Libro Norman Ctos I

Notas para un Curso de Circuitos Eléctricos I

H H1

NORMAN CÉSAR MERCADO CRUZ PROFESOR TITULAR

Universidad de Antioquia Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Electrónica Medellín, 2005

Ω21 V3 V12

0=t 0=t

Ω1 Ω3

1

F1 F1

)(ti )(ti

PRESENTACION. El material que presento en esta oportunidad ha sido el producto de un trabajo ininterrumpido desde el año de 1981 cuando empecé a dictar el curso de Circuitos I. Inicialmente me ocupé, en compañía del profesor Eugenio Duque Pérez, de recopilar la bibliografía existente en el medio para preparar unas primeras notas del curso; ese primer esfuerzo condujo a la publicación de un texto, en la modalidad de edición previa, con el título: INTRODUCCION AL ANALISIS DE CIRCUITOS. El texto fue publicado por el CESET en 1987 con 500 copias, las cuales se agotaron en los primeros dos años. Posteriormente, en 1992, el CESET reprodujo otras 100 copias para satisfacer básicamente la demanda del texto en la Universidad de Antioquia. Es pertinente mencionar que el libro tuvo una excelente acogida en otras instituciones de educación superior de la ciudad, al punto de animarme a continuar trabajando en un texto definitivo que sería publicado por la universidad de Antioquia. Dado que mis otras ocupaciones no me han permitido enfocar todo mi esfuerzo en la preparación definitiva del texto, presento este avance que cubre lo fundamental del curso. Continuaré trabajando paralelamente, tanto en el contenido del libro como en los trámites que me permitan realizar la publicación. El avance que ha tenido la electrónica en todos los campos y el advenimiento de tantas herramientas de software, como son los paquetes de simulación, me han conducido a hacer una drástica revisión del material inicial incorporando en este trabajo nuevos elementos de análisis y simulación. No renuncio, sin embargo, a la idea central que nos animó cuando se publicó el libro por primera vez y que quedó plasmado en la introducción: Este libro está concebido para servir de guía a los estudiantes de ingeniería que se inician en el estudio de los circuitos eléctricos. Se requiere, para su estudio, el conocimiento de cálculo diferencial e integral y de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Dentro de las novedades que tiene el presente material, me permito mencionar las siguientes: se hace un rediseño del capítulo de sistemas y señales, adicionando el concepto de convolución, se utilizan las herramientas: Mathcad y Paint para los gráficos se hacen uso del Spice para la captura de esquemáticos y para efectuar la simulación de los circuitos con elementos dinámicos, se hace un mejor uso de las ecuaciones diferenciales en el análisis de circuitos, se amplía el número de problemas tanto resueltos como propuestos y, finalmente, se mejora sustancialmente el estudio del amplificador operacional. PARA MIS ESTUDIANTES. Cuando me dirijo a mis estudiantes, me refiero no sólo a aquellos que tienen un contacto directo con mi cátedra sino a todos los que, de una u otra forma, piensan que pueden encontrar algo de provecho en la lectura del presente material. Reitero lo expresado en la presentación, el libro es una guía para el aprendizaje de los circuitos y para enfrentarlo se requiere tener una sólida formación en cálculo y en ecuaciones diferenciales. Los temas son presentados desde un punto de vista sistémico, con énfasis en las aplicaciones. Pretendo que mis estudiantes sean capaces de conciliar la parte analítica con la de simulación y que al final del curso tengan las herramientas mínimas

del análisis en el dominio del tiempo y puedan incursionar en el análisis en el dominio de la frecuencia. En el desarrollo de los temas no se privilegia en forma alguna la memorización, el alumno debe anteponer su sentido analítico para entender los temas y resolver los problemas que se plantean a lo largo del curso. Considero que mis estudiantes deben ser capaces de estudiar por su propia cuenta el texto y por tanto no se requiere la presencia en las clases. Por supuesto, es importante la asistencia a los talleres que se realizan, en los cuales el profesor enseña con el ejemplo y resuelve las dudas e inquietudes de los alumnos en los temas del curso. En total son 28 talleres que serán programados regularmente por la facultad de ingeniería. Quiero precisar que el curso no se dicta de la manera habitual sino que la clase es un espacio de discusión y se justifica para que el profesor comparta su experiencia con los estudiantes. Quiero agradecer muy especialmente a las personas que me han colaborado para llevar a feliz término la publicación del material: Paola Andrea Blandón, Marianela Rodríguez, Carolina Mira Fernández, Alexander Arias y César López.

CONTENIDO

1 SISTEMAS Y SEÑALES DE VARIABLE CONTINUA 1

1.1 Introducción 11.2 Sistemas

Propiedades de los sistemas lineales invariantes 1

1.3 Elementos de un sistema Elementos activos Elementos pasivos

4

1.4 Señales Señales singulares Función escalón unitario Función pulso rectangular Función impulso unitario Función rampa unitaria Función exponencial Función senoidal Señales periódicas Valor promedio Valor cuadrático medio

5

1.5 Integral de convolución 131.6 Ejercicios resueltos 151.7 Ejercicios propuestos 28

2 ELEMENTOS Y PRINCIPIOS ELÉCTRICOS 33

2.1 Generalidades 332.2 Carga y corriente

La carga eléctrica La corriente eléctrica

34

2.3 Voltaje, potencia y energía El voltaje La potencia

35

2.4 Convenciones para corriente y voltaje 352.5 Elementos circuitales

Elementos activos Elementos pasivos El resistor El capacitor El inductor Modelo del resistor real Modelo del capacitor real Modelo del inductor real

36

2.6 Circuitos resistivos Leyes de Kirchhoff Elementos en serie y elementos en paralelo

41

2.7 Técnicas de simplificación de circuitos 44

Fuentes ideales de voltaje en serie Fuentes ideales de corriente en paralelo Resistores en serie y en paralelo Divisores de voltaje y corriente Transformación de fuentes reales Fuentes reales de voltaje en paralelo Fuentes reales de corriente en serie Corrimiento de fuentes ideales de voltaje Corrimiento de fuentes ideales de corriente Circuitos equivalentes Thévenin y Norton Métodos de la fuente adicional Transformaciones y-delta

2.8 Técnicas de análisis de circuitos Técnica de los voltajes de nodo Técnica de las corrientes de malla

52

2.9 Principio de superposición 552.10 Circuitos con fuentes controladas 582.11 Nociones fundamentales 622.12 Problemas resueltos 632.13 Problemas propuestos 75

3 ELEMENTOS CIRCUITALES DINÁMICOS 80

3.1 Introducción 803.2 El capacitor

Principio físico Modelo circuital Potencia y energía Capacitores en serie y paralelo

80

3.3 El inductor Introducción Modelo circuital Potencia y energía Inductores en serie y paralelo

86

3.4 Dualidad 913.5 Inductancia mutua 913.6 Ejercicios resueltos 933.7 Ejercicios propuestos 98

4 RESPUESTA EN EL TIEMPO 100

4.1 Introducción 1004.2 Circuitos RC

Solución ante cualquier excitación Excitación escalón Respuesta natural

100

4.3 Circuitos RL Solución ante cualquier excitación Excitación escalón

104

Respuesta natural 4.4 Circuitos RLC

Circuito serie Respuesta al escalón y respuesta natural Movimiento sobre amortiguado Movimiento críticamente amortiguado Movimiento subamortiguado Movimiento oscilatorio puro Circuito paralelo Circuitos con bobinas acopladas Respuesta al escalón unitario Respuesta natural

107

4.5 Ejercicios resueltos 1204.6 Ejercicios propuestos 144

5 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 147

5.1 Introducción 1475.2 Modelo ideal del amplificador operacional 1485.3 Circuitos con amplificadores operacionales

Amplificador inversor Amplificador no inversor Circuito seguidor de voltaje Amplificador diferencial Circuito sumador inversor Circuito derivador inversor Circuito integrador inversor

151

5.4 Respuesta en el tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden

158

5.5 Problemas resueltos 1615.6 Problemas propuestos 168

BIBLIOGRAFÍA 171

1

CAPITULO 1

SISTEMAS Y SEÑALES DE VARIABLE CONTINUA

1.1. INTRODUCCIÓN Es bastante complicado encontrar una buena definición para sistema, sin embargo, podemos aproximarnos a una definición de un sistema físico cuyo esquema se ilustra en la figura 1.1, así: Un sistema físico se representa usualmente mediante modelos con elementos idealizados que tienen una descripción matemática precisa.

Figura 1.1

Un sistema consiste de la interconexión de cierto número de elementos que ejecutan una operación determinada. El producto final de un sistema depende tanto de los elementos que lo componen como de la excitación que lo activa. En el análisis de un sistema es necesario conocer cabalmente cada uno de los elementos constitutivos, así como los principios de operación de los mismos. A cada disciplina de ingeniería le corresponderá el análisis de los sistemas que le sean afines. En ingeniería eléctrica y electrónica, por ejemplo, se estudiarán sistemas circuitales, tales como: motores, transformadores, amplificadores, osciladores, filtros, servomecanismos, entre otros. 1.2. SISTEMAS Dado un sistema físico, analizarlo consiste en predecir la respuesta cuando se excita con la señal . Para efectuar el análisis es necesario conocer las leyes y los principios que rigen a los elementos del sistema. La aplicación de estas leyes y principios conducen al planteamiento de un problema de valor inicial, así:

)(ty)(te

0))...(),(),(,( 2 =etctyDtDytytF

Dadas las condiciones iniciales (energía inicial del sistema):

y ddt

y ddt

y ddt

yn

n( ), ( ), ( ), ..., ( )0 0 02

2

1

1

−

−0

Como puede observarse, resolver el problema de valor inicial requiere de la solución de una ecuación diferencial, asunto que es muy complicado en términos generales.

Sistema )(ty )(te

2

Afortunadamente, recurriremos a modelos de sistemas lineales cuyo análisis es relativamente simple ya que conduce a ecuaciones diferenciales lineales cuya forma general es la siguiente:

)()()(...)()( 011

1

1 tetyatydtdaty

dtdaty

dtda n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

)()()...( 0121

1 tetyaDaDaDaDa sn

nn

n =+++++ −−

),( DtL

)()(),( tetyDtL

Los coeficientes de la ecuación diferencial lineal, arriba mostrada son, en general, variables dependientes del tiempo. Particularmente estaremos interesados en las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes. “Un sistema lineal es aquel que está regido por una ecuación diferencial lineal” Una manera más cómoda y útil de escribir la ecuación diferencial lineal es haciendo uso del operador D, así:

La parte entre paréntesis es un operador lineal y se puede simbolizar como , con lo cual resulta una simbología más resumida para la ecuación diferencial, así:

= Los sistemas lineales presentan la importante propiedad conocida como principio de superposición, que establece: “Sí las respuestas a las excitaciones: y e t son respectivamente y y t , entonces la respuesta a la excitación:

e t1 ( ) 2 ( ) y t1 ( ) 2 ( ))()( 21 tetae + será: )()(. 21 tyta + ”. Donde a es

una constante real. Se puede visualizar el principio de superposición mediante la secuencia siguiente de identidades:

)()(),()()(),()()(),(

11

22

11

taetayDtLtetyDtLtetyDtL

===

Sumando las identidades segunda y tercera, tenemos:

)()()]()()[,( 2121 tetaetytyDtL + = + Ejemplo 1.1. Un sistema consta de una varilla con un extremo articulado y del otro extremo cuelga un peso W . Sí el sistema es lineal, la deformación de la varilla es proporcional al peso, esto es k es una constante que depende del material de la varilla. k W≡ ⋅ . Donde δPuede verse que:

11 kW 22 kW 11 kaWa ≡δ ≡δ ≡δ Concluimos que:

)( 2121 WaWka δ δ+ ≡ +

3

Los sistemas lineales se clasifican en dos grandes categorías, a saber: los sistemas lineales variantes en el tiempo y los sistemas lineales invariantes en el tiempo. Nos interesan particularmente los sistemas lineales invariantes, caso en el cual la ecuación diferencial que los rige es de coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes se puede resolver fácilmente. “Un sistema lineal invariante está regido por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes”. El problema de valor inicial asociado a los sistemas lineales invariantes es el siguiente:

)()()( tetyDL = Dadas las condiciones iniciales . Las condiciones iniciales dan cuenta de la energía inicial del sistema.

)0(),...,0(),0(),0( 12 yDyDDyy n−

En un curso regular de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudia la solución de dicho problema, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se determina la solución complementaria: y tc ( )

)(...)()()( 2211 tyCtyCtyCty nnc +++= Donde: es un conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada.

{ )()...(),(),( 321 tytytyty n }

2. Se determina la solución particular: y tp ( )La solución particular depende fundamentalmente de la excitación y se encuentra usando diversas técnicas, entre las cuales podemos mencionar: operador inverso, coeficientes indeterminados y variación de parámetros. 3. Se escribe la solución general de la ecuación diferencial, así:

)()(...)()()( 2211 tytyCtyCtyCty pnng ++++= 4. Se aplican las condiciones iniciales para determinar las constantes: C C C Cn1 2 3, , ...Finalmente, se escribe la solución del problema de valor inicial y se representa gráficamente. Normalmente la solución del problema de valor inicial tiene dos partes: la respuesta natural del sistema y la respuesta forzada (depende de la excitación).

y t y t y tn f( ) ( ) ( )= + Propiedades de los sistemas lineales invariantes. Cuando un sistema lineal invariante está inicialmente en reposo presenta algunas propiedades importantes, a saber: 1. Si la respuesta a la excitación es e t( ) y t( ) , entonces la respuesta a la excitación: e t T( )− es y t T( − ) . Lo anterior significa que si la excitación se traslada en el tiempo la respuesta también se traslada en la misma cantidad. 2. Si la respuesta a la excitación es e t( ) y t( ) entonces la respuesta a la derivada de

será la derivada dee t( ) y t( ) .

4

3. Si la respuesta a la excitación es e t( ) y t( ) entonces si la excitación se integra la respuesta se integra. Podemos visualizar más adecuadamente las propiedades expuestas, así:

EXCITACION RESPUESTA

e t( ) y t( ) e t( − )τ y t( )− τ ddt

e t( ) ddt

y t( )

∫t

de0

)( ττ ∫t

dy0

)( ττ

Ejemplo 1.2. Un sistema lineal invariante está inicialmente en reposo y en se aplica la excitación , obteniendo como respuesta la función . La función es la función escalón unitario, la cual estudiaremos más adelante con cierto detalle. Determine la respuesta del sistema cuando se excita con las siguientes funciones:

0=t)(ty)().()( tutsinte =

)(tu)()( tuttsin=

a) )()( ππ −− tutsin b) )()cos( tut

Solución. De acuerdo con las propiedades, las respuestas son:

a) )()()( πππ −−− tutsint b) )()]()cos([ tutsintt +

1.3. ELEMENTOS DE UN SISTEMA Los elementos de un sistema son los encargados de procesar la información: y por tanto se hace necesario caracterizarlos adecuadamente para efectos de análisis.

e t( )

Los elementos de un sistema presentan cierta característica o parámetro intrínseco a cada uno de ellos y que los diferencia de los demás. Los elementos de un sistema pueden tener dos o más terminales, aunque preferiblemente haremos alusión a los de dos terminales para el caso de los circuitos eléctricos. Un circuito eléctrico en su forma más simple se modela con elementos idealizados, así: Elementos activos Son los que suministran la energía al circuito, es decir, las fuentes tanto de voltaje como de corriente. Elementos pasivos Son los que procesan la energía suministrada por las fuentes: resistores, capacitores e inductores. El primero disipa la energía y los otros dos la almacenan y por eso reciben el calificativo de dinámicos.

5

Los sistemas electrónicos, además de los elementos mencionados, pueden tener otros dispositivos tales como: diodos, transistores, amplificadores operacionales y una gran diversidad de circuitos integrados. Los elementos circuitales pasivos son, en general, bilaterales, esto es, la información se transmite en igual forma en cualquiera de las dos direcciones, Los capacitores electrolíticos y los diodos son ejemplos de elementos unilaterales. 1.4. SEÑALES Una señal es una función del tiempo que puede ser de variable continua o de variable discreta; aquí nos referiremos únicamente a las funciones de variable continua. Una función de variable continua toma valores en un intervalo de los números reales, normalmente para t . > 0Las señales tienen cierto contenido de energía o mejor, contienen alguna información; una señal eléctrica se presenta en términos de corriente o voltaje. Es necesario hacer un estudio de las señales que aparecen en el análisis de sistemas eléctricos, tales señales pueden tener una descripción matemática precisa o pueden ser señales reales cuyo estudio se hará a la luz de la transformada de Fourier. (Este tema se estudia con bastante detalle en un curso de matemáticas especiales). Señales singulares Una señal singular es aquella que tiene una representación matemática simple lo que permite manipularla desde el punto de vista del cálculo (diferencial e integral). Algunas señales singulares, sin embargo, se salen del esquema del cálculo tradicional y por tanto es necesario introducir algunos conceptos adicionales que nos permitan efectuar un estudio más detallado de las mismas. Función escalón unitario o función de Heaviside También conocida como función paso unitario, esta función se describe matemáticamente como una función que vale cero si el argumento es menor que cero, esto es, si y que vale uno para Puede observarse que en la función no está definida. En las figuras 1.2 y 1.3 se representan gráficamente las funciones: y la función desplazada hacia la derecha. La función escalón es muy importante ya que puede usarse para generar otras funciones importantes en el análisis de circuitos, veamos algunos ejemplos.

t < 0 t > 0 t = 0u t( )

Figura 1.2 Figura 1.3

)(tu

1

)( 0ttu −

1

tt 0t

6

Función pulso rectangular Representemos gráficamente las funciones definidas a continuación:

f t u t u t( ) ( ) ( )= + − −1 1 )1()1()( tututg − += Es de notar que y f t( ) g t( )

)()( tgtf

son dos notaciones diferentes de la misma función, conocida como función pulso rectangular. La figura 1.4 ilustra el pulso rectangular correspondiente a la función = . La figura 1.5 muestra un pulso de ancho: y altura . Desde el punto de vista del cálculo tradicional, la función escalón no es derivable en , sin embargo, podemos asignarle (según veremos) una derivada en ese instante, lo que nos lleva a definir la función impulso unitario o función delta de Dirac.

aa/1

0=t

Función impulso unitario Consideremos la función h t definida como: a( , )

[ ])()(1),( atutua

ath −−=

t

),( ath )()( tgtf = Figura 1.4 Figura 1.5

Gráficamente la función es un pulso rectangular de ancho y altura: h t a( , ) a 1a

.

Ilustremos tres casos, a saber a = 1, a = 05. y a = 0 25. . Al analizar la situación mostrada en la gráfica de la figura 1.6 vemos que: 1. El área bajo la curva es la unidad para cualquier valor de a . 2. La altura del pulso tiende a infinito cuando a tiende a cero. Precisamente, definiremos la función impulso a partir de h t , así: a( , )

δ ( )t dt =−∞

∞

∫0

0( ) 1t dtδ

+

−

δ ( ) ( )tlim

ah t=

→ 0

=∫

t1 a

a/1 1

1−

7

La función impulso presenta algunas propiedades importantes entre las que cabe mencionar las siguientes: 1. Sí es una función definida en f t( ) t t= 0 entonces: )()()()( 000 tttftttf −=− δδ

2 .Sí es una función definida en f t( ) t t= 0 entonces: ∫ ∞

∞−=− )()()( 00 tfdttttf δ

Para efectos de representación gráfica de la función impulso se adoptará la convención de la figura 1.7. Podemos visualizar la primera propiedad de la siguiente manera, si es continua en

entonces, al multiplicarla por el impulso f t( )

t t= 0 δ (t t )− 0 el producto es cero para t diferente de y en el producto es igual al valor de la función multiplicada por el impulso.

t0 t t= 0

En cuanto a la segunda propiedad se deriva del hecho de que la integral del impulso es la unidad.

Figura 1.6 Figura 1.7 En este punto es conveniente encontrar la relación entre las funciones escalón e impulso, veamos: Consideremos la función x t a( , ) definida de la siguiente manera:

[ ])()()(1),( atuatttua

atx −−−=

Para una mejor ilustración definimos la función por tramos y la representamos gráficamente para algunos valores de a. La figura 1.8 muestra la gráfica de la función.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤≤

<

=

atsi

atsita

tsi

atx

1

0100

),(

Es claro que si tiende a cero la función tiende a la función escalón unitario, esto es:

a x t a( , )

)(),(0

limtuatx

a=

→

1

25.0

1

2

4

)(t δ

5.0 1

8

Sabemos, desde el punto de vista del cálculo tradicional, que la función no es derivable en y tampoco en

x t a( , )t = 0 t a= podemos, sin embargo, derivar la función en los

intervalos abiertos , y t < 0 0 < <t a t a> Sí denotamos por y t a( , ) a la derivada de y representamos gráficamente, obtenemos la situación mostrada en la figura 1.9. Es bueno notar que la expresión matemática para

x t a( , )

y t a, )( es la siguiente.

[ ])()(1),( atutua

aty −−=

De la gráfica se observa que y t a( , ) tiende a la función impulso cuando tiende a cero. aLo anterior nos lleva a la siguiente definición: “La derivada de la función escalón unitario es la función impulso unitario.” Matemáticamente presentamos la relación diferencial y la relación integral, así:

ddt

u t t( ) ( )= δ δ ( )t dtt

−∞∫

a

a/1 1

a

),( atx ),( aty

Figura 1.8 Figura 1.9 Ejemplo 1.3. Considere la función definida por tramos, como se indica a continuación. f t( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤

<=

1210

00)(

tsitsit

tsitf

1. Represente gráficamente la función. 2. Exprese mediante las señales singulares. f t( )3. Encuentre la derivada de f t( ) y grafique. Solución. 1. La figura 1.10 muestra la gráfica de la función 2. Ahora expresamos f t( ) en términos de las señales singulares, así:

)1()1()1()()( −−−−+= tuttuttutf

9

)(tg3. En cuanto a la derivada de usamos las reglas de derivación tradicionales junto con las propiedades del impulso, veamos: denotamos la derivada como:

f t( )

)1()1()()( −−−+= tuttutg δ

La figura 1.11 ilustra la gráfica de la derivada de la función.


)(tf )(tg

La función exponencial La función exponencial real es una de las más importantes en el análisis de sistemas de ingeniería. Normalmente se define como:

)(])([)exp( tueVVVt tfif

σ−−+=

Donde: es el valor final, es el valor inicial y fV iVσ

τ 1= es la constante de tiempo.

Para propósitos prácticos se supone que la función alcanza su valor final al cabo de cinco constantes de tiempo. Observe en efecto que es prácticamente cero. e−5

Ejemplo 1.4. Represente gráficamente las funciones:

)]5()(][1[10)( −−−= − tutuetf t )]5()([10)( −−= − tutuetg t

h t f t g t( ) ( ) ( )= + − 5 Solución. Usando el paquete Mathcad y procesando las gráficas con Paint, se obtienen las figuras 1.12, 1.13 y 1.14.

10


)(tf )(tg

Figura 1.14 Figura 1.15 La función senoidal Una sinusoide es una combinación lineal de las funciones seno y coseno, así:

cos()( 1Ctf )( tsin.) 2Ct ω ω= +

Donde las constantes: son reales 21,CC

)cos()(

La función se puede escribir alternativamente de diversas formas, entre las más usuales, tenemos:

αω −= tAtf )()( βω += tAsintf A : es la amplitud de la sinusoide, omega ( )ω es la frecuencia angular y alfa ( )α y beta ( )β son los ángulos de fase en cada caso. Puede mostrarse fácilmente que:

A C C= +( ) ( )12

22 α =

⎛⎜

⎞ β =

⎛⎜

⎞⎟atan

C1

⎝atan

CC

2

1 ⎝ ⎠C2

⎠⎟

C A1 = .cos( )α C A sin2 = . ( )α

A : Se mide en metros y ω se mide en radianes/segundo La frecuencia en Hertz de la sinusoide se denota por y está dada por: f / 2f ω π=

11

El periodo de la sinusoide se define como:

2 1f

πT = =ω

La sinusoide: )(5)( tsintf π= es de frecuencia angular:π y periodo: 2=T Para representar seis ciclos de la onda asignamos al tiempo valores en el intervalo

6 6t− ≤ ≤La figura 1.15 muestra la gráfica de la sinusoide. Señales periódicas Una señal: es periódica si existe un número realf t( ) T , tal que: para todo perteneciente al conjunto de los enteros.

)()( tfnTtf =+n T : recibe el nombre de periodo de la

señal y se mide en segundos. La frecuencia angular fundamental de una señal periódica se define como: T/20 πω = y se mide en radianes/segundos. La frecuencia se puede medir en Hertz y está dada por: 0 01/f T= Según se estudiará en un curso de matemáticas especiales, una señal periódica se puede expresar mediante una serie infinita de sinusoides de frecuencias: 0 0 0, 2 ,3 ,...ω ω ω Para representar gráficamente una función periódica se hace la gráfica en un período y luego se repite el número de ciclos que se deseen. En general, si es una señal definida en un período, la señal periódica:

f t( )g t( ) se puede expresar en la forma:

∑∞

−∞=

−=n

nTtftg )()(

Ejemplo 1.5. Represente gráficamente las señales: a) )]1()([)( −−= tututtf

b) ∑−=

−=5

5)()(

nntftg

c) ∑−=

−=5

5

)2()(n

ntfth

Solución La secuencia de figuras: 1.16, 1.17, 1.18, ilustran las gráficas correspondientes. Puede observarse que la señal: g t( ) es periódica con periodo T = 1, mientras que tiene como período

h t( )T = 2 .

Valor promedio de una señal periódica El valor promedio o valor DC de una señal periódica se define como:

∫+

=Tt

tprom dttfT

f 0

0

)(1

12

Valor cuadrático medio de una señal periódica El valor cuadrático medio o valor eficaz de una función periódica se define como:

∫+

=Tt

trms dttfT

f 0

0

2)(1

Puede verificarse, fácilmente, que los valores promedio y efectivo de una sinusoide de amplitud: A y de cualquier frecuencia, están dados por f prom = 0 , 2/Afrms =


)(tf

Figura 1.18

1.5. LA INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN Dado un sistema lineal invariante, inicialmente en reposo, la respuesta natural del sistema es la que se obtiene cuando la excitación es el impulso unitario. En adelante la respuesta natural de un sistema se denotará mediante . Se verá que conocida la respuesta natural de un sistema es posible determinar la respuesta ante cualquier excitación.

h t( )

)(tg

)(ty )(tx


... ILS )(t )(th δ

... ILS

13

XCITACIÓN RESPUESTA

A continuación se presentará el desarrollo de la integral de convolución. Eδ ( )t h t( ) δ τ( )t − h t( )− τ

)()( τδτ −tf )()( ττ −thf

∫∞

∞−− ττδτ dtf )()( ∫

∞

∞−− τττ dthf )()( nota 1

f t( ) nota 2 ∫ −t

dthf0

)()( τττ

x t( ) )()( thtx ∗

ota1. La función impulso es una función par, esto es, N δ τ δ τ( ) ( )t t− = −

e otro lado, si la excitación se apli

Nota 2. Se aplica la propiedad de la función impulso, la cual establece que:

∫∞

∞−=− )()()( afdtattf δ

)(tx t = 0D ca en la variable: τ tomará valores significativos entre τ = 0 y τ = t re de integral de convolución o simple te olución de las señales )(tx y h t( ) y la simbolizaremos como:

. La integral encontrada recibe el nombmen conv

0( ) ( ) ( ) ( )

tx t h t x h t dτ τ τ∗ = ⋅ −∫

La convolución de dos funciones es conmutativa, es decir, se verifica que:

)()()()( txththtx ∗=∗

jemplo 1.6.

a respuesta natural de un sistema está dada por: guientes excitaciones, representando

a.

E L )()( tueth t−= Determine la respuesta para cada una de las sigráficamente la entrada y la salida en cada caso

x t u t( ) ( )= b. )()( ttutx = c. d.

Solución.

