Lavoro di un sistema termodinamicougs/didattica/ingegneria/FisicaI/Lez... · di calore Q (misurato,...

Lavorodi un sistema termodinamico

Il lavoro “fatto” da un sistema termodinamico e’ il lavoro meccanicocompiuto o subito dal sistema quando il sistema varia (aumenta o diminuisce) il suo volume sotto l’ azione delle forze di pressione che agiscono su di esso.

dxvariazione divolume dV=Sdx

pressione esternapedVpSdxpdxFW eee ==≡δ

Lavoro infinitesimo (in una trasformazione infinitesima con variazione infinitesima di volume dV):

δW positivo se dV > 0 : aumento di volume,lavoro compiuto dal sistema

U.Gasparini, Fisica I 1

F=peS

dx

pistonemobile

base disuperficie S

volume dV=Sdx

volumedel sistema

V

lavoro compiuto dal sistema

δW negativo se dV < 0 : diminuzione di volume,lavoro subito dal sistema

∫∫ =≡Vf

Vi

e

f

idVpWW δ

Per una variazione finita di volume da Vi a Vf

(trasformazione finita):

N.B: il lavoro di un sistema termodinamico in generale dipende dagli statiiniziale e finale, ma anche dalla trasformazione compiuta pressione

esterna

Lavoroin una trasformazione reversibile

In una trasformazione reversibile del sistema ( = trasformazione molto lenta, successione di stati di equilibrio infinitamente “vicini” l’uno all’ altro nello spaziodei parametri del sistema) la pressione esterna e’ in ogni istante uguale a quellainterna del sistema: pe = pi= p(V), funzione dello stato del sistema di volume V

p

p

trasformazionetermodinamica reversibiledallo stato 1 allo stato 2∫∫ =≡

Vf

Vi

Vf

Vi

e dVVpdVpW )(


Il lavoro fatto in una trasformazionereversibile e’ uguale all’ area sottesadalla curva rappresentativa della trasformazione nel piano (p,V)

1

2

VV i V f

pi

pf

lavoro W

ViVi

Esempi: lavoro in trasformazioni reversibili di un gas ideale

12

p

pi= pf

trasformazione isobara(p=costante)

∫ −=≡Vf

ifi VVpdVVpW )()(

:lavoro

1

2

p

pi

trasformazione isocora(V =costante∆V = 0)

lavoro: W = 0

pf


VV i V f

∫Vi

ifi

1

2

p

VV i V f

pi

trasformazione isoterma(T=costante, p(V)=piVi/V=nRT/V )

i

f

i

fii

Vf

Vi

ii

V

VnRT

V

VVpdV

V

VpW lnln ==≡ ∫pf

2

VVi=V f

Dipendenza del lavoro dalla trasformazione

Fissati gli stati iniziali e finali, il lavoro e’ diverso a seconda della trasformazionecompiuta dal sistemaper andare dallo stato iniziale a quello finale.

Esempio:n = 2 moli di gas ideale si espandono dallo stato iniziale con volumeV i = 50 e temperatura Ti = 300 K, allo stato finale con volume Vf= 80 e uguale temperatura Tf=Ti.

3dm3dm

Lungo la trasformazione (1) i

p

pi

Trasformazione (1) isoterma

V

VnRTW

i

fln)1( ≡


isotermareversibile i→f :f

VV i V f

pi

J

KmoleKJmoli

V i

2343

)5/8ln(300)/(31,82

=⋅⋅⋅=

pf

Lungo la trasformazione (2) isocora+isobara reversibile i→f :

i

f

p

VV i V f

pi

Trasformazione (2) isocora+isobara

)1(

)2(

1870

)5/31(30031,82)/1(

)()(

WJ

VVnRT

VVV

nRTVVpW

fi

iff

iff

<=

−⋅⋅⋅=−=

−⋅=−≡

pf

La stessa variazione dello stato termodinamico di un sistema, misuratadalla variazione della sua temperatura, può essere prodotta sia da un dato lavoro meccanico W (misurato in Joule) compiuto in maniera adiabatica, sia da uno scambiodi calore Q(misurato, ad es., in calorie) avvenuto senza che sul sistema siastato compiuto del lavoro.

