Les Boques del Cel

De segur que tenia poders màgics. Aquell cofre d’eben amb guarniments de plata l’atreia d’una manera tal que donaria qualsevol cosa per esbrinar el contingut que el seu mestre, en Claudi Ptolemeu, hi guardava zelosament.

El moment havia arribat i el cor l’amenaçava d’escapar-se-li per la boca. En Ptolemeu, per fi, havia acabat la seva feina i es disposava a revelar el misteri. El jove Nemes l’apressava parlant sense parar.

–Sabeu, mestre? Sempre he volgut veure el tresor del cofre. De vegades somniava que em podia fer tan petit que hi podia entrar pel pany i, aleshores, el món sencer era dins, i corria mil aventures, i... Si us plau, digueu-me què hi ha dins!

En Ptolemeu no es va poder aguantar el riure i, mentre obria el cofre, amb gran solemnitat, li va dir:

–Aquí tens tot el món: els mars i les terres, els rius i els deserts, les muntanyes i les valls.

En Nemes no podia donar crèdit al que veia: un mapa que representava tot el món. Va resseguir el Nil amb el dit i, de sobte, va exclamar:

–El naixement de la divinitat és tal com diuen els sacerdots: «Trobaràs les Boques del Cel més enllà de les Muntanyes de la Lluna.» Però, com heu estat capaç de saber-ne l’indret exacte si no heu viatjat mai a aquests llocs?

–Parlo amb els viatgers, n’hi ha que mesuren els angles amb els quals es veuen alguns estels, cosa que me’n dóna la posició exacta: a angles iguals hi corresponen distàncies semblants.

L’altura sobre el costat desigual, que fa 5 cm, d’un triangle isòsceles és de 4 cm. Quina mida tindria un triangle semblant si l’altura fos de 7 cm?

45

7 5 74

8,75 cm= = =x

x→ ⋅

4 cm

5 cm

7 cm

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 213

214

EXERCICIS

Calcula les raons trigonomètriques dels angles α i β.

a) b)

Troba les raons trigonomètriques dels angles:

Raona per què les raons trigonomètriques d’un angle no depenen del triangleque escollim.

Si les raons no depenen del triangle és perquè són triangles semblants, i el quocient dels seus costats és constant.

003

h = + =

= = = =

56 33 65

56

650 86

33

650 51

2 2 cm

sin , sin ,

c

α β

oos , cos ,

tg , tg

α β

α β

= = = =

= =

33

650 51

56

650 86

56

331 7 == =

33

560 59,

33 c

m

56 cm

h

α

β

002

b) sin , sin ,

cos ,

α β

α

= = = =

= =

20

290 69

21

290 72

21

290 722

20

290 69

20

210 95

21

201 05

cos ,

tg , tg ,

β

α β

= =

= = = =

a) sin , sin ,

cos , co

α β

α

= = = =

= =

15

250 6

20

250 8

20

250 8 ss ,

, tg ,

β

α β

= =

= = = =

15

250 6

15

200 75

20

151 33tg

29 cm

20 cm

β

α

21 cm

15 cm

20 cm

25 cmβ

α

001

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 214

215

7SOLUCIONARI

Calcula la resta de raons trigonomètriques mitjançant les relacions que hi haentre elles:a) sin α = 0,3 b) sin β = 0 c) cos γ = 0,4 d) tg δ = 2

Hi ha cap angle amb sin α = 0,4 i cos α = 0,6? Justifica la resposta.

sin2 α + cos2 α = 1

(0,4)2 + (0,6)2 = 0,16 + 0,36 = 0,52 � 1 → No n’hi ha cap.

Hi ha cap angle amb tg α = 2 i amb el sinus que sigui el doble que el cosinus?

Calcula el valor de les expressions següents:

a) cos 30° − sin 60° + tg 45° c) tg 60° + sin 45° − cos2 30°b) cos2 60° − sin2 45° d) tg 30° + tg 60° − sin 30° ⋅ cos 30°

d) 30° 60° 30° 30°tg tg sin · cos ·+ − = + −3

33

1

2

3

2

13 3

12=

c) 60° 45° 30°tg sin cos+ − = + − =+ −2 3

2

2

3

4

4 3 2 2 3

4

b 60° 45°) cos sin2 2 1

4

1

2

1

4− = − = −

a) ° 60°cos sin tg º30 453

2

3

21 1− + = − + =

007

tgsin

cossin · cos Sí que n’α

αα

α α= = =2 2→ → hhi ha.

006

005

d) sin cossin

cos

sin2 2 1

2

δ δδδ

+ =

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

δδ δδ δ

= + =

22 1

5

2 2· cos( · cos ) cos

·

⎯⎯⎯⎯⎯→

→ cos cos

sin · cos sin

2 11

5

5

5

2

= = =

=

δ δ

δ δ δ

→

→ == =25

5

2 5

5·

c) sin

sin

sin cos ( , )2 2 2 21 0 4 1

1

γ γ γγ

+ = + ==

→→ −− = =

= =

0,16 0,84 0,92

tg0,92

0,

sin

costgγ

γγ

γ→44

2,3=

b) sin cos cos cos cos2 2 21 0 1 1β β β β+ = + = =→ → → βββ

βββ

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

= =

11

0

cos –

tgsin

cos

a) sin cos ( , ) cos

cos – (

2 2 2 21 0 3 1

1

α α αα

+ = + ==

→→ 00 3 0 91 0 95

0

2, ) , ,

tgsin

costg

= =

= =ααα

α→ ,,

,,

3

0 950 32=

004

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 215

216

Trigonometria

Determina l’altura d’un triangle equilàter de 5 cm de costat sense aplicar-hiel teorema de Pitàgores.

