La Luce

La luce è parte della radiazioni e.m. il cui spettro è molto vasto

La porzione di onde e.m. con ν = 3.8 •1014 – 7.9 •1014 Hz (380 – 790 THz) oppure con: λ = c/ ν (vuoto) = 0.78 •10-6 m – 0.38 •10-6 m. = 0.78 – 0.38 m. L’occhio le vede come colori. La luce bianca è un miscuglio di (tutte) le frequenze visibili.

Spettro visibile

L’occhio ha max. sensibilità a λ ~ 0.55 μm (verde-giallo)

La velocità della luce nel vuoto: c = 2.99792458 •108 m/s (errore < 1 m/s) per tutte le frequenze.

La velocità c non dipende dal sistema di riferimento (inerziale); è la max velocità a cui si propaga un segnale fisico. Nessun corpo materiale raggiunge c.

Prima misura di c: Roemer 1676 con osservazioni astronomiche

Fizeau, Foucault 1850 con esperimenti a terra. Michelson 1927 ecc.

n

c

k

c

e

v n = indice di rifrazione

n è funzione della lunghezza d’onda: n(λ) = A + B/λ2 : formula Cauchy

Velocità di un’onda e.m.:

Principio di Huygens- Fresnel

Sia O la sorgente di o.e.m. In un punto P distante r da O si ha:

)cos(),( 0 tkrr

EtrEp

Sia S una superficie d’onda prodotta da O (q):

Ogni elemento dS della superficie d’onda S si può considerare come sorgente di onde secondarie sferiche la cui ampiezza è proporzionale all’ampiezza E0/q dell’onda prima

ria e all’area dS. Il campo elettrico EP(r,t) in un punto P si può ottenere come sovrapposizione di tutte le onde elementari che raggiungono P.

(Principio introdotto per le onde elastiche; perfezionato da Kirchoff)

Strumento di calcolo molto utile: permette di determinare un nuovo fronte d’onda ad un certo istante, a partire da quello precedente, sia nel caso di propagazione libera che con ostacoli impenetrabili all’onda.

Propagazione libera: all’istante t è noto il fronte d’onda S piano o sferico

Il nuovo fronte S’ per t’>t: i punti di S sono sorgenti di onde sferiche (secondarie) emesse tutte nello stesso istante. Per ogni punto si traccia un semicerchio di raggio v(t’-t) = vΔt. S’, luogo dei punti di egual fase o di eguale differenza di fase rispetto a S, è l’inviluppo di queste onde.

Ne segue che il campo si propaga lungo una direzione perpendicolare al fronte d’onda: introducendo il concetto di raggio il campo si propaga per raggi rettilinei normali al fronte d’onda.

Propagazione con schermo impenetrabile all’onda su cui è praticata un’apertura: si eliminano le sorgenti che stanno sullo schermo.

Se l’apertura ha larghezza a >> λ l’onda si propaga conservando (quasi) la forma dell’onda incidente: la propagazione è rettilinea.

Se a ≈ λ invece la considerazione delle ondine elementari porta a vedere che la propagazione avviene in diverse direzioni: l’onda è diffratta dall’apertura. La propagazione è rettilinea prima e dopo l’apertura, non all’apertura. Si vedrà come il principio di Huyghens-Fresnel sia fondamentale e permette di calcolare l’ampiezza dell’onda diffratta.

Se lungo la direzione di propagazione poniamo uno schermo coincidente con un fronte d’onda ed avente n aperture ciascuna della stessa area ΔS

otteniamo un sistema di n sorgenti S1,…Sn di onde sferiche. Preso un punto P oltre lo schermo la differenza di fase in P delle due onde emesse da Si e Sj risulta costante perché Si e Sj appartengono ad un fronte d’onda. Due onde la cui differenza di fase in P risulti costante si dicono

onde coerenti. Le n sorgenti di figura sono un sistema di onde coerenti di luce.

