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J.BAQUIE – Ing. E.S.G.T. - Notions de géodésie – 2013/2014 1/47

La géodésie

1 Définition La géodésie est la science qui étudie les formes de la terre ou d'une partie de la terre. Elle a

pour but également d'en donner une représentation plane. La géodésie tire son nom des mots

grecs γη (Terre) et δαιω (je divise).

2 Les formes de la terre

La terre a une forme très irrégulière puisqu'elle est constituée de plaines, de montagnes, de

fosses océaniques. Mêmes les océans et les mers n'ont pas une forme régulière, mais leur

détermination est plus facile. Cette surface océanique, supposée prolongée sous les continents,

prend le nom de géoïde (du grec geos = terre et eidos = idée, apparence).

Le géoïde est une surface physique équipotentielle (même potentiel) qui est constamment

perpendiculaire à la direction du fil à plomb. Elle sert de référence au système altimétrique

donnant des altitudes.

Le géoïde en France a été modélisé et des grilles de conversion permettent de passer des

valeurs d'altitudes à des hauteurs ellipsoïdales avec une précision centimétrique (voir système

géodésique).

Cependant pour la représenter en première approximation nous adoptons une sphère. Cette

forme est suffisante pour les applications courantes.

Pour pouvoir la représenter avec plus de précision, les mathématiciens l'assimilent à une

surface mathématique que l'on appelle un ellipsoïde et qui est une sphère aplatie aux pôles.

Cet ellipsoïde est donc un modèle mathématique approchant la forme réelle de la terre

(géoïde) et permettant d’effectuer avec précision des calculs de position.

La Terre : ellipsoïde

La Terre : sphère

La Terre : géoïde


Une fois ses dimensions définies, cet ellipsoïde doit être positionné par rapport au centre de la

terre et orienté par rapport à son axe de rotation.

Il existe donc autant d'ellipsoïdes que l'on veut selon la forme et la position choisie.

D'une façon générale, il y a deux types d'ellipsoïdes :

les ellipsoïdes globaux qui sont définis pour représenter la totalité de la terre et qui

tendent à se généraliser, notamment le IAG-GRS 80, utilisé pour le système GNSS

(GPS).

les ellipsoïdes locaux qui sont définis par les pays pour représenter la partie de la terre

qui intéresse ces pays.

Les ellipsoïdes sont les bases des systèmes géodésiques sur lesquels nous allons positionner

des points ou nous positionner. Mais ils ne sont pas développables1.

3 Les mesures à la surface de la terre

3.1 Erreur sur les distances

Nous pouvons dans un premier temps considérer les distances mesurées sur le terrain comme

horizontales. Par contre les distances à prendre en compte seront les distances sur l’ellipsoïde

pour tous les travaux qui devront être rattachés (voir cours rattachement).

1 Une surface développable est une surface que l'on peut mettre à plat sans l'étirer.

géoïde

Ellipsoïde local

Pays

géoïde Ellipsoïde

global

Fig. 1 : Ellipsoïde global

Fig. 2 : Ellipsoïde local


Nous allons démontrer dans ce paragraphe qu'en topométrie les distances mesurées sur une

surface sphérique (ou ellipsoïdale) sont assimilables, à une erreur près négligeable, à la corde

ou la tangente.

La distance » µAB R.O= va servir de distance de référence et sera appelée D. Nous allons

calculer l'écart de cette distance par rapport aux distances rectilignes AB' et AB.

µAB' R.tan O=

La fonction tangente peut être assimilée à son développement limité car l'angle Ô est un petit

angle.

µ µµ µ3 5

O Otan O O 2. ...

3 15» + + + . Nous allons garder uniquement les deux premiers termes.

Fig. 3 : Distances assimilables

O

B

B'

RN

I A

Ô

es


D'où

» µ µ µµ

µ3

Oe AB' AB R.tan O R.O R O O

3

æ ö÷ç ÷ç= - = - » + - ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

Soit µ3

Oe R.

3=

Or µ»AB D

OR R

= =

Alors

3D

Re R.

3

3

2

De

3.R

Pour une distance D de 10 km et un rayon de 6379 km cela donne un écart de 8mm, donc

complètement négligeable en topométrie.

De même

µOAB 2.R.sin

2

æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

Le sinus peut aussi être assimilé à son développement limité : µ µµ µ3 5

O Osin O O ......

3! 5!= - + -

En gardant ici aussi uniquement les deux premiers termes.

»µ

µµ

µ

µ µµ

µ

3

3

O

2O O Oe AB AB 2.R.sin R.O 2.R. R.O R.O R. R.O

2 2 6 24

æ öæ ö ÷ç ÷ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷çç ÷ ÷÷çç è ø ÷ç ÷= - = - » - - = - -ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

µ

3

3D

O Re R. R.

24 24

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

= - = -

3

2

De

24.R

Cet écart est huit fois plus petit que le précédent donc parfaitement négligeable aussi.

3.2 Erreur sur les altitudes

Toujours sur la figure 3, nous allons utiliser le théorème de Pythagore.

Soit BB' = es et AB' ≈ D, nous pouvons écrire :

RN2 + D

2 = (RN+es)

2

En développant :

RN2 + D

2 = RN

2 + 2.RN.es + es

2


Le terme es est petit et du second degré pourra être négligé et en simplifiant :

D2 = 2.RN.es

D’où 2

s

N

De

2.R

En prenant une distance de 1 km nous obtenons une erreur de sphéricité de 7,8 cm. Cette

erreur n'est pas négligeable. Nous verrons dans le cours de nivellement direct comment

prendre en compte cet écart.

4 Le réseau de nivellement

4.1 Historique

Il y a eu en France trois réseaux nationaux :

"Ce fut par circulaire du 15 juillet 1857 qu’Eugène Rouher, ministre l’Agriculture, du Commerce et des Travaux publics, lança le premier nivellement général de la France.

Le Conseil général des ponts et chaussées en confia la mise en œuvre à Paul Adrien

Bourdalouë (1798-1868). Reconnu pour sa direction du nivellement de l’isthme de

Suez (sur lequel la construction du canal s’appuya), cet ingénieur avait

perfectionné les méthodes de nivellement et instruments de mesure (grands niveaux

à bulle et à lunettes, mires parlantes).

