Le poligonali 1 - RILEVAMENTO.IT A/2006-2007/Le... · 2007-06-13 · Poligonale chiusa ∑ = i i X...

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Università degli studi di Brescia Facoltà di Ingegneria Corso di Topografia A – Nuovo Ordinamento Le poligonali Anno Accademico 2006-2007 13 Giugno 2004

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Università degli studi di BresciaFacoltà di Ingegneria

Corso di Topografia A – Nuovo Ordinamento

Le poligonali

Anno Accademico 2006-2007

13 Giugno 2004

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Poligonale aperta vincolata agli estremi

I vincoli: XA, XB, YA, YB, XP, XQ, YP, YQ

Le misure:

angoli: α, β, γ, δ,

distanze: dA1, d12, d23, d34, d4P

P ,A

DATI

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Poligonale aperta vincolata agli estremi

Si calcolano le direzioni di vincolo

PQ

PQPQ

BA

BABA

YYXX

arctan θ

YYXXarctan θ

−−

=

−−

=

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g200nαθθii1,-i1ii, ⋅±+=+

Si propagano le direzioni fino a determinare il valore della direzione ΘPQ

Poligonale aperta vincolata agli estremi

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Si calcolo dell’errore di chiusura angolare confrontando la direzione ΘPQ calcolata con la direzione di vincolo

Tvα <nσ3T α ⋅⋅=

n = numero degli angoli al vertice misurati

σα = precisione media delle misure angolari

Si dovrà verificare che:

Dove:

Poligonale aperta vincolata agli estremi

PQPQα θθv −=

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nvε α

α =

α

α

α

α

α

α

δδ

γγ

ββ

αα

εˆˆε

ε

ε

ε

ε-AA

*

*

*

*

*

*

−=

−=

−=

−=

−=

=

PP

Si calcola l’errore angolare di ogni singolo angolo al vertice misurato:

Poligonale aperta vincolata agli estremi

Si calcolano i valori angolari corretti e quindi si torna a ricalcolare le direzioni compensate come segue:

g*** 200nαθθii1,-i1ii, ⋅±+=+

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Errore di chiusura laterale nella componente X:

Errore di chiusura laterale nella componente Y:

Poligonale aperta vincolata agli estremi

)X(Xsendε APi

*1ii,1ii,X −−⋅= ∑ ++ ϑ

)Y(Ycosdε APi

*1ii,1ii,Y −−⋅= ∑ ++ ϑ

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2Y

2X εεE +=

∑⋅=i

id0,015T

∑i

id

Errore di chiusura laterale risultante:

= sviluppo lineare della poligonale

TE <Verificare che:

Tolleranza lineare:

Poligonale aperta vincolata agli estremi

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∑=

ii

XX d

εμ

Errori laterali nella componente X e Y per unità di misura

∑=

ii

YY d

εμ

Poligonale aperta vincolata agli estremi

( ) 1ii,X*

1ii,1ii,C*

1ii,1ii, dμsenθdsenθd +++++ ⋅−⋅=⋅

Componenti di ogni singolo lato di, corrette dall’errore di chiusura laterale in maniera direttamente proporzionale alla distanza:

( ) 1ii,Y*

1ii,1ii,C*

1ii,1ii, dμcosθdcosθd +++++ ⋅−⋅=⋅

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Si dovrà verificare che:

( ) 0)X(Xsenθd APC*

1ii,1ii, =−−⋅∑ ++i

( ) 0)Y(Ycosθd APi

C*

1ii,1ii, =−−⋅∑ ++

Poligonale aperta vincolata agli estremi

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( )C

*1ii,1ii,i1i cosθdYY +++ ⋅+=( )

C*

1ii,1ii,i1i senθdXX +++ ⋅+=

In generale:

Si calcolano le coordinate compensate dei vertici

Poligonale aperta vincolata agli estremi

( )( )( )( )( )C

*4P44P

C*343434

C*232323

C*121212

C*A1A11

senθdXX

senθdXX

senθdXX

senθdXX

senθdXX

⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅+= A ( )( )( )( )( )C

*4P4P4P

C*343434

C*232323

C*121212

C*A1A11

cosθdYY

cosθdYY

cosθdYY

cosθdYY

cosθdYY

⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅+= A

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Poligonale chiusa.

Viene vincolata la traslazione imponendo che il punto P1coincida con l’origine del sistema di riferimento

Viene vincolata la rotazione imponendo che la direzione θ12 sia pari a 100g.

