Le disequazioni di secondo grado Metodo di risoluzione

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Le disequazioni di secondo grado

ESEMPI

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Metodo di risoluzione

Calcoliamo il discriminante e, se è positivo o nullo, troviamo le radici dell’equazione associata:

9 8 1

x 1 x 2

x 312

Disegniamo la parabola corrispondente:

Scegliamo l’intervallo delle soluzioni (stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo):

x 1 x 2

x2 3x 2 01.

Le disequazioni di secondo grado

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Metodo di risoluzione

Calcoliamo il discriminante:

4

4 5 1

Poiché Δ < 0, la parabola non interseca l’asse delle ascisse. II trinomio è sempre positivo e quindi, poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è negativo, la disequazione non è mai verificata:

S

x2 4x 5 02.

Le disequazioni di secondo grado

4

Metodo di risoluzione

30x 9x2 25 03.

Cambiamo i segni e il verso:

9x2 30x 25 0

Calcoliamo il discriminante:

4

225 225 0

x 53

La parabola interseca l’asse x in un solo punto (corrispondente al vertice) dove assume valore zero ed è positiva in tutti gli altri punti. Poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo (abbiamo cambiato segni e verso), la disequazione è verificata

35Rx

Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie

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Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno.

Una volta scritta la disequazione nella forma

A x B x 0 oppure

A x B x 0 :

• studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore

• costruiamo la tabella dei segni

• deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni

• individuiamo l’insieme delle soluzioni.

Le disequazioni di secondo grado

ESEMPIO

Disequazioni frazionarie

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x2 3

x2 2x 0 deve essere x ≠ 0 ∧ x ≠ 2

Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore:

x2 3 0

Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata

x R

x2 2x 0

L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨ x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨ x > 2

continua

Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie

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Costruiamo la tabella dei segni:

L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2

0 2 R

+ + +

+

+

−

−

+

+

segno di x2 + 3

segno di x2 − 2x

frazione

S

Le disequazioni di secondo grado

ESEMPIO

Disequazioni di gradosuperiore al secondo

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Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica.

x3 3x2 x 3 0

Scomponiamo il polinomio al primo membro:

x2 x 3 x 3 0

x2 1 x 3 0

Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto:

x2 1 0

x R

x 3 0

x 3

3 R

+ +

−

−

+

+

segno di x2 + 1

segno di x − 3

prodotto

S

x 3

Le disequazioni di secondo grado

ESEMPIO

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Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi:

Sistemi di disequazioni

• risolvere ciascuna disequazione

• costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni.

08012

2

2

xxxx

Risolviamo la prima disequazione:

x2 2x 1 0

x 1 2 0

x R 1 S1

Risolviamo la seconda disequazione:

x2 8x 0

0 x 8 S2

Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8

−1 8 R

S1

S2

S

0Tabella delle soluzioni: