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LE ONDE GRAVITAZIONALI LA LEZIONE Spazio-tempo e onde gravitazionali In relatività ristretta i sistemi di riferimento privilegiati sono quelli inerziali. In essi la “distanza” Δs tra due eventi vicini nello spazio-tempo è definita dalla relazione: Δs 2 = -c 2 Δt 2 + Δx 2 + Δy 2 + Δy 2 Generalizzando lo spazio euclideo, dopo Einstein e Minkowski, le variabili in gioco aumentano con l’utilizzo della quarta dimensione spaziale -c 2 Δt 2 che ha però un segno diverso rispetto alle altre variazioni quadratiche. Nella notazione matriciale la metrica di uno spazio pseudo-euclideo è caratterizzata da soli quattro valori diversi da zero (-1,1,1,1) che occupano la diagonale principale di un tensore (4x4), tutti gli altri elementi sono nulli. In relatività generale i riferimenti possono essere considerati localmente inerziali. In un sistema accelerato o, equivalentemente, in un campo gravitazionale lo spazio è curvo. Il tensore metrico è più complesso e la sua forma viene a dipendere dalla distribuzione di massa-energia con un’equazione che ricorda la legge di Hooke generalizzata, dove la deformazione è sostituita dalla geometria dello spazio-tempo e lo sforzo dalla distribuzione di materia. La costante di proporzionalità tra metrica e materia, 8πG/c 4 (con G costante di gravitazione universale e c velocità della luce nel vuoto), è uguale a 2,07 10 -43 m -1 kg -1 s 2 . Le equazioni della relatività generale sono complesse, ma in alcuni casi particolari le loro soluzioni sono semplici, come ad esempio per le onde gravitazionali. In elettromagnetismo campi variabili rapidamente possono produrre onde piane che si allontanano dalle sorgenti (densità di carica e correnti) alla velocità della luce. Così in relatività generale una massa accelerata determina un disturbo dello spazio-tempo che viaggia alla velocità c. Lo spazio piatto subisce piccolissime modifiche se confrontate con i valori unitari. Nell’ipotesi di propagazione dell’onda lungo l’asse z, l’increspatura dello spazio-tempo h può essere scomposta in due componenti polarizzate, in genere indicate coi simboli h + e h x , rappresentabili nel piano xy secondo l’espressione: h(t)= h + (t-z/c) + h x (t-z/c). Le polarizzazioni, come indicato nella figura che segue, sono sfasate di 45°. fig.1 Polarizzazione delle onde gravitazionali Il reticolo spaziale subisce modificazioni dovute alla propagazione dell’onda gravitazionale. La forma delle funzioni h + e h x , nel caso semplice di onde monocromatiche, diventa: h + = a cos (t-z/c) e h x =b cos(t-z/c).

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LE ONDE GRAVITAZIONALILA LEZIONE

Spazio-tempo e onde gravitazionali

In relatività ristretta i sistemi di riferimento privilegiati sono quelli inerziali. In essi la “distanza” Δs tra due eventi vicini nello spazio-tempo è definita dalla relazione:

Δs2= -c2Δt2+ Δx2+ Δy2+ Δy2

Generalizzando lo spazio euclideo, dopo Einstein e Minkowski, le variabili in gioco aumentano con l’utilizzo della quarta dimensione spaziale -c2Δt2che ha però un segno diverso rispetto alle altre variazioni quadratiche. Nella notazione matriciale la metrica di uno spazio pseudo-euclideo è caratterizzata da soli quattro valori diversi da zero (-1,1,1,1) che occupano la diagonale principale di un tensore (4x4), tutti gli altri elementi sono nulli. In relatività generale i riferimenti possono essere considerati localmente inerziali. In un sistema accelerato o, equivalentemente, in un campo gravitazionale lo spazio è curvo. Il tensore metrico è più complesso e la sua forma viene a dipendere dalla distribuzione di massa-energia con un’equazione che ricorda la legge di Hooke generalizzata, dove la deformazione è sostituita dalla geometria dello spazio-tempo e lo sforzo dalla distribuzione di materia. La costante di proporzionalità tra metrica e materia, 8πG/c4 (con G costante di gravitazione universale e c velocità della luce nel vuoto), è uguale a 2,07 10-43 m-1kg-1s2.