Les premières données recueillies pour le nivellement général de la France furent levées fin septembre 1857 à Paris, le long de la Seine. Les opérations se

poursuivirent à travers toute la France jusqu’en avril 1863, par le soin de brigades

comprenant un opérateur, un lecteur et deux portes mires. Ces brigades arpentèrent

ainsi des lignes qui suivaient des voies de communication : fleuves, rivières,

canaux, voies ferrées, routes impériales et départementales, chemins vicinaux. À

chaque kilomètre environ, l’emplacement référencé fut signalé par des repères ou

plaques métalliques, généralement avec la mention de l’altitude. Le modèle type de

repère métallique ne fut cependant adopté que par décision ministérielle du 15

novembre 1858, soit plus d’un an après le début des opérations.

Fig. 4 : Repères Bourdalouë

Les altitudes furent tout d’abord rapportées au niveau moyen de l’océan observé à


Saint-Nazaire ; les différences sensibles constatées le long du littéral conduisirent

finalement à la décision ministérielle du 13 janvier 1860 fixant le point fondamental –

le « zéro Bourdalouë » – au niveau moyen de la Méditerranée, à 40 centimètres au-

dessus de l’échelle des marées observée au fort Saint-Jean, à Marseille." (Archives

Nationales).

En 1878, il s'avéra nécessaire de vérifier et de compléter le réseau Bourdalouë. Ce

réseau est entrepris en 1884 et est confié à l'ingénieur Charles Lallemand. Il est

rattaché au niveau moyen des mers par un marégraphe totalisateur (appareil muni d'un

flotteur et permettant d'enregistrer le mouvement des marées et ainsi de déterminer le

niveau moyen de la mer) installé dans l'anse Calvo à Marseille qui fonctionnera du 1er

février 1885 au 1er janvier 1897. (Voir annexe 1).

Fig. 5 : Mécanisme du marégraphe

Le zéro ainsi déterminé correspond à la cote 0,329 de l'échelle du Fort Saint-Jean soit

71 mm au-dessous du zéro BOURDALOUË. Un contrôle sera effectué par 19

marégraphes et 11 médimarémètres (appareil inventé par M. Lallemand) situés dans

différents ports français.

Fig. 6 : Bâtiment supportant le marégraphe

Le zéro de nivellement Lallemand ainsi déterminé est dit "Zéro Normal".


La pièce qui symbolise le marégraphe de Marseille est un rivet de bronze dont la calotte est constituée d'un alliage extrêmement résistant de platine et d'iridium qui a

été enchaîné dans une plaque de granit scellée dans les rochers à une côte de 1,661

mètre au-dessus du niveau de la mer et est appelé repère fondamental.

Fig. 7 : Repère fondamental de nivellement

Depuis 1897, le marégraphe (classé monument historique) continue de suivre avec

précision les oscillations de la mer et un géomètre de l'IGN continue chaque semaine à

remonter le mécanisme et à noter les mesures du marégraphe. Depuis une dizaine

d'année, en parallèle de l'appareil d'origine un marégraphe numérique a été installé.

Le dernier réseau en vigueur est le réseau NGF IGN 1969 : établi de 1962 à 1969 par l'Institut Géographique National. On a conservé comme point de départ le "Zéro

Normal" défini par Charles Lallemand. C'est ce réseau qui est actuellement le réseau

de nivellement officiel en France métropolitaine. Ce réseau est régulièrement recalculé

(calcul de compensation). Ainsi, les cotes des repères de l'IGN 69 par rapport au Zéro

Normal peuvent avoir été modifiées depuis la première détermination de l'altitude des

repères en 1969. Pour la Corse, le réseau est le NGF IGN 78 qui a été fini en 1978.

4.2 Constitution du réseau

Le réseau actuel NGF IGN 1969 s'appuie en grande partie sur les mesures du réseau N.G.F. de C.

Lallemand qu'il complète et s'en différencie

essentiellement par les moyens de calculs.

se présentent sous des formes diverses : Bourdalouë Le

réseau est constitué de mailles (voir carte page

suivante), c'est à dire de polygones formant des

boucles. Le long des sections, parties communes à 2

polygones voisins, sont disposés des repères qui

peuvent être des médaillons, consoles, boules ou rivets.

Les données descriptives des repères de nivellement sont accessibles par le moyen

d’une fiche signalétique. Chaque repère possède sa fiche et chaque fiche correspond à

un repère et un seul.

Fig. 8 : Repère Médaillon


Il y a quatre ordres imbriqués les uns dans les autres, du plus précis (1er ordre) au

moins précis (4ème ordre).

Fig. 9: repères console et boule

Le territoire national comprend 40 polygones fermés de 1er ordre. Chaque polygone de 1er ordre est divisé en 7 mailles de 2ème ordre. Chaque maille de 2ème ordre est

divisée en 10 à 15 mailles de 3ème ordre et à l'intérieur des mailles de 3ème ordre, on

nivelle des traverses de 4ème ordre.

Fig. 10 : Extrait du réseau de nivellement

Les nombreux profils de rivières, nivellements réalisés le long des cours d'eau de 1910 à 1970, sont considérés comme des traverses de 4ème ordre.


Ordre Longueur (km) Nombre de repères Précision (écart-type)

1er 13 754 22 440 2,0 mm

2ème

18 510 30 040 2,3 mm

3ème

45 600 76 080 3,0 mm

4ème

169 330 263 310 3,6 mm

Profil de rivière 50 000 environ 60 000 environ

Total 300 000 environ 450 000 environ

La numérotation est composée des lettres de chacune des mailles

Exemple de numérotation :

1er ordre F'L'-26 Entre les mailles de 1er ordre F' et L'.

2ème ordre F'.ED-32 Dans la maille de 1er ordre F' et entre les mailles de 2

ème

ordre E et D.

3ème ordre F'.E.N3P3-19 Dans la maille de 1er ordre F', dans la maille de 2

ème ordre E

et entre les mailles de 3ème

ordre N3 et P3.

4ème ordre F'.E.N3-78 Dans la maille de 1er ordre F', dans la maille de 2

ème ordre E

et dans la maille de 3ème

ordre N3.

