1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 ...
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A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
In diesem Abschnitt sind häufig benötigte Beziehungen und Formeln zu verschiedenen Themen-gebieten des Buches zusammengestellt.
A.1 Trigonometrische Funktionen
1. sin x = sin (x+2nπ) n = 0,±1,±2,±3, · · ·2. cos x = cos (x+2nπ)
3. tan x = tan (x+nπ)
4. cot x = cot (x+nπ)
5. sin(
x+π2
)= cos x
6. cos(
x+π2
)=− sin x
7. tan(
x+π2
)=− cot x
8. cot(
x+π2
)=− tan x
9. sin (x+π) =− sin x
10. cos (x+π) =− cos x
11. tan (x+π) = tan x
12. cot (x+π) = cot x
13. sin (−x) =− sin x
14. cos (−x) = cos x
15. tan (−x) =− tan x
16. cot (−x) =− cot x
17. sin 2x = 2 sin x cos x
18. cos 2x = cos2 x− sin2 x
19. sin2 x+ cos2 x = 1
20. sin2 x =12(1− cos 2x)
Z. Şanal, Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-658-10642-3,© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015
774 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
21. cos2 x =12(1+ cos 2x)
22. sin2 x2=
12(1− cos x)
23. cos2 x2=
12(1+ cos x)
24. sin (x± y) = sin x cos y ± cos x sin y
25. cos (x± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
26. tan (x± y) =tan x± tan ytan x∓ tan y
27. sin x+ sin y = 2 sinx+ y
2cos
x− y2
28. cos x+ sin y = 2 cosx+ y
2cos
x− y2
29. sin x− sin y = 2 cosx+ y
2sin
x− y2
30. cos x− cos y =−2 sinx+ y
2sin
x− y2
31. tan x =sin xcos x
=1
cot x
32. cot x =cos xsin x
=1
tan x
33. A sin x+B cos x = (A2 +B2)1/2 cos(x−φ) mit φ = arctan(A/B)
34. A sin x+B cos x = (A2 +B2)1/2 sin(x−φ) mit φ = arctan(−B/A)
35. Kosinus-Satz: a2 = b2 + c2 −2bc cos αa, b, c sind die Kanten eines Dreiecks, α der Winkel zwischen b und c
A.2 Arkusfunktionen 775
A.2 Arkusfunktionen
1. arcsin(−x) =− arcsin x
2. arccos(−x) = π − arccos x
3. arctan(−x) =− arctan x
4. arccot(−x) = π − arccotx
5. arcsin x+ arccos x = π/2
6. arctan x+ arccot x = π/2
A.3 Hyperbelfunktionen
1. sinh (−x) =− sinh x
2. cosh (−x) = cosh x
3. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
4. cosh 2x = sinh2 x+ cosh2 x
5. cosh2 x = 1+ sinh2 x
6. sinh (x± y) = sinh x cosh y± cosh x sinh y
7. cosh (x± y) = cosh x cosh y± sinh x sinh y
776 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
A.4 Ableitungen elementarer Funktionen
c, a, k sind skalare Konstanten.
Nr. f (x) f ′(x)
1. c 0
2. x 1
3. x2 2x
4. x3 3x2
5. xa a xa−1
6.√
x1
2√
x=
12
x−1/2
7. x1/n 1
n n√xn−1=
1n
x(1−n)/n
8.1x
− 1x2
9.1x2 − 2
x3
10. xx xx (1+ ln x)
11. xax a xax (1+ ln x)
12. ex ex
13. e−x −e−x
14. eax aeax
15. e f (x) e f (x) f ′(x)
16. ax ax ln a a > 0
17. akx k akx ln a a > 0
18. ln x1x
19. ln kx1x
20. ln f (x)f ′(x)f (x)
(s. Abs. 3.5)
21. lg x1
x ln 10
Nr. f (x) f ′(x)
22. lg kx1
x ln 1023. loga x
1x ln a
24. sin x cos x
25. sin ax a cos ax
26. cos x − sin x
27. cos ax −a sin ax
28. tan axa
cos2 x29. cot ax − a
sin2 x30. sin2 ax 2a sin ax cos ax
31. cos2 ax −2a sin ax cos ax
32. arcsin x1√
1− x2
33. arccos x − 1√1− x2
34. arctan x1
1+ x2
35. arccot x − 11+ x2
36. sinh x cosh x
37. cosh x sinh x
38. tanh x1
cosh2 x= 1− tanh2 x
39. coth x − 1sinh2 x
= 1− coth2 x
40. arcsinh x1√
1+ x2
41. arccosh x1√
x2 −1
42. arctanh x1
1− x2
43. arccoth x1
1− x2
A.5 Unbestimmte Integrale 777
A.5 Unbestimmte Integrale
Die Integrationskonstante C wurde zwecks besserer Übersichtlichkeit weggelassen.
1.∫
dx =∫
1 · dx = x
2.∫
a dx = ax
3.∫
xa dx =xa+1
a+1(a �=−1)
4.∫(ax+b)n dx =
(ax+b)n+1
a(n+1)(n �=−1)
5.∫ 1
xdx = ln x s. Fußnote 1
6.∫ 1
x2 dx =−1x
7.∫ 1
x3 dx =− 12x2
8.∫ 1
xa dx =−x−(a−1)
(a−1)
9.∫ 1
a+ xdx = ln(a+ x)
10.∫ 1
a− xdx =− ln(a− x)
11.∫ 1
ax+bdx =
1a
ln(ax+b)
12.∫ 1(ax+b)n dx =− ax+b
a(n−1)(ax+b)n
13.∫ x
ax+bdx =
ax−b ln(ax+b)a2
14.∫ x
ax−bdx =
ax+b ln(ax−b)a2
15.∫ ax+b
cx+ddx =
axc+
bc−adc2 ln(cx+d)
16.∫ x2
ax+bdx =
x2
2a− bx
a2 +b2 ln(ax+b)
a3
1 In mathematischer Literatur ist das Ergebnis normalerweise als ln |x| zu finden. In diesem Buch wird für Integralein Anlehnung an die Konvention in [6] stets die Form ohne Betragszeichen verwendet; dies ist auch in allen Compu-teralgebrasystemen implementierte Vorgehensweise.