Le equazioni della relatività generale sono complesse, ma in alcuni casi particolari le loro soluzioni sono semplici, come ad esempio per le onde gravitazionali. In elettromagnetismo campi variabili rapidamente possono produrre onde piane che si allontanano dalle sorgenti (densità di carica e correnti) alla velocità della luce. Così in relatività generale una massa accelerata determina un disturbo dello spazio-tempo che viaggia alla velocità c. Lo spazio piatto subisce piccolissime modifiche se confrontate con i valori unitari. Nell’ipotesi di propagazione dell’onda lungo l’asse z, l’increspatura dello spazio-tempo h può essere scomposta in due componenti polarizzate, in genere indicate coi simboli h+ e hx, rappresentabili nel piano xy

secondo l’espressione: h(t)= h+(t-z/c) + hx(t-z/c). Le polarizzazioni, come indicato

nella figura che segue, sono sfasate di 45°.

fig.1 Polarizzazione delle onde gravitazionali

Il reticolo spaziale subisce modificazioni dovute alla propagazione dell’onda gravitazionale. La forma delle funzioni h+ e hx, nel caso semplice di onde

monocromatiche, diventa: h+= a cos (t-z/c) e hx=b cos(t-z/c).

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La nuova metrica è determinata dalla matrice (vedi sotto), con le ampiezze a e b molto minori di 1.

fig.2 Matrice dello spazio tempo che tiene conto degli effetti di un’onda gravitazionale

Masse di prova, libere all’interno di tale spazio, devono mostrare microscopici cambiamenti di posizione al ritmo dell’onda. Per una sorgente avente un’unica frequenza caratteristica di 100 Hz (un buco nero che ha la frequenza di rivoluzione di 100 cicli al secondo) la frequenza dell’onda risulterebbe pari a 50 Hz, seguendo una relazione analoga a quella individuata da Bohr nelle sue prime considerazioni sulla frequenza di rivoluzione dell’elettrone e quella della radiazione emessa da un atomo.

fig.3 La deformazione dello spazio-tempo dovuta alle due polarizzazioni di un’onda gravitazionale

Sorgenti e onde

Gli effetti gravitazionali della Luna e del Sole sulla Terra sono ben visibili nel fluido che occupa gran parte della superficie terrestre. Le maree sono un effetto longitudinale di un campo gravitazionale.

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fig.4 Gli effetti di marea dovuti alla Luna

Le microscopiche perturbazioni trasversali delle onde gravitazionali devono essere provocate da variazioni di massa incredibili o dal rapido movimento dei sistemi binari più densi. Fino al febbraio 2016 si avevano solo prove indirette dell’esistenza di onde gravitazionali. Le variazioni dell’orbita del pulsar binario 1913 +16 (i numeri corrispondono alle coordinate astrofisiche) sono state dedotte negli anni Settanta dall’intervallo di tempo necessario per ricevere il segnale radio emesso dalla coppia di stelle di neutroni. La contrazione dell’orbita, misurata in un arco temporale di diversi anni, è compatibile con una perdita di energia corrispondente all’emissione di onde gravitazionali.

fig.5 L’Arecibo Radio Observatory a Puerto Rico, uno dei radiotelescopi più sensibili al mondo, per mezzo del quale gli astronomi studiando le pulsar sperano di rilevare le onde gravitazionali

fig.6 L’osservazione della contrazione dell’orbita delle stelle binarie che costituiscono il sistema astrofisico pulsar 1913 +16

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Per le loro ricerche in tale campo, i ricercatori, Joseph R. Taylor e Russel A. Hulse, hanno ricevuto nel 1993 il premio Nobel per la fisica. Ma come si osservano le modifiche dirette di masse libere sotto l’azione di un’onda gravitazionale?