Si verifica che in tali condizioni il lavoro W ed il calore Q sono proporzionali:

se una data variazione dello stato del sistema (ad es., una variazione di temperatura

∆T1) è prodotta adiabaticamente da un lavoro W1 oppure (senza lavoro meccanico) dallo scambio di calore Q, ed una diversa variazione dello stato del sistema (ad es.,

“Equivalenza “ di calore e lavoro


dallo scambio di calore Q1, ed una diversa variazione dello stato del sistema (ad es.,

con una variazione di temperatura ∆T2) è prodotta dal lavoro adiabatico W2 ovvero dallo scambio di calore Q2, risulta sperimentalmente:

W

W

Q

Q2

1

2

1

= ossia:W

Q

W

Qk2

2

1

1

= ≡

con : k J C a l= 4 1 8 6 8, / “equivalente meccanicodella caloria”

Gli esperimenti di Joule sull’ equivalenza di calore e lavoro

Intorno allameta’ del XIX secolo, Joulecompi’ unaserie di esperimentiche miseroin evidenza questa equivalenza. In particolare, osservo’ cheper aumentare in manieraadiabatica di un dato valore la temperatura di una data massa d’acqua era necessariasempre la stessa quantita’ di lavoro meccanico, indipendentemente dalla modalita’con la quale questo lavoro era fornito.

Schematicamente: momento meccanicoapplicato all’ asseM

U.Gasparini, Fisica I

mmgh

Lavoro meccanicofatto sul sistema:W = mghSi misura la variazione

di temperatura dell’ acqua all’ interno del calorimetro,determinata dal lavoro W

Lavoro meccanicofatto sul sistemadalle forze d’attritotra i due dischi:W = M ∆φ=2π Ν

disco rotante

disco fermo

numero di giri dirotazione del discosuperiore

Esperimenti di Joule (2)

F

pistone

gas compressodal pistone in unrecipiente diatermico

R

resistenzaelettrica

icorrenteelettrica


Lavoro meccanicofatto sul pistone

elettrica

Lavoro elettrico: tRiW ∆= 2

In tutti gli esperimenti, deve essere fornito lo stesso lavoro W per ottenerelo stesso incremento di temperatura dell’ acqua all’ interno del calorimetro.

Per una massa d’acqua m=1 Kg ed un aumento termico di 1 K (da 14,5 oC a 15,5 oC)la quantita’ di lavoro necessaria e’ W= 4186 J

Trasformazioni con scambi di calore e lavoro

In generale, in una trasformazione termodinamica si hanno contestualmentesia scambi di lavoro meccanico(le trasformazioni non sono isocore) sia di energiasotto forma di calore (le trasformazioni non sono adiabatiche).

Fissati gli stati iniziale (1) e finale (2) della trasformazione, il lavoro meccanico dipende dalla trasformazione eseguita per andare dallo stato 1 a 2

2p

(I)(II)

W(I) ≠ W(II) ≠ W(III)


1

(II)

(III)

V

Analogamente, i calori scambiati dal sistema con l’ ambiente (ossia con i diversi“serbatoi di calore” con i quali entra in contatto termico), sono diversi nelle varietrasformazioni

1

2p

Q(I)

Q(II)

Q(III)

V

Q(I) ≠ Q(II) ≠ Q(III)

Se un sistema termodinamico compie una “trasformazione ciclica”(trasformazione in cui lo stato termodinamico iniziale è uguale a quello finale), scambiando globalmente con i sistemi con i quali interagisce il lavoro W ed il calore Q ,si verifica sperimentalmente che il rapporto tra queste due quantità è costante:

kQ

W =

indipendentemente dalla trasformazione ciclica compiuta (ossia dal valore di W ).

