Labeling Schemes The case of Reachability Queries

Labeling SchemesThe case of Reachability Queries

Παναγιώτης Μπούρος

11 Φεβ 2008

Εισαγωγικά (εναρκτήριο λάκτισμα)

• Τι είναι ένα Labeling Scheme (LB);– Σχήμα δεικτοδότησης γράφων

• Ωραία…, και γιατί μου χρειάζεται;– Αποθήκευση και δεικτοδότηση transitive σχέσεων

[Agrawal et al.]• Semantic Web [Christophides et al.] – σχέση subsumption

(ιεραρχία κλάσεων - εννοιών)

– XML path ερωτήματα (ξέρει ο Στέφανος 8-))– Αναγωγή σε ερωτήματα γράφων

• Βρες απόγονους, πρόγονους, παιδιά κλπ.• Reachability ερώτημα reach(S,T) ?

– Υπάρχει μονοπάτι από το S στο T;

Οικογένειες LBs• Bit-vector

– Label κάθε κόμβου ένα bit vector μεγέθους |V| (πλήθος κόμβων), 1 στους πρόγονούς του

• Prefix– Label κάθε κόμβου: το label του πατέρα του (prefix) + δικό του

αναγνωριστικό– Dewey

• Prime numbers based– Γινόμενα πρώτων αριθμών – factorization– [Wu et al. (1)], [Wu et al. (2)]

• Intervals– Label κάθε κόμβου ως ένα διάστημα – [Dietz et al.], [Agrawal et al.], [Trißl et al]

• Hybrid– [Wang et al.]

Οικογένειες LBs• Bit-vector

– Label κάθε κόμβου ένα bit vector μεγέθους |V| (πλήθος κόμβων), 1 στους πρόγονούς του

• Prefix– Label κάθε κόμβου: το label του πατέρα του (prefix) + δικό του

αναγνωριστικό– Dewey

• Prime numbers based– Γινόμενα πρώτων αριθμών – factorization– [Wu et al. (1)], [Wu et al. (2)]

• Intervals– Label κάθε κόμβου ως ένα διάστημα – [Dietz et al.], [Agrawal et al.], [Trißl et al.]

• Hybrid– [Wang et al.]

Ένα πρωτογενές interval LB

• Βασισμένο [Dietz et al.]• Εφαρμογή σε δέντρα• Κατασκευή

– Σε κάθε κόμβο label το interval [pre,post]• pre = preorder number• post = postorder number

• Reachability ερώτημα– reach(S,T) ? NAI, ανν

• pre(T) > pre(S) και• post(T) < post(S)

Παράδειγμα – κατασκευή LB

node interval

A [1,9]

B [3,2]

C [2,8]

D [4,1]

E [5,6]

F [9,7]

G [6,5]

H [7,3]

I [8,4]

A

C

B E F

D G

H I

Παράδειγμα – reachability LB

node interval

A [1,9]

B [3,2]

C [2,8]

D [4,1]

E [5,6]

F [9,7]

G [6,5]

H [7,3]

I [8,4]

• reach(C,G)? ΝΑΙpre(G)=6 > pre(C)=2post(G)=5 < post(C)=8

• reach(F,D)? OXIpre(D)=7 < pre(F)=9

A

C

B E F

D G

H I


node interval

A [1,9]

B [3,2]

C [2,8]

D [4,1]

E [5,6]

F [9,7]

G [6,5]

H [7,3]

I [8,4]

• reach(C,G)? ΝΑΙpre(G)=6 > pre(C)=2post(G)=5 < post(C)=8

• reach(F,D)? OXIpre(D)=4 < pre(F)=9

A

C

B E F

D G

H I

Συζήτηση

• Βελτίωση– Ένας μετρητής για pre και post

• Reachability ερώτημα– reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν

pre(S) < pre(T) < post(S)

• [Trißl et al.]