⎥⎦⎤−=∗ −−− t tt tudedtuuetutu

0 01 )()()()()( ττττ ττ

Evaluando la integral, resulta: )1()(1 ety t−−=

Evaluando la integral, resulta: )()1()(2 tutety t −+= −

)()( tuetx t−= )()()( tutsintx =

∫ ∫⎢⎣⎡=

() tu

a. = ety )(

b. )()()()()(02 tudtettutuetytt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=∗= ∫ −− τττ

14

.c ∫ −−−−− =∗=t ttt deetuetuety0

)(3 )()()( τττ

Ev taluando la integral, resulta

Evaluando la integral, resulta:

: )()(3 tutety −=

d. ∫ −=∗= −− tt dtsinetutsintuety04 )()()()()( τττ

)()]()cos([21)(4 tutsintety t +−= −

Las figuras: 1.21, 1.22, 1.23 y 1.24 muestran las gráficas correspondientes.

)(1 ty )(2 ty


.6. EJERCICIOS RESUELT

. Una señal: está definida como:

)(3 ty )(4 ty


OS 1

f t( )1

⎩⎨ ≤

>=

1110

)(tsitsi

tf

a. Represente gráficamente la función

ón escalón unitario ente

ualquiera y represente

⎧

b. Exprese la función mediante la funcic. Encuentre la derivada de la función y represente gráficamd. Encuentre la integral entre menos infinito y un instante: t cgráficamente

15

e. Represente gráficamente las funciones: ∑−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 5

5

)3()(),2(,2 n

ntftgtftf

f. Encuentre los valores promedio y eficaz de la función periódica: g t( ) Solución. a. Se hace la gráfica de la función tal como se definió y se ilustra en la figura 1.25 f t( )

Figura 1.25 Figura 1.26 b. A partir de la gráfica se puede expresar la función en términos del escalón unitario, así:

f t u t u t( ) ( ) ( )= + − −1 1 c. La derivada de la función está dada por )1()1()( −−+= tttDf δδ . La figura 1.26 muestra la gráfica de la derivada de la función.

d. Sea la integral pedida. Se sabe que la integral de la función

escalón es la rampa unitaria . En consecuencia, la integral de la función dada es:

If t f x dxt

( ) ( )=−∞∫

u t( ) )(ttu

)1()1()1()1()( −−−++= tuttuttIf

Figura 1.27 Figura 1.28 La figura 1.27 muestra la gráfica de la integral de la función.

)(tDf )(tf )1(t

)1( −− t

δ +

δ

)(tIf )2/(tf

16

e. Las figuras 1.28 y 1.29 muestran las funciones con el escalamiento en el tiempo.

Puede observarse que f t2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

es la función original amplificada el doble en el tiempo,

mientras que es la señal original contraída a la mitad. )2( tfEn cuanto a la función periódica, la figura 1.30 ilustra algunos periodos de la señal.

)2( tf )(tg

Figura 1.29 Figura 1.30 f. Finalmente, para la señal periódica g t( ) , su periodo es T = 3 y sus valores promedio y eficaz son:

∫−=1

11

31 dtg prom g prom = 0 667. ∫−=

1

11

31 dtgrms grms = 0816.

2. Repita el procedimiento del ejercicio anterior para la función:

⎢⎢⎣

⎡

≤−

>=

11

10)(

tsit

tsitf

Solución. a. La figura 1.31 muestra la gráfica de la función. b. La expresión matemática para la función es:

)1()1()(2)1()1()( −−+−++= tutttututtf

Df t u t u t u t( ) ( ) . ( ) ( )c. La derivada de la función viene dada por: = + − + −1 2 1 y su gráfica se ilustra en la figura 1.32. d. La integral de la función, cuya gráfica se muestra en la figura 1.33, viene dada por:

)1()1(21)()1()1(

21)( 222 −−+−++= tuttuttuttIf

e. La figura 1.34 muestra la gráfica de la función , la figura 1.35 corresponde a la función: y la figura 1.36 muestra algunos ciclos de la señal periódica.

)2/(tf)2( tf

17


)(tDf )(tf

Figura 1.31 Figura 1.32 (tIf )

f. Finalmente, el estudiante puede verificar que los valores promedio y eficaz, son:

333.0=promg 471.0=rmsg


. Considere la señal:

3

f t u t t( ) ( )= + −2 6

)2/(tf

)2( tf )(tg

18

a. Exprese f t( ) en términos de la función escalón unitario. b. Represente gráficamente la función.

− f t( )c. Represente gráficamente la función: 1

el valor cero cuando el argume

Solución

ión toma nto es negativo, esto es, cuando a. La funcverifica que:

t t2 6 0+ − < .

a inecuación anterior se puede expresar como: L

0)2)(3( <−+ tt

on base en lo anterior podemos redefinir la función de la siguiente manera:

or tanto, la función se puede expresar como

C

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤−

−<=

21230

31)(

tsitsi

tsitf

f t u t u t( ) ( ) ( )= − − + −3 2P .

a figura 1.37 muestra la gráfica de la función.

. Puede notarse que la función

L

1− f t( )b , cuya gráfica se muestra en la figura 1.38, se

)2()3()(1)(

puede escribir en la forma:

− = + − −= tututftg

4. Considere la señal:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥<<−≤≤−<<≤≤

<

=

5054542321110

00

)(

tsitsittsittsitsit

tsi

tf

. Represente gráficamente la función en el intervalo: a − ≤ ≤2 8t

b. Exprese la función en términos de la señal escalón

c. Encuentre d f t( ) y grafique. dt

d. Encuentre ∫ ∞−

tdxxf )( y grafique.

gráficame )2( tf e. Represente nte la función:

19

Figura 1.37 Figura 1.38 Solución. a. La gráfica de la función se muestra en la figura 1.39 b. La expresión matemática para la función es:

)5()5()4()4(2)2()2()1()1()()( −−−−−+−−−−−−= tuttuttuttutttutf c. La figura 1.40 muestra la gráfica de la primera derivada, cuya expresión matemática es:

Df t u t u t u t u t u t( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( )= − − − − + − − −1 2 2 4 5

d. En cuanto a la integral de la función, se aplican las reglas de integración, resultando:

)5()5(21)4()4()2()2(

21)1()1(

21)(

21)( 22222 −−−−−+−−−−−−= tuttuttuttuttuttIf

La figura 1.41 muestra la gráfica de la función )(tIf


)(tg )(tf

)(tf )(tDf

20

e. Finalmente, la función: se representa en la figura 1.42 )2( tf

)2( tf )(tIf

Figura 1.41 Figura 1.42 5. Dada la función: )]1()()[()( −−= tututsintf π a. Represente gráficamente la función. b. Muestre que la función se puede escribir en la forma:

)1()]1([)()()( −−+= tutsintutsintf ππ

c. Determine: ddt

f t( ) y represente gráficamente.

d. Determine: y represente gráficamente. f x dxt

( )−∞∫

Solución. a. La gráfica de la función se ilustra en la figura 1.43. b. La función se puede expresar en la forma:

)1()]11(sen[)()sen()( −+−−= tuttuttf ππ )1()])1(sen[)()sen()( −+−−= tuttuttf π π π

)1()]1(sen[)()sen()( −−+= tuttuttf ππ En la deducción anterior se hizo uso de la identidad: sin sin( ) ( )α π α+ = −

)(tf )(tDf


21

c. Con base en lo anterior, tenemos:

)1()]1(cos[)()cos()( −−+= tuttuttDf πππ La figura 1.44 muestra la derivada de la función. d. Para evaluar la integral de la función, se procede de la siguiente manera:

[ ] )()cos(110

)cos(1)sen(0

tutt

tdttt

ππ

ππ

π −=−=∫

Con base en lo anterior, se tiene:

[ ] [ ] )1())1(cos(11)()cos(11)( −−−+−= tuttuttIf ππ

ππ

La descripción por tramos de la integral viene dada por:

12

10)]cos(1[100

)(

>

≤≤−

<

=

tsi

tsit

tsi

tIf

π

ππ

La figura 1.45 muestra la gráfica de la integral de la función.


)(tIf )(tg

6. Considere la función: ( ) )]1()([)( −−= tututsintf π

a. Genere algunos ciclos de la señal periódica: y encuentre sus

valores promedio y efectivo

∑∞

−∞=

−=n

ntftg )()(

b. Repita el literal anterior para la función: ∑∞

−∞=

−=n

ntfts )2()(

22

f t( )c. Si la respuesta natural de un sistema está dada por , determine la respuesta cuando se excita con la función: y grafique.

)()( tueth t−=

Solución a. La figura 1.46 muestra algunos ciclos de la función. La función bajo estudio recibe el nombre de onda seno rectificada en onda completa y es mucha importancia en el análisis de algunos sistemas de ingeniería. El estudiante puede comprobar que los valores, promedio y rms, vienen dados por:

( )∫ 063711 1

0 ≅= dttsing prom π ∫ 707.0)(11 1

02 ≅= dttsingrms π

b. La señal: es la onda seno rectificada en media onda. La figura 1.47 ilustra algunos ciclos de la señal, y sus valores, promedio y eficaz, vienen dados por:

)(ts

( )∫ 318.021 1

0 ≅= dttsinsprom π ∫ 5.0)(21 1

02 ≅= dttsingrms π

c. Finalmente, aplicando la integral de convolución, tenemos:

)(.)( tueth t−= )1()]1(sen[)()sen()]1()()[sen()( −−+=−−= tuttuttututtf πππ La respuesta a la excitación: )()( tutsin π está dada por:

[ ] )()cos(1

)()sen()sen( 20

)( tutetudete tt tt πππτπτπ τ −+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=∗ −−−− ∫

En consecuencia, la respuesta a la excitación: , está dada por: )(tf

[ ] [ ] )1())1(cos(1

)()cos(1

)( )1(22 −−−+

+−+

= −−− tutetutetr tt ππππ

ππ

)(ts )(tr


23

La gráfica correspondiente se ilustra en la figura 1.48

7. Consideremos la señal:

2000

21)sen(10)sen(

)(

><

<<−≤≤

=

tsitsi

tsittsit

tfπ

π

a. Represente gráficamente la señal. b. Determine la derivada de la función y represente gráficamente. c. Encuentre la integral de la función entre cero y cualquier instante: t y represente gráficamente.

d. Represente gráficamente la señal periódica: ∑∞

−∞=

−=n

ntftg )3()(

e. Determine los valores promedio y efectivo de la señal periódica. Solución a. La gráfica de la función se muestra en la figura 1.49 b. Expresamos la función usando el escalón unitario, así

)2()]2([)1()].1([2)().()( −−+−−−= tutsintutsintutsintf πππ


c. La derivada de la función se describe a continuación y su representación gráfica se ilustra en la figura 1.50.

)2())2(cos()1())1(cos(2)()(cos()( −−+−−+= tuttuttuttDf ππππππ d. En cuanto a la integral, sea la función:

∫ ∞−=

tdttsintg )()( π

24

Puede verse que la integral pedida es:

)()]cos(1[1)(:)2()1(2)()( tuttgDondetgtgtgtIf ππ

−=−+−+=

)(tIf )(tr

Figura 1.51 Figura 1.52 e. La señal periódica es de periodo: T = 3, su gráfica y sus valores promedio y eficaz, son:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+= ∫∫

2

1

1

0)()(.

31 dttsindttsinrprom π .0=promr 424

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= ∫∫

2

1

21

0

2 ))(()(.31 dttsindttsinrrms ππ 0577=rmsr

8. Considere la señal seno rectificada en onda completa: f t sin t( ) ( )= a. Verifique que el periodo de la señal es: T = π b. Represente gráficamente la función: παα <<−−= 0),()()( tututy

c. Represente gráficamente la señal: ∑−=

−=5

5)()(

nntytx π

)()()( txtftg = d. Represente gráficamente la señal e. Determine el valor de:α de tal manera que el valor eficaz de g t( ) sea: grms = 05. Solución. a. A partir de la figura 1.53 es claro que el periodo de la señal es π=T . b. La figura 1.54 muestra la gráfica del pulso rectangular: con:)(ty 4/3π= αc. La figura 1.55 muestra la gráfica de la señal: que se obtiene de la anterior )(tx

25

d. Finalmente, la figura 1.56 muestra la gráfica de: )(tg

)(tf )(ty


e. El valor eficaz de la señal: g t( ) está dado por: ∫−

=απ

απdttsingrms )(1 2

Evaluando la integral y haciendo grms = 05. , tenemos la ecuación:

41

21)()cos(1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ απαα

πsin

La ecuación obtenida se resuelve numéricamente, obteniendo como resultado el valor deα , así: 6/πα = En conclusión, el valor de α que hace que el valor eficaz de la señal sea 0.5, es de aproximadamente 66 grados. 9. Un sistema se caracteriza mediante la relación: entrada - salida siguiente:

0200

0 ≥<

=ii

i

VsiVVsi

V

Con base en la información suministrada, determine la respuesta del sistema cuando se excita con las siguientes entradas:

)4()()3()3(2)1()1(2)()()2()]2([)()()(

−−−−−+−−−=−−−=

tuttuttutttutVtutsintutsintV

i

i ππ

En ambos casos, represente gráficamente tanto la entrada como la salida. Primero que todo, las figuras 1.57 y 1.58 muestran las respectivas entradas rotuladas por

y )(tf )(tg

26

)(tx

)(tg

Figura 1.55 Figura 1.56 Figura 1.55 Figura 1.56

)(tf )(tg

Figura 1.57 Figura 1.58 Figura 1.57 Figura 1.58 En ambos casos, las salidas son: En ambos casos, las salidas son:

10

10)sen(200

1

>≤≤

<=

tsitsit

tsiVo π

2021)2(2

10200

2

≥<<−

≤≤<

=

tsitsit

tsittsi

Vo

Las gráficas correspondientes se muestran en las figuras 1.59 y 1.60 rotuladas como:

y )(tx )(ty

)(tx )(ty


27

10. Considere la función: )3(2)1()1()()( −−−−+= ttututtutf a. Muestre que la función se puede expresar en la forma:

)3(6)3()3(2)1()1()()( −−−−−−−+= tututtuttutf

b. Represente gráficamente la función. c. Encuentre la derivada de la función y represente gráficamente. d. Encuentre la integral entre menos infinito y un instante cualquiera de la función y represente gráficamente. Solución a. Esta parte la verifica el estudiante. b. La figura 1.61 muestra la gráfica de la función c. La derivada de la función, cuya gráfica se muestra en la figura 1.62, viene dada por:

)3(6)3(2)1()()( −−−−−+= ttututtDf δδ

d. La integral viene dada por:

)3()3(6)3()3()1()1(21)()( 22 −−−−−−−−+= tuttuttutttutIf

Se deja como ejercicio la correspondiente representación gráfica.

28

1.7. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dada la señal: )2(2)2()2()()( −−−−−= tututttutf

)()sen()( tuttf

a. Represente gráficamente la función. b. Encuentre la derivada de la función y grafique. c. Encuentre la integral de la función y grafique. 2. Un sistema lineal invariante se excita con la función impulso y su respuesta es la función:

π= Determine la respuesta ante las siguientes excitaciones:

)()(.4)1()1()(.3)()(.2)()(.1 tuetxtuttxttutxtutx t−=−−=== 4321

)(tf )(tDf

)3(6 −− t δ

Figura 1.61 Figura 1.62 3. Una señal periódica está definida en un periodo de la siguiente manera:

423202/

)(≤<−≤≤

=tsit

tsittf

a. Exprese la función mediante las señales singulares. b. Encuentre los valores promedio y eficaz de la señal periódica.

4. Dada la señal: ( ) ( )400

40)sen()(

>∨<

≤≤=

ttsitsit

txπ

a. Represente gráficamente la función. b. Exprese la función mediante señales singulares. c. Represente gráficamente las señales: f(t/2) y f(2t). d. Encuentre la derivada de la función y grafique. e. A partir de la señal dada genere una onda periódica de periodo: 2=T y encuentre sus valores promedio y eficaz.

29

5. La respuesta natural de un sistema lineal invariante está dada por: )()( tueth t−=Determine la respuesta ante las siguiente excitaciones:

)()(.4)()sen()(.3)()(.2)()(.1 4321 tuetxtuttxttutxtutx t−==== π

6. Dada la función: ( ) ( )100

101)(

>∨<

≤≤−=

ttsitsit

tf

a. Represente gráficamente la función. b. Exprese la función mediante señales singulares. c. Represente gráficamente las señales: f t y f t( / ) ( )2 2d. Encuentre la derivada de la función y grafique. e. A partir de la señal dada genere una onda periódica de periodo: T = 2 y encuentre sus valores promedio y eficaz. 7. Una señal periódica está definida en un periodo de la siguiente manera:

32321110

)(≤≤−

<<≤≤

=tsit

tsitsit

tf

a. Exprese la función mediante las señales singulares. b. Encuentre los valores promedio y eficaz de la señal periódica. 8. Dada la señal: )2(4)2(2)1()1()()( −+−−−−+= tuttututtutx

a. Exprese la función en términos de las señales singulares. b. Determine la derivada de la función y represente gráficamente. c. Determine la integral de la función y represente gráficamente. 9. Represente gráficamente las siguientes funciones:

)cos(4)sen(3)(

)]3(3)2()1()([)(

)]4()()[2/sen()()(]1[)(

)1()(

0

5/

2

tttz

dttututututy

tututtxtuetg

tutf

t

t

+=

−−−+−+=

−−=−=

−=

∫

−

π

10. Dada la función:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>≤≤−<<−≤≤

<

=

50525211210

00

)(

tsitsittsittsit

tsi

tx

30

∫t

dttx0

)(

a. Represente gráficamente la función b. Exprese la función mediante señales singulares c. Halle la derivada de la función y grafique

d. Halle y grafique

e. Represente gráficamente la señal: [ ])()(21)( txtxtw −+=

11. Dada la señal: )]2()()[sen()( −−= tututtf π

a. Exprese la función en términos de las señales singulares. b. Determine la derivada de la función y represente gráficamente. c. Determine la integral de la función y represente gráficamente. 12. La respuesta natural de un sistema lineal invariante está dada por:

)()]cos(1[)( tutth −=

Determine la respuesta ante las siguientes excitaciones:

)()(.4)()sen()(.3)()(.2)()(.1 4321 tuetxtuttxttutxtutx t−==== 13. Considere la función: )()( 2tttutx −=

a. Exprese la función mediante las señales singulares. b. Represente gráficamente la función. c. Encuentre la derivada de la función y represente gráficamente. d. Encuentre la integral de la función y represente gráficamente. e. A partir de la señal dada genere una señal periódica de periodo: T = 2 y encuentre sus valores promedio y eficaz. 14. Considere la señal:

( ) ( )400421

201)(

≥∨<<<−

≤≤=

ttsitsit

tsitf

a. Exprese la función mediante las señales singulares. b. Represente gráficamente la función. c. Encuentre la derivada de la función y represente gráficamente. d. Encuentre la integral de la función y represente gráficamente. e. A partir de la señal dada genere una señal periódica de periodo: T = 4 y encuentre sus valores promedio y eficaz. 15. Dadas las señales:

)][cos()( tutf π= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2)()( tsenututg π

31

)

a. Represente la señal mediante las señales singulares. b. Represente gráficamente la señal. 16. La respuesta al escalón unitario de un sistema lineal invariante está dada por:

)()1()( tuetye t−−=

a. Encuentre la respuesta natural y represente gráficamente. b. Encuentre la respuesta ante las siguientes excitaciones:

1. 2. 3. )1( −ttu )(tute t− )()cos( tut 17. Para cada una de las siguientes señales:

1. ( ) ( 200

212101

)(>∨<

≤<≤≤

=ttsi

tsitsi

tx 2.20

20100

)(>

≤≤−

<

=

tsitsit

tsity

3. )]1()1()[2sen()( −−+= tututtz π a. Exprese mediante las señales singulares. b. Determine la derivada y represente gráficamente. c. Determinar la integral y represente gráficamente. d. A partir de cada una de ellas genere sendas señales periódicas de periodo: T = 4 y encuentre los valores promedio y eficaz. 18. La característica: entrada-salida de un sistema está dada por:

1)(11)(0)(

0)(0)(0

>≤≤

<=

tvsitvsitv

tvsitv

i

ii

i

Determine la respuesta ante las siguientes excitaciones y represente gráficamente:

1. 2. )()sen(2)( tuttVi = )()]([2)( tutsinutVi =

19. Considere las funciones:

( )

2021210

00

≥<≤−<≤

<

=

ttttt

t

tf ( )

2021310

00

≥<≤−<≤

<

=

ttttt

t

tg

a. Represente gráficamente. b. Represente en términos de funciones singulares.

32

c. Encuentre y represente gráficamente. ( )tf ′

d. Encuentre y represente gráficamente. ( )∫ ∞−

tdxxf

e. Genere una señal periódica de periodo 2=T y encuentre sus valores promedio y eficaz. f. Genere una señal periódica de periodo 3=T y encuentre sus valores promedio y eficaz.

)(th

Figura 1.63

)(th

Figura 1.64 20. Considere los pulsos senoidales de las figuras 1.63 y 1.64 a. Exprese mediante señales singulares. b. Encuentre y represente gráficamente. ( )tf ′

c. Encuentre y represente gráficamente. ( )∫t dxxf∞−

d. Represente gráficamente la función ( ) ( ) ( )tftfth +−= e. En cada caso, genere una señal periódica de periodo 6=T , represente algunos ciclos de la función y determine sus valores: promedio y cuadrático medio.

33

CAPITULO 2

ELEMENTOS Y PRINCIPIOS ELÉCTRICOS

2.1. GENERALIDADES La carga eléctrica es una propiedad de la naturaleza que se manifiesta de variadas formas. La explicación última de los fenómenos eléctricos es ignorada hasta el momento, sin embargo, muchos de los fenómenos se explican a la luz de ciertos modelos. Alrededor del año 600 AC, Thales de Mileto observó que al frotar fuertemente ámbar con un trozo de seda, el ámbar adquiría la propiedad de "atraer" ciertos objetos livianos. Dicho fenómeno se conoce desde entonces como electricidad. Desde principios del siglo XIX, muchos experimentadores han colaborado en el esclarecimiento de la mayor parte de los fenómenos asociados a la carga eléctrica. Mencionando a Coulomb, Henry, Galvani, Volta, Gilbert, Hertz, Heaviside, Oersted, Ampere, Faraday, Ohm y muchos otros de no menos importancia, le abrimos un sitio de honor al genial Maxwell. Este se ideó el modelo que conocemos como "teoría electromagnética" , el cual explica gran parte de los fenómenos asociados a la carga eléctrica, tomando como base un esquema conceptual que empieza con algunos postulados. 2.2. CARGA Y CORRIENTE La carga eléctrica. Experimentalmente, Coulomb encontró que existían dos clases de carga a las que identificó como positivas y negativas. Cargas puntuales del mismo signo se repelen y cargas puntuales de signo contrario se atraen. Empíricamente demostró que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas: y separadas una distancia q1 q2 r está dada por:

221

rqqKF = (2-1)

En la expresión anterior, las unidades de la constante: K depende del sistema de unidades escogidas. Para el sistema internacional de medidas, la fuerza se mide en

Newtons, la distancia en metros y la carga en culombios; en este caso, K x N mC

= 9 1092 .

Con lo anterior obtenemos una definición para la unidad de carga, así: "Un Coulombio es una carga que separada un metro de otra exactamente igual, la repele con una fuerza de: ". K x= 9 109 NEvidentemente, la unidad de carga es bastante grande y es mas común utilizar submúltiplos.

34

pm+

pn mm =

−e

e x C= −16 10 19.

Si nos preguntamos, por ejemplo, ¿Cómo es posible cargar un cuerpo negativa o positivamente?, tendríamos que responder a la luz del modelo atómico. La teoría mas aceptada para el modelo atómico es la de Bohr, según la cual, el átomo está formado por partículas subatómicas distribuidas de la siguiente manera: 1. En el núcleo: * N protones, cada uno de los cuales tiene una masa elemental y porta una carga

elemental positiva : e * Z-N neutrones, cada uno de los cuales tiene una masa elemental y son eléctricamente neutros. (Recordemos que Z es el número atómico del elemento). 2. En la periferia: Una nube de N electrones distribuidos en ciertos niveles y subniveles, cada uno de los cuales tiene una masa elemental me y porta una carga elemental negativa . Como puede verse, en un átomo eléctricamente neutro el número de electrones es igual al número de protones. Se ha determinado el equivalente en Culombios de la carga elemental, así:

Los electrones de las últimas capas son relativamente de fácil remoción, por tanto, la respuesta a nuestra pregunta se puede dar en los siguientes términos: Cuando un cuerpo gana electrones queda cargado negativamente. Cuando un cuerpo pierde electrones queda cargado positivamente. La pérdida o ganancia de electrones provocada física o químicamente determina la naturaleza de la carga del cuerpo en mención. Se ha evidenciado que el transporte de carga en el tiempo constituye una forma de energía. El fin último que persigue la humanidad es de transformar la energía, controlarla y hacerla útil. Sobradas son las razones para afirmar que la energía eléctrica es la más importante y la que más aplicaciones tiene. La corriente eléctrica. La corriente eléctrica es un flujo de cargas y se define como la rata de variación de la carga en la unidad de tiempo, así:

i t ddt

q t( ) ( )= (2-2)

Donde la corriente se mide en Coulombios dividido por segundos, unidad que recibe el nombre de Amperio. Una corriente de un amperio es la obtenida cuando en un segundo pasa una carga de un Coulombio a través de una sección de un material, A este tipo de corriente se le denomina corriente de conducción.

35

2.3. VOLTAJE, POTENCIA Y ENERGÍA El voltaje. Cuando se quiere mover una carga de un punto a otro, en un medio cualquiera, es necesario efectuar un trabajo. El voltaje es el trabajo por unidad de carga.

v t ddq

w t( ) ( )= (2-3)

Donde el trabajo se mide en Julios y el tiempo en segundos. Un voltio es el trabajo que se debe realizar sobre una carga de un culombio para moverla entre dos puntos cuya diferencia de energía es de un Julio. La potencia. Ahora bien, recordemos que la potencia es el trabajo en la unidad de tiempo, esto es :

p t ddt

w t( ) ( )= (2-4)

Donde, como todos sabemos, la potencia se mide en Vatios. Si le aplicamos la regla de la cadena a la expresión (2-4), obtenemos una importante relación entre la potencia y las variables circuitales: corriente y voltaje, así:

)()()()()()( tvtitptwdqdtq

dtdtp =⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= )()()( tvtitp = (2-5)

Como se expresó anteriormente, el objetivo central es el de poder manipular la energía y hacerla útil. Supongamos que estamos interesados en determinar la energía suministrada o absorbida por un dispositivo eléctrico. Si conocemos la corriente y el voltaje puede determinarse la potencia y, consecuentemente, podemos determinar la energía suministrada o absorbida entre el instante: y un instante cualquiera, así: t t= 0 t

∫=t

tdttvtitw

0

)()()( (2-6)

2.4. CONVENCIONES PARA CORRIENTES Y VOLTAJES La figura 2.1 ilustra las convenciones que nos irán a acompañar a lo largo de todo el estudio de los circuitos eléctricos y electrónicos. Por convención, el punto: G de la figura 2-1 lo denominaremos tierra y le asignaremos un voltaje de cero voltios. Como puede verse, si v , la corriente se establece en la dirección indicada. 21 v>

36

Un voltaje negativo es el que es menor que el voltaje de referencia: G. Una corriente negativa es la que va en sentido contrario al indicado previamente.