Leggi di riflessione e rifrazione

Nell’attraversare una superficie di separazione tra due mezzi la velocità di un’o.e.m. varia. La frequenza sia ν, la pulsazione ω, la lunghezza d’onda λ ed il numero d’onde k. Ora ν e ω sono legati alla sorgente che ha prodotto l’onda e non variano; ne segue che variano λ e k.

Un’onda che passa dal vuoto ( velocità = c, λ0 e k0) ad un mezzo trasparente con v = c/n si ha:

ω = 2πν λ0ν = c λν = v k0 = ω/c k = ω/v da cui: λ = λ0/n k = n k0

n = indice di rifrazione sempre > 1 per luce visibile. Pertanto la lunghezza d’onda in un mezzo è sempre < lunghezza d’onda nel vuoto.

Questa discontinuità determina, come vedremo, le leggi della riflessione e della rifrazione.

Definiamo piano di incidenza il piano che contiene

la direzione dell’onda (piana) incidente e della normale u alla superficie di separazione dei due mezzi. Sia v1 = c/n1 e v2 = c/n2. I vettori ki, kr e kt danno direzione e verso delle onde e il loro modulo è il numero d’onde relativo. Le leggi della riflessione e della rifrazione (sperimentali) dicono

1) Le direzioni di: onda incidente (ki), onda riflessa (kr) e onda trasmessa (kt) giacciono sul piano di incidenza.

2) L’angolo di incidenza θi = angolo di riflessione θr.

3) Il rapporto tra i seni degli angoli di incidenza θi e rifrazione θt è costante e

eguale al rapporto delle velocità di propagazione: 1

2

2

1

n

n

v

v

sin

sin

t

i

o anche n1 sin θ1 = n2 sin θ2. Il rapporto n2,1 = n2 / n1 si chiama indice di rifrazione relativo del secondo mezzo rispetto al primo. Da cui la legge di Snell dice che il rapporto dei seni degli angoli di incidenza e rifrazione è costante ed eguale all’indice di rifrazione relativo tra i due mezzi. In realtà n2,1 è funzione della frequenza dell’onda.

Se il primo mezzo è il vuoto l’indice di rifrazione relativo coincide con quello assoluto. La misura di esso può in effetti essere fatta misurando gli angoli.

Derivazione delle leggi di riflessione e rifrazione dal principio di Huygens-Fresnel

AB è la traccia del fronte d’onda piana incidente con angolo θi sulla superficie piana di separazione di due mezzi con v1 e v2. Sia t=0 quando il punto A del fronte d’onda si trova alla superficie di separazione. Il punto B raggiunge la posizione C della superficie a t = BC/v1. In questo intervallo

di tempo l’onda elementare emessa secondo il principio di H-F, da A nel primo mezzo compie il percorso AD = v1 t = v1 BC/ v1 = BC, mentre quella emessa verso il secondo mezzo compie AE = v2 t = v2 BC/ v1. D e C da una parte ed E e C dall’altra stanno sullo stesso fronte d’onda. I fronti d’onda sono l’inviluppo delle ondine elementari emesse da tutti i punti compresi tra A e C raggiunti in istanti successivi dal fronte d’onda AB. Ora i triangoli ABC e ACD sono eguali

(rettangoli con ipotenusa comune e due cateti eguali) per cui θi= θr. Dai triangoli ABC e ACE si ricava:

sin θi = BC/AC sin θt = AE/AC da cui:

sin θi/sin θt = BC/AE = tv1/tv2 = v1/v2

Derivazione delle leggi di riflessione e rifrazione dal Principio di Fermat

Il principio di Fermat

Questo fondamentale principio dell’ottica trae la propria origine dalle osservazioni sperimentali.

In effetti Hero di Alessandria (tra 150 a.c. e 250 d.c) osservò che nel fenomeno della riflessione: Il percorso della luce da un punto sorgente S ad un punto P dopo la riflessione è il più corto possibile.

La figura mostra un punto sorgente che emette raggi in tutte le direzioni.

