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28
Anhang

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Anhang

A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

In diesem Abschnitt sind häufig benötigte Beziehungen und Formeln zu verschiedenen Themen-gebieten des Buches zusammengestellt.

A.1 Trigonometrische Funktionen

1. sin x = sin (x+2nπ) n = 0,±1,±2,±3, · · ·2. cos x = cos (x+2nπ)

3. tan x = tan (x+nπ)

4. cot x = cot (x+nπ)

5. sin(

x+π2

)= cos x

6. cos(

x+π2

)=− sin x

7. tan(

x+π2

)=− cot x

8. cot(

x+π2

)=− tan x

9. sin (x+π) =− sin x

10. cos (x+π) =− cos x

11. tan (x+π) = tan x

12. cot (x+π) = cot x

13. sin (−x) =− sin x

14. cos (−x) = cos x

15. tan (−x) =− tan x

16. cot (−x) =− cot x

17. sin 2x = 2 sin x cos x

18. cos 2x = cos2 x− sin2 x

19. sin2 x+ cos2 x = 1

20. sin2 x =12(1− cos 2x)

Z. Şanal, Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-658-10642-3,© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

774 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

21. cos2 x =12(1+ cos 2x)

22. sin2 x2=

12(1− cos x)

23. cos2 x2=

12(1+ cos x)

24. sin (x± y) = sin x cos y ± cos x sin y

25. cos (x± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

26. tan (x± y) =tan x± tan ytan x∓ tan y

27. sin x+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y2

28. cos x+ sin y = 2 cosx+ y

2cos

x− y2

29. sin x− sin y = 2 cosx+ y

2sin

x− y2

30. cos x− cos y =−2 sinx+ y

2sin

x− y2

31. tan x =sin xcos x

=1

cot x

32. cot x =cos xsin x

=1

tan x

33. A sin x+B cos x = (A2 +B2)1/2 cos(x−φ) mit φ = arctan(A/B)

34. A sin x+B cos x = (A2 +B2)1/2 sin(x−φ) mit φ = arctan(−B/A)

35. Kosinus-Satz: a2 = b2 + c2 −2bc cos αa, b, c sind die Kanten eines Dreiecks, α der Winkel zwischen b und c

A.2 Arkusfunktionen 775

A.2 Arkusfunktionen

1. arcsin(−x) =− arcsin x

2. arccos(−x) = π − arccos x

3. arctan(−x) =− arctan x

4. arccot(−x) = π − arccotx

5. arcsin x+ arccos x = π/2

6. arctan x+ arccot x = π/2

A.3 Hyperbelfunktionen

1. sinh (−x) =− sinh x

2. cosh (−x) = cosh x

3. sinh 2x = 2 sinh x cosh x

4. cosh 2x = sinh2 x+ cosh2 x

5. cosh2 x = 1+ sinh2 x

6. sinh (x± y) = sinh x cosh y± cosh x sinh y

7. cosh (x± y) = cosh x cosh y± sinh x sinh y

776 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

A.4 Ableitungen elementarer Funktionen

c, a, k sind skalare Konstanten.

Nr. f (x) f ′(x)

1. c 0

2. x 1

3. x2 2x

4. x3 3x2

5. xa a xa−1

6.√

x1

2√

x=

12

x−1/2

7. x1/n 1

n n√xn−1=

1n

x(1−n)/n

8.1x

− 1x2

9.1x2 − 2

x3

10. xx xx (1+ ln x)

11. xax a xax (1+ ln x)

12. ex ex

13. e−x −e−x

14. eax aeax

15. e f (x) e f (x) f ′(x)

16. ax ax ln a a > 0

17. akx k akx ln a a > 0

18. ln x1x

19. ln kx1x

20. ln f (x)f ′(x)f (x)

(s. Abs. 3.5)

21. lg x1

x ln 10

Nr. f (x) f ′(x)

22. lg kx1

x ln 1023. loga x

1x ln a

24. sin x cos x

25. sin ax a cos ax

26. cos x − sin x

27. cos ax −a sin ax

28. tan axa

cos2 x29. cot ax − a

sin2 x30. sin2 ax 2a sin ax cos ax

31. cos2 ax −2a sin ax cos ax

32. arcsin x1√

1− x2

33. arccos x − 1√1− x2

34. arctan x1

1+ x2

35. arccot x − 11+ x2

36. sinh x cosh x

37. cosh x sinh x

38. tanh x1

cosh2 x= 1− tanh2 x

39. coth x − 1sinh2 x

= 1− coth2 x

40. arcsinh x1√

1+ x2

41. arccosh x1√

x2 −1

42. arctanh x1

1− x2

43. arccoth x1

1− x2

A.5 Unbestimmte Integrale 777

A.5 Unbestimmte Integrale

Die Integrationskonstante C wurde zwecks besserer Übersichtlichkeit weggelassen.

1.∫

dx =∫

1 · dx = x

2.∫

a dx = ax

3.∫

xa dx =xa+1

a+1(a �=−1)

4.∫(ax+b)n dx =

(ax+b)n+1

a(n+1)(n �=−1)

5.∫ 1

xdx = ln x s. Fußnote 1

6.∫ 1

x2 dx =−1x

7.∫ 1

x3 dx =− 12x2

8.∫ 1

xa dx =−x−(a−1)

(a−1)

9.∫ 1

a+ xdx = ln(a+ x)

10.∫ 1

a− xdx =− ln(a− x)

11.∫ 1

ax+bdx =

1a

ln(ax+b)

12.∫ 1(ax+b)n dx =− ax+b

a(n−1)(ax+b)n

13.∫ x

ax+bdx =

ax−b ln(ax+b)a2

14.∫ x

ax−bdx =

ax+b ln(ax−b)a2

15.∫ ax+b

cx+ddx =

axc+

bc−adc2 ln(cx+d)

16.∫ x2

ax+bdx =

x2

2a− bx

a2 +b2 ln(ax+b)

a3

1 In mathematischer Literatur ist das Ergebnis normalerweise als ln |x| zu finden. In diesem Buch wird für Integralein Anlehnung an die Konvention in [6] stets die Form ohne Betragszeichen verwendet; dies ist auch in allen Compu-teralgebrasystemen implementierte Vorgehensweise.

