Lignes de Transmission 2

5/16/2018 Lignes de Transmission 2 - slidepdf.com

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1

Lignes de transmission

Jessica – Mercredi 8 juillet 2009- Couturier GEII IUT-Bordeaux1

2

Constantes linéiques d’une ligne de transmission

Équations de propagation, constante de propagation, Impédance caractéristique

Coefficient de réflexion et rapport d’onde stationnaire

L’abaque de Smith

Lignes avec faibles pertes

Matrice chaîne d’un tronçon de ligne

Expériences autour d’un câble RG58 : Études harmonique et temporelle

Effet de peau dans les conducteurs

Vérification expérimentale de l’effet de peau

Pourquoi des câbles 50 Ω ?

Impédance de transfert des câbles coaxiaux

Calcul de la tension parasite induite dans un câble

Expériences : mise en évidence de l’impédance de transfert

Lignes microrubans



3

Constantes linéiques

d’une

ligne de transmission

4


Une ligne de transmission (câble coaxial, ligne bifilaire, ligne microruban, …) est caractérisée par :

- capacité linéique : C (en F/m)

- inductance linéique : L (en H/m)

- résistance linéique (pertes cuivre) : r (en Ω/m)

- conductance linéique (pertes diélectriques) : g (en S/m)

C, L, r et g dépendent :

- de la géométrie de la ligne de transmission

- des propriétés des matériaux utilisés : isolant (εr , tg(δ) et µr ) , conducteur (σ = 1/ρ)

Ldxrdx

Cdx gdx

dx



5

• Les constantes linéiques peuvent se calculer si la géométrie de la ligne est simple (ex :

deux fils parallèles, câble coaxial, … ) :

- capacité linéique C (en F/m) : théorème de Gauss

- inductance linéique L (en H/m) : théorème d’Ampère

- résistance linéique (en Ω/m) : r = ρ/S avec S section du fil conducteur, attention

ceci n’est vrai qu’aux basses fréquences, aux hautes fréquences il faut tenir compte de

l’effet de peau : r augmente avec la fréquence.

- conductance linéique (en S/m) : g = Cωtg(δ)

• Les constantes linéiques sont accessibles à la mesure, soit par une étude fréquentielle

(analyseur de réseaux), soit par une étude temporelle (réponse impulsionnelle)


6

Capacité linéique en F/m :

=

0

02

r R

Ln

C int

r ε πε

R int =2,35 mm

r 0=0,65mm

εr =2,2

ε0=1/(36π109) F/m

C ≈ 100pF/m

Ex : câble RG 58 r 0 Rint

++

+ +

+

+

+ +

-

-

- -

- -

-- εr , µr

Constantes linéiques : capacité linéique d’un câble coaxial

(Théorème de Gauss)



7

Inductance linéique en H/m :

=

0

0

2 r R

Ln L int

π

µ

r 0 Rint

+++ +

+

+

+ +

-

-

- -

- -

-- εr , µr

R int =2,35 mm

r 0=0,65mm

εr =2,2µr =1

ε0=1/(36π109) F/m

Ex : câble RG 58

L≈

250nH/m

Constantes linéiques : inductance linéique d’un câble coaxial

(Théorème d’Ampère)

8

Constantes linéiques : résistance linéique d’un câble coaxial

r 0 Rint

++

+ +

+

+

+ +

-

-

- -

- -

-- εr , µr

Rext

r = +

conducteur intérieur

conducteur extérieur

σ π 20

1

r )(1

int ext int ext R )(R R R −+σ π

R int =2,35 mm

R ext =2,85 mm

r 0=0,65mm

σ=1/ρ=5.107 Sm-1

εr =2,2

µr =1

ε0=1/(36π109) F/m

Ex : câble RG 58

r ≈ 0,02Ω/m

Résistance linéique en Ω/m (en basses fréquences)(Loi d’Ohm)



9

Constantes linéiques : conductance linéique d’un câble coaxial

r 0 Rint

++

++

+

+

+ +

-

-

- -

- -

-- εr , µr

Rext

g = )(. δ ω tg C

R int =2,35 mm

R ext =2,85 mm

r 0=0,65mm

σ=1/ρ=5.107 Sm-1

εr =2,2µr =1

ε0=1/(36π109) F/m

tgδ ≈ 2.10-3

Ex : câble RG 58

g ≈ 2.10-13ω S/m

Conductance linéique en S/m

10

Constantes linéiques : pertes diélectriquesLes isolants ne sont pas parfaits, il y a 2 types de pertes caractérisées par :

résistance isolement

résistance série + pertes diélectriques ⇒ tg(δ)

