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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Teoria di Gamow dei decadimenti α

Lezione 4

Legge di Geiger-Nuttall

•  Il decadimento α è un decadimento a due corpi: –  Energia fissata: Eα~Qα

–  Si osserva una forte dipendenza di λ da Q:

•  legge di Geiger-Nuttal –  Piccole variazione di energia

risultano in grandi differenze nelle costanti di decadimento:

Esempio: •  208Po, Q=5.2 MeV, τ1/2~108 s •  186Po, Q=8.6 MeV, τ1/2~10-5 s

•  Spiegazione qualitativa di questo comportamento proposta da Gamow: –  Effetto tunnel quantistico

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 4 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2

http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2014.05.066

ln t1/2 = a +bQ

Modello di Gamow (Krane cap. 8)

•  La legge di Geiger-Muttall può venire spiegata fenomenologicamente dal modello di Gamow: –  Il nucleo (A,Z) è costituito da una particella α, intrappolata nel potenziale

generato dal nucleo (A-4,Z-2) –  Classicamente la particella è

confinata all’interno del raggio a del nucleo.

–  In meccanica quantistica ha una probabilità P non nulla di attraversare la barriera per effetto tunnel.

–  All’interno del nucleo, ha una ve- locità:

–  Colpisce la barriera con frequenza –  Il rate di decadimento è fP. –  Per V0=30 MeV, Q=5 MeV, A=200: v=0.14c = 0.42×108 m/s, f=3×1021 Hz


v = 2(Q +V0 )m

f = v / 2a

Ricaveremo questo ordine di grandezza parlando dei modelli nucleari

Modello di Gamow

•  La probabilità di superare la barriera di potenziale è data da:

–  dove il fattore G è definito da un’integrale sulla zona classicamente proibita

•  Per fissare le idee, consideriamo il decadimento α del 232Th (Z=90)


a = roA1/3 = 1.2A1/3 fm = 7.4 fmQ = 4.05 MeV

P = e−2G

G =2m!2

V r( ) −Q( )a

b

∫ dr

V r( ) =Z − 2( )2α!c

r

V a( ) =Z − 2( )2α!c

a= 34.2 MeV

b = Z − 2( )2α!cQ

= 62.5 fm

� poniamo

� A ampiezza incidente � B ampiezza riflessa � F ampiezza trasmessa

Barriera di potenziale


•  Consideriamo il moto di una particella in presenza di un barriera di potenziale.

•  Calcoliamo adesso la probabilità di trasmissione di un’onda piana: Effetto Tunnel

•  L’equazione di Schrödinger

•  diventa nelle 3 regioni

•  cerchiamo soluzioni della forma

H0 +V x( )( )Ψ = i!∂Ψ∂t Ψ x, t( ) =ψE x( )e−iEt /!

H0 +V x( )( )ψE = EψE

d2ψE

dx2+2m!2

EψE = 0 x < 0, x > a

d2ψE

dx2+2m!2

E −Vo( )ψE = 0 0 ≤ x ≤ a

ψE x( ) = Aeikx + Be−ikx x < 0

ψE x( ) = Cekox + De−kox 0 ≤ x ≤ a

ψE x( ) = Feikx x > a

k = 2m!2

Eko =2m!2

Vo − E( )

T =F 2

A 2

DIM



•  Per risolvere l’equazione –  continuità della funzione e della

derivata in x = 0

–  troviamo A e B

–  continuità idella funzione e

della derivata in x = a

•  In forma matriciale l’equazione è

A + B = C + D ikA − ikB = koC − koD

A − B = −i kokC + i ko

kD

A = C21+ ko

ik!"#

$%&+

D21− ko

ik!"#

$%&

B = C21− ko

ik!"#

$%&+

D21+ ko

ik!"#

$%&

Cekoa + De−koa = Feika koCekoa − koDe−koa = ikFeika

Cekoa − De−koa = i kkoFeika

ekoa e−koa

ekoa −e−koa"

#$$

%

&''

CD

"

#$

%

&' =

eika

i kkoeika

"

#

$$$

%

&

'''F

ψE x( ) = Aeikx + Be−ikx x < 0

ψE x( ) = Cekox + De−kox 0 ≤ x ≤ a

ψE x( ) = Feikx x > a

DIM



•  La soluzione è immediata

•  Richiamiamo la soluzione per A e B

CD

!

