C(0,2,2) e D(2,1,3) socoplanares.
Res.: no so coplanaresr r 17) Verifique, pela definio, se os vetores u = (1,2,3), v = (2,1,0) e r w = (1,4,1) so Linearmente Dependentes ou Independentes.
Res.: os vetores so Linearmente Independentesr 18) Escreva o vetor s = (4,3,2) como combinao linear dos vetores r r r u = (1,1,1), v = (1,1,0) e w = (1,0,0). r r r r Res.: s = 2 u + v + w r r r 19) Verifique se os vetores u = (1,2,1), v = (2,1,1) e w = (7,4,1) so
Linearmente Dependentes.
Res.: so L.D.r r r 20) Dados os vetores u = (1,2,1), v = (2,1,0) e w = (1,3,4), determine o vetor r r r r r unitrio t , paralelo e de sentido contrrio ao vetor s = 2 u v + 3 w . r 3 5 4 5 2 5 Res.: t = ( , , ) 25 25 5 r 21) Escreva o vetor s = (2,8,4) como combinao linear dos vetores r r r u = (2,1,3), v = (1,1,1) e w = (4,5,3). r 11 r 7 r u w Res.: s = 3 3
Vetores
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r r r 22) Verifique se os vetores u = (4,3,1), v = (2,1,-3) e w = (0,1,7)
formam uma base para o espao R .
3
Res.: no formam uma base, pois os vetores so L.D. 23) Estude a dependncia linear dos seguintes vetores: r r a) u = (1,1,3) e v = (0,2,4) r r r b) w = (3,1,4), s = (1,0,1) e t = (2,1,0) Res.: a) L.I. e b) L.I.r 24) Determine as coordenadas do vetor s = (2,1,1), em relao base
= {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)}. r r r r Res.: s = (3,0,1) = 3 u + 0 v + 1 w25) Verifique se os pontos A(1,0,2), B(2,1,3), C(1,2,4) e D(0,2,2)pertencem a um mesmo plano.
Res.: pertencem ao mesmo planor r 26) Qual deve ser o valor de x para que os vetores u = (x,2,1), v = (2,2,3) r e w = (0,1,2) sejam coplanares?
Res.: x = 6
Produtos de Vetores
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2.Produtos de Vetores2.1.Produto Escalar em R3
r r r r r r r 3 r Dados dois vetores em R , u = a i + b j + ck e v = d i + e j + fk , o
produto escalar entre eles um nmero real obtido pela adio dos produtos de suas coordenadas correspondentes, ou seja, r r u v = ad + be + cf
Exemplo r Calcule o produto escalar entre os vetores u = (1,2,3) e r v = (2,1,4). Resoluo: r r u v = 1(2) + 21 + (3)(4) = 12 2.1.1.Propriedades do Produto Escalar r r r 3 Dados u, v e w R e R, valem as seguintes propriedades: r r r r P1) u v = v u r r r r r r r P2) u (v + w ) = u v + u w r r r r r r P3) (u ) v = u (v ) = (u v )
r r r2 r r r r P4) u u = u 0, de onde conclumos que u u = 0 se, e somente se, u = 0 . r r r r r r P5) u v = u v cos , onde = ang (u, v ) . r r r r r r r P6) u 0 v , u v = 0 se, e somente se, u e v forem perpendiculares.
Produtos de Vetores
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2.1.2.Demonstrao das Propriedades. r r r Tomando-se u = (a,b,c), v = (d,e,f) e w = (g,h,i), temos: r r r r P1) u v = ad + be + cf = da + eb + fc = v u r r r P2) u (v + w ) = (a,b,c)[(d,e,f)+(g,h,i)] = (a,b,c)(d+g,e+h,f+i) == a (d + g) + b (e + h) + c (f + i) = ad + ag + be + bh + cf + ci = r r r r = (ad + be + cf) + (ag + bh + ci) = u v + u w r r P3) (u ) v = [ (a,b,c)] (d,e,f) = ( a , b, c ) (d,e,f) = = ad + be + cf = ad + be + cf = r r = (a,b,c)( d , e , f ) = (a,b,c)[ (d,e,f)] = u (v) A outra igualdade prova-se de forma anloga.r r r2 P4) u u = (a,b,c)(a,b,c) = a2 + b2 + c2 = u . bvio tambm que se
r r r r u u = 0, obrigatoriamente a = b = c = 0, de onde conclumos que u = 0 .
P5) Para provarmos esta propriedade, recorreremos Lei dos Cossenos em r r r r um tringulo qualquer. Dados u, v e = ang (u, v ) , conforme figura,temos: Cr u r r BC = u v
A
r v
B
r r2 r2 r2 rr Aplicando a Lei dos Cossenos, temos u v = u + v 2 u v cos ,mas, de acordo com as propriedades anteriores:
Produtos de Vetores
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r r2 r r r r r r r r r r r r r 2 r2 r r u v = (u v) (u v) = u u u v v u + v v = u + v 2u vIgualando-se as duas expresses:
r r2 r2 r2 r r r 2 r2 r r u v = u + v 2 u v cos = u + v 2u vconclumos que
r r r r u v = u v cos r r r r P6) u v = 0 u v cos = 0 cos = 0 = 2 r r u e v forem perpendiculares.
Exemplos r r 1) Determine o ngulo entre os vetores u = (1,2,1) e v = (3,4,2). Resoluo: Usando-se a definio do produto escalar, obtemos: r r u v = 3Calculando-se o mdulo de cada um dos vetores, obtemos: r r u = 6 e v = 29 Utilizando-se a propriedade P5, temos: r r r r u v = 3 = u v cos =
6 29 cos
cos =
36 29
= arc cos
3 174 174 = arc cos 174 58
r r 2) Prove que os vetores u = (1,2,1) e v = (2,1,0) so perpendiculares.
Produtos de Vetores
41
Resoluo: Usaremos a propriedade P6: r r r r u v = 1(2) + 21 + 1.0 = 0, o que implica que os vetores u e v soperpendiculares.
3) Determine o ngulo entre os vetores BA e BC , sendo A(3,2,1),B(5,0,2) e C(1,4,0).
Resoluo:BA = A B = (2,2,1) BA = 3 , BC = C B = (4,4,2)
BC = 6r r BA BC = 18 = 3.6.cos , sendo que = ang( u, v )
Temos ento que cos = BA BC BA BC = 18 = 1 = arc cos 1 = 0 rad. 3.6
r 4) Sabendo-se que o vetor v = (2,1,1) forma um ngulo de 60O com o r vetor u = (1,1,a + 2), calcule o valor de a.