778 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
17.∫ x2
ax−bdx =
x2
2a+
bxa2 +
b2 ln(ax−b)a3
18.∫ x(ax+b)2 dx =
ba2(ax+b)
+ln(ax+b)
a2
19.∫ x(ax−b)2 dx =
−ba2(ax−b)
+ln(ax−b)
a2
20.∫ 1
a2 + x2 dx =1a
arctanxa
21.∫ 1
a2 − x2 dx =12a
lnx+ax−a
22.∫ 1
x(ax+b)dx =
1b
lnx
ax+b
23.∫ 1
x(ax−b)dx =−1
bln
xax−b
24.∫ 1
x2(ax+b)dx =− 1
bx− a
b2 lnx
ax+b
25.∫ 1
x2(ax−b)dx =
1bx
− ab2 ln
xax−b
26.∫ 1(ax+b)(cx+d)
dx =1
bc−adln
cx+dax+b
bc �= ad
27.∫ 1
ax2 +bx+ cdx =
2√4ac−b2
arctan2ax+b√4ac−b2
28.∫ x(ax+b)(cx+d)
dx =1
bc−ad
(ba
ln(ax+b)− dc
ln(cx+d))
bc �= ad
29.∫ x
ax2 +bx+ cdx =
ln(ax2 +bx+ c)2a
− b
a√
4ac−b2arctan
2ax+b√4ac−b2
30.∫ √
ax+b dx =23a
(ax+b)3/2
31.∫ √
ax−b dx =23a
(ax−b)3/2
32.∫
x√
ax+b dx =2
15a2 (ax+b)3/2 (3ax−2b)
33.∫
x√
ax−b dx =2
15a2 (ax−b)3/2 (3ax+2b)
A.5 Unbestimmte Integrale 779
34.∫ √
a2x2 +b2 dx =12
(x√
a2x2 +b2 +b2
aln(ax+
√a2x2 +b2)
)
35.∫ √
a2x2 −b2 dx =12
(x√
a2x2 −b2 − b2
aln(ax+
√a2x2 −b2)
)
36.∫ √−a2x2 +b2 dx =
12
(x√−a2x2 +b2 +
b2
aarctan
ax√−a2x2 +b2
)
37.∫ √−a2x2 −b2 dx =
12
(x√−a2x2 −b2 − b2
aarctan
ax√−a2x2 −b2
)
38.∫
x√
a2x2 +b2 dx =1
3a2
(a2x2 +b2
)3/2
39.∫
x√
a2x2 −b2 dx =1
3a2
(a2x2 −b2
)3/2
40.∫
x√−a2x2 +b2 dx =− 1
3a2
(−a2x2 +b2)3/2
41.∫
x√−a2x2 −b2 dx =− 1
3a2
(−a2x2 −b2)3/2
42.∫ 1√
ax+bdx =
2a
√ax+b
43.∫ 1√
ax−bdx =
2a
√ax−b
44.∫ 1√
a2x2 +b2dx =
1a
ln(ax+√
a2x2 +b2)
45.∫ 1√
a2x2 −b2dx =
1a
ln(ax+√
a2x2 −b2)
46.∫ 1√−a2x2 +b2
dx =1a
arctanax√−a2x2 +b2
47.∫ 1√−a2x2 −b2
dx =1a
arctanax√−a2x2 −b2
48.∫ x√
a2x2 +b2dx =
1a2
√a2x2 +b2
49.∫ x√
a2x2 −b2dx =
1a2
√a2x2 −b2
50.∫ x√−a2x2 +b2
dx =− 1a2
√−a2x2 +b2
780 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
51.∫ x√−a2x2 −b2
dx =− 1a2
√−a2x2 −b2
52.∫
ex dx = ex
53.∫
e−x dx =−e−x
54.∫
eax dx =1a
eax
55.∫
x eax dx =1a2 (ax−1) eax
56.∫
x2 eax dx =1a3 (a2x2 −2ax+2) eax
57.∫
x eax2dx =
12a
eax2
58.∫ 1
b+ c eax dx =xb− 1
abln(b+ ceax)
59.∫ 1
b− c eax dx =xb− 1
abln(−b+ ceax)
60.∫ eax
b+ c eax dx =1ac
ln(b+ ceax)
61.∫ eax
b− c eax dx =− 1ac
ln(b− ceax)
62.∫
ax dx =1
ln aax
63.∫
ln x dx = x (ln x−1)
64.∫
ln ax dx = x (ln ax−1)
65.∫
ln2 ax dx = x (ln2 ax−2 ln ax+2)
66.∫
x ln ax dx =x2
4(2 ln ax−1)
67.∫
x2 ln ax dx =x3
9(3 ln ax−1)
68.∫
x ln2 ax dx =x2
4(2 ln2 ax−2 ln ax+1)
69.∫
x2 ln2 ax dx =x3
27(9 ln2 ax−6 ln ax+2)
70.∫ 1
x ln axdx = ln(ln ax)
A.5 Unbestimmte Integrale 781
71.∫
sin ax dx =−1a
cos ax
72.∫
sin2 ax dx =x2− 1
4asin 2ax =
x2− sin ax cos ax
2a
73.∫
x sin ax dx =1a2 (sin ax−ax cos ax)
74.∫
x2 sin ax dx =1a3 [2ax sin ax− (a2x2 −2) cos ax ]
75.∫
x sin(ax2) dx =− 12a
cos(ax2)
76.∫ 1
sin axdx =
ln(1− cos ax)− ln(sin ax)a
77.∫ 1
1+ sin axdx =−1
atan
(π4− ax
2
)
78.∫ 1
1− sin axdx =
1a
tan(π
4+
ax2
)
79.∫ 1
sin2 axdx =−1
acot ax
80.∫ 1
1− sin2 axdx =
1a
tan ax
81.∫
sin ln x dx =x2(sin(ln x)− cos(ln x))
82.∫
sin ax sin bx dx =sin(a−b)x
2(a−b)− sin(a+b)x
2(a+b)(a2 �= b2) Für a = b s. Nr. 72
83.∫
sin2 ax sin bx dx =−cos bx2b
+cos (2a+b)x
4(2a+b)− cos (2a−b)x
4(2a−b)
84.∫
cos ax dx =1a
sin ax
85.∫
cos2 ax dx =x2+
14a
sin 2ax
86.∫
x cos ax dx =1a2 (cos ax+ax sin ax)
87.∫
x2 cos ax dx =1a3 [2ax cos ax+(a2x2 −2) sin ax ]
88.∫
x cos(ax2) dx =12a
sin(ax2)
782 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
89.∫ 1
cos axdx =
ln(1+ sin ax)− ln(cos ax)a
90.∫ 1
1+ cos axdx =
1a
tanax2
91.∫ 1
1− cos axdx =− 1
a tanax2
92.∫ 1
cos2 axdx =
1a
tan ax
93.∫ 1
1− cos2 axdx =− 1
a tan ax
94.∫
cos ln x dx =x2(sin(ln x)+ cos(ln x))
95.∫
cos ax cos bx dx =sin(a−b)x
2(a−b)+
sin(a+b)x2(a+b)
(a2 �= b2) Für a = b s. Nr. 85
96.∫
cos2 ax cos bx dx =sin bx
2b+
sin (2a+b)x4(2a+b)
+sin (2a−b)x
4(2a−b)
97.∫
sin ax cos ax dx =1
2asin2 ax
98.∫
sin2 ax cos2 ax dx =x8− sin 4ax
32a
99.∫
sinn ax cos ax dx =1
a(n+1)sinn+1 ax (n �=−1)
100.∫
sin ax cosn ax dx =− 1a(n+1)
cosn+1 ax (n �=−1)
101.∫
sin ax cos bx dx =−cos(a+b)x2(a+b)
− cos(a−b)x2(a−b)
(a2 �= b2) Für. a = b s. Nr. 97
102.∫
sin2 ax cos bx dx =sin bx
2b− sin (2a+b)x
4(2a+b)− sin (2a−b)x
4(2a−b)
103.∫
cos2 ax sin bx dx =−cos bx2b
− cos (2a+b)x4(2a+b)
