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La ricerca delle onde gravitazionali F. Garufi

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La ricerca delle onde gravitazionali

F. Garufi

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28/05/2009 Fabio Garufi 2

Un po’ di teoria 1con hhg

Dobbiamo scrivere le equazioni di Einstein in questa metrica perturbata.

RgR

c

G

2

1

84

G

TG

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Un po’ di teoria

hh'

xx'

hghh 2

1

La condizione che le h siano piccole lascia la libertà di cambiare il sistema di riferimento xμ con piccole trasformazioni:

Con le ξμ piccole. Dunque, si può mostrare che:

Quest’arbitrarietà, sul tensore metrico, ci permette di scegliere un tensore:

Con il quale il tensore di Ricci assume la forma particolarmente semplice:

0 h Gauge Armonica

Purché le ξμ soddisfino anch’esse l’equazione delle onde.

Dunque le Equazioni di Einstein saranno:Che nel vuoto è l’equazione delle onde

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La scelta arbitraria dei 4 parametri costanti Cμ, ci consente di porre altre 4 condizioni su Arimanendo con due gradi di libertà. Scegliamo che sia a traccia nulla e che

Quanti gradi di libertà?Consideriamo le soluzioni in onda piana:

xikeAh

Il tensore A è un tensore simmetrico indipendente dal tempo=> 10 componenti indipendenti. Sostituendo questo h nell’equazione delle onde, otteniamo: 0

kk

Che ci dice che il vettore d’onda è di tipo luce (o come si usa dire è nullo)

Applicando la condizione di gauge armonica: 00

Akh

Che sono 4 condizioni => 6 gradi di libertà

Abbiamo ancora da imporre la condizione che le trasformazioni di coordinate lasciano invariata la condizione armonica se le ξμ

soddisfano l’equazione delle onde:Che implica

xikeC

Questa prende il nome di gauge Traceless Tranverse (TT)0

UA

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Polarizzazione delle GWConsideriamo l’effetto delle GW ortogonali al piano xy su particelle libere decritte da un singolo campo di velocità U=dx/d e da un vettore di separazione l’eq.ne geodetica è:

Sia, inizialmente U=(1,0,0,0) e =(0,,0,0), allora l’eq.ne geodetica si riduce a:

Che nella gauge TT porta alle Eq.ni:

Dunque, sono diverse da 0 solo le componenti xx, xy, yy e le eq.ni del moto di due particelle separate di lungo l’asse x:

Analogamente, se =(0,0,,0),

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Polarizzazione delle GW

hxx≠0

hxy=0

hxy≠0

h+hX

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''

21

4 3/4

xdxx

TT

ch crt

ijij

ij

Generazione delle GW

TTc

Gh ijijij 2

1164

hik = 0 Nel vuoto

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Generazione delle GW

''

21

4 3/4

xdxx

TT

ch crt

ijij

ij

Effetto di multipolo (rsource/)

xdxxd

3)( 0d

Conservazione dell’impulso

xdxvxx 3)()( 0 Conservazione del

momento angolare

Primo termine non nulloxdxrxxq jk

)(

3

1 2

TTjkjk crtq

c

G

rh )/(

24

2

5)/(

5

1 jk

jk crtqc

GL

8.27 10-45

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6425

LMc

GL

Oggetto astrofisico compatto

G

rc

G

rcM

c

GMr SS

S

22

2 2

2

)/(/ rcrvrv

625

6

664

2

24

5642

5

r

r

G

c

r

cr

G

rc

c

GLM

c

GL ss

Luminosità 1043 W 1017 volte il sole

3 10-2 3 10-2 Stella di neutroni pre-coalesente

Ordini di grandezza2

5)/(

5

1 jk

jk crtIc

GL

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Costanti di accoppiamento

• Collassi di supernova: i subiscono 103 interazioni prima di lasciare la stella, le GW, invece, emergono dal nucleo indisturbate

• disaccoppiamento delle GW dopo il Big Bang – GW 10-43 s (T 1019 GeV)– 1 s (T 1 MeV)– γ 1012 s (T 0.2 eV)

strong e.m. weakgravit

y0.1 1/137 10-5 10-39

Trasporto ideale di informazione, Universo trasparente alle GW fino al Big Bang!!