4.3 Ecart entre le géoïde et l'ellipsoïde

L'écart entre les altitudes H et les hauteurs ellipsoïdales h (voir coordonnées géographiques

p.13) est appelé ondulation N avec :

h=H+N

En France la transformation de l'altitude en hauteur ellipsoïdale peut être obtenue à l'aide de la

grille RAF09 (Référence Altimétrique Française de 2009). "Cette grille permet donc de

calculer les altitudes de points connus en RGF93, et d'effectuer du nivellement par GPS en

France continentale. La grille RAF09 a été obtenue par comparaison et adaptation du modèle

de géoïde QGF98 aux points GPS nivelés du Réseau de Base Français de l'Institut

Géographique National. La précision d'opérations de nivellement par GNSS s'appuyant tant

sur le RGP (Réseau géodésique Permanent) que sur les points du Réseau de Base Français et

utilisant RAF09, estimée par des tests indépendants, est de l'ordre de 2 à 3 centimètres si les

mesures et traitements GNSS sont de qualité suffisante" (Doc I.G.N).

La RAF09 se présente sous la forme d'une grille en coordonnées géographiques RGF93, en

degrés décimaux. Le pas de la grille est 0,025°en latitude, 0,0333° en longitude, soit un point

tous les 2,7 km environ, ce qui permet une interpolation bilinéaire si on ne recherche pas une

précision d'interpolation meilleure que le centimètre. La grille RAF09 a été intégrée dans de

nombreux logiciels GPS et dans le logiciel CIRCE distribué gratuitement par l'IGN2.

2 L'Institut national de l'information géographique et forestière, anciennement Institut géographique

national du 27 juin 1940 au 31 décembre 2011, dénomination dont il a conservé l'abréviation IGN, est un


4.4 Le champ de pesanteur

Le géoïde est une surface équipotentielle du champ de pesanteur qui correspond

approximativement au niveau moyen des mers.

Les points sur la terre sont soumis à deux forces :

La force centrifuge due à la rotation de la terre . La gravitation .

Sur une même verticale ces deux forces ayant des normes différentes cela conduit à des

pesanteurs dont la direction et la norme sont différentes.

Fig. 11 : Indication de la pesanteur

Comme nous pouvons le voir sur la Fig.11, du fait de pesanteurs différentes, les

surfaces équipotentielles ne sont pas parallèles. Cela conduit à avoir des altitudes

différentes suivant le chemin suivi pour aller d'un point à un autre sur des surfaces

différentes.

Les altitudes sont dites normales, elles prennent en compte un modèle utilisant des mesures de pesanteur réelle.

établissement public à caractère administratif ayant pour mission d'assurer la production, l'entretien et la

diffusion de l'information géographique de référence en France.


5 Les coordonnées géographiques

Le méridien origine est le méridien international de Greenwich3.

La longitude d'un point est l'angle que fait le plan du méridien

passant par ce point et le plan du méridien d'origine

(Greenwich). Elle se compte de 0 à 180 degrés vers l'est ou vers

l'ouest.

Représenté sur le schéma par la lettre .

La latitude d'un point est l'angle que fait le rayon de la terre

passant par ce point avec le plan de l'équateur. Elle se compte de

0 à 90 degrés vers le nord ou vers le sud.

Représenté sur le schéma par la lettre .

Sur l'ellipsoïde, la latitude est l'angle que fait la normale du lieu

par rapport au plan de l'équateur. Il est à noter que les normales

ne convergent pas au centre des masses de la terre.

6 Les systèmes géodésiques

Un système géodésique est un ensemble de paramètres qui définit mathématiquement la

forme de la terre. Il est constitué de :

Un centre de la terre défini comme centre des masses en fonction des connaissances scientifiques en date de son calcul.

Un système d'axes O, X, Y, Z

3 Sur l'ellipsoïde de Clarke (1880), le méridien de Paris (observatoire) est à 2° 20' 14, 025" E soit 2,596 921 296

gr E du méridien de Greenwich.

A

B

B A

O

P'

P

E E'

Fig. 12 : Longitude/latitude

Fig. 13 : Normale en un lieu


.

Un ellipsoïde.

Des points de référence sur la terre. Un système géodésique est constitué du choix d’un ellipsoïde et d’un ensemble de paramètres

qui permettent de se positionner sur la terre et qui après transformation permettront d’obtenir

une carte.

Les ellipsoïdes sont caractérisés par :

le demi grand axe a

le demi petit axe b

l'aplatissement (anglais : flattening) : a-b

f=a

l'excentricité (anglais : eccentricity) : 2 2

2

a - be=

a

Exemples :

Systèmes

géodésiques

Ellipsoïde

associé a b 1/f e

NTF Clarke 1880 6378249,2 6356515,0 293,466021 0,082 483 256 76

ED50 Hayford 1909 6378388,0 6356911,9461 297,000000 0,081 991 889 98

WGS 84 IAG GRS

1980 6378137,0 6356752,314 298,257222 0,081 819 191 31

Ils permettent un positionnement sur la surface terrestre par un jeu de coordonnées qui peut

être de deux formes :

Coordonnées cartésiennes (X, Y, Z) définies par rapport au centre de la terre.

Fig. 14 : Système cartésien


Coordonnées géographiques , et h (hauteur ellipsoïdale4).

Fig. 16 : Positionnement dans un système géographique

Il existe des dizaines de systèmes géodésiques, mais pour nous, si nous restons en métropole,

les plus utilisés sont :

Le W.G.S. 84

4 La hauteur ellipsoïdale correspond à la distance entre le point considéré et le pied de la normale à l'ellipsoïde en

ce point. La normale étant la perpendiculaire à l'ellipsoïde en un point.

Fig. 15 : Positionnement dans le système cartésien

Z

X

Y

M(X,Y,Z)

M0

X

Y

Z


Le GNSS utilise le système géodésique mondial WGS 84 (World Geodetic System)

établi en 1984. Ce système est associé à un ellipsoïde global le GRS 80.

L’E.D. 50

Après la guerre de 39-45, l’Europe de l’ouest a adopté le système européen ED50

(European Datum 1950) qui est associé à l’ellipsoïde global de Hayford de 1909. Ce

système est largement en vigueur surtout sur nos cartes marines éditées par le

S.H.O.M. (Service Hydrographique et Océanographique de la Marine) par exemple.

La N.T.F. (Nouvelle Triangulation de la France) Ce système est basé sur l'ellipsoïde local de Clarke (1880), sur lequel ont été

positionnés quelques 70 000 points géodésiques, répartis en quatre ordres de mesure.