+cos (2a−b)x
4(2a−b)
104.∫ 1
sin ax cos axdx =
1a
ln(tan ax)
105.∫ 1
sin2 ax cos2 axdx =−2
acot 2ax
106.∫ sin ax
cosn axdx =
1a(n−1) cosn−1 ax
(n �= 1)
A.5 Unbestimmte Integrale 783
107.∫ cos ax
sinn axdx =− 1
a(n−1) sinn−1 ax(n �= 1)
108.∫
ebx sin ax dx =1
a2 +b2 ebx (b sin ax−a cos ax)
109.∫
ebx cos ax dx =1
a2 +b2 ebx (a sin ax+b cos ax)
110.∫
ecos x sin x dx =−ecos x
111.∫
esin x cos x dx = esin x
112.∫
a xa−1 sin xa dx =− cos xa
113.∫
a xa−1 cos xa dx = sin xa
114.∫
tan ax dx =−1a
ln(cos ax)
115.∫
tan2 ax dx =tan ax
a− x
116.∫
cot ax dx =1a
ln(sin ax)
117.∫
cot2 ax dx =−cot axa
− x
118.∫
arcsin ax dx =1a(ax arcsin ax+
√1−a2x2)
119.∫
arccos ax dx =1a(ax arccos ax−√
1−a2x2)
120.∫
arctan ax dx = x arctan ax− 12a
ln (1+a2x2)
121.∫
sinh ax dx =1a
cosh ax
122.∫
cosh ax dx =1a
sinh ax
123.∫
tanh ax dx =1a
ln (cosh ax)
124.∫
coth ax dx =1a
ln (sinh ax)
125.∫ 1
sinh axdx =
1a
ln(tanh
ax2)
126.∫ 1
cosh axdx =
2a
arctan eax
784 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
127.∫
sinh2 ax dx =12
(1a
sinh ax cosh ax− x)
128.∫
cosh2 ax dx =12
(1a
sinh ax cosh ax+ x)
129.∫
tanh2 ax dx = x− 1a
tanh ax
130.∫
coth2 ax dx = x− 1a
coth ax
131.∫
x sinh ax dx =1a
x cosh ax− 1a2 sinh ax
132.∫
x cosh ax dx =1a
x sinh ax− 1a2 cosh ax
133.∫
x2 sinh ax dx =1a3 (a2x2 cosh ax−2ax sinh ax+2 cosh ax)
134.∫
x2 cosh ax dx =1a3 (a2x2 sinh ax−2ax cosh ax+2 sinh ax)
135.∫
sin ax sinh ax dx =14a
[eax(sin ax− cos ax)+ e−ax(sin ax+ cos ax)]
136.∫
sin ax cosh ax dx =14a
[eax(sin ax− cos ax)− e−ax(sin ax+ cos ax)]
137.∫
cos ax sinh ax dx =14a
[eax(sin ax+ cos ax)+ e−ax(− sin ax+ cos ax)]
138.∫
cos ax cosh ax dx =14a
[eax(sin ax+ cos ax)+ e−ax(sin ax− cos ax)]
139.∫
sinh ax sinh bx dx =1
2(a+b)sinh(a+b)x− 1
2(a−b)sinh(a−b)x
140.∫
cosh ax sinh bx dx =1
2(a+b)cosh(a+b)x− 1
2(a−b)cosh(a−b)x
141.∫
sinh ax cosh bx dx =1
2(a+b)cosh(a+b)x+
12(a−b)
cosh(a−b)x
A.6 Einige bestimmte Integrale 785
A.6 Einige bestimmte Integrale
m, n : ganze Zahlen; r : reelle Zahl
1.π/2∫0
sin x dx = 1
2.π∫0
sin x dx = 2
3.2π∫0
sin x dx = 0
4.π∫
−πsin x dx = 0
5.π/2∫0
sin2 x dx =π4
6.π∫0
sin2 x dx =π2
7.π/2∫0
cos x dx = 1
8.π∫0
cos x dx = 0
9.2π∫0
cos x dx = 0
10.π∫
−πcos x dx = 0
11.π/2∫0
cos2 x dx =π4
12.π∫0
cos2 x dx =π2
13.π/2∫0
sin2n x dx =π/2∫0
cos2n x dx =1 · 3 · 5 · . . . · (2n−1)
2 · 4 · 6 · . . . · (2n)π2
14.π/2∫0
sin2n+1 x dx =π/2∫0
cos2n+1 x dx =2 · 4 · 6 · . . . · (2n)
1 · 3 · 5 · . . . · (2n+1)
15.π∫0
sin x cos x dx =2π∫0
sin x cos x dx =π∫
−πsin x cos x dx = 0
16.π/2∫0
sin x cos x dx =12
17.π∫
−πsin mx sin nx dx =
2π∫0
sin mx sin nx dx =
{π für m = n �= 0
0 für m �= n
18.π∫0
sin mx sin nx dx =
{π/2 für m = n �= 0
0 für m �= n
19.π∫
−πcos mx cos nx dx =
2π∫0
cos mx cos nx dx =
{π für m = n �= 0
0 für m �= n
20.π∫0
cos mx cos nx dx =
{π/2 für m = n �= 0
0 für m �= n
21.π∫
−πsin mx cos nx dx =
2π∫0
sin mx cos nx dx = 0
786 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
22.L∫
−Lsin
mπxL
cosnπx
Ldx =
2L∫0
sinmπx
Lcos
nπxL
dx =r+2L∫
rsin
mπxL
cosnπx
Ldx = 0
23.L∫
−Lsin
mπxL
sinnπx
Ldx =
2L∫0
sinmπx
Lsin
nπxL
dx =
{L für m = n �= 0
0 für m �= n
24.L∫
−Lcos
mπxL
cosnπx
Ldx =
2L∫0
cosmπx
Lcos
nπxL
dx =
{L für m = n �= 0
0 für m �= n
25.π∫0
sin mx cos nx dx =
⎧⎨⎩
2mm2 −n2 für m+n ungerade
0 für m+n gerade
26.∞∫0
e−a2x2dx =
√π
2asign a
27.∞∫0
x2e−a2x2dx =
√π
4a3 sign a
28.∞∫0
1a2 + x2 dx =
π2a
29.a∫0
1√a2 − x2
dx =π2
30.∞∫0
e−x ln x dx =−0,577216
A.7 Verschiedene Ausdrücke 787
A.7 Verschiedene Ausdrücke
1. limm→n
(cos k(n−m)π
k(n−m)− cos 2k(n−m)π
k(n−m)
)= 0 k, n, m ganze Zahlen
2. limm→nsin k(n−m)π
k(n−m)= π k, n, m ganze Zahlen
788 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
A.8 Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Φ(z) =1√2π
z∫−∞
e−u2/2 du Φ(−z) =1√2π
−z∫−∞
e−u2/2 du
Φ(−z) = 1−Φ(z) Ω(z) = Φ(z)−Φ(−z) = 2 Φ(z)−1