1v 2v )(ti

G Figura 2.1 2.5. ELEMENTOS CIRCUITALES Un circuito eléctrico consiste de la interconexión de ciertos elementos, algunos de los cuales suministran la energía y otros la disipan o la almacenan. Los primeros son los elementos activos propiamente dichos y los otros son comúnmente denominados elementos pasivos. (Esto parece paradójico ya que los elementos pasivos son los que hacen el "trabajo" de transformar la energía y pasarla de una a otra forma). Los circuitos electrónicos tienen dispositivos de estado sólido como los transistores, cuyo modelo matemático incluye fuentes controladas por una variable circuital, algunos autores los clasifican como elementos activos desde este punto de vista. Elementos activos Las fuentes de corriente y de voltaje, tanto independientes como controladas son consideradas como elementos activos de un circuito. Una fuente de voltaje independiente es aquella que suministra un voltaje independientemente de la corriente. Es claro que, en la práctica, la fuente de voltaje tiene sus limitaciones en cuanto a la máxima potencia que puede suministrar. Una batería, por ejemplo, es una fuente de voltaje independiente pero tiene especificada una potencia: de manera tal que no se le puede pedir una corriente superior al cociente entre y el voltaje que suministra.

maxP

xmaP Una fuente independiente de corriente es aquella que entrega una corriente independientemente del voltaje aplicado. En realidad las fuentes de corriente no existen sino que son modelos de dispositivos que muestran tal comportamiento; sin embargo, para efectos de analizar y simular circuitos, las trataremos como tales. Una fuente dependiente o controlada es un modelo matemático que suministra o absorbe potencia dependiendo de una variable circuital. La figura 2.2 ilustra los símbolos mas comúnmente usados para representar los diferentes tipos de fuentes independientes que se utilizan en el análisis de circuitos, así: a. Fuente independiente de corriente. b. Fuente independiente de voltaje. c. Fuente de voltaje constante (Batería)

37

La figura 2.3 a ilustra una fuente de voltaje controlada por voltaje. Los terminales de la izquierda corresponden a la variable controladora. Es necesario indicar la ganancia: G, con lo que el valor de la fuente está dado por , donde es el voltaje que controla. xf vGv .= vx

Los otros tres símbolos corresponden, respectivamente, a: b. Fuente de corriente controlada por corriente. c. Fuente de voltaje controlada por corriente. d. Fuente de corriente controlada por voltaje. Los textos tradicionales de circuitos utilizan un rombo como símbolo para una fuente controlada. La figura 2.4 ilustra una fuente de voltaje controlada por voltaje y una fuente de voltaje controlada por corriente.

Figura 2.2

)(tvs )(tis E

1E 1F 1G 1H

F G E H

Figura 2.3

Figura 2.4 Elementos pasivos Como se estableció previamente, los elementos pasivos son los que procesan la energía de entrada de un circuito y la entregan a una carga ubicada a la salida del mismo. Los elementos circuitales pasivos son: el resistor, el capacitor y el inductor. Cada elemento pasivo se caracteriza por un parámetro que lo diferencia de los demás y que establece la relación funcional entre las variables circuitales: corriente y voltaje.

38

i t( )

v t f i t( ) ( ( ))

Los modelos asociados a los elementos pasivos son modelos lineales que no necesariamente corresponden al comportamiento real pero que proporcionan una buena aproximación. Sin entrar a profundizar en la física de los diferentes dispositivos pasivos, presentamos a continuación una descripción de los tres elementos pasivos mencionados. El resistor Supongamos un dispositivo por el que se hace circular una corriente: y se desea saber la forma de la señal de voltaje correspondiente. Si experimentalmente se encuentra que el voltaje es una función de la corriente, podemos escribir:

= Es claro que la función debe tener un desarrollo en series de potencias de la forma:

v t c c i c i c i( ) .....= + + + +0 1 22

33

Puesto que debe ser cero ya que si no hay corriente no puede haber voltaje en este dispositivo y despreciando los términos de potencias superiores, obtenemos el modelo lineal.

c0

)()( tiRtv = (2-7) En la ecuación 2-7, R es la resistencia del resistor y muestra su capacidad de oponerse al paso de la corriente. De una u otra forma, todos los materiales presentan la característica resistiva en mayor o menor grado. La resistividad de un material es una característica que toma valores dentro de un amplio rango dependiendo del tipo de material. Siendo la resistividad una variable continua, no es posible hacer una clasificación tajante de los materiales, sin embargo se ha hecho una clasificación global de los mismos en tres categorías, así: --Materiales aislantes: alta resistividad. --Materiales semiconductores: Resistividad intermedia. Estos materiales son la base de los dispositivos de estado sólido, que se constituyen en el presente y futuro de la electrónica. --Materiales conductores: Baja resistividad. Los metales son los mejores conductores y por eso se utilizan como cables de conexión de los diferentes elementos circuitales. En un curso de semiconductores para ingeniería electrónica se profundiza en los aspectos teóricos relativos a la resistividad de los materiales. Es pertinente, sin embargo, mencionar que en un circuito integrado se encuentran dispositivos (resistores y capacitores) con una amplia gama de resistividades. La resistencia de un resistor se mide en Ohmios y se representa por el símbolo:Ω . Un Ohmio es la resistencia que tiene un resistor por el que circula un Amperio cuando se somete a un voltaje de un Voltio. Parámetro: Resistencia Símbolo: R Unidades: Ohmios Relación funcional: v )()( tiRt =

39

La figura 2.5 muestra el símbolo más comúnmente usado para el resistor. )(ti R

Figura 2.5 El capacitor El capacitor o condensador es un elemento pasivo que tiene la propiedad de almacenar energía en forma de voltaje según lo estudiaremos oportunamente en el curso. Por el momento diremos que un capacitor es un elemento que almacena una carga eléctrica: que depende del voltaje aplicado: q t( ) v t( ) . Para un capacitor lineal la carga almacenada es directamente proporcional al voltaje aplicado.

)()( tvCtq = (2-8) Donde C es la capacitancia del capacitor y se mide en Faradios. Un Faradio es la capacitancia de un capacitor que sometido a un voltaje de un Voltio almacena una carga de un Coulombio. Ahora bien, puesto que la corriente es la derivada de la carga, obtenemos la relación funcional entre el voltaje y la corriente, así:

Relación derivada: )()( tvdtdCti =

Relación integral: ⎮⌡⌠=

∞−

t

dttiC

tv )(1)(

A continuación se presenta la reseña correspondiente.

Figura 2.6 Parámetro: capacitancia Símbolo: C Unidades: Faradios Relación funcional:

)()( tvdtdCti = ⎮⌡

⌠=∞−

t

dttiC

tv )(1)(

−)(tv +

40

El inductor El inductor es un elemento pasivo que almacena energía en forma de corriente. La explicación física del fenómeno se estudiará oportunamente en el curso. Por el momento diremos que cuando por un inductor se hace pasar una corriente aparece un voltaje proporcional a la variación de la corriente con respecto al tiempo; veamos la reseña del dispositivo en la figura 2.7.

i t( )

)(ti L

Figura 2.7 Parámetro: Inductancia Símbolo: L Unidades: Henrios Relación funcional:

)()( tidtdLtv = ∫= dtt

Lti )1)(

∞−

tv(

PL

Observaciones necesarias 1. La explicación física de los parámetros: R,L,C no la presentamos, entre otras

razones porque es tema de un curso de Teoría electromagnética 2. Podemos afirmar que el valor de un parámetro depende de la geometría y de las

propiedades de los materiales usados en su construcción. 3. Cualquier parámetro, además del efecto propio, presenta comportamientos

correspondientes a los otros dos. Lo que se busca tecnológicamente es minimizar los efectos no deseados.

A continuación presentamos los modelos reales de los diferentes elementos pasivos. Modelo del resistor En el modelo indicado en la figura 2.8, los inductores: y cobran presencia cuando el resistor está fabricado de alambre entorchado(Wire-wound). En los demás resistores sólo aparece el efecto capacitivo indicado. El modelo no incluye el efecto debido a la temperatura, el cual se estudiará posteriormente. A bajas frecuencias, sin embargo, los efectos: capacitivo e inductivo son despreciables y el resistor se puede modelar como estrictamente resistivo.

SL

Modelo del capacitor La figura 2.9 muestra el macro modelo más comúnmente usado para un capacitor; el macro modelo muestra los efectos resistivo e inductivo pero no los efectos asociados a la temperatura.

−)(tv +

41

Figura 2.8

Figura 2.9 Modelo del inductor Finalmente, la figura 2.10 muestra el macromodelo usual para un inductor.

Figura 2.10 4. Además de los elementos activos y pasivos mencionados, un circuito eléctrico

puede tener interruptores y debe, necesariamente haber cables de conexión. Los cables deben tener la propiedad de transmitir la información sin distorsión, esto es, no deben presentar efectos capacitivos, ni resistivos ni inductivos. En la práctica, sin embargo, los cables presentan por lo menos el efecto resistivo. Los cables reales se fabrican con materiales de una baja resistividad (metales).

5. Por cuestiones de simplicidad, los macro modelos usados suponen que los parámetros se concentran en un punto, cosa que realmente no es cierta ya que los dispositivos tienen cierta longitud a lo largo de la cual se distribuyen. Los parámetros de una línea de transmisión, por ejemplo, se especifican por unidad de longitud y su estudio se basará en las ecuaciones diferenciales parciales.

2.6. CIRCUITOS RESISTIVOS Hemos presentado anteriormente el macro modelo para un resistor y se ha destacado la relación funcional entre la corriente y el voltaje en un resistor puro. La relación funcional recibe el nombre de Ley de Omh, aunque realmente es un principio eléctrico producto de un modelo matemático.

Rs Ls

Rp

R PL

PC

SL

C

p

L SR

C

42

Estamos ahora en capacidad de analizar circuitos resistivos con diferentes tipos de fuentes; el objetivo central en lo que sigue es presentar las leyes que rigen el comportamiento de un circuito y estudiar las técnicas clásicas de análisis y simplificación para luego hacerlas extensivas a circuitos con capacitores e inductores. Un circuito resistivo consiste de la interconexión de fuentes y resistores cuyos puntos de unión reciben el nombre de nodos. Usualmente los nodos se rotulan mediante letras o números, siendo los nodos principales aquellos a los que se conectan tres o más elementos. La figura 2.11 ilustra un circuito resistivo cualquiera, cuya descripción es la siguiente: 1. Seis nodos enumerados del cero al cinco, el nodo cero se toma como referencia o

tierra tal como se indica.

1 2 3

0 0

4

)(tvs

+ −xv

xv

1R 2R 3R

4R

5R xGv

5E

Figura 2.11 2. Una fuente de voltaje constante ubicada entre los nodos uno y cero 3. Una fuente de voltaje variable v ts ( ) ubicada entre los nodos cuatro y cero 4. Una fuente de voltaje controlada por voltaje, la fuente está ubicada entre los nodos

cinco y cero y está controlada por el voltaje en el resistor: R 3

5. Cinco resistores: desde 1R hasta 5RObserve que el circuito no tiene fuentes de corriente. Un concepto importante en el análisis de circuitos es el de malla. Una malla es cualquier camino cerrado en un circuito. Para nuestro circuito modelo, tenemos las siguientes mallas: 01250, 05230, 0340, 01230, etc. Los nodos principales son aquellos en los que confluyen tres o más ramas, Para nuestro circuito, los nodos principales son: 0, 2, 3. Una rama de un circuito es la parte del mismo limitada por dos nodos principales. Son ramas de nuestro circuito, las siguientes: 012, 250, 23, 30, 340. Según veremos, analizar un circuito resistivo consistirá en determinar las corrientes de malla o los voltajes en los nodos principales.

43

Las leyes de Kirchhoff Al presentar los circuitos como la interconexión de elementos que tienen un modelo o descripción matemática precisa, debemos concebirlos como entes que están regidos por leyes y principios de la física. Las leyes a aplicar en el análisis de circuitos son: la ley de la conservación de la energía y la ley de la conservación de la carga eléctrica.

entos que tienen un modelo o descripción matemática precisa, debemos concebirlos como entes que están regidos por leyes y principios de la física. Las leyes a aplicar en el análisis de circuitos son: la ley de la conservación de la energía y la ley de la conservación de la carga eléctrica. La ley de Kirchhoff para voltajes establece que: la suma algebraica de los voltajes en una malla es cero en todo instante. La ley de Kirchhoff para voltajes establece que: la suma algebraica de los voltajes en una malla es cero en todo instante. Para ilustrar la ley, consideremos la malla de la figura 2.12 en la que cada bloque representa una combinación de elementos pasivos. Al recorrer la malla en la dirección: 01230, podemos escribir:

Para ilustrar la ley, consideremos la malla de la figura 2.12 en la que cada bloque representa una combinación de elementos pasivos. Al recorrer la malla en la dirección: 01230, podemos escribir:

−− + + + =v t v t v t v ts a c b( ) ( ) ( ) ( ) 0 Por convención, a las subidas de voltaje se consideran con signo negativo, mientras que las caídas de voltaje son positivas.

Figura 2.12 Figura 2.13 La ley de Kirchhoff para corrientes establece que: la suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero en todo instante. Con base en la figura 2.13, podemos escribir:

− + + + =i t i t i t i ta b c d( ) ( ) ( ) ( ) 0 Las leyes de Kirchhoff junto con los principios eléctricos asociados a los diferentes elementos circuitales, son la base en el análisis de circuitos. El análisis de circuitos empieza con algunas técnicas de simplificación referidas básicamente a circuitos resistivos, técnicas que se harán extensivas a circuitos que tengan tanto capacitores como inductores. Posteriormente se presentarán las técnicas clásicas de análisis de circuitos, es decir, la técnica de corrientes de nodo y la de corrientes de malla. Elementos en serie y elementos en paralelo Dos elementos de un circuito están en serie si pertenecen a la misma rama y por ellos circula la misma corriente.

ai

bi ci

di

)(tvs

−+ av

+− cv

+

−bv

0

1 2

3

44

Dos elementos de un circuito están en paralelo si están conectados un mismo par de nodos y tienen el mismo voltaje entre sus terminales. Para el circuito de la figura 2.14, los dos elementos están en serie y por ellos circula la misma corriente i . Debe verificarse que el voltaje total entre los terminales 1 y 2 es la suma de las caídas de voltaje en los elementos. En cuanto al circuito de la figura 2.15, los elementos están en paralelo, es decir, tienen el mismo voltaje aplicado. En este caso, la corriente que entra al circuito se reparte en las dos ramas indicadas.

Figura 2.14 Figura 2.15 2.7. TÉCNICAS DE SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS RESISTIVOS Para efectos de analizar un circuito eléctrico, se desarrollarán ciertas técnicas que permiten simplificar circuitos complicados y convertirlos en un simple circuito con un solo resistor y una fuente. La siguiente clasificación es bastante personal y no obedece a un esquema predeterminado. Fuentes ideales de voltaje conectadas en serie Dos o más fuentes ideales de voltaje conectadas en serie se pueden reducir a una sola fuente cuyo valor es la suma algebraica de los valores individuales. El circuito de la figura 2.16 es equivalente al de la figura 2.17.

)(tvb )(tvc )()()()( tvtvtvtv cba +)(tva = +

Figura 2.16 Figura 2.17 Fuentes ideales de corriente conectadas en paralelo Dos o más fuentes ideales de corriente conectadas en paralelo se pueden reducir a una sola fuente cuyo valor es la suma algebraica de las fuentes individuales. Los circuitos de las figuras 2.18 y 2.19 son equivalentes para efectos de análisis.

)(tia

)(tib

)()()( tititi ba = +


45

Resistores conectados en serie y en paralelo Dos o más resistores conectados en serie equivalen a un solo resistor cuya resistencia es la suma de las resistencias individuales. Dos o más resistores conectados en paralelo equivalen a un solo resistor cuya conductancia es la suma de las conductancias individuales. La conductancia de un resistor es el inverso multiplicativo de la resistencia.

aR bR

bae RRR = +


aG

bG bee GGG = +


Las figuras 2.20, 2.21, 2.22 y 2.23 ilustran las situaciones planteadas. Divisores de voltaje y de corriente Con referencia a la figura 2.20, el voltaje sobre uno de los resistores es una fracción del voltaje total aplicado. Por otro lado, para el circuito de la figura 2.22, la corriente en una de las ramas es una fracción de la corriente total que entra al nodo. A continuación se ilustran las correspondientes ecuaciones.

12vRR

Rv

ba

aa += 12v

RRR

vba

bb +=

iGG

Gi

ba

aa += i

GGG

iba

bb +=

Transformación de fuentes reales Los modelos a bajas frecuencias correspondientes a las fuentes reales de voltaje y corriente se muestran en las figuras 2.24 y 2.25. Como puede verse, una fuente real de voltaje presenta una resistencia en serie mientras que una fuente de corriente presenta una resistencia en paralelo. Veremos que es posible encontrar una relación entre los valores de las fuentes de tal manera que el efecto sobre una carga conectada entre los terminales: a y b sea el mismo. Para el circuito de la figura 2.24, cuando se coloca una carga: entre los terminales: a y b, aparece un voltaje correspondiente al divisor de voltaje, así:

LR

46

eel

LL V

RRRv+

=

)(tic eR

eR

)(tvc


En cuanto al otro circuito, la corriente sobre una carga igual será:

eel

LL i

GGGi+

=

Comparando las expresiones anteriores se encuentra una relación entre la fuente de voltaje y la fuente de corriente, así:

eee iRv = ivRe

e

e

=

Se puede afirmar que una fuente real de voltaje de valor , se puede transformar en una fuente real de corriente de valor .

ve

ie

El procedimiento puede ser al contrario; esto es, una fuente real de corriente se puede convertir en una fuente real de voltaje. Fuentes reales de voltaje en paralelo Con referencia a la figura 2.26, las dos fuentes reales de voltaje conectadas en paralelo son equivalentes a una fuente real de voltaje como lo ilustra la figura 2.27.

)(tva

)(tvb

)(tve

aR

bR

eR


Al analizar el circuito de la figura 2.26, cada fuente de voltaje se puede transformar en una fuente de corriente, tal como lo ilustra la figura 2.28. Al simplificar las fuentes de corriente y los resistores, resulta el circuito de la figura 2.29., el cual es equivalente al de la figura 2.27. De acuerdo con lo planteado previamente, las fuentes de corriente del circuito de la figura 2.28, tienen los valores:

47

ivRa

a

a

= ivRb

b

b

=

)(tib )(tie aR bR eR )(tia

Figura 2.28 Figura 2.29 Fuentes reales de corriente en serie Para el circuito de la figura 2.30, al transformar cada fuente real de corriente a fuentes reales de voltaje y después de simplificar, obtenemos el circuito de la figura 2.31. Los valores de los elementos se indican a continuación:

baeba

bbaae RRR

RRiRiR

i +=++

=


)(tia )(tib )(tie

aR bR eR

Corrimiento de fuentes ideales de voltaje La fuente de voltaje de la figura 2.32 no se puede transformar en una fuente de corriente, sin embargo es posible efectuar un corrimiento de la misma a través de nodo 1, resultando el circuito equivalente de la figura 2.33. Se puede verificar, en ambos circuitos, que los voltajes en los nodos 1 y 2 son iguales con respecto al nodo cero. En efecto, al plantear la ley de Kirchhoff para voltajes, resulta:

asbs vvvvvv −=−= 21

Corrimiento de fuentes ideales de corriente Para efectos de análisis, una fuente ideal de corriente como la ilustrada en la figura 2.34 se puede desdoblar, resultando el circuito de la figura 2.35. La equivalencia de los dos circuitos se pone de manifiesto al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes en los nodos: 1, 2 y 3.

48


Circuito 2.34 Circuito 2.35 Nodo 1 i i is a d− − = 0 i i is a d− − = 0 Nodo 2 i i ii i id b e− − = 0 i is s d e b− + − − = 0 Nodo 3 − + − =i i is e c 0 − + − =i i is e c 0 La ventaja del circuito de la figura 2.35 es que las fuentes de corriente son reales y se pueden transformar a fuentes de voltaje.

Figura 2.34 Figura 2.35 Circuitos equivalentes Thévenin y Norton Cuando se tiene un circuito cualquiera como el de la figura 2.36, siempre es posible simplificarlo de tal manera que entre los terminales a y b se tenga un circuito con una sola fuente real ya sea de voltaje o de corriente. El circuito de la figura 2.37 recibe el nombre de equivalente Thévenin del circuito original entre los puntos a y b. El circuito de la figura 2.38 recibe el nombre de circuito equivalente Norton. Puede observarse la equivalencia de los circuitos de las figuras 2.37 y 2.38, en la medida que . Para determinar el circuito equivalente Thévenin de un circuito cualquiera es necesario efectuar dos pruebas al circuito original, así:

i v Re e= / e

voc

Prueba de circuito abierto Cuando se coloca un voltímetro ideal entre los terminales a y b del circuito de la figura 2.36, se mide el voltaje de circuito abierto .

49

c

Por otro lado, el voltaje de circuito abierto de 2.37 es justamente igual al voltaje equivalente . Con la información anterior se concluye que el voltaje equivalente Thévenin entre los puntos a y b es igual al voltaje entre dichos terminales cuando se encuentra en circuito abierto, es decir,

ev

v ve o= Es pertinente aclarar que un voltímetro real es un dispositivo cuyo modelo es el que se ilustra en la figura 2.39. Cuando tiende a infinito se dice que el multímetro es ideal. mR

Figura 2.36 Figura 2.37 Figura 2.38 Es claro que si tiende a infinito, la medida del multímetro es exactamente igual al voltaje de la fuente .

mRve

La medida del multímetro real es: eem

mm v

RRRv+

=

Prueba de cortocircuito Cuando se cortocircuitan los terminales a y b del circuito original, la corriente que mide un amperímetro ideal , es justamente la que circula por el resistor del circuito de la figura 2.37. Un amperímetro ideal se comporta como un cortocircuito, permitiendo que toda la corriente circule por el dispositivo.

isc eR

Con base en las dos pruebas, se encuentra que la resistencia equivalente Thévenin entre los terminales a y b está dada por:

Rvie

oc

sc

=

Una manera alterna de encontrar la resistencia equivalente Thévenin es el método de la fuente adicional, el cual se ilustra a continuación. Método de la fuente adicional Si el circuito de la figura 2.36 presenta fuentes independientes de corriente y de voltaje, el primer paso para aplicar el método consiste en apagar todas las fuentes independientes. A continuación se coloca una fuente ficticia: entre los puntos a y b y se calcula la corriente: que dicha fuente entrega al circuito. Finalmente, la resistencia equivalente estará dada por:

v0

i0

Rvie =

0

0

50

Figura 2.39 Observaciones 1. Apagar una fuente de voltaje consiste en reemplazarla por un cortocircuito. 2. Apagar una fuente de corriente consiste en reemplazarla por un circuito abierto. El método de la fuente adicional se usa a menudo cuando el circuito original tiene fuentes dependientes. Transformaciones y-delta Se encontrará la equivalencia entre los circuitos de las figuras 2.40 y 2.41 de tal manera que si se coloca una fuente: a la entrada de cada circuito, el equivalente Thévenin a la salida sea igual en ambos circuitos. Con base en lo anterior se encontrarán fórmulas que permitan pasar de una topología a la otra.

vs

Si a la entrada del circuito de la figura 2.40 se conecta una fuente de voltaje: , se puede determinar el circuito equivalente Thévenin entre los terminales dos y cero, así:

vs

Figura 2.40 Figura 2.41 Primer paso Se transforma la fuente de voltaje en una fuente de corriente, como se muestra en la figura 2.42. Segundo paso Se encuentra la resistencia equivalente de los resistores: y que están en paralelo. aR cR Tercer paso Se transforma la fuente de corriente a fuente de voltaje y se simplifican los resistores que están en serie. El circuito equivalente Thévenin se muestra en la figura 2.43.

51

Figura 2.42 Figura 2.43 Es fácil verificar, para el circuito de la figura 2.43, lo siguiente:

sca

ee v

RRRv+

= RR R

R RR

R R R R R RR Rd

a c

a cb

a b b c c a

a c

=+

+ =+ +

+

En cuanto al circuito delta de la figura 2.41, al colocar la misma fuente: a la entrada, hallamos el equivalente Thévenin siguiendo los siguientes pasos:

vs

Primer paso Para efectos de análisis, el resistor se puede reemplazar por un circuito abierto, resultando el circuito de la figura 2.44.

2R

Segundo paso Se halla el equivalente Thévenin del circuito anterior, obteniendo los siguientes resultados.

se vRR

Rv31

3

+= R

R RR Re = +

3 1

1 3

Por comparación de los circuitos equivalentes, encontramos las equivalencias para pasar de una topología a la otra. Es interesante notar la manera nemotécnica de deducir las fórmulas de transformación. Lo anterior se sugiere en la figura 2.45.

RR R R R R R

Ra b b c c a

c1 =

+ + R

R RR R Ra = + +

1 2

1 2 3

RR R R R R R

Ra b b c c a

b2 =

+ + R

R RR R Rb = + +

1 3

1 2 3

RR R R R R R

Ra b b c c a

a3 =

+ + R

R RR R Rc = + +

2 3

1 2 3

52

Figura 2.44 Figura 2.45 2.8. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS Analizar un circuito resistivo consiste en determinar la corriente y el voltaje en uno o varios de sus elementos. Conocidas las variables anteriores es posible determinar la potencia absorbida o suministrada por cada elemento bajo análisis. Para llevar a cabo el análisis es necesario identificar el número de variables del circuito y plantear tantas ecuaciones como incógnitas. Existen dos técnicas estandarizadas para analizar un circuito resistivo, las cuales se desarrollarán a continuación. Técnica de los voltajes de nodo Consideremos un circuito que se puede transformar convenientemente de manera tal que solamente tenga fuentes de corriente, tal como el que se muestra en la figura 2.46. Para aplicar la técnica es necesario enumerar los nodos principales y tomar uno de ellos como nodo de referencia o tierra. El objetivo se reduce entonces a determinar los voltajes en los nodos restantes con respecto al de referencia. Para el circuito de la figura 2.46, se tienen dos fuentes independientes de corriente y cinco resistores. La figura indica las direcciones asignadas a las corrientes de rama. Al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Figura 2.46

2352221

32242111

1321131

)(00)(

0)(

ivGGvGvvGvGGGvG

ivvGvGG

=++−=+++−

+

− + =

53

Al resolver el sistema resultante, obtenemos los valores de los voltajes de nodo. El sistema se puede resolver por los métodos clásicos de soluciones de sistemas lineales, tales como: eliminación, regla de Cramer o la inversa. En la actualidad se pueden usar los paquetes: Matlab o Mathcad para resolver dichos sistemas: A continuación se muestra una rutina de Mathcad para resolver el sistema, para lo cual asignamos valores a los parámetros del circuito y a las fuentes.

G1 0 2: .= G2 0 3: .= G3 0 2: .= G4 0 5: .= G5 0 4: .= i1 2:= i2 3:=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−++−

−+=

522

24211

131

0)(

0:

GGGGGGGG

GGGa

bi

i:=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1

2

0 v a:= −1b v =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

6 48129635556

.

..

Los valores de los voltajes en los nodos son los indicados por el vector: v. Después de encontrar los voltajes de nodo es posible determinar la potencia en cualquiera de los elementos de circuito. Para la fuente de corriente , la potencia suministrada al circuito está dada por: i1

P i v vatios vatios1 1 1 2 6 481 12 962= = × =. . . Por otro lado, la corriente y la potencia respectiva en el resistor 2R son:

i R G v v Amperios( ) ( ) .2 2 2 3 0 778= − = − P R R i R Vatios( ) ( ) .2 2 22 2 018= =

El signo negativo que antecede a la corriente significa que el sentido real de la misma es el contrario del indicado en el circuito. Método de las corrientes de malla Al considerar el circuito de la figura 2.47, se puede observar que la topología bajo estudio presenta dos fuentes independientes de voltaje y cinco resistores. Se ilustran tres mallas por las que circulan las corrientes de malla que son las variables del circuito. Con el conocimiento de las tres corrientes de malla se puede calcular cualquier otra de las variables del circuito. Al aplicar la ley de Kirchhoff para voltajes en cada una de las mallas resulta un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, a saber:

Figura 2.47

54

Para las mallas: 0120, 0230 y 0340, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:

− + + − =− + + + − =

v R R i R iR i R R R i R i

a ( )( )

1 4 1 4 2 00

− + + + =R i R R i vb( )4 1 4 2 5 2 5 3

5 2 5 3 3 0

− +

De manera similar al caso anterior, se puede asignar valores a los parámetros del circuito y a las fuentes para obtener los valores de las corrientes de malla

+ − =− + + + − =− + + + =

v R R i R iR i R R R i R iR i R R i v

a

b

( )( )( )

1 4 1 4 2

4 1 4 2 5 2 5 3

5 2 5 3 3

00

0

R4 3= R5 2= va = 10 vb = 15

baiv

vb

RRRRRRRR

RRRa

b

a

⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−++−

−+= −1

355

55244

441

00

0

La solución del sistema es: i A i A i1 2 33077 0 769 1923= A= = −. , . , . El vector solución nos muestra que las corrientes e están en la dirección asignada pero la corriente realmente circula en sentido contrario al indicado.

i1 i2

i3

Se deja como ejercicio al estudiante la determinación de la potencia en la fuente de 15 Voltios y en el resistor . 2RDebe quedar claro que para analizar un circuito no es estrictamente necesario llevarlo a una de las formas estándar mencionadas previamente, es mas, frecuentemente se hace necesario utilizar nodos y mallas en un mismo circuito. Para el circuito de la figura 2.47, el cual se repite por comodidad en la figura 2.48, se pueden plantear las ecuaciones en los nodos 2 y 3, resultando un sistema de dos ecuaciones.