Resoluo: De acordo com a propriedade P5, temos: r r (2,1,1) (1,1, a + 2) vu O cos 60 = r r = v u 22 + 12 + (1) 2 12 + (1) 2 + (a + 2)2 1 1 a 2 a + 8a + 16= 0 a = 4 = 2 2 6 a + 4a + 6
Produtos de Vetores
42
5) Determine o cosseno do ngulo A , interno ao tringulo ABC, dadosA(3,3,3), B(2,1,2) e C(1,0,2).Resoluo: O ngulo pedido o ngulo entre
C
os vetores AB = B A = (1,2,1) eAC = C A = (2,3,1), logo:
A
B
AB AC (1,2,1) (2,3,1) 2 + 6 + 1 9 84 = cos A = = = 84 6 14 84 AB AC
2.2.ngulos Diretores de um Vetor r r r r Dado um vetor u = x i + y j + z k , seus ngulos diretores , e r r r r so, respectivamente, os ngulos que u forma com os vetores i , j e k ,
como mostra a figura a seguir. z r k
r u r j
r ix
y
Produtos de Vetores
43
2.3.Cossenos Diretoresr Os cossenos diretores em relao a um vetor u so os cossenos de
seus ngulos diretores, isto , cos , cos e cos . Usando a propriedade P5 do produto escalar, obtemos uma r expresso para cada um dos cossenos diretores de u : r r r r r r u i u j uk x y z cos = r r = r cos = r r = r cos = r r = r u u u u i u j u k
Exemplos r 1) Calcule os cossenos diretores do vetor u = (6,2,3). Resoluo: Aplicando-se a frmula, temos:r u = 6 2 + 2 2 + ( 3) 2 = 7
cos =
6 , 7
cos =
2 7
e cos =
3 7
r 2) Encontre os cossenos diretores do vetor u = (1,2,3).
Resoluo: Aplicando-se as expresses acima, temos:
cos =
1 14
=
14 , cos = 14
2 14
=
14 7
e cos =
3 14 14
Produtos de Vetores
44
2.3.1.Propriedades I. As coordenadas do versor de um vetor so os cossenos diretores
desse vetor.r De fato, dado o vetor u = (x,y,z), seus cossenos diretores so dados por:
x cos = r , u
y cos = r u
z e cos = r u
r y x z 1 ( r , r , r ) = r (x,y,z), que o versor do vetor u . u u u uII. A soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor qualquer
igual a 1.r De fato, dado um vetor u qualquer, temos:
(cos , cos , cos ) = cos 2 + cos 2 + cos 2
= 1, pois so
coordenadas de um versor. Portanto, cos2 + cos2 + cos2 = 1Exemplos r 1) Qual o versor do vetor v = (0,3,4)? Resoluo: r r O versor de v tem como coordenadas os cossenos diretores de v .
3 4 1 1 r (cos , cos , cos ) = 0, , = (0,3,4) = r v 5 5 5 vr 2) O vetor u tem como ngulos diretores , 45O e 60O, respectivamente.
Qual o valor de ?
Produtos de Vetores
45
Resoluo: Substituindo-se os respectivos valores na Propriedade II, temos:
cos + cos 45O + cos 60O = 1 cos = = 1 cos 45O cos 60O = = 60O2 2
2
2
2
2
1 1 cos = 4 2 ou = 120O
2.4.Vetor Projeo r r Dados u e v dois vetores no-nulos e o ngulo por eles formado, r r o vetor projeo de u sobre v obtido pela expresso:r proj v u =
r
r r u v r v r2 v
De fato, de acordo com as ilustraes, a seguir, e a lei dos cossenos no tringulo ABC, temos:r u
C
Cr u
A
B
r v
B
A
r v
r r r r r r r uv uv r proj v u = u cos = u r r = r uv v
()
Produtos de Vetores
46
r r r Sabemos que proj v u um vetor com a mesma direo de v , logo r r r proj v u = k v , com kR, o que implica r 1 r k = r proj v u v
(II)
r r uv Substituindo-se (I) em (II), obtemos k = r , observando que 2 v
k > 0, para 0 < < /2 e k < 0 para, /2 < < .r r r u v r r r r Portanto, proj v u = r v o vetor projeo de u na direo de v . 2 v Exemplo r Encontre o vetor projeo de u = (1,2,1) na direo do vetor r v = (2,4,5). Resoluo: r r u v = (1,2,1) (2,4,5) = 15;
r v =
r 2 45 = 3 5 v = 45
1 r 15 r (2,4,5) = (2,4,5) = (2/3,4/3,5/3) Temos ento: proj v u = 45 3
Produtos de Vetores
47
Lista 3 de Exerccios Propostosr r 1) Calcule o ngulo entre os vetores u = (2,2,8) e v = (2,4,4). Res.: 45O
r 2) Determine o valor de m, dado que o ngulo entre os vetores v = (6,3,3) r e u = (1,1,m+2) 60O.
Res.: m = 4 3) Determine o cosseno do ngulo entre os vetores AB e AC , dados
A(3,3,3), B(2,1,2) e C(1,0,2). 3 21 14 r r 4) Determine um vetor perpendicular aos vetores u = (2,2,8) e v = (2,4,4). r Res.: p = k(2,2,1), kR* r 5) Calcule os cossenos diretores do vetor u = (2,1,1).Res.: cos =
6 6 6 , cos = e cos = 3 6 6 r r 6) Encontre o vetor projeo de u = (1,2,3) na direo de v = (2,3,1).Res.: cos = Res.: (1, 3/2,1/2) 7) No tringulo ABC, calcule a medida da projeo do lado BA sobre BC,
dados A(1,1,2), B(6,1,2) e C(1,6,2).Res.:
25 74 u.c. 74
8) Prove que os pontos A(3,3,5), B(0,4,1) e C(2,1,3) so vrtices de um
tringulo retngulo.9) Prove que a soma dos quadrados das medidas das diagonais de um
paralelogramo igual soma dos quadrados das medidas dos seus quatro lados.
Produtos de Vetores
48
10) Demonstre que todo ngulo inscrito em um semi-crculo reto. 11) Usando o produto escalar, demonstre o teorema de Pitgoras. 12) Prove que as diagonais de um losango so perpendiculares. 13) Os pontos A(4,1,3), B(2,3,1) e C(0,3,5) so vrtices de um tringulo.
Calcule o ngulo entre os vetores CM e NA , onde M e N so, respectivamente, os pontos mdios de AB e BC.Res.: = arc cos
22 11 3 r r r v so perpendiculares, u = v e 2 r r u+v .
r 14) Sabendo-se que os vetores u e r r que 2u + 3v = 3 2 , encontre
13 r r Res.: u + v = 2 r r 15) Determine as coordenadas do vetor v paralelo ao vetor u = (2,1,1), r r sabendo-se que u v = 3. r Res.: v = (1,1/2,1/2)16) Os lados de um tringulo ABC, reto em A, medem 3, 4 e 5. Calcule
AB AC + BA BC + CA CBRes.: 25
r r r r 17) Determine o vetor v , colinear ao vetor u = (4,2,6), tal que v w = 12, r sendo w = (1,4,2). r Res.: v = (2,1,3) r r 18) Encontre o vetor v , ortogonal ao vetor u = (2,3,12) e colinear ao r vetor w = (6,4,2). r Res.: v = k(3,2,1), sendo k um nmero real no nulo.