Le point fondamental est la croix du Panthéon à Paris. En ce point, le géoïde et

l'ellipsoïde sont tangents (la verticale et la normale sont confondues).

Les mesures de la N.T.F., faites par triangulation, ont débutés en 1873 et ont été

officiellement achevées en 1991 avec une dernière mission dans les Landes (voir

annexe 3) et ont permis d’atteindre une densité d’un point géodésique pour 9 km². La précision relative globale est de 10

-5.

Fig. 17 : Schéma du rattachement du Panthéon


Le premier ordre est composé de six chaînes de triangles : trois chaînes méridiennes et

trois chaînes parallèles (Triangles en gras sur la fig. 9). Le premier ordre

complémentaire complète l'ensemble du territoire. Le deuxième ordre s'appuie sur les

points du premier ordre, le troisième sur les points du premier et du deuxième et le

quatrième ordre sur les points des trois premiers.

Un cinquième ordre, appelé aussi ordre complémentaire ou triangulation cadastrale,

vient densifier le nombre de points.

Fig. 19 : Point géodésique de 1er

ordre de la N. T. F.

Fig. 18 : 1er ordre de la N.T.F.


Ces points sont en général représentés sur le terrain par des bornes en granit mais aussi

par des clochers, châteaux d'eau, pylônes ou autres éléments caractéristiques visibles.

Ce système est ancien et n'est plus légal depuis 2001, mais il est encore utilisé par

certains organismes.

Le RGF 93

L'I.G.N. (Institut Géographique National) a mis en place, sur recommandation du

C.N.I.G. (Conseil National de l'Information Géographique : http://www.cnig.gouv.fr/

), un nouveau système géodésique ayant la dénomination de R.G.F. 93 (Réseau

Géodésique Français 1993) qui est un sous-ensemble du système européen E.T.R.S.

89 (European Terrestrial Reference System 1989), lui-même issu du système mondial

I.T.R.S. (International Terrestrial Reference System).

L'expression des coordonnées dans ce système est tridimensionnelle sous forme de

longitude, latitude et hauteur ellipsoïdale ou X, Y, Z (voir : Positionnement dans le

système cartésien Fig. 15 et Fig. 16). Elles sont déterminées par mesures satellitaires

sur l'ellipsoïde IAG GRS 80.

Ce réseau est composé de trois niveaux :

o Le R.R.F. (Réseau de Référence Français)

23 sites sont répartis régulièrement sur l'ensemble du territoire et sont le prolongement

du système européen E.T.R.S. 89, dont 3 font partie du système mondial (ITRS). C'est

le premier niveau hiérarchique du R.G.F. La précision relative entre deux sites du

R.R.F. est supérieure à 10-7

.

Fig. 20 : Schéma d'une borne géodésique

http://www.cnig.gouv.fr/


o Le R.B.F. (Le Réseau de Base Français)

Ce deuxième niveau hiérarchique comprend 1009 sites5 environ. Appuyés sur les

points du R.R.F., ils sont particulièrement destinés aux utilisateurs de G.P.S.. Il y a un

site tous les 25km environ et la précision relative de l'ensemble est de 10-6

. Il est

constitué pour deux tiers de sites nouveaux et pour un tiers de sites de la N.T.F. (37%)

répondant au cahier des charges des points du R.B.F.

Ce sont des sites (pour le R.B.F.) qui répondent à des critères précis :

Bonne répartition sur le territoire.

Chaque site doit être constitué de plusieurs points d'égale précision.

Pérennité des points.

Accessibilité par un véhicule motorisé.

Absence de masques occultant les signaux G.P.S.

Possibilité d'orientation.

Exemple de site du R.R.F. en annexe 4.

o Le R.D.F. (Le Réseau de Détail Français)

Ce troisième niveau est constitué d’environ 80 000 points qui sont essentiellement

ceux de l'ancienne N.T.F.. Ils ont été requalifiés par une procédure de transformation

de système mise au point à l’I.G.N.. La précision relative est de 5. 10-6

.

5 Un site propose au moins 2 points, a des facilités d'accès pour tout véhicule, une orientation est toujours

possible et bien sûr ne présente aucun masque.

Fig. 21 : Réseau de Référence Français

VLBI

LASER

GPS (EURF89)


7 Les systèmes de projection

7.1 Généralités

Le but d'un système de projection est de transformer l'ellipsoïde en une surface géométrique

simple et développable. Il s'agit de plans, cylindres ou cônes.

D'un point de vue mathématique, une projection permet d'établir entre l'ellipsoïde et la surface

développable une correspondance telle que :

E ( , , )f h et N ( , , )g h

où E, N désignent des coordonnées planes, f la latitude, λ la longitude, h la hauteur

ellipsoïdale et f, g des fonctions qui sont continues partout sur l'ensemble de départ sauf sur

un petit nombre de lignes et de points (tels que les pôles). Il existe donc une infinité de

solutions.

Les fonctions inverses existent également :

(E,N)i et (E,N)j

Nous classons les projections en fonction de leur caractéristique :

Les projections dites conformes sont celles qui conservent les angles.

Les projections dites équivalentes sont celles qui conservent les surfaces.

Les projections dites "aphylactiques" ne conservent ni les angles ni les surfaces. Leur intérêt est que ces détériorations peuvent être moindres que

dans les deux cas précédents.

Aucune projection ne conserve les distances (voir Altération linéaire)

7.2 Les différentes projections

7.2.1 Azimutales

On projette l'ellipsoïde sur un plan tangent en un point ou sécant en un cercle.

La zone bien représentée est situé au centre de la projection (image du point de tangence ou

du centre du cercle sécant).

Il existe trois types de projections azimutales, qui se différencient par la position du point de

vue utilisé pour la projection.

7.2.1.1 Projection stéréographique

Cette projection est basée sur le principe de l'inversion qui a comme caractéristique la

conservation des angles. Elle est donc conforme.


Fig. 22 : Projection stéréographique polaire vue en 3D

Si le point de vue est au pôle diamétralement opposé au plan tangent, la projection est stéréographique polaire. Les méridiens se transforment

en droites concourantes et les parallèles en cercles concentriques dont

l'écartement va en grandissant.