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)0.00 0.50000 0.50000 0.000000.01 0.50399 0.49601 0.007980.02 0.50798 0.49202 0.015960.03 0.51197 0.48803 0.023930.04 0.51595 0.48405 0.031910.05 0.51994 0.48006 0.039880.06 0.52392 0.47608 0.047840.07 0.52790 0.47210 0.055810.08 0.53188 0.46812 0.063760.09 0.53586 0.46414 0.071710.10 0.53983 0.46017 0.079660.11 0.54380 0.45620 0.087590.12 0.54776 0.45224 0.095520.13 0.55172 0.44828 0.103430.14 0.55567 0.44433 0.111340.15 0.55962 0.44038 0.119240.16 0.56356 0.43644 0.127120.17 0.56749 0.43250 0.134990.18 0.57142 0.42858 0.142850.19 0.57535 0.42465 0.150690.20 0.57926 0.42074 0.158520.21 0.58317 0.41683 0.166330.22 0.58706 0.41294 0.174130.23 0.59095 0.40905 0.181910.24 0.59483 0.40517 0.189670.25 0.59871 0.40129 0.197410.26 0.60257 0.39743 0.205140.27 0.60642 0.39358 0.212840.28 0.61026 0.38974 0.220520.29 0.61409 0.38591 0.228180.30 0.61791 0.38209 0.23582
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)0.31 0.62172 0.37828 0.243440.32 0.62552 0.37448 0.251030.33 0.62930 0.37070 0.258600.34 0.63307 0.36693 0.266140.35 0.63683 0.36317 0.273660.36 0.64058 0.35942 0.281150.37 0.64431 0.35569 0.288620.38 0.64803 0.35197 0.296050.39 0.65173 0.34827 0.303460.40 0.65542 0.34458 0.310840.41 0.65910 0.34090 0.318190.42 0.66276 0.33724 0.325510.43 0.66640 0.33360 0.332800.44 0.67003 0.32997 0.340060.45 0.67364 0.32636 0.347290.46 0.67724 0.32276 0.354480.47 0.68082 0.31918 0.361640.48 0.68439 0.31561 0.368770.49 0.68793 0.31207 0.375870.50 0.69146 0.30854 0.382920.51 0.69497 0.30503 0.389950.52 0.69847 0.30153 0.396940.53 0.70194 0.29806 0.403890.54 0.70540 0.29460 0.410800.55 0.70884 0.29116 0.417680.56 0.71226 0.28774 0.424520.57 0.71566 0.28434 0.431320.58 0.71904 0.28096 0.438090.59 0.72240 0.27760 0.444810.60 0.72575 0.27425 0.451490.61 0.72907 0.27093 0.45814
A.8 Verteilungsfunktion der Normalverteilung 789
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)0.62 0.73237 0.26763 0.464740.63 0.73565 0.26435 0.471310.64 0.73891 0.26109 0.477830.65 0.74215 0.25785 0.484310.66 0.74537 0.25463 0.490750.67 0.74857 0.25143 0.497140.68 0.75175 0.24825 0.503500.69 0.75490 0.24510 0.509810.70 0.75804 0.24196 0.516070.71 0.76115 0.23885 0.522300.72 0.76424 0.23576 0.528480.73 0.76730 0.23270 0.534610.74 0.77035 0.22965 0.540700.75 0.77337 0.22663 0.546750.76 0.77637 0.22363 0.552750.77 0.77935 0.22065 0.558700.78 0.78230 0.21770 0.564610.79 0.78524 0.21476 0.570470.80 0.78814 0.21186 0.576290.81 0.79103 0.20897 0.582060.82 0.79389 0.20611 0.587780.83 0.79673 0.20327 0.593460.84 0.79955 0.20045 0.599090.85 0.80234 0.19766 0.604670.86 0.80511 0.19489 0.610210.87 0.80785 0.19215 0.615700.88 0.81057 0.18943 0.621140.89 0.81327 0.18673 0.626530.90 0.81594 0.18406 0.631880.91 0.81859 0.18141 0.637180.92 0.82121 0.17879 0.642430.93 0.82381 0.17619 0.647630.94 0.82639 0.17361 0.652780.95 0.82894 0.17106 0.657890.96 0.83147 0.16853 0.662940.97 0.83398 0.16602 0.667950.98 0.83646 0.16354 0.672910.99 0.83891 0.16109 0.677831.00 0.84134 0.15866 0.68269
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)1.01 0.84375 0.15625 0.687501.02 0.84614 0.15386 0.692271.03 0.84849 0.15150 0.696991.04 0.85083 0.14917 0.701661.05 0.85314 0.14686 0.706281.06 0.85543 0.14457 0.710861.07 0.85769 0.14231 0.715381.08 0.85993 0.14007 0.719861.09 0.86214 0.13786 0.724291.10 0.86433 0.13567 0.728671.11 0.86650 0.13350 0.733001.12 0.86864 0.13136 0.737291.13 0.87076 0.12924 0.741521.14 0.87286 0.12714 0.745711.15 0.87493 0.12507 0.749861.16 0.87698 0.12302 0.753951.17 0.87900 0.12100 0.758001.18 0.88100 0.11900 0.762001.19 0.88298 0.11702 0.765951.20 0.88493 0.11507 0.769861.21 0.88686 0.11314 0.773721.22 0.88877 0.11123 0.777541.23 0.89065 0.10935 0.781301.24 0.89251 0.10749 0.785021.25 0.89435 0.10565 0.788701.26 0.89617 0.10383 0.792331.27 0.89796 0.10204 0.795921.28 0.89973 0.10027 0.799451.29 0.90147 0.09853 0.802951.30 0.90320 0.09680 0.806401.31 0.90490 0.09510 0.809801.32 0.90658 0.09342 0.813161.33 0.90824 0.09176 0.816481.34 0.90988 0.09012 0.819751.35 0.91149 0.08851 0.822981.36 0.91308 0.08691 0.826171.37 0.91466 0.08534 0.829311.38 0.91621 0.08379 0.832411.39 0.91774 0.08226 0.83547