Produtos de Vetores
49
r r r r 19) Calcule o mdulo do vetor u + v sabendo-se que u = 4, v = 3 e o
ngulo entre eles 60O.Res.:37
r 20) Determine o vetor v = (a,b,c), perpendicular ao eixo Oz e satisfaz as r r r r r r condies u v = 9 e v w = 4, sendo u = (3,1,5) e w = (1,2,3). r Res.: v = (2,3,0) r 21) Qual deve ser o valor de a para que os vetores u = (5,4, 4) e r v = (a,2,3) sejam perpendiculares?
Res.: a = 4r r r 22) Decompor o vetor w = (1,3,2) como soma de dois vetores u e v , r r r r sendo u paralelo a s = (0,1,3) e v perpendicular a s . r r Res.: u = (0, 3/10, 9/10) e v = (1, 33/10, 11/10)
23) Determine os ngulos internos do tringulo ABC, dados A(0,3,4),
B(1,2,2) e C(2,1,2).Res.: ang(A) = 60o, ang(B) = 90o e ang(C) = 30or r r 24) Verifique se os vetores u = (1,2,3), v = (0,3,2) e w = (2,0,1) podem
formar uma base ortogonal para o R3. r r r Res.: u , v e w formam uma base para o R3, mas no ortogonal
Produtos de Vetores
50
2.5.Produto Vetorial
r r r r r r r r Dados dois vetores u = a i + b j + c k e v = d i + e j + f k , o produto
vetorial entre eles, tomados nessa mesma ordem, um vetor definido e representado por:r r b c r a c r a b r u v= k i j+ e f d f d er r Em termos prticos, o produto vetorial entre u e v obtido pelo
clculo do seguinte determinante:r r u v= a
r i
r r j k
b c d e f
Exemplos r r r r 1) Calcule u v , sendo dados u = (2,1,3) e v = (1,1,0). Resoluo: Montando-se o determinante, segundo a frmula prtica, e
calculando-o, temos: r r r i j k r r r r r v v r v r r u v= 2 1 3 = 0 i + 3 j 2k+ 3 i + 0 j k= 3 i + 3 j 3k 1 1 0r r Logo, u v = (3,3,3).
Produtos de Vetores
51
r r 2) Dados os vetores u = (1,2,3) e v = (2,1,2), determine: r r a) u v r r b) v u r r r c) u ( u v ) r r d) v v
Resoluo: r r i j r r a) u v = 1 2 2 1r i
r k
r r r r r r r r r 3 = 4 i 6 j+ k 3 i 2 j+ 4k = i 8 j+ 5k 2
r r r r r r r r r r r b) v u = 2 1 2 = 3 i +2 j 4 k 4 i + 6 j k = i + 8 j 5 k 1 2 3 Observe que o resultado de b) o vetor oposto ao obtido no item a). r i r r j k
r r j k
r r r c) u ( u v ) = (1,2,3)
1 2 3 = (1,2,3) (1,8,5) = 0 2 1 2
Pela propriedade 6 de produto escalar, j estudada, podemos concluir r r r que os vetores u e ( u v ) so perpendiculares. r r r i j k r r r r r d) v v = 2 1 2 = 0 i + 0 j + 0 k = (0,0,0) 2 1 2
Produtos de Vetores
52
Observe que ao efetuarmos o produto vetorial de um vetor por ele mesmo, o resultado o vetor nulo. Nas propriedades do produto vetorial que seguem, a generalizao deste resultado feita para vetores paralelos, ou seja, o produto vetorial entre dois vetores paralelos tem como resultado o vetor nulo.
2.5.1.Propriedades do Produto Vetorial r r r Dados u , v e w vetores do espao e um nmero real, as
seguintes propriedades, em relao ao produto vetorial, se verificam: r r r r P1. u v = ( v u )r r r r r r r P2. u ( v + w ) = u v + u w
r r r r r r P3. ( u ) v = u v = ( u v ) r r r r r P4. u v = 0 se, e somente se, um dos vetores for nulo ou u e v forem
paralelos.r r r r P5. u v perpendicular a u e a v .
r r r r P6. u v = u v sen , onde o ngulo entre os vetores no-nulos r r u e v. As propriedades P1, P2, P3 e P4 decorrem das referentes a determinantes. Para se demonstrar P5, basta efetuar os produtos escalares r r r r entre u v e os vetores u e v .
Produtos de Vetores
53
Para se provar a propriedade P6, usa-se a Identidade de Lagrange: r r2 r 2 r 2 r r 2 uv = u v (u v)r r De fato, dados u = (a,b,c) e v = (d,e,f), temos: r r2 u v = ( bf ce, cd af , ae db) 2 =
= (bf ce) + (cd af) + (ae db) = = (a + b + c )(d + e + f ) (ad + be + cf) =r 2 r 2 r r 2 = u v (u v)2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
Prova da propriedade P6. De acordo com a Identidade de Lagrange, temos:r r2 r 2 r 2 r r 2 uv = u v (u v) = r 2 r 2 = u v r (u r r 2 r 2 r 2 r 2 2 v cos ) = u v u v cos 2 =
r 2 r 2 r 2 r 2 2 2 = u v (1 cos ) = u v sen ,
de onde conclumos a igualdade:r r r r u v = u v sen
Exemplo Determine o seno do r v = (2,0,1).
r ngulo entre os vetores u = (1,2,1) e
Produtos de Vetores
54
Resoluo: Utilizaremos a propriedade P6 e, para isso, calculamos: r r r i j k r r u v = 1 2 1 = (2,3,4) = 29 2 0 1
r r u = 6 e v = 5 usando a propriedade, temos: r r uv 29 870 sen = r r = = u v 30 30
2.5.2.Aplicao Geomtrica do Produto Vetorial - rea
Com o produto vetorial, possvel calcular reas de figuras planas no espao, a partir da rea do tringulo. Sejam trs pontos no alinhados A, B e C, conforme figura. Usando a frmula da rea do tringulo, temos:
C
AB CD rea = 2
A D
B
De acordo com a figura, temos que CD = AC sen , sendo o ngulooposto altura. Substituindo-se essa expresso na frmula da rea,
AB AC sen conclumos: rea =
2
, ou seja,
Produtos de Vetores
55
AB AC rea = 2
Exemplos 1) Calcule a rea do tringulo determinado pelos pontos A(1,2,3), B(1,0,1)
e C(4,3,7).Resoluo: Inicialmente, determinamos os vetores:
AB = B A = (0, 2, 2) e AC = C A = (3,1,4)r i r j r k
Efetuamos o produto vetorial: AB AC = 0 2 2 = (6,6,6) 3 1 4 e calculamos o seu mdulo: AB AC = 108 = 6 3
Conclumos ento que a rea do tringulo determinado pelos pontos A, B e C : rea = 6 3 = 3 3 u. a. (unidades de rea) 2
r 2) Calcule a rea do paralelogramo determinado pelos vetores u = (1,2,1) r e v = (1,1,0).