Emissione di GW : eventi molto energetici ma quasi nessuna interazione

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Sorgenti astrofisiche di GW• Abbiamo visto che la produzione di GW è

caratterizzata dall’essere poco efficiente: solo sorgenti astrofisiche hanno sufficiente energia da produrne di rivelabili.

• In base all’andamento nel tempo della radiazione emessa possiamo classificare le sorgenti in tre tipi:

1. Sorgenti impulsive

2. Sorgenti quasi periodiche

3. Sorgenti periodiche

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Sorgenti impulsive

• Si tratta essenzialmente di esplosioni (implosioni) di supernova.

• Implosioni sfericamente simmetriche non producono GW, dobbiamo considerare stelle in rotazione.– Rotazione uniforme:

l’energia emessa è ~(J/M2)4 => efficiente ad alto J.

– Rotazione differenziale: per es. dovuta al collasso del nucleo di una binaria coalescente

h~10-23 - 10-24 in in range di frequenze di 100Hz – 1kHz per distanze dell’ordine di 20 Mpc (virgo cluster)

Eventi ~1/secolo/galassia.

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Supernovae Type I e type II

Many profiles hypothyzed (ms long pulses)

1921 1010 h (Galactic center)

2224 1010 h (VIRGO Cluster)

A few events per century

Several events per month

GW energy depends on sphericity breaking during collapse

E/Mc2 da 10-7 a 10-3

Supernovae

White Dwarf explosionbecause of companion capture

Supermassive Star

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Segnale tipico delle Supernovae

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Sorgenti quasi periodiche• Essenzialmente stelle binarie

coalescenti: le sorgenti più studiate in assoluto. La prima prova (indiretta) di emissione di GW è una sorgente di questo tipo: PSR1913-16

• Due stelle in rotazione reciproca perdono energia per emissione di GW, il periodo diminuisce e anche la distanza. L’ampiezza e la frequenza delle GW emesse aumenta con il tempo.

• Nella fase finale le due stelle si fondono (merger) o, meglio, una delle due cade, spiraleggiando sull’altra (plunge).

• Il segnale gravitazionale ha la forma di una sinusoide che aumenta di frequenza e di ampiezza verso il tempo di coalescenza e prende il nome di “chirp”

J. Taylor R.Hulse

Hulse & Taylor Nobel 1993

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Evoluzione delle binarie coalescenti

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• Galactic rate– CB rate in the Galaxy inferred from known systems, expected to reach coalescence in a

time less than the age of the Universe– Only 3 such systems known today (including PSR 1913+16)– Estimate dominated by most recently discovered system (PSR J0737+3039)– Estimate depends on the modeled Galactic distribution of neutron stars – For preferred model

• Detected rate– Rate of detected events depends on number of galaxies probed by the detector– Related to detector horizon distance (distance at which an optimally located and oriented

source would produce a SNR of 8)– For initial detectors (Dhorizon~ 30 Mpc)

N ~ 2 10-3 – 3 10-2yr-1, most probable N ~ 1 / (100 yr)– For advanced detectors (assuming 15 times improved horizon distance)– most probable N ~ 40 / yr

Stelle di neutroni binarie

Milky Way Equivalent Galaxies

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Coalescenze BH-NS e BH-BH

• Per ora non si conoscono sistemi che coinvolgono buchi neri (BH)– Per predire la rate ci si basa su quanto si sa

dell’evoluzione stellare– La frequenza di questi eventi è inferiore a quella NS-

NS– Sistemi coinvolgenti un BH si vedono a maggiore

distanza => La frequenza totale è maggiore?• Rivelatori attuali:

NBHBH~ 5.5 10-3 yr-1

NNSBH~ 8.0 10-4 yr-1

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EMRI

• Extreme Mass Ratio Inspirals– Sono oggetti compatti (WD, NS, o BH) che

spiraleggiano attorno ad un buco nero supemassiccio

– La banda di frequenza di queste sorgenti è nella regione dei mHz

– La massa degli oggetti orbitanti è trascurabile => ottimi per studiare il BH “imperturbato”

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SgrA* il SMBH al centro della nostra galassia e orbite delle stelle

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• Stelle di neutroni rotanti• C’è emissione di GW solo se c’è un’asimmetria

intorno all’asse di rotazione• Le ampiezze stimate sono dell’ordine di:

Sorgenti periodiche: le pulsar

• Si stima ci siano 109 NS nella galassia, ma non è chiaro quante possano avere f ed rilevanti

• Con gli attuali rivelatori la Pulsar della Vela è nel range di frequenza osservabile (VIRGO).