Fig. 23 : Projection stéréographique polaire

Si le point de vue est sur l'équateur et toujours diamétralement opposé au plan tangent, la projection est stéréographique méridienne ou

équatoriale.


Fig. 24 : Projection stéréographique méridienne

Sinon dans tous les autres cas c'est une projection stéréographique

oblique.

Fig. 25 : Projection stéréographique oblique

7.2.1.2 Projection gnomonique ou centrale

Le point de vue est situé au centre de la terre et le plan est tangent à l'ellipsoïde.


7.2.1.3 Projection orthographique

Le point de vue est situé à l’infini et la projection s’effectue sur un plan perpendiculaire au

point de vue et généralement positionné sur l’équateur (projection orthographique polaire) ou

sur un plan méridien (projection orthographique méridienne).

Fig. 26 : projections orthographiques

7.2.2 Cylindriques Les projections cylindriques sont caractérisées par un cylindre entourant l’ellipsoïde. Ce

cylindre peut être tangent à l’équateur comme pour la projection Mercator ou suivant un

méridien pour la projection U.T.M.

7.2.2.1 Mercator

Gerhard Kremer dit Mercator (1512-1594) est l'un des fondateurs de la cartographie

mathématique. Il publie en 1569 la première carte du monde à l'usage des navigateurs, sous la

forme d'un ensemble de 18 feuilles.

Fig. 27 : Projection de Mercator

Ce géographe et mathématicien flamand met pour

cela au point une méthode de représentation

cartographique qui porte son nom. Elle consiste à

projeter la surface de la Terre sur un cylindre tangent

à l'équateur.

Fig. 28 : Projection de Mercator


Les méridiens sont donc représentés par des droites verticales équidistantes et les parallèles

par des droites horizontales. Plus on s'éloigne de l'équateur, plus les distances sont exagérées

((voir carte ci-dessous). La projection étant conforme, les méridiens et les parallèles se

coupent sous un angle droit.

Ce type de carte est très utile pour la navigation maritime de l'époque qui se faisait

essentiellement sur la zone équatoriale,

Sur ce type de projection, il suffit de tracer une droite entre deux points, appelée loxodromie,

pour déterminer le chemin le plus direct sans avoir besoin de changer de cap.

7.2.2.2 UTM

L'UTM est un type de projection conforme de la surface de la terre. C'est une projection

cylindrique où l'axe du cylindre croise perpendiculairement l'axe des pôles de l'ellipsoide

terrestre au centre de l'ellipsoïde.

Pour couvrir la surface de la terre, on l'a découpée en 60 fuseaux de 6° en séparant

l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud. Soit au total 120 zones (60 pour le Nord et 60 pour le

Sud). On a alors développé le cylindre tangent à l'ellipsoïde le long d'un méridien pour obtenir

une représentation plane.

Pour une plus grande précision les cylindres sont des cylindroïdes dont la section est une

ellipse.


Le système de projection (représentation) est rectangulaire et mesuré en kilomètres. On peut

donc calculer des distances à partir de coordonnées UTM. Si les points sont sur le même

méridien les longueurs sont rigoureuses, par contre si elles sont sur des méridiens différents

elles sont plus approximatives et elles ne sont plus du tout valables si les points ne sont pas

dans la même zone.

Le territoire français est situé sur 3 fuseaux:

1. UTM Nord, fuseau 30 : entre 6 degrés Ouest et 0 degrés Greenwich;

2. UTM Nord, fuseau 31 : entre 0 degrés et 6 degrés Est Grenwh;

3. UTM Nord, fuseau 32 : entre 6 degrés Est et 12 degrès Est Greenwich.

Le système de coordonnées rectangulaires de la projection UTM est associé à un point de

référence virtuel situé:

- Pour l'hémisphère Nord : sur l'équateur à 500 km à l'Ouest du méridien central

de la zone considérée (500, 0) ;

- Pour l'hémisphère Sud : sur le parallèle situé à 10 000 km au Sud de l'équateur

et 500 km à l'Ouest du méridien central de la zone considérée (500, 10 000) .

Ce décalage de point de référence permet d'avoir des coordonnées positives pour l'intégralité

des points de la zone.


Fig. 29 : Projection UTM, représentation des fuseaux et des zones (Nord)


7.2.3 Coniques Il s’agit d’un cône qui est tangent ou légèrement sécant à l’ellipsoïde. L’axe du cône est mis

en coïncidence avec le petit axe de l’ellipsoïde.

Fig. 30 : Projection conique

La première représentation conique utilisée en France fut celle de Bonne. Elle fut mise en

place par les ingénieurs géographes au 19ème

siècle pour transformer l’ellipsoïde de Du Plessis

en la carte d’Etat Major qui était à l’échelle du 1/80 000 ème

. Cette représentation était

équivalente.

Fig. 31 : Co axialité du cône et de l'ellipsoïde


8 La projection Lambert

La projection Lambert6 a été choisie par la France. Il s'agit d'une transformation conique

conforme.

Fig. 32 : Représentation plane de Lambert

Les méridiens sont transformés en droites concourantes vers la représentation du pôle et les

parallèles en cercles concentriques de centre S, représentant l'image du pôle.

Ces méridiens et ces parallèles se coupent à angles droits, du fait qu'ils se coupent à angles

droits sur l'ellipsoïde et que la projection est conforme.

8.1 Lambert "zone"

Elle a comme système géodésique référant la N.T.F., c'est-à-dire quelle transforme l'ellipsoïde

de Clarke (1880) en un cône.

Cette projection est tangente et bien sûr conforme.

Dans les faits, il y a quatre zones métropolitaines qui correspondent à quatre projections

différentes qui forment un découpage nord-sud (trois continentales et une pour la Corse).

Cette projection "Lambert zone" n'est plus officielle, mais nous la trouvons encore dans

certains documents, notamment sur les cartes I.G.N.

Ci-dessous les quatre zones.

6 Mathématicien, physicien et astronome naît à Mulhouse en 1728 et mort à Berlin en 1777.


Fig. 33 : Les quatre zones Lambert

Pour toutes les zones, le méridien origine est celui passant par l'observatoire de Paris et situé à

2° 20' 14,025" E du méridien de Greenwich.

Les parallèles origines (isomètres centraux) sont indiqués dans le tableau ci-dessous.

