Linear System 02 Slides

11
Halaman - 1 TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu Persoalan mendasar dalam analisa sistem adalah penentuan respon terhadap input tertentu. Pada bab ini akan dibahas beberapa metode untuk mencari respon sistem LTI dalam kawasan waktu. Suatu sistem linier, memiliki sifat superposisi. Jika input x(t) dapat dinyatakan sebagai : = φ = φ + + φ + φ = n 1 i i 1 n n 2 2 1 1 ) t ( a ) t ( a .... ) t ( a ) t ( a ) t ( x dan jika respon terhadap φ i (t) adalah y i (t), maka respon sistem dengan input x(t) adalah : = = n 1 i i i ) t ( y a ) t ( y Sinyal φ i (t) dapat menyatakan “sinyal dasar”, yaitu sinyal-sinyal yang memiliki sifat berikut ini : Semua sinyal yang memiliki representasi analitik Harus dapat digunakan untuk menyatakan sembarang input sebagai penjumlahan berbobot dari sinyal-sinyal dasar tersebut. Respon sistem terhadap semua sinyal dasar tersebut harus dapat direpresentasikan dengan menggunakan bentuk analitik yang sama. SISTEM WAKTU KONTINYU Integral Konvolusi Halaman - 2 TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu Suatu sinyal sembarang x(t) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan kontinyu dari impuls berbobot . τ τ δ τ = d ) t ( ) ( x ) t ( x Tinjau suatu sistem LTI waktu kontinyu dengan input x(t), dengan menggunakan sifat superposisi : τ τ τ = d ) , t ( h ) ( x ) t ( y dimana h(t,τ) adalah respon sistem untuk input impuls tergeser δ(t-τ). Persamaan di atas dapat ditulis : (IK) τ τ τ = d ) t ( h ) ( x ) t ( y Fungsi h(t) disebut respon impuls dari sistem LTI dan menyatakan output sistem pada waktu t, akibat input impuls satuan yang terjadi pada t=0, jika kondisi mulanya nol. Relasi yang diberikan oleh Persamaan (IK) disebut Integral Konvolusi dari sinyal x(t) dan h(t) dan merelasikan input dan output sistem dengan menggunakan respon impuls sistem. Operasi konvolusi dinyatakan secara simbolik sebagai : y ( t ) = x ( t ) * h ( t ) SISTEM WAKTU KONTINYU Integral Konvolusi

Transcript of Linear System 02 Slides

Page 1: Linear System 02 Slides

Halaman - 1

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Persoalan mendasar dalam analisa sistem adalah penentuan respon terhadap input tertentu. Pada bab

ini akan dibahas beberapa metode untuk mencari respon sistem LTI dalam kawasan waktu.

Suatu sistem linier, memiliki sifat superposisi. Jika input x(t) dapat dinyatakan sebagai :

∑=

φ=φ++φ+φ=n

1ii1nn2211 )t(a)t(a....)t(a)t(a)t(x

dan jika respon terhadap φi(t) adalah yi(t), maka respon sistem dengan input x(t) adalah :

∑=

=n

1iii )t(ya)t(y

Sinyal φi(t) dapat menyatakan “sinyal dasar”, yaitu sinyal-sinyal yang memiliki sifat berikut ini :

− Semua sinyal yang memiliki representasi analitik

− Harus dapat digunakan untuk menyatakan sembarang input sebagai penjumlahan berbobot dari

sinyal-sinyal dasar tersebut.

− Respon sistem terhadap semua sinyal dasar tersebut harus dapat direpresentasikan dengan

menggunakan bentuk analitik yang sama.

SISTEM WAKTU KONTINYU Integral Konvolusi

Halaman - 2

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Suatu sinyal sembarang x(t) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan kontinyu dari impuls berbobot .

∫∞

∞−ττ−δτ= d)t()(x)t(x

Tinjau suatu sistem LTI waktu kontinyu dengan input x(t), dengan menggunakan sifat superposisi :

∫∞

∞−τττ= d),t(h)(x)t(y

dimana h(t,τ) adalah respon sistem untuk input impuls tergeser δ(t-τ). Persamaan di atas dapat ditulis :

(IK) ∫∞

∞−ττ−τ= d)t(h)(x)t(y

Fungsi h(t) disebut respon impuls dari sistem LTI dan menyatakan output sistem pada waktu t, akibat

input impuls satuan yang terjadi pada t=0, jika kondisi mulanya nol.