Troba la diagonal d’un quadrat de 3 cm de costat mitjançant les raonstrigonomètriques.

Calcula la mida dels elements que falten al triangle següent.

Posem noms als angles i als segments.Apliquem les fórmules i obtenim:

C = 90° − 30° = 60°

Determina l’altura d’un arbre si des d’una distància del peu de 5 m en veiemla capçada amb un angle de 54°.

Fem un esquema del problema,i apliquem la fórmula de la tangent:

Podries trobar els costats d’un triangle rectangle si saps que els seus anglesaguts són de 23° i 67°? Per què?

No, perquè l’única cosa que podem saber és la relació entre els costats i hi ha infinites solucions, tot i que tots els possibles triangles són semblants.

012

tg tg ,° ° m545

5 54 6 88= = ⋅ =h

h→

011

tg tg ,30 30 5 21

33° ° cm= = ⋅ = ⋅ =

b

cb c→

coscos

,,30

30

5 26 01°

° 3

2

cm= = = =c

aa

c→

010

dsin

= = = = =3

45

3

2

2

6

2

6 2

23 2

°cmd

3 cm

009

h = = =5 53

2

5 3

2· sin ·60° cm

60°

5 cmh

008

c = 5,2 cm

30°B A

C

ab

5 m

54°

h

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 216

217

7

Quina és l’àrea del triangle si A$ = 30°?

Troba l’àrea d’un hexàgon regular de 4 cm de costat.

Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles amb els costats iguals de 8 cm i l’angledesigual de 45°.

En Fèlix vol mesurar un dels arbres que hi ha al costat de casa seva. Per fer-ho, ha demanat un teodolit i ha mesurat alguns angles i distàncies.Quant fa l’arbre?

x hx h

x x··

) ·tg 60°( ) tg °

(=+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +10 30

3 10→ 33

32 3 10 3 5

5 3

→ →x x

h

· ·

·

= =

= =

m

8,66 m

60° 30°

10 mx

h

G G

016

A = = =8 8

2

22

16 2· ·

· 22,63 cm2

015

α =

= = =

60°

sin °A

4 4 60

26

163

22

6 24· ·

··

· · 3 2= 41,57 cm

014

h

A

= = =

= =

75 751

2150

22

· ·

·

sin 30° 37,5 m

37,5..812,5 m2

150 m

75 m

B

CA

013

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 217

218

Calcula l’àrea d’una parcel·la triangular si saps que dos dels costats fan 20 mi 30 m, i que els angles diferents dels que estan compresos entre aquestscostats fan 80° i 70°.

El tercer angle fa: 180° − 80° − 70° = 30°.

Troba el valor de x.

ACTIVITATS

Calcula les raons trigonomètriques dels angles marcats en cada cas:

a) c)

b)

a) sin � = �180� cos � = �

160� tg � = �

86�

b) sin � = �1123� cos � = �

153� tg � = �

152�

c) sin � = �1364� cos � = �

3304� tg � = �

1360�

sin � = �3304� cos � = �

1364� tg � = �

3106�

019●

cos 30° =+

=+

⋅ = +

=⋅ −

12

61

3

2

12

6161 3 24 2

61 3

x xx

x

→ →

→ 224

2= 40,8 m

30°

20°

x 12 m

61 m

F

018

A = =30 20

2150 2· · sin 30°

m

017

Trigonometria

�

�

��

6 cm

8 cm

5 cm12 cm

13 cm

34 cm

16 cm30 cm

10 cm

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 218

219

7SOLUCIONARI

Les longituds dels catets d’un triangle rectangle són 5 cm i 12 cm. Calcula les raons trigonomètriques dels dos angles aguts del triangle.

Troba les raons trigonomètriques dels dos angles d’un triangle rectangle que té la hipotenusa de 3 cm i un dels catets d’1 cm.

Amb l’ajut d’un regle graduat, troba el valor aproximat de les raons trigonomètriques dels angles que hi ha marcats:

sin α = �24,,17� = 0,45 cos α = �

44,,17� = 0,87 tg α = �

24,,11� = 0,51

sin β = �44,,17� = 0,87 cos β = �

24,,17� = 0,45 tg β = �

42,,11� = 1,96

Donat el triangle rectangle següent, calcula les raons trigonomètriques de l’angle marcat per mitjà del triangle més gran i del més petit.Aconsegueixes el mateix resultat?Raona la resposta.

Per mitjà del triangle més gran:

Per mitjà del triangle més petit:

El resultat és el mateix, ja que els dos triangles són semblants.

sin , cos ( , ) , tg,

,α α α= = = − = =

48

800 6 1 0 6 0 8

0 6

0 82 == 0 75,

sin , cos , tg ,α α α= = = = = =60

1000 6

80

1000 8

60

800 755

�

60 cm48 cm

80 cm

100 cm

023●●

022●

c = − =

= = =

=

3 1 8

8

3

1

38

1

3

2 2

sin cos tg

sin c

cm

α α α

β oos tgβ β= =8

3

2

4

021●

a = + =

= = = =

5 12 1312

13

5

13

2 2 cm

sin 0,923 cos 0,3α α 885 tg 2,4

sin 0,385 cos 0,

α

β β

= =

= = = =

12

55

13

12

139923 tg 0,417β = =

5

12

α β

5 cm12 cm

13 cm

020●

βα

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 219

220

Transforma en radians aquests angles:

a) 45° b) 180° c) 30° d) 60°

Passa a graus els angles següents:

a) rad b) 0,33 rad c) rad d) 2 rad

a) 270° b) 18,91° c) 45° d) 114,64°

Calcula les raons trigonomètriques d’aquests angles si saps que:

a) sin α = 0,6 b) cos α = 0,45 c) tg α = 0,577 d) sin α =

b) d)sin , sin

cos , cos

tg

α α

α α

= =

= =

0 891

3

0 452 2

3

, tgα α= =1 982

4

a) c)sin , sin ,cos , cos ,

t

α αα α

= == =

0 6 0 50 8 0 866

gg tg ,α α= =3

40 577

13

027●

π4

32π

026●●

d) 60° rad=π3

b) 180° rad= π

c) 30° rad=π6

a) 45° rad=π4

025●●

FES-HO AIXÍ

COM TRANSFORMEM GRAUS EN RADIANS, I VICEVERSA?

Quants radians són n graus? I quants graus són α radians?

PRIMER. Plantegem una regla de tres per calcular les quantitats desconegudes.

360° ⎯ 2π rad 360° ⎯ 2π radn ⎯ x rad y ⎯ α rad

SEGON. Quan resolem les regles de tres, obtenim les fórmules per passar de grausa radians, i viceversa.

Així doncs, per exemple:

360 2 2

360 180° rad

radrad⎯

⎯→π π π

n xx

nn

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=⋅

= ⋅ rrad

° radrad

360 2 360

2⎯⎯

→πα

απ

αy

y⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=⋅

= ⋅1180

πgraus

30° rad 1 rad 1180

57,296° 57° 1= ⋅ = = ⋅ = =30180 6

π ππ

77 45' ''

024

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 220

221

7

Troba el valor de les raons trigonomètriques d’aquests angles si:

a) b)

Comprova si aquestes afirmacions són certes:

a) Si sin α = 0,45; aleshores cos α = 0,55.

b) Si tg α = 1; aleshores cos α = sin α.

c) Si sin α = ; aleshores tg α = 2.

d) Si cos α = 0,8; aleshores tg α és més petit que 1.

a) Fals

b) Cert

c) Fals

d) Fals

030

cos α2

029●●

a) b)sin sin

cos cos

tg

α α

α α

α

= =

= =

=

2 2

3

1

61

3

35

6

22 235

35tg α =

sin α = 16

cos α = 13

028●

SOLUCIONARI

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES AMB LA CALCULADORA?

Calcula sin α, cos α i tg α si α = 70° 42' 50''.

PRIMER. Ajustem el Mode , segons si mesurem els angles en graus o en radians.

Graus ⎯→

Radians →

SEGON. Introduïm el càlcul a la calculadora especificat en graus, minuts i segons.

70 42 50

TERCER. Premem la tecla corresponent a la raó trigonomètrica.

Sinus ⎯→ 70 42 50 = 0,94388...

Cosinus → 70 42 50 = 0,33028...

Tangent → 70 42 50 = 2,85777...

En alguns tipus de calculadores, la seqüència de tecles és diferent: primer hem d’introduir la funció ( ) i, després, l’angle.tancossin

tan°' ''°' ''

cos°' ''°' ''

sin°' ''°' ''

°' ''°' ''°' ''

RADMODE

DEGMODE

MODE

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 221

222

Amb l’ajut de la calculadora, determina les raons trigonomètriquesdels angles següents:

a) 53° 36' 5'' c) 17° 42' 57''

b) 50° 12' 41'' d) 85° 50' 12

Troba amb la calculadora les raons trigonomètriques de 48° i comprova que es verifiquen les igualtats:

a) sin2 48° + cos2 48° = 1

b) tg 48° =

Raona si existeix un angle α que compleixi aquestes igualtats:

No hi ha cap angle que les compleixi, ja que:

Determina si existeix cap angle que pugui tenir aquestes raons trigonomètriques:

a) c)

b) sin α = π d) tg α = 0,5

a) No és possible (sin α > 1).

b) No és possible (sin α > 1).

c) És possible (sin α < 1).

d) És possible.

sin α = 25

sin α = 32

034●●

1

3

1

5

1

9

1

25

34

225

2 2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = + = ≠ 11

sin cosα α= =15

13

i

033●●

b)0,743

0,6691,11=

a) (0,743) (0,669) 0,552 0,4482 2 1+ = + =

sin ,cos ,tg ,

αα

α

==

=

0 7430 669

1 11

sincos

4848

°°

032●

d) sin ,cos ,tg ,

αα

α

==

=

0 9970 073

13 738

b) sin ,cos ,tg ,

αα

α

==

=

0 7680 64

1 2

c) sin ,cos ,tg ,

αα

α

==

=

0 3040 953

0 319

a) sin ,cos ,tg ,

αα

α

==

=

0 8050 593

1 356

031●

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 222

223

7

Raona si hi ha cap angle α que compleixi aquestes igualtats:

Troba les raons trigonomètriques de l’angle α si saps que tg α = sin α.

Sí que hi ha un angle amb aquestes raons trigonomètriques.

Calcula les raons trigonomètriques de l’angle agut α, si sin α = 2 ⋅ cos α.

Si cos α = sin α, en què α és un angle agut, calcula quant valen les raonstrigonomètriques.