778 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

17.∫ x2

ax−bdx =

x2

2a+

bxa2 +

b2 ln(ax−b)a3

18.∫ x(ax+b)2 dx =

ba2(ax+b)

+ln(ax+b)

a2

19.∫ x(ax−b)2 dx =

−ba2(ax−b)

+ln(ax−b)

a2

20.∫ 1

a2 + x2 dx =1a

arctanxa

21.∫ 1

a2 − x2 dx =12a

lnx+ax−a

22.∫ 1

x(ax+b)dx =

1b

lnx

ax+b

23.∫ 1

x(ax−b)dx =−1

bln

xax−b

24.∫ 1

x2(ax+b)dx =− 1

bx− a

b2 lnx

ax+b

25.∫ 1

x2(ax−b)dx =

1bx

− ab2 ln

xax−b

26.∫ 1(ax+b)(cx+d)

dx =1

bc−adln

cx+dax+b

bc �= ad

27.∫ 1

ax2 +bx+ cdx =

2√4ac−b2

arctan2ax+b√4ac−b2

28.∫ x(ax+b)(cx+d)

dx =1

bc−ad

(ba

ln(ax+b)− dc

ln(cx+d))

bc �= ad

29.∫ x

ax2 +bx+ cdx =

ln(ax2 +bx+ c)2a

− b

a√

4ac−b2arctan

2ax+b√4ac−b2

30.∫ √

ax+b dx =23a

(ax+b)3/2

31.∫ √

ax−b dx =23a

(ax−b)3/2

32.∫

x√

ax+b dx =2

15a2 (ax+b)3/2 (3ax−2b)

33.∫

x√

ax−b dx =2

15a2 (ax−b)3/2 (3ax+2b)

A.5 Unbestimmte Integrale 779

34.∫ √

a2x2 +b2 dx =12

(x√

a2x2 +b2 +b2

aln(ax+

√a2x2 +b2)

)

35.∫ √

a2x2 −b2 dx =12

(x√

a2x2 −b2 − b2

aln(ax+

√a2x2 −b2)

)

36.∫ √−a2x2 +b2 dx =

12

(x√−a2x2 +b2 +

b2

aarctan

ax√−a2x2 +b2

)

37.∫ √−a2x2 −b2 dx =

12

(x√−a2x2 −b2 − b2

aarctan

ax√−a2x2 −b2

)

38.∫

x√

a2x2 +b2 dx =1

3a2

(a2x2 +b2

)3/2

39.∫

x√

a2x2 −b2 dx =1

3a2

(a2x2 −b2

)3/2

40.∫

x√−a2x2 +b2 dx =− 1

3a2

(−a2x2 +b2)3/2

41.∫

x√−a2x2 −b2 dx =− 1

3a2

(−a2x2 −b2)3/2

42.∫ 1√

ax+bdx =

2a

√ax+b

43.∫ 1√

ax−bdx =

2a

√ax−b

44.∫ 1√

a2x2 +b2dx =

1a

ln(ax+√

a2x2 +b2)

45.∫ 1√

a2x2 −b2dx =

1a

ln(ax+√

a2x2 −b2)

46.∫ 1√−a2x2 +b2

dx =1a

arctanax√−a2x2 +b2

47.∫ 1√−a2x2 −b2

dx =1a

arctanax√−a2x2 −b2

48.∫ x√

a2x2 +b2dx =

1a2

√a2x2 +b2

49.∫ x√

a2x2 −b2dx =

1a2

√a2x2 −b2

50.∫ x√−a2x2 +b2

dx =− 1a2

√−a2x2 +b2

780 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

51.∫ x√−a2x2 −b2

dx =− 1a2

√−a2x2 −b2

52.∫

ex dx = ex

53.∫

e−x dx =−e−x

54.∫

eax dx =1a

eax

55.∫

x eax dx =1a2 (ax−1) eax

56.∫

x2 eax dx =1a3 (a2x2 −2ax+2) eax

57.∫

x eax2dx =

12a

eax2

58.∫ 1

b+ c eax dx =xb− 1

abln(b+ ceax)

59.∫ 1

b− c eax dx =xb− 1

abln(−b+ ceax)

60.∫ eax

b+ c eax dx =1ac

ln(b+ ceax)

61.∫ eax

b− c eax dx =− 1ac

ln(b− ceax)

62.∫

ax dx =1

ln aax

63.∫

ln x dx = x (ln x−1)

64.∫

ln ax dx = x (ln ax−1)

65.∫

ln2 ax dx = x (ln2 ax−2 ln ax+2)

66.∫

x ln ax dx =x2

4(2 ln ax−1)

67.∫

x2 ln ax dx =x3

9(3 ln ax−1)

68.∫

x ln2 ax dx =x2

4(2 ln2 ax−2 ln ax+1)

69.∫

x2 ln2 ax dx =x3

27(9 ln2 ax−6 ln ax+2)

70.∫ 1

x ln axdx = ln(ln ax)

A.5 Unbestimmte Integrale 781

71.∫

sin ax dx =−1a

cos ax

72.∫

sin2 ax dx =x2− 1

4asin 2ax =

x2− sin ax cos ax

2a

73.∫

x sin ax dx =1a2 (sin ax−ax cos ax)

74.∫

x2 sin ax dx =1a3 [2ax sin ax− (a2x2 −2) cos ax ]

75.∫

x sin(ax2) dx =− 12a

cos(ax2)

76.∫ 1

sin axdx =

ln(1− cos ax)− ln(sin ax)a

77.∫ 1

1+ sin axdx =−1

atan

(π4− ax

2

)

78.∫ 1

1− sin axdx =

1a

tan(π

4+

ax2

)

79.∫ 1

sin2 axdx =−1

acot ax

80.∫ 1

1− sin2 axdx =

1a

tan ax

81.∫

sin ln x dx =x2(sin(ln x)− cos(ln x))

82.∫

sin ax sin bx dx =sin(a−b)x

2(a−b)− sin(a+b)x

2(a+b)(a2 �= b2) Für a = b s. Nr. 72

83.∫

sin2 ax sin bx dx =−cos bx2b

+cos (2a+b)x

4(2a+b)− cos (2a−b)x

4(2a−b)

84.∫

cos ax dx =1a

sin ax

85.∫

cos2 ax dx =x2+

14a

sin 2ax

86.∫

x cos ax dx =1a2 (cos ax+ax sin ax)

87.∫

x2 cos ax dx =1a3 [2ax cos ax+(a2x2 −2) sin ax ]

88.∫

x cos(ax2) dx =12a

sin(ax2)

782 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

89.∫ 1

cos axdx =

ln(1+ sin ax)− ln(cos ax)a

90.∫ 1

1+ cos axdx =

1a

tanax2

91.∫ 1

1− cos axdx =− 1

a tanax2

92.∫ 1

cos2 axdx =

1a

tan ax

93.∫ 1

1− cos2 axdx =− 1

a tan ax

94.∫

cos ln x dx =x2(sin(ln x)+ cos(ln x))