Interval LB on DAGs• [Agrawal et al.]• Μετάβαση από δέντρο σε DAG

– Αν γράφος δεν είναι DAG• Αντικατάσταση strongly connected components με κόμβους

– Γράφος αποτελείται από μία connected component• Αν όχι, ορισμός εικονικής ρίζας

• Κατασκευή– Υπολογισμός spanning tree– Σε κάθε κόμβο label το interval [index, post]

• post = postorder number• index = ελάχιστο post των απογόνων

– Για κάθε ακμή εκτός spanning tree• Διάδοση intervals (προς τα πάνω) από target κόμβο στο source και στους προγόνους

αυτού• Συμπίεση intervals

• Reachability ερώτημα– reach(S,T) ? NAI, ανν post(T) στο [index(S), post(S)]


node s-tree propagation merging

A [ , ]

B [ , ]

C [ , ]

D [ ,1]

E [ , ]

F [ , ]

G [ , ]

H [ , ]

I [ , ]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge

non-spanning tree edge



A [ , ]

B [ ,2]

C [ , ]

D [ ,1]

E [ , ]

F [ , ]

G [ , ]

H [ , ]

I [ , ]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [ , ]

B [ ,2]

C [ , ]

D [ ,1]

E [ , ]

F [ , ]

G [ , 3]

H [ , ]

I [ , ]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [ ,9]

B [ ,2]

C [ ,8]

D [ ,1]

E [ ,6]

F [ ,7]

G [ ,5]

H [ ,3]

I [ ,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [ ,9]

B [ ,2]

C [ ,8]

D [1,1]

E [ ,6]

F [7,7]

G [ ,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [ ,9]

B [ ,2]

C [ ,8]

D [1,1]

E [ ,6]

F [7,7]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [1,9]

B [1,2]

C [1,8]

D [1,1]

E [3,6]

F [7,7]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge



node intervals propagation merging

A [1,9]

B [1,2]

C [1,8]

D [1,1] [3,3]

E [3,6]

F [7,7]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [1,9] [3,3]

B [1,2] [3,3]

C [1,8]

D [1,1] [3,3]

E [3,6]

F [7,7]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [1,9] [1,9]

B [1,2] [1,3]

C [1,8]

D [1,1] [3,3]

E [3,6]

F [7,7]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [1,9] [3,5] [3,5]

B [1,3] [3,5]

C [1,8] [3,5]

D [1,1] [3,3]

E [3,6]

F [7,7] [3,5]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [1,9] [1,9]

B [1,3] [1,5]

C [1,8] [1,8]

D [1,1] [3,3]

E [3,6]

F [7,7] [3,5]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [1,9] [3,5]

B [1,5]

C [1,8]

D [1,1] [3,3]

E [3,6]

F [7,7] [3,5]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge




A [1,9] [1,9]

B [1,5]

C [1,8]

D [1,1] [3,3]

E [3,6]

F [7,7] [3,5]

G [3,5]

H [3,3]

I [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge



node post intervals

A 9 [1,9]

B 2 [1,5]

C 8 [1,8]

D 1 [1,1] [3,3]

E 6 [3,6]

F 7 [3,5] [7,7]

G 5 [3,5]

H 3 [3,3]

I 4 [4,4]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge



node post intervals

A 9 [1,9]

B 2 [1,5]

C 8 [1,8]

D 1 [1,1] [3,3]

E 6 [3,6]

F 7 [3,5] [7,7]

G 5 [3,5]

H 3 [3,3]

I 4 [4,4]

• reach(C,G)? ΝΑΙpost(G)= 5 στο [1,8]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge



node post intervals

A 9 [1,9]

B 2 [1,5]

C 8 [1,8]

D 1 [1,1] [3,3]

E 6 [3,6]

F 7 [3,5] [7,7]

G 5 [3,5]

H 3 [3,3]

I 4 [4,4]


• reach(F,I)? ΝΑΙpost(I)= 4 στο [3,5]

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge



node post intervals

A 9 [1,9]

B 2 [1,5]

C 8 [1,8]

D 1 [1,1] [3,3]

E 6 [3,6]

F 7 [3,5] [7,7]

G 5 [3,5]

H 3 [3,3]

I 4 [4,4]


• reach(F,I)? ΝΑΙpost(I)= 4 στο [3,5]

• reach(F,D)? OXIpost(F)= 7 όχι σε

κάποιο από τα {[1,1], [3,3]}

A

C

B E F

D G

H I

spanning tree edge


Συζήτηση

• Μέγεθος LB εξαρτάται από spanning tree• Αλγόριθμος κατασκευής optimal spanning tree

– Κάθε interval προσθέτει 1 μονάδα κόστους σε κόμβο– Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστος για όλους

τους κόμβους

• Ενημερώσεις– postorder αριθμοί όχι συνεχόμενοι– Εισαγωγή spanning tree ή non spanning tree ακμής– Διαγραφή spanning tree ή non spanning tree ακμής

Dual Labeling• [Agrawal et al.]

