Language choice among Albanian immigrant adolescents in Greece · Paraskevopoulos Stefanos,...

159
χεις μοι επεν, Σκρατες, ρα διδακτν ρετ; οδιδακτν λλ’ σκητν; οτε σκητν οτε μαθητν, λλφσει παραγγνεται τος νθρποις λλτιντρπUNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA FACULTY OF EDUCATION MENON ©online Journal Of Educational Research A National and International Interdisciplinary Forum for Scholars, Academics, Researchers and Educators from a wide range of fields related to Educational Studies The Use of History of Mathematics in Mathematics Education 2 nd Thematic Issue Florina, May 2016

Transcript of Language choice among Albanian immigrant adolescents in Greece · Paraskevopoulos Stefanos,...

  • Ἔχεις μοι εἰπεῖν, ὦ

    Σώκρατες, ἆρα

    διδακτὸν ἡ ἀρετή; ἢ

    οὐ διδακτὸν ἀλλ’

    ἀσκητόν; ἢ οὔτε

    ἀσκητὸν οὔτε

    μαθητόν, ἀλλὰ

    φύσει παραγίγνεται

    τοῖς ἀνθρώποις ἢ

    ἄλλῳ τινὶ τρόπῳ

    UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON

    ©online

    Journal Of Educational Research

    A National and International Interdisciplinary Forum

    for Scholars, Academics, Researchers and Educators

    from a wide range of fields related to

    Educational Studies

    The Use of History of Mathematics in Mathematics Education

    2nd Thematic Issue Florina, May 2016

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 2

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE

    05/2016

    ABOUT MENON

    ABOUT MENON The scope of the MENON is broad, both in terms of topics covered and disciplinary perspective, since the journal attempts to make connections between fields, theories, research methods, and scholarly discourses, and welcomes contributions on humanities, social sciences and sciences related to educational issues. It publishes original empirical and theoretical papers as well as reviews. Topical collections of articles appropriate to MENON regularly appear as special issues (thematic issues). This open access journal welcomes papers in English, as well in German and French. Allsubmitted manuscripts undergo a peer-review process. Based on initial screening by the editorial board, each paper is anonymized and reviewed by at least two referees. Referees are reputed within their academic or professional setting, and come from Greece and other European countries. In case one of the reports is negative, the editor decides on its publication. Manuscripts must be submitted as electronic files (by e-mail attachment in Microsoft Word format) to: [email protected] or via the Submission Webform. Submission of a manuscript implies that it must not be under consideration for publication by other journal or has not been published before.

    EDITOR

    CHARALAMPOS LEMONIDIS University Of Western Macedonia, Greece

    EDITORIAL BOARD

    ANASTASIA ALEVRIADOU University Of Western Macedonia, Greece

    ELENI GRIVA University Of Western Macedonia, Greece

    SOFIA ILIADOU-TACHOU University Of Western Macedonia, Greece

    DIMITRIOS PNEVMATIKOS University Of Western Macedonia, Greece

    ANASTASIA STAMOU University Of Western Macedonia, Greece

    MENON © is published at UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA – FACULTY OF EDUCATION

    Reproduction of this publication for educational or other non-commercial purposes is authorized as long as the source is acknowledged. Readers may print or save any issue of MENON as long as there are no alterations made in those issues. Copyright remains with the authors, who are responsible for getting permission to reproduce any images or figures they submit and for providing the necessary credits.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menonmailto:[email protected]://www.edu.uowm.gr/site/menon/submissionhttp://www.edu.uowm.gr/site/menon/submission

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 3

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    SCIENTIFIC BOARD LIST OF REVIEWERS

    Barbin Evelyne, University of Nantes, France D’ Amore Bruno, University of Bologna, Italy Fritzen Lena, Linnaeus University Kalmar Vaxjo,

    Sweeden

    Gagatsis Athanasios, University of Cyprus, Cyprus Gutzwiller Eveline, Paedagogische Hochschule von

    Lucerne, Switzerland

    Harnett Penelope, University of the West of England, United Kingdom

    Hippel Aiga, University of Munich, Germany Hourdakis Antonios, University of Crete, Greece Iliofotou-Menon Maria, University of Cyprus,

    Cyprus

    Katsillis Ioannis, University of Patras, Greece Kokkinos Georgios, University of Aegean, Greece Korfiatis Konstantinos, University of Cyprus, Cyprus Koutselini Mary, University of Cyprus, Cyprus Kyriakidis Leonidas, University of Cyprus, Cyprus Lang Lena, Universityof Malmo, Sweeden Latzko Brigitte, University of Leipzig, Germany Mikropoulos Anastasios, University of Ioannina,

    Greece

    Mpouzakis Sifis, University of Patras, Greece Panteliadu Susana, University of Thessaly, Greece Paraskevopoulos Stefanos, University of Thessaly,

    Greece

    Piluri Aleksandra, Fan S. Noli University, Albania Psaltou -Joycey Angeliki, Aristotle University of

    Thessaloniki, Greece

    Scaltsa Matoula, AristotleUniversity of Thessaloniki, Greece

    Tselfes Vassilis, National and KapodistrianUniversity of Athens, Greece

    Tsiplakou Stavroula, Open University of Cyprus, Cyprus

    Vassel Nevel, Birmingham City University, United Kingdom

    Vosniadou Stella, National and Kapodistrian University of Athens, Greece

    Woodcock Leslie, University of Leeds, United Kingdom

    The Editor and the Editorial Board of the MENON: Journal Of Educational Research thanks the following colleagues for their support in reviewing manuscripts for the current issue.

    Konstantinos Christou Charalampos Lemonidis Konstantinos Nikolantonakis

    Design & Edit: Elias Indos

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 4

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    EDITOR'S INTRODUCTORY NOTE

    INTRODUCTION TO THEMATIC ISSUE

    “The Use of History of Mathematics in Mathematics Education”

    The question of the integration of the History of Mathematics in Mathematics Education has been discussed since the 20th century by Educators (Barwell, Brousseau, Freudental, Piaget), Philosophers (Bachelard), Mathematicians (Klein, Poincare), and Historians of Mathematics (Loria, Smith), who have supported the proposal and have given arguments on the interest and challenges in school Mathematics courses.

    Since the 1960s the use of the history of mathematics in mathematics education has become more popular and many papers in scientific journals, books, proceedings of conferences and groups of researchers have focused on this in contrast to the paradigm of the “modern mathematics” reform. We can find many didactical situations, mathematical problems, teaching series but also empirical and theoretical studies, Master and Phd level dissertations on the role and the ways of using historical, social and cultural elements in the teaching of mathematics. During the 2nd International Congress on Mathematics Education (ICME) in 1972 we have the creation of an International research group (International study group on the relation between the History and Pedagogy of Mathematics (HPM)) which organizes a congress every 4 years. The idea of a European Summer University (ESU) on the Epistemology and History in Mathematics Education started from the Instituts Universitaires de Formation de Maîtres (IUFM) in France, and an ESU is organized every three years in different European countries. Since 2009 in the context of the Congress of the European Society for Mathematics Education (CERME) we have also the appearance of a discussion group on The Role of History of Mathematics in Mathematics Education: Theory and Research (WG 12). This group also concentrates on empirical research. We should also mention the publication of the ICMI study History in mathematics education: the ICMI study (Fauvel & van Maanen, 2000) which presents the state of the art until this period.

    Since the publication of this study, researchers address in a more demanding way questions about the efficacy and pertinence of many efforts (examples) of applications in classrooms. They are also wondering about the transferability of positive experiences from educators on different levels of education. They are considering questions on the capacity of students but also of educators when they were in front of the difficulties of studying the historical aspect of many notions.

    Recently researchers΄ activities are moving to investigations in terms of didactic and educational foundations from which they believe that it could be

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 5

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    possible to think better about the role of the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics and the development of theoretical and conceptual frameworks which could provide the required equipment for the production of finer and more focus investigations.

    These issues include, among others, the educational and teaching foundations of a cultural-historical perspective in the classroom, the need to give voice to community stakeholders about the introduction and more broadly, the nature and the terms of the empirical investigation prevailing in the research environment.

    Parallel to these advancements in research, an attempt to humanize Mathematics is increasingly present in the mathematics curricula worldwide.

    For over 20 years, the presence of the history of mathematics in training teachers’ environments has increased considerably in many countries. However, despite the different objectives associated with the introduction of the history of mathematics in training mathematics teachers, this presence, implicit or explicit, took the form of specific initiatives for each establishment of teacher training.

    By browsing through the literature since 1990, it is possible to classify the empirical studies on the use of history in the mathematics classroom into two categories: studies that relate to the narrative of grounded experiences and quantitative studies on a larger scale.

    Overall, it appears necessary to restore the research field on the introduction of History in the teaching and learning of mathematics within Didactics of mathematics and more generally with the educational sciences. This repositioning should enable research to get inspired from the contexts of the exploratory work from Humanities as well as theoretical, conceptual and methodological issues from the Didactics of mathematics and educational sciences.

    This issue includes eight invited papers. Six papers are written in English and two in French. Each text is accompanied by an abstract in English. The following papers discuss specific issues in the domain of Using History of Mathematics in Mathematics Education and are ordered according to the instructional level; from elementary school to the university and in service teachers training.