Calcula el valor d’aquestes expressions:

a) sin 60° + sin 30° − tg 30° c) tg 60° − tg 30°b) sin2 45° + cos2 60° − sin2 30° d) cos 60° ⋅ cos 30° + sin 60° ⋅ sin 30°

d) 0° 0° 0° 0°cos · cos sin · sin ·6 3 6 31

2+ =

33

2

3

2

1

2

3

2+ =·

c) 0° °tg tg6 30 33

3

2 3

3− = − =

b) 45° 60° 30°sin cos sin2 2 2 1

2

1

4

1

4

1

2+ − = + − =

a) ° ° °sin sin tg60 30 303

2

1

2

3

3

3 3

6+ − = + − =

+

038●

sin cos

sin cos cos cos

α α

α α α α

=

= + = + =1 22 2 2 2 · cos cos

sin tgsin

cos

2 2

22

2

α α

α ααα

→ =

= = = 11

037●●

sin · cossin cos · cos

α αα α α

== + = +

21 42 2 2 cos · cos cos ,sin · ,

2 25 0 4472 0

α α αα

= ==

→4447 0 894

22

=

= =

,

tg· cos

cosα

αα

036●●

sin tg cos sin tgα α α α α= = = =→ → →1 0 0

cossin

tg

sin cos

ααα

α α

= = =

+ =⎛

⎝⎜⎜

3

53

4

4

5

3

52 2

⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = =

2 24

5

25

251

sin tgα α= =35

34

i

035●●

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 223

224

Raona si aquestes igualtats són certes:

a) sin2 30° + cos2 60° =

b) 3 ⋅ tg 30° = tg 60°

c) sin 45° + cos 45° = 4

d) cos 30° + sin 60° = tg 30°

Comprova que es verifica la relació sin2 α + cos2 α = 1, quan α fa:

a) 30°b) 60°c) 45°

Troba el valor del costat x sense aplicar el teorema de Pitàgores.

a) b)

a) Es tracta d’un triangle isòsceles amb els angles iguals de 60°, i el tercer angle també de 60°, per la qual cosa és equilàter, i els trescostats fan 20 cm.

b) cos 30° cm3

2

2 4 3

3= = =

xx→

α

2 cm

30°

x x

2

60°

xx

20 cm

041●●

c) sin 45° cos 45°2 2+ = + =1

2

1

21

b) sin 60° cos 60°2 2+ = + =3

4

1

41

a) 30° 30°sin cos2 2 1

4

3

41+ = + =

040●

d) Falsa: cos 30° sin 60° tg 30°+ = + =3

2

3

23 �

c) Falsa: 5° 5°sin cos4 42

2

2

22 4 2+ = + = �

b) Certa: 30° 0°3 33

33 6· tg · tg= = =

a) Certa: ° °sin cos2 230 601

4

1

4

1

2+ = + =

2

12

039●

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 224

225

7SOLUCIONARI

Resol el triangle de la figura següent:

Resol el triangle següent:

Resol els triangles següents:

a) b)

a)

C = 90° − B = 14°

b)

C = 90° − B = 69°

tg, ,

tg,21

2 2 2 2

215 73°

°cm= = =

cc→

sin, ,

sin,21

2 2 2 2

216 14°

°cm= = =

aa→

cos,

, cos ,766 1

6 1 76 1 48° cm= = ⋅ =c

c→

sin,

, sin ,766 1

6 1 76 5 92° cm= = ⋅ =b

b→

C B

21°

2,2 cm

A

C B

76°

6,1 cm

A

044�

cos arccos ,C C= = = =5

110 4545 62 57 520,4545 °→ ' "

sin , arcsin ,B B= = = =5

110 4545 0 4545 27 02 08→ ° ' "

c = − =11 5 9 82 2 , cm

C B

5 cm

11 cm

A043�

tg,

,,C C= = = =

3 5

7 20 4861 25 55 300,4861 arctg °→ ' "

tg,

,, ,B B= = = =

7 2

3 52 0571 2 0571 64 4 30→ arctg ° ' "

a = + =7 2 3 5 82 2, , cm

C B

7,2 cm3,5 cm

A042�

830966 _ 0212-0241.qxd 7/1/09 16:00 Página 225

226

Resol els triangles rectangles següents:

a) b)

a)

b)

B = 90° − B = 49° 36'

Una tenda de campanya té forma cònica. El pal central té una altura de 3 m i se subjecta a terra mitjançant dos vents de 8 m de longitud. Calcula l’angleque formen els vents amb el terra i la distància entre les dues piquesde subjecció.

Representem les dades:

Hem de calcular B i 2x:

x x= − = =8 3 2 14 842 2 7,42 m m→ ,

sin , arcsin ,B B= = = =3

80 375 0 375 22 01 28→ ° ' "

xB

3 m8 m

046●●

tg, ,

tg,40 24

3 92 3 92

40 244 61°

°cm'

'= = =

bb→

sin, ,

sin40 24

3 92 3 92

40 24°

°6,05 cm'

'= = =

aa→

tg,

,C C= = = =

7 62

3 5964 42,1226,4711 arctg 2,1226 °→ 66 25' "

tg,

,B B= = = =

3 59

7 6225 13 350,4711 arctg 0,4711 °→ ' "

a = + = =7 62 3 592 2, , 70,9525 8,42 cm

C

BA

40° 24'

3,92 cm

C

B7,62 cm

3,59 cm

A

045●

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 226

227

7

Calcula l’altura del campanar d’una església si saps que, si ens separem 40 m de la seva base, veiem la punta del campanar sota un angle de 51°.

Un globus està subjectat a terra amb un cable tensat de 100 m de longitud que forma un angle de 72°. Calcula l’altura a què està el globus.

Les semidiagonals d’un rombe fan 6 cm i 20 cm. Calcula els angles del rombe.