Figura 2.48

Al plantear la ley de Kirchhoff para corrientes en los nodos 2 y 3, resulta un sistema de dos ecuaciones con las incógnitas y así: v2 v3

55

)( ) (( ) ( )

v v G G v G v vG v v G v G v v

a

b

− = + −− = + −2 1 4 2 2 2 3

2 2 3 5 3 3 3

Organizando el sistema, se tiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

−++

b

a

vGvG

vv

GGGGGGGG

3

1

3

2

5322

2421 .

Haciendo las asignaciones correspondientes con Mathcad, tenemos:

R1 1= R2 2= R3 5= R4 3= R5 2= va = 10 vb = 15

A R R R R

R R R

=+ +

−

−+ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 1 1 1

1 1 11 2 4 2

2 2 3 R1

5

b

vRvR

a

b

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1

3

vv

A b2

3

1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− vv

2

3

69235385

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

..

El estudiante puede verificar que los resultados son compatibles con los obtenidos previamente. 2.9. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Cuando se analiza un circuito eléctrico que tenga dos fuentes independientes, el voltaje en un elemento circuital cualquiera se puede hacer aplicando el principio de superposición.

Figura 2.49

Para el circuito de la figura 2.49, el efecto sobre la carga dependerá de las dos excitaciones representadas en la fuente de voltaje y la de corriente. El voltaje en la carga es la suma de dos voltajes, uno debido a la fuente de corriente y otro debido a la fuente de voltaje. Donde, y son las contribuciones particulares de cada excitación.

v1 v2

v v v= +1 2 i i i= +1 2

56

i1 y corresponden a la corriente y al voltaje en la carga cuando se apaga la fuente número dos, mientras que y , son las contribuciones correspondientes de la fuente dos cuando se apaga la fuente uno.

v1

i2 v2

La desventaja de aplicar el principio de superposición estriba en el hecho de que para analizar un circuito es necesario efectuar tantos análisis como fuentes independientes tenga el circuito. A manera de ejemplo, encontrar el voltaje en el resistor de 10Ω del circuito de la figura 2.50 a) Usando superposición. b) Sin usar superposición.

Figura 2.50

Al apagar la fuente de voltaje se obtiene el circuito de la figura 2.51 cuyo equivalente Thévenin se ilustra en la figura 2.52. A partir del circuito equivalente se encuentra el voltaje en la carga, así:

R ve e i= =158

158 s v

Rv v

ee s1 1

1010

3019

=+

= i

v1 : es la contribución de la fuente de corriente. Ahora bien, si se apaga la fuente de corriente, se obtiene el circuito de la figura 2.53 y el equivalente Thévenin de la figura 2.54. La contribución de la fuente de voltaje se obtiene a partir de los circuitos de las figuras 2.53 y 2.54, así:

R v ve e= =158

38 s v

Rv v

ee s1 1

1010

619

=+

= v

Se puede concluir que el voltaje en la carga de 10Ω aplicando el principio de superposición está dado por:

v i vs s= +3019

619

57

Figura 2. 51 Figura 2.52

Figura 2.53 Figura 2.54 Ahora se resolverá el circuito sin aplicar el principio de superposición. Usando las técnicas de simplificación entre los puntos a y b del circuito original se obtienen los circuitos de las figuras 2.55 y 2.56.

Figura 2.55 Figura 2.56 2.10. CIRCUITOS CON FUENTES CONTROLADAS De acuerdo con lo estudiado previamente, en un circuito puede haber fuentes controladas por una variable circuital. En realidad, las fuentes controladas son modelos que se utilizan para describir el comportamiento de ciertos dispositivos de estado sólido tales como transistores y amplificadores operacionales. Por el momento se presentará un tratamiento de tales fuentes independientemente del dispositivo del cual resulta. Se usará la representación indicada en la figura 2.4, consistente en rombos en los que se indica la variable controladora. Con referencia a la figura 2.57, se encontrará:

58

)(ti

1. El circuito equivalente Thévenin entre a y b 2. La potencia absorbida por la fuente controlada cuando entre a y b se conecta una

carga resistiva R. 3. Los valores de k que hacen que la fuente controlada suministre potencia. Puede observarse que la fuente controlada es de voltaje y que la variable que controla es la corriente: indicada en la figura. Solución. 1. Para hallar el equivalente Thévenin hacemos las dos pruebas, así:

Figura 2.57

Prueba de circuito abierto. El voltaje de circuito abierto es el mismo voltaje que hay en el nodo 3. Las ecuaciones del circuito, haciendo el análisis por voltajes de nodo, son:

v t vR

v vR

isf

( ) −=

−+2 2 3

2

v vR

ivRf

2 3

23−

+ =

En las ecuaciones anteriores, es la corriente que circula por la fuente controlada. Eliminando en las dos ecuaciones anteriores se obtiene una relación entre los voltajes de nodo, así:

i f

i f

v v v ts2 3+ = ( )

La ecuación restante se encuentra teniendo en cuenta que el valor de la fuente controlada está relacionado con los voltajes de nodo y con la corriente controladora mediante las ecuaciones:

k i t v v i tv t v

Rs( ) ( )( )

= − =−

2 32

Eliminando la variable se obtiene una segunda ecuación que relaciona a los voltajes de nodo, así:

)(ti

)()( 32 tvkvRvRk s=−+

59

Es bueno aclarar que las unidades de la constante: k son unidades de resistencia. Si se organiza el sistema y se resuelve para el voltaje en el nodo 3, resulta:

)()()(

32

32

tkvRvvRktvvv

s

s

=−+=+

Resolviendo el sistema, resulta:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

)()2(

)()2(

)(

)()(11

3

21

3

2

tvkR

R

tvkR

Rk

vv

tkvtv

RRkvv

s

s

s

s

Con base en lo anterior, el voltaje equivalente Thévenin es:

v RR k

v te s=+( )

( )2

Prueba de cortocircuito. Esta prueba se ilustra en la figura 2.58. La corriente de cortocircuito es igual al voltaje en el nodo 3 dividido por R. El estudiante puede verificar que, en este caso, las ecuaciones de nodo resultantes son:

v t vR

vR

vR

s ( ) −= +2 3 3

Rvtvkvv s 2

32)( −

=−

El sistema organizado es:

)()()(2

32

32

tvkRvvkRtvvv

s

s

=−+=+

Al resolver el sistema se obtiene la corriente de cortocircuito y la resistencia equivalente, así:

v RR k

v t ivR R k

v t Rvi

R kR ks sc s e

e

sc3

3

3 21

3 232

=+

= =+

= =++

( )( )

( )

2. Al conectar un resistor R en los terminales de salida del circuito original, se obtiene el circuito de la figura 2.59. La potencia absorbida por la fuente controlada está dada por:

ff itkiP )( = Las corrientes: e se determinan a partir de los voltajes de nodo, así: i t( ) i f

i tv t v

Rs( )( )

=− 2 i i t

v v−Rf = −( )

( )2 3

2

60

Figura 2.58

Figura 2.59

El estudiante puede verificar que las ecuaciones de nodo del circuito son las siguientes:

)()()(2

32

32

tkvRvvRktvvv

s

s

=−+=+

Resolviendo el sistema se encuentran los voltajes de nodo, así:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

)()35(

2

)()35()32(

)()(232

3

21

3

2

tvkR

R

tvkRkR

vv

tkvtv

RRkvv

s

s

s

s

Con los valores encontrados previamente se calcula la potencia absorbida por la fuente. Para determinar si la potencia es suministrada por la fuente, se plantea la desigualdad:

3 2 0 2 0k R k k k R( ) ( )− < − >

61

El conjunto de valores de k tales que la fuente controlada suministre potencia es el que se presenta a continuación. Observar que la restricción acompañante del conjunto solución tiene sentido ya que el denominador no puede ser cero.

22

3 (2 )( ) ( )(5 3 ) 2 (5 3 )

9 (2 ) 5( ) ( ,0) (2 , )2 (5 3 ) 3

f s s

f s

R kP k v t v tR k R R k

k R k RP v t R kR R k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −= −∞ ∪ ∞

+≠

Se sugiere al estudiante que resuelva el ejemplo si la fuente controlada de voltaje se cambia por una fuente controlada de corriente, tal como lo ilustra la figura 2.60.

Figura 2.60 2.11. NOCIONES FUNDAMENTALES DEL CAPÍTULO A continuación se presenta un resumen de las nociones fundamentales desarrolladas en este capítulo. • La carga eléctrica es una propiedad de la naturaleza y se incorpora al sistema

internacional de medidas junto con la masa, la longitud y el tiempo. La unidad de la carga es el culombio y se relaciona con la unidad elemental de carga, es decir, con la carga de un electrón, así: C e 19106.1 −×=

• Un flujo organizado de cargas en un medio conductor constituye una corriente

eléctrica. La corriente se presenta en un dispositivo de dos terminales cuando entre ellos existe una diferencia de voltajes. El voltaje es el trabajo por unidad de carga.

• Los elementos circuitales activos son los que suministran energía a un circuito y

pueden ser fuentes de voltaje o fuentes de corriente. • Los elementos circuitales pasivos son los que procesan la energía suministrada por

las fuentes y son de tres tipos, a saber: El resistor, el inductor y el capacitor.

62

)(.)( tiRtv

• En un elemento pasivo es necesario conocer la relación entre la corriente y el voltaje aplicado entre sus terminales.

• La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor es el principio eléctrico conocido como ley de Ohm, según la cual:

=

• La ley de Kirchhoff para corrientes es una variante de la ley de la conservación de la

carga y establece que la suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero en todo instante.

• La ley de Kirchhoff para voltajes es una variante de la ley de la conservación de a

energía y establece que la suma de los voltajes en una malla es cero en todo instante. • Cuando un voltaje se aplica a dos resistores conectados en serie, sobre cada resistor

cae una fracción del voltaje total, siendo dicha fracción mayor en el resistor de mayor resistencia.

• Cuando una corriente entra a un paralelo de dos resistores, la corriente en un resistor

es una fracción de la corriente total siendo mayor en el resistor de menor resistencia. • La potencia absorbida por un resistor es igual al producto entre la corriente y el

voltaje. Normalmente el resistor convierte la energía eléctrica en energía de otro tipo: luminosa, calórica, etc.

• Una fuente real de voltaje se modela como una fuente ideal con un resistor en serie. • Una fuente real de corriente se modela como una fuente ideal con un resistor en

paralelo. • Para efectos de análisis, una fuente real de voltaje se puede transformar en una fuente

real de corriente y viceversa. • El corrimiento de fuentes es una técnica de simplificación que se utiliza cuando las

fuentes de voltaje o de corriente son ideales. • Para efectos de análisis, un resistor en paralelo con una fuente ideal de voltaje puede

reemplazarse por un circuito abierto. • Para efectos de análisis, un resistor en serie con una fuente ideal de corriente puede

reemplazarse por un cortocircuito. • Una conexión de tres resistores conectados en estrella (Y) se puede sustituir por una

conexión de tres resistores conectados en triángulo (delta) y viceversa. • Cualquier circuito que tenga dos terminales de acceso: a y b se puede reducir a un

circuito simple con una fuente real de voltaje. El circuito reducido recibe el nombre de equivalente Thévenin del circuito original entre los terminales a y b.

63

• Cualquier circuito que tenga dos terminales de acceso: a y b se puede reducir a un circuito simple con una fuente real de corriente. El circuito reducido recibe el nombre de equivalente Norton del circuito original entre los terminales a y b.

2.12. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Para el circuito de la figura 2.61, determine el equivalente Thévenin entre los puntos a y b. a. Usando técnicas de simplificación. b. Usando las pruebas de circuito abierto y de cortocircuito, además de las técnicas de análisis. Solución.

Figura 2.61 Figura 2.62 Mediante las técnicas de simplificación, el primer paso consiste en efectuar un corrimiento de la fuente de corriente, tal como se muestra en la figura 2.62. Transformando las fuentes de corriente a fuentes de voltaje, se obtiene el circuito de la figura 2.63. A partir del circuito de la figura 2.63, el estudiante puede llegar a la figura 2.64. Transformando las dos fuentes reales de voltaje de la parte superior de la figura 2.64, se puede llegar al circuito de la figura 2.65 y de aquí a la figura 2.66


64

Figura 2.65 Figura 2.66 La corriente, en el resistor de carga de 3Ω va en la dirección de b hasta a y tiene una valor de

2 41/ amperios. La figura 2.67 ilustra la situación de circuito abierto y se enumeran los nodos para aplicar la técnica de análisis por voltajes de nodo. Las ecuaciones del circuito, en lo referente a los voltajes de nodo, son las que se indican a continuación, teniendo en cuenta que el voltaje en el nodo a con respecto a tierra es igual al voltaje en el nodo tres menos los ocho voltios del voltaje de la fuente. Al aplicar las leyes de Kirchhoff, se tiene:

1 2 1 4 1 1 2 1 43 4 2 3

0 2 01 6 2 1 6

v v v v v v v v vv v v v− − − − −+ = − = + = − =10

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

El sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:

1

2

3

4

10 6 0 1 07 6 0 1 00 1 1 0 100 0 1 1 2

vvvv

− − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


2 / 7ocvComo resultado, se tiene el voltaje de circuito abierto: = −

voltios Para la prueba de cortocircuito se utiliza la figura 2.68. Las ecuaciones del circuito son las siguientes:

65

1 1 2 1 4 1 2 1 4

2 3 3 4 3

02 1 6 1 6

10 2 8

scv v v v v v v v v i

v v v v v

− − − −+ + = + =

− = − = = −

Resolviendo el sistema se obtiene el valor de la corriente de cortocircuito, así: 0.1sci = −La resistencia equivalente Thévenin es: 20 / 7eR = Ω El estudiante puede verificar que los resultados son iguales. 2. Para el circuito de la figura 2.69, encuentre el circuito equivalente Thévenin entre los terminales: a y b, por dos métodos diferentes, así: a. Usando técnicas de simplificación. b. Mediante las pruebas de circuito abierto y de cortocircuito. Solución. a. Usando técnicas de simplificación. Primero que todo se transforman las fuentes de voltaje a fuentes de corriente, resultando el circuito de la figura 2.70. A partir de la figura 2.70, encontramos el circuito de la figura 2.71, mediante la simplificación de las fuentes de corriente. Los equivalentes Norton y Thévenin del circuito original se muestran en las figuras 2.72 y 2.73. b. Mediante las pruebas de circuito abierto y de cortocircuito. Primero se hace la prueba de circuito abierto, tal como se ilustra en el circuito de la figura 2.75

Figura 2.69

Figura 2.70

66



Aplicando la ley de Kirchhoff para corrientes en los nodos y , obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, así:

c a

6

34

2 210

53

4−

+ =− −

+−

+ =v v v v v vc c a c a a va

Figura 2.75 Al resolver el sistema, se determina el voltaje de circuito abierto, el cual es el voltaje Thévenin, así . 13/172=ocvA continuación se hace la prueba de cortocircuito, tal como se ilustra en la figura 2.76. Como puede verse en la figura, el voltaje en el nodo: a es cero y la corriente en el resistor de es cero ya que la corriente circula por el cortocircuito. 4ΩAl aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes en el nodo: c, con la condición de cortocircuito se encuentra que:

12 2 24 3− + =v vc c vc =365

67

Figura 2.76

Ahora bien, la corriente de cortocircuito se obtiene aplicando KCL en el nodo a, así:

vic

sc−

+−

+ =0

210 0

53 isc =

435

Con lo anterior encontramos la resistencia equivalente Thévenin, la cual coincide con la encontrada por el primer método. Si entre los terminales: a y b del circuito original se conecta una carga resistiva cuya resistencia es igual a la resistencia Thévenin, la potencia transferida a la carga es máxima y está dada por:

pvRmaxe

e

= =2

422 757. Vatios

3. Para el circuito de la figura 2.77, determine la corriente: y represente gráficamente, con los siguientes datos:

)(ti

v t u ts ( ) ( )= 12 Voltios i t u ts ( ) ( )= −3 1 Amperios R = 1ohmio

Solución. Planteamos la ley de Kirchhoff para corrientes en los nodos: 1 y 2, así:

Rv

Rvv

Rvtvs

22)( 1211 +

−=

−

v vR

i tvRs

1 2 2−= +( )

Rvti 2)( =

Figura 2.77

68

4 21 2

1

2

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥.

( )( )

vv

v ti t

s

s

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones, obtenemos:

i t u t u t( ) ( ( ) ( ))= − −2 1 La gráfica es el pulso rectangular de la figura 2.78

Figura 2.78

4. Encuentre el equivalente Thévenin entre los puntos 1 y 2 para el circuito de la figura 2.79.

Figura 2.79

Solución. El estudiante puede verificar que el circuito de la figura 2.80 Es equivalente al circuito dado.

Figura 2.80

Para llegar al circuito de la figura 2.80 se usaron las técnicas de transformación de fuentes reales.

69

Si transformamos las fuentes de corriente de la figura 2.80 a fuentes reales de voltaje y simplificamos, se obtiene el equivalente Thévenin entre los terminales 1 y 2, así:

Figura 2.81

5. Para el circuito de la figura 2.82 a. Encuentre la potencia absorbida por la fuente controlada b. Encuentre los valores de alfa para que la fuente suministre potencia

Figura 2.82 Solución. a. Para determinar la potencia en la fuente controlada es necesario encontrar el voltaje en el nodo 2, de tal manera que la potencia absorbida por dicha fuente está dada por:

P i t vabs t=α ( ) ( )2

Puede verse que las ecuaciones del circuito son las siguientes:

1 3 2 31

1 3 2 3 3 1 3

( ) 0 ( ) ( )2

( )

s sv v v vv i t i t i t

R R Rv v v v v v vi t

R R R R

α− −+ + = = +

− − −+ = =

Al eliminar la corriente en las ecuaciones anteriores, resulta un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, así:

( )i t

70

3

t ⎤⎥⎥⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

2

3 0 2 2 ( )1 ( 1) ( )

1 1 3 0

s

s

v Riv Ri tv

α α−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−

Resolviendo de manera simultánea, encontramos:

1 2 32 2 5 4 1 2( ) ( ) ( )

4 4s sv R i t v R i t v R i t4 s

α α αα α α− − − − −

= = =− − −

La corriente viene dada por:

3( ) ( )4 si t i t

α=− +

En consecuencia, la potencia absorbida por la fuente controlada es:

PR i t

abss=

− +−

3 4 54

2

2

α αα

( ) (( )

)

Con base en la expresión encontrada, debe cumplirse que alfa debe ser diferente de cuatro. Ahora bien, para que la fuente suministre potencia, la potencia absorbida debe ser negativa, con lo cual obtenemos la siguiente desigualdad:

α α +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟>

54

0

El conjunto solución es el siguiente: − ∞−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∪ ∪, ( , ) ( ,5

40 4 4 ∞)

6. Considere el circuito de la figura 2.83 a. Encuentre el equivalente Thévenin entre los puntos: a y b. b. Encuentre la máxima potencia transferida a una carga que se conecte entre los terminales dados.

Figura 2.83

71

Solución. Hacemos la prueba de circuito abierto, obteniendo las siguientes ecuaciones:

i tv t v

Rs( )( )

=− 2 i t k i t

v vR

( ) ( )= +−2 3 i t

vR

( ) = 3

Con base en las ecuaciones anteriores encontramos el voltaje equivalente Thévenin, así:

v tv t

kke

s( )( )

=−

≠3

3

En cuanto a la prueba de cortocircuito, las ecuaciones son las siguientes:

i tv t v

Rs( )( )

=− 2 i t k i t

v vR

( ) ( )= +−2 3 i t

vR

( ) =2 3

Resolviendo de manera simultánea, encontramos la corriente de cortocircuito, así:

i tv t

R kke

s( )( )

( )=

−≠

5 252

En consecuencia, la resistencia equivalente está dada por: R k Rke =

−−

( )5 23

La potencia transferida a la carga será máxima cuando la carga tenga una resistencia igual a la resistencia equivalente. En nuestro caso, dicha potencia es:

PvR

v tk kmax

e

e

s= =− −

2

4 3 5 2( )

( )( )

7. Para el circuito de la figura 2.83, se coloca un resistor R entre los terminales a y b. a. Determine la potencia absorbida por la fuente controlada. b. Determine los valores de k de tal manera que la fuente controlada suministre energía al circuito.

Figura 2.84

72

La figura 2.84, es la que resulta de conectar el resistor entre los terminales dados. Las ecuaciones del circuito son las siguientes:

i tv t v

Rs( )( )

=− 2 i t k i t

v vR

( ) ( )= +−2 3

2i t

vR

( ) =32

3

Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene:

v kk

v t vk

v t ks s2 310 68 3

28 3

83

=−−

=−

≠( ) ( )

El voltaje sobre la fuente controlada es:

v v v kk

v tf s= − =−−2 3

8 68 3

( )

La potencia absorbida por la fuente controlada está dada por:

P k i t vk k vR kabs f

s= =−−

( )( )( )

3 8 68 3

2

2

Para que la fuente suministre potencia se requiere que se verifique la siguiente desigualdad:

k k k k( )8 6 0 43

0− < −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟>

Resolviendo la desigualdad se encuentra el conjunto solución siguiente:

( , ) ,−∞ ∪ ∞⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 43

k ≠ 83

8. Consideremos el circuito de la figura 2.85. a. Determine el circuito equivalente Thévenin entre los terminales a y b. b. Si entre los terminales de salida se coloca un resistor: R, determine la potencia absorbida por la fuente controlada. c. Encuentre los valores de k de tal manera que la fuente controlada absorba energía del circuito. Solución. Para la prueba de circuito abierto, las ecuaciones son:

i tv v

Ri t

vR

v vR

v vR

vR

s( ) ( )=−

= +− −

=2 2 2 3 2

23 3

Resolviendo el sistema, encontramos:

73

i tR

v v v v vs( ) =5

9292 3s s= =

49

El voltaje equivalente Thévenin es:

v v k i t k RR

ve s= + =+

35 2

9( )

Figura 2.85

Al cortocircuitar los terminales a y b, circulará la corriente de cortocircuito a la que denotaremos como: . Las ecuaciones en este caso son las siguientes: ie

i tv v

Ri t

vR

v vR

v vR

vR

i vse( ) ( ) ( )=

−= + k i t

− −= + = −2 2 2 3 2 3 3

32 2

Resolviendo el sistema, se encuentra:

i tR k

v v k Rk R

v v kk R

v ks s s( ) =−

= R−−

=−

≠3

525

35

52 3

La corriente de cortocircuito es:

i R kR R k

ve s=+−

( )( )

45

En conclusión, el circuito equivalente Thévenin presenta los siguientes valores:

v k RR

v R k R R kR ke s e=

+=

+ −+

5 29

5 2 59 4

( )(( )

)

Las ecuaciones del circuito son:

v v v v v v k i ti t

v vi t

vR R R R R R

s( ) ( )( )

=−

= +− −

= ++2 2 2 3 2 3 3 3

2 2

Organizando el sistema, se tiene:

74

RRk

i tvv

vs1 02 3 12 1 5

00

2

3

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

.( )

Resolviendo el sistema, se encuentra:

i tk R

v v k Rk R

v v k Rk R

vs s( ) = −−

= s−−

=−

−7

125

123

122 3

Al colocar un resistor R, la potencia absorbida por la fuente controlada está dada por:

P k i t i iv k i t

RP k R k

k Rvabs f f abs s= − =

+=− +

−( )

( ) ( )( )

32

27 412

Para que la fuente absorba energía del circuito se requiere que:

− + > +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟<7 4 0

40k k R k k R( )

Lo anterior se verifica si:

k k> R≠0 12 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Considere el circuito de la figura 2.86 a. Determine las corrientes de malla. b. Determine la potencia suministrada por la fuente. 2. Para el circuito de la figura 2.87, encuentre el voltaje entre los terminales a y b, así: a. Si los terminales de salida están en circuito abierto. b. Si entre los terminales se coloca un resistor R1.

Figura 2.86. Figura 2.87

75

Figura 2.88 Figura 2.89 3. Para el circuito de la figura 2.88. a. Encuentre el equivalente Thévenin entre los terminales de salida. b. Si a la salida se conecta un resistor de resistencia: R, determine la potencia absorbida por la carga. c. Determine los valores de k para que la fuente controlada absorba energía del circuito. 4. Repita el problema anterior para el circuito de la figura 2.89.

Figura 2.90 5. Para el circuito de la figura 2.90, determine: a. El equivalente Thévenin entre a y b. b. La potencia suministrada por la fuente controlada cuando a la salida se coloca un resistor de resistencia: R. 6. Repita el problema anterior si la fuente de corriente se reemplaza por una fuente de voltaje. 7. Considere el circuito de la figura 2.91. a. Encuentre el equivalente Thévenin entre a y b. b. Determine la potencia absorbida por una carga de resistencia: R. 8. Para el circuito de la figura 2.92, determine los voltajes en los nodos indicados.

76


9. Para el circuito de la figura 2.93. a. Encuentre el equivalente Thévenin entre a y b. b. Encuentre el valor de la carga que se debe conectar en los terminales de salida para que absorba tres vatios. 10. Para el circuito de la figura 2.94, determine las potencias que suministran las fuentes en los siguientes casos: a. Si los terminales de salida están en cortocircuito. b. Si entre los terminales de salida se conecta un resistor de cinco ohmios. 11. Para el circuito de la figura 2.95 a. Determine la corriente: entregada por la fuente independiente de 10 Voltios. )(tib. Encuentre la potencia absorbida por la fuente controlada. c. Determine los valores de k para que la fuente suministre potencia. 12. Reemplace la fuente controlada de corriente del circuito de la figura 2.95 por una fuente controlada de voltaje y repita el problema anterior 13. Para el circuito de la figura 2.96 a. Determine el equivalente Thévenin entre a y b. b. Determine los valores de k para que, en condición de circuito abierto, la fuente controlada suministre potencia. 14. Reemplace la fuente controlada de corriente del circuito de la figura 2.96 por una fuente controlada de voltaje y repita el problema anterior.

77


Figura 2.95

Figura 2.96

Figura 2.97

78

Figura 2.98 Figura 2.98 15. Determine los voltajes de nodo del circuito de la figura 2.97 15. Determine los voltajes de nodo del circuito de la figura 2.97 16. Determine las corrientes de malla para el circuito de la figura 2.98 16. Determine las corrientes de malla para el circuito de la figura 2.98 17. Para el circuito de la figura 2.99, determine el equivalente Thévenin entre los terminales a y b. 17. Para el circuito de la figura 2.99, determine el equivalente Thévenin entre los terminales a y b.

Figura 2.99 18. Para el circuito de la figura 2.99, cambie la fuente controlada de corriente por una de voltaje y determine el equivalente Thévenin. 19. Para el circuito de la figura 2.100, determine la potencia suministrada por la fuente independiente de voltaje.

Ω4 Ω4

Ω4

V10 A2

)(ti

Ω2 Ω4

Ω3

)(tki

a

b

79

Ω4

)(tki Ω4

a

b

A2

Ω4 Ω4

)(ti V10 A2

Figura 2.100

20. Para el circuito de la figura 2.100, cambie la fuente controlada de corriente por una de voltaje y repita el problema anterior.