Résistance isolement = E/I

Pour un câble coaxial de 1 m de long,

de l’ordre de 108Ω

Explication : transfert d’électrons

d’une électrode à l’autre

E

I

E

I

modélisation

tg( δ ) est de l’ordre de q.q. 10-3

Explication : tg( δ ) est dû à la résistance série et

aux pertes diélectriques

E

I

tg(δ)=ESR.C.ωδ

C

ESRC G=tg( )C



11

12

L(H/m)C(F/m) Z clignes

D

2r

−

r

Dr

10

12x

log1012

ε

D

2r D’

+

−22'

22'

10log276

D D

D Dr

D

r ε

r D

r 10log

276ε

+

−

−

22'

22'

10

12x

log

1012

D D

D Dr

D

r ε

2r h>>2r

r h

r

2log

13810

ε

−

r h2

log1046,0 106x

−

r h

r 2

log1024

10

12xε

−

r D

106x log1092,0

+

−−22'

22'

106x log1092,0

D D

D Dr

D

h>>2r 2r

D

+

210

21

log276

h D

r

D

r ε

+

−

210

12x

21

log

1012

h D

r

D

r ε

+

−210

6x

21

log1092,0

h D

r

D

Constantes linéiques de quelques lignes de transmission

écran

métallique



13

Équations de propagation

Constante de propagation

Impédance caractéristique

14


U(x)U(x+dx)

I(x) I(x+dx)

dx x=0 x

soit :

Ldxrdx

Cdx gdx

( ) ( )( )

( ) ( )( )

,,,

,,,

+=

+=

t x gU dt

t xdU C

dxt xdI

t xrI dt

t xdI L

dxt xdU

+=−+

+=−+

gdxU dt

dU Cdx x I dx x I

rdxI dt dI

Ldx xU dx xU

)()(

)()(

L g



15

Équations de propagation : le cas du régime harmonique

Tension U(x,t) et courant I(x,t) sous forme complexe : t j xt xt j xt x e I I et eU U ω ω )(),()(),( = =

d’où :

( )

−=

+=

−

−

x x

c x

x x x

Be Ae Z

I

Be AeU

γ γ

γ γ

1

)(

)(

⇓

+=

+=

dt dU

g dt

U d C

dxdt I d

dxdI

r dxdt

I d L

dx

U d

2

22

2

2

2

⇒


0 2

2

2

2=−−−− rgU

dt dU

rC dt

dU Lg

dt

U d LC

dx

U d

0 2

2

2

2=−−−− rgI

dt dI

Lg dt dI

rC dt

I d LC

dx

I d

impédance caractéristique ( Ω )

avec : β α ω ω γ j jC g jLr +=++= ))((etω ω

jC g jLr Z c ++=

coefficient d’atténuation (m-1 )

constante de phase(rdm-1 )constante de propagation

16

charge Z l

x=0 x

)( xt j xe Be β ω α −−

onde réfléchie

)( xt j xe Ae β ω α +

onde incidente

( )

−=

+=

−

−

x x

c x

x x x

Be Ae Z

I

Be AeU

γ γ

γ γ

1

)(

)(

Équations de propagation : le cas du régime harmonique

La tension et le courant dépendent de l’abscisse x et du temps t : la ligne n’est plus

équipotentielle



17

Dans une ligne sans perte, r=g=0 , en conséquence l’impédance caractéristique Z c ne

dépend plus de la fréquence, elle est purement réelle et ne dépend que des constantes

linéiques L et C de la ligne :

C L

Z c =

Lignes sans perte : impédance caractéristique ZC

Lignecoaxiale :

ω

ω

jC g jLr

Z c ++

= ⇒

Logiciel Rfsim99(gratuit)

18

La constante de propagation devient purement imaginaire : β α γ j+=

Lignes sans perte : vitesse de phase et longueur d’onde λ

( )

−=

+=

−

−

x x

c x

x x x

Be Ae Z

I

Be AeU

γ γ

γ γ

1

)(

)(

( )

−=

+=

−

−

x j x j

c x

x j x j x

Be Ae Z

I

Be AeU

β β

β β

1

)(

)(

⇒

) j) j),( ee)(

xω(t xω(t t jt x B Ae xU U ω

β

ω

β

ω −+

+==

β γ j= LC ω β = β α ω ω γ j jC g jLr +=++= ))(( ⇒ avec

Le terme ω/β est homogène à une vitesse ⇒LC

1v =

La longueur d’onde λ est telle que d’où la relation :π=βλ 2f v

=λ

A N : câble RG58, v=2.108ms-1 si f = 100MHz ⇒ λ=2m



19

Lignes sans perte : impédance ramenée d’un tronçon de ligne

charge Z l

x

U(x,t)

I(x,t)

U(x,t)

I(x,t) x=0

Z(x)

Rappel des équations courant et tension

Impédance au point d’abscisse x=0 :

)()(

)0( B A B A

Z Z cl Z x−+

===

( )

−=

+=

−

−

x j x j

c x

x j x j x

Be Ae Z

I

Be AeU

β β

β β

1

)(

)(

Impédance en un point d’abscisse x :

)(

)()()(

)( x j x j

x j x j

c x Be Ae

Be Ae Z

x I xU

Z β β

β β

−

−

−

+==

D’où :( )

)())((

)( xtg jZ Z xtg jZ Z

Z Z l c

cl c x

β

β

++

= Important : Si Zl = Zc alors Z(x) = Zc

20

Lignes sans perte : quel sens donné à l’impédance caractéristique ?