A una hora determinada del dia, un pal vertical de 15 m projecta una ombrade 12 m. Quina serà la longitud de l’ombra d’una persona d’1,84 m d’alçadaa aquesta mateixa hora?

tg , tg, ,

tg

,

,a a

xx

a= = = = = =

15

121 25

1 84 1 84 1 82

1 25→ → 11,472 m

15 m

1,84

m

12 m x

050

tgβ β

β2

6

20 216 51 57 33 23 54

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = =→ →° °' " ' ""

tgα α

α2

20

6 273 18 03 146 36 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = =→ →° °' " ' 66"

20 cm6 cm

α β

βF

049��

sin º sin ,72100

100 72 95 11= = ⋅ =h

h→ ° m

048��

tg tg ,5140

40 51 49 4° ° m= = ⋅ =h

h→

047��

SOLUCIONARI

51°

40 m

72°

100 m

830966 _ 0212-0241.qxd 7/1/09 13:15 Página 227

228

Determina l’àrea d’un triangle si saps que dos dels costats fan 10 cm i 15 cm,i que els angles diferents del que hi ha comprès entre aquests costats fan 80° i 70°.

El tercer angle fa: 180° − 80° − 70° = 30°.

Troba l’àrea d’aquests triangles isòsceles:

a) b)

a) Si diem b a la base i h a l’altura del triangle:

h = 8 sin 50° = 6,13 cm; = 8 cos 50° = 5,14 cm

L’àrea del triangle és: A = = 5,14 6,13 = 31,5 cm2.b h·

2

b

2

7 cm

45° 45°

50° 50°

8 cm

053●●

052

A = =30 20

2150 2· · sin 30°

cm

051●

Trigonometria

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRIANGLE ISÒSCELES SI EN CONEIXEM ELS DOS COSTATS

IGUALS I L’ANGLE DESIGUAL?

Troba l’àrea d’un triangle isòsceles de costats iguals 5 cm i l’angle desigualde 30°.

PRIMER. Trobem la mida dels angles iguals.

3 + α + α = 180°

SEGON. Calculem l’altura.

TERCER. Determinem la longitud de la base.

Per tant, la base fa: 1,29 ⋅ 2 = 2,58 cm

QUART. Calculem l’àrea.

Ab h

=⋅

=⋅

=2 2

22,58 4,836,23 cm

cos cos755

5 75° ° 1,29= = ⋅ =x

x→ cm

sin ° sin °755

5 75 4 83= = ⋅ =h

h→ , cm

α =−

=180 30

275

° °°

30°

αα

h

x

5 cm 5 cm

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 228

229

7

b) h = 7 sin 45° = 7 = 4,95 cm

= 7 cos 45° = 7 = 4,95 cm

L’àrea del triangle és: A = = 4,95 4,95 = 24,5 cm2.

Quant fan els catets d’un triangle rectangle isòsceles si la hipotenusa és de 10 cm?

Denominem x cada catet, i sabent que els angles aguts fan 45°:

cos 45° = → x = 10 cos 45° = 10 = 5 cm

Calcula el valor de l’apotema d’un decàgon regular de 20 cm de costat. Quina àrea té?

L’angle central del decàgon fa: 360° : 10 = 36°.

Troba l’àrea d’un decàgon regular i d’un octàgon regular, tots dos de 6 cmde costat. Quin és més gran?

Decàgon:

L’angle central del decàgon fa: 360° : 10 = 36°.

Octàgon:

L’angle central de l’octàgon fa: 360° : 8 = 45°.

Té una àrea més gran el decàgon.

Determina l’àrea ombrejada d’aquest octàgon regular:

α

α

= =

=

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

45°22° 30

tg

2

14 141

'

A

· ·

222= 236,59 cm

14 cm

α

057●●●

tg°

tg 22,5° 7,31 cm45

2

3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = =

aa A o→ == =

6

28 2·

·a

175,44 cm

tg°

tg 18° 9,37 cm36

2

3 6⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = = =

aa A d→ ·

·a

210 2= 281,1 cm

056●●

A =⋅ ⋅

=,

.20 10 31 25

23 125 cm2

tg°

tg 18° 31,25 cm36

2

10⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = =

aa→

055●●

22

2

x

10

054●●

b h·

2

2

2

b

2

2

2

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 229

230

Trigonometria

Calcula l’àrea i el perímetre del trapezi rectangle següent:

B

b

= == =

60

60 55

·

·

tg 75° 223,92 cm

tg ° 85,69 ccm

223,92 85,69) 150,69 cm

L’àrea és

c = + − =602 2(

::

223,92 85,699.288,3 cm

El períme

A =+

=2

60 2·

ttre fa:

223,92 85,69 150,69 520,3 cmP = + + + =60

55°

60 c

m

75°

b

B

c

059●●●

058 FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM L’ÀREA I EL PERÍMETRE D’UN TRAPEZI RECTANGLE?

Calcula l’àrea del trapezi rectangle següent:

PRIMER. Trobem la mida de les bases.

SEGON. Calculem l’àrea.

AB b

h=+

⋅ =+

⋅ =2 2

75206,25 129,9

12.605,625 cm2

tg °

tg ° 129,9 cm

tg 7 °

6075

75 60

075

7

=

= ⋅ =

=

=

b

b

B

B 55 70⋅ =tg ° 206,25 cm

60°

70°

75 c

mb

B

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 230

231

7

Troba l’àrea d’un pentàgon regular de costat 3 cm.