    Evelyne Barbin suggests a new thinking on technique, proposed in the texts of Simondon and Rabardel. Her purpose, in introducing an historical instrumental approach of geometrical teaching for students aged 11-14 years, is to show how an instrument can be conceived both as an invention to solve problems and as a knowledge or theorem in action. In particular, she stresses the links between different varieties of instruments and different kinds of knowledge and shows the consequences of an instrumental failure for the construction of new knowledge. Her goal is a coherent using where teaching is based on families of instruments.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 6

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Matthaios Anastasiadis and Konstantinos Nikolantonakis describe the context of an instructional intervention focused on isoperimetric figures and area-perimeter relationships with the use of one historical note and two primary sources, from Pappus’ Collection and from Polybius’ Histories. Their findings are based on classroom observations, worksheets and interviews with sixth grade Greek students.

    Vasiliki Tsiapou and Konstantinos Nikolantonakis present part of a research study that intended to use the Chinese abacus for the development of place value concepts and the notion of carried number with sixth grade Greek students.

    Ingo Witzke, Horst Struve, Kathleen Clark and Gero Stoffels describe how the concepts of empirical and formalistic belief systems can be used to give an explanation for the transition from school to university mathematics during an intensive Seminar. They stress the usefulness of this approach by outlining the historical sources and the participants’ activities with the sources on which the seminar is based, as well as some results of the qualitative data gathered during and after the seminar.

    David Guillemette tries to highlight some difficulties that have been encountered during the implementation of reading activities of historical texts in the preservice teachers training context. He describes a history of mathematics course offered at the Université du Québec à Montréal, with reading activities that have been constructed and implemented in class and the efforts made by the students and the trainer to articulate both synchronic and diachronic reading, in order to not uproot the text and his author from their socio-historical and mathematical context.

    Michael Kourkoulos and Constantinos Tzanakis present and analyze a teaching work on Pascal's wager realized with Greek students, prospective elementary school teachers, in the context of a probability and statistics course. They focus on classroom discussion concerning mathematical modeling activities, connecting elements of probability theory and decision theory with elements of philosophical discussions.

    Areti Panaoura examines in-service teachers’ beliefs and knowledge about the use of the history of mathematics in the framework of the inquiry-based teaching approach at the educational system of Cyprus, and the difficulties teachers face in adopting and implementing this specific innovation in primary education.

    Snezana Lawrence offers ideas for teachers to engage with mathematics through the historical ‘journeys’ and relationship with art and cultural and intellectual history. She treats the question of how teachers could find their own ‘mathematical’ voice through series of historical investigations and what impact that may have on their teaching and pupils’ progress.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 7

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Aknowledgements Firstly, I would like to express my warmest thanks to Christina Gkonou1 for her precious efforts to read and ameliorate the English texts. Secondly, I would also like to express my thanks to the Editorial Committee of Menon Journal for giving me the chance to work this Thematic Issue on the field of Using History in Mathematics Education. Finally, I would like to express my grateful thanks to my Colleagues who sustain with their papers this publication.

    The Editor of the 2nd Thematic Issue of MENON: Journal for Educational Research

    Konstantinos Nikolantonakis

    Associate Professor University of Western Macedonia

    Greece

    1 Christina Gkonou is Lecturer in Teaching English as a Foreign Language in the Department of Language and Linguistics at the University of Essex, UK. She received her BA from Aristotle University and her MA and PhD from the University of Essex. Her research interests are in foreign language pedagogy and the psychology of language learning and teaching.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 8

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    CONTENTS

    CONTENTS

    9-30 Εvelyne Barbin L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET

    CONNAISSANCE-EN-ACTION

    31-50 Matthaios Anastasiadis, Konstantinos Nikolantonakis PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS ABOUT

    ISOPERIMETRY: A USE OF MATHEMATICS HISTORY IN GRADE SIX

    51-65 Vasiliki Tsiapou, Konstantinos Nikolantonakis THE DEVELOPMENT OF PLACE VALUE CONCEPTS AND THE

    NOTION OF CARRIED NUMBER AMONG SIXTH GRADE STUDENTS VIA THE STUDY OF THE CHINESE ABACUS

    66-93 Ingo Witzke, Horst Struve, Kathleen Clark, Gero Stoffels ÜBERPRO – A SEMINAR CONSTRUCTED TO CONFRONT THE

    TRANSITION PROBLEM FROM SCHOOL TO UNIVERSITY MATHEMATICS, BASED ON EPISTEMOLOGICAL AND HISTORICAL

    IDEAS OF MATHEMATICS

    94-111 David Guillemette QUELQUES DIFFICULTÉS RENCONTRÉES DANS LA FORMATION

    DES ENSEIGNANTS DE MATHÉMATIQUES DU SECONDAIRE À L’AIDE DE L’HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES: UNE RÉFLEXION

    SUR LES MODALITÉS DE LECTURES DE TEXTES HISTORIQUES

    112-129 Michael Kourkoulos, Constantinos Tzanakis DISCUSSING MATHEMATICAL MODELING CONCERNING

    PASCAL'S WAGER

    130-145 Areti Panaoura THE HISTORY OF MATHEMATICS DURING AN INQUIRY-BASED

    TEACHING APPROACH

    146-158 Snezana Lawrence THE OLD TEACHER EUCLID: AND HIS SCIENCE IN THE ART OF

    FINDING ONE’S MATHEMATICAL VOICE

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 9

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE

    05/2016

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION

    Εvelyne Barbin

    Laboratoire LMJL & IREM - Université de Nantes [email protected]

    ABSTRACT

    The role of instruments had been underestimated widely in history, including in the case of the geometry, and that is linked with the Aristotelian partition between theory and technique. In this paper we work with a new thinking on technique, proposed recently in the texts of Simondon and Rabardel. To introduce an instrumental approach of geometrical teaching for students aged 11-14 years, we choose to examine beginnings of a geometrical thought in history. Our purpose is to show how an instrument can be conceived both as an invention to solve problems and as a knowledge or theorem in action. With some examples, we analyze the dynamical process by which an instrument can be involved in the introduction of geometrical notions and in the construction of mental schemes. In particular, we stress on the links between different varieties of instruments and different kinds of knowledge and we show the consequences of an instrumental failure for construction of new knowledge. Our goal is not a heteroclite using of instruments in teaching but a coherent using where teaching is based on families of instruments.

    Keywords: geometry, instruments, measurement of distances, technics, trisection of angle

    1. INTRODUCTION

    Le rôle des instruments dans l’histoire des mathématiques a été largement sous-estimé, y compris pour ce qui concerne l’histoire de la géométrie. Plus largement, nous avons été longtemps tributaires de la séparation aristotélicienne entre la technique qui est ‘poïétique’, c’est-à-dire du côté de l’action, de la science, qui est ‘théorétique’, c’est-à-dire du côté de la contemplation et de la spéculation (Aristote 1991: 4-9). C’est ainsi que, par exemple, tout rôle des techniques dans la révolution scientifique du XVIIe siècle (Barbin 2006: 9-44) a été refusé par Alexandre Koyré. Les figures de la géométrie grecque ont été rattachées à une conception purement idéale, qui est héritée d’écrits platoniciens et qui les rattache uniquement au discours axiomatique des Éléments d’Euclide.

    Une nouvelle pensée de la technique a été proposée par le philosophe Gilbert Simondon, qui écrit dans son ouvrage Du mode d’existence des objets techniques:”il semble que cette opposition entre l'action et la contemplation, entre l'immuable et le mouvant, doive cesser devant l'introduction de l'opération technique dans la pensée philosophique comme terrain de réflexion

    http://www.edu.uowm.gr/site/menonmailto:[email protected]

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 10

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    et même comme paradigm” (Simondon 1969: 256). Dans cet article, nous reprenons les réflexions de Simondon sur les objets techniques pour les rapporter aux instruments mathématiques dans leur histoire, ainsi que celles du psychologue Pierre Rabardel qui publie en 1995 Les hommes et les technologies: approche cognitive des instruments contemporains, où il fait état des écrits de Simondon et de travaux concernant le travail, la connaissance et l’action. L’ouvrage de Rabardel a subi une transposition didactique dans des écrits récents, qui tendent à simplifier, à réifier, et à mettre de côté les propos de l’auteur, sur le sujet connaissant et sur ‘les autres’, propos qui intéressent en revanche l’épistémologie et l’histoire des mathématiques. Pour servir à une approche instrumentale de l’enseignement, nous avons choisi de nous restreindre à des instruments correspondant aux débuts de la construction d’une pensée géométrique dans l’histoire, et qui s’adressent à l’enseignement des élèves du cycle 3 en France (9 ans-12 ans).