Le misure:

angoli: α, β, γ, δ, ε, ϕ

distanze: d12, d23, d34, d45, d56, d61

DATI

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Poligonale chiusa

Si calcola l’errore di chiusura angolare osservando che, in un poligono chiuso di n lati, la somma degli angoli interni è pari a: (n-2)200g

( ) ∑−⋅−=i

ig

α α2002nv

Tvα <nσ3T α ⋅⋅=

n = numero degli angoli al vertice misurati

σα = precisione media delle misure angolari

Si dovrà verificare che:

Dove:

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Poligonale chiusa

g*** 200nαθθii1,-i1ii, ⋅±+=+

Si calcolano gli angoli di direzione

In questo caso si utilizza da subito il valore angolare corretto:

αi*i εα=α +

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Poligonale chiusa

α4P* ε4θθ45

⋅+=

α23* ε2θθ23

⋅+=

α12*12 εθθ +=

α* ε5θθ

5656⋅+=

α34* ε3θθ34

⋅+=

nvε α

α =

Si calcola l’errore angolare di ogni singolo angolo al vertice misurato:

Su alcuni testi, anziché correggere gli αi, si usa correggere direttamente le direzioni:

α* ε6θθ

6161⋅+=

Non ci sono differenze!!!! Il risultato finale deve essere uguale

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Poligonale chiusa

Si noti inoltre che a compensazione angolare avvenuta, dovrà essere verificata la seguente uguaglianza:

( ) g

i

* 2002nαi

⋅−=∑

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Errore di chiusura laterale nella componente X:

∑ ++ ⋅=i

*1ii,1ii,X sendε ϑ

Errore di chiusura laterale nella componente Y:

∑ ++ ⋅=i

*1ii,1ii,Y cosdε ϑ

Poligonale chiusa

Si calcola l’errore di chiusura laterale osservando che il punto di partenza e di arrivo coincidono quindi:

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Poligonale chiusa

2Y

2X εεE +=

∑⋅=i

id0,015T

∑i

id

Errore di chiusura laterale risultante:

= sviluppo lineare della poligonale

TE <Verificare che:

Tolleranza lineare:

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Poligonale chiusa

∑=

ii

XX d

εμ

Errori laterali nella componente X e Y per unità di misura

∑ −=

i12i

YY dd

εμ

Si osservi che, avendo vincolato l’orientamento della poligonale (θ12 = 100g), compensare la Y del punto 2 significherebbe ottenere un risultato incongruente col vincolo imposto. Per questo motivo, nella formulazione di μY, la lunghezza del primo lato viene tolta dallo sviluppo lineare della poligonale

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( ) 1ii,X*

1ii,1ii,C*

1ii,1ii, dμsenθdsenθd +++++ ⋅−⋅=⋅

Si procede alla compensazione laterale delle componenti di ogni singolo lato di che vengono corrette dall’errore di chiusura laterale in maniera direttamente proporzionale alla distanza:

( ) 1ii,Y*

1ii,1ii,C*

1ii,1ii, dμcosθdcosθd +++++ ⋅−⋅=⋅

Poligonale chiusa

Si dovrà verificare che:

( ) 0cosθdi

C*

1ii,1ii, =⋅∑ ++( ) 0senθdC

*1ii,1ii, =⋅∑ ++

i

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Poligonale chiusa

( )( )( )( )( )C

*565656

C*454545

C*343434

C*232323

C*121212

senθdXX

senθdXX

senθdXX

senθdXX

senθdXX

⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅+=

( )C

*1ii,1ii,i1i cosθdYY +++ ⋅+=

( )( )( )( )C

*565656

C*454545

C*343434

C*232323

cosθdYY

cosθdYY

cosθdYY

cosθdYY

⋅+=

⋅+=

⋅+=

⋅+=

( )C

*1ii,1ii,i1i senθdXX +++ ⋅+=

In generale:

Si osservi che, a causa dei vincoli imposti:0,000Y

0,000YX

2

11

===

Si calcolano le coordinate compensate dei vertici

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ESERCIZIO

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107,6989ϕ

94,1403ε

143,1109δ

119,9538γ

93,6579β

241,4359α

61,531d61

79,295d56

110,576d45

60,184d34

76,696d23

48,354d12

Angoli misurati αi[gon]

Distanze misurate [ m ]

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n = numero dei lati = numero angoli = 6 quindi:

( ) gg 8002002n =⋅−

ccgggα 240024,09976,799800v ==−=

9976,799α g

ii =∑

( ) ∑−⋅−=i

ig

α α2002nv

Calcolo errore di chiusura angolare

Tolleranza angolare

nσ3T α ⋅⋅=

ccα 10σ =

ccccα 736103nσ3T =⋅⋅=⋅⋅=

Tvα < Verificata

dato del problema

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Compensazione angolare empirica