Produtos de Vetores
56
Resoluo: Geometricamente, temos:
D
C
Para calcularmos a rea do paralelogramo ABCD, basta usarmos o mdulo do produto vetorial r v entre u e v , isto , Ar i
r u
r v
Br j r k
r r u v = 1 2 1 = (1,1,1) = 3 u.a. 1 1 0
Produtos de Vetores
57
Lista 4 de Exerccios Propostos 1. Determine um vetor unitrio simultaneamente perpendicular aos vetores r r u = (1,2,1) e v = (2,1,0). Res.: (
30 30 30 , , ) 30 15 6
r 2. Calcule a rea do paralelogramo determinado pelos vetores u = (1,2,1) r e v = (2,4,3).
Res.: 5 5 u.a. 3. Determine a rea do tringulo definido pelos pontos A(1,1,2), B(2,0,1) e
C(2,1,4).Res.:
14 u.a. 2
4. Dado o tringulo com vrtices A(1,2,3), B(1,5,7) e C(1,1,1), calcule a
medida da altura relativa ao lado AB.Res.: 2/5 u.c.r r r 5. Sabendo que u = 5, v = 3 2 e 45O o ngulo entre os vetores u e r r r v , calcule u v .
Res.: 15
r r r r r 6. Dados os vetores u = 2 i j + 2 k e v = (4, 1,2), calcule r r a) u v . r r b) o seno do ngulo entre u e v .
2 105 r r Res.: a) u v = (0,4,2) e b) 63
Produtos de Vetores
58
r 7. Determine o vetor v = (a,b,c) ortogonal ao eixo das ordenadas e tal que r r r r r u = v w , sendo u = (1,1,1) e w = (2,1,1). r Res.: v = (1,0,1) r r r 8. Dados os vetores u = (2,1,3) e v = (1,2,1), determine um vetor w r ortogonal a ambos, de modo que w = 5.
5 3 5 3 5 3 r Res.: w = , , 3 3 3 r r r 9. Determine um vetor u , ortogonal a v = (2,3,1) e w = (2,4,6) tal que r u =3 3. r r Res.: u = (3,3,3) ou u = (3,3,3)r r r r r 10. Dados u = (1,1,0) e v = 2 i j + 3k , calcule a rea do tringulo ABC r r sendo B = A + u e C = A + v .Res.:
3 3 u.a. 2
r r r r 11. Dados u = (1,1,0), v = (0,0,2) e w = (2,3,0), determine o vetor s r r r r paralelo a w , tal que, s u = v . r Res.: s = (4,6,0)12. Determine a rea do tringulo que tem por vrtices os pontos A(1,1,1),
B(1,1,1) e C(1,1,1).Res.: 2 u.a. 13. Os pontos A(1,1,2), B(2,1,0) e C(2,3,4) so vrtices de um tringulo.
Determine a sua rea.Res.: 2 6 u.a.
Produtos de Vetores
59
14. Dois lados consecutivos de um paralelogramo podem ser representados r r pelos vetores u = (1,1,1) e v = (2,1,1). Determine a rea desse
paralelogramo.Res.: 3 2 u.a. 15. Determine a rea do tringulo com vrtices A(2,0,3), B(8,0,3) e
C(2,2,2).Res.: 9 u.a.
r r r r r r r r r 16. Determine o vetor s = (u + v) (u v) , dados u = 2 i 3 j k e r r r r v = i + 4 j 2k . r Res.: s = (20,6,22) r r r r 17. Dados u = (0,1,1), v = (2,0,1) e w = (2,1,1), determine o vetor s r r r s u = w que obedece ao sistema de equaes vetoriais r r s v = 4 r Res.: s = (1,0,2)18. Os vrtices de um tringulo so os pontos A(2,1,1), B(2,1,0) e
C(3,2,3). Determine a altura desse tringulo em relao ao vrtice B. 3 u.c. 3 19. Determine o vetor r r r u (2 i + 3 j) = 10. r Res.: u = (1, 8/3, 0) r 20. Dados os vetores u = r r s perpendicular a u e r Res.: s = (3,0,2)Res.:
r u
que satisfaz as equaes
r r r u j = k
e
r r (2,1,3), v = (4,0,6) e w = (4,1,2), determine r r r v , tal que s w = 8.
Produtos de Vetores
60
2.6.Produto Mistor r 3 r Dados trs vetores em R , u = (a,b,c), v = (d,e,f) e w = (g,h,i), o
produto misto entre eles definido por: r r r r r r (u,v,w) = uv w
Seguindo as definies dos produtos escalar e vetorial, o produto misto, na prtica, obtido por:r r r r r r ( u , v , w )= u v w = (a,b,c) d e f = (a,b,c)(ei fh,fg di,dh eg) = g h i
r i
r j
r k
a b c = aei afh + bfg bdi + cdh ceg = d e f , ou seja, g h a b c r r r (u,v,w) = d e f g h i i
Exemplo r r r r r r Encontre ( u , v , w ) dados u = (1,2,0), v = (0,1,1) e w = (2,1,1). Resoluo: Usando a frmula prtica do produto misto, temos:
1 2 r r r (u,v,w) = 0 1
0 1 = 1 + 4 1 = 2 2 1 1
Produtos de Vetores
61
2.6.1.Propriedades do Produto Misto r r r r 3 Dados s , u , v e w vetores do R e um nmero real, as seguintes
propriedades se verificam:r r r r r r r r r r r r P1. ( u , v , w ) = ( u , v , w ) = ( u , v , w ) = ( u , v , w )
r r r r r r r r r P2. ( u , v , w ) = ( u , w , v ) = ( v , u , w )r r r r r r r r r r P3. ( u , v , w + s ) = ( u , v , w ) + ( u , v , s ),r r r r r r r r r r (u+v,w,s) = (u,w,s) + (v,w,s) e
r r r r r r r r r r (u,v+w,s) = (u,v,s) + (u,w,s)
r r r r r r P4. ( u , v , w ) = 0 se, e somente se, u , v e w so coplanares.r r r r r r P5. ( u , v , w ) = u v w
As propriedades do produto misto decorrem das propriedades de determinante, j estudadas pelo leitor.Exemplo r r r Verifique se os vetores u = (2,1,0), v = (2,0,2) e w = (3,1,4) so
coplanares.Resoluo: Basta usarmos a propriedade P4, ou seja, calcularmos o produto
misto entre os trs vetores: 2 1 0 r r r ( u , v , w ) = 2 0 2 = 10 0, portanto, os vetores no so coplanares. 3 1 4
Produtos de Vetores
62
2.6.2.Aplicao Geomtrica do Produto Misto - Volume r r r Trs vetores no coplanares, u = (a,b,c), v = (d,e,f) e w = (g,h,i),
definem em R um paraleleppedo cujo volume pode ser calculado atravs do produto misto: a r r r Vp = ( u , v , w ) = d b c
3
e f g h i
Geometricamente, temos
r w
r v
r u
Sabemos, da geometria espacial, que o volume de um paraleleppedo calculado pela frmula: VP = Bh sendo B, a rea da base e h, a sua altura. Pela aplicao geomtrica do produto vetorial, a rea da base B r r obtida calculando-se o mdulo do produto vetorial entre os vetores u e v : r r (2) B = uv r r Alm disso, pela propriedade P5. do produto vetorial, sabemos que u v r r perpendicular aos vetores u e v . Tomando-se como sendo o ngulo r r r entre u v e w , a altura do paraleleppedo obtida pela expresso: (1)
Produtos de Vetores
63
r h = w cosr r uv
(3)
r wr v
h
r u
substituindo-se (2) e (3) em (1), obtemos: r r r VP = w u v cos r r r que representa, exatamente, o mdulo do produto escalar entre w e u v .