    2. L’INSTRUMENT COMME INVENTION ET L’ÉDIFICATION DE LA GÉOMÉTRIE

    Un instrument mathématique, comme tout instrument technique, apparaît d’emblée comme le résultat d’une invention et son fonctionnement suppose, pour être possible, cette invention (Barbin 2004: 26-27). Simondon écrit à propos de l’objet technique: “l’objet qui sort de l’invention technique emporte avec lui quelque chose de l’être qui l’a produit […] ; on pourrait dire qu’il y a de la nature humaine dans l’être technique” (Simondon 1969: 248). Cette approche indique que l’instrument peut, mieux que le discours, apporter une forme dynamique à la connaissance qui est sous-jacente au fonctionnement d’un instrument. De plus, l’invention, tout comme la science, est la réponse à un problème. Rabardel écrit à propos de l’artefact: “l’artefact concrétise une solution à un problème ou à une classe de problèmes socialement poses” (Rabardel 1995: 49). Pour lui, l’artefact désigne largement toute chose transformée par un humain, tandis que l’instrument désigne “l’artefact en situation dans un rapport à l’action du sujet, en tant que moyen de cette action” (Rabardel 1995: 49). L’artefact n’est donc pas ‘un outil nu’, comme l’écrit Luc Trouche (Trouche 2005: 265), dans la mesure où il porte avec lui la solution à un problème et, activé dans une situation analogue à celle qui a présidé à son invention, il devient un instrument de réponse à ce problème.

    En accord avec l’importance que nous accordons au problème, nous considérons donc que c’est l’enseignement qui donnera son sens à l’instrument et non l’instrument qui donnera le sien à l’enseignement, à l’instar de ce que Simondon écrit à propos des rapports entre le travail et l’objet technique. L’histoire du baromètre, que l’on attribue au physicien Ernest Rutherford, est une manière amusante d’illustrer ce propos. Elle raconte que l’on a demandé à un étudiant de mesurer la hauteur d’un immeuble à l’aide d’un baromètre. L’étudiant est monté en haut de l’édifice et ayant attaché le baromètre à une corde, il a descendu la corde et l’a remontée pour mesurer la longueur de la

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 11

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    corde descendue. Le professeur le recale, mais il lui donne une chance de se rattraper: il faut qu’il fasse preuve de connaissance physique. L’étudiant monte alors en haut de l’édifice et laisse tomber le baromètre, il mesure le temps de chute avec un chronomètre et il applique la loi de chute pour trouver la longueur de la chute. Il est admis à l’examen et il indique qu’il a d’autres réponses: en faisant osciller le baromètre comme un pendule ou en comparant la hauteur de l’ombre du baromètre à celle de l’immeuble. L’étudiant ajoute que la meilleure solution est de sonner chez le concierge de l’immeuble et de lui dire: “si vous me donnez la hauteur de l’immeuble, je vous donne ce superbe baromètre”. Rappelons que lorsque Blaise Pascal a fait entreprendre l’expérience du Puy de Dôme, son problème n’était pas d’en mesurer la hauteur, mais de montrer qu’il y avait du vide en haut du tube du dispositif de Torricelli.

    Quels sont les problèmes qui ont accompagné la genèse d’une science géométrique? Le terme de géométrie signifie ‘mesure de la terre’, il renvoie à l’arpentage, qui consiste, pour mesurer les terrains, à reporter un bâton et à compter le nombre de reports. Mais la géométrie grecque a été au-delà de l’arpentage. Les historiens attribuent aux Ioniens, au VIe siècle avant J.-C., la solution du problème de déterminer la distance d’un bateau en mer. L’arpentage avec un bâton est inadéquat, mais”quand les techniques échouent la science est proche” (Simondon 1969: 246). Pour résoudre le problème, il faut ruser: les Ioniens ont utilisé un dioptre, c’est-à-dire un instrument de visée, qui pouvait être un cadran sur lequel tourne une partie flexible autour d’une partie maintenue verticale grâce à un fil à plomb (fig. 1). En montant sur un endroit élevé, il est possible de faire une visée vers le bateau en orientant la partie flexible du dioptre. Ensuite, il faut se retourner en gardant la même inclinaison et viser un point sur le sol. Deux nouveaux gestes pour résoudre le problème: une visée et un retournement qui balaie l’espace. Le problème est résolu parce que le sujet géomètre a remplacé le ‘schème primitive’, celui du report de l’arpentage, par un processus d’instrumentation au sens de Rabardel. Un nouveau schème est formé, qui englobe non seulement des mesures de distances mais des visées, qui relie des visées et des distances. En quoi consiste ce schème? Par quel processus l’instrument et le nouveau schème sont-ils potentiellement porteurs d’une connaissance géométrique?

    Figure 1. Le cadran ionien

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 12

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    La géométrie a pour objet de voir et de faire voir ce que l’on pense. Il faut d’abord représenter la situation. En détachant du réel les éléments essentiels à sa compréhension, on réalisera un schéma (fig. 2), puis une mise en figure composée de droites permettra de connecter ces éléments essentiels (fig. 3). Sur cette figure, certaines droites représentent des distances concrètes, mais pas celles qui correspondent aux rayons visuels. Pour tenir un discours qui explique la solution à un autre (qui le demanderait), il faut dire ce qui est maintenant représenté par un espace entre deux droites et qui correspond à ce qui est une ‘vise’ dans le contexte instrumental. Cet espace a une signification dans le contexte du problème et il est relié à une distance: on l’appellera un ‘angle’. La notion d’angle est attribuée aux Ioniens. Cette notion n’est pas présente dans les mathématiques égyptiennes, dont ont hérité les Grecs, y compris dans les problèmes de pente de pyramide.

    Figure 2. La distance d’un bateau en mer: schéma

    Figure 3. La distance d’un bateau en mer: figure

    Le schème consiste en une connaissance sur la figure: l’égalité des angles

    implique l’égalité des distances. Nous appellerons schème géométrique (ou simplement schème) une connaissance qui coordonne des éléments d’une configuration géométrique particulière, et qui peut être activée, transformée ou généralisée par re-connaissance de cette configuration dans des situations variées. Pour démontrer (à un autre qui n’en serait pas convaincu) que l’égalité des angles implique l’égalité de droites, il faudrait encore introduire les notions de triangle et d’égalité de triangles, puis des lettres pour désigner les éléments de la figure. La géométrie qui s’édifie ainsi est une science qui raisonne sur des

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 13

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    grandeurs pour les comparer. La dioptre est une connaissance-en-action parce que son fonctionnement demande l’effectuation de gestes et l’activation d’un schème qui reprennent ceux de l’invention et qui seront repris dans d’autres situations problématiques. Ici, la connaissance instrumentale et la science procèdent de manière identique.

    Examinons maintenant l’instrument scolaire qui est associé à l’angle, c’est-à-dire le rapporteur (fig. 4), et son usage. Il est demandé aux élèves de mesurer des angles, c’est-à-dire de dire des nombres qui correspondent (plus ou moins) à un angle dessiné ou de dessiner des angles qui valent 30°, 45°, etc. Le rapporteur est un outil qui sert essentiellement dans le contexte de dessins de figures qui n’ont pas toujours ou peu un statut de représentation d’une situation. Tant qu’il reste dans ce cadre numérique étroit, le rapporteur est peu susceptible de provoquer des raisonnements géométriques. Il vaut d’ailleurs mieux que l’élève l’oublie quand il lui sera adjoint de ‘démontrer’. Il en va différemment si un élève demande, ce qui n’est pas rare, pourquoi les angles sont mesurés de la même façon, quelle que soit la taille du rapporteur. La réponse à cette question est une connaissance: le rapport de l’arc intercepté par un angle au centre à la circonférence tout entière est le même, quel que soit le rayon du cercle. Avec cette réponse, le rapporteur devient une connaissance-en-action.

    Figure 4. Un rapporteur

    Avec les deux instruments examinés, nous avons abordé le rôle de ‘l’autre’,

    qui dans chacun des deux cas questionne. Cette intrusion n’est pas artificielle dans l’histoire, où les instruments sont inventés et discutés par des hommes. Lorsque Rabardel décrit les relations entre les trois pôles constitués par le sujet, l’instrument et l’objet, il indique bien la composante essentielle qui est l’environnement. Puis plus loin, il enchérit avec un ‘modèle’ incluant les autres sujets. Ce modèle SACI (fig. 5) des ‘situations d’activités collectives instrumentées’ devrait également attirer l’intérêt des didacticiens (Rabardel 1995: 62).

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 14

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Figure 5. Modèle SACI d’après Pierre Rabardel

    3. GENÈSE INSTRUMENTALE ET CONNAISSANCE-EN-ACTION

    L’invention d’un instrument à partir d’un autre et la mise en connexion des instruments entre eux sont deux processus que nous pouvons explorer dans l’histoire des mathématiques. Nous les analyserons en reprenant les notions d’instrumentation et d’instrumentalisation proposées par Rabardel qui concernent la production de nouveaux artefacts et de nouveaux schèmes. Il écrit : ”un processus de genèse et d’élaboration instrumentale, porté par le sujet et qui, parce qu’il concerne les deux pôles de l’entité instrumentale, l’artefact et les schèmes d’utilisation, a lui aussi deux dimensions, deux orientations à la fois distinguables et souvent conjointes : l’instrumentalisation dirigée vers l’artefact et l’instrumentation relative au sujet lui-même” (Rabardel 1995 : 109). Il caractérise le premier processus comme “un processus d’enrichissement des propriétés de l’artefact par le sujet” (Rabardel 1995: 114) ou encore comme une transformation de l’artefact par le sujet. Tandis qu’il caractérise le processus d’instrumentation en constatant que “la découverte progressive des propriétés (intrinsèques) de l’artefact par les sujets s’accompagne de l’accommodation de leurs schèmes, mais aussi de changements de signification de l’instrument résultant de l’association de l’artefact à de nouveaux schemes” (Rabardel 1995:116). Le schéma ci-dessous (fig. 6) indique que les deux processus sont effectivement ‘portés par le sujet’ et orientés vers le sujet ou l’artefact, “dans un même processus de genèse et d’élaboration instrumentale”.