Trasformazioni cicliche

Esempio:un gas si espande B

p (I)


Se i lavori sono misurati in Joule ed i calori scambiati in “calorie”, la costantek vale

k J C a l= 4 1 8 6 8, / come gia’ vistonegli esperimenti di Joule

un gas si espandedallo stato A allo stato Be successivamente vienericompresso nello stato A,compiendo globalmente un lavoro W(I) scambiando il calore Q(I) (ciclo I : A→B→A);nel ciclo II : A→C→A il gas compie il lavoro W(II)

e scambia il calore Q(II ) ; si verifica sempre:

A

BC

V

kQ

W

Q

W

I

I

II

II ==)(

)(

)(

)(

(I)

(II)

Se si assume la convenzione di misurare il calore con la stessa unità di misura dellavoro (Joule), ponendo:

W

Q= 1

1 4 1 8 6 8C a l J≡ ,

Bp

(I)

(II)

Allora, per il ciclo composto dalle trasformazioni (I) + (II) :

W W W Q Q QA BI

B AI I

A BI

B AI I= + = = +( ) ( ) ( ) ( )

Relazione tra calore e lavoro scambiati in un ciclo

la relazione tra calore e lavoro scambiati in un ciclo diventa:


A(II)

V

A

B(I)

(II)

V

Qualsiasi sia la trasformazione (I), si puo’ sempre considerare un ciclo in cui latrasformazione (II)sia reversibile :

p

− + = −Q W Q WB AI I

B AI I

A BI

A BI( ) ( ) ( ) ( )

Q Q

W W

A BI I

B AI I

A BI I

B AI I

( ) ( )

( ) ( )

= −

= −

Q W Q WA BI I

A BI I

A BI

A BI( ) ( ) ( ) ( )− = −

Per una qualsiasi trasformazione termodinamica nella quale vengano scambiati il lavoro W ed il calore Q, la quantità Q - W non dipende dal tipo di trasformazione compiuta, ma unicamente dagli stati termodinamici inizialee finale del sistema .

Primo principio della TermodinamicaPrimo principio della Termodinamica

E’ possibile allora definire una funzione di stato“energia interna”(ossia una funzione univoca dei parametri di stato del sistema) ,tale che la sua variazione tra due stati qualsiasi A e B sia :

∆ U U B U A Q WA B A B A B≡ − ≡ −( ) ( ) “Primo principio “Primo principio delladellaTermodinamicaTermodinamica””

Se una trasformazione è reversibile, tale relazione può essere espressa in forma infinitesima ( considerando stati termodinamici infinitamente vicini tra loro, tra i

quali si passa con scambi di quantità infinitesime di lavoro δW e calore δQ ):

d U Q W= −δ δdifferenziale della funzione di stato U(“differenziale esatto”)

quantità infinitesime di calore e lavoroscambiati (non sono differenziali di funzioniunivoche dei parametri termodinamici)

delladellaTermodinamicaTermodinamica””

Come per l’ energia potenziale in Meccanica, l’ energia interna e’ definita a menodi una costante arbitraria (= valore della energia interna arbitrariamente assegnatoad uno stato termodinamico di riferimento)

Esperienza di Joule sull’ espansione “libera” di un gas idealetermometro

calorimetro con

valvola chiusa

vuoto

valvola aperta

acqua

paretidiatermiche

calorimetro conpareti adiabatiche

Gas rarefatto(~”ideale”)

Il gas viene fattoespandere nel vuoto(contro una pressione nulla) : lavoro meccanico W = 0

Pareti adiabatiche : → il calore scambiato dal sistema e’ nullo: Q = 0

Per il Primo Principio: ∆∆∆∆U = Q -W = 0 Nell’ espansione, l’ energia interna del gasnon e’ variata

Si osserva che la temperatura del gas, misurata dal termometro, non e’ variata.