Le générateur voit une impédance de charge égale à ZC

ZC

L’impédance caractéristique est l’impédance vue à l’entrée de la ligne lorsque celle-ci

est chargée par son impédance caractéristique. En effet si Z l = Zc alors Z(x) = Zc et

Z(x=L) = Zc

ZC

x = 0x = L



21

Lignes sans perte : quel sens donné à l’impédance caractéristique ?

( )

−=

+=

−

−

x j x j

c

x

x j x j x

Be Ae Z

I

Be AeU

β β

β β

1

)(

)(Supposons une ligne de longueur infinie, l’onderéfléchie est nulle et dans ce cas :

CZ

)x(I

)x(U=

L’impédance caractéristique est donc l’impédance vue en chaque point de la ligne,

quand la ligne est de longueur infinie.


Le générateur voit une impédance de charge égale à ZC

ZC

22

Lignes sans perte : pourquoi faut-il adapter?

Zl

Zs

source

La source transmet le maximum de puissance Pm à la

charge quand Zl = Zs*.

Si Zs=R s = 50Ω, alors il faut Zl =50Ω et Pm=E2/4R S

E

Si Zl = 50Ω, alors la puissance déposée dans la charge est : Pm=E2/4R S

R s

=50Ω

source

Zl Ligne de transmission

d’impédance caractéristique 50ΩE charge



23

Coefficient de réflexion

et

rapport d’onde stationnaire

24

Lignes sans perte : coefficient de réflexion Γ

En x=0 , l’impédance de charge Z l s’écrit :1

1

)0()0(

−

+=

−+

===

=

B A B A

Z B A B A

Z x I xU

Z ccl

x j

x j

x j

e A

B

Ae

Be

enteonde incid

réfléchieonde

x Γ

β

β

β 2

)(−

−

===

En x=0, le coefficient de réflexion associée à la charge Z l est :cl

cl l Z Z

Z Z Z Γ x Γ

+−

=== )()0(

D’où : x j

cl

cl e Z Z Z Z

x Γ β 2)( −

+−

=

charge Z l

x=0 x

onde réfléchie :

onde incidente :

Coefficient de réflexion Γ :

)( xt j Ae β ω +

)( xt j Be β ω −



25

Lignes sans perte : ROS (Rapport d’onde stationnaire)

t

t

t

ondes incidente etréfléchie sont en phase

'V

"V

"V'V +

f

"V'V +

T

A B

lZ'V'V'BeAe)x(U x jx j +=+= β−β

ondes incidente etréfléchie sont en

opposition de phase

f

"V'V −

t

t

t"V'V −

'V

"V

26

)x(U

x


lZ

x jx j BeAe)x(U β−β += onde stationnaire

t

t



27

Lignes sans perte : ROS (Rapport d’onde stationnaire) et Γ

( )

−=

+=

−

−

x j x j

c

x

x j x j x

Be Ae Z

I

Be AeU

β β

β β

1

)(

)(

Équations tension et courant

Maximum de tension sur la ligne : B AU max +=

Minimum de tension sur la ligne :

Définition du ROS :

Compte tenu de la définition du coefficient de réflexion : x je A B x Γ β 2)( −=

On déduit la relation entre ROS (ou SWR Standing Wave Ratio) et Γ :

Ondes incidente et réfléchie sont en phase

B AU min −=Ondes incidente et réfléchie sont enopposition de phase

Γ−

Γ+=

1

1ROS

BA

BA

UminUmax

ROS−

+==

28

charge Z l =Z c

onde incidente

Si Z l =Z c ⇒ Γ =0 et ROS=1

x=0 x

x j AeU x β =)(Onde progressive :

)( xt j Ae β ω +

La source transmet le maximum de puissance à la charge

)x(U




29

L’abaque de Smith

- Impédance et admittance

- Coefficient de réflexion

- ROS

- Impédance ramenée

- Réseau d’adaptation

30

Z = (15-j50)Ω

15Ω

31,8pF

F = 100MHz

z = Z/ZC = 0,3-1j

Impédance caractéristiqueZC = 50Ω

Impédance réduite

0, 3

- 1

z

Exemple



31

Z = (15-j50)Ω

15Ω

31,8pF

F = 100MHz

z = Z/ZC = 0,3-1j

Impédance caractéristiqueZC = 50Ω

Impédance réduite

Admittance réduite

y = 1/z = 0,27+0,91j

Admittance

Y=y /ZC=(5,5+18,3j)10-3 S

y

z

32

Z = (15-j50)Ω

15Ω

31,8pF

F = 100MHz

z


Γ = (Z-ZC)/(Z+ZC)

Γ = 0,75 -87,4°

Γ = 0,75

-87,4°



33

Z = (15-j50)Ω

15Ω

31,8pF

F = 100MHz

z

Rapport d’ondestationnaire

ROS = 6,8

-87,4°

ROS = (1+ Γ )/(1- Γ )

ROS = 6,8

34

Z = (15-j50)Ω

15Ω

31,8pF

F = 100MHz

z à 0, 2

λ

Impédance ramenée à40 cm par exemple

λ = v/f = 2 m

v = 2.108 ms-1

Longueur d’onde

40 cm→ 0,2 λ

z = 0,18+0,46j

Z = (8,95 + 23,4j) Ω

0 , 2

λ



35

Ligne d’impédancecaractéristique ZC = 50 Ω

15Ω

31,8pF

charge de laligne Zl

Réseau

d’adaptation(inductance

etcapacité)

Matching network

Z1 Z2

Il y a adaptation si :

- Z1 = 50 Ω

- Z2 = Zl*

2 inconnues L et C

Adaptation d’impédance à une fréquence

LC

36

Un exemple simple d’adaptation

50Ω

31,8pF

charge de laligne Zl

Réseaud’adaptation(inductance

etcapacité)

Matching network

Z1 Z2

50Ω

31,8pF

Z1=50 Ω Z2 = (50 +j 50)Ω

ligne 50 Ω

f = 100 MHz50 Ω

source

f = 100 MHz50 Ω

source

ligne 50 Ω79nH

Zl = (50 – j 50) Ω

Matching network



37

Adaptation à une ligne de 50 Ω

38

Résolution numérique

Réseau d’adaptation



39

F = 100MHz

15Ω

31,8pF

L = 116nH

ZA

ZA

YA

15Ω

31,8pF

L = 116nH

C = 48pF

ZC=50Ω

40

Lignes avec faibles pertes



41

Lignes avec faibles pertes : impédance caractéristique Z c

C L

Z c ≈

ω Lr << C g <<Dans l’hypothèse de faibles pertes, et , l’impédance caractéristique

peut encore s’écrire :

L’impédance caractéristique est quasiment inchangée

Ldxrdx

Cdx gdx

dx

)1(

)1(

ω

ω

ω

ω

jC

g jL

r

C L

jC g jLr

Z c+

+=

++

=

42

β α γ j+=La constante de propagation peut se mettre sous la forme :

Dans le cas où : et : Lr <<

)1()1())((ω

ω ω

ω ω ω β α γ jC

g jC

jLr

jL jC g jLr j ++=++=+=

C <<

Lignes avec faibles pertes : coefficient d’atténuation

LC ω β ≈

pertes cuivredans les fils

+≈

C L g

LC r

22α

pertes diélectriquesdans l’isolant

La constante de phase est quasiment inchangée :

Coefficient d’atténuation (en m-1) :

+−≈++≈C

g

L

r j LC j

jC

g

jL

r LC j

ω ω

ω ω ω γ

2

111 = α +j β



43


44

tronçon de ligne de longueur Lc

quadripôleV 1 V 2

I 1 I 2

Lc

x1 x2

+

+−

−+

=

1

1

2

2122

21

12

21

2

22 I

V

Z Z Z

Z

Z Z

Z Z

Z Z

I

V

=

λ π c

c1 L

2 sin jZ Z

)(

12

λ π c

c Ltg

jZ Z −=

Matrice chaîne

avec :

( )

−=

+=

−

−

x j x j

c x

x j x j x

Be Ae Z

I

Be AeU

β β

β β

1

)(

)(Équationstension

etcourant

Méthode : écrire , ,

et puis éliminer A et B :

)( 1V 1 xU = )( 2V 2 xU =

)( 1 I 1 x I = )( 2 I 2 x I =




45

V 2

λ π c

c L

2 sin jZ

)(

1

λ π c

c Ltg

jZ −V 1

I 1 I 2

si Lc<<λ avec λ=v/f

ccccc

c LL j L LC C L

jv fL Z

j L

2 sin jZ ω ω π

λ π ==≈

2

Matrice chaîne d’un tronçon de ligne : cas où Lc<<λ

ω ω π

λ π

2

121

)(

1

cccc

cc CL

j L LC C L

j fLv

jZ L

tg jZ =−=−≈−

V 1 V 2

I 1 I 2c LL

2cCL

2cCL

NB : Utile pour : 1) la synthèse de filtres utilisant des tronçons de ligne, 2) pour

comprendre le découplage et 3) calculer la tension parasite dans un câble

si Lc<<λ

46

Expériences autour d’un câble RG58

Études harmonique

ettemporelle



47

Détermination de la vitesse v de propagation dans un câble RG58 par

mesure de l’impédance

analyseur de réseaux

câble RG58 1mcircuit

ouvert

48

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x 10

8

0

0.5

1

M o d u l e S 1 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 108

-5

0

5

Fréquence [ Hz ]