• Possibilità di integrare a lungo il segnale in modo da aumentare il rapporto segnale-rumore

Per R=10Rs

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Importance of a low frequency sensitivity (Hz – tens of Hz region)

Pulsar Rotational Pulsar Rotational Period DistributionPeriod Distribution

AUSTRALIA TELESCOPE NATIONAL FACILITY PULSAR CATALOGUE

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Il fondo stocastico• Extragalattico: dovuto alla sovrapposizione di segnali

provenienti da molte sorgenti a varie frequenze, polarizzazioni e posizioni nel cielo. E’ descritto, in genere, in termini di uno spettro delle GW

• Cosmologico: proveniente dalle prime fasi del big bang e poi “stirato” dall’espansione

•Amplificazione di fluttuazioni quantistiche durante l’inflazione•Transizioni di fase e stringhe cosmiche

In cui c è la densità critica dell’universo e GW la densità di GW

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Rivelazione delle GWDue corpi inizialmente in quiete: uno nell’origine, l’altro in (,0,0)

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28/05/2009 Fabio Garufi 25

Dunque, se diciamo L la lunghezza iniziale di un rivelatore, un onda “+” polarizzata lungo la dimensione considerata lo allungherà di L=1/2 hxxL

L’allungamento è dell’ordine di 10-21 m (supernova) per un rivelatore di un metro => grandi lunghezze o amplificazione della deformazione.

Storicamente la seconda soluzione fu tentata per prima.

Una deformazione variabile periodicamente su una massa risonante (barra) viene amplificata alla frequenza di risonanza.

WARNING: siccome osserviamo solo le variazioni di lunghezza le barre sono sensibili solo ai modi dispari di risonanza.

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L’antenna a Barra (Weber 1960)

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m = M/2m

l l = 4L /

kjk

j xhmF 2

1

TT

Bar Detectors

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28/05/2009 Fabio Garufi 28

m = M/2m

l l = 4L /

)(2

1)()(2)( 2

0 thtxtxtx

102 Q

Bar Detectors

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28/05/2009 Fabio Garufi 29

)(2

1)()(2)( 2

0 thtxtxtx

di

ehltx

ti

)2(

)(

22

1)(

20

2

2

Fourier Transform of the Signal

Pulse Response h(t) = h0t

tehl

tx t000 sin

2)(

Monocromatic h(t) = h0

cost

tQhl

tx 00 sin2

)(

Bar Detectors

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28/05/2009 Fabio Garufi 30

)(2

1)()(2)( 2

0 thtxtxtx

di

ehltx

ti

)2(

)(

22

1)(

20

2

2

Fourier Transform of the Signal

totnn FdFdFE )()()()()(

Bar Detectors

)2(cossin

)(

cos)( 242

020

0

2

Q

QvMt s

Antennamass

Soundspeed

Resonancecurve

Direction Polarization

Flusso

Sezione d’urto

Energia dissipata nella barra

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Sensibilità di un’antenna risonante

• La sensibilità di un’antenna risonante rappresenta il minimo segnale che può essere rivelato al disopra del rumore.

• Il rumore è dato dal rumore termico, dal rumore elettronico e dai rumori ambientali

• Se consideriamo la parte di rumore termico quella dominante, possiamo calcolare la lo spostamento quadratico medio dovuto all’agitazione termica usando il teorema di Fluttuazione-dissipazione:

YTk

x Btherm

22 4

Z

Y1

HTk

x

xi

F

x

FZ

F

xH

Btherm

42

Funzione di trasferimento

impedenza

Lontano dalla risonanza20

2 4

m

Tkx B

therm

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Sensibilità di un’antenna risonante 2

8

20

20

222 tLh

xh

Il valore quadratico medio dello spostamento dovuto all’onda gravitazionale di ampiezza h costante e di durata t0 è

Dunque, il minimo segnale impulsivo rivelabile sarà quello per cui il rapporto tra gli spostamenti RMS del segnale e del rumore si equivalgono: SNR=1.