790 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)1.40 0.91924 0.08076 0.838491.41 0.92073 0.07927 0.841461.42 0.92220 0.07780 0.844391.43 0.92364 0.07636 0.847281.44 0.92507 0.07493 0.850131.45 0.92647 0.07353 0.852941.46 0.92785 0.07214 0.855711.47 0.92922 0.07078 0.858441.48 0.93056 0.06944 0.861131.49 0.93189 0.06811 0.863781.50 0.93319 0.06681 0.866391.51 0.93448 0.06552 0.868961.52 0.93574 0.06426 0.871491.53 0.93699 0.06301 0.873981.54 0.93822 0.06178 0.876441.55 0.93943 0.06057 0.878861.56 0.94062 0.05938 0.881241.57 0.94179 0.05821 0.883581.58 0.94295 0.05705 0.885891.59 0.94408 0.05592 0.888171.60 0.94520 0.05480 0.890401.61 0.94630 0.05370 0.892601.62 0.94738 0.05262 0.894771.63 0.94845 0.05155 0.896901.64 0.94950 0.05050 0.898991.65 0.95053 0.04947 0.901061.66 0.95154 0.04846 0.903091.67 0.95254 0.04746 0.905081.68 0.95352 0.04648 0.907041.69 0.95449 0.04551 0.908971.70 0.95543 0.04457 0.910871.71 0.95637 0.04363 0.912731.72 0.95728 0.04272 0.914571.73 0.95818 0.04182 0.916371.74 0.95907 0.04093 0.918141.75 0.95994 0.04006 0.919881.76 0.96080 0.03920 0.921591.77 0.96164 0.03836 0.923271.78 0.96246 0.03754 0.92492
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)1.79 0.96327 0.03673 0.926551.80 0.96407 0.03593 0.928141.81 0.96485 0.03515 0.929701.82 0.96562 0.03438 0.931241.83 0.96638 0.03362 0.932751.84 0.96712 0.03288 0.934231.85 0.96784 0.03216 0.935691.86 0.96856 0.03144 0.937111.87 0.96926 0.03074 0.938521.88 0.96995 0.03005 0.939891.89 0.97062 0.02938 0.941241.90 0.97128 0.02872 0.942571.91 0.97193 0.02807 0.943871.92 0.97257 0.02743 0.945141.93 0.97320 0.02680 0.946391.94 0.97381 0.02619 0.947621.95 0.97441 0.02559 0.948821.96 0.97500 0.02500 0.950001.97 0.97558 0.02442 0.951161.98 0.97615 0.02385 0.952301.99 0.97670 0.02330 0.953412.00 0.97725 0.02275 0.954502.01 0.97778 0.02222 0.955572.02 0.97831 0.02169 0.956622.03 0.97882 0.02118 0.957642.04 0.97932 0.02068 0.958652.05 0.97982 0.02018 0.959642.06 0.98030 0.01970 0.960602.07 0.98077 0.01923 0.961552.08 0.98124 0.01876 0.962472.09 0.98169 0.01831 0.963382.10 0.98214 0.01786 0.964272.11 0.98257 0.01743 0.965142.12 0.98300 0.01700 0.965992.13 0.98341 0.01659 0.966832.14 0.98382 0.01618 0.967652.15 0.98422 0.01578 0.968442.16 0.98461 0.01539 0.969232.17 0.98500 0.01500 0.96999
A.8 Verteilungsfunktion der Normalverteilung 791
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)2.18 0.98537 0.01463 0.970742.19 0.98574 0.01426 0.971482.20 0.98610 0.01390 0.972192.21 0.98645 0.01355 0.972892.22 0.98679 0.01321 0.973582.23 0.98713 0.01287 0.974252.24 0.98745 0.01255 0.974912.25 0.98778 0.01222 0.975552.26 0.98809 0.01191 0.976182.27 0.98840 0.01160 0.976792.28 0.98870 0.01130 0.977392.29 0.98899 0.01101 0.977982.30 0.98928 0.01072 0.978552.31 0.98956 0.01044 0.979112.32 0.98983 0.01017 0.979662.33 0.99010 0.00990 0.980192.34 0.99036 0.00964 0.980722.35 0.99061 0.00939 0.981232.36 0.99086 0.00914 0.981722.37 0.99111 0.00889 0.982212.38 0.99134 0.00866 0.982692.39 0.99158 0.00842 0.983152.40 0.99180 0.00820 0.983602.41 0.99202 0.00798 0.984052.42 0.99224 0.00776 0.984482.43 0.99245 0.00755 0.984902.44 0.99266 0.00734 0.985312.45 0.99286 0.00714 0.985712.46 0.99305 0.00695 0.986112.47 0.99324 0.00676 0.986492.48 0.99343 0.00657 0.986862.49 0.99361 0.00639 0.987232.50 0.99379 0.00621 0.987582.51 0.99396 0.00604 0.987932.52 0.99413 0.00587 0.988262.53 0.99430 0.00570 0.988592.54 0.99446 0.00554 0.988912.55 0.99461 0.00539 0.989232.56 0.99477 0.00523 0.98953