Conclumos ento que:r r r VP = (u, v, w )
Exemplo
Calcule o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores r r r u = (1,0,1), v = (1,1,2) e w = (3,1,0).Resoluo:
r r r De acordo com a frmula acima, temos: VP = (u, v , w ) =
1
0
1
= 1 1 2 = 1 3 + 2 = 2 u.v. 3 1 0
Produtos de Vetores
64
2.6.3.Volume da Pirmider r r Dado que o volume do paraleleppedo VP = (u, v , w ) , quando este r r r determinado pelos vetores u , v e w , da Geometria Espacial, temos:
(1) o volume da Pirmide de Base Quadrangular calculado por:
r r r VP (u , v, w ) VPBQ = = 3 3r v
r w
r u
(2) o volume da Pirmide de Base Triangular calculado por:r w r vr u
r r r (u, v, w ) VP VPBT = = 6 6
Exemplos 1) Calcule o volume da pirmide de base quadrangular determinada pelos r r r vetores u = (3,3,0), v = (4,0,2) e w = (1,0,1).
Produtos de Vetores
65
Resoluo: No necessrio sabermos quais so os vetores que determinam a
base quadrangular, basta aplicarmos a frmula: VPQ = =r r r (u, v, w )
3
3 3 0 1 1 = 4 0 2 = 6 + 12 = 6 u.v. 3 3 1 0 1
2) Determine o volume do tetraedro com vrtices A(1,2,3), B(4,3,7),
C(2,1,1) e D(1,0,1).Resoluo: Com os quatro vrtices, obtemos trs vetores e, a partir deles,
calculamos o volume do tetraedro: AB = B A = (3,1,4) 3 1 4 1 AC = C A = (1,1,2) VTETRAEDRO = 1 1 2 = 2 u.v. 6 0 2 2 AD = D A = (0,2,2)
Produtos de Vetores
66
Lista 5 de Exerccios Propostos 1. Calcule o volume do tetraedro ABCD, dados A(1,0,0), B(1,2,3),C(2,1,2) e D(1,1,1).
Res.: 1/6 u.v.r r r r r r 2. Determine ( u, v, w ), dados u = (1,1,3), v = (2,2,1) e w = (3,2,5).
Res.: 7 3. Verifique se os pontos A(1,1,1), B(1,2,3), C(0,1,0) e D(1,3,2) socoplanares.
Res.: no so coplanaresr r r r r r r r 4. Calcule o produto misto ( a , b, c ), sendo a = 3 u 2 v , b = 4 v e r r r r r r c = 5u 3w , dados u = (3,4,5), v = (2,1,0) e w = (1,2,3).
Res.: -288 5. Qual o volume do tetraedro de vrtices A(2,3,1), B(2,3,1), C(2,0,1) eO(0,0,0).
Res.: 4 u.v. 6. Qual deve ser o valor de x para que o paraleleppedo determinado pelos r r r vetores u = (2,1,3), v = (x 1,x,1) e w = (0,2,0) tenha volume21 u.v.?
Res.: x = 19/6 ou x = 23/6 7. Encontre o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores r r r u = (1,1,2), v = (2,2,3) e w = (0,0,6). Res.: 24 u.v.
Produtos de Vetores
67
r r r 8. Dados os vetores u = (2,2,2) e v = (3,0,0), encontre w , o vetor r projeo de u sobre o eixo das ordenadas e calcule o volume do
tetraedro determinado por esses trs vetores. r Res.: w = (0,2,0) e Volume = 2 u.v.
9. Dado um tetraedro de volume 5 u.v. e vrtices A(2,1,1), B(3,0,1),C(2,1,3) e D, calcule as coordenadas do ponto D, sabendo-se que ele se encontra no eixo das cotas.
Res.: D(0,0,14) ou D(0,0,16) 10. Os pontos A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,1) e a origem O determinam umtetraedro. Encontre a altura desse tetraedro em relao ao vrtice D.
Res.: h = 12/13 u.c. 11. Um tetraedro tem como vrtices a origem e os pontos A, B e Cpertencentes, respectivamente, aos eixos das abscissas, ordenadas e cotas, no primeiro octante. Se OA = 2 OB =
1 OC e o volume do 2
tetraedro 4/3 u.v., determine a sua altura em relao ao vrtice O.
Res.: h =
4 21 u.c. 21
12. Dados A(2,0,2), B(2,2,2), C(0,2,0) e D(0,2,2), encontre o volume do r r paraleleppedo determinado por u = AC + AB , v = AB AC e r w = AD . Res.: V = 16 u.v.
Retas
68
3.Retas No Espao3.1.Equao da RetaUma reta no espao R fica completamente definida quando so fornecidos a sua direo e um ponto pertencente a ela. Equivalentemente, dados dois pontos distintos, no espao, existe uma nica reta que passa por esses dois pontos.3
3.1.1.Equao Vetorial da RetaSeja r uma reta em R passando pelo ponto A(x0,y0,z0) e com a r mesma direo do vetor u = (a,b,c), no nulo. Ento, qualquer ponto X(x,y,z) pertencente a r pode ser representado da seguinte forma: r X = A + t u , t R (1) Geometricamente, temos: zr tu3
X
r
A
r u0 x y
Retas
69
Ao substituirmos o vetor e os pontos por suas respectivas coordenadas, na expresso (1), obtemos a Equao Vetorial da Reta r: r: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t(a,b,c), t R
3.1.2.Vetor DiretorO vetor que define a direo de uma reta denominado Vetor
Diretor. Exemplos 1) Encontre a equao vetorial da reta r que passa pelo ponto A(1,2,3) e r tem a direo do vetor u = (1,2,4). Resoluo: r Basta substituirmos as coordenadas do ponto A e do vetor u naexpresso da equao vetorial da reta: r: (x,y,z) = (1,2,3) + t(1,2,4), t R.
2) A reta s passa pelos pontos B(1,1,1) e C(2,3,6). Encontre a equaovetorial para s.
Resoluo: Com os pontos B e C determinamos um vetor diretor para s, isto ,BC = C B = (1,4,5). Tomamos um dos pontos, B ou C, para substituir na expresso de sua equao vetorial.
Retas
70
Conclumos ento, que: s: (x,y,z) = (1,-1,1) + t(1,4,5), t R (Equao vetorial da reta s).
