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Rivelatori di Particelle 1

Lezione 3 Acceleratori

••Lezione 3. ….. riassuntoLezione 3. ….. riassunto–– Anelli di collisioneAnelli di collisione

• Generalità e definizione della luminosità (R=R=σ σ LL)

–– Oscillazioni e stabilità dei fasciOscillazioni e stabilità dei fasci•• OscillazioniOscillazioni longitudinali o di fase o di di

sincrotrone sincrotrone dovute alla radiofrequenza•• OscillazioniOscillazioni trasversali o di betatronebetatrone. Sono

causate dai campi magnetici.• Piano di fase trasverso : Emittanza ed accettanza: Emittanza ed accettanza


Lezione 3Lezione 3 Anelli di collisioneAnelli di collisione

Anelli di accumulazione ( generalitAnelli di accumulazione ( generalitàà ))In un Collider tutto funziona come in un sincrotrone, ma le particelle non vengono estratte alla fine del ciclo, ma mantenute nell’anello (e+e-, p-antip) o negli anelli ( pp ) e mandate a collidere l’una contro l’altra.In un anello di collisione si guadagna moltissimo in energia ( siamo nel c.m.) anche se si perde in rate. [ luminosità minore]


Lezione 3Lezione 3 Anelli di collisioneAnelli di collisione

Energia

a

bAcceleratorepb=0

s=ma2+mb

2+2Eamb~2Eamb

a b

Anelli di collisione|pa|=|pb|

s=(Ea+Eb)2

0.5550

103

105

107

110

100

e+e-

550

500

525200

5.4x105

10100

1000

pp

E fascio (GeV) Collider

E fascio (GeV)Acceleratore

s½ (GeV)


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositàà

Un anello di collisione non è altro che un sincrotrone fasci in bunch.Un bunch colpisce un altro bunch che si muove in senso opposto.

In questo caso più che di intensità del fascio (fasci) si parla diluminosità della macchina. La luminosità dipende anche dalla

geometria dei fasci e dalla loro densità.

La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’urto unitaria.

Per chiarire il concetto consideriamo: 1) un fascio estratto da un acceleratore che colpisce una targhetta.2) due fasci di un collider che collidono l’uno contro l’altro.



1) Fascio su targhettaConsideriamo un fascio di intensità n1 particelle che colpisce una targhetta di lunghezza l e di densità di particelle n2per ogni singola particella il numero di interazioni nella targhetta sarà

N=σintx n2xlessendo σint la sezione d’ urto di interazione. Le dimensioni trasverse del fascio e della targhetta non entrano in gioco (targhetta > dimensioni fascio).Il rate è

R=(dN/dt)=σintxn1xn2xle combinando le caratteristiche della targhetta e del fascio:

R=σintxLL = luminosità ed ha le dimensioni [cm-2s-1]La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’ urto unitaria.



2) ColliderNel caso di un collider invece:

Importano le dimensioni ed allineamento dei fasci.Possiamo non essere nel c.m. (Hera, PEP2).Le particelle (bunch) possono incrociarsi ad angoli ≠ 0.

Quale semplice esempio consideriamo un collider ad e+e- oppure protone antiprotone. In questo caso i due fasci viaggiano nello stesso anello, in direzioni opposte, ma collidono in pochi punti, poiché sono tenuti separati al di fuori di questi punti.Nel caso protone-antiprotone si possono tenere separati i due fasci con dei quadrupoli. Nel caso e=e- (LEP) i due fasci sono tenuti separati elettrostaticamente. +

- Vmax=± 150 KV

4 metri


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositààConsideriamo 2 pacchetti in cui la densità di particelle per unità di area nel piano trasverso è dato da:

Cioè 2 distribuzioni gaussiane identiche e normalizzate ad un totale di n1 ed n2particelle rispettivamente.