fig.7 Gli effetti delle onde gravitazionali polarizzate su masse libere disposte sui punti di una circonferenza

La perturbazione h è proporzionale alla deformazione relativa ΔL/L, dove L è la distanza tra due masse un sistema imperturbato. Solo eventi eccezionali possono produrre onde gravitazionali con un’ampiezza del disturbo dell’ordine di 10-21. La sorgente più

semplice, molto studiata negli ultimi anni, è quella di un sistema binario costituito da due buchi neri ravvicinati che si fondono con una perdita di massa corrispondente all’energia delle onde gravitazionali emesse (anche la rotazione è fonte di onde di minore ampiezza). Il sistema binario rappresenta un riferimento importante per la conoscenza teorica delle frequenze e delle ampiezze. Inoltre il buco nero è per certi versi un sistema semplice (ideale) determinato da un numero ristretto di parametri.

fig.8 Rappresentazione di un buco nero

fig.9 L’ammasso della Vergine visto dal telescopio Hubble

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Un secondo evento catastrofico, legato alle accelerazioni delle masse, è il collasso di una stella. Una supernova può generare onde di frequenza fino al kHz. Nella nostra Galassia si valuta un evento ogni 30-40 anni, mentre nell’ammasso della Vergine, è una possibilità molto più frequente. Negli ultimi anni si è inoltre sviluppata l’ipotesi di poter trovare tracce dell’onda gravitazionale primordiale a partire dalla misure della radiazione cosmica di fondo e dalle sue fluttuazione termiche.

fig.10 L’interazione tra onda gravitazionale iniziale e radiazione cosmica di fondo

Oggi la possibilità di rilevare direttamente una radiazione gravitazionale di bassissima frequenza e di ampiezza ignota viene in genere demandata al più a una futura missione spaziale di cui parleremo nel prossimo paragrafo.

Interferometri

Albert Abraham Michelson è stato il primo fisico statunitense a essere insignito del premio Nobel per la fisica nel 1907. Già nel 1880 in Germania aveva realizzato il suo primo interferometro che schematicamente può essere rappresentato da una sorgente monocromatica s, due specchi argentati b e c, uno specchio semiriflettente a e uno schermo d (che può essere sostituito da un telescopio).

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fig.11 Schema dell’interferometro di Michelson del 1880; fig.12 La possibile rilevazione dell’etere secondo la fisica dell’Ottocento

Lo specchio semiriflettente, equidistante da b e c, ha la funzione di dividere il fascio di luce per poi ricombinarli in d. Se le due onde sono in fase, l’interferenza è costruttiva e sullo schermo o attraverso il telescopio si osserva un bel massimo al centro della figura d’interferenza.

L’obiettivo ottocentesco di Michelson era di rilevare il mezzo che si pensava trasportasse le onde elettromagnetiche: l’etere luminifero. Ipotizzando che nel riferimento dell’etere l’intero apparato si muova con la velocità della Terra v nella direzione determinata dai punti sc, il cammino percorso dai raggi è diverso secondo l’ipotesi di Michelson di un fattore dipendente da Lv2/c2 (con L distanza tra lo specchio semiargentato e uno di quelli argentati). Ruotando l’apparato di 90° lo spostamento nel senso opposto porta a una variazione complessiva di 2Lv2/c2 (con il rapporto tra i quadrati delle velocità prossime a 10-8).

Il primo apparato di Michelson realizzato in Germania era troppo dipendente dalle vibrazioni meccaniche del “traffico” cittadino nelle vicinanze del laboratorio. Le misure estenuanti si protraevano per l’intera giornata a anche alle due di notte le frange d’interferenza si osservavano per brevi intervalli di tempo. Le misure di Michelson non mostravano alcuna dipendenza dalla posizione. Ritornato negli Stati Uniti nel 1887, coadiuvato da Edward Williams Morley, risolse il problema dell’abbattimento delle oscillazioni meccaniche ponendo l’apparato di misura su un blocco di pietra arenaria che galleggiava su del mercurio.

