LINHAS TERMINADAS - dee.eng.ufba.br · 00. V z Ve Ve = + +− − jz jz. ββ ( ) 00 00 Iz e e. VV....
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LINHAS TERMINADAS Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
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LINHAS TERMINADAS
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
( ) 0 0j z j zV z V e V eβ β+ − −= +
( ) 0 0j z j zI z I e I eβ β+ − −= +
Linha de transmissão terminada em uma carga
Existe em geral uma onda na direção +z e outra na direção –z. Para uma linha sem perdas:
0 0jV V e φ++ +=
0 0jV V e φ−− −=
Lembrando:
0 00
0 0
V VZI I
+ −
+ −= = −
( ) 0 0j z j zV z V e V eβ β+ − −= +
( ) 0 0
0 0
j z j zV VI z e eZ Z
β β+ −
−= −
Considera-se uma linha de transmissão com impedância Z0 e comprimento l. A carga encontra-se em z = 0 e o gerador em z = -l
Escrevendo a Eq. da corrente em função de Z0
( ) 0 0j z j zV z V e V eβ β+ − −= +
( ) 0 0
0 0
j z j zV VI z e eZ Z
β β+ −
−= −
LL
L
VZI
=
( ) 0 00LV V z V V+ −= = = +
( ) 0 0
0 0
0LV VI I zZ Z
+ −
= = = −
Tensões e correntes em z = 0
0 0 0 00
0 0 0 0
0 0
LL
L
V V V VVZ ZV VI V VZ Z
+ − + −
+ − + −
+ += = =
−−
00 0
0
L
L
Z ZV VZ Z
− +−=
+
Definindo o coeficiente de reflexão de Tensão
0
0 0 0 0
00 0
0 0
11
L
L L
LL L
ZZV Z Z Z Z z
ZZV Z Z zZ Z
−
+
−− −
Γ = = = =+ ++
je θΓΓ = Γ 1Γ ≤
Como a carga pode ser complexa, o coeficiente de Reflexão é em geral um número complexo
Cálculo de 0V −
zL é a impedância da carga normalizada em relação à impedância intrínseca da linha de transmissão.
Problema Proposto: Demonstrar que o coeficiente de reflexão também pode ser Escrito em função das correntes:
0
0
II
−
+Γ = −
Determinar o coeficiente de reflexão para uma Carga RC em série operando com f = 100 MHz
0
0
107,4
46,7
60.7
11
0,5 j1,59 1 0,5 j1,59 1,670,5 j1,59 1 1,5 j1,59 2,19
0,76
o
o
o
L L
L L
j
j
j
Z Z zZ Z z
ee
e
−
−
−
− −Γ = =
+ +
− − − −Γ = = =
− + −
Γ =
( )8 11
150 50 1592 10 10L L LZ R j C j jωπ −= − = − = − Ω× ×
Cálculo do coeficiente de reflexão
Exemplo
Exemplo: Determinar o coeficiente de reflexão para um carga Puramente Reativa
L LZ jX=
( )( )
2 200 20 02 2
0 0 0 0
jLL jL L
jL L L L
Z X eZ jXZ Z jX Z eZ Z jX Z Z jX Z X e
θθ
θ
−−− +− −− −
Γ = = = = = −+ + + +
( )( )
1
0
1/22 2 2
tan
1
L
j j j
XZ
e e eθ θ θ
θ −
− −
=
Γ = − = − − =
Como esperado, a onda incidente é totalmente refletida pela carga puramente reativa com uma diferença de fase.