Relasi yang diberikan oleh Persamaan (IK) disebut Integral Konvolusi dari sinyal x(t) dan h(t) dan

merelasikan input dan output sistem dengan menggunakan respon impuls sistem. Operasi konvolusi

dinyatakan secara simbolik sebagai :

y ( t ) = x ( t ) * h ( t )

SISTEM WAKTU KONTINYU Integral Konvolusi

Page 2: Linear System 02 Slides

Halaman - 3

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Syarat cukup agar konvolusi dari dua sinyal x(t) dan h(t) ada adalah :

(i) Baik x(t) maupun h(t) harus “absolutely integrable” pada interval (-∞,0)

(ii) Baik x(t) maupun h(t) harus “absolutely integrable” pada interval (0,∞).

(iii) x(t) atau h(t), atau keduanya harus “absolutely integrable” pada interval (-∞,∞)

Sinyal x(t) disebut “absolutely Integrable” pada interval [a,b] jika : ∫ ∞<b

adttx )(

Sifat Sifat Integral Konvolusi

• Komutatif

x ( t ) * h ( t ) = h ( t ) * x ( t )

• Assosiatif

x ( t ) * h1 ( t ) *h2 ( t ) = [ x ( t )* h1 ( t ) ] * h2 ( t ) = x ( t ) * [ h1 ( t ) * h2 ( t ) ]

• Distributif

x ( t ) * [ h1 (t) + h2 (t)] = [ x(t)*h1(t)] + [ x(t) * h2 (t) ]

SISTEM WAKTU KONTINYU Integral Konvolusi

Halaman - 4

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Langkah-langkah menghitung konvolusi secara grafis

• Untuk sebarang nilai tetap t dalam interval [ti-1,ti], plot x(τ),h(t-τ) dan perkalian

g(t,τ)=x(τ)h(t-τ) sebagai fungsi τ

• Integralkan g(t,τ) sebagai fungsi dari τ. Perhatikan bahwa integran g(t,τ) bergantung kepada t

dan τ. Integral tersebut dapat dipandang sebagai luasan di bawah kurva fungsi yang

diintegralkan.

Contoh 1 : Dapatkan integral konvolusi dari dua sinyal berikut :

x (t) = Aexp[-t] , 0 < t < ∞ dan h (t) = t/T , 0 < t < T

SISTEM WAKTU KONTINYU Interpretasi Grafis dari Konvolusi

0 T t

1

h(t)

t

A x (t)

Page 3: Linear System 02 Slides

Halaman - 5

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Untuk t < 0, kedua sinyal tidak saling tumpang tindih.

0)t(h*)t(x =

Untuk 0 ≤ t ≤ T, kedua sinyal tumpang- tindih (overlap) untuk 0 ≤ τ ≤ t .

∫ ττ−

τ−=t

0d

T

t]exp[A)t(h*)t(x

Tt0 ]texp[t1T

A≤≤−++−=

0 τ

SISTEM WAKTU KONTINYU Interpretasi Grafis dari Konvolusi

A

t - T t τ

h(t - τ) x(τ)h(t - τ)

x(τ)

t - T 0 t τ

A x(τ)h(t - τ)

0 t τ

Halaman - 6

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Selanjutnya untuk t > T, kedua sinyal tumpang tindih untuk t -T ≤ τ ≤ t .

∫−

−−=

t

Ttd

T

tAthtx τττ ]exp[)(*)(

= T t)],t(exp[]]Texp[T1[T

A>τ−−−++−

Gambar berikut menunjukkan hasil konvolusi secara lengkap :

SISTEM WAKTU KONTINYU Interpretasi Grafis dari Konvolusi

x(τ)h(t - τ)

x(τ)h(t - τ)

]]Texp[T1[T

A−++−

T t

t - T t τ t - T t τ

A

Page 4: Linear System 02 Slides

Halaman - 7

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Contoh 2 : Hitung konvolusi x(t)*h(t) untuk x(t) dan h(t) yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Interpretasi Grafisnya sebagai berikut :

Hasil selengkapnya diberikan

persamaan di bawah ini :

x(t) h(t)

1

1 1

1 t 2 -1

>

<<

<<−

<<

<

=

3 t, 0

3t2 , 2

t)-(3

2t1 , 2

3t-3t

1t0 , 2

t0 t, 0

)t(y

2

2

2

SISTEM WAKTU KONTINYU Interpretasi Grafis dari Konvolusi

t-1 t t+1 1 2 t t-1 t 1 t+1 2 t

t-1 1 t 2 t+1 t 1 t-1 2 t t+1 t

1 2 t-1 t t+1 t 1 2 t

y(t)

Halaman - 8

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Sistem LTI Tanpa Memory (Memoryless)

