Le leggi di conservazione2 - Unisalento.it · 2016-09-07 · Quesito 5 (Gara di 1 livello – 10...

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Le leggi di conservazione L. Martina Dipartimento di Matematica e Fisica “Ennio De Giorgi” Università del Salento, Sezione INFN - Lecce

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Le leggi di conservazione

L. MartinaDipartimento di Matematica e Fisica

“Ennio De Giorgi”Università del Salento, Sezione INFN - Lecce

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( ) fininfinin PPFPPLavoro ×=®!

Lavoro di una forza costante

F ⋅PinPfin

=F PinPfin

cos ϕ( ) =Fx PinPfin( )x + Fy PinPfin( ) y + Fz PinPfin( )z

PinPfin

F

PinPfin

p/2nel SI il lavoro si misura in

Joule = Newton X m

Dimensioni : [ Lavoro ] = [ Forza ] [ spostamento] =ML T-2 L = ML2 T-2

Pin

Pfin

F

PinPfin

fx

yz

Quando una Forza muove qualcosa fa un Lavoro

gmFP!!

=

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macignoF!

H!

LavoroPeso Pin → Pfin( ) =!Fpeso macigno ⋅

!H = −Mmacigno g H < 0

Qual e’ il Lavoro compiuto dalla (sola) Forza Peso sul macigno ?

macignoF!

LavoroPeso Pin → Pfin( ) ==Fpeso macigno ⋅

H =Mmacigno g H > 0

Pin

Pfin

Pin

Pfin

Spostamento del macigno

Spostamento del macigno H!

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Lavoro1 =Fattr 1 ⋅

l1 = −Fattr

l1

1l!

P iniziale

P finale

1attrFr

P iniziale

P finale

2l!

3l!

2attrF!

3attrF!P med

attrattrattrattr FFFF === 321

!!!

Lavoro2 = Lavoro Piniz → Pmed( )+ Lavoro Pmed → Pfin( )=Fattr 2 ⋅

l2 +Fattr 3 ⋅

l3 = −Fattr

l2 +l3( )

321 lll!!!

1 2Lavoro Lavoro£

Lavoro delle forze di Attrito (radente)

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Lavorotot Piniziale → Pfinale lungo γ( ) =Fi ⋅li

i∑

=FPeso ⋅PinizialePfinale

li

Lavoro di una Forza uniformelungo un cammino arbitrario

Piniziale

Vero solo per forzeuniformi !!!!!

Fi = FPeso

Pfinale

g

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Lavoro di una Forza non uniforme

lungo un cammino arbitrario

Lavorotot Piniziale → Pfinale lungo γ( ) =Fi ⋅li

i∑

Piniziale

Pfinale

Fi

li

g

0®iPl!

LavoroF , γ( ) =

F ⋅dl

γ∫

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Forze Conservative eNon Conservative

LavoroF ,γ( ) =

F ⋅dl

Piniziale

P finale∫ In GENERALELungo un cammino ben specificato g

LavoroF ,γ1( ) ≠ Lavoro

F ,γ2( )

LavoroF ,γchiusa = γ1 −γ2( ) ≠ 0

F

LavoroF ,γchiusa( ) = 0 ∀ γchiusa

E’ CONSERVATIVA

P iniziale

P finale

g1

g2

gchiusa

-g2Lungo un

qualunque cammino!=== 321 ggg LavoroLavoroLavoro

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La Forza Peso e’CONSERVATIVA

Piniziale

Fi = FPeso

Pfinale

g1

g2Lavoro

FPeso , γchiusa = γ1 −γ2( ) =

LavoroFPeso , γ1( )+ Lavoro

FPeso , −γ2( ) =

FPeso ⋅PinizialePfinale

+FPeso ⋅ −PinizialePfinale

( ) = 0

Il lavoro dipende solo dagli estremi del cammino,non dal cammino stesso

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Energia Potenziale della Forza Peso