Coeficiente de Reflexão Carga
Ondas Estacionárias
0 0V V− += Γ( ) 0 0j z j zV z V e V eβ β+ − −= +
( ) 0 0
0 0
j z j zV VI z e eZ Z
β β+ −
−= −
( ) ( )0j z j zV z V e eβ β+ −= + Γ
( ) ( )0
0
j z j zVI z e eZ
β β+
−= −Γ
( ) ( ) ( ) 1/2*.V z V z V z =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1/2*
0 0
1/2*
0 0
1/222 20 1
j jj z j z j z j z
j jj z j z j z j z
j jj z j z
V z V e e e V e e e
V z V e e e V e e e
V z V e e e e
θ θβ β β β
θ θβ β β β
θ θβ β
Γ Γ
Γ Γ
Γ Γ
+ − + −
−+ − + −
−+ −
= + Γ + Γ
= + Γ + Γ
= + Γ + Γ + Γ
( ) ( )1/22
0 1 2 cos 2V z V zβ θ+Γ
= + Γ + + Γ
Ondas Estacionárias
0 0V V− += Γ( ) 0 0j z j zV z V e V eβ β+ − −= +
( ) 0 0
0 0
j z j zV VI z e eZ Z
β β+ −
−= −
( ) ( )0j z j zV z V e eβ β+ −= + Γ
( ) ( )0
0
j z j zVI z e eZ
β β+
−= −Γ
( ) ( ) ( ) 1/2*.I z I z I z =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1/2*
0 0
0 0
1/2*
0 0
0 0
1/222 20
0
1
j jj z j z j z j z
j jj z j z j z j z
j jj z j z
V VI z e e e e e eZ Z
V VI z e e e e e eZ Z
VI z e e e eZ
θ θβ β β β
θ θβ β β β
θ θβ β
Γ Γ
Γ Γ
Γ Γ
+ +− −
+ +−− −
+− −
= − Γ − Γ
= − Γ − Γ
= − Γ − Γ + Γ
( ) ( )1/220
0
1 2 cos 2VI z zZ
β θ+
Γ = − Γ + + Γ
Exemplo: Linha de transmissão com impedância intrínseca terminada com uma carga Determinar S
Coeficiente de onda estacionária
0max
0min
1 111
VVS
V V
+
+
+ Γ + Γ = = =− Γ − Γ
( )( )
00
0
4526,6
18,4
2 1 11 1 1 1,4142 0,451 2 1 1 3 1 3,162
jjL
jL
jz j e ez j j e
+ −− +Γ = = = = =
+ + + +
1 1 0, 45 2,61 1 0, 45
S+ Γ +
= = =− Γ −
( )100 50LZ j= + Ω0 50 Z = Ω
Posição de mínimos e máximos
0min1V V += − Γ
0max1V V += + Γ
( ) ( )1/22
0 1 2 cos 2V z V zβ θ+Γ
= + Γ + + Γ
max2 2 2z l nβ θ β θ πΓ Γ+ = − + = − 2πβλ
=
max2
2 4 2n nz l θ π θ λ λ
β πΓ Γ+
− = = = +
1, 2, ... se 00, 1, ... se 0
nn
θθΓ
Γ
= < = ≥
( )min2 2 2 1z l nβ θ β θ πΓ Γ+ = − + = − +
( ) ( )min
2 1 2 12 4 4
n nz l
θ π λθ λβ π
Γ Γ+ + +− = = = +
max max
min
max max
se 4 4
se 4 4
l ll
l l
λ λ
λ λ
+ <= − ≥
( ) ( )1/22
0 1 2 cos 2V z V zβ θ+Γ
= + Γ + + Γ
0Γ =
( ) 0V z V +=
Onda estacionária para casos especiais
Linha casada
Curto circuito
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1/220
1/20
1/20
1 2 cos 2
1 2cos 2 1
2 1 cos 2
V z V z
V z V z
V z V z
β θ
β π
β π
+Γ
+
+
= + Γ + + Γ
= + + +
= + +
1Γ = −
Onda estacionária para casos especiais
Onda estacionária para casos especiais
Circuito aberto
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1/220
1/20
1/20
1 2 cos 2
1 2cos 2 0 1
2 1 cos 2
V z V z
V z V z
V z V z
β θ
β
β
+Γ
+
+
= + Γ + + Γ
= + + +
= +
1Γ =
1Γ = −
0Γ =
1Γ =
Onda estacionária para casos especiais
Impedância de entrada de uma linha terminada
( ) ( )( )in
V zZ z
I z=
( ) ( )0j z j zV z V e eβ β+ −= + Γ ( ) ( )0
0
j z j zVI z e eZ
β β+
−= −Γ
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