6993,1070004,06989,107ε

1407,940004,01403,94ε

1113,1430004,01109,143ε

9542,1190004,09538,119ε

6583,930004,06579,93ε

4363,2410004,04359,241εαα

gggα

*

gggα

*

gggα

*

gggα

*

gggα

*

gggα

*

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

ϕϕ

εε

δδ

γγ

ββ

g

i

* 800αi

=∑Dopo la correzione, verificare che

ccgg

αα 40004,0

60024,0

nvε ====

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Calcolo delle direzioni

6583,3932006583,93100200β

)β(200400

gggg23

*

g*12

*23

*

*12

*g23

*g

=++=

++=

+−=−

ϑ

ϑϑ

ϑϑ

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Calcolo delle direzioni

,6124313200,9542119,6583393200γγ200

gggg34

*

g*23

*34

*

*g34

*23

*

=−+=

−+=

−=−

ϑ

ϑϑ

ϑϑ

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Calcolo delle direzioni

7237,2562001113,1436124,313200

200

gggg45

*

g*34

*45

*

*g45

*34

*

=−+=

−+=

−=−

ϑ

δϑϑ

δϑϑ

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Calcolo delle direzioni

8644,1502001407,947237,256200

200

gggg56

*

g*45

*56

*

*g56

*45

*

=−+=

−+=

−=−

ϑ

εϑϑ

εϑϑ

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Calcolo delle direzioni

5637,582006993,1078644,150200

200

gggg61

*

g*56

*61

*

*g61

*56

*

=−+=

−+=

−=−

ϑ

ϕϑϑ

ϕϑϑ

6

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Calcolo dell’errore di chiusura laterale

37,28148,9516-1-56,82655,3045-6-69,511-85,9964-512,771-58,8133-476,316-7,6282-30,00048,3541-2

lato *1ii,1ii, send ++ ⋅ ϑ *

1ii,1ii, cosd ++ ⋅ ϑ

Componenti espresse in metri di ciascun lato della poligonale

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m 172,0sendεi

*1ii,1ii,X =⋅= ∑ ++ ϑ

m 031,0cosdεi

*1ii,1ii,Y =⋅= ∑ ++ ϑ

m 174,0031,0172,0εεE 222Y

2X =+=+=

Calcolo dell’errore di chiusura laterale

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∑⋅=i

id0,015T

TE <

Verifica dei limiti di tolleranza

m 636,436531,61295,79576,110184,60696,76354,48di

i =+++++=∑

m 313,0636,4360,015T =⋅=

Verificata

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00039320,0636,436

172,0d

εμ

ii

XX ===

Errori laterali nella componente X e Y per unitàdi misura

00007881,0282,388

031,0dd

εμ

i12i

YY ==

−=

∑Compensazione laterale con errore direttamente proporzionale alla lunghezza del lato

( ) 1ii,X*

1ii,1ii,C*

1ii,1ii, dμsenθdsenθd +++++ ⋅−⋅=⋅

( ) 1ii,Y*

1ii,1ii,C*

1ii,1ii, dμcosθdcosθd +++++ ⋅−⋅=⋅

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Calcolo delle componenti corrette di ciascun lato

37,27648,9276-1-56,83255,2725-6-69,519-86,0394-512,766-58,8373-476,310-7,6582-30,00048,3351-2

lato ( )C

*1ii,1ii, send ++ ⋅ ϑ ( )

C*

1ii,1ii, cosd ++ ⋅ ϑ

Componenti di ciascun lato della poligonale espresse in metri, corrette dall’errore laterale di chiusura.

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m 000,0sendεi

*1ii,1ii,X =⋅= ∑ ++ ϑ

m 000,0cosdεi

*1ii,1ii,Y =⋅= ∑ ++ ϑ

Se la compensazione laterale è andata a buon fine, si dovrà verificare che:

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( )C

*1ii,1ii,i1i cosθdYY +++ ⋅+=( )

C*

1ii,1ii,i1i senθdXX +++ ⋅+=

m 0,000927,48927,48Xm 48,92755,272199,104Xm ,199104039,86,16018X

m 18,160837,580,6774Xm 40,6777,658-48,335Xm 48,33548,3350,000X

000,0X

1

6

5

4

3

2

1

=+−=−=+−=

−=−−=−=−=

===+=

=

m 0,000276,37276,37Ym 37,27656,832556,19Y

m ,55619519,69,07689Ym 89,076766,1276,310Y

m 76,31076,3100,000Y0,000Y

000,0Y

1

6

5

4

3

2

1

=+−=−=−=

=−==+=

=+===

Calcolo delle coordinate finali compensate

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Esercizio: misura e calcolo di un angolo al vertice di una poligonale

73g,8900

232g,4543

Pos. Ι

273g,8920

32g,4559

Pos. ΙΙ

73g,8910

232g,4551

Bessel

21

61

Pcoll.Pstaz.

Dato il seguente libretto delle misure, calcolare l’angolo a al vertice 1 della poligonale dell’esercizio precedente.

2200LLL

gIII ±+

=Ricordare la regola di Bessel

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Graficamente

L16 = 232g,4551

L12 = 73g,8910

,4359241400,4551232,891073α

400LLα

LLα400

gggg

g1612

1216g

=+−=

+−=

−=−

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indietroavantii LLα −=

In generale

Nota: in questo caso, con L si è indicata una lettura angolare espressa in gradi centesimali.

Lindietro

Lavanti

αi

i

i-1

i+1