U Pfinale( ) =U Piniziale( )− LavoroFPeso , Piniziale → Pfinale( ) =

U Piniziale( )−Mg − z( ) ⋅PinizialePfinale

=

U Piniziale( )+M g× z finale − ziniziale( )=U Piniziale( )+M g h

Piniziale

Fi = FPeso

Pfinalezfinale

ziniziale

z

x

In Pfinale la particella possiede una energia potenziale

U(Pfinale) , che consente alla Forza Peso

di compiere il lavoro M g h = U(Pfinale) - U(Piniziale)

nel riportarla in Piniziale

h

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Energia cinetica

O

h0

h1

201 2

1 gthh -=- Fmv

mgmv

gvt ===

Fvm

Fmv

mF

Fmvghh

222

01 221

21

-=÷øö

çèæ-=÷

øö

çèæ-=-

( )1 0finale inizialeF h h U U U- = - = D

( ) ( ) ( )2 2

2 2finale iniziale

iniziale finalem mv v U Lavoro P P- = -D = ®

( ) ( )2 2

2 2finale finale iniziale inizialem mv U v U+ = +

1. Energia cinetica 2. Conservazione dell’energia meccanica

2

21mvT =

E T U const= + =

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h0

h1X

g1

g2 v1(X)=v2(X)

constmghvm =+221 !

( ) ( ) 02

02

22 +=+ inizialevmmghm ghviniziale 2=

Con quale velocità Romeo deve lanciare la rosa, affinché arrivi Con velocità nulla a Giulietta?

V1(0) =v2(0)

F = - m g y

R reazione vincolaresempre ortogonalealla guida: R . d l = 0

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Quesito 5 (Gara di 1◦ livello – 10 Dicembre 2010)

Una sciatrice di 50 kg si las-cia andare, dal fianco di unacollinetta (punto A in figura),ad un’altezza h1 = 20.4 m, su-perando un secondo rilievo altoh2 = 8 m ed arrivando in pianonel punto C. In tutto questo percorso l’attrito si puo considerare trascurabile. Qual e lavelocita della sciatrice nel punto B del secondo rilievo?

Quesito 6 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)Per mantenere una massa premuta contro una molla occorre applicare una forza di 250 N .La mola e stata compressa di 0.60 m e poi viene lasciata andare.Supponendo che tutta l’energia impiegata per comprimere la molla venga trasferita allamassa al momento del lancio, quanta sara l’energia cinetica acquistata dalla massa?

Quesito 7 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2006)

Un blocco di massa M scivola lun-go una rampa da un’altezza h0

e urta un altro blocco di massa2M inizialmente fermo sul pianoorizzontale.I due blocchi restano uniti e proseguono risalendo una seconda rampa fino ad un’altezzah1. I tre piani sono opportunamente raccordati in modo che non ci siano irregolaritanel moto dei blocchi. Supponendo di poter trattare le masse come puntiformi e di potertrascurare gli effetti di attrito tra tutte le superfici, quanto vale h1?

Quesito 8 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)

Un cannoncino giocattolo e fissato a un carrellino che simuove verso destra con velocita v lungo un binario retti-lineo, come mostrato in figura. Il cannone e puntato nelladirezione del moto. Quando il cannone spara un proiettileil carrello e il cannone, per il contraccolpo si fermano.Indichiamo con M la massa del carrello col cannone (compre il cannone ma escluso ilproiettile), e con m la massa del proiettile. Qual e la velocita del proiettile rispetto alsuolo subito dopo che esso e stato sparato?

Quesito 9 (Gara di 2◦ livello – 11 Febbraio 2011)Un carrello di massa m1 = 200 g ed energia cinetica E1 = 0.9 J si muove in linea rettae ne urta un altro di massa m2, inizialmente fermo. Dopo l’urto, il primo carrello tornaindietro con energia cinetica E′

1 = 0.4 J .Calcolare la massa del secondo carrello nell’ipotesi che l’urto sia elastico.

2

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AIF – Olimpiadi di Fisica 2014 Gara di 2◦ Livello – 18 Febbraio 2014

4 Su una rotaia orizzontale con attrito trascurabile, un carrellino di massa m1 = 5kg si muovead una velocita v1 = 20m s−1 e ne raggiunge un secondo che si sta muovendo a v2 = 10m s−1

nello stesso verso. Dopo l’urto, che si puo considerare elastico, quest’ultimo si muove a 15m s−1.

• Qual e la massa del secondo carrellino?

5 Un motore termico reale che opera fra una sorgente termica alla temperatura di 2000◦C e unrefrigerante a 100◦C sviluppa una potenza meccanica di 1 kW e ha un rendimento pari al 40%

di quello di una macchina termica reversibile che scambi calore con gli stessi termostati.

• Qual e la potenza termica che esso assorbe alla temperatura di 2000◦C?

6 Il disegno a fianco mostra una studentessa alta 170 cm chelancia una palla da tennis da un terrapieno, con una velocita

iniziale di modulo v0 = 12m s−1, inclinata di 30◦ verso l’alto. Al momento dellancio la palla sta poco sopra la testa della ragazza e al momento dell’impattocol terreno, la velocita della palla ha un modulo di 18m s−1.