P h a s e [ r d ]

L’analyseur de réseaux mesure le coefficient de réflexion Γ

100MHz

Z l infinie

( ) x j x j

c x Be Ae

Z I β β −−=

1)(

Équation du courant

B A I x =→== 0)0(

m x

x je A B

1m x Γ

1

2)(=

−== β

v

f phase

π β

42)(

−=−=Γ


Γ = 1

phase (Γ )=-2π

pour f=100MHz

s / mv 86

1022

101004 x

x

==π

π



49

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

x107

0

20

40

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7x107

-2

0

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 108

0

1000

2000

3000

M o d u l e ( Z ) Z e n O h

m

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 108

-2

-1

0

1

2

Fréquence [Hz]

P h a s e [ r d ]

Impédance d’un câble RG58 de 1m de long avec Z l infinie

z o o m

( ) )())((

)( xtg jZ Z xtg jZ Z

Z Z Lc c Lc x β

β

++

=

Impédance ramenée

)

2(

)1(

v f

jtg

Z Z cm x

π ==

c

a p a c i t i f

i n d

u c t i f

i n d

u c t i f

c a p a c i t i f

50

Générateur designaux : sinus

oscilloscope

Câble RG582x50m

Détermination de la vitesse v par mesure du déphasage



51

50Ω

d=100m RG58 (50Ω)

50Ω6V c-a-c1MHz


AAe)x(U x j == βd jAe)dx(U β==

VOUTVIN

x jx j BeAe)x(U β−β +=

VOUT est déphasé de – βd par rapport à VIN

52Déphasage ϕ = -π à 1MHz d’où :

0 0.5 1 1.5 2

x 10-6

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [ s ]

A

m p l i t u d e [ V ]

V IN

V OUT


18xx6

ms102100102

vv

dd2 −=π

π=→

ω−=

λπ−

=ϕ



53

Générateur designaux : pulse

oscilloscope

Câble RG582x50m

Ligne en régime impulsionnel

54


Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 40µs

300Ω

100m RG58 (50Ω)

1MΩ6V40 s VIN VOUT

Ligne désadaptée



55

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-4

-2

0

2

4

6

A m p l i t u d e [ V

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-4

-2

0

2

4

6

Temps [s ]

A m p l i t u d e [ V ]

VIN

VOUT


Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 40µs

56


Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 400ns

300Ω

100m RG58 (50Ω)

1MΩ6V

400 ns

VIN VOUT



57

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [s]


VIN

VOUT



58

0,857

0,857+(1)0,857=1,714

0,857

468,1857,0)714,0(857,0 =+0,611

0,611+(1)0,611=1,2220,611

0,611+(0,714)0,611=1,0470,436

0,436+(1)0,436=0,872

15010

5010Γ

6

6

s ≈+

−=0,714

5030050300

Γe =+−

=

Générateur Charge

0,85750300

506x=

+





59

Ligne en régime impulsionel : ligne désadaptée en entrée et adaptée en

sortie : pulse 400ns

300Ω

100m RG58 (50Ω)

50 Ω6V400 ns

VIN VOUT

60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-5

-0.4

0

0.4

0.8

1.2


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-5

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

Temps [s]


VIN

VOUT

18x9x

10210500

100 −−

== msv

Ligne en régime impulsionel : ligne désadaptée en entrée et adaptée ensortie : pulse 400ns



61

7.5 8 8.5 9 9.5

x 10-5

-2

0

2

4

6


7.5 8 8.5 9 9.5

x 10-5

-2

0

2

46

Temps [s]


]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-4

-2

0

2

4

6


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-4

-2

0

2

46

Temps [s]


]

Ligne en régime impulsionel : ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 40µs

300Ω100m RG58 (50Ω)

1MΩ6V40µs VIN VOUT

VIN

VOUT

62

analyseur deréseaux

câble RG5850m

Mesure des pertes

impédanceentrée 50Ω

impédancesortie 50Ω



63

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 108

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Fréquence [ Hz ]

P a r a m è t r e S 2 1 , a t t é n u a

t i o n [ d B ]

39dB400

17dB100Atténuation pour 100mFréquence (MHz)

Long = 50m

64

Tentative de calcul de l’atténuation

)()(),( xt j x xt j xt x e Bee AeU β ω α β ω α −−+ +=Équation en tension :