95.∫

cos ax cos bx dx =sin(a−b)x

2(a−b)+

sin(a+b)x2(a+b)

(a2 �= b2) Für a = b s. Nr. 85

96.∫

cos2 ax cos bx dx =sin bx

2b+

sin (2a+b)x4(2a+b)

+sin (2a−b)x

4(2a−b)

97.∫

sin ax cos ax dx =1

2asin2 ax

98.∫

sin2 ax cos2 ax dx =x8− sin 4ax

32a

99.∫

sinn ax cos ax dx =1

a(n+1)sinn+1 ax (n �=−1)

100.∫

sin ax cosn ax dx =− 1a(n+1)

cosn+1 ax (n �=−1)

101.∫

sin ax cos bx dx =−cos(a+b)x2(a+b)

− cos(a−b)x2(a−b)

(a2 �= b2) Für. a = b s. Nr. 97

102.∫

sin2 ax cos bx dx =sin bx

2b− sin (2a+b)x

4(2a+b)− sin (2a−b)x

4(2a−b)

103.∫

cos2 ax sin bx dx =−cos bx2b

− cos (2a+b)x4(2a+b)

+cos (2a−b)x

4(2a−b)

104.∫ 1

sin ax cos axdx =

1a

ln(tan ax)

105.∫ 1

sin2 ax cos2 axdx =−2

acot 2ax

106.∫ sin ax

cosn axdx =

1a(n−1) cosn−1 ax

(n �= 1)

A.5 Unbestimmte Integrale 783

107.∫ cos ax

sinn axdx =− 1

a(n−1) sinn−1 ax(n �= 1)

108.∫

ebx sin ax dx =1

a2 +b2 ebx (b sin ax−a cos ax)

109.∫

ebx cos ax dx =1

a2 +b2 ebx (a sin ax+b cos ax)

110.∫

ecos x sin x dx =−ecos x

111.∫

esin x cos x dx = esin x

112.∫

a xa−1 sin xa dx =− cos xa

113.∫

a xa−1 cos xa dx = sin xa

114.∫

tan ax dx =−1a

ln(cos ax)

115.∫

tan2 ax dx =tan ax

a− x

116.∫

cot ax dx =1a

ln(sin ax)

117.∫

cot2 ax dx =−cot axa

− x

118.∫

arcsin ax dx =1a(ax arcsin ax+

√1−a2x2)

119.∫

arccos ax dx =1a(ax arccos ax−√

1−a2x2)

120.∫

arctan ax dx = x arctan ax− 12a

ln (1+a2x2)

121.∫

sinh ax dx =1a

cosh ax

122.∫

cosh ax dx =1a

sinh ax

123.∫

tanh ax dx =1a

ln (cosh ax)

124.∫

coth ax dx =1a

ln (sinh ax)

125.∫ 1

sinh axdx =

1a

ln(tanh

ax2)

126.∫ 1

cosh axdx =

2a

arctan eax

784 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

127.∫

sinh2 ax dx =12

(1a

sinh ax cosh ax− x)

128.∫

cosh2 ax dx =12

(1a

sinh ax cosh ax+ x)

129.∫

tanh2 ax dx = x− 1a

tanh ax

130.∫

coth2 ax dx = x− 1a

coth ax

131.∫

x sinh ax dx =1a

x cosh ax− 1a2 sinh ax

132.∫

x cosh ax dx =1a

x sinh ax− 1a2 cosh ax

133.∫

x2 sinh ax dx =1a3 (a2x2 cosh ax−2ax sinh ax+2 cosh ax)

134.∫

x2 cosh ax dx =1a3 (a2x2 sinh ax−2ax cosh ax+2 sinh ax)

135.∫

sin ax sinh ax dx =14a

[eax(sin ax− cos ax)+ e−ax(sin ax+ cos ax)]

136.∫

sin ax cosh ax dx =14a

[eax(sin ax− cos ax)− e−ax(sin ax+ cos ax)]

137.∫

cos ax sinh ax dx =14a

[eax(sin ax+ cos ax)+ e−ax(− sin ax+ cos ax)]

138.∫

cos ax cosh ax dx =14a

[eax(sin ax+ cos ax)+ e−ax(sin ax− cos ax)]

139.∫

sinh ax sinh bx dx =1

2(a+b)sinh(a+b)x− 1

2(a−b)sinh(a−b)x

140.∫

cosh ax sinh bx dx =1

2(a+b)cosh(a+b)x− 1

2(a−b)cosh(a−b)x

141.∫

sinh ax cosh bx dx =1

2(a+b)cosh(a+b)x+

12(a−b)

cosh(a−b)x

A.6 Einige bestimmte Integrale 785

A.6 Einige bestimmte Integrale

m, n : ganze Zahlen; r : reelle Zahl

1.π/2∫0

sin x dx = 1

2.π∫0

sin x dx = 2

3.2π∫0

sin x dx = 0

4.π∫

−πsin x dx = 0

5.π/2∫0

sin2 x dx =π4

6.π∫0

sin2 x dx =π2

7.π/2∫0

cos x dx = 1

8.π∫0

cos x dx = 0

9.2π∫0

cos x dx = 0

10.π∫

−πcos x dx = 0

11.π/2∫0

cos2 x dx =π4

12.π∫0

cos2 x dx =π2

13.π/2∫0

sin2n x dx =π/2∫0

cos2n x dx =1 · 3 · 5 · . . . · (2n−1)

2 · 4 · 6 · . . . · (2n)π2

14.π/2∫0

sin2n+1 x dx =π/2∫0

cos2n+1 x dx =2 · 4 · 6 · . . . · (2n)

1 · 3 · 5 · . . . · (2n+1)