Poiche’ sia la pressione che il volume dal gas sono cambiati, l’ energia interna del gas ideale e’ funzione unicamente della temperatura del gas: U = U(T)

L’ esperienza di Joulesull’ “espansione libera” di un gas ideale (e successivamente gli esperimenti di Rossini e Fradsen (1932) effettuati con sensibilità adeguata permisurare la variazione ∂

∂U

p≠ 0

in gas reali) mise in evidenza che l’energia interna di un gas ideale è funzione unicamente della temperatura del gas: U = U(T)

La variazione di energia interna tra due p

Energia interna del gas ideale


= = − = = − = −∆ U Q W Q nc T T nc T TC B C B C B C B V B C V B A( ) ( )≡ 0 .

La variazione di energia interna tra due stati qualsiasi A= (p0,V0) e B= (p,V) è:

( , )p V

( , )p V0 0

A

C

B

isoterma

isocora

∆ U U B U A

U B U C U C U AA B ≡ − =

= − + − =( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

≡ 0 .

p

V

∆ ∆U n c T T n c TV V1 2 2 1= − =( )

In forma inifinitesima: d U n c d TV=

Come conseguenza del 1o Principio e del fatto che, per un gas ideale, ∆U = n cV∆T , si ricava la “relazione di Mayer”tra i calori specifici molari a pressione e volume costante di ungas ideale:

c c RP V= +

Infatti, dal 1o Principio applicato ad una trasformazione isobara:

Q U W nc T p VV= + = +∆ ∆ ∆= n R T∆

(dall’equazione di stato:p V n R T=

Relazione di Mayer

≡ n c Tp ∆

(definizione di calore (dall’equazione di stato:differenziando per una isobara (p ≡costante):

p V n R T=

∆ ∆ ∆( )p V p V n R T= = )

(definizione di calorespecifico molare a pressionecostante)

n c T n c T n R Tp V∆ ∆ ∆= +

Rcc Vp +=e quindi: p

V

isoterma T=T2V

nRTVp 2)( =

isoterma T=T1

AC

BIl calore “isocoro” QAB determina il soloriscaldamento ∆T = T2-T1

Il calore “isobaro” QAC determina lo stessoriscaldamento∆T , e facompiere al sistema il lavoroWAC>0, pertanto QAC > QAB Vp cc >

Dal modello cineticodel comportamento (a livello microscopico, ossia molecolare) del gas ideale, si ricava che per una gas in equilibrio termodinamico alla temperatura T,l’energia cinetica mediadi ogni singola molecolaè:

< > =E k Tk3

2per un gas monoatomico:

per un gas biatomico: < > =E k Tk5

2Tali relazioni sono casi particolari del “principio di equipartizione dell’energia”(dimostrabile nell’ambito della “Meccanica Statistica”sotto condizioni molto generali): ad ogni termine quadratico dell’espressione dell’energia di una singola molecola di un sistema termodinamico corrisponde, all’equilibrio termodinamico del sistema alla

Energia cinetica media delle molecole

Per un gas monoatomico(di molecole non interagenti) , l’energia è espressa da 3 termini quadratici (corrispondenti ai 3 gradi di libertà traslazionali della molecola):

E E m v m v m vk x y z≡ = + +1

2

1

2

1

22 2 2

Per un gas biatomico, si hanno 5 termini quadratici (3 associati ai gradi libertà traslazionalie 2 a quelli rotazionali della molecola)

un sistema termodinamico corrisponde, all’equilibrio termodinamico del sistema allatemperatura T, un contributo al valor medio dell’energia delle molecole pari a 1

2k T

con k =R / NA=1,38 ⋅10−23 J/K “costante di Boltzmann”