80CAPITULO 3

ELEMENTOS CIRCUITALES DINÁMICOS

3.1. INTRODUCCIÓN Además de las fuentes y los resistores, un circuito eléctrico puede tener elementos capaces de almacenar energía. El capacitor o condensador es un elemento que se caracteriza por almacenar energía en su campo eléctrico, mientras que el inductor almacena energía en su campo magnético. El parámetro asociado al capacitor es la capacitancia, mientras que el parámetro asociado al inductor es la inductancia. Ambos elementos presentan la propiedad de tener memoria, esto es, guardan la información en forma de corriente o de voltaje. En este capítulo se estudiarán las características de estos elementos y su comportamiento circuital. 3.2. EL CAPACITOR En su forma más simple, un capacitor consiste en un par de placas metálicas paralelas separadas por un material dieléctrico o aislante. Para describir el comportamiento del capacitor nos podemos remitir a la figura 3.1.

Figura 3.1 Principio físico En el instante , esto es, antes de conectar la batería, cada placa es eléctricamente neutra. En el momento de conectar la fuente, se presenta un trabajo que hace que los electrones de la placa superior son llevados a la placa inferior de tal forma que la placa superior queda con una carga positiva: mientras que la otra queda con una carga negativa de la misma magnitud.

−= 0t

+q

Es fácil entender que la magnitud de la carga es una función del voltaje aplicado. Matemáticamente, podemos establecer que:

)(vfq =

81La carga: q permanecerá aún después de desconectar la pila ya que el material dieléctrico impedirá el flujo de los electrones desde la placa inferior a la superior. Con lo anterior, se puede observar que se genera un campo eléctrico entre las dos placas, con lo que se establece una diferencia de potencial o voltaje, tal como lo expresa la ecuación anterior. Podemos deducir que el capacitor almacena energía en forma de voltaje. La calidad del capacitor depende de la característica del dieléctrico y de la geometría del mismo. Es posible describir gráficamente la relación entre la carga y el voltaje de manera experimental, es decir, medir la carga para diferentes valores del voltaje aplicado. Se puede presumir que la función: se puede representar mediante una serie de Maclaurin, así:

)(vfq =

.....33

2210 ++++= vcvcvccq

Es fácil suponer que si no hay voltaje aplicado entonces la carga es cero, esto es, el coeficiente: de la serie es cero. Ahora bien, para voltajes relativamente cercanos a cero, efectuamos una aproximación lineal, así:

0c

Cvq = La constante: C es la capacitancia del capacitor lineal y se expresa en unidades de Culombios / Voltios. Básicamente, los capacitores comerciales son lineales para un rango de voltajes suministrado por el fabricante. La unidad de capacitancia es el Faradio, el cual se define de la siguiente manera: “ Un Faradio es la capacitancia que debe tener un capacitor que, sometido a un voltaje de un Voltio, proporcione una carga de un Culombio”. Evidentemente, una capacitancia de un Faradio es extremadamente grande, lo cual requiere normalmente una geometría voluminosa; para capacitores comerciales y dependiendo de la frecuencia de trabajo, las capacitancias oscilan entre los pico Faradios y los mili Faradios. Cuando el voltaje aplicado a un capacitor es variable, la carga que aparece en las placas también lo es, de tal manera que la capacitancia es la variación de la carga con respecto al voltaje, así:

ddv

q C=

Haciendo uso de la regla de la cadena, podemos escribir:

Cdvdt

dtdq

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dtdvCq

dtd

=

De acuerdo con lo estudiado previamente, la variación de la carga con respecto al tiempo es la corriente, con lo que se puede escribir lo siguiente:

)()( tvdtdCti =

82La ecuación anterior establece que cuando un capacitor lineal se somete a un voltaje variable: resulta una corriente: que es proporcional a la variación del voltaje. )(tv )(ti Modelo circuital La figura 3.2 ilustra el símbolo que se usa para representar un capacitor lineal y la convención de voltaje y corriente.

Figura 3.2

La relación entre el voltaje y la corriente en el capacitor se puede expresar en forma integral, de la siguiente manera:

)()( tvdtdCti = dtti

Ctdv )(1)( = ∫ ∞−

=t

dttiC

tv )(1)(

Se introducirá ahora un concepto de la mayor importancia en el entendimiento del comportamiento del capacitor. Supongamos que el capacitor se somete a una corriente variable: en el instante . La integral se puede expresar en tres tramos diferentes, así:

)(ti 0=t

∫∫∫ +

+

−

−

++=∞−

tdtti

Cdtti

Cdtti

Ctv

0

0

0

0)(1)(1)(1)(

La primera de las integrales corresponde al voltaje que el capacitor tenía antes de conectar la fuente de corriente; la segunda corresponde a la transición entre y y la tercera corresponde al efecto neto de la corriente sobre el voltaje.

−= 0t += 0t

Si la corriente es continua en la segunda integral es igual a cero, con lo que el voltaje en es igual al voltaje en . El voltaje en es el voltaje inicial del capacitor

. Así las cosas, si la corriente no es de tipo impulso, el voltaje en el capacitor en todo instante viene dado por:

0=t= 0t+= 0t

iV=− )0

− −= 0tv(

∫ ++=

t

i dttiC

Vtv0

)(1)(

De otro lado, si la corriente aplicada es un impulso de magnitud: I el voltaje en el capacitor cambia bruscamente en 0=t , de acuerdo con la siguiente expresión:

83

CIVvdtti

CCIVtv i

t

iεε

ε

2)0()(12)( +=⇒++= +∫

La figura 3.3 ilustra una función de corriente de tipo impulso. Debe recordarse que la integral de la función en el intervalo es igual al área bajo la curva. El impulso propiamente dicho viene a ser el límite de la función de corriente cuando el ancho del pulso tiende a cero.

)t

I

+ ε

(i

t− ε

Figura 3.3

Potencia y energía Como es claro que el capacitor almacena energía en forma de voltaje, es posible calcular la energía almacenada por un capacitor en un intervalo determinado de tiempo. La potencia, es decir, la energía almacenada por unidad de tiempo, viene dada por la ecuación:

)()()( titvtp = Puesto que la corriente es igual a C por la derivada del voltaje, se puede escribir:

vdtdCvtv

dtdCtvtp == )()()(

Para calcular la energía almacenada por el capacitor entre el instante: y un instante cualquiera: t, se tiene:

0=t

)0(21)(

21)()()()()( 22)(

)0(0CvtCvtdvtvCdt

dttdvtvCtW

tv

v

t−=== ∫∫

Es claro que si el capacitor está inicialmente descargado, la energía almacenada en el intervalo de tiempo está dada por:

)(21)( 2 tCvtW =

84Capacitores en serie y en paralelo La figura 3.4 ilustra dos capacitores de capacitancias: y conectados en serie, mientras que la figura 3.5 ilustra un circuito con un solo capacitor de capacitancia . Para que los dos circuitos sean equivalentes se requiere que la relación entre la corriente y el voltaje entre los terminales a y b sea la misma en ambos circuitos. Se supondrá que los dos capacitores están inicialmente desenergizados, esto es, sus voltajes en el momento de conectarlos son iguales a cero.

1C 2C

EC

Figura 3.4 Figura 3.5 Al analizar el circuito de la figura 3.4, se tiene:

11)( vdtdCti = 22)( v

dtdCti =

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en la forma:

11

)(1 vdtdti

C= 2

2

)(1 vdtdti

C=

Sumando miembro a miembro las ecuaciones anteriores se obtiene:

( )2121

)(11 vvdtdti

CC+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

En cuanto a la figura 3-5, la relación entre la corriente y el voltaje total se puede escribir de la siguiente manera:

( 21)( vvdtdCti E += ) ( )21)(1 vv

dtdti

CE

+=

Por comparación directa de las dos relaciones funcionales se encuentra que la capacitancia equivalente de dos capacitores conectados en serie está dada por:

21

111CCCE

+=

85En cuanto a la conexión en paralelo de dos capacitores, nos remitimos a las figuras: 3.6 y 3.7


Para el circuito de la figura 3.6 las relaciones funcionales entre la corriente y el voltaje vienen dadas por:

vdtdCi 11 = v

dtdCi 22 = ( ) v

dtdCCii 2121 +=+

De otro lado tenemos la relación funcional para el circuito de la figura 3.7, así:

vdtdCi E=

Teniendo en cuenta la ley de Kirchhoff para corrientes y mediante la comparación directa de las ecuaciones, se encuentra que la capacitancia equivalente de dos capacitores conectados en paralelo es la suma de las capacitancias individuales.

C C CE = +1 2 Los resultados obtenidos se pueden generalizar a cualquier número de capacitores. Un resultado, aparentemente sorprendente es el siguiente. Si se conectan en serie dos capacitores de la misma capacitancia: C, la capacitancia equivalente total es la mitad, mientras que si se conectan en paralelo, la capacitancia se duplica. Los resultados obtenidos son válidos si los elementos están inicialmente descargados. Si en la conexión en serie, por ejemplo, los capacitores tienen ciertos voltajes iniciales: y v , las relaciones funcionales se deben expresar en forma integral.

1iv

2i

Para el circuito de la figura 3.4 se tiene:

∫+=t

i dttiC

Vtv0

111 )(1)( ∫+=

t

i dttiC

Vtv0

222 )(1)(

86Sumando las ecuaciones anteriores, se tiene:

∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

t

ii dttiCC

VVtv0

2121 )(11)(

En cuanto a la figura 3.5, si denotamos por al voltaje inicial equivalente, se obtiene la relación correspondiente:

iEV

∫+=t

EiE dtti

CVtv

0)(1)(

Por comparación se observa que la capacitancia equivalente es la misma pero el voltaje inicial equivalente es la suma de los voltajes iniciales en los capacitores individuales. En cuanto a la conexión en paralelo, el estudiante puede verificar que el voltaje inicial equivalente viene dado por la expresión:

22

11

iE

iE

iE VCCV

CCV += C C CE = +1 2

3.3. EL INDUCTOR Introducción Cuando por un alambre conductor infinito se hace circular una corriente variable: , en el medio circundante se genera una campo magnético cuyas líneas de campo se enlazan alrededor del alambre según la regla de la mano derecha. Las líneas de campo son densas en las cercanías del alambre y se dispersan en la medida que se alejan del mismo. La figura 3.8 ilustra la situación planteada.

)(ti

Figura 3.8

El flujo magnético generado por la corriente es una función de la misma, así:

)()( tit αφ =

87Si en lugar de tener un solo alambre, se practica un devanado o bobina tal como lo ilustra la figura 3.9, las líneas de campo se refuerzan en el interior del material en el que se hace la bobina y son más débiles en la medida en que nos alejamos de dicho material.

Figura 3.9 En este caso el flujo magnético es proporcional al número de vueltas de la bobina, así:

( )tiNt αφ =)( Puede verse que las líneas de flujo tienen la dirección correspondiente a la regla de la mano derecha. Las líneas de flujo que están por fuera del material en el que se hace el devanado son consideradas como pérdidas en la medida que el flujo se desee concentrado en las inmediaciones del devanado. En el estudio de los circuitos eléctricos se busca que las líneas de flujo se concentren en el circuito mismo, lo cual se logra con materiales ferromagnéticos. El material en el que se practica el devanado recibe el nombre de núcleo y de su geometría y del tipo de material dependerá la magnitud del campo que se generara al circular la corriente. Modelo circuital Si se supone que la característica de flujo contra la corriente es una función lineal, se puede expresar en la siguiente forma:

)()( tKNit =φ Donde K es una constante de proporcionalidad que depende de la geometría del núcleo y del tipo de material. N es él numero de vueltas de la bobina.

88El concatenamiento por flujo es una variable física que, por el momento, se definirá de la siguiente manera:

)()( tNt φλ = )()( 2 tiKNt =λ )()( tLit =λ El concatenamiento por flujo es proporcional a la corriente y la constante de proporcionalidad recibe el nombre de autoinductancia del inductor.

2KNL = Con base en la ley de Faraday, la variación con respecto al tiempo del concatenamiento por flujo produce un voltaje , así: )(tv

)()( tidtdLtv =

Faraday descubrió que cuando un campo magnético varia con el tiempo, se induce una caída de potencial o voltaje en un circuito ubicado en las inmediaciones del campo. En el sistema internacional de medidas, el concatenamiento por flujo se mide en Webers, con lo que la autoinductancia se mide en Webers/Amperios; esta unidad recibe el nombre de Henrio. A partir de la relación funcional entre el voltaje y la corriente en el inductor, la autoinductancia tendrá las siguientes unidades:

1 1Henrio Voltio SegundoAmperio

=⋅

Observe que las unidades de autoinductancia también se pueden expresar como:

SegundoOhmioHenrio ⋅=11 La figura 3.10, muestra el símbolo usado para representar el inductor y las variables circuitales: corriente y voltaje.

Figura 3.10

De manera similar al caso del capacitor, la relación funcional entre la corriente y el voltaje en un inductor de puede expresar de manera integral, así:

89

)()( tidtdLtv = dttv

Ltdi )(1)( = ∫ ∞−

=t

dttvL

ti )(1)(

La expresión integral se puede escribir en la forma:

∫∫∫ +

+

−

−

++=∞−

tdttv

Ldttv

Ldttv

Lti

0

0

0

0)(1)(1)(1)(

Es claro que si el voltaje se aplica en el instante 0=t , el primer término de la derecha corresponde a la corriente inicial del inductor. Si el voltaje aplicado es no impulsivo, la segunda integral es igual a cero y por tanto la corriente en el inductor no cambiará bruscamente en . En tales condiciones, la corriente en el inductor en todo instante viene dada por:

0=t

∫ ++=

t

i dttvL

Iti0

)(1)(

Supongamos ahora que la señal de voltaje aplicada es de tipo impulsivo, es decir, es de la forma:

[ ])()()( εε −−+= tutuVtv En tal caso, la corriente en el inductor cambia bruscamente en 0=t y tendrá la forma siguiente:

LVIidttv

LLVIti i

t

iεε 2)0()(12)(

0+=⇒++= +∫ +

Potencia y energía El inductor almacena energía en forma de corriente. La cantidad de energía almacenada entre y un instante: t cualquiera depende de la autoinductancia. 0=t Con base en lo estudiado previamente, la potencia almacenada por el inductor está dada por:

)()()()()( tidtdtLititvtp == )()()( tditLidttp =

Puesto que la energía almacenada en el intervalo de tiempo mencionado es igual a la integral de la potencia, se puede escribir:

)()()( tditLitdW = ∫=)(

)0()()()(

ti

itditLitW [ ])0()(

21)( 22 itiLtW −=

90Por supuesto, si el inductor está previamente desenergizado, la energía almacenada por el inductor será:

2)(21)( tLitW =

Inductores en serie y en paralelo Para efectos de análisis, dos inductores conectados en serie son equivalentes a un solo inductor cuya autoinductancia es la suma de las autoinductancias individuales. Lo anterior se pone de presente al analizar los circuitos de las figuras 3.11 y 3.12


Con base en la relación funcional entre las variables: corriente y voltaje para los inductores de la figura 3.11, se tiene:

)()( 11 tidtdLtv = )()( 22 ti

dtdLtv =

Sumando las expresiones anteriores, se obtiene:

( ) )()()( 2121 tiLLtvtv +=+ Con base en la relación funcional para el inductor de la figura 3.12 y por comparación directa, se tiene:

L L LE = +1 2 De manera similar, cuando los inductores se conectan en paralelo, la inductancia equivalente se calcula de la siguiente manera:

1 1 1

1 2L L LE

= +

Se deja como ejercicio al estudiante el de determinar las equivalencias cuando los inductores tienen corrientes iniciales: e . 1iI 2iILos resultados son los siguientes: a. Para inductores en serie:

91

22

11

iE

iE

e ILLI

LLI += L L LE = +1 2

b. Para inductores en paralelo:

2121

111LLL

IIIE

iie +=+=

3.4. DUALIDAD Existe una similitud en el comportamiento de los dos elementos: capacitor e inductor.

CAPACITOR INDUCTOR 1. Variable circuital voltaje corriente 2. Símbolo C L

3. Relación funcional. dt

tdvCti )()( = dt

tdiLtv )()( =

4. Energía almacenada )(21 2 tCv )(

21 2 tLi

3.5. INDUCTANCIA MUTUA La figura 3.13 ilustra un núcleo con dos devanados. La corriente produce un flujo que establece dos concatenamientos por flujo, a saber: uno en el primer devanado y otro en el segundo, tal como lo muestran las ecuaciones siguientes:

)(1 ti

111 iKN=φ 1111 φλ N= 1221 φλ kN=

La convención en las ecuaciones anteriores es la siguiente: a. El concatenamiento por flujo producido en el primer devanado es igual al número de vueltas del primer devanado multiplicado por el flujo. b. El concatenamiento por flujo producido en el segundo devanado es el producto entre el número de vueltas y una fracción del flujo producido en el primer devanado. k : es una cantidad que varía entre cero y uno dependiendo de la calidad del núcleo y se denomina factor de acople. En núcleos ferromagnéticos, el factor de acople es cercano a la unidad, mientras que en núcleos de aire dicho factor es cercano a cero.

92

Figura 3.13

Si nos ubicamos en el segundo devanado, aquí se produce un segundo flujo, el mismo que genera concatenamientos por flujo, uno en el segundo devanado y otro en el primero. Las siguientes ecuaciones corresponden a lo expresado previamente:

222 iKN=φ 2222 φλ N= 2112 φλ kN=

Como resultado de lo anterior y aplicando el principio de superposición, las concatenamientos por flujo en los dos devanados son los siguientes:

2111 MiiL +=λ

2212 iLMi +=λ

En las expresiones anteriores, se tiene: 1L : Autoinductancia del primer devanado

2L : Auto inductancia del primer devanado M : Inductancia mutua entre los devanados La inductancia mutua está relacionada con las autoinductancias, así:

( )211 NKL = ( )222 NKL = 21NkKNM = Con base en las expresiones anteriores, se encuentra la siguiente relación:

21LLkM = Tanto las autoinductancias como la inductancia mutua se miden en Henrios. Finalmente, se encuentran las relaciones entre las corrientes y los voltajes, así:

2111 idtdMi

dtdLv += 2212 i

dtdLi

dtdMv +=

93En la situación descrita previamente, los flujos producidos por ambos devanados van en la misma dirección, es decir, se refuerzan. En caso contrario, los flujos se contrarrestan y las ecuaciones correspondientes serán las siguientes:

2111 idtdMi

dtdLv −= 2212 i

dtdLi

dtdMv +−=

Las figuras: 3.14 y 3.15 muestran los dos modelos circuitales, así: Para las bobinas acopladas de la figura 3.14 los flujos se refuerzan. Por convención ambas corrientes entran por el punto. En cuanto a la otra figura, una corriente entra por un punto y la otra sale por el punto. En este caso los flujos se contrarrestan.


EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un capacitor de un microfaradio se encuentra en reposo en 0=t y en dicho instante se la aplica la forma de onda de voltaje:

voltiostutv )(10)( = Determine la corriente en todo instante. Solución Puesto que la corriente es igual a la capacitancia multiplicada por la derivada del voltaje, se tiene:

AtiAmperiostti μδ 10)()(1010)( 6 =⇒= −

2. Por un capacitor de diez milifaradios se hace circular la corriente:

( )( )mAtutttuti )1(110)(10)( −−−=

a. Determine el voltaje en todo instante y represente gráficamente. b. Encuentre la energía almacenada al cabo de dos segundos. Solución El voltaje en todo instante está dado por:

94

∫ −−−=tt

uudi00

()1()([101.0)( ττττττ∫= dC

tv )]11)( τ

Resolviendo las operaciones, se encuentra:

[ ])1()1()(21)( 22 −−−= tuttuttv

A continuación se muestra la gráfica del voltaje en todo instante.

)(tv

Figura 3.16 En cuanto a la energía almacenada al cabo de dos segundos, se tiene:

JuliostCvtW 2)(21)( = JuliosW 01125.05.101.0

21)2( 2 =⋅=

3. Un inductor se encuentra en reposo en 0=t y en ese instante se aplica la señal de voltaje:

[ ]Voltiostututsentv )1()()(2)( −−= π Si la autoinductancia del inductor es de 0.1 Henrio: a. Determine la corriente en todo instante y represente gráficamente. b. Determine la energía almacenada al cabo de tres segundos. Solución. La corriente en el inductor en todo instante está dada por:

[ ]∫∫ −−==tt

duusendvL

ti00

)1()()(210)(1)( τττπτττ

95La expresión por tramos para la corriente en el inductor en todo instante se obtiene aplicando los conceptos estudiados en el primer capítulo, más precisamente la integral es el área bajo la curva del integrando, con lo que se obtiene:

[ ]

140

10)cos(12000

)(

>

≤≤−

<

=

tsi

tsittsi

ti

π

ππ

La gráfica de la corriente se muestra en la figura 3.17.

)(ti

Figura 3.17

En cuanto a la energía almacenada, se tiene:

2)(21)( tLitW = W Julios( ) .3 0 081057=

4. Un capacitor de diez microfaradios tiene una carga inicial de cien microculombios. Si en el instante se le coloca un capacitor de cinco microfaradios en paralelo, determine: 0=t a) La corriente en el segundo capacitor en todo instante. b) La carga en cada capacitor después de 0=t Solución Las figuras: 3.18 y 3.19 ilustran las dos situaciones, así: antes de 0=t y después de 0=t . Puede verse que antes de , el voltaje en el primer capacitor está dado por: 0=t

VoltiosCqv 10)0( ==−

96

1C 1C

2C 2C

Figura 3.18 Figura 3.19 La situación del problema es tal que para el segundo capacitor se coloca un voltaje de tipo escalón, así . Consecuentemente, aparece un impulso de corriente, así: )(10)( tutv =

AtttvdtdCti μδδ )(50)(10105)()( 6

2 =⋅⋅== −

En cuanto a la carga en cada capacitor después de 0=t , puesto que la carga total antes y después de dicho instante debe ser de cien microculombios, tenemos:

111 vCq = 222 vCq = Ahora bien, puesto que los voltajes son iguales ya que están conectados en paralelo, tenemos:

2

2

1

1

Cq

Cq

= 2

2

1

1

21

21

Cq

Cq

CCqq

==++

De las ecuaciones anteriores se sigue que:

10015 10

1=q

10015 5

2=q

q1200

3= q2

1003

=

5. Para el circuito de la figura 3.20, se coloca una fuente: )(10)( tutvi = a la entrada. a. Determine: y si la salida está en circuito abierto. )(1 ti )(2 tvb. Determine: e si la salida está en cortocircuito. )(1 ti )(2 ti Solución a) Si la salida está en circuito abierto, la corriente: es igual a cero y por tanto, las ecuaciones del circuito son las siguientes.

)(2 ti

111 vidtdL = 21 vi

dtdM =

97A partir de las ecuaciones anteriores, se tiene que:

1

12 L

Mvv = )(10)(1

2 tuLMtv =

En cuanto a la corriente en el primer devanado, hacemos la correspondiente integral, así:

∫ ==t

ttuL

dttuL

ti0

111 )(10)(101)(

En la condición de cortocircuito, el voltaje de salida es cero, con lo que las ecuaciones del circuito son las siguientes. La figura 3.21 Ilustra la situación.

+ +


1211 vidtdMi

dtdL =+ 0122 =+ i

dtdMi

dtdL

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, resulta:

1221

21 v

MLLLi

dtd

−= 12

212 v

MLLMi

dtd

−−

=

Como consecuencia de lo anterior, las corrientes en los dos devanados son las siguientes:

)(10)( 221

21 ttu

MLLLti−

= )(10221

2 ttuMLL

Mi−

−=

−

+

1v 1v

− −

2v

−

=

+

02v

1i 1i 2i 2i

1L 1L 2L 2L

98EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un capacitor inicialmente desenergizado tiene una capacitancia de un microfaradio. a. Determine el voltaje en el capacitor en todo instante y grafique si se somete a las formas de onda de corriente siguientes:

( )Amperiostututi )1()(10)( 3 −−= − ( )Amperiostututttuti )1()1()1()(10)( 3 −−−−−= −

b. En cada caso, determine la energía almacenada por el capacitor al cabo de cinco segundos. 2. Un inductor de inductancia de cien milihenrios se encuentra inicialmente en reposo.

Determine la corriente en el inductor en todo instante y grafique si se somete a la forma de onda de corriente de la figura 3.22.

Figura 3.22

3. Para el circuito de la figura 3.23 determine la capacitancia equivalente entre a y b. 4. Para el circuito de la figura 3.24 encuentre la inductancia equivalente entre a y b.

1C

2C 3C 4C

Figura 3.23

99

a 1L

2L

Figura 3.24

5) Repita el problema de la figura 3.20 si la señal de entrada es un pulso rectangular de un voltio de altura y un ancho de 2 segundos. Tome: Henrios y

Henrios . LL 1.021 ==

M 05.0= 6) Encuentre la inductancia equivalente entre los terminales a y b para los circuitos de las

figuras 3.25 y 3.26

b

4L

a

b b

1L 1L 2L 2L

3L

a

Figura 3.25 Figura 3.26 7) El circuito de la figura 3.25 se excita entre los terminales a y b con la función escalón

unitario. Determine la corriente que entrega la fuente en todo instante y represente gráficamente, con los siguientes datos:

5.04211 === kHLHL

8) Repita el problema anterior para el circuito de la figura 3.26 9) Determine la energía almacenada en todo instante en el inductor L2 de la figura 3.25 y represente gráficamente si entre los terminales a y b se coloca la fuente:

)1()()( −−= tututvs

10) Repita el problema anterior para el inductor L1 de la figura 3.26.

100

CAPITULO 4

RESPUESTA EN EL TIEMPO 4.1. INTRODUCCIÓN En un circuito eléctrico, además de las fuentes y de los resistores, hay elementos dinámicos, es decir, capacitores e inductores. Cuando el circuito tiene tales elementos se dice que es dinámico y las variables circuitales a determinar son: el voltaje en el capacitor en todo instante y la corriente en el inductor en todo instante. Desde el punto de vista sistémico, analizar un circuito consiste en determinar los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores para , conocidos dichos valores en el instante en que se aplica la excitación

0>t0=t .

Figura 4.1 Para analizar el circuito es necesario conocer cabalmente las leyes de Kirchhoff y los principios eléctricos que relacionan a la corriente y el voltaje en los tres elementos. Precisamente, al plantear las leyes y principios en un circuito que tenga n elementos dinámicos, resulta un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes. A partir del sistema de n ecuaciones de primer orden resulta una ecuación diferencial de orden n con coeficientes constantes que se resuelve usando las diferentes técnicas estudiadas en el curso de ecuaciones diferenciales. Puesto que la excitación al circuito se aplica, normalmente, en el instante 0=t , es necesario conocer los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores en el instante . −= 0t 4.2. CIRCUITOS RC Solución ante cualquier excitación En su forma más simple, un circuito RC es el que se muestra en la figura 4.2. La excitación es la fuente de voltaje y la variable a medir es el voltaje en el capacitor en todo instante . Supongamos que en el instante el capacitor tiene un voltaje inicial , al cerrar el interruptor, se establece una corriente en el circuito y aparece un voltaje en el capacitor. Planteando la ley de Kirchhoff para voltajes en el circuito de la figura 4.3, se obtiene:

)(tvs

)(tv −= 0t

iV(v )t

)()()( tvtvtRi s=+

Circuito RLC

−

+)(tvo

−

+)(tvi

101

RR

−

+ )(tvs

)(tvs

Figura 4.2 Figura 4.3 Sin embargo, puesto que la corriente que circula por el resistor es la misma que en el capacitor, se aplica la correspondiente relación funcional, a saber:

)()( tvdtdCti =

Sustituyendo la corriente en la primera ecuación se obtiene:

)()()( tvtvtvdtdRC s=+

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, la cual se puede escribir en la forma:

ττ)(

)(1)(tv

tvtvdtd s=+ RC =τ

Dónde τ e s la constante de tiempo del sistema y se expresa en segundos. Con base en lo estudiado en ecuaciones diferenciales, la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente:

⎮⌡⌠+=

−−dttveeKetv s

ttt

ττττ )()(

)()( tEuts =

La primera parte de la derecha de la ecuación anterior es la solución complementaria y la otra es la solución particular o respuesta de estado estacionario, la cual depende de la excitación. Excitación escalón Supongamos que la fuente es un escalón de magnitud: E, es decir v . En tal caso, después de hacer la integral, se obtiene que el voltaje en el capacitor en todo instante viene dado por:

ECetvt

+=−τ)( t > 0

CC )(tv

102

Al aplicar la condición inicial se obtiene:

)()()( tueEVEtvt

i⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

−τ

Analizando la expresión anterior se observa que cuando el tiempo se hace muy grande, aproximadamente cinco veces la constante de tiempo, el voltaje en el capacitor tiende al voltaje de la fuente, es decir, el voltaje final en el capacitor es: . Lo anterior significa que después de mucho tiempo el capacitor se comporta como un circuito abierto. A menudo, se acostumbra escribir el voltaje en el capacitor en todo instante, así:

EVf =

)()()( tueVVVtvt

fif⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

−τ

Gráficamente pueden presentarse dos situaciones, a saber: a) El voltaje inicial es menor que el voltaje final. Figura 4.4 b) El voltaje inicial es mayor que el voltaje final. Figura 4.5

Figura 4.4 Figura 4.5 Cuando el capacitor está inicialmente descargado, el voltaje inicial es cero y en consecuencia, la respuesta el escalón: )()( tEutvs = viene dada por:

)(1)( tueEtvt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τ

Respuesta natural del circuito RC Tal como se estudió en el primer capítulo, la respuesta natural del sistema es la que se obtiene cuando la excitación es la función impulso unitario. A partir de la respuesta al escalón unitario se encuentra que la respuesta natural del circuito RC está dada por:

)(1)( tuetvt

nτ

τ

−

=

iV

iVfV

fV

τ τ 3τ τ2 τ 4 τ5 τ 3τ 2 τ 4 τ 5

103

∫ ∫ −=−=∗=t t

snsnsn dxxvxtvdxxtvxvtvtvtv0 0

)()()()()()()(

A partir de la respuesta natural se puede encontrar la respuesta ante cualquier excitación: usando la integral de convolución, así: )(tvs

Ejemplo 4.1 a) Determine la respuesta natural del circuito de la figura 4.2 sabiendo que la constante

de tiempo es igual a la unidad. Represente gráficamente. b) Determine la respuesta si la excitación es un pulso rectangular de dos voltios de

altura y dos segundos de ancho y represente gráficamente. c) Determine la respuesta a la excitación ))sen()( utttvs = y represente gráficamente. Solución a) La respuesta al impulso unitario, en todos los casos, es la siguiente:

)(1)( tuetvt

nτ

τ

−

=

Si la constante de tiempo es la unidad, se tiene:

)()( tuetv tn

−= La figura 4.6 muestra la respuesta natural del circuito. b) La respuesta al escalón unitario es la integral de la respuesta al impulso, esto es, si denotamos por a la respuesta al escalón, se tiene: )(tve

( ) )(1)( tuetv t

e−−=

Ahora bien, la excitación en este caso se puede expresar en la forma:

[ ])2()(2)( −−= tututvs Aplicando las propiedades de los sistemas lineales invariantes, se obtiene que la respuesta al pulso rectangular viene dada por:

( ) ([ ]) ( )( ) )2(1)(12)2()(2)( 2 −−−−=−−= −−− tuetuetvtvtv ttee

La figura 4.7 ilustra la gráfica correspondiente. c. Para determinar la respuesta a la señal senoidal usamos la integral de convolución, así:

)()()(0

)( tudxxsenetvt xt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ∫ −−

104

Resolviendo la integral, se obtiene:

( ) )()cos()(21)( tuttsenetv t −+= −

Figura 4.6 Figura 4.7 La figura 4.8 muestra la representación gráfica de la respuesta a la señal seno.

Figura 4.8

4.3. CIRCUITOS RL Respuesta ante cualquier excitación En su forma más simple, un circuito RL consiste de una fuente de voltaje (excitación), un resistor y un inductor conectados en serie tal como lo ilustra la figura 4.9. La variable a medir es la corriente en el inductor en todo instante . )(tiSupongamos que en el instante en que se conecta la fuente el inductor tiene una corriente inicial , al conectar la fuente resulta el circuito de la figura 4.10 y se establece una corriente en el circuito, la cual es justamente la corriente en el inductor. En cualquier instante: se verifica la ley de Kirchhoff para voltajes, así:

iIi =− )0(

0>t

)()()( tvtidtdLtRi s=+

La ecuación diferencial obtenida se puede escribir en la forma:

105

Ltvti

LRti

dtd s )()()( =+ τ =

LR

ττ Rtv

titidtd s )(

)(1)( =+

R R

)(tvs )(tvs )(ti L L

Figura 4.9 Figura 4.10 De manera similar al caso del capacitor, la solución de la ecuación diferencial obtenida es la siguiente:

⎮⌡⌠+=

−−dt

RtveeKeti s

ttt

ττττ )()(

En la expresión anterior, K es una constante arbitraria y τ es la constante de tiempo del circuito. Respuesta al escalón Supongamos que la excitación es de la forma )()( tEutvs = . Al efectuar la integral, se obtiene la solución general, así:

REKedt

REeeKeti

tttt

+=⎮⌡⌠+=

−−−ττττ

τ)(

Evaluando la constante, se encuentra que la corriente en el inductor en todo instante está dada por:

( ) )()( tueIIIeREI

REti

t

fif

t

i⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

−−ττ I E

Rf =

Puede notarse la analogía en el comportamiento de la corriente en el inductor con el voltaje en el capacitor. Observe que, después de mucho tiempo (cinco constantes de tiempo), la corriente en el inductor alcanza su valor final. Lo anterior significa que cuando la excitación es un escalón de magnitud: E, el inductor se comporta como un cortocircuito después de cinco constantes de tiempo. Gráficamente, las situaciones planteadas para el circuito RC en lo referente al voltaje en el capacitor son similares a lo que se presenta para la corriente en un inductor. Respuesta natural Siguiendo los mismos delineamientos presentados para el voltaje en el capacitor, la respuesta natural de un circuito RL es la que se obtiene cuando la excitación es el

106

impulso unitario y el inductor está inicialmente sin energía. Puede verificarse que la respuesta natural para la corriente en un inductor está dada por:

)(1)( tuetit

nτ

τ

−

=

De igual forma, la respuesta ante cualquier excitación: se encuentra mediante la convolución entre la excitación y la respuesta natural, así:

)(tvs

∫∫ −=−=∗=t

ns

t

nssn dxxixtvdxxtixvtvtiti00

)()()()()()()(

Ejemplo 4.2 Un circuito serie RL, con una constante de tiempo igual a un segundo y un resistor de un ohmio, se somete a una fuente de voltaje . Determine la corriente en el inductor en todo instante y represente gráficamente si la excitación está dada por:

)(tvs

a) ( ))5()(10)( −−= tututvs b) ) ()cos(10)( tutetv t

s−=

Solución a) Si denotamos por: )(tie a la respuesta al escalón unitario y con base en las

propiedades de los sistemas lineales invariantes, la respuesta del sistema es:

( ))5()(10)( −−= tititi ee ( ) )(1)( tueti te

−−=

La respuesta al pulso rectangular, cuya gráfica se muestra en la figura 4.11, viene dada por:

[ ])5()1()()1(10)( )5( −−−−= −−− tuetueti tt

)()( tueti tn

−=

)()(10)( tutseneti t−=

b) En este caso es necesario aplicar la integral de convolución entre la excitación y la

respuesta natural. El estudiante puede verificar que la respuesta natural en esta caso está dada por:

En consecuencia, la respuesta del circuito en este caso es:

( ) )()cos(10)cos(10)(00

tudxxeeedxxeetit xxtt xxt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== ∫∫ −−−−−

La respuesta del sistema, cuya gráfica se ilustra en la figura 4.12, se puede escribir como:

107


4.4. CIRCUITOS RLC Introducción Como su nombre lo indica, un circuito RLC es el que tiene los tres tipos de elementos y analizarlo consiste en determinar los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores. Para llevar a cabo el análisis es necesario conocer las condiciones iniciales, es decir, los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores en el instante previo a la conexión de la fuente de alimentación. Con el objetivo de facilitar la comprensión del tema, empezaremos estudiando la topología de la figura 4.13.

−

Figura 4.13 Figura 4.14 Circuito RLC serie Supongamos que en el instante de conectar la fuente el capacitor tiene un voltaje inicial:

y el inductor tiene una corriente inicial . Si la fuente de voltaje no es de tipo impulsiva, las condiciones iniciales son válidas en . Al aplicar la ley de Kirchhoff para y teniendo en cuenta las relaciones funcionales en los elementos en el circuito de la figura 4.14., se encuentra el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

iV iI+= 0t

0>t

)()()()( tvtvtidtdLtRi s=++ )()( tv

dtdCti =

t

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, obtenemos una ecuación diferencial, de segundo orden, cuya variable es el voltaje, así:

L) )(tvs (vs

R R

L

C C

+ )(tv −+ )(tv

(ti )(ti

)

108

)()()()(2

2

tvtvtvdtdRCtv

dtdLC s=++

Hacemos las siguientes definiciones que son comunes a todos los circuitos de segundo orden: Frecuencia natural del sistema: LCn /12 =ωAmortiguamiento del sistema: LR 2/=α Con las anteriores definiciones, podemos escribir la ecuación diferencial del sistema de la siguiente manera:

( ) )()(2 222 tvtvDD snn ωωα =++ La ecuación obtenida es la conocida ecuación de oscilaciones. Tanto el amortiguamiento como la frecuencia natural de oscilación se miden en radianes/segundos. Para resolver la ecuación diferencial es necesario conocer las condiciones iniciales, esto es, conocer el voltaje en el capacitor en += 0t y la derivada de dicho voltaje en el mismo instante. Con base en el enunciado, conocemos que . Para hallar la otra condición inicial, analizamos el circuito en

ivv =+ )0(+= 0t , así: Puesto que la corriente y el voltaje están

relacionados, en todo instante, por la ecuación )(t)( CDvti = , en el instante , se encuentra que:

+= 0t

CI

CiDv i==

++ )0()0(

Con lo anterior se conforma el problema de valor inicial siguiente:

( ) )()(2 222 tvtvDD snn ωωα =++ iVv =)0( DvIC

i( )0 =

Una definición importante, antes de resolver el problema de valor inicial, es la del coeficiente de amortiguamiento, el cual se define como: nz ωα /= Como puede verse, el coeficiente de amortiguamiento es el cociente entre el amortiguamiento del sistema y la frecuencia natural de oscilación. Según se estudiará mas adelante, el coeficiente de amortiguamiento es el responsable de la repuesta natural del sistema. Con base en la definición del coeficiente de amortiguamiento, la ecuación diferencial se puede escribir en la forma siguiente:

( ) )()(2 222 tvtvDzD snnn ωωω =++

Para resolver el problema de valor inicial planteado debemos, en primer lugar, determinar la solución complementaria a partir de la ecuación característica, así:

( ) 02 22 =++ nnmzm ωω

Las raíces de la ecuación característica son:

109

121 −−−= zzm nn ωω 12

2 −+−= zzm nn ωω De acuerdo con los posibles valores de z, se presentan tres posibilidades, así: 1) Para las raíces son reales y diferentes. En este caso se dice que el sistema es de tipo sobreamortiguado y la solución complementaria es la siguiente:

1>z

tzztzz

cnn eKeKtv

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

+=1

2

1

1

22

)(ωω

2) Para las raíces son iguales. En este caso se dice que el sistema es críticamente amortiguado y la solución complementaria es la siguiente:

1=z

tztz

cnn teKeKtv ωω −− += 21)(

3) Para las raíces son complejas conjugadas. En este caso el sistema es subamortiguado y la solución complementaria es la siguiente:

1<z

( )tsenKtKetv dd

tzc

n ωωω ()cos()( 21 += ⋅⋅− 21 znd −= ωω

dω es la seudo frecuencia de oscilación del circuito. La solución complementaria se puede escribir de la siguiente manera:

)cos()( θωω −= − tAetv dtz

cn A K K= +1

22

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

2tanKK

aθ

Respuesta al escalón y repuesta natural Suponiendo que la excitación es un escalón de magnitud: E, la ecuación diferencial del circuito se puede escribir en la forma:

( ) EtvDzD nnn222 )(2 ωωω =++

El estudiante debe saber que la solución particular en este caso es , con lo que la solución general es la suma de la complementaria y la particular, así:

Etvp =)(

Para movimiento sobre amortiguado

tzz ⎟⎠⎞−− 12tzz nn eKeKEtv

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

++= 2

1

1

2

)(ωω

Las constantes de la solución general se determinan a partir de las condiciones iniciales, así:

tmtm eKeKEtv 2121)( ++= ( )12

1 −−−= zzm nω )( 121 −+−= zzm nω

110

tmtm eKmeKmtDv 212211)( +=

Evaluando en , se obtiene: 0=t

EVKK i −=+ 21 CIKmKm i=+ 2211

( )

21

12

1 mmCImEvm

Ki

i

−

+−−=

( )

21

1

2 mmCIEvm

Ki

i

−

−−=

Cuando el sistema está inicialmente en reposo, esto es, las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, se tiene:

21

21 mm

EmK−

= 21

12 mm

EmK−

−=

En consecuencia, el voltaje en el capacitor en todo instante viene dado por:

)()( 21

21

1

21

2 tuemmEm

emmEm

Etv tmtm⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−+=

)(1)( 21

21

1

21

2 tuemm

me

mmm

Etv tmtm⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

+=

En cuanto a la corriente en el inductor, se encuentra que:

)()( tvdtdCti = ( ) )()( 21

21

21 tueemm

mmCEti tmtm −−

=

Con base en lo desarrollado hasta el momento podemos concluir que cuando un circuito RLC serie, inicialmente en reposo, se somete a una excitación escalón unitario y el sistema es de tipo sobreamortiguado (z>1), las variables circuitales están dadas por: a) Voltaje en el capacitor en todo instante:

)(1)( 21

21

1

21

2 tuemm

memm

mtv tmtm⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

+=

b) Corriente en el inductor en todo instante:

( ) )()( 21

21

21 tueemm

mmCti tmtm −−

=

Es importante recordar que las raíces de la ecuación característica están dadas por:

111

( )121 −+−= zzm nω ( )12

2 −−−= zzm nω z >1 Finalmente, puesto que la respuesta natural es la derivada de la respuesta al escalón, encontramos: a) Respuesta natural del capacitor:

( ) )()( 12

21

21 tueemm

mmtv tmtmn −

−=

b) Respuesta natural del inductor:

( ) )()( 2121

21

21 tuememmm

mmCti tmtmn −

−=

Ejemplo 4.3 Un circuito RLC serie presenta los siguientes datos FCHLR 5.013 ==Ω= . Determine las respuestas del capacitor y del inductor ante las excitaciones: escalón unitario e impulso unitario y represente gráficamente. Suponga que el sistema está inicialmente en reposo. Solución Con base en lo estudiado, la ecuación diferencial del sistema es:

( ) )(2232 tvDD s=++ α =32

ω n = 2

Las raíces de la ecuación característica son: m1 2= − m2 1= − La solución general para el voltaje en el capacitor, ante la excitación escalón unitario es:

1)( 22

1 ++= −− tt eKeKtv

La derivada del voltaje en todo instante es: tt eKeKtDv −− −−= 22

12)( Evaluando en , se obtienen las ecuaciones: 0=t K K1 2 1+ = − 02 21 =−− KK A continuación se muestran los valores de las constantes y las respuestas al escalón del capacitor y del inductor.

K1 1= K2 2= − ( ) )(21)( 2 tueetv tte

−− −+= ( ) )()( 2 tueeti tte

−− −= En cuanto a la respuesta natural, se tiene:

( ) )(2)( 2 tueetv ttn

−− −= ( ) )(2)( 2 tueeti ttn

−− −=

112

uras 4.15, 4.Las fig 16, uestran las gráficas correspondientes: 4.17 y 4.18 m



Para movimiento crítica tiguad

a derivada del voltaje itor en todo instante viene dada por:

mente amor

en el capac

o

tztz nn teKeKEtv ωω −− ++= 21)(

L

( )221)( KzKKzetDv nntz n ωωω −+−= −

ara condiciones inicia ero se encuentran las siguientes ecuaciones:

P les iguales a c

K E1 0+ =

021 =+− KKz nω

on base en lo anterior, encontramos la respuesta del capacitor ante la excitación: C)(tEu así:

( ) )(1)( tutezeEtv tzn

tz nn ωω ω −− −−=

a respuesta del capacitor al escalón unitario es, en consecuencia, la siguiente: L

( ) )(1)( tutezetv tzn

tze

nn ωω ω −− −−=

113

e manera similar al caso sobreamortiguado, laD respuesta del inductor ante la excitación escalón unitario, es:

)()(ti tvdtdC ee =

n cuanto a las respuestas al impulso unitario, se obtienen lo tes resultados:

jemplo 4.4

n circuito RLC serie presenta los ientes

)()( 22 tuteCzti tzne

nωω −=

E s siguien

datos

)()( 22 tuteztv tz

nnnωω −= )()1()( 22 tutzteCzti n

tznn

n ωω ω −= −

E

FCHLR 112 ==Ω=U sigu . iones: escaló

olución n lo estudiado, la ecuación

Determine las respuestas del capacitor y del inductor ante n unitario e impulso unitario y represente gráficamente. Suponga que el sistema está inicialmente en reposo.

las exci

tema es:

tac

SCon base e diferencial del sis

( ) )()(122 tvtvDD s=++

Como puede verse, las raíces de la ecuación característica son iguales, así:

m m1 2 1= = −

i la excitación es el escalón

erivando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales, se encuentra el voltaje en el

)(tEuS , la solución general es la siguiente:

tt teKeKEtv −− ++= 21)(

Dcapacitor en todo instante, así:

( ) )(1)( tuteeEtv tt −− −−=

inalmente, se obtienen las respuestas ta o como al impulso F nto al escalón unitariunitario, así:

( ) )(1)( tuteetv tte

−− −−= ( ) )()( tuteti te

−=

( ) )()( tutetv tn

−= ( ) )(1)( tuteti tn −= −

Las figuras: 4.19, 4.20, 4.21 y 4.22, muestran las gráficas correspondientes.

114



Para movimiento subamortiguado

( )tsenKtKeEtv ddtz n ωωω ()cos()( 21 ++= ⋅−

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tKzKtsenKzKetDv dnddnd

tz n ωωωωωωω cos)( 1221 −+−−= −

Evaluando en el instante y suponiendo que las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, se obtiene:

0=t

K E1 0+ = 012 =− KzK nd ωω

A partir de las ecuaciones anteriores resulta la respuesta del capacitor ante la excitación , así: )(tEu

( ) ( ) )(cos1)( tutsenzteEtv dd

nd

tz n ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= − ωωω

ωω

Puede concluirse que la respuesta del capacitor al escalón unitario está dada por:

115

( ) ( ) )(cos1)( tutsenztetv dd

nd

tze

n ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ⋅− ωωω

ωω

En cuanto a la corriente en el inductor, se tiene:

)()( tvdtdCti ee = ( ) )()(

22

tutsenzCeti dd

nd

tze

n ωωω

ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ⋅−

El estudiante puede verificar que la expresión anterior es equivalente a la siguiente.

( ) )()(2

tutsenCeti dd

ntze

n ωωωω−=

De manera similar a los casos tratados previamente, las respuestas de los elementos ante la excitación impulso unitario, son:

( ) )()(2

tutsenetv dd

ntzn

n ωωωω−=

( ) ( )( ) )(cos)(2

tutsenztCeti dnddd

ntzn

n ωωωωωωω −= −

Ejemplo 4.5 Para el circuito RLC serie, tomar los siguientes datos HLFCR 15.02 ==Ω= . Escriba las respuestas de los elementos al escalón unitario y al impulso unitario y represente gráficamente. Solución Con los datos del problema se tiene que la ecuación diferencial para el voltaje es:

( ) )(2)(222 tvtvDD s=++ Con lo anterior, se deduce que el movimiento es subamortiguado, con los siguientes parámetros.

ω n = 2 α = 1 z = 22

ω d = 1

Sustituyendo los datos en las expresiones obtenidas, se obtienen los siguientes resultados:

( )[ ] )()()cos(1)( tutsentetv te +−= − )()()( tutseneti t

e−=

)()(2)( tutsenetv t

n−= ( ) )()()cos()( tutsenteti t

n −= −

116



El análisis presentado para el circuito RLC serie puede ser aplicado para cualquier topología, lo importante es tener bien claro que la respuesta de un circuito ante cualquier excitación se puede determinar resolviendo la ecuación diferencial resultante y aplicando las condiciones iniciales del problema, las cuales se obtienen en el instante

. También, a partir de la respuesta ante el escalón unitario se obtiene la respuesta natural y con base en ella se encuentra la respuesta ante cualquier excitación usando la integral de convolución.

+= 0t

Para movimiento oscilatorio puro. Circuito LC Cuando el circuito no tiene parte resistiva, es decir, cuando el amortiguamiento es cero, el circuito es un oscilador. En este caso, el voltaje en el capacitor en todo instante viene dado por:

)()cos()( 21 tsenKtKEtv nn ωω ++=

nnnn ttsenKtDv K ωωωω )()()( 1 cos2 ⋅−=

0=

+ Evaluando en el instante: t y suponiendo que las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, se obtiene:

E K+ =1 0 K2 0=

117

A partir de las ecuaciones anteriores resulta la respuesta del capacitor ante la excitación , así: )(tEu

( ) )()cos(1)( tutEtv nω−= Puede concluirse que la respuesta del capacitor al escalón unitario está dada por:

( ) )()cos(1)( tuttv ne ω−= En cuanto a la corriente en el inductor, se tiene:

)()( tvdtdCti ee = )()()( tutsenCti nne ωω=

De manera similar a los casos tratados previamente, las respuestas de los elementos ante la excitación impulso unitario, son:

)()()( tutsentv nnn ωω= )()cos(1)( tutL

ti nn ω=

Ejemplo 4.6 Para el circuito LC serie, tomar los siguientes datos HLFC 125.0 == . Escriba las respuestas de los elementos al escalón unitario y al impulso unitario y represente gráficamente. Solución Con los datos del problema se tiene que la ecuación diferencial para el voltaje es:

( ) )(4)(42 tvtvD s=+ Con lo anterior, se deduce que el movimiento es oscilatorio puro, con: 2=nω ωn . Sustituyendo los datos en las expresiones obtenidas, se obtienen los siguientes resultados:

( )()2cos(1)( tuttve − )= )()2(5.0)( tutsentie =

)()2(2)( tutsentvn = )()2cos()( tuttin = Las figuras: 4.27, 4.28, 4.29 y 4.30, ilustran las correspondientes gráficas. Circuito RLC paralelo Las figuras 4.31 y 4.32 ilustran la topología paralelo, antes y después de aplicar la excitación . Al plantear las leyes de Kirchhoff para , se obtienen las siguientes ecuaciones.

)(tvs 0>t

118



)()()()( tCDvtiR

tvtvs +=− )()( tLDitv =

R R

)(tvs

Figura 4.31 Figura 4.32 En forma matricial, se tiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+0

)()()(

11 tv

tvti

LDRCDR s

La ecuación diferencial para la corriente en el inductor viene dada por:

RLCtvti

LCD

RCD s )()(112 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

L)(tvs C C −

+)(tv

)(ti )(ti

−

+)(tv

119

De manera similar al circuito RLC serie, se definen las siguientes cantidades:

Frecuencia natural: LCn /1=ω Amortiguamiento: RC2/1=α

Coeficiente de amortiguamiento: nz ωα /= En consecuencia, se obtiene el mismo problema de valor inicial que se obtuvo para el circuito serie, aunque en esta caso la variable a determinar es la corriente en el inductor. Si las condiciones iniciales en los elementos son iguales a cero, el problema de valor inicial asociado al circuito RLC paralelo es el siguiente:

( )R

tvtiDzD snnn

)()(2 222 ωωω =++ i Di( ) ( )0 0 0 0= =

Al resolver el problema con la excitación escalón se pueden presentar las diferentes posibilidades previamente estudiadas para el circuito serie, esto es, los movimientos: sobreamortiguado, subamortiguado y críticamente amortiguado. Circuitos con bobinas acopladas Consideremos los circuitos ilustrados en las figuras 4.33 y 4.34. De acuerdo con lo estudiado en el capítulo 3, la inductancia mutua está dada por:

1021 <≤= kLLkM Según se estudiará en un curso posterior, el circuito mostrado corresponde al equivalente eléctrico del transformador. El objetivo es el de determinar las corrientes en ambos inductores, conocidos como primario y secundario. De igual manera es posible determinar los voltajes en los inductores. En principio se determinará la respuesta al escalón unitario, luego la respuesta al impulso unitario y, finalmente, la respuesta ante cualquier excitación. Con base en lo estudiado en el capítulo tres, para t , las ecuaciones del circuito son las siguientes:

0>

svMDiDiLiR =−+ 21111 012222 =−+ MDiDiLiR

)(tvs

1R 1R )(1 ti

−

+)(tv

)(2 ti

2R 2R 2L 2L 1L 1L

M M

)(tvs


120

⎥⎦

⎢⎣

=⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣ +− 0222 iRDLMD

El sistema en forma matricial es el siguiente:

⎤⎡⎤⎡⎤⎡ −+ 111 sviMDRDL

La ecuación diferencial para la corriente en el secundario es la siguiente:

([ ]) ( ) sMDviRRDLRLRDMLL =+++− 221211222

21 Respuesta al escalón unitario Si la excitación es el escalón unitario, resulta una ecuación diferencial homogénea, así

( ) 02 222 =++ iDD nωα

En la ecuación diferencial anterior se tiene que:

( ) 221

2122

21

2112

2 MLLRR

MLLLRLR

n −=

−+

= ωα

Teniendo en cuenta que: 21LLkM = y que 0 1≤ <k , se tiene:

( ) ( )221

2122

21

2112

112 kLLRR

kLLLRLR

n −=

−+

= ωα

El estudiante puede verificar que las condiciones iniciales para determinar la corriente en el secundario son las siguientes:

221

22 )0(0)0(MLL

MDii−

==

El estudiante puede verificar que el coeficiente de amortiguamiento viene dado por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

12

21

21

12212

1LRLR

LRLR

kz

Si se analiza la expresión anterior se encuentra que el mínimo valor del coeficiente de amortiguamiento es la unidad, lo cual corresponde al caso en que k . En efecto, en tal caso, la suma de un número real positivo con su inverso multiplicativo es siempre mayor o igual que dos.

0=

Para todo numero real positivo: x, se cumple que: xx

+ ≥1 2

Con base en el análisis presentado, el movimiento deberá ser del tipo críticamente amortiguado o sobreamortiguado para la topología mostrada.