– Δουλεύει καλά για δέντρα– Αλλά non-tree edges οδηγούν σε μεγάλα labels, δηλ. πολλά intervals

• Επιπλέον καθυστέρηση

• [Wang et al.]• Κατασκευή

– Υπολογισμός spanning tree– Σε κάθε κόμβο label το interval [start, end)

• start = preorder number• end = αν φύλλο το επόμενο preorder, διαφορετικά το μέγιστο end των απογόνων

– Για ακμές εκτός spanning tree• Transitive closure

• Reachability ερώτημα– reach(S,T) ? NAI ανν

• start(T) στο [start(S), end(S)) ή• υπάρχει ακολουθία non-tree ακμών που να «ενώνει» το S με το T

Παράδειγμα – κατασκευή LBnode s-tree

A [0, )

B [ , )

C [ , )

D [ , )

E [ , )

F [ , )

G [ , )

H [ , )

I [ , )

J [ , )

K [ , )

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


A [0, )

B [1, )

C [ , )

D [2, )

E [ , )

F [ , )

G [3, )

H [ , )

I [ , )

J [ , )

K [ , )

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


A [0, )

B [1, )

C [ , )

D [2, )

E [ , )

F [ , )

G [3,4)

H [ , )

I [ , )

J [ , )

K [ , )

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


A [0, )

B [1, )

C [ , )

D [2, )

E [ , )

F [ , )

G [3,4)

H [4,5)

I [ , )

J [ , )

K [ , )

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


A [0, )

B [1,5)

C [ , )

D [2,5)

E [ , )

F [ , )

G [3,4)

H [4,5)

I [ , )

J [ , )

K [ , )

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


A [0, )

B [1,5)

C [5, )

D [2,5)

E [ , )

F [ , )

G [3,4)

H [4,5)

I [ , )

J [ , )

K [ , )

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


A [0, )

B [1,5)

C [5, )

D [2,5)

E [6,)

F [ , )

G [3,4)

H [4,5)

I [7,8)

J [ , )

K [ , )

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


A [0,11)

B [1,5)

C [5,11)

D [2,5)

E [6,9)

F [9,11)

G [3,4)

H [4,5)

I [7,8)

J [8,9)

K [10,11)

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K


• Non-tree edges– I->B– F->E

• Link table

start -> label– 9 -> [6,9)– 7 -> [1,5)

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K

[0,11)

[1,5) [5,11)

[2,5)

[3,4)

[4,5) [7,8)

[6,9)

[8,9)

[9,11)

[10,11)


• Non-tree edges– I->B– F->E

• Transitive link table (TLT)– 9 -> [6,9)– 7 -> [1,5)– 7 στο [6,9)

9 -> [1,5)

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K

[0,11)

[1,5) [5,11)

[2,5)

[3,4)

[4,5) [7,8)

[6,9)

[8,9)

[9,11)

[10,11)

Δεικτοδότηση TLT (1)

• Κάθε link i -> [j,k) αντιστοιχεί στο κάθετο ευθύ/μο τμήμαx = i και j <= y < k– O

• reach(F,G) ? – F [9,11)– G [3,4)– Αντιστοιχεί στο ορθογώνιο

από σημείο (9,3) μέχρι το (11,4)

– YES iff υπάρχει ευθύ/μο τμήμα που κόβει (stabs) το query ορθογώνιο

3 6 970

3

6

9

5

1


• Κάθε link i -> [j,k) αντιστοιχεί στο κάθετο ευθύ/μο τμήμαx = i και j <= y < k– 9 -> [6,9)



– YES iff υπάρχει ευθύ/μο τμήμα που κόβει (stabs) το query ορθογώνιο

3 6 970

3

6

9

5

1

9 -> [6,9)


• Κάθε link i -> [j,k) αντιστοιχεί στο κάθετο ευθύ/μο τμήμαx = i και j <= y < k– 9 -> [6,9)



– NAI ανν υπάρχει κάθετο ευθύ/μο τμήμα που κόβει το query ορθογώνιο (stabbing query)

