Laplace Transform

Laplace Transform

Pengantar Matematika

Teknik Kimia

Muthia Elma

Penemu

Pierre-Simon LAPLACE

1749 – 1827

Ahli Matematika dari Perancis

Laplace Transform

Rumus lain…..

ωσ

π

σ

σ

js

dsesXj

tx

dtetxsX

j

j

st

st

+=

=

=

∫

∫∞+

∞−

∞

−

).(2

1)(

).()(0

• X(s) = [x(t)]

• x(t) = -1[X(s)]

Konsep variabel kompleks

• Variabel kompleks « s »

mempunyai dua komponen :1. Komponen nyata « s »

2. Komponen khayal « ω »

Secara grafis…..

• Komponen nyata « s » dinyatakan

dengan sumbu s pada arah

horizontal

• Komponen khayal di ukur

sepanjang sumbu vertikal ω

Perhatikan gambar berikut

Gambar bidang kompleks « s »

• Gambar diatas menggambarkan

bidang kompleks s pada titik

sembarang s = s1 yang ditentukan

oleh koordinat = 1 atau ω = ω1

• Secara sederhana s1 = 1 + j ω1

• Fungsi G(x) merupakan fungsi

variabel kompleks s, jika setiap nilai

s terdapat satu atau lebih nilai G(x)

• Karena s memiliki bagian yang

nyata dan khayal, maka fungsi G(s)

juga dikatakan bagian yang nyata

dan khayal

G(s)=Re G(s) + j Im G(s)

Re G(s) : bagian nyata dari G(s)

Im G(s) : bagian khayal dari G(s)

Pemetaan nilai tunggal dari bidang s ke bidang G(s)

Teorema Laplace

• Penggunaan transformasi Laplace

dalam berbagai hal disederhanakan

dengan memanfaatkan sifat-sifat

trans-j formasi.

• Sifat-sifat ini dinyatakan dengan

teorema berikut, dengan tidak

memberikan bukti.

Teorema 1. Perkalian dengan suatu Konstanta

• Misal k adalah suatu konstanta dan

F(s) adalah transformasi Laplace

dari f(f).

Teorema 2. Penjumlahan dan Pengurangan

Teorema 3. Diferensiasi

• Misal F(s) adalah transformasi

Laplace dari f(t) dan f(O) adalah

limit dari f(t) dengant mendekati 0.

• Tranformasi Laplace dari turunan

f(t) terhadap waktu adalah

Bentuk umum untuk turunan berorde lebih tinggi dari f(t),

Teorema 4. Integrasi

• Transformasi Laplace dari intergral

pertama f(t) terhadap waktu adalah

transformasi Laplace dari f(f) dibagi

dengan s; yaitu,

Untuk integrasi orde ke n,

Teorema 5. Pergeseran terhadap Waktu

• Transformasi Laplace dari f(f) yang ditunda dengan waktu T adalah samadengan transformasi Lapace f(f) dikalikan dengan e-Ts;

• Dengan us(t-T) menyatakan fungsiundak satuan yang digeser terhadapwaktu ke kanan sebesar T.

Teorema 6. Teorema nilai awal

• Jika transformasi laplace f(t) adalah

F(s), dan jika

limitnya ada

Teorema 7. Teorema nilai akhir.

• Jika transformasi (t) adalah F(s),

dan sF(s) analitis pada sumbu

khayal dan berada pada bagian

kanan bidang s,

Teorema 8. Pergeseran Kompleks

• Transformasi Laplace dari f(t) yang

dikalikan dengan e±ar, dengan a

merupakan suatu konstanta, akan

sama dengan transformasi Laplace,

dengan s diganti oleh s

Teorema 9. Konvolusi Nyata (Perkalian Kompleks)

• Misal F1(s) dan F2(s) adalah

transformasi Laplace dari /j(t)

dan/2(f), dan /1(t) = 0,

• /2(t) = 0, untuk t < 0 ,

Transformasi Laplace

Re(s)>0u(t) Sin 0t

Re(s)>0u(t) Cos 0t

Re(s)+Re(a)>0e-at u(t)

Re(s)>0tn u(t)

Re(s)>0u(t)

Semua s1(t)

ROCX(s)x(t)

Sifat-sifat Transformasi Laplace

X(s) Y(s)x(t) * y(t)Konvolusi waktu

X(s+a)e-at x(t)Geseran

frekuensi

e-sa X(s)x(t-a)Geseran waktu

x(at)Penskalaan

a X(s) + b Y(s)a x(t) + b y(t)Kelinearan

X(s)x(t)Sifat


Untuk TL dua

sisi

Diferensiasi

waktu

(-t)n x(t)Diferensiasi

frekuensi

x(t) y(t)