15.π∫0

sin x cos x dx =2π∫0

sin x cos x dx =π∫

−πsin x cos x dx = 0

16.π/2∫0

sin x cos x dx =12

17.π∫

−πsin mx sin nx dx =

2π∫0

sin mx sin nx dx =

{π für m = n �= 0

0 für m �= n

18.π∫0

sin mx sin nx dx =

{π/2 für m = n �= 0

0 für m �= n

19.π∫

−πcos mx cos nx dx =

2π∫0

cos mx cos nx dx =

{π für m = n �= 0

0 für m �= n

20.π∫0

cos mx cos nx dx =

{π/2 für m = n �= 0

0 für m �= n

21.π∫

−πsin mx cos nx dx =

2π∫0

sin mx cos nx dx = 0

786 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

22.L∫

−Lsin

mπxL

cosnπx

Ldx =

2L∫0

sinmπx

Lcos

nπxL

dx =r+2L∫

rsin

mπxL

cosnπx

Ldx = 0

23.L∫

−Lsin

mπxL

sinnπx

Ldx =

2L∫0

sinmπx

Lsin

nπxL

dx =

{L für m = n �= 0

0 für m �= n

24.L∫

−Lcos

mπxL

cosnπx

Ldx =

2L∫0

cosmπx

Lcos

nπxL

dx =

{L für m = n �= 0

0 für m �= n

25.π∫0

sin mx cos nx dx =

⎧⎨⎩

2mm2 −n2 für m+n ungerade

0 für m+n gerade

26.∞∫0

e−a2x2dx =

√π

2asign a

27.∞∫0

x2e−a2x2dx =

√π

4a3 sign a

28.∞∫0

1a2 + x2 dx =

π2a

29.a∫0

1√a2 − x2

dx =π2

30.∞∫0

e−x ln x dx =−0,577216

A.7 Verschiedene Ausdrücke 787

A.7 Verschiedene Ausdrücke

1. limm→n

(cos k(n−m)π

k(n−m)− cos 2k(n−m)π

k(n−m)

)= 0 k, n, m ganze Zahlen

2. limm→nsin k(n−m)π

k(n−m)= π k, n, m ganze Zahlen

788 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

A.8 Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Φ(z) =1√2π

z∫−∞

e−u2/2 du Φ(−z) =1√2π

−z∫−∞

e−u2/2 du

Φ(−z) = 1−Φ(z) Ω(z) = Φ(z)−Φ(−z) = 2 Φ(z)−1

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)0.00 0.50000 0.50000 0.000000.01 0.50399 0.49601 0.007980.02 0.50798 0.49202 0.015960.03 0.51197 0.48803 0.023930.04 0.51595 0.48405 0.031910.05 0.51994 0.48006 0.039880.06 0.52392 0.47608 0.047840.07 0.52790 0.47210 0.055810.08 0.53188 0.46812 0.063760.09 0.53586 0.46414 0.071710.10 0.53983 0.46017 0.079660.11 0.54380 0.45620 0.087590.12 0.54776 0.45224 0.095520.13 0.55172 0.44828 0.103430.14 0.55567 0.44433 0.111340.15 0.55962 0.44038 0.119240.16 0.56356 0.43644 0.127120.17 0.56749 0.43250 0.134990.18 0.57142 0.42858 0.142850.19 0.57535 0.42465 0.150690.20 0.57926 0.42074 0.158520.21 0.58317 0.41683 0.166330.22 0.58706 0.41294 0.174130.23 0.59095 0.40905 0.181910.24 0.59483 0.40517 0.189670.25 0.59871 0.40129 0.197410.26 0.60257 0.39743 0.205140.27 0.60642 0.39358 0.212840.28 0.61026 0.38974 0.220520.29 0.61409 0.38591 0.228180.30 0.61791 0.38209 0.23582

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)0.31 0.62172 0.37828 0.243440.32 0.62552 0.37448 0.251030.33 0.62930 0.37070 0.258600.34 0.63307 0.36693 0.266140.35 0.63683 0.36317 0.273660.36 0.64058 0.35942 0.281150.37 0.64431 0.35569 0.288620.38 0.64803 0.35197 0.296050.39 0.65173 0.34827 0.303460.40 0.65542 0.34458 0.310840.41 0.65910 0.34090 0.318190.42 0.66276 0.33724 0.325510.43 0.66640 0.33360 0.332800.44 0.67003 0.32997 0.340060.45 0.67364 0.32636 0.347290.46 0.67724 0.32276 0.354480.47 0.68082 0.31918 0.361640.48 0.68439 0.31561 0.368770.49 0.68793 0.31207 0.375870.50 0.69146 0.30854 0.382920.51 0.69497 0.30503 0.389950.52 0.69847 0.30153 0.396940.53 0.70194 0.29806 0.403890.54 0.70540 0.29460 0.410800.55 0.70884 0.29116 0.417680.56 0.71226 0.28774 0.424520.57 0.71566 0.28434 0.431320.58 0.71904 0.28096 0.438090.59 0.72240 0.27760 0.444810.60 0.72575 0.27425 0.451490.61 0.72907 0.27093 0.45814

A.8 Verteilungsfunktion der Normalverteilung 789

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)0.62 0.73237 0.26763 0.464740.63 0.73565 0.26435 0.471310.64 0.73891 0.26109 0.477830.65 0.74215 0.25785 0.484310.66 0.74537 0.25463 0.490750.67 0.74857 0.25143 0.497140.68 0.75175 0.24825 0.503500.69 0.75490 0.24510 0.509810.70 0.75804 0.24196 0.516070.71 0.76115 0.23885 0.522300.72 0.76424 0.23576 0.528480.73 0.76730 0.23270 0.534610.74 0.77035 0.22965 0.540700.75 0.77337 0.22663 0.546750.76 0.77637 0.22363 0.552750.77 0.77935 0.22065 0.558700.78 0.78230 0.21770 0.564610.79 0.78524 0.21476 0.570470.80 0.78814 0.21186 0.576290.81 0.79103 0.20897 0.582060.82 0.79389 0.20611 0.587780.83 0.79673 0.20327 0.593460.84 0.79955 0.20045 0.599090.85 0.80234 0.19766 0.604670.86 0.80511 0.19489 0.610210.87 0.80785 0.19215 0.615700.88 0.81057 0.18943 0.621140.89 0.81327 0.18673 0.626530.90 0.81594 0.18406 0.631880.91 0.81859 0.18141 0.637180.92 0.82121 0.17879 0.642430.93 0.82381 0.17619 0.647630.94 0.82639 0.17361 0.652780.95 0.82894 0.17106 0.657890.96 0.83147 0.16853 0.662940.97 0.83398 0.16602 0.667950.98 0.83646 0.16354 0.672910.99 0.83891 0.16109 0.677831.00 0.84134 0.15866 0.68269