Triangle OAB:

Àrea del triangle OAB:

Àrea del pentàgon: AP = 10 ⋅ At = 15,5 cm2

Dos costats adjacents d’un camp en forma de paral·lelogram tenen unes mides de 50 m i 100 m. Calcula l’angle que formen si l’àrea del camp és de 432 m2.

Com que A = B ⋅ H → 432 = 100H → H = 43,2 m

A quina altura vola l’avió si les visuals de dos observadors separats 700 mentre ells formen els angles que es veuen a la figura?

I substituint: 700 − 0,7071h = 0,5h → 700 = 1,2071h → h = 579,9 m

sin , ,30 0 5700

700 0 5° = =−

− = ⋅a

ha h→

sin , ,45 0 7071 0 7071° = = = ⋅a

ha h→

700 m

30° 45°

h

062●●

sin,

,α α= = =43 2

500 864 59 46 07→ ° ' "

100 m

H

α

50 m

061●●

At = ⋅ ⋅ =1

21 5 2 065( , , ) 1,55 cm2

tg, ,

tg,°

°cm36

1 5 1 5

362 065= = =

hh→

a = ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

2

360

536

°°

060●

3 cm

b

O

AB

a

1,5 cm

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 231

60°

20 m

50 cm

232

Si des d’un punt de terra es veu una torre amb un angle de 48°, amb quin anglees veurà si la distància és el doble?

Des del punt més alt d’un penya-segat es veu un vaixell sota un angle de 30°. Quan s’apropa 500 m al penya-segat, l’angle passa a ser de 40°. Calculala distància que el separa en aquest moment de terra i l’altura del penya-segat.

I igualant:

Quina altura té aquest arbre?

h = 0,5 + 20 ⋅ tg 60° = 0,5 + 34,64 = 35,14 m

L’arbre té 35,14 m d’altura.

065●●

h = ⋅ =0 893 1 103 2 985 13, . , , m

0 893 288 7 0 5774 0 2617 288 7 1 103, , , , , . ,x x x x= + = =→ → 22 m

tg , ( ) , ,30500

0 5774 500 288 7 0 5774° =+

= ⋅ + = +h

xh x x→

tg tg ,40 40 0 893° °= = ⋅ =h

xh x x→

500 m

30° 40°

064●●

sin,

, arcsin ,α α= =⋅

= = =h

x

h

h2 2 0 74310 6728 0 6728 4→ 22 17 05° ' "

sin ,48 0 7431° = =x

hx h→

48° αx x

h

063●●●

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 232

233

7

Calcula l’altura de la torre.

Si anomenem h l’altura de la torre, obtenim:

La torre té 25 m d’altura.

A quina distància em trobo d’un edifici de 50 m d’altura si en veig la part méselevada amb un angle de 60°?

Si anomenem d la distància que em separa de l’edifici:

Un estel està fixat al terra amb un fil de 100 m, que forma un angle de 60°amb l’horitzontal del terreny. Si suposem que el fil està completament estirat,determina a quina altura es troba l’estel.

Una llanxa està amarrada al moll per mitjà d’un cap de 25 m, que formaamb l’horitzontal de la riba un angle de 30°. Si suposem que el cap està estiratdel tot, calcula a quina distància es troba de la riba.

Fem un esquema:

sin ,3025

1

212 5° m= = =

hh→

069●●●

h = = =100 1003

250 3· ·sin 60° m

068●●

tg 60°50°

tg 60°28,87 m= = = =

50 50

3dd→

067●●●

tg 45° 25 · tg 45° 25 · 1 25 m= = = =h

h25

→

G F

h

45°

25 m

066●●

25 m

30°

h

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 233

234

Calcula la profunditat d’un pou de 2 m d’amplada si veiem el costat oposatdel fons amb un angle de 30°.

Si anomenem d la profunditat del pou:

El pou té 3,46 m de profunditat.

Determina la superfície d’un logotip amb forma de pentàgon regular inscriten una circumferència de 5 cm de radi.

Calculem la mida de l’angle central:

I l’àrea serà 5 vegades l’àrea del triangle indicat a la figura:

Des d’un vaixell veiem la llum d’un far amb una inclinació de 20°i, quan avança 18 km en aquella direcció, el veiem amb un angle de 30°.A quina distància ens trobem del far?

La distància és: 18 + 29,45 = 47,45 km.

→ x ⋅ 0,58 = (x + 18) ⋅ 0,36

→ 0,22x = 6,48 → x = 29,45 km

x hx h

·( ) ·

tg 30°tg 20°

=+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪18

072●●

A Ar r

pentàgon trianglebase altura

= ⋅ = ⋅⋅

= ⋅⋅

5 52

5( ⋅⋅

=

= ⋅⋅ ⋅

=

sin )

sin °59,44 cm2

α2

55 5 72

2

α = =360

572

°°

071●●●

tg 30°tg 30°

3,46 m= = = = =2 2 2

33

6

3dd→

2 m

30°

070●●●

α rrh

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 234

235

7

Calcula la quantitat de xapa que cal per fabricar un senyal de stop de formaoctagonal si saps que la diagonal marcada fa 1,25 m.

La quantitat de xapa que cal per fabricar aquesta senyal és equivalent a l’àread’un octàgon regular inscrit en una circumferència de 1,25 : 2 = 0,625 mde radi.

Dividim l’octàgon en 8 triangles isòsceles iguals. L’angle desigual de cadatriangle isòsceles és un angle central de 360° : 8 = 45°.

