La ricerca delle onde gravitazionali F. Garufi. 28/05/2009Fabio Garufi2 Un po di teoria Dobbiamo...
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La ricerca delle onde gravitazionali
F. Garufi
28/05/2009 Fabio Garufi 2
Un po’ di teoria 1con hhg
Dobbiamo scrivere le equazioni di Einstein in questa metrica perturbata.
RgR
c
G
2
1
84
G
TG
28/05/2009 Fabio Garufi 3
Un po’ di teoria
hh'
xx'
hghh 2
1
La condizione che le h siano piccole lascia la libertà di cambiare il sistema di riferimento xμ con piccole trasformazioni:
Con le ξμ piccole. Dunque, si può mostrare che:
Quest’arbitrarietà, sul tensore metrico, ci permette di scegliere un tensore:
Con il quale il tensore di Ricci assume la forma particolarmente semplice:
0 h Gauge Armonica
Purché le ξμ soddisfino anch’esse l’equazione delle onde.
Dunque le Equazioni di Einstein saranno:Che nel vuoto è l’equazione delle onde
28/05/2009 Fabio Garufi 4
La scelta arbitraria dei 4 parametri costanti Cμ, ci consente di porre altre 4 condizioni su Arimanendo con due gradi di libertà. Scegliamo che sia a traccia nulla e che
Quanti gradi di libertà?Consideriamo le soluzioni in onda piana:
xikeAh
Il tensore A è un tensore simmetrico indipendente dal tempo=> 10 componenti indipendenti. Sostituendo questo h nell’equazione delle onde, otteniamo: 0
kk
Che ci dice che il vettore d’onda è di tipo luce (o come si usa dire è nullo)
Applicando la condizione di gauge armonica: 00
Akh
Che sono 4 condizioni => 6 gradi di libertà
Abbiamo ancora da imporre la condizione che le trasformazioni di coordinate lasciano invariata la condizione armonica se le ξμ
soddisfano l’equazione delle onde:Che implica
xikeC
Questa prende il nome di gauge Traceless Tranverse (TT)0
UA
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Polarizzazione delle GWConsideriamo l’effetto delle GW ortogonali al piano xy su particelle libere decritte da un singolo campo di velocità U=dx/d e da un vettore di separazione l’eq.ne geodetica è:
Sia, inizialmente U=(1,0,0,0) e =(0,,0,0), allora l’eq.ne geodetica si riduce a:
Che nella gauge TT porta alle Eq.ni:
Dunque, sono diverse da 0 solo le componenti xx, xy, yy e le eq.ni del moto di due particelle separate di lungo l’asse x:
Analogamente, se =(0,0,,0),
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Polarizzazione delle GW
hxx≠0
hxy=0
hxy≠0
h+hX
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''
21
4 3/4
xdxx
TT
ch crt
ijij
ij
Generazione delle GW
TTc
Gh ijijij 2
1164
hik = 0 Nel vuoto
28/05/2009 Fabio Garufi 8
Generazione delle GW
''
21
4 3/4
xdxx
TT
ch crt
ijij
ij
Effetto di multipolo (rsource/)
xdxxd
3)( 0d
Conservazione dell’impulso
xdxvxx 3)()( 0 Conservazione del
momento angolare
Primo termine non nulloxdxrxxq jk
)(
3
1 2
TTjkjk crtq
c
G
rh )/(
24
2
5)/(
5
1 jk
jk crtqc
GL
8.27 10-45
28/05/2009 Fabio Garufi 9
6425
LMc
GL
Oggetto astrofisico compatto
G
rc
G
rcM
c
GMr SS
S
22
2 2
2
)/(/ rcrvrv
625
6
664
2
24
5642
5
r
r
G
c
r
cr
G
rc
c
GLM
c
GL ss
Luminosità 1043 W 1017 volte il sole
3 10-2 3 10-2 Stella di neutroni pre-coalesente
Ordini di grandezza2
5)/(
5
1 jk
jk crtIc
GL
28/05/2009 Fabio Garufi 10
Costanti di accoppiamento
• Collassi di supernova: i subiscono 103 interazioni prima di lasciare la stella, le GW, invece, emergono dal nucleo indisturbate
• disaccoppiamento delle GW dopo il Big Bang – GW 10-43 s (T 1019 GeV)– 1 s (T 1 MeV)– γ 1012 s (T 0.2 eV)
strong e.m. weakgravit
y0.1 1/137 10-5 10-39
Trasporto ideale di informazione, Universo trasparente alle GW fino al Big Bang!!