• Se la resistenza dell’aria puo essere trascurata, qual e l’altezza del terra-pieno?

NOTA: il disegno non intende fornire una riproduzione in scala della situazione.

7 Il signor Archimede decide di usare una bilancia a bracci uguali per pesare alcune pepite d’oro,ma lo fa ponendo tutto (bilancia, pepite e pesi di riferimento) sott’acqua. Trova che la bilancia

e in perfetto equilibrio quando su un piatto ci sono le pepite e sull’altro c’e un blocco di rame che egli saavere una massa mCu = 1.2 kg. Egli sa anche che la densita del rame e ρCu = 8.93 kg/dm3 e quella dell’oro eρAu = 19.28 kg/dm3.

• Qual e la massa delle pepite?

8 Un lampione di diametro d viene appeso ad una staffa rigida aforma di L, di massa trascurabile e di lunghezza ℓ >d ; la staffa e

fissata al muro con un bullone posto ad altezza h rispetto alla sua parte orizzontale,come mostrato in figura. Per strappare il bullone dal muro occorre applicare unaforza orizzontale di intensita F .

• Qual e il valore massimo del peso del lampione che puo essere appeso alla staffa?Esprimerlo in termini delle grandezze date.

9 Tre fili elettrici, AB e AC, di lunghezza a, e ABC di lunghezzaℓ > a sono collegati come mostrato in figura. Il punto B puo

trovarsi in una qualsiasi posizione, lungo il terzo filo, tra A e C. I fili hanno lastessa sezione e sono fatti dello stesso materiale.

• Quale deve essere la lunghezza x del tratto BC del filo per ottenere la resistenzamassima tra A e B?

10 Due corpi di massa m1 = 50 kg e m2 = 100 kg sono collegati fra loro da unamolla di massa trascurabile. Il corpo di massa m2 appoggia su una botola

chiusa, mentre la molla e posta verticalmente e sostiene il corpo di massa m1.Improvvisamente la botola si spalanca e i due corpi precipitano.

• Qual e l’accelerazione di ciascun corpo immediatamente dopo l’apertura?

Pag. 4 di 4

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Energia Potenziale di Forze Conservative

Fissato arbitrariamente P0l’Energia Potenziale e’ definita da P iniziale

P finale

g1

g2

g3

P 0

LavoroF ,Piniziale → Pfinale( ) =

F ⋅dl

Piniziale

P finale∫ =F ⋅dl +

Piniziale

P0∫F ⋅dl

P0

Pfinale∫ =

F ⋅dl

P0

P finale∫ −F ⋅dl

P0

P iniziale∫ = − U Pfinale( )−U Piniziale( )%&

'(= −ΔUPiniziale→Pfinale

L’Energia Potenziale dipende dalla posizione del corpo relativamente a un punto di riferimento

GravitazionaleElettricaElastica…

- Variazione di E. P.

U P( ) = −F ⋅dl

P0

P∫

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• Sollevare pesi usando la Forza Peso

• Usare l’energia potenziale di certi Pesi per spostare (compiere lavoro) sualtri Pesi

Macchine

F2

L

l

2

1

Fappl

F1

2 2U F LD = -

LavoroFappl ,

l( ) = Fappl l

Fappl l = −ΔU2

1 1U F lD =

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•Macchine ideali

•Le Macchine ideali sono reversibili

Ll LlF2

F1

F1

2

2

1

1

ΔU1 = LavoroFappl ,

l( ) = −ΔU2

1 2 0U UD +D =

I. Le macchine ideali (reversibili) sono “le migliori”II. Tutte le macchine reversibili producono lo stesso effetto a parita’ di condizioniIII. Si torna esattamente alla situazione di partenza indipendentemente dal “cammino”IV. La non esistenza del moto perpetuo di I specie equivale alla Conservazione dell'EnergiaV. Tutte le forze fondamentali sono conservative

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1 2 0U UD +D =

1 2 0M g l M g L- =

Es1: Le leve

F2

L

l

2

11b

2b

F1

M1 b1 sinθ =M 2 b2 sinθ

O

Legge di Archimede sulle leve

qq

M1 b1 =M 2 b2(Equilibrio di corpi rigidi)

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Es.2 Su un piano inclinato liscio (senza attrito) di lati assegnati e filo inestensibile,qual e’ il rapporto delle masse perche’ si abbia l’equilibrio (reversibilita’)?

4l

5l3l

M

m ?

4l

5l3l

M

m ?