Ligne adaptée (B=0), pas de réflexion : ⇒ )(),( xt j xt x e AeU β ω α +=

=

=

==

− ong L

ong 1021 e

) L(xU

0)(xU 20log S

α 10log20Atténuation mesurée (paramètre S 21) :

+≈ C L g LC r 22

α Coefficient d’atténuation :

r 0 Rint

Rext g =C ω tg( δ ) ; tg( δ ) : angle de perte du diélectrique polyéthylène

r (en m-1 )= +



σ π 20

1

r )(1

int ext int ext R )(R R R −+σ π



65

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10

8

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Fréquence ( Hz ]

P a r a m è t r e S 2 1 , a t t é n u a t i o n [ d B ]

expérience

pertes diélectriquestg δ = 0.002

+résistance cuivre

continue

pertes diélectriquestg δ = 0.007

+résistance cuivre

continue

Conclusion : Un résistance linéique r = ρ/S ne peut pas expliquer

l’atténuation observée, il faut prendre en compte l’effet de peau.

66

Effet de peau dans les conducteurs



67

Champ magnétique à l’intérieur d’un conducteur en régime statique

Théorème d’Ampère appliqué à l’intérieur du conducteur :

Circulation sur un cercle de rayon r à l’intérieur du conducteur :

2T R

r I r BM d BC

2

20

π

π µ π === ∫

rr

20

R 2

π

µ r I B =

Théorème d’Ampère appliqué à l’extérieur du conducteur

r I

B 2

0π

µ =

r

B

R -R

R I

B2

0π

µ =R

I

∆

r

I r BM d BC T 02π =∫ ==rr

68

En régime statique, la densité de courant j=I/S (en A/m2

) est la même dans unesection de conducteur et le champ électrique E est constant : j= σE.

En régime harmonique, le champ B, créé par le courant, varie dans le temps et

modifie le champ électrique (rappel loi de Lenz : e=-dΦ/dt) et donc la densité

de courant (j= σE) qui en retour modifie le champ magnétique. En d’autres

termes les champs magnétique et électrique sont couplés. Il s’ensuit que la

densité de courant n’est plus constante dans une section de conducteur : le

courant est rejeté à la périphérie du conducteur.

En statique la densité decourant est uniforme

En régime harmonique, la densité decourant est plus élevée à la périphérie



69

Épaisseur de peau

Aux hautes fréquences la résistance linéique r doit être

remplacée par une impédance linéique Z=Zr +jZi avec :

σ π 20

1

r r =

r 0

δ : épaisseur de peau

aire : 2 π r 0 δ

d’où :

µ σ π δ

1 f

=On pose : l’épaisseur de peau

)121

( 0 >µ σ π f r

En l’absence d’effet de peau, c-à-d en continu :

δ π σ 2 10

r r Z =

µ σ π π σ

21

f r

Z Z 0

ir ==≈ Z r ( ω ) Z i( ω )

r

70

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

50

100

150

sqrt ( f ) f en [Hz]

Z r / R 0 e t Z i / R 0

0 200 400 600 800 10000

2

4

sqrt ( f ) f en [Hz]

Z r / R 0 e t Z i / R 0

Variation de l’impédance Z d’un conducteur plein en fonction de la

fréquence

zoom

mmr 5.00 = 170 10 −−= Hm4π µ 17x105 −= Smσ , et

Z r / r

Z i / r

Z r

/ r

e t

Z i

/ r

Z r

/ r

e t

Z i

/ r



71

0 1 2 3 4 5

x 10-4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-6

Distance à l'axe du fil [m]

C h a m p m a g n é t i q u e [ T ]

10kHz

100kHz

1MHz

10MHz

I=10mA

σ =5 10 S m7 -1

Variation du champ magnétique B en fonction de la distance à l’axe d’un

conducteur plein

mmr 5.00 = 170 10 −−= Hm4π µ 17x105 −= Smσ , et

δ =22µ mà

10MHz

δ =71µ mà

1MHz

72

0 1 2 3 4 5

x 10-4

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Distance à l'axe du fil [m]

D e n s i t é d e

c o u r a n t [ A m - 2 ]

I=10mA

10kHz

100kHz

1MHz

10MHz

=5 10 S mσ 7 -1

Variation de la densité de courant j en fonction de la distance à l’axe

d’un conducteur plein

δ =71µ mà

1MHz

δ =22µ mà

10MHz

mmr 5.00 = 170 10 −−= Hm4π µ 17x105 −= Smσ , et



73

Vérification expérimentale de l’effet de peau

74

Mesure de l’atténuation d’un câble RG58 : mise en évidence de l’effet de

peau

analyseur deréseaux

câble RG5850m

impédanceentrée 50Ω

impédancesortie 50Ω



75

Calcul de l’atténuation

)()(),(

t j x xt j e Bee AeU t x β ω α β ω α −−+ +=Équation en tension :