Untuk suatu sistem LTI tanpa memori, hubungan input/ output dapat ditulis sebagai berikut :

y(t) = k x (t)

sehingga : h(t) = k δ (t)

Sistem LTI Kausal

Sistem waktu kontinyu kausal tidak bergantung pada input x(τ), untuk τ > t. Jika sistemnya LTI

kausal, maka

h(t) = 0 untuk t < 0

Sehingga outputnya menjadi :

∫ ∞−ττ−τ=

td)t(h)(x)t(y

∫∞

ττ−τ=0

d)t(x)(h

SISTEM WAKTU KONTINYU Sifat-Sifat Sistem LTI

Page 5: Linear System 02 Slides

Halaman - 9

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Sistem LTI Invertible

Jika h1(t) menyatakan respon impuls dari sistem inversi, maka berlaku :

y (t) = h1(t) * h (t) * x(t) = x (t)

atau h1(t)*h(t) = h (t) * h1 (t) = δ(t)

Sistem LTI Stabil

Misalkan input x(t) bounded, yaitu |x(t)| < B untuk semua t, maka output sistem diberikan oleh :

∫∞

∞−ττ−τ= d)t(x)(h)t(y

atau ττ−τ= ∫∞

∞−d)t(x)(h)t(y

ττ−τ≤ ∫∞

∞−d)t(x)(h

∫∞

∞−ττ≤ d)(hB

Jadi sistem LTI stabil BIBO jika ∫∞

∞−∞<ττ d)(h

SISTEM WAKTU KONTINYU Sifat-Sifat Sistem LTI

Halaman - 10

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Tinjau sistem linier yang dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial (PD) input-output sbb:

(PDL I) 2dt

)t(x2

dM

0iib

2dt

)t(y2

d1N

0iia

Ndt

)t(yN

d∑=

=∑−

=+

dimana koefisien a1, i = 1,2,…,N-1 ; bj , j = 1,2,….M adalah konstanta riil dan N>M

Dalam bentuk operator D, Persamaan di atas dapat ditulis kembali :

(PDL II) ∑ ∑−

= =

=+1N

0i

M

0i

ii

ii

N )t(x)Db()t(y)DaD(

dimana D menyatakan operator diferensial yang menstransformasi y(t) ke turunannya y’(t).

Untuk menyelesaikan persamaan di atas diperlukan kondisi awal y(t0),y’(t0),.....y

(N-1)(t0), dimana t0

adalah waktu dimana input x(t) mulai dikenakan pada sistem.

Bilangan bulat N merupakan derajat atau dimensi sistem. Perlu diperhatikan bahwa jika turunan ke-i

dari x(t) mengandung impuls atau turunan impuls, maka untuk menyelesaikan Persamaan (PDL I)

untuk t > t0 harus diketahui kondisi mula pada t = t0-.

SISTEM WAKTU KONTINYU PD Linier Koefisien Konstan

Page 6: Linear System 02 Slides

Halaman - 11

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Contoh :

Sistem LTI dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial

)t(bx)t(aydt

)t(dy=+ , y(t0) = y0

Solusi dari persamaan diberikan oleh : y (t) = yp (t) + yh (t)

Solusi homogen : )atexp(C)t(y h −=

Solusi khusus untuk input bx(t) : ∫ ≥τττ−−=t

t 0p0

t t, d)(bx)]t(aexp[)t(y

Karena itu penyelesaian umumnya adalah :

∫ τττ−−+−=t

t0

d)(bx)]t(aexp[)atexp(C)t(y

Untuk t=t0, y(t0) = y0 = C exp [-at0], karena itu untuk t ≥ t0,

y(t) = y0 exp[-a(t-t0)] + ∫ τττ−−t

t0

d)(bx)]t(aexp[

SISTEM WAKTU KONTINYU PD Linier Koefisien Konstan

Halaman - 12

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Setiap sistem LTI waktu kontinyu dimensi berhingga yang dinyatakan oleh Persamaan (PDL) dapat

direalisasikan atau disimulasikan dengan menggunakan penjumlah, pengurang, pengali skalar dan

integrator. Komponen-komponen ini dapat diimplementasikan menggunakan resistor, kapasitor dan

OP-Amp.

• Integrator

Hubungan input-output dari integrator :

∫ ≥ττ+=t

t 000

t t , ,d)(x)t(y)t(y

atau )t(xdt

)t(dy=

• Penjumlah, Pengurang dan Pengali Skalar

SISTEM WAKTU KONTINYU Diagram Simulasi

x(t) y(t)

K y(t)=Kx(t)

Σ x1(t)

x2(t)

x1(t) + x2(t)

+ + Σ

x1(t)

x2(t)

x1(t) - x2(t)

+ - x(t)

Page 7: Linear System 02 Slides

Halaman - 13

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Ada beberapa cara untuk membuat simulasi sistem yang dinyatakan oleh Persamaan (PDL II).