    Figure 6. La genèse instrumentale

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 15

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Avec la transposition en didactique effectuée par Luc Trouche, la place du sujet n’est plus la même et le processus d’instrumentalisation va de l’artefact vers le sujet (fig. 7). Pourtant Rabardel precise: “ces deux types de processus sont le fait du sujet. L’instrumentalisation par attribution d’une fonction à l’artefact, résulte de son activité, tout comme l’accommodation de ses schèmes. Ce qui les distingue c’est l’orientation de cette activité. Dans le processus d’instrumentation elle est tournée vers le sujet lui-même, alors que dans le processus corrélatif d’instrumentalisation, elle est orientée vers la composante artefact de l’instrument” (Rabardel 1995: 111-112).

    Figure 7. La genèse instrumentale d’après Trouche

    Trouche écrit que “Rabardel distingue, dans la genèse d’un instrument,

    deux processus croisés, l’instrumentation et l’instrumentalisation: l’instrumentalisation est relative à la personnalisation de l’artefact par le sujet, l’instrumentation est relative à l’émergence des schèmes chez le sujet (c’est-à-dire à la façon avec laquelle l’artefact va contribuer à préstructurer l’action du sujet, pour réaliser la tâche en question)” (Trouche 2015: 267). Les termes en italiques sont le fait de l’auteur, mais celui-ci n’indique pas de pagination en référence à l’ouvrage de Rabardel. Les conceptions d’un sujet qui ‘personnalise’ l’artefact, tandis que l’artefact ‘préstructure’ l’action du sujet, doivent être rapprochées du projet de l’auteur, à savoir « de guider et intégrer les usages des outils de calcul dans l’enseignement mathématiques ». En effet, qu’il s’agisse de calculateur ou d’ordinateur, le sujet ne peut prétendre modifier ce que nous pouvons appeler ‘machines’, plutôt qu’artefacts. Tandis que les exemples nombreux donnés par Rabardel, y compris dans le cadre de formation de sujets, concernent effectivement les modifications des artefacts et des schèmes.

    3.1 De l’outil à l’instrument

    L’analyse de processus historiques de modifications d’artefacts permet d’approfondir la notion d’instrument comme connaissance-en-action. En effet, il n’y a pas dans l’histoire de simultanéité de tous les instruments mais passage de l’un à l’autre, avec parfois des crises ou des ruptures. En reprenant ce qu’écrit Simondon à propos de la technique, nous dirons que l’éducation mathématique ne doit pas “manquer ces dynamismes humains”, “il faut avoir saisi l’historicité du devenir instrumental à travers l’historicité du devenir du

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 16

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    sujet” (Simondon 1969: 107-109). Nous possédons peu de témoignages ou de traces des premiers instruments

    de la géométrie. De ce point de vue, l’ouvrage Géométrie de Gerbert d’Aurillac, datant de l’an 1000, possède un rôle vicariant. L’auteur a été pape en Avignon, il a voyagé en Espagne et il a ainsi pu connaître les sciences mathématiques arabes. Il explique dans son ouvrage comment mesurer la largeur d’une rivière avec un bâton, il s’agit donc encore ici d’un ‘problème de distance inaccessible’. Les gestes à effectuer sont les suivants: Gerbert plante son bâton sur le bord de la rivière, il s’éloigne du bord jusqu’à ce que son œil, l’extrémité du bâton et l’autre bord de la rivière soient alignés. Comme précédemment, nous réalisons un schéma qui représente la situation, puis une mise en figure lettrée qui permet de formuler le schème opérant à condition d’adopter une échelle de proportion (fig. 8). La configuration est constituée de deux triangles emboîtés pour lesquels le rapport des côtés BD à CD est égal au rapport de BP à OP, on a la proportion BD : CD :: BP : OP. Ce schème permet d’obtenir la distance BP, qui est la somme de BD et de DP, à l’issue d’un calcul sur les grandeurs.

    Figure 8. La largeur de la rivière par Gerbert

    Ce schème intervient aussi dans le fonctionnement de la ‘lychnia’ (lanterne),

    présentée au IIe siècle dans les Cestes de Jules l’Africain. Il s’agit d’une accommodation pratique du bâton, plutôt que d’une genèse instrumentale: elle comporte un bâton muni à son sommet d’un autre bâton qui peut tourner et qui permet ainsi d’effectuer des visées plus aisées (fig. 9). Dans le traité Sur la Dioptre, datant du Ier siècle, Héron d’Alexandrie présente un dioptre assez semblable à la lychnia et il lui associe un autre outil: un poteau muni d’un disque, qui peut coulisser le long du poteau. Il résout de nombreux problèmes de distances inaccessibles (Barbin 2016) : mesurer des différences de niveaux, joindre deux lieux qui ne sont pas visibles l’un pour l’autre, creuser un tunnel connaissant ses extrémités, mesurer l’aire d’un champ en restant à l’extérieur du champ, etc. L’adjonction de poteaux constitue une instrumentalisation, elle ne modifie pas le schème primitif des triangles emboîtés. Mais la complexité des problèmes s’accompagne de celle des figures, et les raisonnements demandent

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 17

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    ‘d’imaginer’ de nombreuses droites qui ne représentent pas d’objets tangibles (fig. 10).

    Figure 9. La lychnia de Jules l’Africain et la dioptre d’Héron d’Alexandrie

    Gerbert écrit que “un géomètre doit toujours avoir un bâton avec lui”, mais

    la possession de cet outil ne suffit pas pour obtenir la solution. Il faut de plus un raisonnement extérieur à l’outil, qui est singulier pour chacune des utilisations de l’outil. Examinons de ce point de vue un autre instrument de Gerbert. Il est composé de deux bâtons, solidaires et perpendiculaires, dont les trois parties ainsi déterminées sont égales (fig. 10). Pour mesurer la hauteur d’un édifice, Gerbert aligne l’extrémité du bâton horizontal, le haut du bâton vertical et le haut de l’édifice. Le schème précédent permet d’obtenir l’égalité de BH et HE, et donc AB est égal à la somme de HE et FC. La distance HE est accessible par arpentage et si FC est égal à 1 (par exemple), alors AB égale HE + 1. Notons que, pour obtenir la solution, il faut adjoindre à la figure une droite HE, qui est le témoin de la ruse et de la connaissance du géomètre. Cette droite ne représente aucun élément tangible, elle est ‘imaginative’.

    Figure 10. L’instrument de Gerbert

    Nous dirons que nous avons affaire ici à un instrument, parce que Gerbert

    incorpore dans la conception de son instrument une connaissance du géomètre: l’instrument est instruit. Le mot instrument vient du mot latin instrumentum, qui signifie matériel, outillage ou ressource et qui dérive du verbe instruere. Ce verbe,

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 18

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    francisé en enstruire, donne disposer, outiller et équiper. Ainsi, les mots instrument et instruire renvoient l'un à l'autre (Barbin 2004: 7-12). Le passage du bâton à l’instrument peut-être compris comme un processus d’instrumentation, car l’instrument incorpore le schème dans sa conception. Celui qui l’utilisera tiendra en main une connaissance-en-action.

    3.2 Connexions entre instruments et connaissances

    Dans sa Protomathesis de 1532, Oronce Fine présente un instrument que nous appelons aujourd’hui ‘équerre articulée’. Il est géomètre, astronome et cartographe, il a enseigné les mathématiques au Collège Royal de Paris et il publiera en 1556 un ouvrage de géométrie intitulé De re & Praxi geometrica. Depuis le XIIIe siècle, les Éléments d’Euclide sont connus en Occident par une traduction latine d’une traduction arabe et ils sont imprimés en 1482. Fine cite le texte euclidien lorsqu’il présente son équerre articulée (Fine 1532: 67).

