Lezione 3_Le Piastre-Equilibrio
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piastre
Transcript of Lezione 3_Le Piastre-Equilibrio
-
Corso diProgetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 2013
Dott. Marco VONADiSGG, Universit di Basilicata
[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/
Le Piastre
Equazioni di equilibrio e soluzioni
-
ly
x
bz
STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE
w 0 u , v 0 sulla Superficie Media
z = 0
xz
w(x, y, z) = w(x, y) , lineari sullo spessore
bz Forza per unit di Area [ ]2 LF
-
EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO
0,,
=+ xyxyxx QMM EQUILIBRIO X(momenti intorno a x)
0=+ QMM EQUILIBRIO Y
In presenza di sole forze ortogonali al piano della sezione
Procedendo eliminando i termini relativi al taglio
0,,
=++ zyyxx bQQ EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE VERTICALE
0,,
=+ yyyxxy QMM EQUILIBRIO Y (momenti intorno a y)
-
EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO
Riduciamo il problema dello studio delle piastre ad un problemacon una sola equazione in una sola incognita w
= fCMPoich vale lequazione di collegamento:
=
DMMM
xy
y
x
1000101
xy
yy
xx
w
w
w
( )23
112
=
hED
Esplicitando tutti i terminiDerivando due volte rispetto a x e y
-
EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO
+
= 2
2
2
2
yw
x
wDM x
+
= 2
2
2
2
yw
x
wDM y
22 yx
( )yx
wDM xy
=
2
1
Derivando due volte rispetto a x e y
-
EQUAZIONE DI LAGRANGE
Db
yw
yxw
x
w z=
+
+
4
4
22
4
4
4
2
EQUAZIONE DI LAGRANGE
Introducendo loperatore di Laplace2
2
2
2
yx
+
=
Tale equazione detta ancheEQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICAper le piastre a spessore costanteConsente di risolvere il problema in una sola incognita w
-
OPERATORE DI LAPLACE
Operatore di Laplace
2
2
2
2
yx
+
=
Lequazione di Lagrange si semplifica ulteriormente assumendo laLequazione di Lagrange si semplifica ulteriormente assumendo laforma
( )Db
ww z== 2
Loperatore di Laplace non varia se cambia il sistema diriferimento
-
MOMENTO INVARIANTE
Consideriamo la quantit:
+
+=
1yx MMM
Sostituendo le espressioni dei momenti flettenti:
Ha evidentemente la dimensionedi un momento
+
= 2
2
2
2
yw
x
wDM x
+
= 2
2
2
2
yw
x
wDM y
+
=
+
+
+
+= 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 yw
x
wDyw
x
w
yw
x
wDM
-
MOMENTO INVARIANTE
Ovvero: wDM =
Questo significa che il momento M calcolato in un generico puntodi una piastra indipendente dallorientamento del sistema dassidi riferimentoPer tale ragione al valore M si attribuisce il nome diPer tale ragione al valore M si attribuisce il nome diMOMENTO INVARIANTE
Tale invarianza non una propriet di M ma delloperatorelaplaciano
Dimostriamo tale propriet delloperatore laplaciano
-
OPERATORE DI LAPLACE
Per dimostrare che loperatore di Laplace invariante rispetto alsistema di riferimento ovvero rispetto al sistema di assiConsideriamo una funzione w(x,y). Ovviamente sar anche w(u,v)Siano ad esempio le coodinate di un generico punto P
sincos += yxuy
cossin += yxv
=
cossinsincos
yx
v
u
x
y uv
P
-
cos=x
u sin=yu
sin=x
v cos=yv
y uv
P
OPERATORE DI LAPLACE
sincosv
w
u
w
x
v
v
w
x
u
u
w
x
w
=
+
=
x
cossinv
w
u
w
yv
v
w
yu
u
w
yw
+
=
+
=
-
vux
=
sincos
vuy
+
=
cossin
Per sintetizzare la trattazione, consideriamo gli operatori:
OPERATORE DI LAPLACE
yx
;
Che si trasformano in:
2
22
2
22
2
2
sincossin2cossincosvvuuvux
+
=
=
Di conseguenza :
2
22
2
22
2
2
2
coscossin2sincossinvvuuvuy
+
+
=
+
=
-
222
2
22
2
22
2
22 coscossin2sinsincossin2cos
vvuuvvuu
+
+
+
+
OPERATORE DI LAPLACE
Di conseguenza sommando:
=
+
2
2
2
2
yx
2222 coscossin2sinsincossin2cos vvuuvvuu +
+
+
+
2