Dal modello cinetico di un gas ideale, l’energia interna è espressa come la somma delle energie cinetiche delle N molecole che costituiscono il gas (essendo nulle le forze di interazione intermolecolarie quindi non essendovi alcuna energia potenziale di interazione):

per un gas monoatomico:U N E N k T n N

R

NT n R Tk A

A

≡ < > = = =3

2

3

2

3

2

numero di molecoledel gas

energia cinetica media delle singole molecole

Modello cinetico del gas ideale ed energia interna

d U n R d T= 3

2


del gas 2

Analogamente, per un gas ideale biatomico: c R

c c R R

V

p V

=

= + =

5

27

2

γ = =7

51 4,

c R

c c R R

V

p V

=

= + =

3

25

2

67,13

5 ==≡V

p

c

cγQuindi, per un

gas ideale monoatomico:

D’altra parte, dalla Termodinamica: d U n c d TV=

)/(5,122

3moleKJRcV ⋅≅=Confrontando le due espressioni:

in accordo con lemisure sperimentali.

Trasformazioni “adiabatiche”

Una trasformazione adiabatica e’ una trasformazione nella quale il sistematermodinamico non scambia calore con l’ ambiente.

Per il Primo Principio della Termodinamica, in una trasformazione adiabatica(Q = 0 ) la variazione di energia interna e’ uguale a meno il lavoro (adiabatico) fattodal sistema:

)( adiabABAB WU −≡∆


- se il sistema compie lavoro (W> 0) , diminuisce la sua energia interna- se il sistema subisce lavoro ( W< 0), aumenta la sua energia interna

Esempio:la rapida (Q~0) compressione di un gas porta ad unaumento della sua energia interna, e quindi (gas ~ideale: ∆U= ncV∆T) della sua temperatura.

E’ esperienza comune constatare che l’aria compressa rapidamentedal pistone di una pompa per bicicletta si riscalda apprezzabilmente

L’ equazione di una trasformazione adiabatica reversibile di un gas idealeè ricavabile dal 1o Principio.Trattandosi di una trasformazione reversibile, si può utilizzare l’espressione del1o principio in forma differenziale:

d U W Q+ = ≡δ δ 0

Trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale

Posto: γ ≡c

cp

V

n c d T p d VV + = 0

=n R T

V

cd T

T

R d V

Vc c

d V

VV p V= − = − −( )

relazione di Meyer

isoterma

adiab.rev.

p

V

p V =

costante=γpV

cost.

− = −d T

T

d V

V( )γ 1

Posto: cV

T V T Vi i f fγ γ− −=1 1 T Vγ-1 = costante

l n ( ) l n l nT

T

V

V

V

Vi

f

f

i

f

i= − =

−

γγ

1

1

“equazione diPoisson”

(nelle variabili T,V)Utilizzando l’eq.di statodel gas ideale (T = pV/nR) :

p V γ = costanteeq. di Poissonnelle variabili p,V

o anche ( V= nRT/p) :

T p (1-γ) / γ = costante

p1-γ T γ =costante

eq. di Poissonnelle variabili p,T

Trasf. adiabatica reversibile di un gas ideale(2)

isoterma:

adiab.rev.:p

V

VVpVp /)( 00=

γγ VVpVp /)( 00=

La curva p(V) rappresentativa della trasf. adiabatica reversibile nel piano di Clapeyrone’ piu’ pendente della curva isoterma(pV=costante)

T = costante

T diminuisce nell’ espansione: il sistemacompie lavoro a spese della sua energia interna

po

Vo

Analiticamente, per la derivata della funzione p(V) nel punto (po,Vo) si ha:

00200 /

)(

00

VpV

Vp

dV

Vdp

VVVV

−=−===

Isoterma:

Adiabatica:00

100 /

)(0

0

VpVVpdV

VdpVV

VV

γγ γγ −=−==

−−

=

essendo γ=cp/cv > 1, il modulo della derivata della funzione p(V) per latrasf. adiabatica e’ maggiore del modulo della derivata per l’ isoterma.

