Laboratorio termodinámica

17
Laboratori de termodin` amica TRANSFER ` ENCIA DE CALOR GRUP C4 Bernat Capdevila Jordi Par´ ıs Julio Sanz Grau en F´ ısica, UAB 5 de desembre del 2012 1

description

Transferencia de calor

Transcript of Laboratorio termodinámica

Page 1: Laboratorio termodinámica

Laboratori de termodinamicaTRANSFERENCIA DE CALOR

GRUP C4

Bernat CapdevilaJordi ParısJulio Sanz

Grau en Fısica, UAB

5 de desembre del 2012

1

Page 2: Laboratorio termodinámica

Index

1 Resultats 3

1.1 Regim estacionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Temperatura en funcio de la posicio . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Calcul de θ0 i p. Analisi lineal dels resultats . . . . . . 5

1.1.3 Relacio entre conductivitats de les barres . . . . . . . . 7

1.1.4 Determinacio de les conductivitats de les barres . . . . 8

1.1.5 Comparativa Valors Calculats vs Valors de Referencia . 9

1.1.6 Analisi dels Processos de Conduccio, Conveccio i Ra-diacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Regim permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Conclusions 16

3 Annex 17

3.1 Avaluacio d’incerteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

Page 3: Laboratorio termodinámica

1 Resultats

1.1 Regim estacionari

1.1.1 Temperatura en funcio de la posicio

En tot moment al llarg del informe, quan no se les anomeni pel seumaterial, es fara servir el seguent criteri per anomenar les barres: barra dedalt (barra 1), barra del mig (barra 2) i barra d’abaix (barra 3).

Seguidament es presenten les grafiques de temperatura enfront posicioper a cada barra.

Figura 1: Temperatura en funcio de la posicio barra 1

3

Page 4: Laboratorio termodinámica

Figura 2: Temperatura en funcio de la posicio barra 2

Figura 3: Temperatura en funcio de la posicio barra 3

Les expressions que mes s’ajusten al conjunt de punts experimentals tro-bats, la grafica de les quals s’ha adjuntat a cadascuna de les imatges anteriors,presenten el format

4

Page 5: Laboratorio termodinámica

f(x) = beax + c (1.1)

en que, per cada cas, les constants a, b i c prenen els seguents valors

Barra 1 Barra 2 Barra 3a -2,82 ± 0,06 -3,66 ± 0,06 -6,26 ± 0,08b 115,64 ± 0,83 101,51 ± 0,67 104,77 ± 0,56c 296,87 ± 0,73 297,22 ± 0,46 295,27 ± 0,23

1.1.2 Calcul de θ0 i p. Analisi lineal dels resultats

L’analisi teoric de la situacio indica que la funcio que descriu la tempera-tura en funcio de la posicio (la distancia al extrem calent) ha de ser

θ(x) = θ0e−px (1.2)

De forma que, aplicant logaritmes a ambdues bandes de la igualtat podemlinealitzar la anterior expressio.

ln θ(x) = ln θ0 − px (1.3)

D’aquesta manera, si es representa la grafica de ln θ(x) en funcio de xi es realitza un ajustament lineal del conjunt de punts podem calcular elsvalors de ln θ0 (i, per tant, θ0) i p.

A continuacio, es presentaran les grafiques de ln θ(x) en funcio de x i esprocedira de la forma indicada per a calcular θ0 i p

5

Page 6: Laboratorio termodinámica

Figura 4: ln θ(x) en funcio de x barra 1

Figura 5: ln θ(x) en funcio de x barra 2

Figura 6: ln θ(x) en funcio de x barra 3

6

Page 7: Laboratorio termodinámica

Es presenten els valors de ln θ0, θ0 i p en l’analisi lineal a la taula quesegueix.

Barra 1 Barra 2 Barra 3p (m−1) 2,429 ± 0,042 2,760 ± 0,083 4,147 ± 0,27ln θ0(K) 4,774 ± 0,020 4,594 ± 0,040 4,47 ± 0,11θ0(K) 118,39 ± 2,36 98,88 ± 3,96 87,61 ± 9,83

1.1.3 Relacio entre conductivitats de les barres

Es pot demostrar, resolent la equacio diferencial corresponent, que el coe-ficient p te la seguent expressio

p =

√2λ

Kr(1.4)

Essent λ el coeficient de perdues laterals, K condutivitat termica i r elradi de la barra.

Si es te en compte que les perdues laterals son identiques per a les 3 barres(iguals λ) es poden relacionar els coeficients de conductivitat termica. Enconcret, s’acaba obtenint (expressant K2 i K3 en termes de K1).