"#

$

%& =

12

e−koa e−koa

ekoa −ekoa!

"##

$

%&&

eika

i kkoeika

!

"

###

$

%

&&&F

ekoa e−koa

ekoa −e−koa"

#$$

%

&''

−1

=12

e−koa e−koa

ekoa −ekoa"

#$$

%

&''

=12

e(ik−ko )a 1+ ik / ko( )

e(ik+ko )a 1− ik / ko( )

"

#

$$

%

&

''F

AB

!

"#

$

%& =

12

1+ ko / ik 1− ko / ik1− ko / ik 1+ ko / ik

!

"##

$

%&&

CD

!

"#

$

%&

AB

!

"#

$

%& =

eikaF4

1+ ko / ik( ) 1+ ik / ko( )e−koa + 1− ko / ik( ) 1− ik / ko( )ekoa

1− ko / ik( ) 1+ ik / ko( )e−koa + 1+ ko / ik( ) 1− ik / ko( )ekoa

!

"

##

$

%

&&

=eikaF4

2 + i kko−kok

"#$

%&'

"#$

%&'e−koa + 2 − i k

ko−kok

"#$

%&'

"#$

%&'ekoa

i kko+kok

"#$

%&'e−koa − i k

ko+kok

"#$

%&'ekoa

"

#

$$$$

%

&

''''=eikaF4

4coshkoa − 2ik2 − ko2

koksinhkoa

−2i k2 + ko2

koksinhkoa

"

#

$$$$$

%

&

'''''

DIM


•  La soluzione finale è quindi:

•  Il coefficiente di trasmissione è

•  Per verificare la consistenza si può vedere che la somma dell’onda trasmessa e riflessa: |F|2+|B|2=|A|2


AB

!

"#

$

%& = eikaF

coshkoa +k2 − ko2

2ikoksinhkoa

k2 + ko2

2ikoksinhkoa

!

"

#####

$

%

&&&&&

T =F 2

A 2 =1

cosh2 koa +k2 − ko2( )2

4ko2k2sinh2 koa

1+ sinh2 koa

=1

1+k2 − ko2( )2

4ko2k2+1

"

#

$$

%

&

''sinh2 koa

=1

1+k2 + ko2( )2

4ko2k2sinh2 koa

T =1

1+ V02

4E(V0 − E)sinh2 koa

DIM

Effetto tunnel

•  Nella soluzione esatta della barriera di potenziale unidimensionale:

•  Il termine che ha il peso maggiore nel denominatore è

–  Il coefficiente in fronte all’esponenziale è O(1).

•  per fissare le idee prendiamo il caso k~ko,

•  La probabilità di attraversare la barriera di potenziale è quindi


T =1

1+ V02

4E(V0 − E)sinh2 koa

sinh2 koa =14e2koa − 2 + e−2koa( )

T ≈16E(V0 − E)

V02e−2k0a = 16ko2k2

k2 + ko2( )2e−2k0a

P ≈ 4e−2k0a = 4exp −2a 2m!2(Vo − E)

#

$%

&

'(

16ko2k2

k2 + ko2( )2≈ 4

DIM

Effetto tunnel

•  Un potenziale generico, V(r), può essere visto come la sequenza di una serie di barriere infinitesime. –  Ciascuna ha una probabilità di essere attraversata data da:

–  La probabilità di attraversare la barriera completa è data dal prodotto delle probabilità di attraversare le barriere infinitesimali

–  Ovvero

–  dove G è il fattore di Gamow


P ∝ e−2k0dr = exp −2 2m!2(V (r)−Q) dr

#

$%

&

'(

P ∝ e−2 k0 dr∫ = exp −2 2m!2(V (r)−Q) dr

a

b∫

$

%&

'

()