Berikut ini akan dibahas dua macam cara realisasi.

• Bentuk Kanonik I

Asumsikan M=N dan Persamaan (PDL II) dapat ditulis sebagai :

DN(y-bNx) + DN-1(aN-1y – bN-1x) + . . . + D (a1y – b1x) + (a0y – b0x) = 0

Jika dikalikan D-N dan disusun kembali menghasilkan

y = bNx + D-1(bN-1x – aN-1y ) + . . . + D-(N-1)(b1x – a1y) + D-N (b0x – a0y)

Diagram simulasi realisasinya :

SISTEM WAKTU KONTINYU Diagram Simulasi

b0

-a0 -a1

b1 bn-1

-an-1

bn

y(t)

x(t)

∫ ∫ + + + +

Halaman - 14

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

• Bentuk Kanonik II

Persamaan (PDL II) dapat dikonversikan menjadi dua persamaan differensial sebagai berikut :

)t(x)t(vDaD1N

0j

jj

N =

+ ∑

=

)t(vDb)t(yN

0i

ii

= ∑

=

Dari persamaan di atas diperoleh diagram simulasi bentuk kanonik II sebagai berikut :

SISTEM WAKTU KONTINYU Diagram Simulasi

b0

-a1

-an-1

bn

bn-1

b1

-a0

∫ ∫ x(t) y(t)

+

+

+ +

+

+

Page 8: Linear System 02 Slides

Halaman - 15

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Respon impuls h(t) didefinikan sebagai respon y(t) jika x(t) = δ(t) dan y(t) = 0 untuk -∞ < t < 0.

Contoh :

Respon impuls h(t) untuk sistem LTI : 2y’(t) + 4y(t) = 3 x(t)

haruslah memenuhi persamaan diferensial : 2h’(t) + 4h(t) =3δ(t) (i)

Solusi homogen dari persamaan di atas diberikan oleh : h(t) = C exp (-2t) u(t) (ii)

Solusi khusus dari persamaan di atas hp(t) = 0, Untuk memperoleh C, Substitusikan Pers (ii) ke (i) :

)t(3)t(u)t2exp(C4)]t(u)t2exp(C[dt

d2 δ=−+−

2 C exp (-2t) δ(t) = 3δ(t)

Dengan menggunakan sifat fungsi δ, diperoleh : 2Cexp(0) δ(t) = 3 δ(t) atau C= 1.5,

sehingga :

h(t) = 1.5 exp (-2t)u(t)

SISTEM WAKTU KONTINYU Respon Impuls

Halaman - 16

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Keadaan (state) dari suatu sistem didefinisikan sebagai jumlah minimal informasi yang cukup untuk

menentukan output dari sistem untuk semua t ≥ t0, jika input untuk t ≥ t0 diketahui. Variabel yang

mengandung informasi ini disebut Variabel Keadaan. Jika keadaan sistem saat t0 dan input dari t0

sampai t1 diketahui maka kita dapat memperoleh baik output maupun keadaan saat t1.

Beberapa keuntungan dari representasi dalam bentuk ruang keadaan.

• Memberikan gambaran yang lengkap tentang perilaku sistem.

• Dapat diselesaikan dengan mudah dengan menggunakan komputer.

• Dapat diperluas untuk sistem nonlinier dan sistem time varying.

• Dapat mengatasi sistem dengan input dan output banyak.

Secara umum, deskripsi variabel keadaan dari suatu sistem LTI single input-single output (SISO)

berdimensi N dapat ditulis sbb :

)t(x)t()t(' bAvv += (Persamaan Keadaan)

)t(dx)t()t(y += Cv (Persamaan Output)

dimana A adalah matriks dimensi N x N, b adalah vektor kolom N x 1, C adalah vektor baris 1 x N.