Si anomenem A$ i B$ els altres dos angles, obtenim:

� → A$ = = 67,5°

Si h és l’altura del triangle i b, la base:

h = 0,625 sin 67,5° = 0,58 m

= 0,625 cos 67,5° = 0,24 m

A = = 0,24 ⋅ 0,58 = 0,14 m2 → ATotal = 0,14 ⋅ 8 = 1,1 m2

Des d’un penya-segat situat a 32 m sobre el nivell del mar s’observendues embarcacions. Troba la distància de les embarcacions si els anglessón de 30° i 60°.

Si anomenem x i y les distàncies indicades al gràfic:

tg 30° = → x = 32 tg 30° = 18,48 m

tg 60° = → y = 32 tg 60° = 55,43 m

La distància entre les embarcacions és: 55,43 − 18,48 = 36,95 m.

y

32

x

32

30°60°

32 m

074●●●

b h·

2

b

2

180° 45°–

2A$ = B$

A$ + B$ + 45° = 180°

073●●

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 235

236

Des d’un punt del terra veiem la part superior d’una torre, que forma un anglede 30° amb l’horitzontal. Si ens acostem 75 m cap al peu de la torre, l’angleés de 60°. Determina l’altura de la torre.

Si anomenem h l’altura de la torre i x la distància fins al peu de la torre:

� → x tg 30° = (x 75) tg 60°→ x tg 30° x tg 60° = 75 tg 60°

→ x (tg 30° tg 60°) = 75 1,73 → x = = 112,53 m

h = x tg 30° = 112,53 0,57 = 64,14 m. La torre fa 64,14 m d’altura.

Des de la platja s’observen dos vaixells. Calcula la distància que hi ha entre tots dos amb els angles indicats.

Anomenem d la distància que hi ha entre els dos vaixells.

Trobem la mida de b i B.

tg 50° = → b = 20 tg 50° = 23,84 m

tg 60° = → B = 20 tg 60° = 20 = 34,64 m

Apliquem el teorema de Pitàgores:

d2 = 202 + (34,64 − 23,84)2 = 516,64 → d = = 22,73 m

Per tant, la distància que hi ha entre els dos vaixells és de 22,73 m.

Des del cim d’una muntanya, a una altura d’1,114 m, veiem un poble i unagranja situats a la vall, que es troba a una altura de 537 m sobre el nivelldel mar. Si observem el poble amb un angle de 68° i la granja amb un de 83°:

a) Quin dels dos llocs està més a prop de la muntanya?b) Si la muntanya, el poble i la granja estan alineats, troba la distància

que hi ha entre el poble i la granja.

Fem un esquema:

68°

83°

577

m

x P d G

077●●●

516,64

3B

20

b

20

076●●●

–

–

129,75

0,57 1,73

x ⋅ tg 30° = h(x − 75) ⋅ tg 60° = h

075●●●

b B

60°20 m

50°

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 236

237

7

a) Com es veu en l’esquema, el poble està més a prop de la muntanya.

b) Calculem l’altura que hi ha entre el cim de la muntanya i la vall: 1.114 − 537 = 577 m

I apliquem la definició de tangent a cadascun dels triangles:

Per tant, d = 4.699,29 − 1.428,13 = 3.271,16 m

El pilot d’un avió observa un punt del terreny amb un angle de depressió de 30°.Divuit segons més tard, l’angle de depressió que obté sobre el mateix punt és de 55°. Si vola horitzontalment i a una velocitat de 400 milles/hora, calcula l’altitud de vol.

Dos pobles, A i B, estan situats en una carretera que va del nord al sud. Un altre poble, C, a 10 quilòmetres en línia recta de la carretera anterior, està situat a 20° al sud-est de A i a 30°al sud-est de B. Quina distància separa A de B?

APtg

BPtg

AB A

= =

= =

=

10

10

301

º

20°27,47 km

7,32 km

PP BP− = 10,15 km

079●●●

La distància recorreguda per l’avió és: 400

·( ) ·

·18

3.600milles.

tg 55°

=

=+

20

20x h

x ttg1,43 0,58

0,8º

· ( ) ·30

20=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= +h

x x→

→ 55 11,6 13,65 milles

13,65 1,43 19,52

x x

h

= =

= =

→· milles. L’altitud de vol és de 19,52 millees.

078●●

tg tg . ,83577

577 83 4 699 29° ° m=+

+ = ⋅ =x d

x d→

tg tg . ,68577

577 68 1 428 13° ° m= = ⋅ =x

x→

SOLUCIONARI

30° 55°

20 milles

A C

h

x

30°

20°

10 km

A

B

C

P

G

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 237

238

La superfície d’un terreny en forma de trapezi és de 1.200 m2. Si sabem que té dos angles de 45° i que la base petita fa 65 m, calcula la base gran i la distància entre les bases.

La base més gran fa 95 m i la distància entre les bases és de 15 m.

Quant aconseguirà el propietari per vendre aquesta parcel·la si li paguen 300 €€/m2?

Calcula la superfície d’aquest terreny:

BAC = 33° 45' DAE = 42° 15'

CAD = 24° 13' EAF = 33° 41'

082●●●

A = =

=

120 50 40

2

· ( · )sin °1.928,36 m

Preu 1.9

2

228,36 300 578.508· = x€

120 m

40°50 m

h

081●●●

tg °

( )· .

45

65 65 2

21 200 2

= =

+ += =

h

xx h

xh hx h

→

⎯⎯→ ++ − =

== −

65 1 200 0h

hh

.