P ∝ e−2G

G =2m!2(V (r)−Q) dr

a

b∫

Fattore di Gamow


•  Mettendo insieme i risultati ottenuti otteniamo che la probabilità di decadimento per unità di tempo è data da

•  Ricordiamo che le approssimazioni fatte

rendono queste formule applicabili solo per trovare l’ordine di grandezza della vita media

•  Calcoliamo adesso G per il potenziale di Coulomb

λ = fP = v2a4e−2G =

2Qm2ae−2G

G =2m!2

V r( ) −Q( ) dra

b

∫

G =2m!2

Z − 2( )2α!cr

−Q⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12 dr

a

b

∫ =2mQ!2

Z − 2( )2α!cQ

1r−1⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

12 dr

a

b

∫ 2mQ!2

br−1"

#$%&'

12 dr

a

b

∫

=2mQ!2

b − rr

"#$

%&'

12 dr

a

b

∫ =2mQ!2

b1− r

brb

"

#

$$$

%

&

'''

12

d rba

b

∫

b = Z − 2( )2α!cQ

Fattore di Gamow


1− xx

dx =∫ x − x2 + arcsin x

=2mQ!2

b π2− arcsin a

b"

#$

%

&' −

ab−a2

b2(

)**

+

,--

G =2mQ!2

b arccos ab−

ab−a2

b2"

#$$

%

&''

G =2mQ!2

b 1− xx

"#$

%&'

12 dx

ab

1

∫

G =2mc2

Qα 2 Z − 2( )[ ] f a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

f ab

!"#

$%& = arccos a

b−

ab−a2

b2(

)**

+

,--

G =2mQ!2

b1− r

brb

"

#

$$$

%

&

'''

12

d rba

b

∫

b = Z − 2( )2α!cQ

DIM

G =2m!2Q

α!c 2 Z − 2( )[ ] f ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Decadimento α


•  La vita media risulta pertanto

•  Vediamo che la formula trovata giustifica la legge di Geiger-Nuttal

τ =1λ=

m2Q

a2e2G =

m2Q

a2exp 2α 2mc2

Q2 Z − 2( )[ ] f a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

lnτ = ln m2Q

a2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ 2α

2mc2

Q2 Z − 2( )[ ] f a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

debole dipendenza da lnQ

famiglie di curve in funzione di Z

dipendenza da Q-1/2

http://dx.doi.org/10.1016/j.physletb.2014.05.066

Decadimento α

A Q [MeV] τ1/2 [s] Modello di Gamow

220 8.95 10-5 3.3×10-7

222 8.13 2.8×10-3 6.3×10-5

224 7.31 1.04 3.3×10-2

226 6.45 1854 60

228 5.52 6.0×107 2.4×106

230 4.77 2.5×1012 2.0×1011

232 4.08 4.4×1017 2.6×1016


Tabella 8.2 del Krane

Il modello di Gamow spiega qualitativamente i dati: •  osservazioni usate per fissare i parametri del modello •  decadimento con nuclei più grandi (es. 12C) soppressi dalla

maggiore barriera Coulombiana

Decadimento α

•  Decadimenti α possono avvenire su stati eccitati del nucleo figlio. •  Righe monocromatiche:

–  permettono di determinare con precisione le energie di tali stati


Figura 4.1 del Das-Ferbel

ESERCIZI


Esercizio 1 (Esercizio 8.7 del Krane)

•  Calcolare il Q-valore del decadimento 224Ra→220Rn+α e, sapendo che il tempo di dimezzamento è di 3.66 giorni, calcolare il fattore di Gamow.

•  Stimare il tempo di dimezzamento per i possibili decadimenti 224Ra→212Pb+12C e 224Ra→210Pb+14C


Esercizio 2 (Esercizio 8.21 del Krane)

Decadimento α del 244Cm •  Questo decadimento popola lo stato fondamentale del

240Pu con rapporto di decadimento del 76.6% ed uno stato eccitato a 0.861 MeV, con rapporto di decadimento 1.6×10-6.

•  calcolare Q valore, energia e momento dell’α ed energia cinetica del nucleo di Pu.

•  Stimare il rapporto dei due modi di decadimento e confrontarlo con quello osservato


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