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)1.01 0.84375 0.15625 0.687501.02 0.84614 0.15386 0.692271.03 0.84849 0.15150 0.696991.04 0.85083 0.14917 0.701661.05 0.85314 0.14686 0.706281.06 0.85543 0.14457 0.710861.07 0.85769 0.14231 0.715381.08 0.85993 0.14007 0.719861.09 0.86214 0.13786 0.724291.10 0.86433 0.13567 0.728671.11 0.86650 0.13350 0.733001.12 0.86864 0.13136 0.737291.13 0.87076 0.12924 0.741521.14 0.87286 0.12714 0.745711.15 0.87493 0.12507 0.749861.16 0.87698 0.12302 0.753951.17 0.87900 0.12100 0.758001.18 0.88100 0.11900 0.762001.19 0.88298 0.11702 0.765951.20 0.88493 0.11507 0.769861.21 0.88686 0.11314 0.773721.22 0.88877 0.11123 0.777541.23 0.89065 0.10935 0.781301.24 0.89251 0.10749 0.785021.25 0.89435 0.10565 0.788701.26 0.89617 0.10383 0.792331.27 0.89796 0.10204 0.795921.28 0.89973 0.10027 0.799451.29 0.90147 0.09853 0.802951.30 0.90320 0.09680 0.806401.31 0.90490 0.09510 0.809801.32 0.90658 0.09342 0.813161.33 0.90824 0.09176 0.816481.34 0.90988 0.09012 0.819751.35 0.91149 0.08851 0.822981.36 0.91308 0.08691 0.826171.37 0.91466 0.08534 0.829311.38 0.91621 0.08379 0.832411.39 0.91774 0.08226 0.83547

790 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)1.40 0.91924 0.08076 0.838491.41 0.92073 0.07927 0.841461.42 0.92220 0.07780 0.844391.43 0.92364 0.07636 0.847281.44 0.92507 0.07493 0.850131.45 0.92647 0.07353 0.852941.46 0.92785 0.07214 0.855711.47 0.92922 0.07078 0.858441.48 0.93056 0.06944 0.861131.49 0.93189 0.06811 0.863781.50 0.93319 0.06681 0.866391.51 0.93448 0.06552 0.868961.52 0.93574 0.06426 0.871491.53 0.93699 0.06301 0.873981.54 0.93822 0.06178 0.876441.55 0.93943 0.06057 0.878861.56 0.94062 0.05938 0.881241.57 0.94179 0.05821 0.883581.58 0.94295 0.05705 0.885891.59 0.94408 0.05592 0.888171.60 0.94520 0.05480 0.890401.61 0.94630 0.05370 0.892601.62 0.94738 0.05262 0.894771.63 0.94845 0.05155 0.896901.64 0.94950 0.05050 0.898991.65 0.95053 0.04947 0.901061.66 0.95154 0.04846 0.903091.67 0.95254 0.04746 0.905081.68 0.95352 0.04648 0.907041.69 0.95449 0.04551 0.908971.70 0.95543 0.04457 0.910871.71 0.95637 0.04363 0.912731.72 0.95728 0.04272 0.914571.73 0.95818 0.04182 0.916371.74 0.95907 0.04093 0.918141.75 0.95994 0.04006 0.919881.76 0.96080 0.03920 0.921591.77 0.96164 0.03836 0.923271.78 0.96246 0.03754 0.92492

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)1.79 0.96327 0.03673 0.926551.80 0.96407 0.03593 0.928141.81 0.96485 0.03515 0.929701.82 0.96562 0.03438 0.931241.83 0.96638 0.03362 0.932751.84 0.96712 0.03288 0.934231.85 0.96784 0.03216 0.935691.86 0.96856 0.03144 0.937111.87 0.96926 0.03074 0.938521.88 0.96995 0.03005 0.939891.89 0.97062 0.02938 0.941241.90 0.97128 0.02872 0.942571.91 0.97193 0.02807 0.943871.92 0.97257 0.02743 0.945141.93 0.97320 0.02680 0.946391.94 0.97381 0.02619 0.947621.95 0.97441 0.02559 0.948821.96 0.97500 0.02500 0.950001.97 0.97558 0.02442 0.951161.98 0.97615 0.02385 0.952301.99 0.97670 0.02330 0.953412.00 0.97725 0.02275 0.954502.01 0.97778 0.02222 0.955572.02 0.97831 0.02169 0.956622.03 0.97882 0.02118 0.957642.04 0.97932 0.02068 0.958652.05 0.97982 0.02018 0.959642.06 0.98030 0.01970 0.960602.07 0.98077 0.01923 0.961552.08 0.98124 0.01876 0.962472.09 0.98169 0.01831 0.963382.10 0.98214 0.01786 0.964272.11 0.98257 0.01743 0.965142.12 0.98300 0.01700 0.965992.13 0.98341 0.01659 0.966832.14 0.98382 0.01618 0.967652.15 0.98422 0.01578 0.968442.16 0.98461 0.01539 0.969232.17 0.98500 0.01500 0.96999

A.8 Verteilungsfunktion der Normalverteilung 791

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)2.18 0.98537 0.01463 0.970742.19 0.98574 0.01426 0.971482.20 0.98610 0.01390 0.972192.21 0.98645 0.01355 0.972892.22 0.98679 0.01321 0.973582.23 0.98713 0.01287 0.974252.24 0.98745 0.01255 0.974912.25 0.98778 0.01222 0.975552.26 0.98809 0.01191 0.976182.27 0.98840 0.01160 0.976792.28 0.98870 0.01130 0.977392.29 0.98899 0.01101 0.977982.30 0.98928 0.01072 0.978552.31 0.98956 0.01044 0.979112.32 0.98983 0.01017 0.979662.33 0.99010 0.00990 0.980192.34 0.99036 0.00964 0.980722.35 0.99061 0.00939 0.981232.36 0.99086 0.00914 0.981722.37 0.99111 0.00889 0.982212.38 0.99134 0.00866 0.982692.39 0.99158 0.00842 0.983152.40 0.99180 0.00820 0.983602.41 0.99202 0.00798 0.984052.42 0.99224 0.00776 0.984482.43 0.99245 0.00755 0.984902.44 0.99266 0.00734 0.985312.45 0.99286 0.00714 0.985712.46 0.99305 0.00695 0.986112.47 0.99324 0.00676 0.986492.48 0.99343 0.00657 0.986862.49 0.99361 0.00639 0.987232.50 0.99379 0.00621 0.987582.51 0.99396 0.00604 0.987932.52 0.99413 0.00587 0.988262.53 0.99430 0.00570 0.988592.54 0.99446 0.00554 0.988912.55 0.99461 0.00539 0.989232.56 0.99477 0.00523 0.98953