3 6 970

3

6

9

5

1

3 6 970

3

6

9

5

11

1

4


• Συνάρτησης N(i,j) (TLC)– Aριθμός των ευθύ/μων

τμημάτων που κόβουν το x >= i και y = j

• reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) – Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) –

Ν(k,j) > 0 ?– Δηλ αν υπάρχει κάθετο

ευθύ/μο τμήμα που κόβει την κάτω πλευρά του query ορθογωνίου

• Αδύνατον αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

3 6 970

3

6

9

5

11




• reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) – Αντιστοιχεί στο Ν(i,,j) –

Ν(k,j) > 0 ?– Δηλ αν υπάρχει κάθετο



3 6 970

3

6

9

5

11

N(9,3)




• reach(S,T) ? Στο TLT, με S[i,j) και T[k,l) – Αντιστοιχεί στο

Ν(i,,j) – Ν(k,j) > 0 ?– Δηλ αν υπάρχει κάθετο



3 6 970

3

6

9

5

11








3 6 970

3

6

9

5

11

N(9,3)








3 6 970

3

6

9

5

11

N(9,3)

N(11,3)








3 6 970

3

6

9

5

11

N(9,3) - N(11,3)







• Αδύνατη η αποθήκευση όλων των πιθανών N(X,Y)

3 6 970

3

6

9

5

11

N(9,3) - N(11,3)

Υπολογισμός TLC

3 6 970

3

6

9

5

1

• Λύση– Τεμαχισμός σε

ορθογώνια– Τιμή σταθερή εντός

ορθογωνίου– Αποθήκευση των

τιμών μόνο για την κάτω δεξιά κορυφή

– Αναγωγή κάθε σημείου στο αντίστοιχο αποθηκευμένο







3 6 970

3

6

9

5

1







3 6 970

3

6

9

5

1

(x,y)


3 6 970

3

6

9

5

1

(x,y)

• TLC matrix– Οι τιμές N(x,y) για τα

αποθηκευμένα σημεία

1 1

2 1

x

y

3 6 970

3

6

9

5

1

(x,y)


• TLC matrix– Οι τιμές N(x,y) για τα

αποθηκευμένα σημεία

1 1

2 1

x

y

Παράδειγμα – κατασκευή LB• Labeling non-tree edges

(x,y,z)– x αντιστοίχηση με το

«κοντινότερο» αποθηκευμένο σημείο στη TLC matrix βάση το start του αντίστοιχου i -> [j,k) link

– y αντιστοίχηση με το «κοντινότερο» αποθηκευμένο σημείο στη TLC matrix βάση το end του αντίστοιχου i -> [j,k) link

– z αντιστοίχηση του κοντινότερου πρόγονου με non-tree εισερχόμενη ακμή

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K

[0,11)

[1,5) [5,11)

[2,5)

[3,4)

[4,5) [7,8)

[6,9)

[8,9)

[9,11)

[10,11)

(0,-,-)

(0,-,-)

(1,-,-)

(-,-,-)

(0,1,1)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0) (0,1,1)

(1,1,1)


• reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν– start(T) στο [start(S),end(S)) ή

– N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0

• reach(C,I) ? YES– start(I) = 7 στο [5,11)

• reach(F,G) ? YES– start(G) = 3 όχι στο [9,11)– N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0

• reach(F,A) ?– start(A) = 0 όχι στο [9,11)– N(1,-) – N(-,0) = 0 – 0 = 0

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K

[0,11)

[1,5) [5,11)

[2,5)

[3,4)

[4,5) [7,8)

[6,9)

[8,9)

[9,11)

[10,11)

(0,-,-)

(0,-,-)

(1,-,-)

(-,-,-)

(0,1,1)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0) (0,1,1)

(1,1,1)



– N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0

• reach(C,I) ? NAI– start(I) = 7 στο [5,11)

• reach(F,G) ? YES– start(G) = 3 όχι στο [9,11)– N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0


A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K

[0,11)

[1,5) [5,11)

[2,5)

[3,4)

[4,5) [7,8)

[6,9)

[8,9)

[9,11)

[10,11)

(0,-,-)

(0,-,-)

(1,-,-)

(-,-,-)

(0,1,1)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0) (0,1,1)

(1,1,1)



– N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0


• reach(F,G) ? NAI– start(G) = 3 όχι στο [9,11)– N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0