13248

40

20

2220

20

20

22

2

2

Tk

tLmh

Tk

mtLh

x

x

BBtherm

h

Da cui si evince che per osservare un h molto piccolo, deve essere grande m, piccola T e piccolo t0. Per valori tipici di m=1000kg, =1kHz, T=100K, si ottiene h=10-18/t0

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Sensibilità di un’antenna risonante 3La sensibilità in funzione della frequenza è una curva risonante e in genere è data in termini della densità spettrale del rumore riferita al segnale di ingresso.

g

rhh

)(~

min

QM

Th e~

nT

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Bar detectors (nel 2003)

• The first detector was the Weber bar, operated at room temperature.

• Currently there are five main cryogenic bars, including the ultra-cyrogenic Nautilus and Auriga.

• They operate the ICEG collaboration for searching for coincident bursts.

• Narrow-bandwidths at relatively high frequencies.

Nautilus

Auriga

Allegro

Niobe

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CERN RE 5

LNF INFNMiniGrail

INFN

• Frascati Labs

• Genova

• Gran Sasso Labs

• L’Aquila

• Roma 1

• Roma 2

• INAF - IFSI

• CNR- IFN

• CERN

• Geneva

Leiden

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5 modi di quadrupolo degeneri

Sezione d’urto omnidirezionale

5 outputs determinano i 5 parametetri h+ hx H hs

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28/05/2009 Fabio Garufi 38

Sensitivity predicted for next run

www.minigrail.nl

3 x 10-22

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28/05/2009 Fabio Garufi 39

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28/05/2009 Fabio Garufi 40

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28/05/2009 Fabio Garufi 41

L-L

L+L

t = 0 t = /4 t = t = 3/4 t = T

Rivelazione interferometrica

L

LhLhL xx

2

2

1

Grandi L per piccole h

Bisogna misurare: L ~ 10-18 m

Target h ~ 10-21, L~103m(NS/NS @Virgo Cluster)

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28/05/2009 Fabio Garufi 42

se

Effetto di una GW su un interferometro

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28/05/2009 Fabio Garufi 43

Variazione di potenza dovuta alla GW

inss

inssoutout

iniklikl

ssout

PkCrr

trPkrrrrtrP

erertr

)2cos(1

)2cos(2

22

21

221

22

21

22

22

21

21

222111 2

1

2

1 hh

Al passaggio di una GW h+

)sin()2cos( 21

CkhkCPPPP

in

gwmichout

Quindi la variazione di potenza all’uscita dovuta alla GW è proporzionale all’ampiezza della GW e alla somma dei bracci

21

21

rr

rrC

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Shot NoiseIl numero di fotoni rivelati dal fotodiodo con efficienza è:

Se assumiamo una statistica Poissoniana, la fluttuazione di potenza è √N, dunque il rapporto segnale-rumore sarà:

Che ha un massimo per .

Dunque un interferometro reale massimizza il SNR leggermente sfasato dalla frangia scura. Nel caso ottimale di C=1, la sensibilità per una GW è data dal valore per cui S/N=1

C

-C+ )kδ(

2112cos

Sens. alle fluttuazioni di potenza

Aumentare la lunghezza dei bracci

Aumentare la potenza

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28/05/2009 Fabio Garufi 45

Aumentare la potenza, ma quanto?