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)2.57 0.99492 0.00508 0.989832.58 0.99506 0.00494 0.990122.59 0.99520 0.00480 0.990402.60 0.99534 0.00466 0.990682.61 0.99547 0.00453 0.990952.62 0.99560 0.00440 0.991212.63 0.99573 0.00427 0.991462.64 0.99585 0.00415 0.991712.65 0.99598 0.00402 0.991952.66 0.99609 0.00391 0.992192.67 0.99621 0.00379 0.992412.68 0.99632 0.00368 0.992642.69 0.99643 0.00357 0.992852.70 0.99653 0.00347 0.993072.71 0.99664 0.00336 0.993272.72 0.99674 0.00326 0.993472.73 0.99683 0.00317 0.993672.74 0.99693 0.00307 0.993862.75 0.99702 0.00298 0.994042.76 0.99711 0.00289 0.994222.77 0.99720 0.00280 0.994392.78 0.99728 0.00272 0.994562.79 0.99736 0.00264 0.994732.80 0.99744 0.00256 0.994892.81 0.99752 0.00248 0.995052.82 0.99760 0.00240 0.995202.83 0.99767 0.00233 0.995352.84 0.99774 0.00226 0.995492.85 0.99781 0.00219 0.995632.86 0.99788 0.00212 0.995762.87 0.99795 0.00205 0.995902.88 0.99801 0.00199 0.996022.89 0.99807 0.00193 0.996152.90 0.99813 0.00187 0.996272.91 0.99819 0.00181 0.996392.92 0.99825 0.00175 0.996502.93 0.99831 0.00169 0.996612.94 0.99836 0.00164 0.996722.95 0.99841 0.00159 0.99682

792 A Ausgewählte Formeln und Beziehungen

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)2.96 0.99846 0.00154 0.996922.97 0.99851 0.00149 0.997022.98 0.99856 0.00144 0.997122.99 0.99861 0.00139 0.997213.00 0.99865 0.00135 0.997303.01 0.99869 0.00131 0.997393.02 0.99874 0.00126 0.997473.03 0.99878 0.00122 0.997553.04 0.99882 0.00118 0.997633.05 0.99886 0.00114 0.997713.06 0.99889 0.00111 0.997793.07 0.99893 0.00107 0.997863.08 0.99896 0.00104 0.997933.09 0.99900 0.00100 0.998003.10 0.99903 0.00097 0.998063.11 0.99906 0.00094 0.998133.12 0.99910 0.00090 0.998193.13 0.99913 0.00087 0.998253.14 0.99916 0.00084 0.998313.15 0.99918 0.00082 0.998373.16 0.99921 0.00079 0.998423.17 0.99924 0.00076 0.998483.18 0.99926 0.00074 0.998533.19 0.99929 0.00071 0.998583.20 0.99931 0.00069 0.998633.21 0.99934 0.00066 0.998673.22 0.99936 0.00064 0.998723.23 0.99938 0.00062 0.998763.24 0.99940 0.00060 0.998803.25 0.99942 0.00058 0.998853.26 0.99944 0.00056 0.998893.27 0.99946 0.00054 0.998923.28 0.99948 0.00052 0.998963.29 0.99950 0.00050 0.999003.30 0.99952 0.00048 0.999033.31 0.99953 0.00047 0.999073.32 0.99955 0.00045 0.99910

z Φ(z) Φ(−z) Ω(z)3.33 0.99957 0.00043 0.999133.34 0.99958 0.00042 0.999163.35 0.99960 0.00040 0.999193.36 0.99961 0.00039 0.999223.37 0.99962 0.00038 0.999253.38 0.99964 0.00036 0.999283.39 0.99965 0.00035 0.999303.40 0.99966 0.00034 0.999333.41 0.99968 0.00032 0.999353.42 0.99969 0.00031 0.999373.43 0.99970 0.00030 0.999403.44 0.99971 0.00029 0.999423.45 0.99972 0.00028 0.999443.46 0.99973 0.00027 0.999463.47 0.99974 0.00026 0.999483.48 0.99975 0.00025 0.999503.49 0.99976 0.00024 0.999523.50 0.99977 0.00023 0.999533.51 0.99978 0.00022 0.999553.52 0.99978 0.00022 0.999573.53 0.99979 0.00021 0.999583.54 0.99980 0.00020 0.999603.55 0.99981 0.00019 0.999613.56 0.99981 0.00019 0.999633.57 0.99982 0.00018 0.999643.58 0.99983 0.00017 0.999663.59 0.99983 0.00017 0.999673.60 0.99984 0.00016 0.999683.61 0.99985 0.00015 0.999693.62 0.99985 0.00015 0.999713.63 0.99986 0.00014 0.999723.64 0.99986 0.00014 0.999733.65 0.99987 0.00013 0.999743.66 0.99987 0.00013 0.999753.67 0.99988 0.00012 0.999763.68 0.99988 0.00012 0.999773.69 0.99989 0.00011 0.99978

A.9 Verschiedene Konstanten und Symbole 793

A.9 Verschiedene Konstanten und Symbole

Konstantenπ = 3,14159265358979323846e = 2,71828182845904523536√

2 = 1,414213562373095048801 rad = 57,2957795130823208768 ◦

1◦ = 0,01745329251994329555 rad

Symbole

∑ Summe∏ Produkt≈ ungefähr gleich�= nicht gleich≡ äquivalent:= definitionsgemäß gleich∝ proportional∞ unendlich<< viel kleiner als>> viel größer als⇒ daraus folgt⇔ ist gleich bedeutend mit‖ parallel⊥ senkrecht∂ partielles Ableitungssymbol (Delta)∇ Nabla-Operator

∀ für alle∃ es existiert∧ und∨ oder¬ nicht{} Menge∈ ist ein Element von⊂ ist eine Teilmenge (Untermenge) von∩ Schnittmenge∪ VereinigungN Natürliche ZahlenZ Ganze ZahlenQ Rationale ZahlenR Reelle ZahlenC Komplexe Zahlen

Literaturverzeichnis

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Die obige Liste gibt nur einen sehr kleinen Teil von umfangreicher weiter führender Fachliteraturbzw. von Formelsammlungen wieder.

