La Variedad abeliana de Kuga- Satake en el caso p-ádico

Jesús Rogelio Pérez Buendía Seminario de Geometría Algebraica

CIMAT

Introducción

→

K3-Surface Abelian Varietie

PH²(X, ℤ) → H¹(A,ℤ) ⊗ H¹(A,ℤ).

Superficies K3 Complejas

Definición:Una superficie K3 sorbe un campo K es una superficie propia y suave tal que su

gavilla canónica ωX ≃ ΘX

es trivial y tal que :

H1(X, ΘX)=0.

¿Y qué con las K3?

Variedades de Calabi-Yau de dimensión 2

Variedades de CY de dimensión 1 son Curvas Eleípticas.

Superficies K3 juegan un papel importante en la clasificación de superficies:

Enriques-Castelnuovo

- Dimensión de Kodaira - ∞

- Superficies racionales

- Superficies regladas

Enriques-Castelnuovo

Dimensión de Kodaira 0 - Superficies abelianas

- Superficies K3

-Superficies bielípticas

Enriques-Castelnuovo

Dimensión de Kodaira 1 Superficies elípticas propias

Enriques-Castelnuovo

Dimensión de Kodaira 2 Superficies de tipo general.

Ejemplos

S es una curva de grado 6 en ℙ2,

Un cubriente doble: π: X →ℙ2

X es una superficie K3.

Ejemplos

Cuárticas en ℙ3.

Intersección completa de una cuádrica y una cúbica en ℙ4.

Intersección completa de tres cuádricas en ℙ5.

Superficies de Kummer

A una variedad abeliana.

[2]: A →A; σ: A → A, x ⟼ -x la involución

A’

A

A’ / 〈σ’〉 := Kum(A)

Cohomología de superficies K3 complejas

Los grupos de cohomología singular son libres con números de Betti: 1, 0 , 22, 0, 1

X es una superficie de Kähler:

H2(X,C) 'M

p+q=2

Hq(⌦pX)

Definición:

Sea Λ0 el “retículo K3” definido como (Λ0, φ0) = U3 ⊕ (-E8)2

con U el retículo hiperbólico

y E8 el “retículo raíz asociado a el diagrama:

Proposición: Si X es una superficie K3 compleja, se tiene un isomorfismo de retículos (espacios cuadráticos): (H2(X, ℤ), ∪) ≃ (Λ0 , φ0).

Supongamos ahora que tenemos en X una polarización, ℒ, ℒ ∪ ℒ = 2d para alguna d > 0 y que no tiene raíces en el grupo de Picard.

Consideremos el espacio ortogonal PH2(X, ℤ) a la clase de ℒ con respecto al producto cup.

La restricción de la forma a PH2(X, ℤ) induce también un pareo.

Si e1, f1 son una base estándar para la primera copia de U en el retículo K3, entonces tenemos un sobretítulo (Λd, φd) = 〈e1-df1〉⊕ U2 ⊕ (-E8) .

Proposición: Se tiene un isomorfismo de espacios cuadráticos: (PH2(X, ℤ), ∪) ≃ (Λd, φd)

Estructuras de Hodge y el teorema de Riemann.

A-Estructuras de Hodge de peso n.

A⊂ℝ un subanillo

V un A-mod de tipo finito.

Vℂ= ⊕ Vp,q con p+q=n, tal que Vp,q es conjugado de Vq,p.

Estructuras de Hodge como representaciones de 𝒮

Teorema: A-Estructuras de Hodge de peso n en V es equivalente a dar una representación homogénea de peso n del toro de Deligne: h: 𝒮 →GL(Vℝ).

Definición:

Una polarización de una estructura de Hodge de peso n es un morfismo de estructuras de hodge : ρ: H ⊗ H → ℤ(-n) tal que en Hℝ , la forma bilineal (2πi)nρ(x, h(i)y) es simétrica y positiva definida.

Teorema de RiemannVariedades Abelianas

polarizadas

Estructuras de Hodge polarizadas

de peso 1 y tipo (1,0), (0,1)

Toros complejosEstructuras de Hodge enteras

de peso 1

A H1(A, ℤ)

La variedad de Kuga-Satake

Se busca asociarle a una superficie K3 una estructura de Hodge de peso 1, que esté relacionada con la estructura de Hodge de peso 2 de la superficie K3

Algebras de Clifford

Sea V un A-módulo y Q una forma cuadrática en V

C(V):= T(V) / (x ⊗ x - Q(v))

C(V) = C+(V) ⊕ C-(V)

La parte “par”

El grupo de Clifford

CSpin(V)={x ∈C+(V)* | xVx-1⊂ V}.

CSpin(V)→GL(V)

La representación spin: C+(V)spestá dada por multiplicación por la izquierda, es decir: CSpin(V) × C+(V) → C+(V); x ▪︎sp v = x ∙v.

La representación adjunta: C+(V)ad está dada por la conjugación, es decir: CSpin(V) × C+(V) → C+(V); x ▪︎ad v = x ∙v∙x-1.

Representaciones en C+(V)

Teorema

Hay un isomorfismo de ℚ-álgebras y representaciones:

C+(V)ad = EndC (C+(V)sp) en donde C = C+(V)op.

Teorema

Sea V = H2(X, ℤ) (o PH2(X, ℤ)) con su estructura de Hodge polarizada. Se puede dotar a C+(V) con dos estructuras de Hodge:

(C+(V), hsp) que es una estructura de Hodge de peso 0.

C+(V), had) que es una estructura de Hodge de peso 1.

Observaciones:Kuga-Satake en Familias. La construcción anterior se puede realizar en el caso relativo usando variaciones de estructuras de Hodge.

Kuga-Satake en para superficies K3 definidas sobre sucampos de ℂ.: Se demuestra que la variedad de KS asociada a una superficie K3 sobre un subcampo K del os complejos, puede ser definida sobre una extensión finita de K.

Rizov (2005) demuestra que de hecho existe un mapeo entre los espacios móduli (que son espacios algebraicos): KS: P ➞ 𝓐 de superficies K3 al de variedades abelianas (con ciertos requerimientos).

Si X está definida sobre un campo finito, entonces X se puede levantar a una superficie K3 sobre un campo de característica cero (campo local) a la que se le puede asociar su variedad de Kuga-Satake con la propiedad de que esta tiene potencialmente buena reducción lo que nos permite asociarle a X una variedad abeliana sobre un campo finito. A

¿Para una superficies K3 sobre un campo p-ádico se podrá dar una descripción de la variedad de Kuga-Satake en términos

de la teoría p-ádica de Hodge?