22
2
22
2
22
2
22 cossinsincos
vuvu
+
+
+
2
2
2
2
vu
+
=
-
Infine sommando membro a membro si ha:
OPERATORE DI LAPLACE
2
2
2
2
2
2
2
2
vuyx
+
=
+
Tale relazione rappresenta il concetto diinvarianza delloperatore di Laplace
Ovvero data una qualunque funzione w(x, y) in suo operatore diLaplace indipendente dal riferimento
-
Relazione di invarianza
OPERATORE DI LAPLACE
Poich il momento invariante stato espresso nel seguente modo
2
2
2
2
2
2
2
2
vuyx
+
=
+
+
=
22 ww
+
= 2
2
2
2
yw
x
wDM
Risulta:
+
=
+
= 2
2
2
2
2
2
2
2
v
w
u
wDyw
x
wDM
M invariante rispetto al sistema di riferimento
-
PSOLUZIONE DELLE PIASTRE INFLESSE
Nellipotesi di validit della teoria di Kirchhoff Love
In un qualunque punto P della piastra si ha
v
xz
x
u xPx
=
=
=
=
Pz x
yy
zyv yP
y
=
=
( ) ( )( ) ( )
xyxyy
yxyxx
zEE
zEE
+
=+
=
+
=+
=
22
22
11
11
Quindi:
-
In termini di sollecitazioni le ipotesi riportate si traducono in:
y
x
xzx
=
=
2
2
2
2h
h yzy
h
h xzx
dzQ
dzQ
SOLUZIONE DELLE PIASTRE INFLESSE
x
z
xxyyz y
yx
Qx y
x
z
MxMxyQy
MxyMy
=
=
=
2
2
2
2
2
2
h
h xyxy
h
h yy
h
h xx
dzzM
dzzM
dzzM
2
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
x
Bordo incastratoBordo rettilineo parallelo allasse y incastrato
y
Sono nulli spostamento e rotazione lungo il bordo
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
x
Bordo incastrato parallelamente a y
y
Lungo tale bordo (contorno) risulta00
0
=
=
=
y
x
w
Le uniche reazioni vincolari che interessano sono
xyxx MMQ ;;
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
Se il bordo incastrato non parallelo ad uno dei due assi lecondizioni al contorno diventano:
00
0
=
=
=
bordo
w
0=bordo
Le uniche reazioni vincolari che interessano sono taglio, flessionee torsione
xyxx MMQ ;;
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
Bordo appoggiato parallelamente a y
x
Le condizioni al contorno devono esprimere lannullarsidellabbassamento in corrispondenza del vincolo di bordo elannullarsi del momento intorno al bordo stesso
0;0 == xMw
y
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
Dalla teoria di Kirchhoff
yw
x
w
y
x
=
=
02
2
2
2
=
+
yw
x
w 02
2
=
x
w
Se il bordo su cui la piastra appoggiata parallelo a x si ha:
In entrambi i casi lungo il bordo si ha:022
=
yw
0=w 0=M
Poich M invariante rispetto al sistema di riferimento dellecoordinate le condizioni
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
Questo vuol dire che w invariante rispetto allasse del bordo
esprimono un vincolo di appoggio comunque sia orientato nelpiano x, y
0=w 0=M
Questo vuol dire che w invariante rispetto allasse del bordo(appoggio)Poich anche M invariante (per definizione) qualunque bordocomunque orientato su cui la piastra appoggiata gode dellepropriet suddette ovvero
022
2
2
==
+
wyw
x
w
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
Bordo libero
x
Differisce dal caso del bordo appoggiato perch diviene nulla lareazione R ma non nullo labbassamento verticale. Le condizionilungo il bordo sono dunque
0;0 == fMR
y
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
Bordo libero
Se il bordo libero parallelo allasse y si ha
+
= 2
2
2
2
yw
x
wDM x
yM
x
My
MQR xyxxyx
+
=
+= 2
La reazione vale
( )
+
+
=
xyw
xyw
ywDR 2
3
2
3
3
3
12
-
LE CONDIZIONI AL CONTORNO
Bordo libero
( )
+
=
xyw
ywDR 2
3
3
3
2
Le condizioni al contorno diventano quindi:
( ) 02 23
3
3
=
+
xyw
yw
022
2
2
=
+
yw
x
w
-
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
x
yUna piastra si consideraindefinitamente appoggiata se hauna dimensione longitudinale y ,nella direzione parallela agli appoggi,tanto maggiore della direzionetrasversale x da poter essereconsiderata di lunghezza indefinita