Essi sono riflessi verso P; se ora consideriamo che essi provengano dal punto S’ (immagine di S rispetto alla superficie riflettente) tutte le distanze rimangono eguali: SAP = S’AP, SBP = S’BP … La più corta è la diretta S’BP che corrisponde a θi = θr. Inoltre S, B, P devono stare nello stesso piano (p. incidenza).

In un colpo abbiamo trovato le due leggi della riflessione!

Fermat propose nel 1657 il suo principio del tempo minimo (includendo l’osservazione di Hero):

Il tragitto della luce tra due punti è quello percorso nel minimo tempo.

Applichiamolo al fenomeno della rifrazione come indicato in figura.

Minimizziamo il tempo di transito t da S a P rispetto ad x: cambiando x cambia il punto O e quindi il percorso da S a P. La condizione di minimo rispecchia il percorso vero.

Si ha: o:

Poniamo dt/dx = 0

Dal disegno si ha che:

che è appunto la legge di Snell!

ti

POOSt

vv

ti

xabxht

v

)(

v

2222

0)(v

)(

v 2222

xab

xa

xh

x

dx

dt

ti

t

t

i

i

v

sin

v

sin

Quando un’onda luminosa piana si propaga da un mezzo con indice n1 ad un mezzo con n2 > n1 si ha sin θ2 = n1/n2 sin θ1: θ2 < θ1 La direzione di propagazione (o raggio) si avvicina alla normale.

E’ il caso del passaggio aria (o vuoto: n = 1) – vetro: sinθ2= sinθ1/n. Nel caso che l’onda passi da un mezzo con indice n1 ad uno con indice n2 < n1: sinθ2= n1/n2 sinθ1 θ2 > θ1 la direzione di propagazione si allontana dalla normale: ciò avviene ad es. nel passaggio vetro-aria (o vuoto): sinθ2= n sinθ1. Quest’ultima situazione presenta un caso limite mostrato in figura

Al crescere di θ1, θ2 che cresce più rapidamente raggiunge il valore π/2, per il valore θ0 dell’angolo di incidenza: sinθ0 = n2/n1. Per valori θi > θ0 non esistono valori reali per θ2: non esiste onda rifratta:

si ha riflessione totale. θ0 prende il nome di angolo limite.

Nel vetro con n = 1.5 se il mezzo esterno è l’aria θ0 = sin-1(1/1.5) = 41.8o; se il mezzo esterno è l’acqua ( n = 1.33) θ0 = sin-1(1.33/1.5) = 62.7o; per la coppia acqua-aria θ0 = sin-1(1/1.33) = 48.6o.

Un’importante applicazione della riflessione totale si ha nelle guide di luce e poi nelle fibre ottiche che sono alla base dei sistemi di comunicazione ottica.

Fibre ottiche

Recentemente si sono sviluppate molto tecniche di trasporto della radiazione tra due punti distanti, mediante l’uso di mezzi dielettrici trasparenti. Se il diametro della fibra è grande rispetto alla lunghezza d’onda della radiazione si possono usare le note proprietà dei raggi e dell’ottica geometrica. Quando invece il diametro diventa confrontabile con λ la natura ondulatoria della radiazione è dominante ed il processo di propagazione si avvicina a quello presente nelle guide d’onda nel campo delle microonde. Anche se questo regime è molto importante per le comunicazioni ottiche, qui tratteremo brevemente solo il primo.

Consideriamo il cilindro rigido diritto di vetro di figura, circondato da aria. La luce che colpisce le pareti all’interno sarà totalmente riflessa se l’angolo di incidenza ad ogni riflessione è > θc = sin-1 n0/nf con nf indice di rifrazione della fibra. Come vedremo un raggio meridionale (che giace sullo stesso piano con l’asse della fibra) subirà moltissime riflessioni per unità di lunghezza della fibra prima di uscire.

