Lineas de Rotura-Clase 2008-34 Pag

ESTRUCTURAS IVESTRUCTURAS IVPLACAS PLACAS -- TEORTEORA DE LAS LA DE LAS LNEAS DE NEAS DE

ROTURAROTURA

Comportamiento Elasto Plstico real (1D)

Fase Elstica: Las deformaciones se recuperan y se conserva la energa

Fase Plstica: Deformaciones remanentes + Disipacin de energa (calor)

elast

Comportamiento Idealizado (1D)

Plast

0.2%

elast ult

12%

Elasto-Plstico

pl

Plast

ult

12%

Rgido-Plstico

pl

Criterio de Plastificacin (3D)

Descomposicin del Tensor de Tensiones:

= n (hidrosttico) + o (Desviador)Aceros:

La plastificacin depende nicamente de o

Friccionales (suelos con friccin, Hormign simple):La plastificacin depende de o, pero de un modo que

vara con n

Flexin con plastificacin

1/r

MAcero

M pl

pl

pl

1/r

M Hormign ArmadoMn

c

As fy

fc*

As fy

My

MnMy

Flexin con plastificacin Comportamiento Asumido

1/r

M

M pl Mn

1/r ult

c ult fc*

As fy

Mn

s ult

1/rult = [ s ult c ult ] / d d

Teoremas de Anlisis Plstico

TEOREMA DEL LMITE INFERIOR (TLI): Una carga externa calculada a partir de una distribucin de esfuerzos internos adoptada, (pero en equilibrio con la carga aplicada), y donde enningn punto se supera el lmite plstico, es siempre menor o igual que la verdadera carga de colpaso. Por lo tanto es "segura"

TEOREMA DEL LMITE SUPERIOR (TLS): Una carga externa calculada a partir de un mecanismo adoptado (compatible con los vinculos,), es siempre mayor o igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto, siempre dice que la carga ltima es mayor o igual que la verdadera, y por eso se lo denomina "inseguro"

UNICIDAD: Cuando ambas cargas coinciden, se tiene la verdadera carga de colapso.

qultLS q ult Real qultLI

Anlisis Plstico de Placas

Se asume un Mecanismo Cinemtido en la Rotura, y por lo tanto se aplica el TLS. El comportamiento experimental avala el planteo:

CARA SUPERIOR CARA INFERIOR (Johansen)


Comportamiento Real: Las zonas de plastificacin son DIFUSAS

CARA SUPERIOR CARA INFERIOR (Johansen)


Comportamiento Ideal: Las zonas de plastificacin son LNEAS de ROTURA (LR)

Condiciones para el Mecanismo

1) En las LR, el acero se encuentra en fluencia y se alcanza el Mpl, Mn que se nota m cuando es positivo, y m cuando es negativo (m = -m). Si la armadura es uniforme, m= cte a lo largo de las LR

2) Las deformaciones elsticas son despreciables frente a las plsticas, y por lo tanto, los subsectores de losa separado por las LR permanecen planos, y las LR son lneas rectas.

EJES

Linea de Rotura (LR)

LRs EJES

APOYO

Condiciones para el Mecanismo

3) Los subsectores de placa giran en torno a los Ejes, los que necesariamente pasan por los apoyos. La LR que separa dos subsectores pasa por la interseccin de sus Ejes de rotacin

4) El mecanismo cionemtico de rotura de la placa se define unvocamente por la ubicacin de los Ejes , las LR y los ngulos de Giro .

EJES

Linea de Rotura (LR)

LRs EJES

APOYO

Condiciones para el Mecanismo- Ejemplos

MAL

MAL


COLUMNA

Esfuerzos internos en las LR

A B

C

:

::

::

Qa

Qa

-Qa

-Qa

Qb

Qb-Qb

-Qb

:-Qc

Qc

-Qc

Qc

Esfuerzos internos en las LR

A

dP

ds

m1

m2k

dy

k

d

i

k

Q

m1

(m2-m1) ds cos = Q (ds sen ) dP dy

Si ds 0,

Q = (m2 m1 ) cotg

Fuerza Nodal Q

Metodologas de Resolucin

1) Mtodo esttico: Plantea el equilibrio de cada uno de los subsectores en que queda dividida la placa por la LR. Surgen tantas ecuaciones de equilibrio como subsectores. En general se plantea equilibrio de momentos.