Ligne adaptée (B=0), pas de réflexion : ⇒ )(),( xt j xe AeU t x β ω α +=

=

=

==

− ong L

ong 1021 e

) L(xU

0)(xU 20log S

α 10log20Atténuation mesurée (paramètre S 21) :

Coefficient d’atténuation :

r 0 Rint

Rext g =C ω tg( δ ) avec tg( δ ) l’angle de perte du diélectrique polyéthylène

)1

1(

2

1

int 0r Rr

f Z +=

σπ

µ La résistance r est remplacée par :

+≈

C L g

LC r

22α

76

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 108

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Fréquence [Hz]

P a r a m è t r e S 2 1 , a t t é n u a t i o n [ d B ]

capacité linéique C=100 pF/m, inductance linéique L=250 nH/m,

tg δ =2.1e-3, conductivité σ =3e7 Sm-1

Mesure de l’atténuation d’un câble RG58 : mise en évidence de l’effet de

peau

pertes diélectriquescalculées

pertes cuivre : effet de peaucalculées

expérience

pertes diélectriques + cuivre(calculées)



77

Pourquoi des câbles 50Ω ?

78

La résistance linéique est la somme des résistances linéiques des conducteurs intérieur

et extérieur de rayon respectif r 0 et Rint en hautes fréquence :

r 0 Rint

Rext

+=

C L g

LC r

22α

=

0

02

r

R Ln

C int

r ε πε

=

0

02 r

R Ln L int

π

µ

Le coefficient d’atténuation α s’écrit :

avec : et

+≈

int r Rr

f Z

1121

0

0πσ

µ

En négligeant les pertes diélectriques:

+

≈

int int

r Rr

r R

Ln

f 11121

0

0

0σ

ε ε π α

00

=dr

d α Minimum de α :int

0

0

int 1 R

r

r

R Ln +=

⇒ 6.30

int =r

R⇒

Isolant polyéthylène 2,2≈r ε ⇒ Ω≈

= 8.51

21

00

0r

R Ln Z int

r c

ε ε

µ

π





79

Impédance de transfert des câbles coaxiaux

80

Tension parasite induite dans un câble

On utilise des câbles pour se « protéger » des agressions

électromagnétiques. Est-on vraiment protéger ?

OEM

plan métallique

U U

+

tension parasite

câble

Le courant, induit dans la boucle par l’OEM, génère une tension parasite,

car l’impédance de transfert Zt du câble n’est pas nulle.



81

I ext L

Définition de l’impédance de transfert d’un câble

V int = Z t L I ext

Zt : impédance de transfert du câble, cette impédance caractérise le câble.C’est une donnée constructeur.

en Ωm-1

82

ext R int R

I ext

intr Z

inti Z

extr Z

exti Z

Couplage entre extérieur et intérieur du conducteur externe

I ext I ext

Vint Vint

I ext

Vint=Zt.L.Iext

L

Fréquence croissante



83

I ext

1

Vint

I ext

2

Vint

2 3 4 5 6 7 8-120

-100

-80

-60

-40

-20

Log 10 ( f ) f en [ Hz ]

2 0 l o g 1 0 (

m o d u l e Z t ) Z t e n O h m

)(10log20 0 R

1

2

3

Z t

Vint=Zt.L.Iext

I ext

3

Vint

L

20log10(résistancecontinue/unité delongueur)

NB : -50dBcorrespond à unerésistance 0,03Ω

pour 1 m

84

Impédance de transfert des conducteurs tressés

3 4 5 6 7 8-120

-100

-80

-60

-40

-20

Log10 ( f ) f en [ Hz ]

2 0 l o g 1 0 ( m o

d u l e Z t ) Z t e n O h m

La tresse favorise les fuites du

champ magnétique à l’intérieur

du blindage augmentant ainsi

l’impédance de transfert Zt

Z t



85

86



87

Single braid

Double braid

88

Calcul de la tension parasite induite dans un câble



89

x

La boucle, constituée de la gaine du câble et du plan métallique, est traversée par une

onde électromagnétique supposée plane. On cherche à évaluer la tension parasite V int

induite par le courant de la boucle

NB : Le champ B est supposé perpendiculaire au plan de la boucle (pire cas)

B

plan métallique E

V int

Lch I ext

câble

λ

à un instant t

90

1) Évaluer la tension e induite dans la boucle

h L Be c0=d’où :

Hypothèse de travail : Lc<<λ, le champ magnétique B est homogène dans la boucle, on

peut négliger la propagation.