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)2.57 0.99492 0.00508 0.989832.58 0.99506 0.00494 0.990122.59 0.99520 0.00480 0.990402.60 0.99534 0.00466 0.990682.61 0.99547 0.00453 0.990952.62 0.99560 0.00440 0.991212.63 0.99573 0.00427 0.991462.64 0.99585 0.00415 0.991712.65 0.99598 0.00402 0.991952.66 0.99609 0.00391 0.992192.67 0.99621 0.00379 0.992412.68 0.99632 0.00368 0.992642.69 0.99643 0.00357 0.992852.70 0.99653 0.00347 0.993072.71 0.99664 0.00336 0.993272.72 0.99674 0.00326 0.993472.73 0.99683 0.00317 0.993672.74 0.99693 0.00307 0.993862.75 0.99702 0.00298 0.994042.76 0.99711 0.00289 0.994222.77 0.99720 0.00280 0.994392.78 0.99728 0.00272 0.994562.79 0.99736 0.00264 0.994732.80 0.99744 0.00256 0.994892.81 0.99752 0.00248 0.995052.82 0.99760 0.00240 0.995202.83 0.99767 0.00233 0.995352.84 0.99774 0.00226 0.995492.85 0.99781 0.00219 0.995632.86 0.99788 0.00212 0.995762.87 0.99795 0.00205 0.995902.88 0.99801 0.00199 0.996022.89 0.99807 0.00193 0.996152.90 0.99813 0.00187 0.996272.91 0.99819 0.00181 0.996392.92 0.99825 0.00175 0.996502.93 0.99831 0.00169 0.996612.94 0.99836 0.00164 0.996722.95 0.99841 0.00159 0.99682
792 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)2.96 0.99846 0.00154 0.996922.97 0.99851 0.00149 0.997022.98 0.99856 0.00144 0.997122.99 0.99861 0.00139 0.997213.00 0.99865 0.00135 0.997303.01 0.99869 0.00131 0.997393.02 0.99874 0.00126 0.997473.03 0.99878 0.00122 0.997553.04 0.99882 0.00118 0.997633.05 0.99886 0.00114 0.997713.06 0.99889 0.00111 0.997793.07 0.99893 0.00107 0.997863.08 0.99896 0.00104 0.997933.09 0.99900 0.00100 0.998003.10 0.99903 0.00097 0.998063.11 0.99906 0.00094 0.998133.12 0.99910 0.00090 0.998193.13 0.99913 0.00087 0.998253.14 0.99916 0.00084 0.998313.15 0.99918 0.00082 0.998373.16 0.99921 0.00079 0.998423.17 0.99924 0.00076 0.998483.18 0.99926 0.00074 0.998533.19 0.99929 0.00071 0.998583.20 0.99931 0.00069 0.998633.21 0.99934 0.00066 0.998673.22 0.99936 0.00064 0.998723.23 0.99938 0.00062 0.998763.24 0.99940 0.00060 0.998803.25 0.99942 0.00058 0.998853.26 0.99944 0.00056 0.998893.27 0.99946 0.00054 0.998923.28 0.99948 0.00052 0.998963.29 0.99950 0.00050 0.999003.30 0.99952 0.00048 0.999033.31 0.99953 0.00047 0.999073.32 0.99955 0.00045 0.99910
z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)3.33 0.99957 0.00043 0.999133.34 0.99958 0.00042 0.999163.35 0.99960 0.00040 0.999193.36 0.99961 0.00039 0.999223.37 0.99962 0.00038 0.999253.38 0.99964 0.00036 0.999283.39 0.99965 0.00035 0.999303.40 0.99966 0.00034 0.999333.41 0.99968 0.00032 0.999353.42 0.99969 0.00031 0.999373.43 0.99970 0.00030 0.999403.44 0.99971 0.00029 0.999423.45 0.99972 0.00028 0.999443.46 0.99973 0.00027 0.999463.47 0.99974 0.00026 0.999483.48 0.99975 0.00025 0.999503.49 0.99976 0.00024 0.999523.50 0.99977 0.00023 0.999533.51 0.99978 0.00022 0.999553.52 0.99978 0.00022 0.999573.53 0.99979 0.00021 0.999583.54 0.99980 0.00020 0.999603.55 0.99981 0.00019 0.999613.56 0.99981 0.00019 0.999633.57 0.99982 0.00018 0.999643.58 0.99983 0.00017 0.999663.59 0.99983 0.00017 0.999673.60 0.99984 0.00016 0.999683.61 0.99985 0.00015 0.999693.62 0.99985 0.00015 0.999713.63 0.99986 0.00014 0.999723.64 0.99986 0.00014 0.999733.65 0.99987 0.00013 0.999743.66 0.99987 0.00013 0.999753.67 0.99988 0.00012 0.999763.68 0.99988 0.00012 0.999773.69 0.99989 0.00011 0.99978
A.9 Verschiedene Konstanten und Symbole 793
A.9 Verschiedene Konstanten und Symbole
Konstantenπ = 3,14159265358979323846e = 2,71828182845904523536√
2 = 1,414213562373095048801 rad = 57,2957795130823208768 ◦
1◦ = 0,01745329251994329555 rad
Symbole
∑ Summe∏ Produkt≈ ungefähr gleich�= nicht gleich≡ äquivalent:= definitionsgemäß gleich∝ proportional∞ unendlich<< viel kleiner als>> viel größer als⇒ daraus folgt⇔ ist gleich bedeutend mit‖ parallel⊥ senkrecht∂ partielles Ableitungssymbol (Delta)∇ Nabla-Operator
∀ für alle∃ es existiert∧ und∨ oder¬ nicht{} Menge∈ ist ein Element von⊂ ist eine Teilmenge (Untermenge) von∩ Schnittmenge∪ VereinigungN Natürliche ZahlenZ Ganze ZahlenQ Rationale ZahlenR Reelle ZahlenC Komplexe Zahlen
Literaturverzeichnis
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Die obige Liste gibt nur einen sehr kleinen Teil von umfangreicher weiter führender Fachliteraturbzw. von Formelsammlungen wieder.