Emissione di GW : eventi molto energetici ma quasi nessuna interazione
28/05/2009 Fabio Garufi 11
Sorgenti astrofisiche di GW• Abbiamo visto che la produzione di GW è
caratterizzata dall’essere poco efficiente: solo sorgenti astrofisiche hanno sufficiente energia da produrne di rivelabili.
• In base all’andamento nel tempo della radiazione emessa possiamo classificare le sorgenti in tre tipi:
1. Sorgenti impulsive
2. Sorgenti quasi periodiche
3. Sorgenti periodiche
28/05/2009 Fabio Garufi 12
Sorgenti impulsive
• Si tratta essenzialmente di esplosioni (implosioni) di supernova.
• Implosioni sfericamente simmetriche non producono GW, dobbiamo considerare stelle in rotazione.– Rotazione uniforme:
l’energia emessa è ~(J/M2)4 => efficiente ad alto J.
– Rotazione differenziale: per es. dovuta al collasso del nucleo di una binaria coalescente
h~10-23 - 10-24 in in range di frequenze di 100Hz – 1kHz per distanze dell’ordine di 20 Mpc (virgo cluster)
Eventi ~1/secolo/galassia.
28/05/2009 Fabio Garufi 13
Supernovae Type I e type II
Many profiles hypothyzed (ms long pulses)
1921 1010 h (Galactic center)
2224 1010 h (VIRGO Cluster)
A few events per century
Several events per month
GW energy depends on sphericity breaking during collapse
E/Mc2 da 10-7 a 10-3
Supernovae
White Dwarf explosionbecause of companion capture
Supermassive Star
28/05/2009 Fabio Garufi 14
Segnale tipico delle Supernovae
28/05/2009 Fabio Garufi 15
Sorgenti quasi periodiche• Essenzialmente stelle binarie
coalescenti: le sorgenti più studiate in assoluto. La prima prova (indiretta) di emissione di GW è una sorgente di questo tipo: PSR1913-16
• Due stelle in rotazione reciproca perdono energia per emissione di GW, il periodo diminuisce e anche la distanza. L’ampiezza e la frequenza delle GW emesse aumenta con il tempo.
• Nella fase finale le due stelle si fondono (merger) o, meglio, una delle due cade, spiraleggiando sull’altra (plunge).
• Il segnale gravitazionale ha la forma di una sinusoide che aumenta di frequenza e di ampiezza verso il tempo di coalescenza e prende il nome di “chirp”
J. Taylor R.Hulse
Hulse & Taylor Nobel 1993
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Evoluzione delle binarie coalescenti
28/05/2009 Fabio Garufi 17
• Galactic rate– CB rate in the Galaxy inferred from known systems, expected to reach coalescence in a
time less than the age of the Universe– Only 3 such systems known today (including PSR 1913+16)– Estimate dominated by most recently discovered system (PSR J0737+3039)– Estimate depends on the modeled Galactic distribution of neutron stars – For preferred model
• Detected rate– Rate of detected events depends on number of galaxies probed by the detector– Related to detector horizon distance (distance at which an optimally located and oriented
source would produce a SNR of 8)– For initial detectors (Dhorizon~ 30 Mpc)
N ~ 2 10-3 – 3 10-2yr-1, most probable N ~ 1 / (100 yr)– For advanced detectors (assuming 15 times improved horizon distance)– most probable N ~ 40 / yr
Stelle di neutroni binarie
Milky Way Equivalent Galaxies
28/05/2009 Fabio Garufi 18
Coalescenze BH-NS e BH-BH
• Per ora non si conoscono sistemi che coinvolgono buchi neri (BH)– Per predire la rate ci si basa su quanto si sa
dell’evoluzione stellare– La frequenza di questi eventi è inferiore a quella NS-
NS– Sistemi coinvolgenti un BH si vedono a maggiore
distanza => La frequenza totale è maggiore?• Rivelatori attuali:
NBHBH~ 5.5 10-3 yr-1
NNSBH~ 8.0 10-4 yr-1
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EMRI
• Extreme Mass Ratio Inspirals– Sono oggetti compatti (WD, NS, o BH) che
spiraleggiano attorno ad un buco nero supemassiccio
– La banda di frequenza di queste sorgenti è nella regione dei mHz
– La massa degli oggetti orbitanti è trascurabile => ottimi per studiare il BH “imperturbato”
28/05/2009 Fabio Garufi 20
SgrA* il SMBH al centro della nostra galassia e orbite delle stelle
28/05/2009 Fabio Garufi 21
• Stelle di neutroni rotanti• C’è emissione di GW solo se c’è un’asimmetria
intorno all’asse di rotazione• Le ampiezze stimate sono dell’ordine di:
Sorgenti periodiche: le pulsar
• Si stima ci siano 109 NS nella galassia, ma non è chiaro quante possano avere f ed rilevanti
• Con gli attuali rivelatori la Pulsar della Vela è nel range di frequenza osservabile (VIRGO).