+−

+−

=

=

2

2

22

2

2

22

2222

2211

2

2

yx

yx

yx

yx

yx

yx

endsdn

endsdn

σσ

σσ

σπσ

σπσ


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositààIl numero di interazioni per ogni incrocio dei fasci si ottiene integrando su tutte le particelle del fascio 1 moltiplicato per la loro probabilità di interazione. Il numero di particelle del fascio 1 in un elemento di area dxdy è:

la probabilità di interazione di una particella del fascio 1 che si trova in x,y è:

= al numero di particelle del fascio 2 che si trovano in un’area pari alla σint

( ) dxdyenyxdn yx

yx

yx

⋅=

+− 2

2

22

2211 2

, σσ

σπσ

( ) int222

2

2

2

22

2, σ

σπσσσ ⋅=

+−

yx

yx

yx

enyxdn


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositààIl numero totale di interazioni per bunch e per incrocio sarà:

Infatti:

( ) ( )

yx

yx

yx

yx

yx

nnedyedxnn

dxdyennyxpyxdnN

yx

yx

σπσσ

σσπσ

σσπσ

σσ

σσ

44

4,,

21int222

21int

22221

int1int

2

2

22

2

2

2

2

=⋅⋅=

==

∫∫

∫∫∞+

∞−

−∞+

∞−

−

+−

σπσπσπ

σσ ⋅== ∫∫

−∞+

∞−

−2

2

2

2

22

22

1x

x

dxedxe x


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositààSe abbiamo k pacchetti in ogni fascio ( 2k punti di incrocio ) e se f è la frequenza di rivoluzione il rate per incrocio è:

Oppure usando le correnti i1=n1ef ed i2=n2ef

kfnnL

fk

nnLR

yx

yx

σπσ

σσπσ

σ

4

4

21

int21

int

=⇒

⋅=⋅=

221

4 ekfiiL

yxσσπ=


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositàà• Esempio: paragone acceleratore-collider (stessa energia nel c.m. e

stessa sezione d’urto di interazione (e.g. e.m. ~ 1µb)

• Acceleratore

< l >n (s-1)

n= densità del fascio incidente =1012 q s-1

ρ= densità della targhetta = 1gr/cm3

l= spessore della targhetta =1cm

σint= σem = 1µb

A= numero di Avogadro = 6x1023

15int 106 −×=⋅⋅⋅⋅= sAlnR σρ


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositàà• Collider

n1 n2

n1=n2= particelle per fascio

i1= i2=50 mA n1=n2= 3.3x1017 q s-1

F= sezione trasversa dei fasci= 0.1x0.01 cm2

B= numero di bunch = 1

f= frequenza di rotazione = 106 s-1

1int2

21int

21 100 −≅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅= s

Fefii

FfnnR σσ


Lezione 3Lezione 3 LuminositLuminositààOsserviamo L ~ 1032 cm-2 s-1.

Luminosità tipiche di collider e+e- sono 1031÷1032

LHC (pp) ha una luminosità di progetto di 1034


Lezione 3 Oscillazioni e stabilitLezione 3 Oscillazioni e stabilitàà dei fascidei fasci

La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano in pacchetti (bunch).

In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la particella passa nella cavità a RF con la fase Φ non giusta (ma comunque molto vicina a ΦS ) delle oscillazioni di sincrotrone o oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia).

Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in genere minore) alla frequenza di rivoluzione.



Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve passare nella RF quando questa ha una fase ΦS<π/2 per un acceleratore circolare a focalizzazione forte (con quadrupoli) quando la particella accelerata è non relativistica ( γ ~1 ), mentre per γ più elevato deve essere π/2<ΦS<π.

Questo comporta che all’iniezione ho una certa fase, che cambia per γ più elevato devo spegnere la RF si spacchetta il fascio posso perdere il fascio.


Lezione 3 StabilitLezione 3 Stabilitàà dei fascidei fasci

La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:

Con τ periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita.

Differenziando ln(ω) otteniamo:

Dove αp è chiamato fattore di compressione dell’impulso.

L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come:

Si osserva che ηtr<0 quando l’energia del fascio è maggiore di Utr=γtrmc2 mentre è >0 per sincrotroni all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari.

È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico.

22Lcπβ

τπω ==

pdp

LdLddd

p

−=−=−= α

γββ

ττ

ωω

2

1

222

111

trptr γγ

αγ

η −=−=


Lezione 3 Oscillazioni di sincrotroneLezione 3 Oscillazioni di sincrotrone

Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata con l’indice s) tramite le seguenti relazioni:

Energia totale U = Us+δU

Impulso p = ps+δp

Frequenza angolare ω = ωs+δω

Periodo di rivoluzione τ = τs+δτ

( δω e δτ hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo scrivere:

ωrf = hωs

Con h intero. h è chiamato numero armonico e rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un giro della particella sincrona. Se indichiamo con φs la fase del voltaggio della RF quando la particella sincrona arriva alla cavità RF e con φ quella della particella generica avremo:

ϕ= δφ = φ – φs



Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi quando la particella attraversa la cavità a RF):

∆U = qV sinφ

∆us = qV sinφs

Se all’ inizio del giro n la differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (δU)n=U-Us alla fine del giro n sarà:

(δU)n+1=(U+∆U)-(Us+∆ Us)

Dopo un giro avremo che δU cambia di

∆(δU)=∆U- ∆Us=qV(sinφ-sinφs)

Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere:

Che diventa definendo W=-δU/ωrf=-(U-Us)/ωrf

( ) ( ) ( )sss

qVUdtUd φφω

πτδδ sinsin

2−=

∆≅

( )φφπ

sinsin2

−= shqV

dtdW



Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo:

∆ϕ≅(dϕ/dt)τs=ωrfδt

Dove δt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF.

Dopo un giro δt cambia di:

∆(δt)=τ-τs=δτ=-ηtrτ(dp/p)

Dove

Sostituendo la dW/dt nella dϕ/dt otteniamo per le oscillazioni di fase della particella generica:

WUdt

ds

trrf2

2

βηωϕ

≅ UUp

p δβ

δ2

1=

( ) 0sinsin2 2

2..=−+ s

s

trs

UqVh φφ

πβηωϕ



Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere:

ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico:

Ωs è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone.

Osserviamo che ηtrcosφs deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e per assicurare la stabilità di fase.

Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che Ωs/ωs<<1.(meno di un’oscillazione per giro).

( ) 0sinsin2 2

2..=−+ s

s

trs

UqVh φφ

πβηωϕ

sss φφϕϕφφ sincos)sin(sin +≅−=

22

2..

2cos

con 0

mcqVh str

ss

s

γπβφηω

ϕϕ

=Ω

≅Ω+


Lezione 3 Oscillazioni di BetatroneLezione 3 Oscillazioni di Betatrone

Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che funzionano quali lenti convergenti (divergenti).

Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di betatrone



Oscillazioni di βtrone.Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari.

Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se B è uniforme e verticale in direzione).

P1 dista da P2 ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa per giro. (numero di oscillazioni = νx=Q=1).

Attenzione: un angolo di deviazione α=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dàuna deviazione =αρ (ρ raggio dell’acceleratore), ma se ρ=1 km αρ=1m tubo a vuoto enorme ed apertura del magnete enorme.

P2P1 P1 P2s



Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va.

Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy)

Oscillazioni di betatrone

Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte)



Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di sincrotrone ( SPS(CERN) Tsinc≤ 100000 Tβtrone (radiali) ).

Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali).

Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza > di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la dispersione in impulso.

Tubo a vuoto ellittico



Consideriamo il sistema di coordinate:

Si puo’ mostrare che:

Discorso del tutto analogo per le x.

sxy

y’=dy/ds

x’=dx/ds

costante''2)( 022 ===++= ellisseRyyyysR βαγ

+==

4'11,'

21 2β

βγβα



L’equazione:

è l’equazione di un’ ellisse di area πR2=πσσ’ con σ e σ’ = semiassi dell’ellisse.

L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare di s, in quanto α, β, γ dipendono da s.

β (funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e

β=σ/σ’

costante''2)( 022 ===++= ellisseRyyyysR βαγ



β=σ/σ’

In un anello di collisione conviene avere β basso, ovvero focalizzare nel punto d’interazione.

<β>arc=80 m βI.P.=0.5 m

LHCLHC


Lezione 3 Emittanza ed accettanzaLezione 3 Emittanza ed accettanza

Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del fascio sono contenuti in πR0 (area ellisse), πR0 è per definizione l’emittanza del fascio.

Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti.

Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano trasverso. Questo è quasi vero, comunque se varia adiabaticamente (ovvero molto lentamente), l’invariante diventa:

msR

psR

βγ)()(cost ==



Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’)

Fondamentale conoscere yB in quanto determina le dimensioni sia del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il fascio di accettanza nota.

BB

y

y’

yB

y’B

L’inviluppo delle traiettorie delle particelle del fascio non è altro che l’ascissa del punto B (quello con la y maggiore) in funzione di s



Accettanza.Accettanza.L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla camera a vuoto all’iniezione.

Accettanze ed emittanze si esprimono in π (mmxmrad)

Accettanza tipica di un sincrotrone è:

~ 30 π (mmxmrad)

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