5l

( ) ( ) 053 =- lmglMg Mm53

=

L’epitaffio di Stevino

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pLRFLMg p2=

FMg

=p

2π R

Es.3 Il martinetto a vite (senza attrito): quale forza F debbo applicare al braccio per mantenere in equilibrio il martinetto carico con la massa M?

Torricelli:tanto si guadagna in forzaquanto si perde in cammino

M

R

p

F ?

L

F ?pLp2

Momento della Forza

NB Lo spostamento L e’ un parametro , che definisce i possibili mutamenti del sistema, ma non interviene nel risultato finale

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Pressione di un torchio : Sapendo che un torchio a mano compie degli avanzamenti di un angolo f= n/m p attorno ad una vite di passo p , che il suo braccio e’ di lunghezza R , sul quale e’ applicata una forza costante ortogonale di intensita’ F, calcolare la pressione P esercitata sulla superficie compressa di area A.

FR nmπ = PA n

mp

P = π FRAp

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Es 2 Una massa m sospesa con una fune ideale trascinauna seconda massa M, posta su un piano senza attritoe inizialmente con velocita’ V0. Quanto vale la velocita’ del sistema se m scende di h?M

m

h

( ) ( ) 20

20

22

2222VMVmmghVMvm finalefinale +=-+

vV =

20

2 VMm

mghVv finfin ++

==

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L

Es.3 :

M

m

La massa sospesa (m = 300 g) e’ trattenuta da una massa sul tavolo (M=800 g) tramitefili e carrucole ideali e senza attriti.Qual e’ la velocita’ delle masse se M si sposta di L=60 cm partendo da ferma?

m2v finale( )

2+M2V finale( )

2−mg L

2= 0

L/2

V finale = 2v finale

v finale = 2 mgL4M +m

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Particella su piano orizzontale con attrito radente: se inizialmente ha velocita’ v0, quanto spazio percorre prima di fermarsi?

v0attrF!

Teorema dell’Energia cinetica( ) ( ) ( )finaleinizialeForza

inizialefinale PPLavorovmvm®=-

22

22

L ?

vfin =0

( ) attrfinaleiniziale LFPPLavoro -=® ( ) ( ) 20

20

2

220

2vmvmmT -=-=D

attrFvmL20

2=

Es1

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l

h

m

F ?( ) ( )2 2

2 002 2m mT v F lD = - = -

( ) ( )2 21 0 02 2m mT v mghD = - =

lmghF =

Es2 Una massa inizialmente ferma cade da un’altezza h su un terreno, affondando per una profondita’ l: determinare la resistenza offerta dal terreno

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Quesito 5 (Gara di 1◦ livello – 10 Dicembre 2010)

Una sciatrice di 50 kg si las-cia andare, dal fianco di unacollinetta (punto A in figura),ad un’altezza h1 = 20.4 m, su-perando un secondo rilievo altoh2 = 8 m ed arrivando in pianonel punto C. In tutto questo percorso l’attrito si puo considerare trascurabile. Qual e lavelocita della sciatrice nel punto B del secondo rilievo?

Quesito 6 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)Per mantenere una massa premuta contro una molla occorre applicare una forza di 250 N .La mola e stata compressa di 0.60 m e poi viene lasciata andare.Supponendo che tutta l’energia impiegata per comprimere la molla venga trasferita allamassa al momento del lancio, quanta sara l’energia cinetica acquistata dalla massa?

Quesito 7 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2006)

Un blocco di massa M scivola lun-go una rampa da un’altezza h0

e urta un altro blocco di massa2M inizialmente fermo sul pianoorizzontale.I due blocchi restano uniti e proseguono risalendo una seconda rampa fino ad un’altezzah1. I tre piani sono opportunamente raccordati in modo che non ci siano irregolaritanel moto dei blocchi. Supponendo di poter trattare le masse come puntiformi e di potertrascurare gli effetti di attrito tra tutte le superfici, quanto vale h1?

Quesito 8 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)

Un cannoncino giocattolo e fissato a un carrellino che simuove verso destra con velocita v lungo un binario retti-lineo, come mostrato in figura. Il cannone e puntato nelladirezione del moto. Quando il cannone spara un proiettileil carrello e il cannone, per il contraccolpo si fermano.Indichiamo con M la massa del carrello col cannone (compre il cannone ma escluso ilproiettile), e con m la massa del proiettile. Qual e la velocita del proiettile rispetto alsuolo subito dopo che esso e stato sparato?