K2 =r1p

21

r2p22

·K1 (1.5)

K3 =r1p

21

r3p23

·K1 (1.6)

Com que els radis (r1, r2 i r3) son constants i els coeficients p1, p2 i p3

tambe, llavors es pot escriure

K2 = AK1 (1.7)

7

Page 8: Laboratorio termodinámica

K3 = BK1 (1.8)

De forma que sumants ambdues expressions s’aconsegueix la seguent re-lacio dels coeficients de conductivitat termica de les tres barres

K1 =1

C(K2 +K3) (1.9)

1.1.4 Determinacio de les conductivitats de les barres

En aquest apartat es treballara en base a la conductivitat termica delferro (buscada a una referencia bibliografica) per trobar les conductivitatstermiques del alumini i el llauto. No obstant, primer cal saber quin es el ma-terial de cada barra, per saber-ho s’han buscat els valors de la conductivitattermica del alumini i el ferro.

Coeficient de Conductivitat Termica Fe (W/K ·m) 71Coeficient de Conductivitat Termica Al (W/K ·m) 242

Coneixent els radis de les barres (r1, r2 i r3) i els coeficients p1, p2 i p3, s’hacalculat K2

K1i K3

K1. Per altra banda s’ha calculat KFe

KAl. Llavors per comparacio

d’ambdos resultats s’ha arribat a la seguent conclusio.

Barra 1 AluminiBarra 2 LlautoBarra 3 Ferro

No hi ha possible dubte en la comparacio ja que els quocients K2

K1i K3

K1

son suficientment diferents.

Ara ja es poden calcularKAl iKllauto en base aKFe utilitzant les equacions

8

Page 9: Laboratorio termodinámica

Kllauto =r3p

23

r2p22

·KFe (1.10)

KAl =r3p

23

r1p21

·KFe (1.11)

Coeficient de Conductivitat Termica Llauto (W/K ·m) 159,29 ± 76,66Coeficient de Conductivitat Termica Al (W/K ·m) 207,75 ± 22,71

1.1.5 Comparativa Valors Calculats vs Valors de Referencia

Seguidament es presenta la comparacio dels valors de referencia de con-ductivitat termica del llauto i l’alumini amb els valors obtinguts.

K Ref. (W/K ·m) K Calculada (W/K ·m) Comparativa (% respecte ref.)Llauto 109 159,29 ± 76,66 31,44 %

Alumini 242 207,75 ± 22,71 14,15 %

Observem que, sobre tot en el cas del llauto, les diferencies entre elsresultats calculats i els resultats de referencia son superiors al 5% o 10%.Aquest fet, ha de deure’s a errors experimentals propis i el mes probable esque el proces d’estabilitzacio termica del termometre a cada posicio de labarra hagi estat pertorbada (poc temps), aixı les mesures experimentals detemperatura quedarien desvirtuades. Una altre opcio es que les perdues perconveccio (en principi les de radiacio cal menysprear-les) siguin diferents percada barra, al ser de materials diferents, de forma que les relacions de calculno siguin del tot valides.

9

Page 10: Laboratorio termodinámica

1.1.6 Analisi dels Processos de Conduccio, Conveccio i Radiacio.

(ii) Formes de Transport de Calor

La llei de Stefan-Boltzmann estableix que el flux de calor emesa per uncos ve donada per la expressio

dQ

dt= εσAT 4 (1.12)

Essent ε la emissivitat del cos, σ la constant de Stefan-Boltzmann i A lasuperfıcie del cos.

La conduccio termica d’un material, per altra banda, ve donada per laanomenada llei de Fourier, que estableix

dQ

dt= −KAdT

dx(1.13)

En que A la superfıcie perpendicular al flux de calor i K es la conducti-vitat del material.

L’altre mecanisme de transport de calor que es tractat es la conveccio.Aquest fenomen termic, en una primera aproximacio, ve descrit per la Lleide refredemanet de Newton

dQ

dt= −λS(T − Ta) (1.14)

On S es la l’area de contacte entre la font termica i el sistema (fluidgeneralment) que envolta el cos calent, λ es el coeficient de perdues lateralsi Ta la temperatura ambient.

10

Page 11: Laboratorio termodinámica

(ii) Efecte de la Radiacio

Seguidament es calculara el flux de calor radiat per cadascuna de lesbarres i es comparara amb la calor transmesa per conduccio. En aquestcalcul suposarem que les barres actuen com a cossos negres (ε = 1) i queson objectes geometrics que comencen al primer punt de mesurar (x0 = 0m)i que acaben al ultim punt de mesura (xf = 1, 1m).