Dénomination Zone Parallèle origine E0 (m) N0 (m)

Lambert I Nord 55 gon 600 000 1 200 000

Lambert II Centre 52 gon 600 000 2 200 000

Lambert III Sud 49 gon 600 000 3 200 000

Lambert IV Corse 46,85 gon 234 358 4 185 861,369

Pour chaque zone, un quadrillage vient se superposer sur la transformation des méridiens et

des parallèles (voir Fig. 34 : Superposition du quadrillage), avec un point origine de 600 km

en E (E0) et 200 km en N (N0).

Nous pouvons noter dans le tableau précédent que le premier chiffre de la coordonnée nord

indique le numéro de la zone et non une valeur kilométrique.

La zone Lambert II a été étendue sur les deux autres zones, de ce fait pour éviter une

chiffraison de la coordonnée nord, négative, l'I.G.N. a transformé ce premier chiffre

indicateur de zone, en millier de kilomètres. Nous rencontrerons donc des coordonnées

Lambert II étendu commençant par un 1ou rien (de 0 km à 1 999 km) dans la zone sud et par

un 3 ou un 4 (de 3 000 km à 4 999 km) dans la zone nord.


Fig. 34 : Superposition du quadrillage

8.2 Lambert 93

C'est une des deux projections officielles à utiliser en France, depuis le décret du 3 mars 2006.

Elle est associée au système géodésique R.G.F. 93.

C'est une projection conique sécante, elle est conforme.

Du fait qu'elle soit sécante, il y a deux parallèles d'échelle conservée dits automécoïques de

latitude respective : 44° et 49°.

Le parallèle central (isomètre central) origine est celui situé à 46°30' de latitude nord et le

méridien central est situé à 3° Est du méridien de Greenwich.

Le point origine, proche du barycentre du territoire, est donc de coordonnées géographiques

rondes (longitude 3° E, latitude 46°30 N). Il a pour coordonnées planes :

Constantes de la projection : E0 = 700 000 m et N0 = 6 600 000.

les coordonnées planes seront toujours :

100 000 < E < 1 200 000

6 000 000 < N < 7 100 000

Caractéristiques particulières :

L'altération linéaire due à cette projection est comprise entre -1 m/km et +3 m/km. La

déformation des longueurs peut donc être importante et rendre malaisées certaines

applications topographiques. C'est en particuliers la variation locale de l'altération qui met en

cause la validité des procédés classiques de calcul de réduction des distances ou de visées

azimutales. Les algorithmes spécifiques sont donc à définir. La quasi linéarité de la variation

de l'altération en fonction de la latitude autorise des méthodes simples d'intégration.


Fig. 35 : Altération du Lambert 93 pour les préfectures

Tableau récapitulatif

Ellipsoïde IAG-GRS 80

1/2 grand axe a = 6 378 137,00

aplatissement f = 1/298,257222101

Projection conique conforme sécante

Parallèles d'échelle conservée φ1: 44° N

φ2 : 49° N

Origine Isomètre central : φ0 = 46°30' N

Méridien central : λ0 = 3° E Greenwich

Coordonnées planes de l'origine E0 = 700 000

N0 = 6 600 000


8.3 Lambert 9 zones

Ces projections ont été développées pour réduire l'altération linéaire, par rapport au Lambert

93. La multiplication des zones amène en effet une altération faible comprise entre -9 cm/km

et +7 cm/km.

Le revers de la médaille est que les zones ont une faible étendue, malgré un recouvrement de

50% des zones voisines. Cela en limite l'emploi dans certain endroit et de plus elles font

double emploi avec le Lambert 93. Donc deux systèmes de coordonnées peuvent cohabiter.

Chacune des neuf zones est bien une projection à part entière comme les Lambert "zone",

avec leurs paramètres spécifiques. Mais elles sont toutes conçues sur le même principe.

Il s'agit de projections coniques conformes sécantes ; d'où leur nom CC pour Conique

Conforme. Le sigle CC est suivi d'un numéro indiquant la latitude du parallèle origine de la

zone exprimé en degré.

Nous avons donc :

N° de la zone Dénomination Latitude de

l'isomètre central

1 CC 42 42°

2 CC 43 43°

3 CC 44 44°

4 CC 45 45°

5 CC 46 46°

6 CC 47 47°

7 CC 48 48°

8 CC 49 49°

9 CC 50 50°

Une zone couvre 2° de latitude et a un recouvrement de 1° (111 km) sur les zones voisines,

comme indiqué sur le plan ci-dessous.

Fig. 36 : Lambert Conique Conforme 9 zones


L'ellipsoïde référent est l'IAG-GRS80 comme pour le Lambert 93.

Les constantes de la projection sont regroupées dans le tableau suivant :

Dénomination Caractéristiques Exemple

Ellipsoïde IAG-GRS 80

1/2 grand axe a = 6 378 137,00

aplatissement f = 1/298,257222101

Projection conique conforme sécante CC 47 (Zone 6)

Isomètre central φ0 = (41+N° de zone)° N 47° N

Parallèles d'échelle conservée φ1 = (φ0 – 0,75)° N

φ2 = (φ0 + 0,75)° N

46,25° N

47,75° N

Méridien central λ0 = 3° E Greenwich 3° E

Coordonnées planes de l'origine E0 = 1 700 000

N0 = ( N° de zone 1 000 000) + 200 000

1 700 000

6 200 000

8.4 Paramètres

8.4.1 LA convergence

Dans la projection Lambert, la direction donnée par le quadrillage est la direction des Y et

non la direction du nord géographique. On introduit alors la notion de convergence des

méridiens définie comme suit :

En d’autres termes, c’est l’angle compris entre l’axe des Y (parallèle au méridien origine de

la zone) et la direction du méridien au lieu considéré.

Cet angle se retrouve au sommet de la projection entre le méridien origine et le méridien du

lieu (angles alternes-internes), car tous les méridiens convergent vers le sommet de la

projection, image de pôle nord (voir Fig. 34).

La convergence des méridiens en un point est le gisement de l’image

(dans la projection) du méridien qui passe par ce point.