Quesito 9 (Gara di 2◦ livello – 11 Febbraio 2011)Un carrello di massa m1 = 200 g ed energia cinetica E1 = 0.9 J si muove in linea rettae ne urta un altro di massa m2, inizialmente fermo. Dopo l’urto, il primo carrello tornaindietro con energia cinetica E′

1 = 0.4 J .Calcolare la massa del secondo carrello nell’ipotesi che l’urto sia elastico.

2

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Es3 La massa m giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che si puo’ avvolgere attorno ad un cilindro rigido di raggio R. Se inizialmente si muove con velocita’ angolare win, quale sara’ la sua velocita’dopo un dato numero di avvolgimenti?

0=D×=D×=D tvFrFL TT!"""

( ) ( ) ( )2 2, 0

2 2finale iniziale

Tm mv v Lavoro F g- = =

wlv =ininfinfin ll ww =

Es4 La massa m giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che attraversa un foro centrale e tirata da una forza F. Se inizialmente si muove con velocita’ angolare win, quale sara’ la sua velocita’dopo aver accorciato la fune di Dr ?

vFT

11 2 /

fin ininNR l

w wp

=-

vFT

F

ΔL =FT ⋅ Δ

r = FΔr ( ) ( )2 2

2 2finale inizialem mv v F r- = D

( )( )

( )( )

2 2

2 21 2

1 /fin in

in in

r Fmr l l

w wæ öDç ÷= +ç ÷- D è ø

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Es5 Un grave m e’ sospeso con un filo inestensibile ad un disco di raggio R, libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale senza attriti. Abbandonato da fermo il disco impega un tempo T per scendere di un’altezza h. Determinare il momento di inerzia del disco

2 212 2

mI v mghw + =

h

R /v Rw =2

2

2mgv hI mR

=æ ö+ç ÷è ø

2

2

12

mgv a T h a T aI mR

= = =æ ö+ç ÷è ø

221

2g TI m Rh

æ ö= -ç ÷è ø

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Forza di gravitazione universaler

rMmGF ˆ2-=

!

F!rrr ˆ=

!

M

m

0=chiusocammL

Forza di Coulomb

rrqqkF ˆ221=

!

0=DL

01 <DL

012 >D-=D LL

( ) 1 20

1 1CoulU P kq q

r ræ ö

= -ç ÷è ø

( )0

200

1 1

P

grav P

r

r

U P F dl

MmG du GMmu r r

= - × =

æ ö= -ç ÷

è ø

ò

ò

rr

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Es1 Calcolare la velocita’ iniziale necessaria ad una particella per sfuggire all’attrazione gravitazionale della Terra

0121 2 =-=

TrGMmmvE

sec/1022 4 mgrrGMv TT

»==

Es2 Sapendo che per l’atomo di idrogeno il potenziale di ionizzazione dell’ elettrone e’di Eion =21.8 x 10-19 J , facendo l’ipotesi che la sua orbita attorno al protone abbia un raggio aB = .5 x 10-10 m, trovare la velocita’ dell’elettrone.

22

0

12 4 Ion

B

eE mv Eape

= - = -

25

0

2 15 10 / sec4 Ion

B

ev E mm apeæ ö

= - » ´ç ÷è ø

a0

T

Eion

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Forza di richiamo elastica (Oscillatore Armonico)

xxkF ˆ-=!

Uel P( ) = −F ⋅dl

P0

P∫ = k u

x0

x∫ du = 1

2k x2 − x0

2( )22

21

21 kxmvEmecc +=

02 meccExk

=

Emecc

T

Uel

-x0x0

mEv mecc2

max =

( ) ( ) ( ) ( )fwwfw +-=+= txtvtxtx sincos 00

mk

=2w

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Esercizi sulla quantita di moto e conservazione

dell’energia

Quesito 1 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2012)Due blocchi, il primo di massa M e il secondo di massa 2M , sono appoggiati su un pianoorizzontale senza attrito e sono inizialmente fermi. A ciascun blocco viene applicata lastessa forza orizzontale di modulo F , per lo stesso intervallo di tempo, ∆t.Qual e il rapporto tra l’energia cinetica del secondo blocco e quella del primo, quando laforza ha cessato di agire?

Quesito 2 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2012)

Un disco di massa M , che si muove con velo-cita di modulo v, urta frontalmente un secondodisco di massa 2M e velocita di modulo v/2,come mostrato in figura; i due dischi stannoscivolando su di un piano orizzontale con attritotrascurabile.Se dopo l’urto i due dischi rimangono attaccati, quanto vale il modulo della loro velocita?