• Possibilità di integrare a lungo il segnale in modo da aumentare il rapporto segnale-rumore
Per R=10Rs
28/05/2009 Fabio Garufi 22
Importance of a low frequency sensitivity (Hz – tens of Hz region)
Pulsar Rotational Pulsar Rotational Period DistributionPeriod Distribution
AUSTRALIA TELESCOPE NATIONAL FACILITY PULSAR CATALOGUE
28/05/2009 Fabio Garufi 23
Il fondo stocastico• Extragalattico: dovuto alla sovrapposizione di segnali
provenienti da molte sorgenti a varie frequenze, polarizzazioni e posizioni nel cielo. E’ descritto, in genere, in termini di uno spettro delle GW
• Cosmologico: proveniente dalle prime fasi del big bang e poi “stirato” dall’espansione
•Amplificazione di fluttuazioni quantistiche durante l’inflazione•Transizioni di fase e stringhe cosmiche
In cui c è la densità critica dell’universo e GW la densità di GW
28/05/2009 Fabio Garufi 24
Rivelazione delle GWDue corpi inizialmente in quiete: uno nell’origine, l’altro in (,0,0)
28/05/2009 Fabio Garufi 25
Dunque, se diciamo L la lunghezza iniziale di un rivelatore, un onda “+” polarizzata lungo la dimensione considerata lo allungherà di L=1/2 hxxL
L’allungamento è dell’ordine di 10-21 m (supernova) per un rivelatore di un metro => grandi lunghezze o amplificazione della deformazione.
Storicamente la seconda soluzione fu tentata per prima.
Una deformazione variabile periodicamente su una massa risonante (barra) viene amplificata alla frequenza di risonanza.
WARNING: siccome osserviamo solo le variazioni di lunghezza le barre sono sensibili solo ai modi dispari di risonanza.
28/05/2009 Fabio Garufi 26
L’antenna a Barra (Weber 1960)
28/05/2009 Fabio Garufi 27
m = M/2m
l l = 4L /
kjk
j xhmF 2
1
TT
Bar Detectors
28/05/2009 Fabio Garufi 28
m = M/2m
l l = 4L /
)(2
1)()(2)( 2
0 thtxtxtx
102 Q
Bar Detectors
28/05/2009 Fabio Garufi 29
)(2
1)()(2)( 2
0 thtxtxtx
di
ehltx
ti
)2(
)(
22
1)(
20
2
2
Fourier Transform of the Signal
Pulse Response h(t) = h0t
tehl
tx t000 sin
2)(
Monocromatic h(t) = h0
cost
tQhl
tx 00 sin2
)(
Bar Detectors
28/05/2009 Fabio Garufi 30
)(2
1)()(2)( 2
0 thtxtxtx
di
ehltx
ti
)2(
)(
22
1)(
20
2
2
Fourier Transform of the Signal
totnn FdFdFE )()()()()(
Bar Detectors
)2(cossin
)(
cos)( 242
020
0
2
Q
QvMt s
Antennamass
Soundspeed
Resonancecurve
Direction Polarization
Flusso
Sezione d’urto
Energia dissipata nella barra
28/05/2009 Fabio Garufi 31
Sensibilità di un’antenna risonante
• La sensibilità di un’antenna risonante rappresenta il minimo segnale che può essere rivelato al disopra del rumore.