3.1.3.Equaes Paramtricas da RetaDada a equao vetorial de uma reta r: (x,y,z) = (xO,yO,zO) + t(a,b,c), t R, as suas equaes paramtricas so obtidas expressando-se as coordenadas x, y e z em funo das coordenadas do ponto pertencente reta, das coordenadas de seu vetor diretor e do parmetro t, ou seja, as equaes paramtricas da reta r so: x = x o + at r: y = y o + bt t R z = z + ct o
Exemplos 1) As equaes paramtricas da reta r, que passa pelo ponto A(1,2,0) er tem a direo do vetor u = (1,2,5), so:
x = 1 t r: y = 2 + 2 t t R z = 5t
2) Expresse as equaes paramtricas da reta s que passa pelos pontosB(2,3,1) e C(7,0,4).
Resoluo:
Se tomarmos como vetor diretor BC = C B = (9,3,5) e como ponto C(7,0,4), temos:
Retas
71
x = 7 9 t s: y = 3t t R . z = 4 + 5t
Obs.:
O vetor diretor da reta s poderia ter sido definido como sendo CB ,
ou qualquer vetor que tivesse a mesma direo de BC . Da mesma forma, poderamos ter escolhido o ponto B para substituirmos nas equaes paramtricas de s. Em ambos os casos, as equaes seriam diferentes, mas, estariam representando a mesma reta.
3.1.4.Equaes Simtricas da RetaDas equaes paramtricas de uma reta r, chega-se s equaes simtricas, isolando-se o parmetro t. x = x o + at x x o y y o z zo r: y = y o + bt t R t = = = a c b z = z + ct o portanto, r:x x o y yo z zo = = b c a
Exemplos 1) Encontre as equaes simtricas da reta r que passa pelo ponto A(1,2,3) r e tem a direo do vetor u = (2,3,5).
Retas
72
Resoluo: r Basta substituirmos as coordenadas do ponto A e do vetor diretor una expresso r:x x o y yo z zo = = b c a
r:
x1 y + 2 z 3 = = 3 5 2
2) Determine as equaes simtricas da reta s que passa pelos pontosB(2,1,3) e C(6,7,6).
Resoluo:
Nesse caso, devemos encontrar o vetor diretor BC ou CB e tomar um dos pontos B ou C, o restante da resoluo idntica do exemplo anterior:
x 2 y +1 z 3 BC = C B = (4,8,3) = = s: 4 8 3 B(2,1,3)
r Dada uma reta r com vetor diretor u = (a,b,c), passando pelo ponto
A(x0,y0,z0), possvel que tal vetor possua uma ou duas de suas coordenadas nulas. Nesse caso, alm das equaes simtricas de r serem expressas de forma diferente, a reta ser paralela a um dos eixos ou planos coordenados.
Retas
73
Caso 1: Quando s uma das coordenadas do vetor diretor for nula r a) Se a = 0, u = (0,b,c) ortogonal ao eixo Ox, logo, paralelo ao plano
yOz. Logo, a reta r paralela a esse mesmo plano e suas equaes simtricas so: y y o z zo = r: b c x = x o z rr u
Geometricamente,A cO
r u
b
y
xr b) Se b = 0, u = (a,0,c) ortogonal ao eixo Oy e portanto, paralelo ao
plano xOz. Logo, a reta r paralela a esse mesmo plano e suas equaes simtricas so: x x o z zo = r: a c y = y o Geometricamente,0
z r cr u r u
A y
x
a
Retas
74
r c) Se c = 0, u = (a,b,0) ortogonal ao eixo Oz e portanto, paralelo ao plano xOy. Logo, a reta r paralela a esse mesmo plano e suas equaes simtricas so: Geometricamente,
z
x xo y yo = r: a b z = z o r Ar u
a
0
r u
b y
x
Caso 2: Quando duas das coordenadas do vetor diretor forem nulas. r a) Se a = b = 0, u = (0,0,c) paralelo ao eixo das cotas, portanto, r paralela ao mesmo eixo e suas equaes simtricas so: x = x o x = x o r: ou r: y = y o y = y o z R Geometricamente,O
z cr ur u
r
y A
x
Retas
75
r b) Se a = c = 0, u = (0,b,0) paralelo ao eixo das ordenadas, portanto, r
paralela ao mesmo eixo e suas equaes simtricas so: z x = x o x = x o r: ou r: z = zo z = zo y R r u A Geometricamente, 0r u
r
b
y
xr c) Se b = c = 0, u = (a,0,0) paralelo ao eixo das abcissas, portanto, r
paralela ao mesmo eixo e suas equaes simtricas so: y = y o y = y o r: ou r: z = zo z = zo x R
z r
Geometricamente,
r u
A
r u
0
y
a x
Retas
76
Exemplos 1) Encontre as equaes simtricas das retas dadas por:A ( 2 ,1,3) C(1,2,3) a) r: b) s: r u = (3,0,1) B( 2 ,3,6) D(2,2,2) c) q: r v = (2,3,0)
Resoluo:
a) Obtemos o vetor diretor de r, AB = B A = (0,2,9) e, a partir dele,temos que as equaes simtricas de r, utilizando o ponto A, so:
y 1 z + 3 = r: 2 9 observando que tal reta paralela ao plano yOz. x = 2 b) Substitumos as coordenadas do ponto e as do vetor nas respectivasequaes: x 1 z 3 = s: 3 1 y = 2 paralela ao plano xOz.
x 2 y + 2 = c) Identicamente s resolues anteriores: q: 2 3 uma reta z = 2 paralela ao plano xOy.
2) D as equaes simtricas das retas r, s e q, nos seguintes casos:
A( 2,2,2) a) r: r u = (0,0,2)
B(1,2 ,3) b) s: C (1,6,3)
D(1,8,2) c) q: r v = ( 2,0,0)
Retas
77
Resoluo:
x = 2 x = 2 ou r: y = 2 e a reta paralela ao eixo Oz. a) r: y=2 z R b) BC = C B = (0,4,0)
x = 1 x = 1 Tomando o ponto C(1,6,3), obtemos: s: ou r: z = 3 e a reta z = 3 y R paralela ao eixo Oy. y = 8 y = 8 c) q: ou q: z = 2 , sendo a reta paralela ao eixo das abcissas. z = 2 x R
3.1.5.Equaes Reduzidas da Reta
Seja a reta r dada pelas suas equaes simtricas x x o y yo z z o = = r: . b c a Como h duas igualdades, temos duas equaes e, como h trs variveis x, y e z, s possvel explicitarmos duas delas em funo da terceira. Ao realizarmos isso, determinamos as equaes reduzidas da reta r, que tem as seguintes expresses:na varivel x na varivel y na varivel z
y = mx + n r: z = px + q
x = my + n r: z = py + q
x = mz + n r: y = pz + q
Retas
78
Exemplo Determine as equaes reduzidas da reta r que passa pelo ponto r A(1,2,1) e tem a direo do vetor u = (2,3,5). Resoluo: Determinaremos as equaes reduzidas da reta r em todas as
variveis independentes x, y e z. Inicialmente, determinamos as equaes simtricas de r: x 1 y 2 z + 1 = = r: 3 5 2 Com isso, explicitaremos3 7 y = 2 x + 2 , equaes reduzidas da a) y e z, em funo de x, obtendo: r: 5 7 z = x 2 2 reta r na varivel independente x; 2 7 x = 3 y + 3 , equaes reduzidas da b) x e z, em funo de y, obtendo: r: z = 5 y + 7 3 3 reta r na varivel independente y; 2 7 x = 5 z + 5 , equaes reduzidas da c) x e y, em funo de z, obtendo: r: 3 7 y = z + 5 5 reta r na varivel independente z.