Konvolusi

frekuensi

(modulasi)

X(s)x(t)Sifat


X(s)x(t)Sifat

Teorema nilai

akhir

Teorema nilai

awal

Integrasi waktu

Pecahan Parsial X(s)

• Derajat P(s) < derajat Q(s)

)(

)()(

sQ

sPsX =

• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan

penyebutnya berbentuk polinomial


• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama

nk

sXpsA

ps

A

ps

A

ps

AsX

pspsps

sPsX

kps

k

n

n

n

k

,...2,1

)().(lim

)(...

)()()(

))...()((

)()(

2

2

1

1

21

=

+=

+++

+=

+++=

−→

tp

n

tptp neAeAeAtx −−− +++= ...)( 21

21

x(t) menjadi :


• Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat

diselesaikan secara khusus yang menghasilkan

x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus


• Q(s) mempunyai akar rangkap

kk

k

ps

rk

pslr

lr

kl

kps

k

n

n

r

r

nr

sXpsds

d

lrA

sXpsA

ps

A

ps

A

ps

A

ps

A

ps

AsX

pspsps

sPsX

−=−→−

−

−→

+

−=

+=

+++

++

+++

++

+=

+++=

)(.)(lim)!(

1

)().(lim

)(...

)(

)(...

)()()(

))...(()(

)()(

2

2

1

1

21

12

1

11

21


• Contoh soal

0

2)(

32

2

1)(

2

1

3)2)(1(

4

22)3)(1(

4

2

3

1)3)(2(

4

321)(

)3)(2)(1(

4)(

3

212

23

21

23

3

2

1

321

>

+−=

++

+−

+=

=−=++

+=

−=−=++

+=

=−=++

+=

++

++

+=

+++

+=

−−−

t

eeetx

ssssX

sss

sA

sss

sA

sss

sA

s

A

s

A

s

AsX

sss

ssX

ttt

Contoh soal.....

1

2

1

2

1

)22(

2)2()()(

)22(

)()22()(

22)(

)22(

1)(

3

2

1

2

131

2

21

2

32

2

1

2

321

2

−=

−=

=

++

++++=

++

++++=

++

++=

++=

A

A

A

sss

AsAAsAAsX

sss

AsAsssAsX

ss

AsA

s

AsX

ssssX


0

)()()(

1)1(

1

2

1

1)1(

1

2

1)(

1)1(

2

2

1)(

22

1)(

21

21

21

2222

21

22

21

2

21

21

>

−−=

++−

++

+−=

++

+−=

++

+−=

−−

t

tSinetCosetx

ss

s

ssX

s

s

ssX

ss

s

ssX

tt


0

2)(

)2(

2

2

1

1

1)(

221)!22(

1

12)1(

1

21)!12(

1

11)2(

)2(21)(

)2)(1()(

22

2

12

211

21

2

12111

2

>

++−=

++

++

+

−=

=−=+−

=

=−=+

=−=+−

=

−=−=+

=

++

++

+=

++=

−−−

t

teeetx

ssssX

ss

sA

ssss

s

ds

dA

ss

sA

s

A

s

A

s

AsX

ss

ssX

ttt


21)0(

1)0(

0,)(

3107

=

=

>=

+=++

−•

−

−

••••

y

y

tetx

dengan

xxyyy

t

[ ]

[ ] [ ]

( ) ( )

( ) ( )

ttttt

s

s

eeeeety

ssssssY

ss

s

sss

ssY

ss

s

sss

ssY

ss

ssY

ssssYss

sXsssYss

sXssXsYssYssYs

masukanadabelumkarenaxexwalaupun

sXxssXsYyssYysysYs

−−−−−

+

+

−+

−−−−

++−−=

++

++

+

−+

+

−+

+=

++

++

+++

+=

++

++

+++

+=

++

++=

++=−−++

+=−−++

+=+−+−−

===

+−=+−+

−−

25

211

61

31

21

25

211

61

31

21

215

2

215

2

2

215

)1(

)3(

212

212

212

0

.2

)(

)5()2()5()2()1()(

)5)(2()5)(2)(1(

)3()(

)107()107)(1(

)3()(

107)(

1

137)(107

)(37)(107

)(3)()(101)(7)(

0)0(,1)0(

)(3)0()()(10)0()(7)0()0()(

Laplace Transform

Documents

Transcript of Laplace Transform