Se la fibra ha diametro D e lunghezza L il cammino l percorso dal raggio sarà: l = L / cos θt od anche per la legge di Snell: l = nfL(nf

2- sin2 θi)-1/2. Il numero di riflessioni N sarà:

1)sin

sin 1

sin/ 2/122

if

i

t θD(n

θL

D

lN

Il ± 1 che dipende da dove il raggio incontra la superficie terminale può essere trascurato. Prendiamo D = 50 μm (come un capello) nf = 1.6, θi = 30o: N ~ 6000 riflessioni per metro. Le fibre sono costruite in vari diametri da 2 μm ad alcuni mm. Quelle di diametro più grande prendono anche il nome di guide di luce. Fibre sottili sono assai flessibili e possono essere avvolte su spolette.

La superficie esterna della fibra di figura deve essere tenuta molto pulita per non avere perdite via riflessione totale frustrata. Inoltre se si hanno molte fibre insieme è possibile il passaggio di luce dall’una all’altra:

cross-talk. Per queste ragioni si usa circondare la fibra con un mantello di materiale trasparente con indice di rifrazione minore. Il mantello deve avere spessore tale da realizzare l’efficace isolamento ma per il resto il suo spessore è ininfluente. Ordinariamente il mantello occupa 1/10 della sezione totale della fibra. E’ stata l’introduzione del mantello che ha reso le fibre ottiche di uso pratico dal 1953. Tipicamente nf =1.62 e nm = 1.5. La figura mostra una fibra con mantello (clad in inglese).

Vi è un valore massimo θmax per θi per cui un raggio incide con l’angolo critico θc . Raggi che entrano con angolo > θmax incontrano la superficie di separazione fibra-mantello ad angoli < θc . Essi saranno riflessi solo parzialmente e presto si perdono. Per cui θmax l’angolo di accettazione della fibra determina il semiangolo del cono di entrata. Per determinarlo:

sinθc = nm/nf = sin(90 – θt) ; nm/nf = cos θt od anche: nm/nf = (1- sin2 θt)1/2 . Utilizzando la legge di Snell si ha:

La quantità n0 sin θmax è definita come l’apertura numerica N.A. della fibra. Il suo quadrato indica la capacità della fibra di raccogliere luce.

Fasci di fibre con le parti terminali raggruppate assieme (generalmente incollate e levigate) formano guide di luce flessibili. Se non vi è corrispondenza tra le posizioni delle varie fibre in entrata ed in uscita la guida prende il nome di guida di luce incoerente. Tali dispositivi sono economici e servono principalmente come conduttori di luce per illuminazione di zone difficilmente accessibili.

2/122

0max )(

1sin mf nn

n

Se invece viene mantenuta una corrispondenza tra le posizioni delle varie fibre in ingresso ed in uscita si ha un fascio di fibre coerenti che può essere usato per trasportare un’immagine in modo flessibile. La sorgente può essere un piano a contatto con l’ingresso del fascio oppure a sua volta un’immagine formata con una lente.

Le guide ottiche coerenti trovano largo impiego nell’ispezione remota sia industriale che soprattutto in campo medico-diagnostico: in questo caso il sistema è noto come endoscopio ed è applicato largamente ad es. per l’indagine dello stomaco, dei bronchi, dell’apparato genitale ecc. Nell’endoscopio è possibile includere un canale di illuminazione e pure uno utilizzante ad es. una forte luce laser per piccole operazioni. Gli endoscopi medici sono di lunghezza < 2 m mentre alcuni industriali possono raggiungere i 6-7 m. Incorporano da 5000 a 50000 fibre.

I conduttori di immagini flessibili non sono l’unica applicazione di fasci di fibre ottiche coerenti. Moltissime di tali fibre possono venire fuse insieme e costituire un conduttore d’immagine rigido. Ad es. è possibile costruire delle piastre rigide con milioni di fibre fuse insieme. Tali

piastre possono sostituire le facce frontali di tubi televisivi, monitor ecc con un miglioramento della risoluzione e della brillantezza dell’immagine. In effetti essi costituiscono una lamina a spessore zero dal punto di vista ottico.

E’ possibile anche rastremando un’estremità costruire dispositivi in grado di ingrandire o rimpicciolire l’immagine.

Tuttavia l’applicazione di gran lunga più importante delle fibre ottiche si ha nel campo delle comunicazioni. Qui ne diamo solo brevi cenni.