El flux de calor emesa per radiacio sera

dQ

dt' σA〈T 〉4 (1.15)

On 〈T 〉 es la temperatura mitjana de la barra. Duent a terme aquestscalculs s’obtenen els seguents resultats.

Flux de Calor Radiacio (W)Llauto 147,53 ± 13,42

Alumini 131,61 ± 11,97Ferro 114,70 ± 10,43

Per altra banda, la calor transmessa per conduccio es pot calcular amb

dQ

dt' −KA∆T

∆x(1.16)

En que ∆T = Tf − T0 i ∆x = xf − x0 i com a conductivitats K s’hanagafat les calculades (excepte la del ferro que servia de base pel calcul deles altres). Fent els calculs indicats s’aconsegueixen els resultats presentatsa continuacio.

Flux de Calor Conduccio (W)Llauto 41,97 ± 20,56

Alumini 57,99 ± 8,25Ferro 19,42 ± 1,77

11

Page 12: Laboratorio termodinámica

El comportament obtingut no es l’esperat. Es clar, s’esperaven valorssubstancialment menors que els corresponents per radiacio pero, no nomesno es aixı sino que el flux de calor per radiacio es major en tots els casos.

L’explicacio mes plausible d’aquests resultats es que la aproximacio queles barres emeten radiacio com ho faria un cos negre es massa forta i, enrealitat, la seva emissivitat ε es llunyana de 1. D’aquesta manera, si ε fosforca mes petita que 1 els resultats podrien encaixar. De fet, els metalls,almenys amb llum visible, presenten un caracter bastant reflector aixı que laseva emissivitat s’intueix que hauria de ser baixa.

(ii) Cas de barres buides

En el cas de tenir barres metaliques practicament buides, es a dir,closques cilındriques la conduccio perdrıa molt pes i el fenomen de trans-missio termica predominant, suposant els efectes de radiacio baixos, fora laconveccio.

Es clar, si tenim closques cilındriques metaliques llavors A→ 0, per tant

dQ

dt= −KAdT

dx→ 0 (1.17)

El flux de calor per conduccio es fa 0. Per altra banda, la superfıciede contacte de les barres amb l’aire S es mante inalterable, de forma quel’interaccio per conveccio tambe.

Obs: Aquests elements serien els ideals per a construir radiadors d’altaeficiencia. Al ser metalics tenen baixa emissivitat i, per tant, poques perduesper radiacio. A causa de ser buits, es pot considerar que no hi ha presencia deconduccio. De forma que, tota la calor que s’hi transfereix s’emet al exteriorper conveccio.

12

Page 13: Laboratorio termodinámica

1.2 Regim permanent

El comportament esperat que segueix la variacio de temperatura θ(x, t) =T (x, t)− Tambient(t) ve donat per l’equacio (1.18) :

θ(x, t) = [θ0e−px] + [A0e

−mxcos(2πt

τ− hx)] (1.18)

Les grafiques 7 i 8 ens mostren que la temperatura en cada posicio oscil·laamb un periode τ = (647, 6± 2, 5)s , donat que l’extrem de la barra s’escalfai es refreda cada τ

2= (383, 2± 1, 2)s. S’observen petites variacions entre els

periodes de les diferents ones, la diferencia s’atribueix a un error en la mesurai per tant es pren la mitjana (veure taula 1).

La temperatura mitjana decau exponencialment, fet que es descriu enel primer terme de l’equacio (1.18), (resultats en les taules 1 i 2) tal i comsucceeix en el regim estacionari. Cal matitzar que la temperatura mitjana vaaugmentant lleugerament a cada punt degut a la variacio de la temperaturadel laboratori durant el recull de dades(veure taula 1 ).

Figura 7: Evolucio de la temperatura per a diferents posicions.Barra gran.

13

Page 14: Laboratorio termodinámica

Figura 8: Evolucio de la temperatura per a diferents posicions.Barra petita.

Tambe es pot observar en el grafic que existeix un desfase entre les onesque es degut al terme h·x del cosinus en l’equacio (1.18). Aquest desfasamentes mostra en les taules (1 i 2), i a partir d’aquestes dades s’ha trobat que:

hg = (2, 02± 0, 09)m−1

hp = (1, 37± 0, 19)m−1

On hg correspon a la barra de diametre 5,1cm i hp a la de 3cm.