Z. Şanal, Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-658-10642-3,© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

Stichwortverzeichnis

Symbolee-Zahl, 7, 28

AAbleitung, 60

– äußere, 66– Faktorregel, 62– implizite, 546– innere, 66– Kettenregel, 65– logarithmische, 69– partielle, 528, 530– Produktregel, 63– Quotientenregel, 64– Regeln, 62– Summenregel, 62

Ableitungen– höhere, 75

Absoluter Fehler, 11Absolutwert, 9Abstand zweier Punkte, 278Arkusfunktionen, 42, 775Axialschwingungen, 612

BBalken auf elastischer Bettung, 113Balkenschwingungen, 603Basis, 1Binomische Formeln, 10Bogenlänge, 327

CC++, 761

– Ableitung, 763– Integration, 766– lineare Algebra, 764– Newton-Verfahren, 764

Cholesky-Verfahren, 693Computeralgebra, 719, 761Cramer-Regel, 167Crout-Verfahren, 691

DDeterminante, 159

– Laplace-Entwicklungssatz, 159Dichtefunktion, 396Differential, 59

– totales, 540– vollständiges, 541

Differentialgleichung– 2. Ordnung, 466– allgemeine Lösung, 422, 478– Anfangswertaufgabe, 422– Ansatzfunktion, 438– charakteristische Gleichung, 467– Diskriminante D, 467– erster Ordnung, 425

– explizite, 417, 420– gewöhnliche, 413– homogene, 436, 466– implizite, 417, 420– inhomogene, 436, 466– Integration, 420– Knicklast, 494– lineare, 418, 436– lineare homogene, 437– Lösung, 420– mit konstantem Koeffizienten, 438– nichtlineare, 418– Ordnung, 418– partielle, 603– partikuläre Lösung, 423, 474– Randwertaufgabe, 422– Schwingung, 483– spezielle Lösung, 422– Störfunktion, 436, 466– Transformation der Variablen, 428– Trennung der Variablen, 425– Variation der Konstanten, 441

Differentialgleichungen, 701– Euler-Verfahren, 702– Heun-Verfahren, 704– Runge-Kutta-Verfahren, 705

Differentialoperator, 61Differentialquotient, 59Differentialrechnung, 57

– Leibniz-Kalkül, 65– multivariable, 527

Differentiation, 60Differenzen, 57Differenzenquotient, 57, 58Differenzierbarkeit, 57Diffrentialgleichung

– Euler-Verfahren, 702Doolittle-Verfahren, 688Dreieckszerlegung, 151

Ee-Funktion, 28Ebene

– Vektorgleichung, 233Eigenwertaufgabe, 627, 646

– allgemeine, 628– charakteristische Gleichung, 630– Eigenwertdeterminante, 630– spezielle, 628

Eingabelungsverfahren, 675elastische Bettung, 113Ereignis

– unvereinbares, 387Ereignisse, 384Euler-Verfahren, 702Eulersche Formeln, 470Eulersche Zahl, 28Explizite Funktion, 44

Z. Şanal, Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-658-10642-3,© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015

798 Stichwortverzeichnis

Exponent, 1Exponentialfunktion, 28Extremwerte, 83

– hinreichende Bedingung für, 84– Lagrange-Multiplikator, 568– mit Nebenbedingungen, 568– notwendige Bedingung für, 84– zwei unabhängige Variablen, 566

FFakultät, 5Falk-Schema, 144Fehler

– relativer, 74Fixpunkt-Iteration, 679Fläche

– rotationssymmetische, 561Fläche zwischen zwei Kurven, 324Flächenberechnung

– in Polarkoordinaten, 326Flächennormale, 564Fourier-Reihe, 505, 507

– finite Funktion, 520– gerade Funktion, 517– Koeffizient, 507– nicht-periodische Funktion, 520

Freier Fall– mit Reibung, 29– ohne Reibung, 25

Fresnel-Integral, 52Funktion, 23

– antimetrisch, 35– antimetrische, 36– Arkus, 42– Extremwerte, 83– Gaußsche Glockenkurve, 51– glatte, 36– inverse, 30– Kegelschnitte, 47– Klothoide, 51– konstante, 23– lineare, 23– linearisierte, 72– logarithmische, 30– Maximum, 83– Minimum, 83– multivariable, 527– Parabel, 23– Parameterdarstellung, 45– periodische, 41– Polynom, 23– Schraubenlinie, 47– Skalar, 550– stetige, 36– symmetrisch, 35– trigonometrische, 37– unstetige, 36– Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, 51

GGauss-Elimination, 148Gauss-Seidel-Verfahren, 695Gauss-Verteilung, 400Gaußsche Glockenkurve, 51Geometrische Summe, 4Gerade, 279

– Abstand eines Punktes, 287– Hesse-Normalform, 282– Richtungsvektor, 287– Schnittpunkt, 288

– Steigung, 286– Vektorgleichung, 226– Winkel, 290– Winkelhalbierende, 292

Gleichungssysteme– Cholesky-Verfahren, 693– Crout-Verfahren, 691– Doolittle-Verfahren, 688

Gon, 13Gradient, 552

– in der Mechanik, 552– nD-Raum, 555– Richtung, 555

Grundgesamtheit, 375

HHäufigkeit, 376Häufigkeitsfunktion, 377Halblogarithmische Darstellung, 33Hesse-Matrix, 567Heun-Verfahren, 704Hyperbelfunktion, 43Hyperbelfunktionen, 775Hyperfläche, 528

IImplizite Ableitung, 546Implizite Funktion, 44Infinitesimalrechnung, 57Inkrement, 57Integral

– Fresnel, 52– bestimmtes, 308– Integrand, 302– numerisches, 313– unbestimmtes, 302

Integralanwendungen– Bogenlänge, 327– Flächenberechnung, 322– Mantelfläche, 331– Volumen, 333

Integration– partielle, 305

Invarianz, 552Inverse Funktion, 30Inverse Iteration

– Schwingungsprobleme, 658– Stabilitätsprobleme, 665

Irrationale Zahlen, 711

KKegelschnitte, 47

– Ellipse, 48– Hyperbel, 49– Kreis, 48– Parabel, 50

Kehrmatrix, 169Klothoide, 51Koeffizientenvergleich, 440, 457Kolmogorowsche Axiome, 389Komplexe Zahlen, 711Koordinatensystem, 267

– globales, 272– kartesisches, 267– rechtshändiges, 267– sphärisches, 271– zylindrisches, 268

Koordinatentransformation– Rotation, 275

Stichwortverzeichnis 799

– Translation, 273– Translation und Rotation, 277

Kosekans, 41Kosinus, 40Kotangens, 40Krümmung, 81

– Links, 82– Rechts, 82

Kurve– Vektorgleichung, 236

Ll’Hospital Regel, 77Lagrange-Multiplikator, 568Laplace-Gleichung, 603Leibniz-Kalkül, 65, 75Lineare Abhängigkeit, 156, 222Lineare Abhängigkeit und Kreuzprodukt, 223, 224Lineare Funktion, 23Lineare Gleichungssysteme, 129, 687Lineares Gleichungssystem, 147

– Cramer-Regel, 167– Dreieckszerlegung, 153– erweiterte Matrix, 153– Gauss-Elimination, 148, 153– homogenes, 148– inhomogenes, 148– Matrix-schreibweise, 153– Pivot, 150– Rückwärtssubstitution, 151– Vorwärtselimination, 151