20
0 0 20
0
1
1
j z j z j z j z j z j z
in j z j z j z j zj z j z
V e e e e e eZ z Z Z
V e e e ee eZ
β β β β β β
β β β ββ β
+ − −
+ −−
+ Γ +Γ +Γ= = =
−Γ −Γ−Γ
( ) ( )( )
( )( )
2
0 0 2
1
1
j l j l j l
in j l j l j l
e e eZ z l Z Z
e e e
β β β
β β β
− −
− −
+ Γ +Γ= − = =
−Γ −Γ
( )( ) ( )
( ) ( )
0
00
0
0
cos sin cos sin
cos sin cos sin
L
Lin
L
L
Z Zl j l l j lZ Z
Z z l ZZ Zl j l l j lZ Z
β β β β
β β β β
−+ + − + = − =
−+ − − +
cos sinj le l j lβ β β± = ±
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
0 00
0 0
cos sin cos sincos sin cos sin
L Lin
L L
Z Z l j l Z Z l j lZ z l Z
Z Z l j l Z Z l j lβ β β ββ β β β
+ + + − −= − =
+ + − − −
( ) 0 00 0
0 0
cos sin tancos sin tan
L Lin
L L
Z l jZ l Z jZ lZ z l Z ZZ l jZ l Z jZ l
β β ββ β β
+ += − = =
+ +
( ) 0 00 0
0 0
cos sin tancos sin tan
L Lin
L L
Z l jZ l Z jZ lZ z l Z ZZ l jZ l Z jZ l
β β ββ β β
+ += − = =
+ +
Usando a equação de tensões
g ini
g in
V ZV
Z Z=
+
Aplicando Thevenin:
( ) ( )0j l j l
iV V z l V e eβ β+ −= = − = +Γ
( )01g in
j l j lg in
V ZV
Z Z e eβ β+
−=
+ + Γ
Com as duas equações anteriores, determina-se V0+
Impedância de um Curto circuito
Impedância de um Circuito aberto
Medição da Impedância de uma Carga
ZL
Curto ou carga
0 50 Z = Ω
3 31
S = =
0,3mλ =0,2 0,05 0,152
mλ= − =
11
S+ Γ
=− Γ
11
SS−
Γ =+
3 1 0,53 1−
Γ = =+
( )min2 2 1l nβ θ πΓ− + = − +
2 203
πβ πλ
= =min 10,5 cml =
minl
2λ
( ) 0min
202 1 2 2 0,105 0,4 723
n lθ π β π π πΓ = − + + = − + = =
0720,5 jeΓ = 0
0
L
L
Z ZZ Z
−Γ =
+ 011LZ Z +Γ
=−Γ
0
0
72
72
1 0,550 39,85 50,53 1 0,5
j
L j
eZe
+= = + Ω
−
Problema Proposto:
Exemplo: Determinar v(z,t) e i(z,t) para a linha de transmissão apresentada
( )100 50LZ j= + Ω
0 50 Z = Ω
10 gZ = Ω
67 cml =
0,7pv c=
1,05 GHzf =
( ) ( )010sin 30 Vgv t tω= +
Solução:
8
9
0,7 3 10 0,2 m1,05 10
pvf
λ × ×= = =
×02 0,67 6,7 0,7 126l πβ π π
λ= × = = =
( )( )
00
0
4526,6
18,4
2 1 11 1 1 1,4142 0,451 2 1 1 3 1 3,162
jjL
jL
jz j e ez j j e
+ −− +Γ = = = = =
+ + + +
( ) ( )( )
( )( ) ( )
0 0
0 0
26,6 2522
0 2 26,6 252
1 0,45150 21,9 17,4
1 1 0,45
j jj l
in j l j j
e eeZ z l Z j
e e e
β
β
−−
− −
++ Γ= − = = = + Ω
−Γ −
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0
60
10sin 30 = 10cos 30 90 10cos 60
Re 10 Re
g
j j t j tg
v t t t t
e e V eω ω
ω ω ω
−
= + + − = −
= = 06010 j
gV e−=
( )( )
( ) ( )0
0 0 0
0
60
0 126 26,6 126
159
10 21,9 17,41 110 21,9 17,4 0,45
10,2 V
jg in
j l j l j j jg in
j
V Z e jV
Z Z je e e e e
e
β β
−+
− −
+= =
+ + ++Γ +
=
( ) ( )0 0159 26,610,2 0,45j j z j j zV z e e e eβ β−= +
( ) ( ) ( ) ( )0 0, Re 10,2cos 159 4,55cos 185,6j tv z t V z e t z t zω ω β ω β = = − + + + +
( ) ( )0 0159 26,60, 2 0,45j j z j j zI z e e e eβ β−= −
( ) ( ) ( ) ( )0 0, Re 0,20cos 159 0,091cos 5,6j ti z t V z e t z t zω ω β ω β = = − + + + +