→ 1580 (solució no vàlida)

⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

= + =B x65 2 5 m

45°

65 cm

45°

h

x x

080●●●

Trigonometria

151 m

142 m 23

2 m

245

m

220 m

F

ED

C

BA

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 238

239

7

Sense fer servir la calculadora, ordena de més petit a més gran:a) cos 24° sin 113° cos 292° b) tg 242° 1,70

Dos costats d’un triangle fan 15 cm i 20 cm:a) Quina és l’àrea màxima que pot tenir aquest triangle? Per què?b) Quin tipus de triangle és en aquest cas?

a) L’àrea del triangle és:

L’àrea màxima que pot tenir és 150 cm2, quan el sinus val 1.

b) L’àrea més gran s’aconsegueix quan el sinus és igual a 1, és a dir,quan l’angle fa 90° i, per tant, és un triangle equilàter.

Dedueix una fórmula per a tg (α + β) a partir de la longitud dels segments de la figura:

tg ( )α β+ =AB

AF A B

F 1 m

DE

β

C

α + βα

85●●●

Aa b

Aa b

A

= ≤

≤

≤· · ·

·

sin sinα α

2 215

1⎯⎯⎯⎯→

220

2150=

084●●●

b) tg ° tg ° ° tg °

tg ° 1,70

( )242 180 62 62

60 3

= + =

= >EEn els angles aguts, quant més gran és l’anngle, més gran és la tangent.1,70 tg °< 62

a) cos °sin ° sin ° ° cos °cos

( )24

113 90 23 23= + =2292 360 68 68° cos ° ° cos °

En els angles a= − =( )

gguts, quant més gran és l’angle, més petit és el cosinus.cos ° sin ° cos °292 113 24< <

083●●●

ABAC· ·

= =220 245 33 45

22sin °

14.972,62 m'

AACAD· ·

= =232 245 24 13

2

sin °11.657,55 m

' 22

142 232 42 15

2ADAE

· ·= =

sin °11.698,17

'mm

sin °5.945,9 m

2

2151 142 33 41

2AEAF = =

· · '

AA A A A ABAC CAD DAE EAF= + + + = 44.274,24 m2

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 239

240

A LA VIDA QUOTIDIANA

Les dades dels mitjans decomunicació sobre els incendisque han tingut lloc al país durantl’estiu no han estat gairedesfavorables. Tot i això, l’últimcap de setmana s’ha produïtun incendi en un dels parcsnaturals.

Des d’un dels helicòpters deprotecció civil, que té situatel radar a l’origen decoordenades, el pilot observaun foc en direcció nord;també veu la situació del llacmés proper, a 25°, i de la piscinamunicipal, a 120°.

Des de la torre de controlels donen l’avís que el ventcomença a ser més fort i que calcontrolar l’incendi abans que noes propagui.

On aniran a recollir aigua?

Hem de calcular la distància menor: 20 + d2, d + d1.

Aniran a recollir aigua al llac.

d 12 210 30 10 30= ⋅ + − ⋅ =( ) ( )sin ° 36,26 cos ° 28,05

→ dd d+ =1 64,31 km

a da

= ⋅ = = = =20 2560

36 2cos ° 18,13cos °

18,13

0,5,→ 66 km

d 22 210 65 20 10 65= ⋅ + − ⋅ =( ) ( )sin ° cos ° 18,2 km

→ 220 2+ =d 38,2 km

Piscina

Llac201025°

120°

d

a a

d1

d2

F

086●●●

I la distància al llac és de 20 km.

La distància al foc és de 10 km.

Trigonometria

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 240

241

7

L’ajuntament ha decidit construir habitatges de protecció oficial en un terreny.Per dur a terme el projecte, han contractat un estudi d’arquitectes.

Els encarregats municipals no els han proporcionat les dimensions del terreny i un dels aparelladors hi ha fet una visita per fer els amidaments.

Després han presentat un informe que incloïa les xarxes geodèsiques del terreny, formades per punts que s’han mesurat amb alta precisió i que, a més, són els vèrtexs de triangles adossats els uns als altres.

Amb aquestes dades, determina la superfície de terreny que serà edificable.

h = 33 sin 50° = 25,28 m

a = 33 cos 50° = 21,21 m h' = 43 sin 70° = 40,41 m

La superfície de terreny que serà edificable és de 1.227,09 m2.

Aa b h

A

ACD

AB

=+

= =( ) · ·

2 2237,36 25,28

472,23 m

CC

A

a b h

A A

=+

= =

=

( ) · ·'

2 2237,36 40,41

754,86 m

CCD ABCA+ = + =472,23 754,86 1.227,09 m2

b = − =302 225,28 16,15 m

087●●●

33 m

30 m

50 m

43 m

hh '

b

a

70°

50°

33 m

50 m

43 m

70°50°

30 m

SOLUCIONARI

830966 _ 0212-0241.qxd 2/1/09 10:03 Página 241

242

Geometria analítica8

DIRECCIÓ

RESTA

SENTITMÒDUL

VECTORS

SUMA

OPERACIONS AMB VECTORS

PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT

DISTÀNCIA ENTREDOS PUNTS

PROPIETAS ANALÍTIQUES I MÈTRIQUES

EQUACIONS DE LA RECTA

VECTORIAL PARAMÈTRIQUES CONTÍNUA PUNT-PENDENT EXPLÍCITA GENERAL

MULTIPLICACIÓPER UN NOMBRE

EQUACIÓ D’UNA RECTAPARAL·LELA A UNA DE DONADA

POSICIÓ RELATIVA DE DUES RECTES

INCIDÈNCIA I PARAL·LELISME

830966 _ 0242-0273.qxd 2/1/09 10:40 Página 242