    Illustration. Extrait de la Protomathesis d’Oronce Fine

    L’instrument est composé d’un bâton qui sera dressé verticalement et de

    deux bâtons perpendiculaires l’un à l’autre (les alidades) fixés au sommet du bâton et qui peuvent tourner autour. Pour mesurer, par exemple, la largeur d’une rivière, il faut poser l’instrument au bord de la rivière et viser à l’aide d’une alidade l’autre bord de la rivière, puis viser à l’aide de la seconde alidade un point qui se trouve de notre côté de la rivière, mais en terre ferme (fig. 11). La distance entre ce point et la base du bâton est connue, ainsi que la hauteur du bâton. Ceci suffit à connaître la largeur de la rivière.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 19

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Figure 11. La largeur d’une rivière avec l’équerre articulée

    En effet, si nous représentons sur une figure les droites intervenant dans la

    situation, nous pouvons en extraire un triangle rectangle ABC et sa hauteur AH (fig. 12). Cette configuration permet de formuler un nouveau schème, qui correspond à l’un des théorèmes appartenant à la figure. En effet, ‘le théorème de la hauteur du triangle rectangle’ affirme que, dans un triangle rectangle avec l’angle droit en A et AH la hauteur, on a BH : AH :: AH : HC ou encore, la

    hauteur AH égale le produit des segments déterminés sur la base, AH2 = BH HC. Par conséquent, HC s’obtient à partir de BH et AH, qui nous sont connus, et si AH = 1 alors HC = 1 : BH. Ce théorème est la proposition 8 du Livre VI d’Euclide (Euclide 1994: 176-179), il est déduit de la similarité des triangles ABH et CAH, car deux triangles semblables (qui ont leurs angles égaux) ont leurs côtés proportionnels. L’équerre articulée est une connaissance-en-action, celle du théorème de la hauteur du triangle rectangle. Sa genèse correspond à la fois à un processus d’instrumentation, car le schème correspond à une forme plus complexe que celle des triangles emboîtés, et à un processus d’instrumentalisation puisque l’usage de l’instrument est amélioré. Le nouveau schème est une connaissance géométrique qui pourra intervenir dans d’autres instruments. Rabardel écrit à ce propos que “L’instrument est un moyen de capitalisation de l’expérience accumulée (cristallisée disent même certains auteurs). En ce sens, tout instrument est connaissance” (Rabardel 1995: 73).

    Figure 12 . Le théorème de la hauteur d’un triangle rectangle

    Nous trouvons dans l’histoire de la géométrie, qu’on appelle pratique et que

    nous préférons nommer instrumentale, de nombreux instruments de visée pour

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 20

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    trouver des distances inaccessibles. Ils forment un monde d’individus liés les uns aux autres, dont l’exploration est bien préférable pour l’enseignement, à l’utilisation d’un seul d’entre eux. En effet, la dynamique instrumentale peut introduire un ordre des connaissances qui constituera un apprentissage dynamique de la déduction mathématique. Nous reprenons en ce sens ce que Simondon formule pour la réalisation technique: elle “donne la connaissance scientifique qui lui sert de principe de fonctionnement sous une forme d’intuition dynamique appréhensible par un enfant même jeune, et susceptible d’être de mieux en mieux élucidée, doublée par une compréhension discursive” (Simondon 1969: 109).

    4. DYNAMIQUE INSTRUMENTALE ET CONSTRUCTIONS DE CONNAISSANCES

    Depuis la géométrie grecque, la règle et le compas sont les outils de construction des figures par excellence. Cependant, en conformité avec l’héritage aristotélicien qui sépare la poïétique de la théorétique, Euclide ne mentionne pas ces outils, ni aucun autre, mais son ouvrage contient de nombreuses constructions de figures qui sont obtenues par intersections de droites et cercles, au point qu’il peut être lu comme un ouvrage de constructions tout autant que de théorèmes. Les Éléments répondent aux préceptes aristotéliciens d’une science démonstrative, c’est-à-dire dans laquelle chaque proposition est déduite soit d’un axiome (demande ou notion commune), soit de propositions précédemment démontrées. Les premières demandes sont “de mener une ligne droite de tout point à tout point” et “de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle” (Euclide 1994: 167-169). Les historiens ont discuté sur le rôle existentiel de ces demandes, mais, de toute façon, mener une droite et décrire un cercle sont deux opérations de base pour effectuer une construction concrète à l’aide d’outils de figures sur lesquelles le géomètre spécule et raisonne. Il apparaît dès lors difficile de bannir la considération de tout outillage dans l’interprétation des Éléments.

    Il y a deux sortes de propositions dans les Éléments, les constructions (ce que les Anciens appellent les problèmes) et les théorèmes. L’intrication entre les deux sortes de propositions est forte et déterminée puisqu’un théorème sur une figure ne peut pas être démontré sans que celle-ci et les lignes nécessaires à la démonstration soient construites à la règle et au compas. Il est nécessaire aussi que toute construction soit justifiée par des théorèmes démontrés précédemment. Quelle conception prévaut à cette nécessité? Nous pouvons lire une réponse dans le dialogue du Ménon de Platon qui permet de lier l’édification de la géométrie grecque à un échec, à une impossibilité de dire qui est compensée par une possibilité de montrer par une construction et par des gestes.

    Dans ce célèbre dialogue, Socrate expose à Ménon la théorie de la réminiscence et il fait venir un esclave pour montrer que, par de simples questions, il va conduire l’esclave à se ressouvenir. Il présente à l’esclave un

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 21

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    carré de côté deux et donc d’aire quatre, puis il lui demande s’il est possible de construire un carré d’aire double. Il continue en demandant quel serait le côté d’un carré d’aire huit: “essaie de me dire quelle serait la longueur de chaque ligne dans ce nouvel espace”. L’esclave essaie donc de dire: il dit d’abord quatre, puis trois. Les deux tentatives échouent. Socrate modifie alors sa demande: “taches de me le dire exactement, et si tu aimes mieux ne pas faire de calculs, montre la nous”. Il ne s’agit plus de dire un nombre mais de montrer une figure. Socrate construit étape par étape la figure, qui permet de montrer la droite demandée. Il accole quatre carrés égaux au carré de départ, puis trace dans chacun une diagonale (fig. 13). Les quatre diagonales délimitent le carré cherché. Ainsi ce qui n'est pas dit exactement est construit exactement à la règle et au compas. Socrate déplace l’objet de l’exactitude, du nombre à la figure.

    Figure 13. La construction géométrique de la duplication d’un carré

    4.1 Les compas

    La seconde demande d’Euclide, de décrire un cercle, peut être satisfaite avec une corde ou avec un ‘compas à balustre’ (avec un crayon et une pointe). Mais un compas peut servir aussi à reporter des longueurs de segments. Dans ce cas, un ‘compas à pointes sèches’ (sans crayon) est suffisant. L’opération de report est nécessaire en géométrie, elle intervient dès les premiers théorèmes sur les triangles. Aussi, dans la proposition 2 du Livre I, Euclide demande de placer en un point donné A, un segment égal à un segment donné BC (Euclide 1994: 197). Il donne les étapes de la construction: il faut joindre A et B, construire un triangle équilatéral DAB sur AB (la construction est donnée dans la proposition 1), prolonger DA et DB, puis construire un cercle de centre B et de rayon BC et un cercle de centre D et de rayon DG (avec G intersection du cercle précédent avec le prolongement de DB) (fig. 15). Euclide démontre que l’intersection L de ce dernier cercle avec le prolongement de DA répond au problème car AL est égal à CB.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 22

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Figure 14. Le report géométrique d’un segment

    Le compas à balustre et le compas à pointes sèches sont deux outils

    ressemblants d’un point de vue matériel, mais leurs fonctions sont différentes, et la théorie montre comment l’une peut se ramener rationnellement à l’autre. Nous allons examiner deux autres compas que nous qualifions d’instruments, car chacun est une connaissance-en-action. Ils sont également ressemblants l’un à l’autre d’un point de vue matériel et d’un usage très ancien chez les artisans. On les retrouve décrits jusqu’à récemment, dans Le dictionnaire pratique de Menuiserie, Ébénisterie, Charpente de Justin Storck, édité au début du XXe siècle.

    Le ‘compas d'épaisseur’, joliment appelé ‘maître à danser’ à cause de sa forme suggestive, est composé de deux tiges égales, croisées et articulées autour de leur milieu. Il permet de mesurer le diamètre extérieur d'un cylindre ou d'un flacon en y introduisant la partie inférieure de l’instrument, les pieds du ‘maître à danser’ (fig. 15).

    Figure 15. Le compas d’épaisseur ou maître à danser

    Le problème est encore de trouver une longueur inaccessible à une mesure

    exacte. Puisque les segments OA, Oa, OB et Ob sont égaux, et que les angles au sommet O sont égaux, les deux triangles OAB et Oab sont égaux (superposables) donc en mesurant AB, nous obtenons ab. La connaissance en action présente dans la conception et le fonctionnement de l’instrument correspond à la proposition IV du Livre I des Éléments d’Euclide (premier cas d’égalité de deux triangles).

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 23

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Le ‘compas de réduction est composé de deux tiges égales, croisées et articulées autour de leur intersection. La place de cette intersection est modifiable grâce à des fentes placées sur les deux tiges et une fixation (fig. 16). Ce compas permet d’obtenir une figure réduite d’une figure donnée, mais tout aussi bien agrandie. En effet, supposons par exemple que l’on veuille réduire une figure au tiers, il suffit de placer l’intersection O de telle sorte que aO et bO soient le tiers de OA et OB. Pour réduire au tiers un segment quelconque, il faut placer A et B à ses extrémités, alors a et b sont les extrémités du segment réduit. La conception et le fonctionnement du compas de réduction manifestent une connaissance-en-action, énoncée un peu plus haut. En effet, les triangles Oab et OAB sont semblables, donc leurs côtés sont proportionnels, par conséquent ab est le tiers de AB.

    Figure 16. Le compas de réduction.