Retas
79
Lista 6 de Exerccios Propostos 1. Verifique se os pontos A(3,1,1) e B(3,1,0) pertencem reta
r:
x+ 3 y+1 z = = . 7 3 1
Res.: A no pertence reta r e B pertence.
x = 3 + 7t 2. Determine o ponto da reta r: y = 1 + 3t t R , que tem cota 3. z = t Res.: P(24,10,3) x = 3 + 7 t 3. Determine o ponto da reta r: y = 1 + 3t t R , que tem abcissa 3. z = t Res.: P(3,1,0)
4. Determine a e b de modo que os pontos A(a,1,3), B(4,b,2) e C(6,1,1)
estejam alinhados.Res.: a = 2 e b = 0x = 6 t 5. Determine o ponto A da reta r: y = 1 + 2 t z = 3t Res.: A(6,1,3)
t R, que tem ordenada 1.
6. Encontre os valores de a e b para que o ponto A(a,1,b) pertena reta
x = 3 + 2 t r: y = 1 3t t R . z = 1 + 2t Res.: a = 3 e b = 1
Retas
80
7. Encontre as equaes reduzidas, com varivel independente z, da reta r r que passa pelo ponto A(1,1,0) e tem a direo do vetor v = (1,1,2). 1 x = 2 z + 1 Res.: r: y = 1 z 1 2 8. Determine as equaes reduzidas, tendo x como varivel independente,da reta s que passa pelos pontos A(1,0,3) e B(1,2,7). z = 2x + 5 Res.: s: y = x + 1
9. Cite um ponto e um vetor diretor para cada uma das retas abaixo:x = 2 t a) r1: y = 1 t z = 3t r Res.: A(0,1,0) e v 1 = (2,1,3)
t R
b) r2:
x 3 = y+ 2 = z 7 z 3
r Res.: B(3,2,0) e v 2 = (7,1,1)r Res.: C(0,0,0) e v 3 = (1,1,3) r Res.: D(0,0,4) e v 4 = (2,1,0)
c) r3: x = y =
x = 2 y d) r4: z = 4 x = 3 e) r5: y = 1 y = 3x f) r6: z = 4 x
r Res.: D(3,1,0) e v 5 = (0,0,1)r Res.: D(0,0,4) e v 6 = (1,3,1)
Retas
81
10. Determine as equaes reduzidas da reta r que passa por A(1,1,1) e paralela ao eixo das ordenadas. x = 1 Res.: r: z = 1
11.Encontre as equaes paramtricas da reta s que passa por A(1,2,3) eB(1,1,4). x = 1 Res.: s: y = 2 t t R z = 3 + 7t
12.Determine as equaes paramtricas da reta s que passa pelo pontoA(1,1,2) e ortogonal aos eixos Ox e Oz. x = 1 Res.: s: y = 1 + t z = 2
t R
13.Determine as equaes reduzidas da reta r que passa pelo pontoA(1,3,1) e perpendicular ao plano yOz. y = 3 Res.: r: z = 1
14.Determine as equaes paramtricas da reta r que passa pelo ponto r A(1,0,2) e paralela ao vetor u = (2,1,1).x = 1 + 2t Res.: r: y = t tR z = 2 + t
Retas
82
15.Escreva a equao vetorial da reta r que passa pelo ponto A(2,0,3) e paralela ao eixo das ordenadas.
Res.: r: (x,y,z) = (2,0,3) + t(0,1,0), t R 16.Determine as equaes paramtricas da reta r, suporte da mediana, emrelao ao vrtice A(2,1,2), do tringulo cujos outros dois vrtices so B(2,0,1) e C(4,2,3).x = 2 + t Res.: r: y = 1 2 t t R z = 2 + t
17.Encontre as equaes simtricas da reta r que passa pelo ponto A(2,1,3) r e tem como vetor diretor u = (2,0,4).x 2 z 3 = Res.: r: 2 4 y = 1
18.Expresse as equaes reduzidas, na varivel z, da reta r que passa pelo r ponto A(1,2,4) e tem a direo do vetor u = (3,2,1).x = 3z 11 Res.: r: y = 2z 6 x 1 y z 2 = = com o plano xOz. 19.Encontre a interseo da reta r: 1 3 2
Res.: I(1,0,2) 20.Determine as equaes reduzidas, na varivel y, da reta r que passa pelospontos A(1,0,1) e B(0,1,1). x = y + 1 Res.: r: z = 1
Retas
83
21.Encontre as equaes reduzidas, na varivel independente y, da reta r quepassa pelos pontos A(1,1,3) e B(1,2,0). z = 3 y 6 Res.: r: x = 2 y + 3 x 1 = y = z pelas suas equaes paramtricas. 22.Expresse a reta r: 2 x = 1 + 2t Res.: y = t tR z = t
23.Expresse as equaes simtricas da reta r que passa pelos pontosA(1,2,3) e B(4,0,1). x 1 y 2 z 3 = = Res.: r: 2 4 3
24.Dados os pontos A(2,0,1), B(4,2,3), C(5,1,3) e D(1,1,3) e sendo M e N,respectivamente, os pontos mdios dos segmentos AB e CD, encontre o vetor diretor da reta determinada por M e N. r Res.: u = (0,0,2)
25.Determine as equaes paramtricas da reta r que passa pelo ponto mdiodo segmento definido pelos pontos A(1,0,1) e B(1,2,1) e tem a direo do eixo das cotas.x = 1 Res.: r: y = 1 t R z = 1 + t
Retas
84
26.Encontre as equaes reduzidas, na varivel x, da reta que passa pelospontos A(1,2,1) e B(3,1,2). 3 5 y = 4 x + 4 Res.: r: z = 1 x + 5 4 4 27.D as equaes simtricas da reta r que passa pelo ponto A(1,2,1) e paralela ao eixo das cotas. x = 1 Res.: r: y = 2 28.Determine as equaes simtricas da reta r que passa pelos pontos A(2,1,2) e B(2,5,7). y 1 z 2 = Res.: r: 4 5 x = 2 29.Determine as equaes simtricas da reta que passa pelo ponto A(0,4,2) r e tem a direo do vetor u = (3,0,0). y = 4 Res.: r: z = 2 30.D as equaes simtricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,3) e paralela ao eixo das abcissas. y = 0 Res.: r: z = 3 31.Encontre as equaes simtricas da reta r que passa pelo ponto A(2,1,3) e tem a mesma direo do eixo das ordenadas. x = 2 Res.: r: z = 3
Retas
85
3.2.ngulo entre Duas Retasr r Sejam r e s duas retas com vetores diretores u e v , respectivamente.