P

c

Lhshot

2

1~

Shot noise

c

P

mLhrp 32 2

1~

Fluttuazioni della pressione di radiazione

Limite quantistico: il miglior compromesso fra la diminuzione dello shot noise e l’aumento della pressione di radiazione. È il minimo rumore ottenibile.

mLhQL

1)(

~

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28/05/2009 Fabio Garufi 46

Allungare I bracci: Cavità Fabry-Perot

212

210

221

22

210

0

221

22

210

1

1:

1

1

rrrtErisonanzaalla

errertEerrertEE

ikLikL

N

m

mikLikLr

n

LnL

nkL22

22

Risuona per

R

RFFinesse

R

Rpassantebanda

Rrr

12

2

2:

121

LF

L

kLFF

N

NkL

fp

2

22

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28/05/2009 Fabio Garufi 47

Luce riflessa da una cavità FP

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28/05/2009 Fabio Garufi 48

hLF

hL

FLL

fpfp

fp

84

2

Non possiamo aumentare indefinitamente la Finesse

cLigw

gwec

Lc

c

Lh /22

sin2

Per frequenze maggiori dell’inverso del tempo di round trip si ha una riduzione del rirardo

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28/05/2009 Fabio Garufi 4949

Why power recycled?• The gray fringe working point is not the right choice:

– The ITF is not a “Null Instrument”, that is the output is not null when the input is null: large DC

– We want to operate in the dark fringe: no DC if zero input– What to do with the light wasted in the input port?

laser

Recycle it!Shot noise reduced by the recycling factor, but how to extract the GW signal if we work at the dark fringe, where

0

L

Pout

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28/05/2009 Fabio Garufi 50

Modulazione demodulazione• Si è visto che la rivelazione in DC è sensibile alle variazioni di potenza del

laser. È mandatorio spostare la rivelazione a frequenze maggiori, tipicamente nella regione dei MHz, dove le fluttuazioni di potenza del laser sono minori.

• Si adotta un schema in cui la luce viene modulata in fase a radiofrequenza, prima di entrare nell’interferometro ed il segnale della frangia scura è demodulato coerentemente.– Tecnica di Pound-Drever

3rd VESF school - Michele Punturo - Virgo

50

EOM PBS/4

LO

PHD

Out

ttEtE cin mod0 coscos

ttttE cc modmod0 cossinsincoscoscos

tttE cc mod0 cossincos

t

Et

EtE ccc mod

0mod

00 sin

2sin

2cos

carriersidebands

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28/05/2009 Fabio Garufi 5151

…modulation-demodulation• The carrier is resonant in the cavity, but not the sidebands ( shift).

Hence, the reflected beam is tttEtE ccrefl mod0 cossincos

• Let suppose that there is a GW signal that modulates the phase of the incoming field. Its effect is present only in the carrier, because it is resonant in the cavity

ttttEtE cGWcrefl mod0 cossincos

tttEttE

ttEttttE

cGWGWc

cGWcGWc

sinsincoscoscos

cossinsinsincoscos

mod00

mod00

• At the output of the interferometer, the photodiode reads the power, averaged over c, hence we must evaluate the square of

• The mixed product term gives:

tttt GWGW modmod coscossin • Demodulating the mod disappears and the output is proportional to the

gravitational signal

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28/05/2009 Fabio Garufi 5252

Rumore sismico• The correct and usual way to realize an interferometer in a Lab is to

rigidly clamp the optics to the table• We cannot adopt this solution, mainly, because of the seismic noise:

72 10

1.0,)(

A

HzfHzm

f

Afxseism

Hzffxfx GWseism510)(

• The simplest seismic filter is an harmonic oscillator, for frequencies larger than the resonant one:

seismseism xxxxx ~~022

0

202

0

• A pendulum is an harmonic oscillator of natural frequency:

L

gf

2

10

• A cascade of N pendulums is a multistage filter whose transfer function is:

N

seism f

f

x

x2

0~

~

seismx

x

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28/05/2009 Fabio Garufi 53

Rumore sismicoGround

Mirror

f -2N

Frequency (Hz)

Long Pendula

Soft Spring

2 HzChain

Transmission

Resonances

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28/05/2009 Fabio Garufi 54

Newtonian noise

00( ) . ( )

( )

Gh f const x f

H f

Figure: M.Lorenzini

SEISMIC NOISE

The Newtonian noisewill be dominant below

10 Hz for cryogenic detectors

Surface waves dieexponentially with depth

GO UNDERGROUND!

Newtonian Noise

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28/05/2009 Fabio Garufi 55

La curva di sensibilità

Thermal Shot

Seismic