Quesito 3 (Gara di 1◦ livello – 12 Dicembre 2011)

Un pezzo di ghiaccio cade verticalmente sullasuperficie ghiacciata di un lago e si frantuma intre pezzi che schizzano via parallelamente allasuperficie del lago, come schematizzato in figurache raprresenta la situazione vista dall’alto.

Se il pezzo piu grosso, di 4.0 kg, inizia a muoversi a 4.0 m/s, con che velocita partono idue pezzi piu piccoli, entrambi di 2.0 kg?

Quesito 4 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2007)Due carrelli si trovano su una rotaia a cuscino d’aria, disposta orizzontalmente, su cuipossono muoversi con attrito trascurabile. Il carrello A, di massa mA, si muove con ve-locita v0 e urta contro un carrello B, di massa mB, inizialmente fermo. Nell’urto, i duecarrelli restano agganciati.Quale frazione (in percentuale) dell’energia cinetica iniziale del sistema viene trasformatain altre forme (energia sonora, termica, ...) nella collisione?

1

Quesito 5 (Gara di 1◦ livello – 10 Dicembre 2010)

Una sciatrice di 50 kg si las-cia andare, dal fianco di unacollinetta (punto A in figura),ad un’altezza h1 = 20.4 m, su-perando un secondo rilievo altoh2 = 8 m ed arrivando in pianonel punto C. In tutto questo percorso l’attrito si puo considerare trascurabile. Qual e lavelocita della sciatrice nel punto B del secondo rilievo?

Quesito 6 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)Per mantenere una massa premuta contro una molla occorre applicare una forza di 250 N .La mola e stata compressa di 0.60 m e poi viene lasciata andare.Supponendo che tutta l’energia impiegata per comprimere la molla venga trasferita allamassa al momento del lancio, quanta sara l’energia cinetica acquistata dalla massa?

Quesito 7 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2006)

Un blocco di massa M scivola lun-go una rampa da un’altezza h0

e urta un altro blocco di massa2M inizialmente fermo sul pianoorizzontale.I due blocchi restano uniti e proseguono risalendo una seconda rampa fino ad un’altezzah1. I tre piani sono opportunamente raccordati in modo che non ci siano irregolaritanel moto dei blocchi. Supponendo di poter trattare le masse come puntiformi e di potertrascurare gli effetti di attrito tra tutte le superfici, quanto vale h1?

Quesito 8 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)

Un cannoncino giocattolo e fissato a un carrellino che simuove verso destra con velocita v lungo un binario retti-lineo, come mostrato in figura. Il cannone e puntato nelladirezione del moto. Quando il cannone spara un proiettileil carrello e il cannone, per il contraccolpo si fermano.Indichiamo con M la massa del carrello col cannone (compre il cannone ma escluso ilproiettile), e con m la massa del proiettile. Qual e la velocita del proiettile rispetto alsuolo subito dopo che esso e stato sparato?

Quesito 9 (Gara di 2◦ livello – 11 Febbraio 2011)Un carrello di massa m1 = 200 g ed energia cinetica E1 = 0.9 J si muove in linea rettae ne urta un altro di massa m2, inizialmente fermo. Dopo l’urto, il primo carrello tornaindietro con energia cinetica E′

1 = 0.4 J .Calcolare la massa del secondo carrello nell’ipotesi che l’urto sia elastico.

2

Quesito 5 (Gara di 1◦ livello – 10 Dicembre 2010)

Una sciatrice di 50 kg si las-cia andare, dal fianco di unacollinetta (punto A in figura),ad un’altezza h1 = 20.4 m, su-perando un secondo rilievo altoh2 = 8 m ed arrivando in pianonel punto C. In tutto questo percorso l’attrito si puo considerare trascurabile. Qual e lavelocita della sciatrice nel punto B del secondo rilievo?

Quesito 6 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)Per mantenere una massa premuta contro una molla occorre applicare una forza di 250 N .La mola e stata compressa di 0.60 m e poi viene lasciata andare.Supponendo che tutta l’energia impiegata per comprimere la molla venga trasferita allamassa al momento del lancio, quanta sara l’energia cinetica acquistata dalla massa?

Quesito 7 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2006)

Un blocco di massa M scivola lun-go una rampa da un’altezza h0

e urta un altro blocco di massa2M inizialmente fermo sul pianoorizzontale.I due blocchi restano uniti e proseguono risalendo una seconda rampa fino ad un’altezzah1. I tre piani sono opportunamente raccordati in modo che non ci siano irregolaritanel moto dei blocchi. Supponendo di poter trattare le masse come puntiformi e di potertrascurare gli effetti di attrito tra tutte le superfici, quanto vale h1?

