La legge normale e il teorema del limite centrale -...

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La legge normale e il teorema del limite centrale . Mentre la legge dei grandi numeri stabilisce la convergenza del valor medio x medio di un certo campione di variabili casuali (x 1 ,x 2, x 3……. x n ) verso il valore atteso E(x) e della deviazione standard σ x verso il valore atteso della deviazione standard σ della popolazione, nulla dice sulle leggi di distribuzione di probabilità di tali variabili casuali. Il teorema del limite centrale risponde a questo problema e stabilisce le condizioni per le quali una variabile casuale tende alla distribuzione normale di Gauss
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    14-Feb-2019
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La legge normale e

il teorema del limite centrale

.

Mentre la legge dei grandi numeri stabilisce la convergenza del valor medio xmedio di un certo campione di variabili casuali

(x1,x2,x3.xn) verso il valore atteso E(x) e della deviazione standard x verso il valore atteso della deviazione standard della popolazione, nulla dice sulle leggi di distribuzione di probabilit di tali

variabili casuali.

Il teorema del limite centrale risponde a questo problema e stabilisce le

condizioni per le quali una variabile casuale tende alla distribuzione

normale di Gauss

Campione e popolazione

Sperimentalmente si studia il comportamento di un fenomeno non deterministico raccogliendo un campione di variabili aleatorie (x1,x2,x3.xn) e si calcola la

media Xmedio= ( xi)/n

Ebbene se il numero n delle osservazioni sufficientemente grande il comportamento probabilistico della media campionaria (qualunque sia la legge di probabilit delle variabili x1,x2,x3.xn ) dello stesso tipo segue la legge normale di Gauss

con valor medio Xmedio e varianza 2 2medie= x

2/n

Questo straordinario risultato va sotto il nome di Teorema del limite centrale e giustifica il perch la distribuzione normale di Gauss abbia un ruolo prevalente nella statistica inferenziale

Lenunciato del teorema il seguente:

Sia X una variabile casuale somma di variabili casuali xi

X= ai xi

indipendenti ed equidistribuite

(ovvero le variabili casuali seguono la stessa legge di probabilit

e si indichi con E(x) il valore atteso e Var(x) la varianza

della variabile aleatoria xi (anche se non noti)

Si dimostra che

La variabile X ha una funzione di distribuzione di probabilit

che tende a quella normale al crescere di n, con valore

E(X)= ai E(xi) e

Var (X)= ai2 Var(xi) .

Ora la media una combinazione lineare di xi

indipendenti e equidistribuiti con tutti gli E(xi) = E(x) e

Var(xi) = Var(x) e con gli ai=1/n.

Applicando il teorema risulta che

= E(Xmedio) = n(1/n)E(x) = E(x) e

2 = Var (Xmedio) = n(1/n2) Var(x) = Var (x)/n

Inoltre il teorema centrale assicura che la distribuzione di

probabilit della variabile Xmedia , per n sufficientemente

grandi, la distribuzione di Gauss con parametri

e sopra determinati.

Vedremo che la miglior approssimazione

di Xmedio e di x/n

Esiste una dimostrazione rigorosa, dovuta a Laplace, che la distribuzione degli scarti delle misure affette da errori casuali e indipendenti la funzione normale di Gauss

La legge di Gauss degli errori come limite di una binomiale (7.13 Carnelli)

Si suppone, nel modello di Laplace che gli errori casuali di misura possano essere schematizzati come il concorso contemporaneo di un numero n molto grande di disturbi, molto piccoli e indipendenti tra loro, di ampiezza costante , ognuno dei quali tenda a spostare la misura x dal valore vero X con uguale probabilit in difetto o in eccesso.

Modello di prove ripetute

e la pro(n- )

La probabilit che si presenti un determinato valore di x data dalla probabilit che si presentino n disturbi

positivi e (n-n) disturbi negativi ovvero dalla

Bn,p(n) = (nn)p

n q(n-n) con p = q

La variabile x legata a n da una relazione lineare

Si dimostra che la forma analitica della densit di probabilit per un certo risultato x la gaussiana