2) Mtodo cinemtico o del Trabajo: Plantea para el mecanismo completo, igualdad entre el trabajo Externo (dado por las cargas o acciones en general) y el Interno (dado por los m y men la LR). Es el ms utilizado por su sencillez, y porque permite analizar acciones diferentes a Fuerzas (Por ejemplo, problemas de acciones energticas)

Mtodo Esttico

Equilibrio de q L (L/2) (L/2)/3 = q L3 / 24 = m L m = q L2 /24

m

mA

A

Mtodo Cinemtico

Trabajo Externo = Trabajo Interno : Te = Ti :Te: q L2 / 3 ---- Ti = 4 (m L) = 4 (m L) 2/L =8 m Te = Ti : q L2 / 3 = 8 m m = q L2 /24

m

m

m L

Mtodo Esttico-Configuracin Errnea

Equilibrio de difiere del equilibrio de Por A: m = (2/27) q L2Por B: m = q L2 / 54

(hacerlo!)

A

A

B

B

2L / 3

Mtodo Cinemtico Configuracin errnea

Trabajo Externo = Trabajo Interno : Te = q L2 / 3 = q L2 /3Ti = mL [ 3/(2L) + 3/L + 2/L + 2/L ] = (17/2) m = Te = q L2 /3 m = q L2 / 25.5

Permite obtener un resultado muy aproximado (6% de diferencia)

C

2L / 3

A

D

B

A=3/(2L)B=3/(L)C=2/LD=2/L

Mtodo Cinemtico Configuracin Exacta / Errnea

CR EXACTA:>m y < qm = q L2 / 24 q = 24 m / L2

CR ERRNEA: qm = q L2 / 25.5 q = 25.5 m / L2

Mtodo Cinemtico: Obtencin de la Configuracin Exacta

Trabajo Externo = Trabajo Interno : Te = q L2 / 3 = q L2 /3Ti = mL [ 1/(L-x) + 1/x + 2/L + 2/L ] = m [L/(L-x) + L/x) + 4] = Te = q L2 /3llamando k=x/L m = q L2 /3 /[1/(1-k) + 1/k) + 4] . Como en la CR

exacta m es mximo, se plantea dm/dk = 0, pero es suficiente derivar solamente el trmino []

d [1/(1-k) + 1/k) + 4] / dk = -1/k2 + 1/(1-k)2 = 0 k2 = (1-k)2 , k=1/2x=L/2 (como se puede obtener en este caso particular por

consideraciones de simetra).

A=1 / (L-x)B=1/xC=2/LD=2/L(L-x)

A

D

B

C

x

Efectos locales-Carga Concentrada

Te = P 1

= 1/R

dTi = m ds (1/R) = m d Ti = dTi = m 2pipipipi

Te = Ti 2 m pipipipi = P

m = P /(2pipipipi)2R

ds=R d

P

=1

Efectos locales-Carga Concentrada

Ti = 4 (mL 2/L) = 8mTe = P 1 = P

Te = Ti m1 = P / 8

P

Pero con una CR local:m2 = P/(2pipipipi) = P /6.28 > m1 !

Superposicin de Acciones

C1 m1

S: Configuracin Exacta pero NO conocida

P1 P2

m

m (exacto) = m1 + m2

P1 P2m2m1

P1 P2m2

m1

C2 m2

C1 y C2 son las configuraciones Exactas para P1 y P2

POR SEPARADO

m1 m1, y m2 m2 m (exacto) = m1 + m2 m1 +m2Vale siempre que los momentos sean de igual signo !!

Teorema de Afinidad (Mx My)

h

ay

kax

k

hy

hx

x

=1

Borde

m

m

y

=1

hy

hx


La ecuacin de balance de trabajos queda:m ax x + m ay y = m ax ( /hy) + ay ( /hx) = q z dx dy ( A)Si ahora se escala todo el esquema en X, con un factor , y se

considera que los momentos en ambas direcciones son iguales a m, sera:

ax = ax - ay = ay - dx = dxPlanteando el balance de trabajos en esta nueva configuracin queda:m ax ( /hy) + m ay ( /hx) = q z dx dy =

m ax ( /hy) + m ay ( / hx) = q z dx dy , dividiendo por a ambos lados, se obtiene:m ax ( /hy) + m ay ( / hx) / (2) = q z dx dy (B)Se observa que (A) y (B) son iguales, si el factor de escala vale:2 = 1/ = ( )1/2


En definitiva, cuando se tiene que los momentos en las dos direcciones son diferentes, teniendo en una direccin m, y en la otra m el problema se puede resolver con un esquema afn, que surge de escalar la configuracin real aplicando un factor de escala = ( )1/2y considerando en esta nueva configuracin que los momentos en ambas direcciones son iguales a m

3mTS

m

1

.

2

5

m

5

m

= 1.25

= (1.25)1/2 = 0.9EQUIVALE A:

3m * 0.9 =2.70m

m

m

5

m

Teorema de Afinidad - Resumen operativo

m

m

m

m

Losa Orttropa con 1 Losa istropa equivalente


m

m

m

m

Teorema de Afinidad - Resumen operativo

Losa istropa equivalente

m

m

m

m


Losa Orttropa con 1

m

m

m

m

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