Linearisierung, 72Linkskrümmung, 82Logarithmische Darstellung, 33Logarithmus, 6

– dekadischer, 6– natürlicher, 7

Logarithmus-Funktion, 30LU-Faktorisierung, 687

MMac Laurin-Reihen, 91Maple, 719

– Befehlsende :, 720– Befehlsende ;, 720– Differentialgleichungen, 741, 759– Differentialrechnung, 729– Eigenwerte, 749– Fourier-Reihen, 743– Funktionen, 726– Integralrechnung, 739– Konstanten, 720– lineare Algebra, 733– Lineare Gleichungssysteme, 757– Lösung von Gleichungen, 729– Multivariable Differentialrechnung, 745– Nichtlineare Gleichungen, 756– partielle DGLn, 747– Plotten, 724– Vektorrechnung, 737

Masse eines Körpers, 337Massenschwerpunkt, 337Matrix

– Addition, 137– antimetrische, 134– Definitheit, 641– Determinante, 159– Diagonalmatrix, 132– Dimension, 131

– Dimensionskompatibilität, 140– Dreiecksmatrix, 134– Eigenvektor, 627– Eigenwert, 627– Einheitsmatrix, 133– Einheitsvektor, 135– Hauptdiagonale, 132– inverse, 169– Invertierung nach Gauss, 169– lineare Abhängigkeit, 156– Matrixprodukt, 141– Multiplikation, 139, 142, 143– positiv definit, 641– positiv semidefinit, 642– quadratische, 131– Rang, 158– reguläre, 156– schiefsymmetrische, 134– singuläre, 156– Skalarprodukt, 141– Spaltenmatrix, 131– Spaltenvektor, 131– Spur, 134– symmetrische, 133– Transponierte, 136– Unterdeterminante, 641, 643– Zeilenvektor, 131

Matrizen, 129Maximum, 83Median, 379Minimum, 83Mittelwert, 8Modalwert, 379Multivariable Funktion

– technische Beispiele, 528Multivariable Funktionen, 527

NNabla-Operator, 556Newton-Verfahren, 86Nichtlineare Gleichungen, 675Niveaufläche, 564

– Flächennormale, 564– nD-Raum, 566

Niveaulinie, 560– Orthogonalität zum Gradienten, 561

Normalverteilung, 400Nullstelle

– Newton-Verfahren, 86Numerische Integration, 313

– Gauss-Quadratur, 319– Simpson-Regel, 317– Trapezverfahren, 315

Numerische Methoden, 646, 687, 701– Eingabelungsverfahren, 675– Fixpunkt-Iteration, 679

PParaboloid, 561Parameterdarstellung einer Funktion, 45Partielle Ableitung, 528, 530

– Definition, 530– höherer Ordnung, 533– numerische, 534

Partielle Differentialgleichung, 603Partielle Integration, 305Pascalsches Dreieck, 10Periode, 41Periodizität von Funktionen, 41

800 Stichwortverzeichnis

Pivotelement, 150Plattenbiegung, 534, 622Polarkoordinaten, 328Polynomfunktionen, 23

– Grad, 23Potenz- und Wurzelfunktionen, 27Potenzen, 1Potenzreihen, 91Produkt, 5

QQuadratische Gleichung, 9Quantil, 380Quotient, 711

Rrationale Funktion, 23Rationale Zahlen, 711Rayleigh-Verteilung, 406Rechtecklatte, 622Rechtskrümmung, 82Reelle Zahlen, 711Regula falsi, 675Reihen

– Mac Laurin, 91– Potenz, 91– Taylor, 92

Relativer Fehler, 11Richtungsableitung, 557

– im nD-Raum, 560Runge-Kutta-Verfahren, 705

SSattelpunkt, 84Schallpegel, 31Schraubenlinie, 47Schraubenregel, 268Schwarz’sche Ungleichung, 264Schwerpunkt, 337Schwingung

– erzwungene, 489– freie, 483– gedämpfte, 485– kritische Dämpfung, 486– Resonanz, 489– ungedämpfte, 483

Seil– vorgespanntes, 618

Sekans, 41Sekantenwinkel, 59sign, 11Signum-Funktion, 11Silodruck, 29Sinus, 38Skalarfeld, 550

– Invarianz, 552Skalarfunktion, 550Spatprodukt, 220Spinnkurve, 51Sprungfunktion, 492Stammfunktion, 301Standardabweichung, 382Statistik, 373

– beschreibende, 373– deskriptive, 373, 374– empirische, 373– Häufigkeit, 376– Häufigkeitsfunktion, 377– Maßzahlen, 378– mathematische, 374

– Median, 379– Modalwert, 379– Perzentil, 380– Quantil, 380– Standardabweichung, 382– Varianz, 380

Stetigkeit, 36Stichprobe, 375Stochastik, 373Summation, 3Symmetrie und Antimetrie, 35

TTangens, 40Tangente, 61

– Steigung, 61Tangentenwinkel, 59Tangentialebene, 539Taylor-Reihe, 92Temperaturverteilung

– instationär, 551– stationär, 550

Totales Differential, 539, 540– nD-Raum, 557

Trapezverfahren, 314Trigonometrische Funktionen, 37, 773

UUmkehrfunktion, 30Unbestimmter Ausdruck, 77Unbestimmtes Integral, 302

– Regeln, 304Unterdeterminanten, 641

VVarianz, 380Variation der Konstanten, 441Vektor

– Freier, 198– Gebundener, 198– Gleitender, 199

Vektoren, 197– Anwendungen des Kreuzprodukts, 216– Basisvektoren, 206– Kreuzprodukt, 211– Länge von, 202– lineare Abhängigkeit, 222– Linearkombination, 205– Linearkombination von, 202– Matrixschreibweise, 200– Normierung, 224– Skalarprodukt, 207

Vektornorm, 646Verteilungsfunktion, 395Vorgespanntes Seil, 618Vorwärtselimination, 151Vorzeichen-Funktion, 11

WWahrscheinlichkeit, 384, 387

– Definition, 387– Dichtefunktion, 396– Eigenschaften, 389– Ereignisse, 384

Wahrscheinlichkeitssätze, 391Weibull-Verteilung, 406Wendepunkt, 84Winkelmaße, 12

– Bogenmaß, 12, 38

Stichwortverzeichnis 801

– Gon, 13– Gradmaß, 12, 38– Umrechnung, 13

Wurzel, 1

ZZahl-e, 28Zahlen

– rationale, 711Zeilenmatrix, 131Zufallsgröße, 393Zufallsvariable, 393

– stetig verteilte, 398