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fig.13 L’interferometro di Michelson e Morley del 1887

fig.14 La moltiplicazione del cammino ottico dei raggi con l’utilizzo di specchi multipli

Anche con 16 specchi, che elevavano la sensibilità dell’interferometro di un fattore 10, aumentando il percorso compiuto dalla luce, non osservò alcun cambiamento. L’esperimento di Michelson-Morley è importante per l’introduzione delle trasformazioni di Lorentz, ma il suo legame con l’invarianza della velocità della luce postulata da Einstein nell’articolo sulla relatività ristretta del 1905 è assai meno diretto di quello presentato dai manuali liceali.

L’evoluzione della strumentazione di Michelson è tuttavia alla base della misurazione degli effetti delle onde gravitazionali.

fig.15 Lo schema degli interferometri moderni per la rilevazione delle onde gravitazionali

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La luce laser di potenza ha sostituito la singola riga spettrale. Le ripetizioni multiple del cammino percorso è resa possibile da cavità risonanti. Il percorso del raggio avviene in cilindri lunghi, inizialmente centinaia di metri e oggi diversi kilometri (tre nel caso di Virgo, quattro per i due osservatori LIGO), con apparati sotto ultra vuoto (pressione dell’ordine del milionesimo di pascal). Le ottiche sono sospese attraverso attenuatori multistadio che smorzano le vibrazioni meccaniche (sismiche, ecc.). Il confronto dei due cammini ottici nei bracci ortogonali (e il calcolo della loro variazione ΔL) non è più volto alla determinazione dell’etere, ma alla rilevazione di un’onda gravitazionale che, nell’ipotesi di velocità perpendicolare al piano di lavoro dell’interferometro, dovrebbe contrarre una direzione e dilatare l’altra. Gli specchi rappresentano le masse libere e la lieve modifica spaziale dovrebbe essere misurata attraverso le frange d’interferenza, con la perturbazione h legata al rapporto ΔL/L.

fig.16 Variazione di distanza di due masse libere dovuta al passaggio di un’onda gravitazionale (da A.Giazotto, Le onde gravitazionali, in Quark 2000 La fisica fondamentale italiana e le sfide del nuovo millennio, Le Scienze, 1997)

L’evoluzione di questa tecnica è stata sperimentata nello spazio nel 2016 con l’impiego di due masse in caduta libera (due cubi di oro e platino di 2 kg) che all’interno di una navicella orbitante a una distanza di 1,5 milioni di kilometri verso il Sole nel punto lagrangiano L1, mantengono inalterata la loro distanza. Un apparato sensibile a frequenze inferiori all’unità.

fig.17 Rappresentazione artistica del Lisa Pathfinder

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fig.18 Risultati della missione LISA pathfinder

La missione LISA pathfinder dovrebbe essere il primo passo verso il lancio di tre satelliti. La costellazione, disposta nei vertici di un triangolo equilatero di lato cinque milioni di kilometri, dovrebbe, grazie allo scambio di segnali laser, realizzare l’osservatorio eLISA (Evolved Laser Interferometer Space Antenna), capace di rilevare variazioni dello spazio-tempo di intensità e frequenza più basse degli osservatori terrestri.

fig.19 Le orbite dei satelliti della futura missione eLISA

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fig.20 Un’antenna gravitazionale criogenica

La scoperta

La comunità dei fisici impegnati nella determinazione delle onde gravitazionali negli ultimi anni è cresciuta notevolmente. Le antenne gravitazionali, costituite da cilindri risonanti a una particolare frequenza, sono state perfezionate raffreddandole alle basse temperature per evitare il problema del rumore termico. Accanto a questi apparati sono stati sviluppati grandi centri interferometrici finanziati da più stati. Le masse di prova a kilometri di distanza e le riflessioni multiple portano i cammini ottici a distanze che superano i cento kilometri. Uno dei centri principali è l’italo-francese Virgo, l’European Gravitational Observatory, realizzato in una piccola località (Cascina) in provincia di Pisa, dal 2015 in fase di ristrutturazione per elevare la sensibilità dell’apparato. Dall’altra parte dell’Oceano Atlantico, sul territorio statunitense, sono costruiti gli osservatori gemelli di LIGO in Louisiana a Livingston e nello stato di Washington a Hanford. I due centri LIGO hanno rilevato nel giro di pochi mesi tre segnali, frutto delle migliorie apportate alla sensibilità della strumentazione.