Posicio (cm) Amplitud(K) Periode(s) Desfase (rad) T.mitja(K) Augment T.mitja(K)0, 0± 0, 1 3, 47± 0, 01 650, 3± 0, 9 0 89, 00± 0, 01 1, 90± 0, 0110, 0± 0, 1 1, 29± 0, 01 646, 3± 0, 9 0, 196± 0, 001 76, 76± 0, 01 1, 68± 0, 0115, 0± 0, 1 0, 80± 0, 01 643, 9± 0, 9 0, 301± 0, 001 71, 83± 0, 01 1, 68± 0, 01

Taula 1: Dades corresponents a la barra de diametre 5,1cm. S’afegeix en laultima columna l’augment de temperatura des de l’inici fins el final del recullde dades.

14

Page 15: Laboratorio termodinámica

Posicio (cm) Amplitud (K) Periode (s) Desfase(rad) T.mitja(K) Augment T.mitja(K)0, 0± 0, 1 6, 21± 0, 01 649, 5± 0, 9 0 106, 88± 0, 01 2, 70± 0, 0110, 0± 0, 1 2, 48± 0, 01 648, 1± 0, 9 0, 156± 0, 001 85, 93± 0, 01 2, 40± 0, 0120, 0± 0, 1 1, 01± 0, 01 647, 4± 0, 9 0, 273± 0, 001 70, 17± 0, 01 2, 20± 0, 01

Taula 2: Dades corresponents a la barra de diametre 3cm. S’afegeix en laultima columna l’augment de temperatura des de l’inici fins el final del recullde dades.

Un altre dels aspectes que es pot constatar es la dependencia de l’amplitudd’oscil·lacio amb la posicio en la barra que correspon al terme exponencialque regula l’amplitud del cosinus.

Tenint en compte l’equacio:

ajai

= e−m(xj−xi) (1.19)

De les dades de les taules 1 i 2 se n’extreu que l’exponencial decau amb:

mg = (9, 78± 0, 28)m−1

mp = (9, 06± 0, 15)m−1

On mg correspon a la barra de diametre 5,1cm i mp a la de 3cm.

Utilitzant l’equacio (1.20) i a partir d’aquests resultats es poden obtenirels coeficients λg i λp de les perdues per conveccio:

λ =(m2 − h2)Kr

2(1.20)

λg = (2, 83± 0, 02) · 102 W

K ·m2

λp = (1, 45± 0, 01) · 102 W

K ·m2

On K es la conductivitat del material i r el radi de la barra.

15

Page 16: Laboratorio termodinámica

Com es pot comprovar les perdues per conveccio son mes grans per a labarra de major diametre ja que la superfıcie de contacte amb l’aire es major.

2 Conclusions

Pel que fa al regim estacionari s’ha pogut comprovar la disminucio expo-nencial de la temperatura de la barra. Tot i aixı s’ha necessitat reajustarla regressio lineal negligint els punts finals que es desvien del comportamentesperat molt probablement per un error en la mesura.

S’ha pogut concloure a partir de les comparacions de les conductivitatstermiques entre el ferro i els altres materials que el llauto i l’alumini sonmaterials que tenen conductivitats similars als materials treballats.

En el cas del regim permanent s’ha comprovat per una banda el termeque correspon al regim estacionari a partir de les temperatures mitjanes, iper altra banda a partir de l’amplitud d’oscil·lacio s’ha pogut observar eldecaiment de l’amplitud de l’ona. A partir d’aquest i el desfassament entreles diferents barres s’han obtingut uns coeficients de conveccio λ que indiquental i com s’esperava que les perdues son majors per a la barra amb diametre5,1cm.

16

Page 17: Laboratorio termodinámica

3 Annex

3.1 Avaluacio d’incerteses

L’incertesa del periode es considera tenint en compte 10 oscil·lacions. Do-nat que el recull de dades es realitza aproximadament cada 9 segons prenemσt = 9s

στ = σt/10 (3.1)

Degut al ritme de presa de mesures s’han considerat tan sols dues xifresdecimals per al calcul de les temperatures mitjanes i l’amplitud de les ones.

Incertesa de m:

σ2m = (

ln( aiaj

)

(xj − xi)2)2 · σ2

xj+ (

ln(ajai

)

(xj − xi)2)2 · σ2

xi(3.2)

On ai i aj son les amplituds de l’ona termica i els xj, xi son les posicionscorresponents.

Incertesa de h:

σ2h = (

1

∆x)2 · σ2

∆φ + (∆φ

∆x2)2 · σ2

∆x (3.3)

Incertesa de λ:

σ2λ = (mKr)2 · σ2

m + (hKr)2 · σ2h + (

λ

K)2 · σ2

K + (λ

r)2 · σ2

r (3.4)

On r es el radi de la barra i K la conductivitat termica del material.

17