A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K

[0,11)

[1,5) [5,11)

[2,5)

[3,4)

[4,5) [7,8)

[6,9)

[8,9)

[9,11)

[10,11)

(0,-,-)

(0,-,-)

(1,-,-)

(-,-,-)

(0,1,1)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0) (0,1,1)

(1,1,1)



– N(x(S),z(T))-N(x(T),z(T)) > 0


• reach(F,G) ? NAI– start(G) = 3 όχι στο [9,11)– N(1,0) – N(-,0) = 1 – 0 > 0

• reach(F,A) ? OXI– start(A) = 0 όχι στο [9,11)– N(1,-) – N(-,-) = 0 – 0 = 0

A

B C

D

spanning tree edge


G H

E F

I J K

[0,11)

[1,5) [5,11)

[2,5)

[3,4)

[4,5) [7,8)

[6,9)

[8,9)

[9,11)

[10,11)

(0,-,-)

(0,-,-)

(1,-,-)

(-,-,-)

(0,1,1)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0)

(0,0,0) (0,1,1)

(1,1,1)

Συζήτηση

• Ελαχιστοποίηση non-tree edges– Κατασκευή minimal equivalent γράφου

– Αφαίρεση μέγιστου δυνατού αριθμού ακμών χωρίς να επηρεάζεται το reachability του γράφου

– Κατασκευή spanning tree

Graph Indexing based on Pre- and Postorder numbering (GRIPP)

• [Wang et al.]– Δουλεύει καλά για αραιούς γράφους

• |Non-tree edges| << |V|– Διότι προϋπολογίζει TC των non-tree edges

• [Trißl et al.]• Κατασκευή

– Σε κάθε κόμβο label το interval [pre, post]• pre = preorder number• post = postrder number• Ένας μετρητής• Μοιάζει με XML: pre όταν ανοίγει element, post όταν κλείνει

– Πρώτη επίσκεψη σε κόμβο -> tree instance type, αλλιώς non-tree• Reachability ερώτημα

– reach(S,T) ? NAI ανν• pre(T) στο (pre(S), post(S))• Διαφορετικά αναδρομικά στους απογόνους του


node pre post instance type

r 0 tree

A

B

E

F

C

D

G

B

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 tree

E 3 tree

F

C

D

G

B

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 tree

E 3 4 tree

F

C

D

G

B

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 tree

E 3 4 tree

F 5 6 tree

C

D

G

B

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 7 tree

E 3 4 tree

F 5 6 tree

C

D

G

B

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 7 tree

E 3 4 tree

F 5 6 tree

C 8 9 tree

D 10 tree

G 11 tree

B

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 7 tree

E 3 4 tree

F 5 6 tree

C 8 9 tree

D 10 tree

G 11 tree

B 12 non-tree

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 7 tree

E 3 4 tree

F 5 6 tree

C 8 9 tree

D 10 tree

G 11 tree

B 12 13 non-tree

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 tree

A 1 tree

B 2 7 tree

E 3 4 tree

F 5 6 tree

C 8 9 tree

D 10 tree

G 11 14 tree

B 12 13 non-tree

H

A

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E



r 0 21 tree

A 1 20 tree

B 2 7 tree

E 3 4 tree

F 5 6 tree

C 8 9 tree

D 10 19 tree

G 11 14 tree

B 12 13 non- tree

H 15 18 tree

A 16 17 non- tree

A

C

G H

B

F

tree edge

non-tree edge

r

D

E

Plotting GRIPP – Order Tree O(G)

• Κάθε tree instance αντιστοιχεί σε ένα μαύρο σημείο

• Κάθε non-tree instance αντιστοιχεί σε κίτρινο κόμβο (πάντα φύλλο)

5 10 15 20

20

15

10

5

rA

B

E

F

C

D

G

F

B

A

Tree instance

Non-tree instance

Order Tree – Reachable Instance Set

• Reachable Instance Set (RIS)– Για κάθε tree instance

T το σύνολο των instances X που συνδέονται με αυτό

– Δηλ. έχουν pre(T) <= pre(X) <= post(T)

• RIS(D) = {D,G,F,B,A}

5 10 15 20

20

15

10

5

rA

B

E

F

C

D

G

F

B

A

Tree instance

Non-tree instance

Order Tree – Reachable Instance Set

• Reachable Instance Set (RIS)– Για κάθε tree instance

T το σύνολο των instances X που συνδέονται με αυτό

– Δηλ. έχουν pre(T) <= pre(X) <= post(T)