• Il rumore è dato dal rumore termico, dal rumore elettronico e dai rumori ambientali
• Se consideriamo la parte di rumore termico quella dominante, possiamo calcolare la lo spostamento quadratico medio dovuto all’agitazione termica usando il teorema di Fluttuazione-dissipazione:
YTk
x Btherm
22 4
Z
Y1
HTk
x
xi
F
x
FZ
F
xH
Btherm
42
Funzione di trasferimento
impedenza
Lontano dalla risonanza20
2 4
m
Tkx B
therm
28/05/2009 Fabio Garufi 32
Sensibilità di un’antenna risonante 2
8
20
20
222 tLh
xh
Il valore quadratico medio dello spostamento dovuto all’onda gravitazionale di ampiezza h costante e di durata t0 è
Dunque, il minimo segnale impulsivo rivelabile sarà quello per cui il rapporto tra gli spostamenti RMS del segnale e del rumore si equivalgono: SNR=1.
13248
40
20
2220
20
20
22
2
2
Tk
tLmh
Tk
mtLh
x
x
BBtherm
h
Da cui si evince che per osservare un h molto piccolo, deve essere grande m, piccola T e piccolo t0. Per valori tipici di m=1000kg, =1kHz, T=100K, si ottiene h=10-18/t0
28/05/2009 Fabio Garufi 33
Sensibilità di un’antenna risonante 3La sensibilità in funzione della frequenza è una curva risonante e in genere è data in termini della densità spettrale del rumore riferita al segnale di ingresso.
g
rhh
)(~
min
QM
Th e~
nT
28/05/2009 Fabio Garufi 34
Bar detectors (nel 2003)
• The first detector was the Weber bar, operated at room temperature.
• Currently there are five main cryogenic bars, including the ultra-cyrogenic Nautilus and Auriga.
• They operate the ICEG collaboration for searching for coincident bursts.
• Narrow-bandwidths at relatively high frequencies.
Nautilus
Auriga
Allegro
Niobe
28/05/2009 Fabio Garufi 35
CERN RE 5
LNF INFNMiniGrail
INFN
• Frascati Labs
• Genova
• Gran Sasso Labs
• L’Aquila
• Roma 1
• Roma 2
• INAF - IFSI
• CNR- IFN
• CERN
• Geneva
Leiden
28/05/2009 Fabio Garufi 36
28/05/2009 Fabio Garufi 37
5 modi di quadrupolo degeneri
Sezione d’urto omnidirezionale
5 outputs determinano i 5 parametetri h+ hx H hs
28/05/2009 Fabio Garufi 38
Sensitivity predicted for next run
www.minigrail.nl
3 x 10-22
28/05/2009 Fabio Garufi 39
28/05/2009 Fabio Garufi 40
28/05/2009 Fabio Garufi 41
L-L
L+L
t = 0 t = /4 t = t = 3/4 t = T
Rivelazione interferometrica
L
LhLhL xx
2
2
1
Grandi L per piccole h
Bisogna misurare: L ~ 10-18 m
Target h ~ 10-21, L~103m(NS/NS @Virgo Cluster)
28/05/2009 Fabio Garufi 42
se
Effetto di una GW su un interferometro
28/05/2009 Fabio Garufi 43
Variazione di potenza dovuta alla GW
inss
inssoutout
iniklikl
ssout
PkCrr
trPkrrrrtrP
erertr
)2cos(1
)2cos(2
22
21
221
22
21
22
22
21
21
222111 2
1
2
1 hh
Al passaggio di una GW h+
)sin()2cos( 21
CkhkCPPPP
in
gwmichout
Quindi la variazione di potenza all’uscita dovuta alla GW è proporzionale all’ampiezza della GW e alla somma dei bracci
21
21
rr
rrC
28/05/2009 Fabio Garufi 44
Shot NoiseIl numero di fotoni rivelati dal fotodiodo con efficienza è:
Se assumiamo una statistica Poissoniana, la fluttuazione di potenza è √N, dunque il rapporto segnale-rumore sarà:
Che ha un massimo per .
Dunque un interferometro reale massimizza il SNR leggermente sfasato dalla frangia scura. Nel caso ottimale di C=1, la sensibilità per una GW è data dal valore per cui S/N=1
C
-C+ )kδ(
2112cos
Sens. alle fluttuazioni di potenza
Aumentare la lunghezza dei bracci
Aumentare la potenza
28/05/2009 Fabio Garufi 45
Aumentare la potenza, ma quanto?