Quesito 8 (Gara di 1◦ livello – 11 Dicembre 2008)

Un cannoncino giocattolo e fissato a un carrellino che simuove verso destra con velocita v lungo un binario retti-lineo, come mostrato in figura. Il cannone e puntato nelladirezione del moto. Quando il cannone spara un proiettileil carrello e il cannone, per il contraccolpo si fermano.Indichiamo con M la massa del carrello col cannone (compre il cannone ma escluso ilproiettile), e con m la massa del proiettile. Qual e la velocita del proiettile rispetto alsuolo subito dopo che esso e stato sparato?

Quesito 9 (Gara di 2◦ livello – 11 Febbraio 2011)Un carrello di massa m1 = 200 g ed energia cinetica E1 = 0.9 J si muove in linea rettae ne urta un altro di massa m2, inizialmente fermo. Dopo l’urto, il primo carrello tornaindietro con energia cinetica E′

1 = 0.4 J .Calcolare la massa del secondo carrello nell’ipotesi che l’urto sia elastico.

2

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AIF – Olimpiadi di Fisica 2015 Gara Nazionale – Prova Teorica – 10 Aprile 2015

3 Scivolamento con rimbalzo Punti 100

Una molla ideale di costante elastica k = 30N/me lunghezza a riposo ℓ0 = 30 cm e fissata ad unaestremita nel punto piu basso di un piano inclina-to di un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale,ed e appoggiata sul piano inclinato.

Si fissi un sistema di riferimento cartesianocon l’origine alla base del piano inclinato, e l’assex parallelo al piano e orientato verso l’alto.

Un blocco di massa m = 200 g viene lasciatolibero da fermo sul piano inclinato. La posizio-ne del blocco sara sempre data dalla coordinataxA della sua faccia anteriore (A); inizialmente Adista 70 cm dall’origine delle coordinate. Si con-sideri in una prima fase una situazione in cui l’at-trito e trascurabile.

1. Si esprima – scalarmente – la forza risultante agente sul blocco, FR, in funzione di x, sia quando il blocco estaccato dalla molla sia quando e a contatto con essa. Si determini in quale posizione x0 la forza risultantee nulla. Si tracci un grafico di FR(x).

2. Si determini la posizione x1 in cui il blocco raggiunge la sua velocita massima.

3. Si trovi l’espressione dell’energia potenziale e di quella cinetica del blocco in funzione di x.

4. Si determini la posizione x2 in cui il blocco inverte il suo moto.

Si supponga ora che ci sia un attrito non trascurabile e che i coefficienti statico e dinamico siano rispettivamenteµs = 0.56 e µd = 0.52.

5. Si verifichi che anche in questo caso il blocco, lasciato fermo nel punto A, scivola, e si trovi in quale posizionex3 inverte ora il suo moto.

6. Si trovi l’espressione E(x) dell’energia meccanica in funzione di x nel moto del blocco da xA a x3.

7. Si determini la posizione x4 in cui il blocco raggiunge la massima velocita.

8. Si trovi in quale posizione x5 il blocco si arresta definitivamente.

Materiale elaborato dal Gruppo

NOTA BENEE possibile utilizzare, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico questo materiale alle dueseguenti condizioni: citare la fonte; non usare il materiale, nemmeno parzialmente, per finicommerciali.

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( )221 wRmT =

Pendolo semplice

( )1 cosgravU mgR a= -dtdaw =mecc gravE T U= +

2

211cos aa -»

1<<a 222

21

21 aw mgRmREmecc += Oscillatore Armonico

Rg

=20w

Piccole Oscillazionia

Ugrav

Emecc

ah

( )2 21 1 cos2meccE mR mgRw a= + -

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Orbite chiuse ed aperte

Diagramma nel piano delle fasi per il pendolo

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Forza di LorentzBvqFL!!!

´=

0=D×=D×=D tvFrFL LL!"""

2

21mvEmecc =

B!

Uniforme e costante v Costante e orbite circolari (elicoidali)

Come inserire i campi magnetici nell’espressione dell’energia?

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meccEmgyyxkvm =+++ 222

21

21 !

x

y

el grav meccT U U E+ + + =KPiu’ forze

Piu’ particelle S T M S T M

S T S M T M mecc

T T T U U U

U U U E- - -

+ + + + + +

+ + =

å==++i

iitotMTS vmTTTT 2

21

( )tot i i ji ij

U U U -= + +å å L

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1. E’ una legge SPERIMENTALE , verificata senza eccezione al meglio delle conoscenze attuali

2. L’ENERGIA si presenta sotto molte forme diverse :

3. Per ogni forma di energia esiste una appropriata formula per calcolarla a partire da alcune grandezze fisiche fondamentali: massa, posizione, velocita’, …

4. Esprime la capacita’ del sistema a compiere Lavoro (ma per I sistemi macroscopici si deve introdurre anche l’Entropia )

5. Le interazioni fondamentali sono sempre conservative

6. Contiene tutta l’informazione relativa ad un sistema conservativo

GravitazionaleCineticaElettricaElasticaTermicaRadianteChimicaNuclearedi Massa

…..

In un SISTEMA ISOLATOl’ENERGIA Totale rimane

costante

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AIF – Olimpiadi di Fisica 2015 Gara di 2◦ Livello – 13 Febbraio 2015

3 – Tappeto elastico [Punti 20]

Valeria e una ragazzina che sta saltando sul tappeto elastico al parco giochi. Fa inizialmente alcuni semplicirimbalzi in verticale aumentando ad ogni rimbalzo l’altezza massima raggiunta.

Per studiarne il moto consideriamo il suo centro di massa (CdM) C. Fissiamo un sistema di riferimento conl’origine nel punto in cui si trova C all’istante del distacco dal tappeto elastico e l’asse y verticale e orientatoverso l’alto.

1. Esprimere il tempo di volo t0 (tra un rimbalzo e l’altro) e la velocita v0 al momento del distacco dal tappetoin funzione dell’altezza h raggiunta, ovvero la variazione di quota del CdM. Calcolare i valori numerici di t0e v0 per h = 2m.

Nei suoi salti, Valeria si mantiene dritta verticalmente, e tiene le braccia tese verso l’alto. Molto grossolanamente,possiamo assimilarla ad un’asta rigida e uniforme di lunghezza ℓ e massa m, come mostrato in figura (a).

A un certo punto, quando giudica di aver raggiunto un’altezza massima sufficiente, Valeria vorrebbe fare unacapriola (salto mortale) in aria, ma si rende conto che se resta rigida cio non e possibile.

2. Perche?

Valeria allora fa in modo di ruotare (piu avanti vedremo come), subito dopo un rimbalzo, attorno ad un asseorizzontale passante per il suo CdM, come mostrato in figura (b). Sia ω0 la sua velocita angolare.

Valeria si rende pero presto conto che sta ruotando troppo lentamente e non riuscira a completare la capriola.Allora si rannicchia di scatto, come mostrato in figura (c) e in questo modo riesce a ridurre il proprio momentod’inerzia I di un fattore 4. La sua velocita angolare diventa ω1.

3. Trovare la relazione tra ω0 e ω1.

Dopo aver compiuto buona parte della rotazione, Valeria si distende di nuovo. E davvero brava, perche riesce afarlo nel momento esatto che le consente di completare la rotazione e atterrare sul tappeto in posizione verticale.Durante il suo salto, ha trascorso meta tempo in posizione rannicchiata.

4. Ricordando che il tempo di volo e t0, trovare la velocita angolare ω0 in funzione dell’altezza massima h ecalcolare il valore numerico di ω0 per h = 2m.

Come abbiamo detto sopra, per fare la capriola Valeria fa in modo di avere una velocita angolare gia all’iniziodel suo salto. Per ottenere questo, alla fine del salto precedente arriva sul tappeto con un piccolo angolo αrispetto alla verticale, perche in questo modo la spinta verticale che riceve dal tappeto le imprime un momentoangolare rispetto al CdM, come mostrato in figura (d).

Si supponga che il modulo della velocita con cui Valeria arriva sul tappeto, e con cui ne riparte, sia inentrambi i casi v0, e che prima dell’urto sia ω = 0. Si tratti l’urto col tappeto come istantaneo. Si ricordi cheil momento d’inerzia I di un’asta rigida e uniforme rispetto ad un asse perpendicolare all’asta e passante per ilsuo centro vale I = mℓ2/12.

5. Ricavare α in funzione di ℓ e di h. Si trascuri la piccola inclinazione α che la ragazzina ha in partenza e siconsideri ancora una rotazione di 360◦; posto che sia ancora h = 2m e che sia ℓ = 1.80m, calcolare il valorenumerico di α.

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Eser

cizi

o ria

ssun

tivo