Fig. 37 : La convergence des méridiens

Sur la Fig. 37 nous pouvons voir que depuis le sommet O’ :

Le rayon r est calculé dans le plan du parallèle origine de la zone Lambert et -0 est la différence de longitudes entre le méridien du lieu et le méridien origine. Ici nous prenons

l'initiative de compter cette convergence positive à l'est avec comme référence à la Fig. 37

De même depuis le centre S

En égalisant

0

0

rγ = ( - )

R (1)


Fig. 38 : Coupe sur méridien

Sur la Fig. 38 nous pouvons voir que

0

0

rsinφ =

R (2)

En remplaçant dans (1)

0 0γ = ( - ) sinφ (3)

Cette formule est valable uniquement si le cône est tangent. Si le cône est sécant, comme cela

est le cas pour le Lambert 93 et le Lambert conique conforme 9 zones, le calcul de coefficient

de zone n est nécessaire (voir tableau en annexe 6) et la formule devient :

0γ = ( - )n

La formule pour obtenir n est beaucoup plus complexe à obtenir et sa démonstration n'a pas

lieu dans ce cours.

Il faut remarquer que la convergence ne dépend que de la longitude et de la projection utilisée.

C'est-à-dire que si l'on se déplace sur un méridien, la convergence reste la même.

Donc pour calculer un gisement à partir d'un azimut géographique :

G = Az -

8.4.2 L'altération linéaire

Il paraît évident que lorsqu’une distance est mesurée sur l’ellipsoïde (terre représentée

mathématiquement), elle ne peut être représentée dans son intégrité sur un plan. Il y aura

obligatoirement une déformation due à la projection. Comme une peau d’orange ne peut être

mise à plat sans subir de déformations, en l’occurrence des déchirures.


En géodésie, les déformations linéaires sont calculées par deux éléments que sont le module

et le coefficient d’altération linéaire ou de réduction à la projection.

L’altération linéaire est donc représentée par le module de réduction à la projection, noté mr et

le coefficient d’altération linéaire, noté kr.

Dans une projection conforme, le module de réduction à la projection est le quotient entre

une distance en projection Dr et la même distance sur l’ellipsoïde D0.

projection r

r

ellipsoïde 0

distance Dmodule d'altération= m = =

distance D (4)

Le coefficient d’altération linaire est le quotient de la différence entre une longueur sur le plan

de projection Dr et une longueur sur l’ellipsoïde D0 par la longueur sur l’ellipsoïde D0.

rr r

0

Dcoefficient d'altération = K = m -1= 1

D (5)

projection ellipsoïde r 0

r

ellipsoïde 0

distance - distance D - DK = =

distance D (6)

Soit

Dr = D0 + D0.kr

Comme kr est donné en mm/km

-6

r 0 rD = D (1 + k 10 ) (7)

Avec Dr et D0 en m, kr en mm par km.

C’est ce coefficient qui est le plus couramment rencontré, notamment dans le programme de

l’I.G.N. "Circé ", sous la forme de millimètres par kilomètre.

Il permet de calculer une distance en projection à partir d'une distance ellipsoïdale. Pour le

calcul inverse, il faudra utiliser le même coefficient changé de signe.

Pour plus d'information consulter le site de l'IGN ou le lexique topographique.

Le calcul exact du module est fourni en annexe 5.

Le graphique suivant exprime la valeur du coefficient kr en fonction de la latitude pour les

projections en France métropolitaine. Il n'est pas utilisable pour déterminer le coefficient,

mais permet de comparer les coefficients entre eux, de voir les formes générales et les

extremums de ces courbes.

http://www.aftopo.org/FR/LEXIQUE/Projections-conformes-7-72


Fig. 39 : Courbes des altérations linéaires métropolitaines

Exemple numérique:

Soit une distance sur l'ellipsoïde de 234,567 m et un coefficient d'altération linéaire de - 345

mm par km.

Pour le calcul de la réduction, 234,567 m s'expriment par 0,234567 km et 345 mm/km par

0,345 m/km. Nous avons alors :

Dr = 234,567 + (- 0,345) × 0,234567

Dr = 234,567 – 0,081 = 234,486 m

En appliquant la formule (7)

Dr = 234,567 × (1 + (-345 × 10-6

)

Dr = 234,486 m

8.4.3 La correction de réduction angulaire à la corde

Lorsque l'on mesure les angles d'un triangle à la surface de la terre, la somme des ces angles

dépasse 200 gon d'une quantité E appelée l'excès sphérique.

ˆ ˆˆE=A+B+C-π (8)

Le mathématicien Albert Girard7 a démontré que la superficie d'un triangle sphérique dont la

sphère a un rayon R est : 7 Albert Girard, dit le « Samielois », également appelé Albertus Gerardus Metensis, parfois Albert Gérard, né

vraisemblablement le 11 octobre 1595 à Saint-Mihiel et mort à 37 ans, le 8 ou 9 décembre 1632 en Hollande,

probablement près de la Haye, est un mathématicien d'origine française ayant mené toute sa carrière aux Pays-

Bas (source Wikipédia).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Metz

http://fr.wikipedia.org/wiki/11_octobre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Octobre

http://fr.wikipedia.org/wiki/1595

http://fr.wikipedia.org/wiki/9_d%C3%A9cembre

http://fr.wikipedia.org/wiki/1632


2S=E×R (9)

Cet excès sphérique ramené à chacune des visées des angles du triangle "sphérique" est

appelé correction de réduction à la corde dont le symbole est rc ou dv.

La transformée d'une ligne géodésique8 géodésique est une courbe différente d'une droite. Les

triangles géodésiques ont donc pour transformés des triangles curvilignes plans dont les

angles aux sommets ont été conservés par le système de représentation (conforme). Nous

remplaçons ces triangles par des triangles à cotés rectilignes en introduisant cette correction

qui est donc l'angle entre l'image d'une ligne géodésique sur le système de projection utilisé et

la corde qui sous-tend cette géodésique (voir le lexique topographique).

Les transformations sur le système de projection des courbes de visée, (que l'on peut assimiler

à des transformées de lignes géodésiques de l'ellipsoïde), tournent toujours leur concavité

vers le parallèle origine en projection Lambert (ou vers le méridien origine en projection

UTM).

Le calcul de cette correction est donné par la formule :

dv D sin AZ

Avec

D : distance en km entre la station et le point visé.

Az : Azimut ou gisement

0sin sin

2.R.cos .sin 0,0001

le résultat de cette expression est en décimilligrade par

kilomètre en prenant la latitude f d'un point T situé au tiers de la visée.