Z. Şanal, Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-658-10642-3,© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015
Stichwortverzeichnis
Symbolee-Zahl, 7, 28
AAbleitung, 60
– äußere, 66– Faktorregel, 62– implizite, 546– innere, 66– Kettenregel, 65– logarithmische, 69– partielle, 528, 530– Produktregel, 63– Quotientenregel, 64– Regeln, 62– Summenregel, 62
Ableitungen– höhere, 75
Absoluter Fehler, 11Absolutwert, 9Abstand zweier Punkte, 278Arkusfunktionen, 42, 775Axialschwingungen, 612
BBalken auf elastischer Bettung, 113Balkenschwingungen, 603Basis, 1Binomische Formeln, 10Bogenlänge, 327
CC++, 761
– Ableitung, 763– Integration, 766– lineare Algebra, 764– Newton-Verfahren, 764
Cholesky-Verfahren, 693Computeralgebra, 719, 761Cramer-Regel, 167Crout-Verfahren, 691
DDeterminante, 159
– Laplace-Entwicklungssatz, 159Dichtefunktion, 396Differential, 59
– totales, 540– vollständiges, 541
Differentialgleichung– 2. Ordnung, 466– allgemeine Lösung, 422, 478– Anfangswertaufgabe, 422– Ansatzfunktion, 438– charakteristische Gleichung, 467– Diskriminante D, 467– erster Ordnung, 425
– explizite, 417, 420– gewöhnliche, 413– homogene, 436, 466– implizite, 417, 420– inhomogene, 436, 466– Integration, 420– Knicklast, 494– lineare, 418, 436– lineare homogene, 437– Lösung, 420– mit konstantem Koeffizienten, 438– nichtlineare, 418– Ordnung, 418– partielle, 603– partikuläre Lösung, 423, 474– Randwertaufgabe, 422– Schwingung, 483– spezielle Lösung, 422– Störfunktion, 436, 466– Transformation der Variablen, 428– Trennung der Variablen, 425– Variation der Konstanten, 441
Differentialgleichungen, 701– Euler-Verfahren, 702– Heun-Verfahren, 704– Runge-Kutta-Verfahren, 705
Differentialoperator, 61Differentialquotient, 59Differentialrechnung, 57
– Leibniz-Kalkül, 65– multivariable, 527
Differentiation, 60Differenzen, 57Differenzenquotient, 57, 58Differenzierbarkeit, 57Diffrentialgleichung
– Euler-Verfahren, 702Doolittle-Verfahren, 688Dreieckszerlegung, 151
Ee-Funktion, 28Ebene
– Vektorgleichung, 233Eigenwertaufgabe, 627, 646
– allgemeine, 628– charakteristische Gleichung, 630– Eigenwertdeterminante, 630– spezielle, 628
Eingabelungsverfahren, 675elastische Bettung, 113Ereignis
– unvereinbares, 387Ereignisse, 384Euler-Verfahren, 702Eulersche Formeln, 470Eulersche Zahl, 28Explizite Funktion, 44
Z. Şanal, Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-658-10642-3,© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015
798 Stichwortverzeichnis
Exponent, 1Exponentialfunktion, 28Extremwerte, 83
– hinreichende Bedingung für, 84– Lagrange-Multiplikator, 568– mit Nebenbedingungen, 568– notwendige Bedingung für, 84– zwei unabhängige Variablen, 566
FFakultät, 5Falk-Schema, 144Fehler
– relativer, 74Fixpunkt-Iteration, 679Fläche
– rotationssymmetische, 561Fläche zwischen zwei Kurven, 324Flächenberechnung
– in Polarkoordinaten, 326Flächennormale, 564Fourier-Reihe, 505, 507
– finite Funktion, 520– gerade Funktion, 517– Koeffizient, 507– nicht-periodische Funktion, 520
Freier Fall– mit Reibung, 29– ohne Reibung, 25
Fresnel-Integral, 52Funktion, 23
– antimetrisch, 35– antimetrische, 36– Arkus, 42– Extremwerte, 83– Gaußsche Glockenkurve, 51– glatte, 36– inverse, 30– Kegelschnitte, 47– Klothoide, 51– konstante, 23– lineare, 23– linearisierte, 72– logarithmische, 30– Maximum, 83– Minimum, 83– multivariable, 527– Parabel, 23– Parameterdarstellung, 45– periodische, 41– Polynom, 23– Schraubenlinie, 47– Skalar, 550– stetige, 36– symmetrisch, 35– trigonometrische, 37– unstetige, 36– Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, 51
GGauss-Elimination, 148Gauss-Seidel-Verfahren, 695Gauss-Verteilung, 400Gaußsche Glockenkurve, 51Geometrische Summe, 4Gerade, 279
– Abstand eines Punktes, 287– Hesse-Normalform, 282– Richtungsvektor, 287– Schnittpunkt, 288
– Steigung, 286– Vektorgleichung, 226– Winkel, 290– Winkelhalbierende, 292
Gleichungssysteme– Cholesky-Verfahren, 693– Crout-Verfahren, 691– Doolittle-Verfahren, 688
Gon, 13Gradient, 552
– in der Mechanik, 552– nD-Raum, 555– Richtung, 555
Grundgesamtheit, 375
HHäufigkeit, 376Häufigkeitsfunktion, 377Halblogarithmische Darstellung, 33Hesse-Matrix, 567Heun-Verfahren, 704Hyperbelfunktion, 43Hyperbelfunktionen, 775Hyperfläche, 528
IImplizite Ableitung, 546Implizite Funktion, 44Infinitesimalrechnung, 57Inkrement, 57Integral
– Fresnel, 52– bestimmtes, 308– Integrand, 302– numerisches, 313– unbestimmtes, 302
Integralanwendungen– Bogenlänge, 327– Flächenberechnung, 322– Mantelfläche, 331– Volumen, 333
Integration– partielle, 305
Invarianz, 552Inverse Funktion, 30Inverse Iteration
– Schwingungsprobleme, 658– Stabilitätsprobleme, 665
Irrationale Zahlen, 711
KKegelschnitte, 47
– Ellipse, 48– Hyperbel, 49– Kreis, 48– Parabel, 50
Kehrmatrix, 169Klothoide, 51Koeffizientenvergleich, 440, 457Kolmogorowsche Axiome, 389Komplexe Zahlen, 711Koordinatensystem, 267
– globales, 272– kartesisches, 267– rechtshändiges, 267– sphärisches, 271– zylindrisches, 268
Koordinatentransformation– Rotation, 275
Stichwortverzeichnis 799
– Translation, 273– Translation und Rotation, 277