121

8.05141 2121

Después de determinar la corriente en el secundario se puede hallar la corriente en el primario y el voltaje en el secundario. Respuesta natural Tal como se hizo con los circuitos RLC serie y paralelo, la respuesta natural se determina a partir de la respuesta al escalón y a partir de ella se puede hallar la respuesta ante cualquier excitación. Un caso de particular interés es el que se presenta cuando la excitación es una función senoidal. Se verá que la relación entre las corrientes dependerá de la relación entre las inductancias. Ejemplo 4.7 Determine las corrientes y los voltajes en los inductores de la figura 4.35. y represente gráficamente si la excitación es el escalón unitario. Tome los siguientes datos:

= Ω ==Ω=== kRRHLHL Solución El problema de valor inicial para la corriente en el secundario es el siguiente:

( ) 111.1)0(0)0(0471.325.6 2222 ===++ DiiiDD

La solución general y su primera derivada se ilustran a continuación

tt eKeKi 634.52

616.012

−− +=

tt eKeKDi 634.52

616.012 634.5616.0 −− −−=

Evaluando las constantes, resulta:

( ) )(221.0)( 634.5616.02 tueeti tt −− −=

A continuación se determina la corriente en el primario, así

( ) )(4304.05696.01 634.5616.01 tueei tt −− −−=

En las figuras: 4.35 y 4.36 se muestran las gráficas de las corrientes ante la excitación escalón. En cuanto a los voltajes en los inductores, se tiene:

( ) ( ))(4304.15696.0 634.5616.01 tueev tt −− += )(107.1)( 634.5616.0

2 tueetv tt −− −=

Las figuras: 4.37 y 4.38 muestran las gráficas de los voltajes en los inductores

122

Corriente en el primario Corriente en el secundario


Voltaje en el primario Voltaje en el secundario


JERCICIOS RESUELTOS

del circuito de la figura 4.39 ante la señal: y presente gráficamente

E 1. Halle la respuesta: )(tvo )(tEure

Figura 4.39

a ecuación que rige el circuito, válida para es la siguiente:

Solución 0>tL

EtvdtdvRC o

o =+ )(

123

lución a esta ecuación es: La so

)()()( tueVVVtv RCt

fifo ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

−

El voltaje final está dado por: Etvt

V of =∞→

= )(lim

Suponiendo que 0)0( =−ov , tenemos: 0)0( == oi vV Realizando los cambios correspondientes a la solución:

)()1()( tueEtvt

oτ−

−= RC=τ Ahora graficamos el voltaje de salida; observe que se trata de una exponencial creciente. Para estudiar mejor la exponencial, hagamos una tabla de en función de t (medido en constantes de tiempo)

)(tvo

t )(tvo

τ 0.632V 2τ 0.864V 3τ 0.950V 4τ 0.981V 5τ 0.993V

Observe que la exponencial logra su valor final V, entre 4τ y 5τ. Teóricamente, la exponencial τ

te− se hace cero cuando el tiempo tiende a infinito pero

mente cero. La figura 4.40 muestra la salida del circuito paraen la práctica se asume que e-4 ó e-5 es aproximada

: 11 == RCE

Figura 4.40

El es ismo circuito ante la función rampa:

tudiante puede determinar la respuesta del m)(ttu y ante la función impulso )(tδ .

Resuelva el mismo problema pero tomando la salida por la resistencia; compare sultados. re

124

. Halle la respuesta den la figura 4.42

2 l ci, con los

rcuito RC de la figura 4.41, siguientes datos:

ante el pulso rectangular uFCKR 110 =Ω=mostrado e


Solución Observe que:

uego la excitación es constante en dos intervalos diferentes y el voltaje en el condensador puede encontrarse empleando la expresión previamente encontrada:

⎩⎨ >

=1.00

)(tsi

tvi

⎧ << 1.0010 tsi

L

RCfif eVVVtv

−−+= )()(

t

Después de determinar el voltaje en el condensador se determina el voltaje da salida así:

)()() tvtvt i(vo −= Para el primer intervalo:

:acitor alcanza el voltaje final, es decir,

ue para el segundo tramo, los datos son

1.00 << t

0.100 === RCVV fi 10101010 264 == −−

El voltaje en el capacitor en todo instante es ]100t− Puede verse que al cabo de 0.1 segundos el cap

1[10)( etv −=

q 0101 == fVV . En consecuencia, el voltaje en el condensador para el segundo intervalo es:

Consecuentemente, el voltaje de salida en todo instante es:

⎩⎨⎧

>−<<

=−

−

1.0101.0010

)( )1.0100

100

0 tsietsie

tvt

)1.0(10010)( −−= tetv

−(t

10

mst,

Vtvi ),( −+ )(tv

−

+)(tvo

100

−

+)(tvi R

C

125

Las figuras: 4.43 y 4.44 ilustra los voltajes en el capacitor y en el res

istor.

ura 4.44

Figura 4.43 Fig

esuelva el mismo problema variando la anchura del pulso: msto 30=R y manteniendo

esuelva el mismo problema cuando la entrada es la onda cuadrada de la figura 4.45

figura 4.46 se excita en el instante: t = 0 un voltaje

. El valor máximo de la corriente. po en el cual la corriente alcanza su valor máximo.

e descargados. uesto que se trata de un circuito RLC serie, el problema de valor inicial para el voltaje

en el capacitor en todo instante es:

fija la constante de tiempo del circuito. R

10

100 50 mst,

Vtvi ),(

-10 Figura 4.45 3. El circuito serie RLC de laconstante de 200 voltios. Determine: a. La corriente en el circuito. bc. El tiem Solución. Se supondrá que el sistema está inicialmente en reposo, es decir, que tanto la bobina como el capacitor están inicialmentP

( ) 0)0(,0)0()()(1 ===+ DvvtvtvCD s 2 + RLCD

on los datos dados, resulta:

C

126

( ) 0)0(,0)0(10200)(102000 ==⋅=++ 552 DvvtvDD

)(ti V

Ω200 H1.0

uF100 200

Figura 4.46 La ecuación característica tiene raíces reales y distintas, es decir, el sistema es sobreamortiguado. El estudiante puede verificar que la solución general para el voltaje n el condensador es, aproximadamente, la siguiente:

valuando las condiciones iniciales, se tiene:

n cuanto a la corriente en el inductor, el resultado es:

e

tt eCCtv 512

1949200)( −− ++= e1

E

tt eetv 511949 37.20537.5200)( −− −+= E

)(047.1)()( 194951 tt eetvdt

dCti −− −==

Se deja al estudiante la representación gráfica de ambas variables. 4. Considere el circuito de la figura 4.47. En el instante: 0=t el interruptor S pasa a la posición 1 donde permanece 300ms, al cabo de éstos pasa posición 2 donde se mantiene 250ms, finalizados estos, pasa a la posición 3 donde permanece indefinidamente. Determine el voltaje de salida y represente gráficamente, suponiendo

ensador está inicialmente descargado.

ntervalo de tiempo

que el cond Solución.

3.00 << tLa figura 4.48 muestra el circuito en el i . a constante de tiempo viene dada por:

110100

L

1 =⋅Ω FK=τ μ

l voltaje en el capacitor es, en consecuencia:

)()(10)( tuetv tc

−−=

E

1

127

V5

ΩK100

ΩK30

ΩK6

ΩK8 uF10

0=t

−

+)(tvC

V10

Figura 4.47

ΩK100

uF10 +

)(tvC V10 −

Figura 4.48

Para el segundo intervalo debe conocerse el voltaje en el capacitor al cabo de 300ms. Evaluando, se obtiene:

Voltiosv 6.2)3.0( = La figura 4.49 muestra el circuito en la segunda posición, es decir, en el intervalo de tiempo: 55.03.0 << tLos datos son: 05.0,66.1,6.2 2 === τVVV fi El voltaje en este intervalo es:

55.03.094.066.1)66.16.2(66.1 )3.0(2005.0)3.0(

<<+=−+= −−−−

teev tt

c Para determinar el voltaje en el tercer intervalo es necesario hallar el voltaje en el capacitor al cabo de 0.55 segundos, esto es: v Vc 66.1)55.0( ≅ Los datos, que se derivan de la figura 4.50, son: 08.0566.1 3 =−== τfi VV En consecuencia, la expresión para el voltaje en el tercer intervalo es:

)55.0(5.1208.0)550(

66.55)566.1(5)( −−−−

+−=++−= tt

c eetv

128

A continuación se presenta la descripción por tramos del voltaje en el capacitor en todo instante:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+−<<+

<<−<

=

−−

−−

−

55.066.5555.03.094.066.1

3.00)1(1000

)(

)55.0(5.12

)3.0(20

tsietsie

tsietsi

tv

t

t

t

Un punto importante en el gráfico es el tiempo para el cual el voltaje en el capacitor se hace cero, éste se obtiene a partir de la expresión anterior, así:

573.0)566.1(50 )55.0(5.12

≅++−= −−

cruce

t

te

ΩK5

uF10 +

)(tvC V66.1 −

Figura 4.49 Durante el desarrollo del problema, se puede observar la importancia de saber identificar la condición inicial y final del condensador, la constante de tiempo en cada paso, las simplificaciones de los circuitos para llevarlos a un simple circuito RC. En cualquier caso de excitación constante, la fórmula a aplicar es:

RCt

fifo eVVVtv−

−+= )()(

ΩK8

−

+)(tvC uF10 V5

Figura 4.50 La figura 4.51 muestra el voltaje resultante para el capacitor: )(0 tvUn problema interesante, muy parecido al anterior, se presenta cuando al pasar el interruptor a la posición 3 encuentra un circuito serie como el que se muestra en la figura 4.52. Resuelva el problema y represente gráficamente.

129

Figura 4.51

ΩK8

Figura 4.52

Vtv o ),(

uF20

V5

st,

Figura 4.53 5. Diseñe un circuito que contenga una sola batería, resistores, un condensador de 200μF, un interruptor de dos posiciones que pasa a la posición 1 en t = 0, donde permanece durante 5s, al cabo de los cuales pasa a la posición 2 donde se mantiene indefinidamente y tal que la salida tomada sobre el condensador, sea la mostrada en la figura 4.53. Solución. Según la figura 4.53, el circuito obtiene un primer estado estable en t = 5s, y la salida se mantendría en un voltio si el interruptor no pasara a la posición 2, una vez en esta se llaga a un segundo estado estable en t = 20s, con una salida de 3 voltios. Un primer paso en este diseño, es hallar el valor de la batería; éste debe ser mayor ó igual a 3 voltios. Con base en el conocimiento de la función exponencial, la constante de tiempo en el tramo: es la unidad, el voltaje final es la unidad y el voltaje inicial es cero. 50 << t

130

En consecuencia, la ecuación en el intervalo es:

5)(tv

3

01 <−= −e t <t

En cuanto al segundo intervalo, la constante de tiempo es =τ , el voltaje final es de tres Voltios y el voltaje inicial es la unidad, es decir, que el voltaje en todo instante es:

523)( 3/)5( >−= −− tetv t

Se sugiere el circuito de la figura 4.54, aunque el estudiante puede proponer alternativas diferentes.

1R

3R

2R uF200

−

+)(tvC

0=t

V3

Figura 4.54 Observe que R2 tiene como objetivo limitar el voltaje sobre el condensador en el primer estado estable. Después de un estudio detenido, se llega a concluir que el circuito mostrado debe producir el voltaje de salida deseado. Para la posición 1, en el intervalo 0 5<≤ t , la constante de tiempo viene dada por:

21

211 RR

CRR+

=τ

Puesto que el voltaje en estado estable de la posición 1 debe ser igual a la unidad, se tiene:

1321

2 =+ RRR

De lo anterior se sigue que: 21 2RR =Por otro lado, puesto que la constante de tiempo es la unidad, se tiene:

21

211RRCRR

+=

Ahora bien, dado que la capacitancia es de 200 microfaradios, resulta:

131

Ω=Ω= KRKR 5.715 21 Para la posición 2, nos queda un simple circuito serie . En la posición mencionada que es válida para se tiene que la constante de tiempo es:

CR3

∞<≤ t5 3=τ y por tanto se obtiene el valor de la resistencia, así: Ω=⇒= K15RCR 33 6. En el circuito mostrado en la figura 4.55., la lámpara tiene una resistencia infinita cuando está apagada y cero cuando está encendida. Determine los valores de los elementos para que la lámpara se encienda dos veces por segundo. Para el encendido, el elemento mencionado requiere 20V.

R+

E C Lámpara )(tvC −

Figura 4.55 Interpretando el enunciado del problema, podemos sacar las siguientes conclusiones: • Mientras la lámpara esté apagada, se comporta como un circuito abierto, y el

condensador se está cargando. • Tan pronto el capacitor llega a 20 voltios, la lámpara se enciende, su resistencia se

hace cero, el condensador es cortocircuitado, la lámpara se apaga y el proceso se repite.

• La lámpara encienda cada 0.5s y se apaga inmediatamente. Todo lo anterior puede visualizarse en las figuras 4.56 y 4.57 Puede verse que:

VETómeseVE 2020.1 =≥ FCMRTómesesRC μΩ 1.011.0.2 ===

Con base en la información dada, la forma de onda de voltaje es la señal periódica de la figura 4.58.

R

C apagadaLámpara

+

E )(tvC −

Figura 4.56

132

E

R

C −

=+

0)(tvC encendidaLámpara

Figura 4.57

Figura 4.58

7. Para el circuito dado en la figura 4.59, halle suponiendo que el sistema está inicialmente en reposo. La fuente: es la que se ilustra en la figura 4.60

)(tvc

)(tvs

Solución. Dado que las excitaciones son fuentes independientes, un paso obvio en la obtención del voltaje pedido es aplicar el principio de superposición, así:

)()()( 21 tvtvtv ccc +=

K

Figura 4.59

)( tEsen ω )(tvs

K2 2

uF1 +

)(tvC −

133

)(tvs

Figura 4.60

)(1 tvc : Es el voltaje sobre el condensador cuando actúa la fuente senoidal )(2 tvc : Es el voltaje sobre el condensador cuando la fuente senoidal se apaga

a. Hallemos )(1 tvc en el circuito de la figura 4.61

K1

uF1 +

)(2

tsenE ω )(1 tvC −

Figura 4.61 Recordando los métodos de solución de ecuaciones diferenciales, llegamos a:

)(12

)(2221 φω

ω−

++=

−tsen

CREAetv RC

t

c

Donde: A es la constante de integración.

)(tan 1 RCωφ −= b. Hallemos )(2 tvc en el circuito de la figura 4.62

134

K1

uF1 −

+)

Figura 4.62 En el circuito, el voltaje no es más que la salida de un circuito RC serie, salida por condensador, excitado por una señal constante a trazos. Este problema fue suficientemente analizado en los problemas 1 y 2. Trate de encontrar una expresión general para vc2 (t). La solución general será: )()()( 21 tvtvtv ccc += 8. Considere el circuito de la figura 4.63:

Figura 4.63

Suponga que el sistema se encuentra inicialmente en reposo. 1. Escriba las ecuaciones del circuito. 2. Tomando la siguiente información: )(10)( tutvi = R = 5Ω L = 2H M = 1H C = 1F, encuentre v(t) y represente gráficamente. Solución 1. Para el planteamiento de las ecuaciones, se procede a partir de los métodos de

voltajes de malla y corrientes de nodo así:

0212211 =++++++− RiMDiLDiMDiLDiRivi vRiMDiLDi =++ 212

RvCDvii ++= 21

)(t 2vC(

21 tvs

)(1 ti

)(2 ti

R L

L

R +)(tv R )(tvs

−

135

or lo tanto el sistema será: P

010)(

)()(

21

21

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

=−++=+++++

vR

CDii

viLDRMDiviMDLDRiMDLDR i

ara encontrar v(t), comencemos por sustituir los valores de los elementos circuitales en

ara resolver el sistema usamos la regla de Cramer, así:

Plas ecuaciones, las cuales se escriben en forma matricial, así:

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+

++

00

)(10

)()()(

5/111152

05353

2

1 tu

tvtiti

DDDDD

P

AA

tv 3)( =

Haciendo uso del paquete Mathcad, se tiene ue el determinante del sistema es: q

( )1535

51033

5/111152

0535323 +++→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+

++DDD

DDDDD

n cuanto al numerador, tenemos: E

)(50)(30011052

)(105353tutDuDD

tuDD+→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++

Puesto que la solución es válida para para el voltaje en el 0>t , la ecuación diferencial capacitor es:

50)(15355

1033 23 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ tvDDD

a ecuación característica será entonces: L

053

3515103 23 =+++ mmm

Las raíces de la ecuación característica son: 66.067.154.1 −−−

136

a solución generaL l de la ecuación diferencial es:

ttt eKeKeKtv 66.03

67.12

54.413

10)( −−− +++=

ara determinar las constantes se deben tener en cuenta las condiciones iniciales del

ecuaciones del stema, evaluando en

Pproblema. Sí el sistema está inicialmente en reposo, indica que

0)0(0)0(0)0( 21 === iiv . Con dichos valores podemos determinar, en el sistema )0( y )0(2vD

A partir de las dos primeras side ecuaciones, los valores: Dv

0=t , resulta:

10)0(3)0(30)0(2)0(

21

21

=+=+

DiDiDiDi

uya solución es: C

310)0(

320)0( 11 −== DiDi

on estos valores y derivando la tercera ecuación, se obtiene:

erivando la expresión para el voltaje, dos veces, se obtiene:

valuando para:

C 10)0(2 =vD D

ttt eKeKeKtDv 66.03

67.12

54.41 66.067.154.4)( −−− ⋅−−−=

ttt eKeKeKtvD 66.03

67.12

54.41

2 44.079261.20)( −−− ++= .

0=tE se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema, resulta:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

00

3/10

44.079.261.2066.067.154.4

111

3

2

1

KKK

443.6437.3328.0 321 −==−= KKK El voltaje en el capacitor es, en consecuencia:

ttt eeetv 66.067.154. 443.63437328.03

10)( −−− −+−=

La figura 4.64 ilustra la representación gráfica del voltaje en el capacitor. Puede notarse que el voltaje en el capacitor en estado estacionario es: 3/10=ssv , resultado que se puede obtener del circuito al analizarlo en estado estaciona ir, después de que el capacitor se comporte como un circuito abierto y los inductores se comporten como cortocircuitos.

rio, es dec

137

Figura 4.64 . Para el circuito de la figura 4.65, encuentre la respuesta del capacitor al escalón 9

unitario en todo instante, suponiendo que el circuito está inicialmente en reposo. Represente gráficamente. H5 H

Figura 4.65

olución

voltajes de malla y corrientes de nodo tenemos: SPlanteando

21

22

1

)(3.00)(3)()(0)()(5)(

itDvititDitvtvtDitvs

+==++−=++−

El sistema, en forma matricial, es el siguiente:

uesto que nos piden el voltaje en el capacitor, aplicamos la regla de Cramer, así:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

001

3.011130

105

2

1

vii

DD

D

PEl determinante del sistema es:

365.45.13.011130

10523 +++→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+ DDD

DD

D

)(1 ti )(2 ti

+

)(tvs R )(tv

1

F3.0 −

138

a ecuación diferencial para el voltaje en el capacitor es: L

3)(3629

23 23 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ tvDDD

e manera similar a lo expuesto en el ejercicio anterior, el estudiante puede verificar D

que las raíces de la ecuación característica vienen dadas por 11111 ii −−+−− . En consecuencia, la solución general se puede escribir en la forma:

ara determinar las constantes se procede de forma similar, es decir, se requieren las

La función y sus dos primeras derivadas evaluadas en

)()cos(1)( 321 tseneKteKeKtv ttt −−− +++=

Pcondiciones iniciales )0()0()0( 2vDDvv . A partir del sistema de ecuaciones, en

0=t , se tiene que: 0)0(0)0(0)0( 2 === vDDvv

0=t conducen al siguiente

Resolviendo el sistema, se obtiene

sistema:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

001

201111011

3

2

1

KKK

112 321 −==−= KKK . Con base en lo anterior, tante es:

La figura 4.66 ilustra la gráfica correspondiente.

0. Considere el circuito de la figura 4.67

) Escriba las ecuaciones para es, que:

el voltaje en el capacitor en todo ins

)()cos(21)( tseneteetv ttt −−− −+−=

1 1 )()( 21 tvtv .2) Resuelva para dichos voltaj sabiendo 1)(10)( == RCtutvi y el sistema

olución ecuaciones de voltajes de malla y corrientes de nodo tenemos:

está inicialmente en reposo. SPlanteando

211

2212

211

0202

CDvCDvivRCDvvv

vvRivi

+==++−−

=+++−

139

Figura 4.66

Figura 4.67 Por lo tanto, las ecuaciones para v1 y v2 serán:

( ) ( )( ) 01

21

21

21

=−+−=+++

vRCDvvvRCDvRCD i

Ahora resolvemos el sistema planteado, sustituyendo los valores dados:

1

)1(1)2()1(

2 ++=

−−++

=

DD

DDD

Δ

Δ

1001

10)1(

2

2

=

−+

=

v

Dv

Δ

Δ

La ecuación diferencial para es: )(2 tv 10)()1( 2

2 =++ tvDD La solución general será de la forma: )()()( 222 tvtvtv pc += Hallando la complementaria y la particular, se tiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −− tseneKteKtv tt

23

23cos10)( 2/

22/

12

)(tvi

R RC

C −

+)(1 tv

−

+)(2 tv +

)(t 2 2v−

140

A partir del sistema de ecuaciones se determinan las condiciones iniciales, así:

0)0(0)0( == Dvv

Tomando la primera derivada del voltaje y evaluando en 0=t se obtiene que:

3/31010 21 −=−= KK

En consecuencia, el voltaje está dado por: )(2 tv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −− tsenetetv tt

23

3310

23cos1010)( 2/2/

2

El voltaje se calcula como: )(1 tv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−= −− tsenetetvtv

dtdtv tt

23310

23cos1010)()()( 2/2/

221

Las gráficas correspondientes se muestran en las figuras: 4.68 y 4.69 11. Para el circuito de la figura 4.70 1. Escriba el problema de valor inicial para el voltaje en el capacitor, sabiendo que el

sistema está inicialmente en reposo 2. Resuelva el problema con los siguientes datos: )(101116/3 tuvLCR s ==== Solución 1. Para determinar problema de valor inicial comenzamos por plantear las ecuaciones de corrientes de nodo y voltajes de malla.

Rv

CDvR

vv

vRCDvvLDiRiv

Rvv

iR

vv

yyx

y

x

yxxs

+=−

+=+=

−+=

−


141

C −

+)(tv

) (tvs

R R

R

R

)(ti

R

L

xv yv

Figura 4.70

Reemplazando v y v en la primera ecuación, se llega a lo siguiente: x

( ) ( ) svvRCDiLDR =+−+ 123

Reemplazando v y en la segunda ecuación: x yv

( ) ( ) 023 =+−+ vRCDiLDR Si , entonces al sustituir en las ecuaciones resultantes, se obtiene un sistema que permite encontrar el valor de:

0)0( =vRCvDv s 5/)0()0( =

Finalmente el PVI será: ( ) ( ) svvRCDiLDR =+−+ 123

( ) ( ) 023 =+−+ vRCDiLDR

RCvDvv s 5/)0()0(0)0( ==

2. Sustituyendo los datos en las ecuaciones tenemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

010

)()(

2169

163

1163

1692

tvti

DD

DD

El determinante del sistema es:

1615

32105

1615

2169

163

1163

1692

2 ++→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

DDDD

DD

142

La variación de voltaje es:

815

0163

102169

)( =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=ΔD

Dtv

La ecuación diferencial para el voltaje en el capacitor se puede escribir en la forma:

2)()15.3( 2 =++ tvDD

La solución para será de la forma: )(tv

2)( 186.32

3139.01 ++= −− tt eCeCtv

Para determinar C1 y C2 derivamos se procede de manera similar que en los ejercicios previos. El resultado es: 25.35.1)( 186.33139.0 +−= −− tt eetv

Figura 4.71 12. Para el circuito de la figura 4.72: 1. Escriba el PVI para una de las variables, sabiendo que el sistema está inicialmente en reposo. 2. Resuelva el PVI con los siguientes datos: R = 1, C = 1 y )(10)( tutvs =

+

Figura 4.72

C −

)(3 tv )(tvs

R

R

C C

)(2 1 tv

−)(1 tv + −)(2 tv +

143

)(

231

1

++−++

Solución 1. Para determinar el PVI planteamos las ecuaciones de voltajes y corriente, así:

321 += CDvCDvCDv

002

2

131

==++

2−−

RCDvvvv

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

− 0

0

11

3

2

1

gvvvvCD

vvvRCDvt

++

1203

RCD

CDCD

vS

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−RCD

El sistema de ecuaciones en forma matricial presenta la forma:


3322265112

103 DCRDRCCDRCD

RCDCDCDCD

++→⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+

−

La ecuación diferencial para el voltaje es: )(1 tv

)()2()()56( 221

22332 tvCDDRCtvCDDRCDCR g+=++ Las condiciones iniciales son:

2212

11

)0(4)0(

)0()0()0(

CRv

vDRC

vDvv gg −===

El problema de valor inicial para el voltaje es el siguiente, después de reemplazar los datos:

1v

0)()56( 123 =++ tvDDD 40)0(100)0( 1

211 −=== vDDvv

Las raíces de la ecuación característica son: 150 −=−== mmm

t⋅−5( La solución general de la ecuación diferencial es: t eCeCCtv − ++= 3211 )

tt eCeCtvD 5321

2 25)( −− +=

Tomando las dos primeras derivadas, se tiene:

tt eCeCtDv 5321 5)( −− −−=

Evaluando para t = 0, tenemos:

0321 =++ CCC 105 32 =−− CC 4025 32 −=+ CC Solucionando el sistema tenemos que: 5.15.24 321 = = − = −CCC

144

Por lo tanto la solución es: tt eetv ⋅−− −−= 51 5.15.24)(

)(1 tv 2. La representación gráfica para se muestra en la figura 4.73

Figura 4.73

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para el circuito mostrado en la figura 4.74 se tiene que 0)0(;0)0( =−=− Lc iv . Determine: v y v )(1 t .0);(2 >tt

Figura 4.74

2. Para el circuito de la figura 4-75, encuentre y grafique i sabiendo que: )(t 0)0( =−Li y que la excitación es: )2(2)1()1(3)()( ()2 −−+−−−= ttutttutis tu

Figura 4.75

C

)(2 1 tv

L

)(1 tv )(2 tv

)(ti

)(tIu Ω

31 F4 H5 R

)3vt L

)(ti

)(tis R Ω21 A6

−

+)(tv

H1

145

3. Para el circuito mostrado en la figura 4.76, halle ) y para , sabiendo que ,

)(ti )(tv 0>)2()1 . 0)0( =−v (3)(2)( −+−−= tututis tu )(6)( tutvs y =

C Ω2

)(ti

)(ti

Figura 4.76 4. Para ambos circuitos, mostrados en las figuras 4.77 y 4.78, el interruptor ha permanecido mucho tiempo cerrado, y se abre en 0=t . Halle y grafique v , i para

)(t )(t

0>t

Figura 4.77 Figura 4.78 5. Repita el problema anterior para los circuitos mostrados en las figuras 4.79 y 4.80. Tome v )(10)( tuts =


6. Para los circuitos mostrados en las figuras 4.79 y 4.80, halle v si: )(t

s Ω21

F21

)(tvs

)(2 ti

Ω2V10

)(ti

Ω2

F1.0

−

+)(tv V9 Ω3 )(ti

−

+0=t 0=t

)(tv Ω3

)(ti Ω2

F1.0 −

+)(tv

Ω3

−

+)(tv Ω3

0=t 0=t )(ti Ω3

H2

)(tvs )(tvs

146)()cos( tut )(10)( tuetv t

s−= v 10)(ts ω=

0=t

V3 V6

Ω1 Ω2

)(ti H21

Ω1 Ω2

)(ti

−

+)(tv )(4 ti )(10 tu uF10

Figura 4.81 Figura 4.82 7. Para los circuitos de las figuras: 4.81 y 4.82, determine para t . Suponga que )(ti 0>

0)0(,0)0( =−=− ivc . 8. Para los circuitos de las figuras: 4.83 y 4.84, determine: para )(ti 0>t

H H1

Figura 4.83 Figura 4.84 9. Determine la corriente para el circuito de la figura: 4.85, con la siguiente información:

)(1 ti, R( ) 10 ( ) 5 , 2 , 1 1sv t u t L H M H y C F= = Ω = = =

10. Determine la corriente para el circuito de la figura: 4.86, con la siguiente información:

)(1 tiR( ) 10 ( ), 5 , 2 , 1sv t u t L H M H= = Ω = =


Ω21 V3 V12

0=t 0=t

Ω1 Ω3

1

F1 F1

)(ti )(ti

R−

+)(tv

R R

)(tvs

)(tvs

)(1 ti

)(2 ti )(1 ti

)(1 ti

RR

L

L

L

147CAPITULO 5

AMPLIFICADOR OPERACIONAL

5.1. INTRODUCCIÓN El amplificador operacional básico es un dispositivo electrónico de seis terminales, el cual se construye normalmente sobre un substrato de silicio. No estamos interesados por el momento en la explicación física del dispositivo sino en el modelo circuital que nos permita utilizarlo en el análisis y diseño de sistemas circuitales. La figura 5.1 muestra el símbolo con el que se designa un amplificador operacional típico y la figura 5.2 es el modelo circuital correspondiente.

nv V+ov

V−

nv

pv

N

G

P

ioR oR O

pv )( np vvA −

G

Figura 5.1 Figura 5.2 Los terminales marcados en la figura 5.1, son: N: terminal de entrada inversora. P: terminal de entrada no inversora. O: terminal de salida. +V: terminal de polarización positiva. -V: terminal de polarización negativa. G: terminal de tierra. Un amplificador operacional comercial trae normalmente otros terminales de acuerdo con el tipo de aplicación. Para efectos del análisis de un circuito, nos interesará la relación entre la salida: y las entradas .

ov

pn vv ,La figura 5.2 muestra el circuito equivalente de un amplificador operacional, donde:

ioR : Resistencia de entrada del amplificador operacional.

oR : Resistencia de salida. A : Ganancia de voltaje. Observe que a la salida aparece una fuente de voltaje controlada por la diferencia entre el voltaje inversor y el no inversor.