O ngulo entre tais retas definido como sendo o menor dos ngulos entre as suas direes. Como a direo de cada uma das retas coincide com a do seu vetor diretor, utilizamos a frmula do ngulo entre vetores, modificada:
r r uv = arc cos r r u vsendo , o ngulo entre as retas r e s, com variao dada por 0 rr vr u
. 2
s
A diferena entre a frmula do ngulo entre vetores e a do ngulo entre retas o mdulo, acrescentado no produto escalar entre os vetores diretores das retas, devido variao do ngulo .
Exemplo Determine o ngulo entre as seguintes retas: x = 2 2 t t R a) r: y = 2 t z = 3 4 t e x y + 6 z 1 = s: = 2 2 4
Retas
86
x 4 y z + 1 = = b) r: 1 2 2
e
x = 1 s: y + 1 z 2 4 = 3
Resoluo: r r a) Em primeiro lugar, determinamos os vetores diretores de r e s, u e v ,respectivamente: r u = (2,2,4)r v = (4,2,2)
e
Para determinarmos o ngulo entre de r e s, usamos a frmula apresentada: r r uv (-2,2,-4) ( 4,2,2) = = arc cos r r = arc cos uv (-2,2,-4) (4,2,2) = arc cos 12 24 24 = arc cos 1 = 60O 2
r r b) A resoluo idntica do exemplo a): u = (2,1,2) e v = (0,4,3) e da,
temos:r r uv 10 2 = arc cos = arc cos r r = arc cos 15 3 uv
Retas
87
Lista 7 de Exerccios Propostos y = 2x 3 1. Encontre o ponto de interseo e o ngulo entre as retas r: e z = 4x 10 y 7 z 12 . = s: x = 7 3 33 Res.: P(2,1,-2) e = arc cos 21 59 r r 2. Seja v = (f,g,h) um vetor diretor de uma reta r, paralelo a w = (4,4,2) e r r r v s = (0,4,8), onde s = (2,6,3). Determine o ngulo da reta r com o r vetor s .
Res.: = arc cos 19/21 3. Determine as equaes reduzidas da reta que passa pelo ponto A(1,3,1)e perpendicular ao plano xOz. x = 1 Res.: r: z = 1
4. Dado o teorema de geometria, As trs medianas de um tringulo seinterceptam num nico ponto denominado baricentro, encontre o baricentro do tringulo que tem por vrtices os pontos A(3,4,1), B(1,1,0) e C(2,4,3).
Res.: F(2,3,2/3)x = 2 t 5. Encontre o cosseno do ngulo entre as retas r: y = 1 + 3t , t R e s z = 5 t que passa pelos pontos A(8,1,2) e B(2,3,1). 3 854 122
Res.: cos =
Retas
88
3.3.Posies Relativas entre Duas RetasDadas duas retas r e s no espao, elas podem ser classificadas, quanto sua posio relativa, em coplanares ou reversas. Coplanares quando for possvel determinar-se um plano que as contenha e reversas, quando isso no ocorrer. Geometricamente,retas concorrentes
retas paralelas
3.3.1.Condio de CoplanaridadeEstabeleceremos uma condio para verificar se duas retas so
coplanares ou reversas.A B Sejam r e s retas definidas por ponto e vetor diretor: r: r e s: r u v Geometricamente, sr v r u
A
AB
r
B
Retas
89
podemos concluir que as retas so coplanares se, e somente se, os vetores r r u , v e AB forem coplanares, condio verificada quando o produto misto entre eles for nulo, ou seja,r r r e s so coplanares se, e somente se, ( u , v , AB ) = 0
Em decorrncia, podemos afirmar quer r r e s so reversas se, e somente se, ( u , v , AB ) 0
De acordo com o exposto, podemos estabelecer o seguinte esquema:
coincidentes paralelasou no coincidentes coplanaresou perpendiculares concorrentesou Retas no perpendiculares ou ortogonais reversasou no ortogonais Em funo desse esquema, dada a reta r, passando por A(x0,y0,z0) e r com vetor diretor u , e a reta s, passando por B(x1,y1,z1) e com vetor diretor r v , apresentamos as seguintes condies:
Retas
90
1) Se r e s forem coplanares, r r a) r paralela a s u paralelo a v . b) r coincidente a s r paralela a s e As. r r c) r concorrente com s u no paralelo a v . r r d) r perpendicular a s u perpendicular a v .r r 2) r e s reversas so ortogonais se, e somente se, u perpendicular a v .
Exemplo Estude a posio relativa das retas:
y = 2x 3 a) r: z = x x y 1 =z b) r: = 2 2x = 2 + t c) r: y = 3 + 2t tR z = 4 + 3t
e
x 1 y 4 z s: = = 3 6 3 x 2 y z 2 = = s: 2 2 3 x = z s: y = 1
e
e
Resoluo:r a) Da reta r, temos que u = (1,2,1) seu vetor diretor e A(0,3,0), um de
seus pontos, dados obtidos pelas suas equaes reduzidas. r Efetuando-se o mesmo em relao reta s, obtemos v = (3,6,3) e B(1,4,0). Temos ento:AB = B A = (1,7,0) e, calculando-se o produto misto
Retas
91
1 2 1 r r ( u , v , AB ) = 3 6 3 = 0, conclumos que as retas so coplanares. 1 7 0 1 1 2 , obtemos que = = 3 6 3
Analisando os vetores diretores de r e de s,
r r u paralelo a v . Logo, as retas r e s so paralelas.
Alm disso, r no coincidente com s, pois As, visto que 0 1 3 4 0 . 3 6 3b) A resoluo idntica a do item anterior:
A(0,1,0) r: r u = (2,2,1)
e
B(2,0,2) s: r portanto, AB = (2,1,2), de onde v = (3,2,2)
2 2 1 r r obtemos ( u , v , AB ) = 3 2 2 = 1 0, de onde conclumos que as retas 21 2
so reversas.r r Alm disso, r no ortogonal a s, pois u v =12 0. A(2,3,4) B(0,1,0) c) Temos que r: r , s: r e AB =(2,2,4), de onde u = (1,2,3) v = (1,0,1)
1 2 3 r r conclumos que r e s so coplanares, pois (u , v, AB) = 1 0 1 = 0. 2 2 4
Retas
92
r r As retas r e s so concorrentes, pois u e v no so paralelos, e mais, r r no so perpendiculares pois u v = 4 0.
Para determinarmos o ponto de interseo, basta substituirmos as expresses de x, y e z da reta r na reta s, de onde obteremos: 2 + t = 4 + 3t t = 1 3 + 2t = 1 t = 1 Substituindo-se t = 1 nas equaes da reta r, obterem