Kosekans, 41Kosinus, 40Kotangens, 40Krümmung, 81
– Links, 82– Rechts, 82
Kurve– Vektorgleichung, 236
Ll’Hospital Regel, 77Lagrange-Multiplikator, 568Laplace-Gleichung, 603Leibniz-Kalkül, 65, 75Lineare Abhängigkeit, 156, 222Lineare Abhängigkeit und Kreuzprodukt, 223, 224Lineare Funktion, 23Lineare Gleichungssysteme, 129, 687Lineares Gleichungssystem, 147
– Cramer-Regel, 167– Dreieckszerlegung, 153– erweiterte Matrix, 153– Gauss-Elimination, 148, 153– homogenes, 148– inhomogenes, 148– Matrix-schreibweise, 153– Pivot, 150– Rückwärtssubstitution, 151– Vorwärtselimination, 151
Linearisierung, 72Linkskrümmung, 82Logarithmische Darstellung, 33Logarithmus, 6
– dekadischer, 6– natürlicher, 7
Logarithmus-Funktion, 30LU-Faktorisierung, 687
MMac Laurin-Reihen, 91Maple, 719
– Befehlsende :, 720– Befehlsende ;, 720– Differentialgleichungen, 741, 759– Differentialrechnung, 729– Eigenwerte, 749– Fourier-Reihen, 743– Funktionen, 726– Integralrechnung, 739– Konstanten, 720– lineare Algebra, 733– Lineare Gleichungssysteme, 757– Lösung von Gleichungen, 729– Multivariable Differentialrechnung, 745– Nichtlineare Gleichungen, 756– partielle DGLn, 747– Plotten, 724– Vektorrechnung, 737
Masse eines Körpers, 337Massenschwerpunkt, 337Matrix
– Addition, 137– antimetrische, 134– Definitheit, 641– Determinante, 159– Diagonalmatrix, 132– Dimension, 131
– Dimensionskompatibilität, 140– Dreiecksmatrix, 134– Eigenvektor, 627– Eigenwert, 627– Einheitsmatrix, 133– Einheitsvektor, 135– Hauptdiagonale, 132– inverse, 169– Invertierung nach Gauss, 169– lineare Abhängigkeit, 156– Matrixprodukt, 141– Multiplikation, 139, 142, 143– positiv definit, 641– positiv semidefinit, 642– quadratische, 131– Rang, 158– reguläre, 156– schiefsymmetrische, 134– singuläre, 156– Skalarprodukt, 141– Spaltenmatrix, 131– Spaltenvektor, 131– Spur, 134– symmetrische, 133– Transponierte, 136– Unterdeterminante, 641, 643– Zeilenvektor, 131
Matrizen, 129Maximum, 83Median, 379Minimum, 83Mittelwert, 8Modalwert, 379Multivariable Funktion
– technische Beispiele, 528Multivariable Funktionen, 527
NNabla-Operator, 556Newton-Verfahren, 86Nichtlineare Gleichungen, 675Niveaufläche, 564
– Flächennormale, 564– nD-Raum, 566
Niveaulinie, 560– Orthogonalität zum Gradienten, 561
Normalverteilung, 400Nullstelle
– Newton-Verfahren, 86Numerische Integration, 313
– Gauss-Quadratur, 319– Simpson-Regel, 317– Trapezverfahren, 315
Numerische Methoden, 646, 687, 701– Eingabelungsverfahren, 675– Fixpunkt-Iteration, 679
PParaboloid, 561Parameterdarstellung einer Funktion, 45Partielle Ableitung, 528, 530
– Definition, 530– höherer Ordnung, 533– numerische, 534
Partielle Differentialgleichung, 603Partielle Integration, 305Pascalsches Dreieck, 10Periode, 41Periodizität von Funktionen, 41
800 Stichwortverzeichnis
Pivotelement, 150Plattenbiegung, 534, 622Polarkoordinaten, 328Polynomfunktionen, 23
– Grad, 23Potenz- und Wurzelfunktionen, 27Potenzen, 1Potenzreihen, 91Produkt, 5
QQuadratische Gleichung, 9Quantil, 380Quotient, 711
Rrationale Funktion, 23Rationale Zahlen, 711Rayleigh-Verteilung, 406Rechtecklatte, 622Rechtskrümmung, 82Reelle Zahlen, 711Regula falsi, 675Reihen
– Mac Laurin, 91– Potenz, 91– Taylor, 92
Relativer Fehler, 11Richtungsableitung, 557
– im nD-Raum, 560Runge-Kutta-Verfahren, 705
SSattelpunkt, 84Schallpegel, 31Schraubenlinie, 47Schraubenregel, 268Schwarz’sche Ungleichung, 264Schwerpunkt, 337Schwingung
– erzwungene, 489– freie, 483– gedämpfte, 485– kritische Dämpfung, 486– Resonanz, 489– ungedämpfte, 483
Seil– vorgespanntes, 618
Sekans, 41Sekantenwinkel, 59sign, 11Signum-Funktion, 11Silodruck, 29Sinus, 38Skalarfeld, 550
– Invarianz, 552Skalarfunktion, 550Spatprodukt, 220Spinnkurve, 51Sprungfunktion, 492Stammfunktion, 301Standardabweichung, 382Statistik, 373
– beschreibende, 373– deskriptive, 373, 374– empirische, 373– Häufigkeit, 376– Häufigkeitsfunktion, 377– Maßzahlen, 378– mathematische, 374
– Median, 379– Modalwert, 379– Perzentil, 380– Quantil, 380– Standardabweichung, 382– Varianz, 380
Stetigkeit, 36Stichprobe, 375Stochastik, 373Summation, 3Symmetrie und Antimetrie, 35
TTangens, 40Tangente, 61
– Steigung, 61Tangentenwinkel, 59Tangentialebene, 539Taylor-Reihe, 92Temperaturverteilung
– instationär, 551– stationär, 550
Totales Differential, 539, 540– nD-Raum, 557
Trapezverfahren, 314Trigonometrische Funktionen, 37, 773
UUmkehrfunktion, 30Unbestimmter Ausdruck, 77Unbestimmtes Integral, 302
– Regeln, 304Unterdeterminanten, 641
VVarianz, 380Variation der Konstanten, 441Vektor
– Freier, 198– Gebundener, 198– Gleitender, 199
Vektoren, 197– Anwendungen des Kreuzprodukts, 216– Basisvektoren, 206– Kreuzprodukt, 211– Länge von, 202– lineare Abhängigkeit, 222– Linearkombination, 205– Linearkombination von, 202– Matrixschreibweise, 200– Normierung, 224– Skalarprodukt, 207
Vektornorm, 646Verteilungsfunktion, 395Vorgespanntes Seil, 618Vorwärtselimination, 151Vorzeichen-Funktion, 11
WWahrscheinlichkeit, 384, 387
– Definition, 387– Dichtefunktion, 396– Eigenschaften, 389– Ereignisse, 384
Wahrscheinlichkeitssätze, 391Weibull-Verteilung, 406Wendepunkt, 84Winkelmaße, 12
– Bogenmaß, 12, 38