148En el modelo no aparecen los voltajes de polarización, aunque son indispensables para el funcionamiento del amplificador. La figura 5.3 muestra el caso del amplificador operacional: 741, uno de los más utilizados en aplicaciones a bajas frecuencias. Se hace un detalle de las características de dicho dispositivo.

Figura 5.3 Las características máximas del 741 son: 1. Fuente de alimentación: -18,18 voltios 2. Diferencia de voltaje a la entrada: 5 voltios 3. Corriente de salida: 25 miliamperios 4. Disipación de potencia: 0.5 vatios 5. Temperatura de funcionamiento: 70 Co

510=AΩ= 610ioR

Ω= 50oR

1R 2R 2R

6. Ganancia: 7. Resistencia de entrada: 8. Resistencia de salida: 5.2. MODELO IDEAL DE UN AMPLIFICADOR OPERACIONAL Consideremos el circuito de la figura 5.4, en el que se tienen los resistores externos:

y , siendo el resistor de realimentación. Podemos ver que el circuito equivalente se muestra en la figura 5.5.


1v

2v

1R 2R1R 2R

ioR oR

)( np vvA −

N

N

P

GG

O1v

2vov

ov

P

149Sean dos fuentes de voltaje aplicadas a los terminales de entrada del operacional. Si aplicamos la ley de Kirchhoff para corrientes en los nodos: N y o, tenemos:

21 vyv

v vR

v vR

v vR

n n

io

n o1

1

2

2

−=

−+

−

( )

o

noon

RvvAv

Rvv −−

=− 2

2

Organizando el sistema de ecuaciones, tenemos:

ioon

io Rv

Rv

vR

vRRR

2

1

1

221

1111+=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

oo

on

o Rv

AvRR

vRA

R2

22

111−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

A continuación resolvemos el sistema para y así: 0v nv

aR R R R

RAR R R

io

o o

=

+ + −

− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 1 1 1

1 11 2 2

2 2

1 ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

=

o

io

RvA

Rv

Rv

b2

2

1

1


( )oio

ioiooiooio

RRRARRRRRRRRRRRR

Ra

1

112112

2

1)det( +++++−=

El voltaje en el terminal: n, es:

( )

( )oio

ioiooiooio

oio

iooiooio

n

RRRARRRRRRRRRRRR

R

RRRARRvRRvRRvRRvRRv

Rv

1

112112

2

1

1221212211

2

1

1

+++++−

++++−

=

Simplificando, tenemos:

( )( )ARRRRRRRRRRRR

ARRvRRvRRvRRvRRvvioiooiooio

iooiooion

112112

1221212211

++++++

=+ + +

150En el terminal de salida, el voltaje es:

( )

( )oio

ioiooiooio

oio

oiooioioio

o

RRRARRRRRRRRRRRR

R

RRRRRvRRAvRRvRRAvRRAv

Rv

1

112112

2

1

122111222

2

1

1

+++++−

+⋅−++−

=

Simplificando, tenemos:

( )( )ARRRRRRRRRRRR

RRvRRAvRRvRRAvRRAvvioiooiooio

oiooioioioo

112112

122111222

++++++−++

=

Para el análisis siguiente, organicemos las expresiones para y , así: nv ov

( ) ( )ARRRRRRRRRRRR

ARRRvRRvRRRvvioiooiooio

ioooion

112112

2121221

+++++++++⋅

=

( ) ( )

ARRRRRRRRRRRRRRRARRARvARRRvv

ioiooiooio

oioiooioo

112112

112221

++++++++−

=

El modelo del amplificador operacional ideal se obtiene haciendo las siguientes aproximaciones: 1. ioR tiende a infinito. Si dividimos ambas expresiones por ioR y tomamos el límite,

tenemos:

limRio →∞

( ) ( )ARRRRRRRRRRRR

ARRRvRRvRRRv

ioiooiooio

ioooio

112112

2121221

+++++++++

ARRRRARvRvRv

vo

on

112

12211

+++++

=

ARRRRARvARvARvRvv

o

oo

112

1222211

+++++−

=

2. oR tiende a cero y la ganancia tiende a infinito. Tomando estos límites en ambas

expresiones, resulta:

21

21

1

22 1 v

RR

vRR

vvvv opn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−===

Los resultados encontrados son realmente significativos por las siguientes razones:

1511. En un amplificador operacional ideal, el voltaje en el terminal: N es igual al voltaje

en el terminal: P. 2. Las corrientes de entrada de un amplificador operacional ideal son iguales a cero en

ambos terminales. El voltaje de salida de un amplificador depende de los elementos externos al amplificador: R1, R2. 5.3. CIRCUITOS CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES Como su nombre lo indica, un amplificador operacional es un dispositivo que realiza ciertas operaciones. Particularmente estamos interesados en operaciones lineales, a saber: amplificadores, sumadores, amplificadores diferenciales, acopladores, derivadores, integradores y filtros. Amplificador inversor La estructura básica del amplificador inversor es la que se muestra en la figura 5.6, cuyo modelo circuital se muestra en la figura 5.7. El voltaje a amplificar es la fuente 1)( vtvs = . Efectuemos el análisis del circuito.

Figura 5.6 Figura 5.7 Supongamos que el operacional es ideal, esto es ∞→ioR , y . Con lo anterior, se tiene que

0→oR ∞→A0=== pnpn iivv . Las figura 5.7 y 5.9 ilustran la situación

planteada. Puesto que el terminal P está conectado a tierra, se tiene que el voltaje en el terminal: N es cero y, por tanto, al aplicar la ley de Kirchhoff para corrientes en el terminal: N, se obtiene que:

)()()(00)(

1

2

21

tvRRtv

Rtv

Rtv

soos −=⇒⋅

−=

−

En consecuencia, si el amplificador operacional es ideal, la ganancia de voltaje del amplificador inversor viene dada por:

12 / RRG −=

oR

)(tvs

1R

2R 1R 2R

R)( np vv −

N

N

ioA

P P

G G

O

)(tvs

−

+)(tvo

−

+

)(tvo

152

Figura 5.8 Figura 5.9 Observe que la ganancia se puede cuadrar con los elementos externos: y 1R 2R Amplificador no inversor La figura 5.10 muestra la topología que usualmente se utilizan para un amplificador no inversor. Puede observarse que los circuitos de las figuras 5.10 y 5.11 son equivalentes.


Analizando el circuito, puesto que la corriente que entra por el terminal: P del operacional es igual a cero, los resistores: están en serie y por tanto el voltaje en el terminal: P es el divisor de voltaje, así:

ba RR

)(tvRR

Rv s

ba

bp +=

Usando el mismo argumento, el voltaje en el terminal: N está dado por:

)(21

1 tvRR

Rv on +=

R

)

1R

2 1 2

)( np vvA −

N

N R R

P P

G G

O

)(tvs

−

+)(tvo

v∞

−

+

)(to (tvs

Ahora bien, puesto que los voltajes en los terminales: N y P son iguales, se obtiene:

G G

)(tvs

aR

2R

1R 2R

N

N P

P O

)(tvs

++)(tvo

−−

)(tvo 1R bR

aR

bR

∞ ∞

153

ba

bsoos

ba

b

RRR

tvRR

tvtvRR

Rtv

RRR

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒

+=

+αα )(1)()()(

1

2

21

1

En conclusión, la ganancia de voltaje del amplificador no inversor se puede cuadrar con los elementos externos: y viene dada por: ba RRRR ,,, 21

ba

b

RRR

RRG

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

21

Circuito seguidor de voltaje o aislador En la mayoría de las aplicaciones, tanto en el análisis como en el diseño de sistemas, es necesario conectar dos subsistemas de un sistema mas complejo. Puesto que la información proveniente de un subsistema debe pasar completamente al otro, se requiere que el segundo no se convierta en una carga para el primero. Lo anterior se logra aislando los dos subsistemas mediante un aislador. Particularmente, para sistemas electrónicos existe una gran variedad de aisladores, siendo uno de los más importantes el que utiliza un amplificador operacional. Según se estudiará en su momento, los aisladores a base de amplificadores operacionales tienen severas restricciones en frecuencia, es decir, no se pueden usar a frecuencias superiores a los mega hertz. La figura 5.12 muestra el esquema general de un aislador y la figura 5.13 muestra el aislador con el amplificador operacional.


Las características deseables de un aislador son las siguientes:

aislador es la que alta de

. Resistencia de salida . La resistencia de salida es la que observaría una carga

on base en lo anterior, un aislador ideal dejará pasar intacto el voltaje aplicado a la

inR outR outR

P

N Aislador ∞

inR

a. Resistencia de entrada ∞=ioR . La resistencia de entrada del observaría una fuente de voltaje que se coloca a la entrada del aislador y debe ser tal manera que todo el voltaje de la fuente aparezca a la entrada del sistema. b 0=outRque se coloque a la salida del aislador y debe ser muy pequeña de tal forma que todo el voltaje de salida aparezca sobre la carga. Centrada.

154La figura 5.14 muestra el modelo real del circuito aislador de la figura 5.13. Se calculará la resistencia de entrada si a la salida se conecta la carga . De otro lado, se calculará la resistencia de salida cuando la entrada sea un cortocircuito.

LR

sR sR P N

−

+

)(tvo

ioR oR oR P N

)(tvs )(tvs 1R ( np vvA − 1R )( np vvA − )

G Figura 5.14 Figura 5.15

G

Al analizar el circuito de la figura 5.15., la corriente que entrega la fuente está dad por:

i tv v

Rss p

s

( ) =−

La resistencia de entrada de circuito abierto, es el cociente entre el voltaje de la fuente y la corriente de entrada.

Rv ti tin

s

s

=( )( )

Las ecuaciones del circuito son las siguientes:

io

np

s

ps

o

npnn

sio

ns

Rvv

Rvv

RvvAv

Rv

RRvv

−=

−

−−+=

+− )(

1

Puesto que entonces: 1RRio >> sp vv ≅ y en consecuencia se obtiene la ecuación siguiente:

o

nsnn

io

ns

RvvAv

Rv

Rvv )(

1

+=− − −

Despejando el voltaje v se encuentra: n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

oio

soio

n

RA

RR

vRA

Rv

111

1

1

155De la expresión anterior, teniendo en cuenta que y son grandes, se obtiene un valor aproximado para así:

ioR A

nv

sn vA

Av1+

=

Se concluye que la resistencia de entrada es bastante alta, así:

ioin RAR )1( += En cuanto a la resistencia de salida de cortocircuito, el estudiante puede verificar que está dada por:

RR

Aouto=+ 1

Como puede verse, ni la resistencia de entrada de circuito abierto ni la resistencia de salida de cortocircuito, dependen de RL y por tanto puede prescindirse de ella. El amplificador diferencial El amplificador diferencial es un sistema que presenta dos entradas: y una salida: tal que si: a y b son reales positivos, se cumple que:

)(),( 21 txtx)(ty

)()()( 21 tbxtaxty −=

Los amplificadores diferenciales son muy importantes en el diseño de dispositivos electrónicos y pueden generarse a partir de circuitos como el mostrado en la figura 5.16.

Figura 5.16 Al efectuar el análisis del circuito, teniendo en cuenta las características del amplificador operacional ideal, el voltaje de salida es una función de los voltajes aplicados, así:

156

21

21

1

2 1 vRR

RRRv

RRv

ba

bo +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

Sí se desea, por ejemplo, que la salida sea v 210 23 vv− += , las diferentes resistencias se calculan mediante las ecuaciones:

243 12 =+

=ba

b

RRRRR

De las ecuaciones se sigue que ba RRRR == 12 3 . Es importante tomar niveles altos para las resistencias para evitar altos consumos de potencia en el circuito. Con:

se obtiene un circuito de bajo consumo de potencia. Ω== KRR a 101

El circuito sumador inversor. Un sumador inversor es un sistema que presenta n entradas, así: y una salida que es la inversa de una combinación lineal de las entradas, así:

)(),...,(),( 21 txtxtx n

)](...)()([)( 2211 txCtxCtxCty nn+++−=

El circuito sumador inversor, para dos entradas, se puede obtener con la topología mostrada en la figura 5.17.

Figura 5.17 Aplicando el principio de superposición y teniendo en cuenta las características del amplificador operacional ideal, se tiene que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

21

10 v

RR

vRR

v ff

Los valores de las resistencias se escogen de tal manera que se cumpla con las especificaciones dadas con un bajo consumo de potencia.

157El circuito derivador inversor. El derivador inversor es un sistema cuya salida es proporcional al negativo de la derivada de la entrada, es decir, que si la entrada es , la salida vendrá dada por: )(tx

)(')( tkxty −= Para que la salida tenga las mismas unidades que la entrada se requiere que la constante de proporcionalidad tenga unidades de tiempo. Sí se define la frecuencia característica del derivador como k/10 =ω , la salida del derivador inversor es:

)('1)(0

txtyω

−=

Un circuito derivador presenta inconvenientes de funcionamiento ya que puede ser inestable, según se estudiará más adelante. Las topologías mostradas en las figuras 4.18 y 4.19 sirven para implementar un derivador inversor, así:

Figura 5.18 Figura 5.19 Para el circuito de la figura 5.19, al aplicar las leyes circuitales y teniendo en cuenta las características del amplificador operacional, resulta:

)(1)()()(1)(0

tvdtdtvtv

dtdRCtvv

Rtv

dtdC ooo ω

−=⇒−=⇒−=

En cuanto al circuito de la figura 5.19, resulta:

0)()(0)()( =+=+− tvtvtRitv oLL

Combinando las ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta que )()( tidtdLt LL =v ,

resulta:

)(1)()()(0

tvdtdtvtv

dtd

RLtv oo ω

−=⇒−=

158

∫t

o dttvv 00 )(ω−=

El circuito integrador inversor. El integrador inversor es un sistema cuya salida es proporcional al negativo de la integral de la señal de entrada, así:

t)(

En la expresión anterior, 0ω es la frecuencia característica del integrador. Puede mostrarse que las topologías mostradas en las figuras: 5.20 y 5.21 son circuitos integradores inversores.

Figura 5.20 Figura 5.21 A partir de las leyes circuitales y de las características del operacional se encuentra la salida en cada caso, así:

a. Para el circuito de la figura 5.20, la salida es: ∫t dttv

RCtv 00 )(1)( −=

b. Para el otro circuito, la salida es: ∫t dttv

LRtv 00 )()( −=

5.4. RESPUESTA EN EL TIEMPO. Sistemas de primer orden. Consideremos el circuito de la figura 5.22. Se desea determinar el voltaje en el capacitor en todo instante sabiendo que inicialmente tenía un voltaje . La Ley de Kirchhoff para corrientes, en el nodo , nos permite escribir:

iVv =− )0(n

RtvtCDv

Rvtv ns

α)()()(

+=−

Usando el modelo ideal del amplificador operacional, se tiene que v . En consecuencia resulta el problema de valor inicial:

0== pn v

159

is VvRC

tvtvRCD ==+ )0()()()/1( α

Sí la excitación del sistema es constante, es decir Etvs =)( , la solución general de la ecuación diferencial es:

EKetv RCt

αα +=−

)(

Figura 5.22 En consecuencia, el voltaje en el capacitor en todo instante viene dado por:

)()()( tueEVEtv RCt

i⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

−ααα

Puede observarse que el voltaje final en el capacitor es EVf α= , mientras que la constante de tiempo es RCατ = . Cuando el sistema está inicialmente en reposo, el voltaje en el capacitor en todo instante es:

)(1)( tueEtv RCt

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−αα

Externamente se pueden cuadrar los valores de los elementos para obtener la respuesta deseada. Finalmente, el voltaje en los terminales de salida es el negativo del voltaje en el capacitor. Sistemas de segundo orden. Consideremos el circuito de la figura 5.23. Se desea determinar el voltaje de salida en todo instante, suponiendo que el sistema se encuentra inicialmente en reposo. A partir de las leyes y principios del circuito y teniendo en cuenta las características del operacional ideal, se tiene:

160

−+ )(1 tv

2x

−

+)(2 tv

Figura 5.23

En el nodo: 1, se tiene: 112

2

1

)( DvCR

vvR

vtv xxs +=− −

En el nodo: 2, se tiene: 221

2 DvCR

vvx =−

Por otro lado, el voltaje en el nodo x es v 01 vvx += . Ahora bien, puesto que el operacional es ideal, es decir, las corrientes de entrada son iguales a cero, los resistores: R y Rk )1( − está en serie, por lo que el voltaje en el terminal p , que es el mismo en el terminal está dado por: n

kvvv

RkRRv o

op =⇒−+

= 2)1( 1≥k

Con lo anterior, el voltaje en el nodo x es 21 kvvvx += . Eliminando esta variable en las dos primeras ecuaciones, resulta el siguiente sistema de dos ecuaciones, en forma matricial:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

−+++

0

)(1

11

111

12

1

12

1

21211 tv

Rvv

RkDC

R

Rk

Rk

RRDC

s

RRRPor simplicidad se toman: == 21 CC y C = =21 , con lo que resulta:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

−+

0

)(1

11

122

2

1 tvRv

v

RkCD

R

Rk

RCD

s

161El problema de valor inicial asociado al voltaje: viene a ser: 2v

0)0(0)0()(1)(132222222

2 ===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+ Dvvtv

CRtv

CRD

RCkD s

Como era de esperarse, nos resulta la ecuación de oscilaciones, cuya solución depende de el valor de . El máximo valor permitido para k es k 3=k , caso en el cual el sistema es puramente oscilatorio. De hecho, con esta topología se puede diseñar un oscilador

senoidal cuya frecuencia de oscilación es RCn1

=ω . En cuanto al voltaje en los

terminales de salida, se tiene que: v )()( 2 tkvto = PROBLEMAS RESUELTOS 1. Determine el voltaje de salida para el circuito de la figura 5.24.


Solución Solución Planteando las ecuaciones tenemos: Planteando las ecuaciones tenemos:

3

3

2

2

1

1

RvR

RvR

RvRvo −−−=

Lo que corresponde a un circuito sumador inversor. 2. Determine el voltaje de salida para el circuito de la figura 5.25. Solución Realizando un equivalente Thévenin (el estudiante debe resolverlo), se llega al esquema mostrado en la figura 5.26. Esto con el objeto de simplificar el circuito y las ecuaciones. Donde se obtiene:

)(23)( 4321 vvvvvo +++−=

El estudiante debe verificarlo.

1R

2R

3R

R

∞

1v

2v

3v

ov

162

3v

∞

1v 2v 3v 4v

R

R

R

R R

−

+

ov

Figura 5.25

R

∞

−

+

ov

Figura 5.26

3. Para el circuito de la figura 5.27, determine el voltaje de salida ) (tvo

Figura 5.27

Solución Observe que el amplificador 1, es un amplificador diferencial donde:

221 vv +

2/R

2/R

243 vv +

∞

iv

1R

3R 3cR

1aR

2R

2bR

iv

∞

+)(tvo

01v

−

163

oox vccRR ++ 133

vRv ==13

Además, el amplificador 1, se puede modelar como se muestra en la figura 5.28. A partir de allí es posible determinar v01.

Figura 5.28

0101 11)1( v

caavv

+++−=

El amplificador 2, es un amplificador inversor cuya entrada es v01, por tanto , reemplazando, se tiene:

1oo bvv −=

io v

cab

abv

++

+=

111

4. Diseñe un circuito empleando amplificadores operacionales, tal que su voltaje de salida sea 3212 vvvvo −+= , donde los , son voltajes de entrada; suponga que estos no excedan a 10 voltios en magnitud. Los resistores utilizados no deben disipar más de 0.1W.

iv

Solución Para obtener la salida deseada, disponemos de configuraciones que efectúen sumas, diferencias y amplificación inversa. Las alternativas pueden ser diversas, pero es necesario evaluar un factor muy importante como lo es el económico, lo cual se traduce en número de componentes y capacidad de lo mismos. Por lo tanto para efectuar lo deseado, una opción posible, es colocar dos amplificadores sumadores en cascada como se muestra en la figura 5.29. Analice si es la configuración óptima. Ahora, en cuanto a las especificaciones de los voltajes de entrada y la potencia en las resistencias, tenemos: Suponemos 1v , 2v y 3v , máximos, es decir 10voltios iRi PP =

1R ∞

iv ovc+1

1

1aR

+

1ov

−

164

RRv

PPR1002

211 ===

Rv

PPR 2

21

22 ==R

200=

R RR

∞ 1v R

R

−

+

1ov 2v R

3v

Figura 5.29

4

212

33900)2( PRR

vvPPR ==+

==

RRv

PPR1002

355 ===

R

vvvPPR

2312

66)2( −+

==

Compruebe los anteriores resultados. Observe que P6 sería máximo cuando y v sean máximos, es decir 10 Voltios y v

sea más mínimo, en otras palabras,

1v 2 3

RP6 =MAX

900

Luego un valor apropiado para R será Ω=>⇒> kRR

W 91.0

9009001.0 . Por comodidad,

de acuerdo a los valores comerciales, se tiene que = ΩkR 10

mFCmFCKRKRKR L 05.01.052010 2121 =

. 5. Para el circuito de la figura 5.30, los capacitores están inicialmente en reposo y la excitación es el escalón unitario. a. Determine v )(to

b. Determine la corriente que entrega el operacional en estado estacionario. Tome los datos: = = ==

165Solución a. Teniendo en cuenta que , resulta: np vv =

2

2

)))

vvvcvvb

vvva

so

sn

on

−==

+=

2R

Figura 5.30

Las ecuaciones que rigen el circuito son las que se muestran a continuación:

011

11 =++ svvdt

dvCR

dtdvC

Rv

dtdvC 2

22

211 +=

Con los datos suministrados, resulta la ecuación matricial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+01

1201

2

1

vv

DDD

Resolviendo para se tiene: 1v )()1()(1 tuetv t −= −

La segunda ecuación queda en la forma:

tevdt

dv −−=+ 222

La solución a la ecuación anterior es: )(2)(2 tutetv t−−=

)()21()( tutetv to

−+= Con base en las ecuaciones iniciales del circuito, tenemos:

∞

1R

−

+

1ov )(tvs LR

2C

1C

166b. En estado estacionario se tiene que 1)( =tvo y además un comportamiento circuital como el mostrado en la figura 5.31.

2R

1R

−

+

1ov )(tvs LR

∞

Figura 5.31

El comportamiento del circuito en estado estacionario permite plantear las siguientes ecuaciones:

L

ooop R

vR

vi =

−+

2

1 mAiop 2.0

1051

3=

⋅=

6. Para el circuito de la figura 5.32, los capacitores están inicialmente en reposo y la excitación es el escalón unitario.

a. Determine el voltaje en la carga en todo instante b. Determine la corriente que entrega el amplificador operacional de salida en estado estacionario. Tome los siguientes datos: KRmFCKR L 201.010 === Solución Las ecuaciones que rigen el circuito son las siguientes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−01

)1(

2

1 s

L

L vvv

CDRCDRRCD

Con los datos suministrados, el sistema que da en la forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−01

21)12(

2

1

vv

DDD

El problema de valor inicial para el primer voltaje es:

1)0(0)0(0)()122( 1112 ===++ DvvtvDD

167Aplicando el método de solución de ecuaciones diferenciales, se tiene que la solución general es:

)(tvs

R

R

+

−2v

LR

∞∞

C

C

−+ 1v

Figura 5.32

1)2/()2/cos()( 2/2

2/11 ++= −− tseneKteKtv tt

La primera derivada del voltaje es:

)2/cos(21)2(

21)2/(

21)2/cos(

21)( 2

22

22

12

11 tektsenektsenektektDvtttt −−−− +−−−=

Por lo tanto la solución del problema de valor inicial es: )()2(2)( 21 tutsenetv

t−=

Puesto que , tenemos: 1vvo −= )()2(2)( 2 tutsenetvt

o−−=

La corriente del operacional de salida en estado estacionario se determina de acuerdo a la figura 5.33.

mARv

i sop 1.0

10101

3−=

⋅−=−=

R

R

∞∞

)(tvs

LR

Figura 5.33

168PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Para el circuito de la figura 5.34 a. Determine en términos de v1 y v2 ovb. determine la corriente que entrega el operacional

∞

Figura 5.34

2. Para el circuito de la figura 5.35, sabiendo que v Vs 5max = , determine R1 y R2 de tal manera que el resistor de 100Ω consuma 10mW como máximo.

∞

Ω100

Figura 5.35 4. Para el circuito de la figura 5.36 a. determine el voltaje de salida cuando la excitación es el pulso rectangular:

)]1()([10)( −−= tututvs

b. Determine la corriente que suministra el amplificador operacional de salida.

169

Ω100 Ω200

Ω100 Ω100

Ω100Ω200

−

+)(tvo

∞

∞

Figura 5.36


Figura 5.39

4. Determine el voltaje y la corriente en el capacitor para los circuitos de las figuras 5.37 y 5.38 para las siguientes excitaciones. Represente gráficamente los voltajes en cada caso. 1. )1()()( −−= tututvs 2. )2()2()1()1(2)()( −−+−−−= tuttutttutsv

)(tvs

)(tvs )(tvs

uF10uF10

ΩK10

ΩK10 ΩK10 ΩK10

22 RR

∞

∞

+ Δ

1R

∞

1R

2R)(tvs

1705. Para el circuito de la figura 5.39 muestre que el voltaje de salida es proporcional al cambio en la resistencia de realimentación. 6. Usando un amplificador operacional y dos fuentes, diseñe un circuito cuya salida sea:

21 52 vvvo −= 7. Determine , para el circuito mostrado en la figura 5.40, sí: )(tvo

(tEtuvs =a) )(tEu= b) ) vs

8. Para el circuito de la figura 5.40, intercambie los capacitores y los resistores y repita el problema anterior.

Figura 5.40

Figura 5.41

9. Para el circuito de la figura 5.41. a. Sí el sistema está inicialmente en reposo, escriba el problema de valor inicial para el voltaje de salida sí la excitación es el escalón unitario. b. Determine el voltaje de salida y represente gráficamente. 10. Para el circuito de la figura 5.41 cambie los capacitores por inductores de 0.1H y repita el problema anterior.

ΩK10 ΩK10uF10

uF10)(tvs

∞

−

+)(0 tv

uF10 ΩK10 ΩK10

∞

−

+)(0 tv

)(tvs uF10 ΩK10

BIBLIOGRAFIA Notas de manejo de SPICE y MATHCAD. BOYLESTAD, Robert. Análisis introductorio de circuitos. Prentice Hall. Octava edición. México. 1998. 1152p. HAYT, Wiiliam; KEMMERLY, Jack. Análisis de circuitos en ingeniería. Mc Graw Hill. Quinta edición. México. 1993. 706p. DORF, Richard. Circuitos Eléctricos: Introducción al análisis y diseño. Alfaomega. Segunda edición. México. 1995. 1124p. SCOTT, Donald. Introducción al análisis de circuitos. Mc Graw Hill. COUGHLIN, Robert. Amplificadores Operacionales y circuitos integrados lineales. Pearson. Quinta edición. México. 1998. 518p. EDMINISTER, Joseph. Circuitos Eléctricos. Mc Graw Hill. Tercera edición. MERCADO, Norman. Ecuaciones Diferenciales en Ingeniería. Fondo editorial cooperativo. Primera edición. Medellín. 1994. 226p. ZILL, Dennis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Grupo editorial iberoamérica. Primera edición. México. 1982. 500p. VAN VALKENBURG, M.E. Análisis de redes. Limusa. Primera edición. México. 1979. 636p. JOHNSON, David; HILBURN, John. Análisis básico de circuitos eléctricos. Prentice Hall. Cuarta edición. México. 1991.

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