adiab.rev.p

V

costante=γpVi

f

V i Vf

W p V d Vp V

Vd V

V

V

i i

V

V

i

f

i

f

= = =∫ ∫( )γ

γ

= = = − +−

− +

∫p V V d V p VV

i i

V

V

i i

V

V

i

f

i

f

γ γ γγ

γ

1

1

( ) ( )= − = −− − − −p VV V p V V p V Vi i

γγ γ γ γ γ γ11 1 1 1

Lavoroin una trasformazione adiabatica reversibile

Per una trasf.adiab.rev. di un gas ideale :


( ) ( )= − − = − −− −V V p V V p V Vi if i f f f i i i

γ γ γγ γ1 1

1 1

p V p Vi i f fγ γ=

( ) ( )Wc

Rp V p V p V p VV

i i f f i i f f= − =−

−1

1γ

c

R

c

c c c cV V

p V p V

=−

=−

≡−

1

1

1

1/ γessendo:

Alternativamente, dal 1o Principio:W Q U n c T T n c

p V

n R

p V

n RV f i Vi i f f= − = − − = −

∆ ( )

0.=

( )iiffidealegasrevad VpVpW −−

=− γ1

1)..(

Si consideri l’ espansione adiabaticadi una colonna d’aria ascendente ( ⇒ si trascurano gli scambi termici con l’atmosfera circostante, data la bassa conducibilità termica dell’aria): T p (1-γ) / γ = costante

Gradiente di temperatura dell’atmosfera

( )d T p p d T T k p d pk k k= + =− 1 0 k ≡−1 γγcon

d p

p

d T

T=

−γ

γ 1d T

Tk

d p

p= −

D’altra parte, dalle legge di Stevino:d p z

z gM

p z g( )

( ) ( )= − = −ρ

peso molare dell’aria


( infatti:

p V n R Tm

MR T

V

MR T= = = ρ p

MR T= ρ

massa d’aria nel volume V

)RT

Mp=ρ

d p z

p

M

R Tg d z

( ) = −In definitiva:

=

Confrontando le due espressioni: γγ −

= −1

d T z

T

M

R Tg d z

( )

d zz g

R Tp z g( ) ( )= − = −ρ

d T z

d z

M g

R

( ) ( )= −

−γγ

1Per l’ aria (miscela di gas biatomici):

γ ≡ = =c cp V/ / ,7 5 1 4 M K g= ⋅ −2 8 9 1 0 3,

d T z

d zK m K K m

( ), / , /= − ⋅ = −−9 7 1 0 9 73

Ricapitolazione sulle principali trasf. di un gas ideale

1 2

p

VV i V f

pi= pf

trasformazione isobara(p=costante)∫ −=≡

Vf

Vi

ifi VVpdVVpW )()(

)( ifP TTncQ −≡

Lavoro:

Calore scambiato:

Variazione dien.interna:

)( ifV TTncU −=∆

22

1

2

p

VVi=V f

pi

trasformazione isocora(V =costante∆V = 0) Lavoro: W = 0

pf

)( ifV TTncQ −≡Calore scambiato:

Variazione di en.interna:

QTTncU ifV =−=∆ )(

N.B: in TUTTE le trasformazioni , vale la relazione che esprime ilPrimo Principio della Termodinamica: WQU −=∆

Ricapitolazione sulle trasf. di un gas ideale (2)

1

2

p

VV i V f

pi

trasformazione isoterma reversibile(T=costante, p(V)=p i V i/ V )

i

f

i

fii

Vf

Vi

ii

V

VnRT

V

VVpdV

V

VpW lnln ==≡ ∫

pf

Lavoro:

WQ =Calore scambiato:


0)( =−=∆ ifV TTncUVV i V f en.interna:

)(

)(1

1

fiV

iiff

Vf

Vi

ii

TTncU

VpVpdVV

VpW

−=∆−=

−−

=≡ ∫ γγ

γLavoro:

0≡QCalore scambiato:


)( ifV TTncU −=∆

1

2

p

VV i V f

pi

trasformazione adiabatica reversibile

pf

γγ VVpVp ii /)( =

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