Méthode :

1) évaluer la tension induite dans la boucle (Loi de Faraday e = d φ /dt )

2) évaluer l’impédance de la boucle

3) évaluer le courant I ext

4) évaluer V int à partir du courant I ext , de l’impédance de transfert Z t et de la longueur

Lc

[ ]h Le Bi

dt

h Le Bd

dt

h BLd

dt d

e ct ic

t ic ω

ω

ω φ

00 −=−=−=−=



91

2) Évaluer l’impédance de la boucle

Matrice chaîne du tronçon de longueur Lc

= −

r h

L2

log1046,0 106x

= −

r h

C r 2

log1024

10

12xε

=

r h

Z r

c2

log138

10ε

inductance linéique capacité linéique impédance caractéristique

h2r

Câble de rayon r Lc

plan métallique

)2

sin(λ

π cc

LiZ

)(λ

π cc L

itg

Z si Lc<<λ alors :

ω λ

π c

cc L Li

L2iZ =

La boucle est équivalenteà une inductance LLc

inductance linéique

longueur

92

3) Evaluer le courant I ext dans la boucle :

4) Evaluer la tension parasite V int :

Conclusion : pour diminuer la tension V int parasite, il faut diminuer la

surface Lch

L

h B

iLL

h L B

iLLe

I c

c

cext

00 ===ω

ω

ω

(en Volts) L

h L Z I L Z V ct ext ct 0int ==



93

Application numérique

Coupable : émetteur de puissance P E =15mW à f=27MHz situé à d=10m du câble et ayant une

antenne émettrice de gain G E =1,65.

La longueur de la boucle est très inférieure à la longueur d’onde λ =c/f=11,1m, on fait

l’approximation que B est constant sur toute la longueur de la boucle.

Lch

Lc=1met

h=0.2m

plan métallique

I ext Lh B L Z

V ct 0int =

Le champ B0 se calcule ainsi : ⇒)(en Wm 42

2-2d

G P 2

H 377 H E E E 2

π == nT H B 4,000 ≈= µ

Câble RG58 à 27MHz :1

t m1mm Z −− Ω=Ω≈ 11000

rayon câble r 0=2,35mm

Inductance linéique : 1−−

−− ≈

=

= Hm1

102,350.22log 100,46

r 2hlog 100,46 L

3 x

x10

6 x106 x µ

Tension parasite : V 8010

0,2100,411 L

h B L Z V

6

9ct µ ===

−

− xxxx0int

94

Expériences : mise en évidence de l’impédance de

transfert



95

499.99 499.994 499.998 500.002 500.006 500.01-120

-100

-80

-60

-40

-20

Fréquence [MHz]

A m p l i t u d e [ d B m ]

générateur

500MHz

charge50Ω

soudure

analyseur spectre

câble

sonde champ proche

Réalisation d’un coupable

Signal mesuré par la sonde de champ proche au voisinage de la soudure

96

499.99 499.994 499.998 500.002 500.006 500.01-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

Fréquence [MHz]

A

m p l i t u d e [ d B m ]

22,5dB

sonde champ proche

Réalisation d’un coupable (suite)

Signaux mesurés par la sonde de champ proche au voisinage de la soudure et du

câble blindé



97

victime

coupable

victime

coupable (BNC)

générateur 500MHz, 0dBm

CC

50Ω

victimecoupable

Tension induite par

l’impédance de transfert

499.99 499.994 499.998 500.002 500.006 500.01-130

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

Fréquence [MHz]

A m p l i t u d e [ d B m ]

victime

coupable

34dB

98

générateur 300MHz,-40dBm

générateur 301MHz,14dBm

câble victime

câble coupablesoudure

50Ω

Tension induite par l’impédance de transfert



99

299.5 300 300.5 301 301.5-115

-95

-75

-55

-35

A m p l i t u d e [ d B

m ]

299.5 300 300.5 301 301.5-115

-95

-75

-55

-35

Fréquence [MHz]

A m p l i t u

d e [ d B m ]

générateur 301MHz

coupable OFF

générateur 301MHz

coupable ON


100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

x 10-6

-1

0

1

x 10-3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

x 10-6

-1

0

1

x 10-3

Temps [s]


générateur 301MHz

coupable OFF

générateur 301MHz

coupable ON




101

Lignes microrubans

102

Pour un substrat de circuit imprimé donné, l’impédance caractéristique d’une ligne

microruban dépend principalement de la largeur W de la piste

Pour du FR4 : Zc = 50Ω si W = 2,9 mm



103Pour du FR4 : Zc = 105Ω si W = 0,5 mm

Lignes microrubans

104



105

Paramètres S21 et S11 du CI ADL5322

Gain 20dB à850MHz

106

Paramètres S21 et S11 du CI ADL5322 avec lignes 50Ω

2 lignes de 50Ω

Gain 20dB à850MHz



107

Paramètres S21 et S11 du CI ADL5322 avec lignes 105Ω

2 lignes de 105Ω

Le gain chute à 18 dBavec deux lignes de

105Ω longues de 2cm

108

FIN

Lignes de Transmission 2

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