    4.2 Échec instrumental et construction de connaissances

    Nous allons examiner deux problèmes qui illustrent l’expression de Simondon, “quand les techniques échouent la science est proche” (Simondon 1969: 246), et qui fournissent d’autres exemples d’inventions d’instruments et de schèmes. Ils font partie des fameux problèmes à la règle et au compas que les géomètres grecs ne sont pas parvenus à résoudre, ce sont la duplication d’un cube et la trisection d’un angle. Dès la science grecque et durant des siècles, ils vont connaître de très nombreuses solutions instrumentales et géométriques (Barbin 2014: 87-146). Nous avons choisi de présenter des solutions anciennes ou élémentaires.

    Le problème de la duplication du cube consiste à construire le côté d’un cube ayant un volume qui est double d’un cube donné. Il peut être considéré comme une suite du problème de la duplication d’un carré, dont la solution est obtenue à la règle et au compas grâce à la figure du Ménon, puisqu’un carré est constructible. Selon Proclus, pour parvenir à la solution pour le cube, le mathématicien grec du Ve siècle avant J.-C. Hippocrate de Chios ramène le problème à un autre problème, celui de construire deux segments qui soient moyennes proportionnelles entre un segment et son double, ou plus largement entre deux segments quelconques. En écriture symbolique, nous cherchons à construire deux segments x et y tels que a : x :: x : y :: y : b. Les Commentaires

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 24

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    d'Eutocius d'Ascalon sur le traité de la sphère et du cylindre d’Archimède (Ve siècle) indiquent différentes solutions de géomètres grecs, des instruments mais aussi des constructions à l’aide des coniques, qui auraient été inventées à cet effet par Ménechme (IVe siècle avant J.-C.) (Archimède 1969: 551-718).

    Nous allons nous intéresser à l’instrument attribué à Platon en commençant par examiner si effectivement, comme l’écrit Ératosthène, pour Hippocrate “l’embarras fut changé en un autre et non moindre embarrass”. En effet, le problème proposé par Hippocrate est une suite de la construction d’une moyenne proportionnelle entre deux segments, qui s’effectue à la règle et au compas. Étant donnés deux segments BH et HC mis bout à bout, il suffit de construire à la règle et au compas le milieu de BC, le demi-cercle de diamètre BC et la hauteur en H à BC. Si A est l’intersection du demi-cercle et de la hauteur alors AH est la solution au problème (fig. 17 gauche). En effet, ceci résulte du théorème de la hauteur d’un triangle rectangle car le triangle ABC est inscrit dans un demi-cercle, donc il est rectangle. Cette solution indique que l’équerre est aussi un outil commode pour construire la moyenne proportionnelle à deux segments (fig. 17 droite): il suffit de placer le coin de l’équerre sur une perpendiculaire (construite avec l’équerre) en H à BC. L’équerre est un outil qui permet de mettre en action le théorème du triangle rectangle.

    Figure 17. La moyenne proportionnelle avec le compas et avec l’équerre

    Notons que la construction de la moyenne proportionnelle AH entre deux

    segments BH et HC est aussi celle du côté d’un carré de même aire que le rectangle de côtés BH et HC. Le théorème du triangle rectangle fournit donc la solution au problème de la quadrature d’un rectangle. Ce problème est une étape essentielle dans la quadrature d’un polygone établie par Euclide, il est donc légitime de rattacher le théorème du triangle rectangle et son invention à un problème de construction.

    L’instrument de Platon pour construire deux moyennes proportionnelles consiste en trois barres fixes, Hθ, HZ et Mθ. Les deux dernières barres sont munies de rainures, de sorte qu’une quatrième barre KΛ coulisse parallèlement à Hθ (fig. 18 gauche). Pour construire deux moyennes proportionnelles à deux segments AB et BC, on les dispose perpendiculairement l’un à l’autre (avec une équerre) et on les prolonge (avec une règle). Posons l’instrument de sorte que

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 25

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    l’angle θHZ soit sur le prolongement de AB et que Hθ passe par C, puis faisons coulisser KΛ de sorte qu’elle passe par A (fig. 18 droite). Alors nous avons:

    BA : BK :: BK : BH :: BH : BC. En effet, dans le triangle rectangle AKH nous avons BA : BK :: BK : BH, et

    dans le triangle rectangle KHC nous avons BK : BH :: BH : BC. L’instrument de Platon est le résultat d’un processus d’instrumentalisation car il améliore la simple équerre et il s’appuie sur le même schème, celui de la hauteur d’un triangle rectangle.

    Figure 18. L’instrument de Platon et son fonctionnement

    L’invention de l’instrument résulte d’une nouvelle considération du

    problème de la moyenne proportionnelle, il faut s’emparer du schème qui a réussi pour le compas tout en prenant en compte l’échec du compas au-delà. Nous pouvons alors regarder l’instrument de Platon comme deux équerres coordonnées qui permettent d’aller au-delà de la simple équerre. En effet, ce redoublement répond au redoublement de la moyenne proportionnelle nécessaire pour résoudre la duplication du cube. Le passage par les instruments constitue ainsi encore une entrée dynamique dans le raisonnement déductif. L’embarras dans lequel serait tombé Hippocrate est donc profitable, comme cela est souvent le cas en mathématiques. Auprès de Ménon, Socrate soutenait l’intérêt de l’embarras de l’esclave pour l’enseignement.

    Le problème de la construction à la règle et au compas de la trisection de l’angle (en trois angles égaux) est également la suite d’un problème qui est constructible, celui de la bissection d’un angle (en deux angles égaux). Tenant compte de l’expérience précédente, nous examinons le schème qui autorise la réussite dans ce cas. Diviser un angle en n parties égales est équivalent à diviser en n parties égales l’arc correspondant à cet angle quand il est inscrit au centre d’un cercle. Étant donné un angle de sommet A, traçons un arc de cercle de centre A qui coupe les côtés de l’angle en B et C, il faut diviser en deux l’arc BC. Pour cela, il suffit de construire le milieu M de la corde BC en construisant la médiatrice. Traçons à partir de B et C deux arcs de cercle égaux qui se coupent en D, alors AD est la médiatrice (fig. 19 gauche). Les deux triangles AMB et AMC sont égaux car leurs trois côtés sont égaux, donc les angles BAM et CAM sont égaux. Cette construction ne va pas au-delà de la division en deux parties égales. Si nous divisions en trois parties égales la corde BC, ce qui est possible à

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 26

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    la règle et au compas alors l’arc BC n’est pas divisé en trois parties égales (fig. 19 droite).

    Figure 19. Division d’un angle et de la corde sous-tendue

    Nous allons examiner trois instruments de trisection dont l’invention prend

    en compte ce qui a produit la réussite pour la bissectrice mais aussi l’échec au-delà. Les deux premiers sont des instruments d’artisans et le troisième est inventé par un mathématicien.

    Le ‘couteau de cordonnier’ est présenté dans la Géométrie appliquée à l’Industrie à l’usage des artistes et des ouvriers de Claude Lucien Bergery de 1828. D’après l’auteur, il était utilisé par les ouvriers messins. Le couteau est composé d’une règle BE, d’une équerre BCD et un demi-cercle de centre F et diamètre AB tels que BC est égal à BF. Pour obtenir la trisection d’un angle GHI, il suffit de poser le couteau sur l’angle, le demi-cercle étant tangent à l’un des côtés et C étant sur l’autre côté. En effet, les angles GHB, BHF et FHI sont égaux et donc valent le tiers de l’angle GHI (fig. 20).

    Menons HF et FI, l’angle FIH est droit. Les triangles CBH et FBH sont égaux, donc l’angle CHB est égal à l’angle BHF. Les triangles BFH et FIH sont égaux, donc l’angle BHF est égal à l’angle FHI. L’invention et le fonctionnement du couteau de cordonnier reprennent le schème primitif qui préside à la construction de la bissectrice d’un angle, à savoir l’égalité de deux triangles rectangles. L’invention du couteau contourne l’obstacle en mimant la situation des cordes égales et en introduisant un schème qui prolonge le précédent: celui qui est attaché à la configuration de trois triangles égaux.

    Figure 20. Le couteau du cordonnier

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 27

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    ‘L’équerre du charpentier’ est présentée dans un article de Scudder intitulé “How to trisect an angle with a carpenter’s square”, paru en 1928 dans la revue American Mathematical Monthly. L’équerre est posée sur l’angle BOA, dont on cherche la trisection, de façon à tracer le long de la partie GH de l’équerre une parallèle au côté OA de l’angle. Sur l’équerre est marqué un point F tel que FH est égal à HK. L’équerre est ensuite posée sur l’angle de sorte à ce que le coin K de l’équerre soit sur la parallèle au point E, que le sommet O soit sur la partie GH de l’équerre et que le point F soit sur OB (fig. 21). Les points F, K et H sont marqués sur la figure. Traçons OH, OK et KF, la perpendiculaire à OA passant par K. Les trois angles FOH, HOK et KOF sont égaux car les trois triangles rectangles FOH, HOK et KOF sont égaux. Ainsi, bien que le couteau du cordonnier et l’équerre du charpentier soient deux instruments très dissemblables d’un point de vue matériel, la connaissance-en-action est la même.