L
x
Soggetta ad un carico esternoortogonale al piano della piastra evidente che la deformata sarcontenuta soltanto nel piano (x, z)ovvero sar una deformazione ditipo cilindrico ed indipendente da y
considerata di lunghezza indefinita
-
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
Possiamo considerare lanalogia conla una trave appoggiata
In tal caso la deformata dipendesoltanto dalla coordinatalongitudinale x (come per le travi)L
x
p0
( )33400 224 xLLxxEJp
w +=
12
3hJ =
Per una trave appoggiata agli estremi, di altezza h e larghezzaunitaria, e soggetta ad un carico uniformemente ripartito p0 ladeformata data da:
-
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
Analogia Trave Piastra
La deformata cilindrica corrisponde al carico p0 uniforme con:
Mx Pari al momento di una trave appoggiata e caricata con p0
My Pari a Mx
La deformazione uguale a quella della trave appoggiatamoltiplicata per (1 )2
Tali risultati si spieganoconsiderando ilcomportamento di unastriscia isolata, dilarghezza unitaria, di unapiastra generica
y
L = 1
1+y
1-yx
( )20 1 = ww
-
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
La deformazione trasversale dovuta alleffetto Poisson ha valore:
Nella piastra indefinita, invece, la deformazione trasversale nulla
Ex
xy
==
0= ( ) 01 == L = 10=y ( ) 01 == xxy E Le tensioni e sollecitazioni valgono quindi
xy = xy MM =Infine la deformazione vale:
( ) xyxx EE
211
==
y
-
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
x
yPer lanalogia con la trave risultaevidente che considerando delle singolestrisce di larghezza unitaria ciascuna diqueste potr essere trattata come latrave appena descritta. La deformatacilindrica (funzione solo di x) vale:
L
x
( )3340 224
)( xLLxxD
pxw +=
Si ricava inoltre:
( )LxxD
px
w=
20
2
2
20
2
2
2
=
=
xyw
yw
-
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
=
20L
xpQx 0=yQ
Le sollecitazioni taglianti valgono:
0pp =x
y
( )LxxpM x 22 20 =xy MM =
0=xyM
I momenti flettenti
L
x
-
Da quanto finora visto risulta evidente che la risoluzione delproblema delle piastre consiste nella determinazione delladeformata w nota la quale possibile tramite le equazioni diequilibrio e di collegamento determinare tutte le caratteristichedella sollecitazione
METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE
Equazioni di equilibrioNoti abbassamenti w Equazioni di equilibrioe collegamento
Noti abbassamenti w
Sollecitazioni
La risoluzione del problema in coordinate rettangolari equivalealla risoluzione dellequazione di Lagrange portando in conto lecondizioni al contorno
-
I metodi di risoluzione del problema delle piastre sono moltissimia seconda dei vari casi particolari a cui ci si riferisce
Tra i pi comuni e che di seguito sono trattati ricordiamo
METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE: ESEMPI
Metodo di risoluzione di NAVIER per la piastrarettangolare appoggiatarettangolare appoggiata
Metodo di risoluzione alle DIFFERENZE FINITE
Metodo di risoluzione agli ELEMENTI FINITI
-
La soluzione di Navier per la piastra di forma rettangolareappoggiata sul contorno deriva dalla teoria di Kirchhoff
LA SOLUZIONE DI NAVIER
necessario innanzi tutto ricordare losviluppo in serie di Fourier dei seni
( )
=
=
1sin
n
na
xnaxf pi ax 0
Data una generica funzione f(x) della variabile x definita in unintervallo 0 a si definisce sviluppo di Fourier in serie di senidella funzione f(x) in un intervallo 0 a convergente in ognipunto dellintervallo ad f(x) la seguente espressione:
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Sviluppo in serie di Fourier dei seni