• RIS(D) = {G,F,B,A}

5 10 15 20

20

15

10

5

rA

B

E

F

C

D

G

F

B

A

Tree instance

Non-tree instance

Order Tree – reachability

• reach(S,T) ? ΝΑΙ ανν– T στο RIS(S) ή– Αναδρομικά για κάθε non-tree instance h του

RIS(S) αν T στο RIS(h)

• Το h ονομάζεται hop node• Hops ελέγχονται με βάση το preorder τους

(depth-first traversal του O(G))• RIS ενός hop node είναι το RIS του

αντίστοιχου tree instance

Παράδειγμα – reachability LB (1)

• reach(D,E) ?

A

C D

G H

B

E F

tree edge

non-tree edge

r


• reach(D,E) ?– RIS(D) = {F,G,A,B}

• E δεν περιέχεται• pre(A) = 15• pre(B) = 12

– RIS(B) = RIS(B) = {F,E}

– ΝΑΙ

5 10 15 20

20

15

10

5

rA

B

E

F

C

D

G

F

B

A

Tree instance

Non-tree instance


• reach(D,E) ?– RIS(D) = {F,G,A,B}

• E δεν περιέχεται• pre(A) = 15• pre(B) = 12

– RIS(B) = RIS(B) = {F,E}

• E περιέχεται άρα ΝΑΙ

5 10 15 20

20

15

10

5

rA

B

E

F

C

D

G

F

B

A

Tree instance

Non-tree instance

Στρατηγικές pruning (1)

• Λογική– Έστω πρώτα χρησιμοποιούμε

RIS(A) = {B,C,D,E,F,G,H,B,A}– Ανούσιο να χρησιμοποιήσουμε hop node A

• Διατηρούμε λίστα U με κόμβους που βρήκαμε το RIS τους

• Για κάθε hop node h 4 περιπτώσεις αν θα χρησιμοποιήσουμε όλο, μέρος ή καθόλου το RIS(h)

Στρατηγικές pruning (2)

1. Έχουμε ήδη λάβει υπόψη το RIS(h)

2. RIS(h) περιέχεται στο RIS(X) οπότε δεν το χρειαζόμαστε

3. RIS(X) περιέχεται στο RIS(h) οπότε χρειάζεται να λάβουμε υπόψη μας το υπόλοιπο τμήμα του RIS(h)

4. Δε γίνεται κανένα pruning και πρέπει να λάβουμε υπόψη μας όλο το RIS(h)

h = X X

h

h

X

Xh

Stop στρατηγική

• Stop node P– Όλα τα non-tree

instances στο RIS(P) έχουν tree instances επίσης στο RIS(P)

• Σταματά την αναδρομή εξέταση

• Προϋπολογισμός λίστας stop nodes

• Stop nodes = {r,A,B,E,F,C}5 10 15 20

20

15

10

5

rA

B

E

F

C

D

G

F

B

A

Tree instance

Non-tree instance

Συζήτηση

• Σειρά διάσχισης του γράφου– Δεν επηρεάζει το μέγεθος του LB– Επηρεάζει την απόδοση του

• Εύρεση καλής σειρά διάσχισης– Εντός strongly connected components– Μεταξύ strongly connected components

Αναφορές• Dietz et al. Two algorithms for maintaining order in a list, STOC’87• Christophides et al. On Labeling Schemes for the Semantic Web,

WWW’03• Agrawal et al. Efficient Management of Transitive Closure

Relationships in Large Data and Knowledge Bases, VLDB’89• Trißl et al. Fast and Practial Indexing and Querying of Very Large

Graphs, SIGMOD’07• Wang et al. Dual Labeling, Answering Graph Reachability Queries

in Constant Time, ICDE’06• Wu et al (1)., A Prime Number Labeling Scheme for Dynamic

Ordered XML Trees, ICDE’04• Wu et al (2). (άλλος Wu αυτός!!!), Adapting Prime Number Labeling

Scheme for Directed Acyclic Graphs, DASFAA’06

Labeling Schemes The case of Reachability Queries

Documents

Transcript of Labeling Schemes The case of Reachability Queries