    Figure 21. L’équerre du charpentier

    Un problème posé par James Watt pour améliorer le fonctionnement des

    machines à vapeur attire l’intérêt des mathématiciens pour ce qui sera appelé ‘systèmes articulés’, c’est-à-dire un système de tiges articulées les unes aux autres. Tout au long du XIXe siècle, ils recherchent des systèmes particuliers pour tracer les courbes ou pour résoudre des problèmes de construction (Barbin 2014: 137-139). Dans ce contexte, le mathématicien Charles-Ange Laisant introduit ‘un compas trisecteur’, qui fait l’objet d’un article d’Henri Brocard en 1875 (Brocard 1875 : 47-48). L’instrument est composé de deux losanges articulés OABC et BEDC et d’une tige rigide OBD sur laquelle D peut glisser. Pour obtenir la trisection d’un angle il suffit de poser l’instrument sur l’angle de sorte que A et E soient sur ses côtés. Alors les angles EOB, BOC et COA sont égaux et l’angle AOE est coupé en trois parties égales. En effet, les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, donc OD est la médiatrice de EC et les triangles EOB et BOC sont égaux. La diagonale OC divise aussi le losange OBCA en deux triangles BOC et COA égaux.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 28

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Figure 22. Le compas trisecteur de Laisant

    Les trois instruments de trisections activent des schèmes similaires, mais les

    deux premiers sont singuliers, ils ne sont pas susceptibles de résoudre d’autres problèmes, alors que le compas trisecteur appartient à une famille d’instruments qui peuvent se coordonner les uns aux autres, de s’enrichir par l’introduction d’autres schèmes, comme pour l’inverseur de Peaucellier qui permet de résoudre exactement le problème de Watt. Avec les systèmes articulés s’ouvre la construction de courbes.

    5. CONCLUSION: APPROCHE INSTRUMENTALE ET HISTORIQUE DE L’ENSEIGNEMENT

    Comme nous l’avons souligné à plusieurs endroits, l’invention et la genèse instrumentales permettent une entrée dynamique dans la déduction mathématique: elles définissent des schèmes opérants et elles construisent une suite ordonnée de schèmes. Le fonctionnement de l’instrument constitue une connaissance-en-action, susceptible d’être reprise ou prolongée avec l’emploi de nouveaux instruments ou l’intervention de nouveaux problèmes. Le processus d’instrumentation va souvent de pair avec le processus d’instrumentalisation, car ils correspondent tous les deux à des modifications de l’instrument. Comme l’écrit Séris pour la technique, la genèse instrumentale dépend d’une “aspiration à faire les choses autrement et mieux” (Séris 1994: 20-21). Nous rencontrons dans l’histoire deux dynamiques de la genèse instrumentale: pour un même problème, il faut inventer des instruments de plus en plus commodes, ou il faut chercher à résoudre des problèmes de plus en plus complexes. Dans l’enseignement, il semble donc nécessaire d’une part, d’introduire des instruments dont le fonctionnement est accessible et ainsi compréhensible et d’autre part, de considérer des familles d’instruments reliés les uns aux autres par des champs de problèmes et/ou des champs de schèmes. Ceci ne se restreint pas au domaine de la géométrie, qui fait l’objet unique de cet article.

    Examinons ces deux points dans le contexte de l’enseignement aujourd’hui. Nous avons noté que plus un instrument est porteur de nombreuses connaissances, plus son usage peut être commode et plus universel. Mais sa complexité peut alors devenir telle qu’il faille lui intégrer des mécanismes facilitant et régulant son usage. C’est ainsi que le fonctionnement de

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 29

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    l’instrument peut devenir en partie ou complètement caché. Nous en avons un exemple avec l’histoire et l’enseignement des instruments de calcul, car il est long le processus qui va du boulier à l’ordinateur (Chabert, Barbin et al. 1999). En présence d’un ordinateur, l’élève sait ce qui entre dans la machine et ce qui en sort, mais non ce qui s’y fait: il s’accomplit une opération à laquelle l’élève ne participe pas même s’il la commande.

    Ce qu’écrit Simondon de la situation du travailleur face à une machine peut être repris ici : “commander est encore rester extérieur à ce que l’on commande, lorsque le fait de commander consiste à déclencher selon un montage préétabli, fait pour ce déclenchement, prévu pour opérer ce déclenchement dans le schéma de construction de l’objet technique”. Pour lui, l’aliénation du travailleur, qui résulte de cette extériorité, réside dans la rupture qui se produit entre la genèse et l’existence de l’objet technique: “il faut que la genèse de l’objet technique fasse effectivement partie de son existence, et que la relation de l’homme à l’objet technique comporte cette attention à la genèse continue de l’objet technique” (Simondon 1969: 249-250). Cette attention à la genèse instrumentale est également nécessaire dans une approche instrumentale de l’enseignement, si nous voulons voir accomplir les effets que nous lui accordons. Elle invite à se tourner vers la genèse historique des instruments. Dans le même souci, la reprise du schéma de Trouche (fig.7) dans plusieurs écrits didactiques incite à relever que la genèse instrumentale ne peut pas se défaire du sujet connaissant, sous peine en effet d’aliénation. “Les objets techniques qui produisent le plus d’aliénation sont aussi ceux qui sont destinés à des utilisateurs ignorant” (Simondon 1969: 249-250).

    L’introduction de familles d’instruments plutôt que d’instruments hétéroclites et isolés est indispensable dans le cadre de l’enseignement de la géométrie, et plus largement des mathématiques d’aujourd’hui. En France, comme dans beaucoup de pays, l’enseignement de la géométrie est de plus en plus limité et éparpillé, dans le contexte d’un enseignement des mathématiques lui-même réduit et morcelé. Il ne s’agit plus tant de former les élèves et les étudiants, que de leur inculquer des savoirs et surtout de leur fournir des compétences. Il s’avère que plus ces enseignements sont amoindris de la sorte, plus ils perdent de leur légitimité sociale et de leur intérêt cognitif. L’approche instrumentale doit permettre de relier des connaissances et non pas favoriser encore un éparpillement de savoirs, qui placerait les élèves en face d’instruments dont le fonctionnement, non seulement n’est pas porteur de connaissance-en-action, mais leur échappe.

    RÉFÉRENCES

    Archimède (1960). Les œuvres complètes (Vol. II). Trad. P. Ver Eecke. Liège: Vaillant-Carmanne.

    Aristote (1991). Métaphysique. Trad. Tricot, J. Paris: Vrin. Barbin, É. (1994). L'invention des théorèmes et des instruments. In É. Hébert

    (Ed.), Instruments scientifiques à travers l'histoire (pp. 7-12) Paris: Ellipses.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Εvelyne Barbin

    L’INSTRUMENT MATHÉMATIQUE COMME INVENTION ET CONNAISSANCE-EN-ACTION 30

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    Barbin, É. (2004). L’outil technique comme théorème en acte. In Ces instruments qui font la science (pp. 26-28). Paris: Sciences et avenir.

    Barbin, É. (2006). La révolution mathématique du xviie siècle. Paris: Ellipses. Barbin, É. (2014). Les constructions mathématiques avec des instruments et des

    gestes (Ed.). Paris: Ellipses. Barbin, É (2016). La Dioptre d’Héron d’Alexandrie: investigations pratiques et

    théoriques. In D. Bénard & G. Moussard (Ed.). Les mathématiques et le réel: expériences, instruments, investigations. Rennes : PUR.

    Brocard, H. (1875). Note sur un compas trisecteur proposé par M. Laisant. Bulletin de la SMF, 3, 47-48.

    Chabert, J.-L. & Barbin, É. et al. (1999). A history of Algorithms. From the Pebble to the Microchip. New-York: Springer.

    Euclide (1994). Les Éléments (Vol. 2). Trad. B. Vitrac. Paris: PUF. Fine, O. (1532). Protomathesis. Paris: Impensis Gerard Morrhij et Ioannis Petri. Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies: approche cognitive des

    instruments contemporains. Paris: Armand Colin. Séris, J.-P. (1994). La technique. Paris: PUF. Simondon, G. (1969). Du mode d’existence des objets techniques. Paris: Aubier-

    Montaigne. Trouche, L. (2005). Des artefacts aux instruments, une approche pour guider et

    intégrer les usages des outils de calcul dans l’enseignement des mathématiques. Actes de l’université d’été de Saint-Flour (pp. 265-276).