SISTEM WAKTU KONTINYU Representasi Ruang Keadaan

Page 9: Linear System 02 Slides

Halaman - 17

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Contoh :

2vdt

)t(dvC 1 =

)t(v)t(Rv)t(xdt

)t(dvL 12

2 −−=

y(t) = v1(t)

Dalam bentuk matriks, dapat ditulis : )t(xL

10

)t(L/RL/1

2/10)t('

+

−−

= vv

y(t) = (1 0 ) v(t)

atau )t(x1

0)t(

11

20)t('

+

−−

= vv

y(t) = ( 1 0 )v(t)

SISTEM WAKTU KONTINYU Representasi Ruang Keadaan

R = 1Ω L = 1H

v2

x(t) + v2

_

C = 0.5 F

y

Halaman - 18

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Solusi lengkap Persamaan Ruang Keadaan di atas sebagai berikut :

∫ τττ−+−=t

t00

d)(x)]t(exp[)]tt(exp[)t( bAvAv 0

= ∫ τττ−φ+−φt

t000

)(d)(bx)t(v)tt(

dimana : φ(t) = matriks transisi keadaan

= ....!k

tA.....

!3

tA

!2

tAI)Atexp(

kk

33

22 +++++=

Persamaan output kita dapatkan :

y(t) = C v(t) + dx(t)

)t(dxd)(x)t(C)tt(Ct

t00

+τττ−φ+−φ= ∫ bv0

∫ τττ−δ+τ−φ+−φ=t

t00

d)(x)t(d)t(C)tt(C bv0

Sehingga : ≥δ+φ

=lain yang t , 0

t t, )t(db)t(C)t(h 0

SISTEM WAKTU KONTINYU Solusi Domain Waktu

Page 10: Linear System 02 Slides

Halaman - 19

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Metode lain untuk mendapatkan matriks transisi kedaan adalah menggunakan teorema Cayley-

Humilton, yang menyatakan bahwa setiap matriks A N x N memenuhi persamaan karakteristiknya,

yaitu :

det ( A - λI ) = 0

Dengan teorema Cayley-Hamilton, kita dapat menyatakan setiap perpangkatan matrik A dalam

bentuk kombinasi linier dari Am , m=0,1,…, N-1.

Matriks eksponensial exp (At) dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari (At)i,

i= 0,1,…,N-1 sedemikian hingga :

∑−

=

γ=1N

0i

2i A)t()Atexp(

Jika A memiliki nilai eigen λi(t) yang berbeda, γi dapat diperoleh dengan menyelesaikan komponen

persamaan

N1,2,....,j , )t()texp( 21N

0ijij =λγ=λ ∑

=

SISTEM WAKTU KONTINYU Solusi Domain Waktu

Halaman - 20

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Contoh : , Dapatkan matrik transisi keadaan φ(t) dari matrik A !

Kita peroleh eigenvaluenya masing-masing λ1=-1, λ 2= λ 3= -2

Jadi φ(t) = exp(At) = γ0(t)I + γ1(t) A + γ2 (t)A2

exp (λt) = γ0(t) + γ1(t)λ + γ2(t)λ 2

Kita peroleh :

exp (-t) = γ0(t) - γ1(t) + γ2(t) (i)

exp (-2t) = γ0(t) -2 γ1(t) +4 γ2(t) (ii)

exp (-2t) = γ0(t) - 2γ1(t) + 4γ2(t)

t exp (-2t) = γ1(t) - 4γ2(t) (iii)

sehingga

SISTEM WAKTU KONTINYU Solusi Domain Waktu

−−

−=

010

440

001

A

γ0(t) = 4exp(-t) – 3 exp(-2t) – 2t exp(-2t)

γ1(t) = 4exp(-t) – 4 exp(-2t) – 3t exp(-2t)

γ2(t) = exp(-t) – exp(-2t) – t exp(-2t)

−+−+−−−−−−−−

−=φ

)t2exp(t4)t2exp(4)texp(4)t2exp(t0

)t2exp(t4)t2exp(t2)t2exp(0

00)texp(

)t(

Page 11: Linear System 02 Slides

Halaman - 21

TE-1461 SISTEM LINIER, Bab 2 Sistem LTI Waktu Kontinyu

Dari pembahasan sebelumnya tampak bahwa nilai eigen dari matrik A menentukan perilaku sistem,

dimana exp (At) memiliki komponen vektor keadaan : exp (λ1t),exp (λ2t),......,exp (λNt), yang mana

λI untuk i = 1,2,....,N adalah nilai eigen dari matriks A.

Agar suku exp (λit) “bounded “, maka bagian riil dari xi, i=1,2,…,N haruslah negatif. Sistem yang

memiliki nilai eigen bagian riil semuanya negatif disebut sistem “Stabil Asimtotis”.

Syarat sistem stabil BIBO adalah respon impulsnya, h(t), “Absolutely Integrable”.

Untuk sistem LTI, stabil asimtotis berimplikasi stabil BIBO, tapi tidak sebaliknya.

SISTEM WAKTU KONTINYU Stabilitas Sistem