P
c
Lhshot
2
1~
Shot noise
c
P
mLhrp 32 2
1~
Fluttuazioni della pressione di radiazione
Limite quantistico: il miglior compromesso fra la diminuzione dello shot noise e l’aumento della pressione di radiazione. È il minimo rumore ottenibile.
mLhQL
1)(
~
28/05/2009 Fabio Garufi 46
Allungare I bracci: Cavità Fabry-Perot
212
210
221
22
210
0
221
22
210
1
1:
1
1
rrrtErisonanzaalla
errertEerrertEE
ikLikL
N
m
mikLikLr
n
LnL
nkL22
22
Risuona per
R
RFFinesse
R
Rpassantebanda
Rrr
12
2
2:
121
LF
L
kLFF
N
NkL
fp
2
22
28/05/2009 Fabio Garufi 47
Luce riflessa da una cavità FP
28/05/2009 Fabio Garufi 48
hLF
hL
FLL
fpfp
fp
84
2
Non possiamo aumentare indefinitamente la Finesse
cLigw
gwec
Lc
c
Lh /22
sin2
Per frequenze maggiori dell’inverso del tempo di round trip si ha una riduzione del rirardo
28/05/2009 Fabio Garufi 4949
Why power recycled?• The gray fringe working point is not the right choice:
– The ITF is not a “Null Instrument”, that is the output is not null when the input is null: large DC
– We want to operate in the dark fringe: no DC if zero input– What to do with the light wasted in the input port?
laser
Recycle it!Shot noise reduced by the recycling factor, but how to extract the GW signal if we work at the dark fringe, where
0
L
Pout
28/05/2009 Fabio Garufi 50
Modulazione demodulazione• Si è visto che la rivelazione in DC è sensibile alle variazioni di potenza del
laser. È mandatorio spostare la rivelazione a frequenze maggiori, tipicamente nella regione dei MHz, dove le fluttuazioni di potenza del laser sono minori.
• Si adotta un schema in cui la luce viene modulata in fase a radiofrequenza, prima di entrare nell’interferometro ed il segnale della frangia scura è demodulato coerentemente.– Tecnica di Pound-Drever
3rd VESF school - Michele Punturo - Virgo
50
EOM PBS/4
LO
PHD
Out
ttEtE cin mod0 coscos
ttttE cc modmod0 cossinsincoscoscos
tttE cc mod0 cossincos
t
Et
EtE ccc mod
0mod
00 sin
2sin
2cos
carriersidebands
28/05/2009 Fabio Garufi 5151
…modulation-demodulation• The carrier is resonant in the cavity, but not the sidebands ( shift).
Hence, the reflected beam is tttEtE ccrefl mod0 cossincos
• Let suppose that there is a GW signal that modulates the phase of the incoming field. Its effect is present only in the carrier, because it is resonant in the cavity
ttttEtE cGWcrefl mod0 cossincos
tttEttE
ttEttttE
cGWGWc
cGWcGWc
sinsincoscoscos
cossinsinsincoscos
mod00
mod00
• At the output of the interferometer, the photodiode reads the power, averaged over c, hence we must evaluate the square of
• The mixed product term gives:
tttt GWGW modmod coscossin • Demodulating the mod disappears and the output is proportional to the
gravitational signal
28/05/2009 Fabio Garufi 5252
Rumore sismico• The correct and usual way to realize an interferometer in a Lab is to
rigidly clamp the optics to the table• We cannot adopt this solution, mainly, because of the seismic noise:
72 10
1.0,)(
A
HzfHzm
f
Afxseism
Hzffxfx GWseism510)(
• The simplest seismic filter is an harmonic oscillator, for frequencies larger than the resonant one:
seismseism xxxxx ~~022
0
202
0
• A pendulum is an harmonic oscillator of natural frequency:
L
gf
2
10
• A cascade of N pendulums is a multistage filter whose transfer function is:
N
seism f
f
x
x2
0~
~
seismx
x
28/05/2009 Fabio Garufi 53
Rumore sismicoGround
Mirror
f -2N
Frequency (Hz)
Long Pendula
Soft Spring
2 HzChain
Transmission
Resonances
28/05/2009 Fabio Garufi 54
Newtonian noise
00( ) . ( )
( )
Gh f const x f
H f
Figure: M.Lorenzini
SEISMIC NOISE
The Newtonian noisewill be dominant below
10 Hz for cryogenic detectors
Surface waves dieexponentially with depth
GO UNDERGROUND!
Newtonian Noise
28/05/2009 Fabio Garufi 55
La curva di sensibilità
Thermal Shot
Seismic