    BRIEF BIOGRAPHY

    Évelyne Barbin is full professor of epistemology and history of sciences (University of Nantes). Her research concerns history of mathematics and relations between history and teaching. She works in the French IREMS where she organized thirty colloquia and summer universities and she edited many books. She had been chair of the HPM Group from 2008 to 2012.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • UNIVERSITY OF WESTERN MACEDONIA

    FACULTY OF EDUCATION

    MENON ©online Journal Of Educational Research 31

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE

    05/2016

    PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS ABOUT ISOPERIMETRY: A USE OF MATHEMATICS HISTORY

    IN GRADE SIX1

    Matthaios Anastasiadis

    Primary school teacher, MSc, University of Western Macedonia [email protected]

    Konstantinos Nikolantonakis

    Associate Professor, University of Western Macedonia [email protected]

    ABSTRACT

    In this paper, we report on the use of one historical note and two primary sources, an extract from Pappus’ Collection and an extract from Polybius’ Histories, in the context of an instructional intervention focused on isoperimetric figures and area-perimeter relationships. The participants were 22 sixth graders, aged 11-12. The research findings we present here are based on classroom observations, on the worksheets used during the intervention and on personal interviews with the students. During the intervention, the students solved problems, which were based on the sources. Twenty-one of the 22 students considered the problem which was based on Pappus’ text to be more interesting than the problems that they were usually asked to solve in mathematics. In addition, the students’ ratings of the texts indicate that the extract from Pappus was the text that they liked most. We also examine the various ways through which the particular use of mathematics history affected the development of the students’ personal Geometrical Working Spaces. Keywords: History of mathematics, Primary sources, Isoperimetric figures, Area, Geometrical Working Space

    1. INTRODUCTION

    This paper presents some findings from a larger research study linking the use of historical sources in mathematics education with the Geometrical Working Spaces theoretical framework (Kuzniak 2006), in the context of an instructional intervention focused on isoperimetric figures and area-perimeter relationships. In the paper, we focus on how the sources were used and we discuss the students’ views both on their learning and on the use of the particular historical sources, and the various ways through which the particular use of mathematics history affected the development of the students’ personal Geometrical Working Spaces.

    1 A Greek version of this paper has been published in: Kourkoulos, M., & Tzanakis, C. (guest Eds.). (2014). History of Mathematics and Mathematics Education. Education Sciences. Special Issue 2014. Rethymno, Greece: Department of Primary Education, University of Crete.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menonmailto:[email protected]:[email protected]

  • Matthaios Anastasiadis, Konstantinos Nikolantonakis

    PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS ABOUT ISOPERIMETRY : A USE OF MATHEMATICS HISTORY IN GRADE SIX 32

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    1.1. History of mathematics and mathematics education

    Regarding the use of mathematics history, on the one hand, there are theoretical objections and practical difficulties. For example, it has been argued that students often dislike history and that the history of mathematics could confuse students (Jankvist 2009, Tzanakis et al. 2000). Practical difficulties include the lack of teaching time and material and the teachers’ lack of expertise. Moreover, the use of mathematics history could not be easily assessed, so it would not attract students’ attention.

    On the other hand, it has been argued that mathematics history can motivate students and contribute to the teaching of specific mathematical content (Jankvist 2009, Tzanakis et al. 2000). Moreover, learning about the difficulties, errors and misconceptions that arose in the history of mathematics could be beneficial to students in terms of emotions, beliefs and attitudes; on the other hand, this kind of knowledge helps teachers to anticipate students’ possible difficulties and to develop or adapt history-based problems and other instructional material that could help students overcome these difficulties. Also, mathematics history shows the role of individuals and the role of different cultures in the evolution of mathematics and indicates that mathematical concepts were developed as tools for organizing the world. Finally, mathematics history enables the connection between mathematics and other subjects.

    Concerning the relationship between students’ difficulties and the difficulties encountered in mathematics history, there are different approaches. Through the concept of epistemological obstacle, Brousseau (2002) emphasized the role of a piece of prior knowledge, which, depending on its structure, has particular advantages but also leads to particular errors. Contrarily, Furinghetti and Radford (2008) emphasized the role of culture and argued that school prepares the unpacking of a tradition established over centuries. Finally, according to the conceptual change framework, children’s initial theories can emerge through the children’s interaction with the physical environment and with the cultural tools (Vosniadou & Vamvakoussi 2006). Thus, similarities between children’s difficulties and the difficulties encountered in history could possibly be related to the use of similar cultural tools or to children’s perception of the environment; this seems to be particularly interesting in the case of elementary geometry, considered as the science of space (Kuzniak 2006).

    As regards the ways of using mathematics history, the most common way is the use of historical notes, i.e. texts that are written for teaching purposes and may include names, dates, biographies, anecdotes and stories (Jankvist 2009; Tzanakis et al. 2000). Worksheets, historical problems, and primary and secondary sources are also forms of using history. The various history uses can also be combined for designing teaching and learning sequences (packages) and projects, which may be short or more extensive and more or less relevant to the curriculum.

    The use of primary sources is both demanding and time-consuming, and it

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Matthaios Anastasiadis, Konstantinos Nikolantonakis

    PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS ABOUT ISOPERIMETRY : A USE OF MATHEMATICS HISTORY IN GRADE SIX 33

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    is often difficult to assess the results (Jahnke et al. 2000). The teacher may need to translate or modify the text, but such adaptations should not deviate far from the original text. A primary source may be introduced directly (without prior preparation) or indirectly, e.g. after problem solving. In short, there is not only one teaching strategy for the use of primary sources; therefore, the most appropriate strategy should be chosen.

    1.2. Area-perimeter relationships in ancient Greek mathematics

    There is sufficient evidence to suggest that area-perimeter relationships have caused difficulties in the past. For example, Polybius from Megalopolis (2nd c. BC), in the ninth book of his treatise Histories, argued that army generals should have knowledge of astronomy and geometry, and to support his claim, he wrote: “Most people infer the size of the aforementioned [cities and camps] only from the perimeter. (....) The reason of this is that we do not remember the geometry lessons we were taught in our childhood” (Hist. 9.26a.1-4, Büttner-Wobst ed.).2 Furthermore, he gave two examples: the first concerns the comparison between Sparta and Megalopolis, while the second concerns a hypothetical town or camp which has a perimeter of 40 stadia but is twice as large as another with a perimeter of 100 stadia.

    According to Walbank (1967), ‘the size’ is the area of each city. Moreover, the first example is of particular historical interest, since the comparison seems not to be confirmed in the case of area, at least with the existing archaeological findings. On the contrary, the second example refers to an extreme case and is mostly of mathematical interest. In any case, Polybius’ reference to geometry is a characteristic example of the way that ancient writers used mathematics to present their accounts as superior in terms of accuracy and reliability (Cuomo 2001).

    Polybius’ reference to ‘geometry lessons’ shows that area-perimeter relationships had already been an object of study for mathematicians. In the Elements, Euclid had already proved that parallelograms on the same base or on equal bases, and between the same parallels are equal to one another and then he proved the same for triangles (Ι.35-38). These theorems imply that the length of the contour of a parallelogram or triangle does not determine the extent of its surface; this is why, according to Proclus, these theorems caused astonishment to non-experts (Heath 1921).

    Isoperimetry was also the object of Zenodorus’ work (probably 2nd c. BC). His treatise on isoperimetric figures has not survived; however, on the basis of what Theon wrote later, Zenodorus proved that of all regular polygons with equal perimeter, the largest is the one having the greatest number of angles, and that if a circle and a regular polygon have equal perimeter, then the circle is larger (Cooke 2005, Heath 1921). Furthermore, he showed that of all

    2 Book 9 survives in fragments, and there have been different views concerning the order of the fragments. In οther editions or translations, this passage is part of 9.21. In Büttner-Wobst’s edition it is a part of 9.26a, and Walbank (1967) considered this order to be more coherent.

    http://www.edu.uowm.gr/site/menon

  • Matthaios Anastasiadis, Konstantinos Nikolantonakis

    PRIMARY SOURCES AND HISTORY-BASED PROBLEMS ABOUT ISOPERIMETRY : A USE OF MATHEMATICS HISTORY IN GRADE SIX 34

    MENON: Journal Of Educational Research [ISSN: 1792-8494] http://www.edu.uowm.gr/site/menon

    2nd THEMATIC ISSUE 05/2016

    isoperimetric polygons with the same number of angles, the largest is the equilateral and equiangular, but he partially based his proof on a lemma that had not been proved in a general way.

    Isoperimetry is also the topic of Book V of Pappus’ Mathematical Collection (4th c. AD). The first part of the book concerns plane figures and begins with an introduction, which is characterized of literary merit (Cooke 2005, Heath 1921) and stimulates the interest of the reader; its topic is the hexagonal shape of the cells of honeycombs. Pappus’ explanation of the shape is teleological, as he claimed that bees choose this shape on purpose. At the end of the introduction, Pappus formulated a mathematical problem:

    Bees then know only what is useful to them. That is, that the hexagon is greater than the square and the triangle, and can hold more honey, for the same expenditure of material for the construction of each one. We, however, claiming to have a greater share of wisdom than bees, will investigate something greater. That is, that of all equilateral and equiangular plane figures having equal perimeter, the one which has the greatest number of angles is always greater. And the greatest of all is the circle, whenever it has perimeter equal to them. (Mathematical Collection V.3, Hultsch ed.)

    According to Cuomo (2000), Book V was probably situated in the context of rivalries for the appropriation of tradition, for the acquisition of reputation and for the gaining of new pupils. Bees were frequently used as an example by philosophers too; for Pappus, the difference between bees and humans is that bees have limited, useful and intuitive knowledge, whereas humans are both capable of and interested in proving. Thus, the introduction points out to the need for proving the isoperimetric theorems. The proof process, which follows, is situated in the context of the Euclidean tradition. Furthermore, although there is no reference to Zenodorus, it seems that Pappus followed Zenodorus’ work, especially in the case of plane figures, but also added his own propositions and proofs (Heath 1921).

    Pappus’ intr