fig.21 Caratteristiche dei sistemi interferometrici LIGO

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Il primo, GW150914, annunciato nel febbraio 2016 in una conferenza stampa contemporanea europea e americana, è, secondo gli oltre mille firmatari (i collaboratori di Virgo e LIGO) degli articoli scientifici, il segnale di un’onda gravitazionale dovuta alla fusione (detta anche coalescenza in analogia al fenomeno equivalente di gocce di un liquido) di due buchi neri. Il transiente, caratterizzato da un intervallo di frequenze tra 35 e 250 Hz, misurato nei due laboratori il 14 settembre 2015, non può essere casuale con una probabilità elevatissima (il caso potrebbe giustificare solo una eventualità in 203 000 anni). Il confronto dei segnali sfasati di 6,9 ms, con ampiezza h dell’ordine di 10-21, depurata dai rumori, ha portato a un’alta corrispondenza. Le forme d’onda sono state inoltre messe in relazione a un modello astrofisico di due buchi neri in rapida rotazione che collassando hanno trasformato parte della loro massa-energia in onde gravitazionali.

fig.22 Le prime misure da parte di LIGO del segnale di un’onda gravitazionale

Il sistema binario che meglio si adatta alle forme d’onda trovate, comporta una massa totale prossima a 70 masse solari e una compattezza compatibile solo con buchi neri, capaci di raggiungere una frequenza orbitale di 75 Hz senza che le masse entrino in contatto.

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fig.23 Modello elaborato per spiegare il segnale gravitazionale captato dai due interferometri di LIGO

In un secondo articolo i mille e passa ricercatori hanno approfondito il test di compatibilità delle misure rispetto a considerazioni sulla relatività generale. Infine in un terzo lavoro del giugno del 2016 gli scienziati di Virgo e LIGO hanno preso in considerazione un altro segnale: GW151226 (onda gravitazionale del 26/12/2015) di un evento avvenuto a 1,4 miliardi di anni luce dalla Terra, frutto della fusione di buchi neri più piccoli (rispettivamente 14 e 8 masse solari) che ha portato alla formazione di un unico black hole di 21 masse solari.

fig.24 Il segnale di una seconda onda gravitazionale

L’ampiezza dell’onda è stata meno intensa della prima, ma ha avuto una durata maggiore. Diversi quotidiani hanno annunciato l’urlo della gravità (il parallelo con il suono è legato alle basse frequenze in gioco). Il fruscio dei maremoti cosmici sembra ormai essere alla portata della strumentazione realizzata nei laboratori terrestri. Nelle nuove conferenze stampa si è inoltre accennato a un terzo evento che non avendo come gli altri due la certificazione “5 ” potrebbe essere dovuto a una falsa rilevazione. La forza con la quale l’intera comunità ha diffuso le notizie, a differenza di ciò che era accaduto nella recente storia della rilevazione delle onde gravitazionali, è sicuramente un indice della convinzione della scoperta. Se effettivamente dopo un secolo dalla teoria si sia raggiunta la conferma sperimentale lo diranno i prossimi interferometri avanzati. Essi saranno più facilmente finanziati dopo l’annuncio dell’onda del secolo.

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fig.25 Osservatori di onde gravitazionali di diversa frequenza e loro sensibilità

fig.26 Il primo modello di evoluzione di un sistema binario che si trasforma in un unico buco nero

Per ora la prima onda gravitazionale ha dato il via ai tentativi di tracciare una dettagliata descrizione teorica dell’evoluzione di un sistema binario di stelle che si trasforma in un unico buco nero.