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La legge di Ampre

Consideriamo un filo infinito percorso da corrente

i

B

A

O r

La corrente produce in A un campo magnetico al filo e ad r

Ci chiediamo ora quanto valga la circuitazione di B

B = B d l = ?

Consideriamo la circonferenza di raggio r concentrica con il filo e ad esso. B sempre tangente alla circonferenza Bdl = Bdl, inoltre sulla circonferenza B costante, quindi

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La circuitazione di B non dipende dal raggio, ma solo dal fatto che la circonferenza racchiuda il filo percorso da corrente (concatenata). Consideriamo ora un percorso generico concatenato con la corrente

i B

r

u

d

dl a b

L

Otteniamo dunque che la circuitazione di B in condizioni statiche vale sempre 0i (legge di Ampre) con i = correnti concatenate con L

per campi statici

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Le correnti concatenate vanno prese positive se le parti concatenate dei fili sono percorse dalla corrente concordemente al verso indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita puntano nello stesso verso in cui orientata la linea L

Ricordando che otteniamo

S una qualunque superficie delimitata dalla linea L

Dato che la circuitazione di B diversa da zero, B risulta essere non conservativo e non possiamo definire unenergia potenziale magnetica

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Prendiamo ora un cilindro di lunghezza infinita percorso da corrente

a

r

B

L L

B r P Q

i Le linee di forza di B sono cerchi concentrici con il cilindro e ad esso , lintensit di B dipende solo da r

Se r > a tutta la corrente racchiusa dalla linea L

Otteniamo cos che il cilindro si comporta come un filo infinito, ovvero come se la corrente fosse tutta concentrata sullasse del cilindro. La situazione cambia quando ci spostiamo allinterno del cilindro, dobbiamo distinguere due casi

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1. r < a e la corrente superficiale

B allinterno di un cilindro che porta solo corrente superficiale nullo

2. r < a e la corrente distribuita uniformemente su tutto il volume del cilindro

B in un cilindro con corrente volumetrica r

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Campo magnetico di un avvolgimento toroidale Toroide con N spire equidistanti tutte percorse dalla stessa corrente i. Per simmetria abbiamo che le linee di forza di B sono cerchi concentrici al toro Consideriamo la linea chiusa di raggio r che concatena tutte le spire

Se il toro ha sezione trasversa di raggio piccolo rispetto al raggio del toro, ogni linea chiusa interna al toro ha lo stesso raggio e B uniforme allinterno del toro

con n = N/L spire per unit di lunghezza Un percorso esterno al toro non concatena correnti quindi B = 0

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Campo magnetico sullasse di un solenoide infinito con n spire/unit di lunghezza e poco spaziate tra di loro B uniforme e confinato nel solenoide. Integro lungo il percorso abcd.

I lati verticali bc e da non contribuiscono alla circuitazione in quanto B e dl sono tra di loro. Il lato cd non contribuisce dato che non concatena correnti. Resta solo il lato ab

Risultato gi ricavato a partire dalla legge di Ampre-Laplace

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In forma differenziale abbiamo

Il flusso di B vale

Abbiamo visto che linee di forza di B sono chiuse dato che non esiste il monopolo magnetico, di conseguenza il flusso di B attraverso una superficie chiusa sempre nullo

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Equazioni di Maxwell per i campi elettrici e magnetici statici

Forma integrale Forma differenziale

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La legge di Ampre in forma differenziale Sul piano (xy) consideriamo un percorso rettangolare PQRS di area molto piccola pari a dxdy.

x

z

y S R

Q P

B B dy

dx j jz

uy ux uz

Lungo QR (orientato ad y) dl = dy uy

Analogamente

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Attraverso PQRS circola la corrente di legata a j dalla relazione

Facciamo lo stesso procedimento sui piani (xz) e (yz), otteniamo

Infine in tutto lo spazio abbiamo Correnti = sorgenti di

campo magnetico Relazione locale tra B e j, ho B se so come la corrente distribuita nello spazio