I coefficienti a1 , a2 , ., an si chiamano coefficienti di Fourierdella funzione f(x) nellintervallo 0 aPer determinare i coefficienti di Fourier di un data funzione siprocede nel seguente modo
( )
=
=
1sinsinsin
n
na
xr
a
xna
a
xrxf pipipi
Moltiplicando entrambi i membri per ( )axrpisin
Essendo r un qualsiasi intero positivo
-
Integrando in x tra 0 ed a
LA SOLUZIONE DI NAVIER
( )
=
=
1 00
sinsinsinn
a
n
a
dxa
xr
a
xnadx
a
xrxf pipipi
Com noto per un sistema di funzioni ORTOGONALI si ha:
=a
dxa
xr
a
xn
0
sinsin pipinr
a
nr
=
2
0
( )2
sin0
aadx
a
xrxf r
a
=pi ( ) dx
a
xnxf
aa
a
n =0
sin2 pi
Per cui la sommatoria si riduce al solo termine n = r
-
Consideriamo la somma parziale:
LA SOLUZIONE DI NAVIER
=
=
q
n
nqa
xraS
1sin pi
Ovvero la serie di Fourier interrotta al suo termine q-esimo
Si pu dimostrare che Sq approssima la media di f(x)nellintervallo 0 a . Lapprossimazione migliora con laumentodel numero di termini (q) consideratiIn sostanza per
Lerrore tende ad annullarsi
q
-
Consideriamo la somma parziale:
LA SOLUZIONE DI NAVIER
=
=
q
n
nqa
xraS
1sin pi
-
Sotto ipotesi generalmente verificate lo sviluppo in serie di seniconverge alla f(x) in ogni punto eccettuati eventualmente gliestremi
Per una funzione simmetrica sono nulli tutti i termini di Fourier diordine PARI mentre per una funzione antisimmetrica sono nulli itermini di ordine DISPARI
LA SOLUZIONE DI NAVIER
termini di ordine DISPARI
Sviluppo in doppia serie di seni per una funzione di due variabili
( )
=
=
=
1 1sinsin,
m n
mn byn
a
xmayxf pipi
( ) =
=
=
=
=
ax
x
by
ymn dxdyb
yna
xmyxfab
a0 0
sinsin,4 pipi
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
ya
b
Piastra rettangolare
xPer quanto visto in relazione allo sviluppo in serie di Fourier sipu affermare che lo sviluppo in doppia serie di seni si annulla sulcontorno insieme con le sue derivate seconde, ovvero:
22
22
; yx
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata caricatasinusoidalmente. Supponiamo che sia sinusoidale anche ladeformata ovvero che risponda ad una legge del tipo:
byn
a
xmaw mn
pipisinsin=
Applicando quanto visto in precedenza sullo sviluppo in serie di
Sul contorno lecondizioni sono:
0=w 0;0 22
2
2
=
=
yw
x
w
Applicando loperatore di Laplace alla legge della deformata
wbn
a
m
byn
a
xma
bn
a
mw mn
+=
+= 2
2
2
22
2
2
2
22 sinsin pipipipi
Applicando quanto visto in precedenza sullo sviluppo in serie diFourier si ha:
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
byn
a
xma
bn
a
mw mn
pipipi sinsin
2
2
2
2
242
+=
Quindi:
Sostituendo nellequazione di Lagrange e risolvendo rispetto alcarico esterno si ha:
byn
a
xmbb mnzpipi
sinsin=
Db
w z=2 22
2
2
24
+
=
bn
a
mD
ba mnmn
pi
carico esterno si ha:
Inversamente dato un carico esterno si pu determinare ladeformata w e risulta
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
( )
= sinsin, mnz byn
a
xmbyxb pipi
Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata comunquecaricata
Basta sviluppare il carico esterno in serie di seni (Fourier)ponendo:
Noti quindi i coefficienti bmn si pu determinare la deformata
( ) = =
=
1 1sinsin,
m n
mnz babyxb
( )
=
=
=
1 1sinsin,
m n
mn byn
a
xmayxw pipi
Il carico e quindi la deformata vengono decomposti in ondesinusoidali
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Questo procedimento che consiste nel decomporre il carico e ladeformata in onde sinusoidali prende il nome di
Soluzione di NAVIER
importante ricordare che lutilizzo di tale procedimento discomposizione i serie di seni per la risoluzione del problema dellapiastra dipendono dal verificarsi delle seguenti condizioni:piastra dipendono dal verificarsi delle seguenti condizioni:
La funzione incognita sia finita in tutto il suo campo didefinizione
Si annulli insieme alle sue derivate sul contorno deldominio rettangolare
Nellequazione compaiano solo derivata di ordine paririspetto alla variabili
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Applicazione e gradi di approssimazione del metodo diSoluzione di NAVIER
Nelle applicazioni pratiche non possibile considerare gli infintitermini delle doppie serie relative ai carichi e alla deformata
Si pone quindi:
( ) = =
=
q
m
q
n
mnz byn
a
xmbyxb1 1
sinsin, pipi
( ) = =
=
q
m
q
n
mn byn
a
xmayxw
1 1sinsin, pipi
Si prendono in considerazione soltanto i primi q2 termini della serie
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente
Dallespressione: ( ) =
=
=
=
=
ax
x
by
ymn dxdyb
yna
xmyxfab
a0 0
sinsin,4 pipi
Si ottiene:zmn b
mnb 16= Per n ed m dispari
mn
2
2
2
2
;yw
x
w
Si possono quindi ricavare i coefficienti di Fourier per
( ) 2max 100410.0 abM z +=
Considerando solo il I termine si ottiene :
Dabw z
4
max 00416.0 =
-
LA SOLUZIONE DI NAVIER
ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente
( ) 2max 100368.0 abM z += I valori esatti sono invece:
Dabw z
4
max 00406.0 =
Lerrore percentuale che si compie sulla deformata pari a 2.5%.Lerrore percentuale che si compie sulla deformata pari a 2.5%.La convergenza praticamente immediata
Per il momento M lerrore pari a circa il 10%. La convergenza pi lenta
Per ottenere pi rapidit di convergenza ci sono ulterioriprocedimenti variabili in funzione degli specifici casi a cui ci siriferisce
-
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
Il metodo semplificato di Grashof per la soluzione delproblema della piastra rettangolare appoggiata sul contorno
y
bz
x
Si immagina che la piastra sia costituita da strisce affiancate nelledue direzioni x e y. Le strisce nella direzione x portano la quotaparte del carico esterno bz,x quelle in direzione y la quota parte delcarico esterno bz,y con:
yzxzz bbb ,, +=
-
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
La congruenza imposta in corrispondenza del centro dellapiastra. Si intuisce che le due strisce centrali, nelle direzioniortogonali x e y, hanno lo stesso abbassamento
4lp
Poich gli abbassamenti sono proporzionali al carico ed alledimensioni della piastra secondo lespressione:
4xxlp4yylp
Per la striscia parallela a x
Per la striscia parallela a y
Deve risultare:44yyxx lplp =
Da cui:44
4
yx
yx ll
lpp
+= 44
4
yx
xy ll
lpp+
=
-
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
I corrispondenti momenti valgono
44
2222
81
81
yx
yxyxxx ll
llpllpM
+== 44
2222
81
81
yx
yxxyyy ll
llpllpM
+==
da notare che nella direzione del lato minore si ottiene la da notare che nella direzione del lato minore si ottiene lasollecitazione maggiore:
2
2
x
y
y
x
ll
MM
=
Come daltronde si pu intuire considerando che, a parit diabbassamento in mezzeria, la striscia pi corta deve avere unacurvatura maggiore quindi un momento maggiore
-
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
Ne consegue che per piastre di forma allungata la collaborazionetra le strisce di lunghezza maggiore diventa irrilevante
y
bz2
2
y
x
x
y
MM
ll
x
0625.04111.0325.0211
yx Ml
-
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
Nella realt al funzionamento a graticcio considerato dal metododi Grashof si sovrappone linterazione torsionale tra strisceparallele
SP1PQ1Q S
Consideriamo due strisce adiacenti individuate rispettivamente daipunti PSP1 e QTQ1. Le rotazioni delle strisce in S (S) ed in T (T)considerate indipendenti sono diverse il che implica che le strisceortogonali sono soggette a torsione.