La capacità di portare informazioni in una fibra ottica sotto forma di segnali luminosi è intrinsecamente molto più elevata che in un cavo elettrico; si ricordi che la banda passante in un segnale è teoricamente

proporzionale alla frequenza della portante. Andando quindi da alcuni GHz o decine di GHz delle frequenze elettriche (es. microonde) alle centinaia di THz della luce si ha una aumento di un fattore 10000. Quindi in un solo canale ottico (es. fibra) possono essere contenute tutte le comunicazioni telefoniche di una nazione!

Determinanti per raggiungere nella pratica tali prestazioni sono però alcune caratteristiche: 1) la capacità di modulare e demodulare in modo veloce i segnali ottici; 2) la capacità della fibra di portare il segnale ottico senza attenuazione; 3) la capacità della fibra di non degradare l’elevata velocità di modulazione del segnale.

Vediamo brevemente gli ultimi due punti. Grandi progressi sono stati fatti nell’attenuare l’assorbimento del materiale della fibra. Ciò è cruciale soprattutto per trasmissione a grandi distanze (es. cavi sottomarini) perché riduce il numero di stazioni di amplificazione lungo il percorso. Utilizzando vetri ultrapuri e privi di ioni tipo Fe, Ni, Cu oltre che di acqua responsabile attraverso i radicali OH di assorbimento. Si è così riusciti ad ottenere fibre con un’attenuazione di 0.2 dB/km.

Il Decibel o dB è una misura del rapporto tra due potenze ad es. Pu e Pi: si ha: dB = - 10 log(Pu/Pi) : un rapporto di 10 è 10 dB, 100 è 20 dB ecc.

Il terzo problema è anch’esso molto serio. Si consideri una fibra ottica del tipo visto precedentemente.A seconda dell’angolo di ingresso del raggio vi possono essere centinaia o migliaia di cammini diversi; i raggi che entrano più inclinati hanno un percorso più lungo. Si parla di fibra multimodo. Tale effetto è negativo per l’invio di trasmissione ad alta velocità in fibra

L’informazione è generalmente sotto forma di impulsi digitali ma essi dopo un certo ammontare di percorso si degradano a causa delle differenze dei tempi di percorso possibili come in figura. L’effetto è facile da calcolare. Δt = tmax – tmin: tmin corrisponde al percorso in asse e vale: tmin = L/vf = L nf/c. Il percorso più lungo è quello corrispondente

all’angolo critico visto precedentemente: Si ha quindi: tmax = l/ vf = (L nf/nm)/(c/nf) = Lnf

2/cnm da cui

Sia nf = 1.500, nm = 1.495: il valore di Δt è 37 ns/km un valore molto limitante per la trasmissione di impulsi ultraveloci. Si verifica la situazione di figura.

1

m

ff

n

n

c

Lnt

Per una fibra lunga 1 km gli impulsi per essere distinti devono essere inviati spaziati di 74 ns: un valore penalizzante.

Per ovviare a ciò sono state studiate altre configurazioni di fibre:

La prima rappresenta la fibra ordinaria detta anche step-index. La seconda presenta un andamento continuo dell’indice di rifrazione: graded-index; invece che avere un percorso a zig zag brusco il raggio compie delle oscillazioni sinusoidali nel suo propagarsi. Al centro l’indice di rifrazione è più grande e quindi il raggio centrale che ha un percorso geometrico più corto viene rallentato: vi è una sorta di compensazione. In questo modo si ottengono degli spread di 2 ns/km.

L’ultima configurazione rappresenta una fibra a singolo modo. In questo caso il diametro della fibra è confrontabile con la lunghezza d’onda della radiazione e l’unico modo possibile di propagazione è quello parallelo all’asse. I diametri variano da 2 a 9 μm.

In tutti i tipi di fibre vi è poi da tenere in considerazione la dispersione cromatica e cioè il fatto che n è funzione di λ. Bisogna operare con radiazione monocromatica come quella prodotta con laser per non avere effetti di spread dell’impulso dovuti a questo effetto.