TT
-
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
Il metodo di Grashof condurrebbe invece ai seguenti risultati
T
SP1PQ1Q
T
S
b T2z
yxbpp ==
%6000651.02384
5 44max +=== D
abDab
w zz
%700625.028
1 22max +=== aba
bM zz
-
Per membrana intendiamo un elemento strutturale superficialeavente rigidezza flessionale nulla
Consideriamo una membrana di forma qualsiasi che sia tesauniformemente sul suo contorno
Tale azione esercitata da una forza H per unit di lunghezza
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
-
Tutti gli elementi interni sono tesi della stessa quantit (la forza H)
1
H
H
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
1
H
Supponiamo di applicare un carico p ortogonale alla membrana
-
Sia il carico p tale da creare abbassamenti w senza alterare lostato tensionale dovuto ad H, ovvero siano gli abbassamenti w(incogniti) piccoli
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
H
H
H
H
p
-
Consideriamo nello spessore della membrana un elemento dx, dy
Esaminiamo lo stato di equilibrio di tale elemento in direzionenormale al suo piano
Gli spostamenti v sono determinati nellipotesi che sianoabbastanza piccoli da non provocare sensibile variazioni di H
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
dy
dx
-
Lo stato di equilibrio delle forze in direzione normaleallelemento dx dy analizzato considerando:
Il carico pLa componente della forza H lungo il lato dy HdyLa componente della forza H lungo il lato dx Hdx
dxH
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
dy
dx
H
H
12
H
H
-
Il carico esterno vale pdxdyLe componenti di H lungo yvalgono:
1sin dyH
2sin+ dyH
dy
dx
H
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
H
12
Nellipotesi di piccole deformazioni
x
w
11 tansin dxx
w
x
w2
2
2sin
+
=
-
xwdyH
dy
dx
H1
+
+ww 2
Le componenti di H lungo ydiventano:
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
H
12
+
+ dxx
w
x
wdyH 22
x
wdyH
+
+ dxx
w
x
wdyH 22
dxdyx
wH 22
=
La somma delle componenti di H lungo y
-
dy
dx
H1
dxdyywH 2
2
Analogamente le componentilungo il lato dx delle forze Hvalgono
Lequilibrio quindi si
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
H
12
Lequilibrio quindi sidetermina come
022
2
2
=
+
+ dxdyywHdxdy
x
wHdxdyp
-
dy
dx
H1
Da cui semplificando
Hp
yw
x
w=
+
2
2
2
2
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
H
12 Equazione delle superficie
elastica deformata dellamembrana (detta anchesuperficie funicolare)
Hp
w =
-
dy
dxLa trattazione esposta analoga alla curva funicolare definita perun carico p
H
ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
H
H
12
H
H
Hp
x
y=
2
2
Hp
wyw
x
w==
+
2
2
2
2
-
ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Lanalogia con la piastra comporta inoltre1. Lequazione differenziale del momento invariante di una
piastra caricata con carico p coincide con quella funicolare diuna membrana caricata dal carico p e soggetta ad unatensione uniforme H = 1.Le ordinate della funicolare, nulle sul contorno, coincidonocon il momento M in tutti i casi in cui M risulti nullo sulcon il momento M in tutti i casi in cui M risulti nullo sulcontorno
2. Lequazione differenziale della superficie elastica di unapiastra soggetta al momento invariante M coincide con quelladi una membrana caricata dal carico fittizio p = - M / D esoggetta alla tensione uniforme H = 1Le ordinate delle due superfici coincidono se la piastra vincolata sul contorno dove sar w = 0