Le dv sera donc en dmgon.

En reprenant l'exemple cité dans l'ouvrage de S. MILLES, soient 2 points en Lambert III et

une latitude de 48.47 gon pour le point T situé au tiers de la visée.

E N Dh G

Station en A 982 165,63 154 744,35

11420,50 17,11237

Visée sur B 985 198,63 165 754,74

8 Courbe tracée sur une surface telle que son plan osculateur soit constamment normal à la surface. C'est une

courbe gauche unique qui représente le plus court chemin entre deux points sur cette surface (en l'occurrence

l'ellipsoïde).

http://www.aftopo.org/FR/LEXIQUE/Projections-conformes-7-72?PHPSESSID=9e4ec24d7e7be2d648b983adf54b87fd


" On place ces points sur la carte : leurs coordonnées géographiques sont proches de 5,27 gon

Est de Paris et 48,44 gon Nord pour A, et 5,31 gon Est de Paris et 48,55 gon Nord pour B. Au

point T, situé au tiers de AB à partir de A, la valeur de m est " :

sin 48,47 sin 49

= 0,414 dmgon2 6378 cos 48,47 sin 0,0001

f0 est la latitude du parallèle origine de la zone, ici 49 gon.

En poursuivant le même exemple.

dv 0,414 11,42 sin17,112 1,26 dmgon

En simplifiant la formule du dv, nous arrivons à une formule approchée qui nous permet un

calcul plus rapide.

dv K X

(K est environ égal à , mais comme il n'est pas calculé de la même façon il est habituel de lui donner cette appellation).

Avec 0YK

128 : Y0 étant la distance du point jusqu'à l'isomètre central et non la soustraction

de l'ordonnée de l'origine du système de l'ordonnée du point (N-N0) comme écrit dans de

nombreux ouvrages. Pour ce calcul d'Y0, il est impératif de connaître la latitude f du point T

au tiers de la visée. En reprenant l'exemple :

Y0 = (f-f0) . R . sin1 ≈ (f-f0) × 100

Y0 = (48,47-49) × 100 = - 53 km

d’où 53

K 0,414128

X est la différence d'abscisses en la station et le point visé (E extrémité – E origine)

exprimée en kilomètre.

Dans notre exemple X = 985,199 – 982,166 = + 3,033 km D’où le

dv = - 0,414 × (+ 3,033) = -1,26 dmgon

Toujours confirmer le signe de cette correction en faisant un croquis qui rappelle que la

transformée d'une ligne géodésique tourne sa concavité vers le parallèle origine de la zone.

Nous pouvons remarquer la petitesse de cette correction qui est toujours inférieure à la

précision des mesures topométriques. Elle sera donc négligée, même dans les projections

officielles (Lambert 93 ou CC) où les valeurs de correction à la corde en topométrie vont

rarement dépasser quelques décimilligrades.

Dans certains logiciels (Covadis par exemple de l'éditeur Géomédia), des écarts de l'ordre de

1 ou 2 décimilligrades par rapport aux valeurs initiales peuvent se rencontrer car ils

appliquent cette correction.


9 Transformation entre systèmes géodésiques

9.1 Transformation de coordonnées

Transformer des coordonnées signifie passer d’un système de référence à un autre.

Si une transformation ne concerne que le passage d'un type de coordonnées à un autre

(géographiques vers planes par exemple) du même système de référence terrestre, une

expression mathématique permet de la réaliser, il s'agit des transformations en vertical.

Mais, si un changement de système est nécessaire (transformations en horizontal), des

paramètres de transition d'un système à l'autre doivent alors être utilisés.

Ces paramètres peuvent être uniques pour assurer une transformation exacte et complète (par

exemple : la transition entre coordonnées géographiques ne nécessite que la connaissance de

deux paramètres d’ellipsoïde) ou peuvent au contraire varier avec le lieu. Des grilles de

changements de systèmes (comme GR3DF97A) et de conversion altimétrique (comme la

RAF09 ) sont alors nécessaires.

Il existe des logiciels, tels que Circé (référence en France) qui effectuent les transformations

de coordonnées.

Le principe du processus de transformation est l'interpolation, dans un semis de points

régulièrement répartis, ou "grille", de paramètres tridimensionnels de translation entre

systèmes. Ces points constituent la grille de paramètres GR3D97A au pas régulier de 0.1° en

longitude et latitude.

Circé transforme des coordonnées dans les systèmes français que ce soient des coordonnées

géographiques ou planes. Il est préférable pour un topographe d'utiliser la transformation

grille.


Diagramme des transformations de coordonnées


Annexe 1

Retour


Annexe 2

Retour


Annexe 3

Retour


Annexe 4


Retour


Annexe 5

Annexe 6

Zone f0 Sin f0 n C

Lambert zone

55,00 gon 0,760 405 965 6 0,760 405 965 6 11 603 796,98

52,00 gon 0,728 968 627 4 0,728 968 627 4 11 745 793,39 49,00 gon 0,695 912 796 6 0,695 912 796 6 11 947 992,52 46,85 gon 0,671 267 932 2 0,671 267 932 2 12 136 281,99

Lambert 93 46°30 0,725 374 371 0 0,725 607 765 0 11 947 992,52

Lambert Conique

conforme 9 zone

50° 0,766 044 443 1 0,766 066 565 55 11 583 954,252

49° 0,754 709 580 2 0,754 731 385 18 11 626 445,901

48° 0,743 144 825 5 0,743 166 306 07 11 676 255,995

47° 0,731 353 701 6 0,731 374 851 04 11 733 783,882

46° 0,71 339 800 3 0,719 360 611 86 11 799 460,698

45° 0,707 106 781 2 0,707 127 248 16 11 873 753,393

44° 0,694 658 370 5 0,694 678 486 32 11 957 169,269

43° 0,681 998 360 1 0,682 018 118 35 12 050 261,119

42° 0,669 130 606 4 0,669 150 000 69 12 153 633,058

Retour

Retour


(Attention: L'ellipsoïde de référence WGS84, associé au système WGS84, diffère légèrement

de l'ellipsoïde de révolution IAG GRS 80 pour la valeur de l'aplatissement. Cela implique de

légères modifications des valeurs calculées. Par exemple, le demi petit axe b augmente de 0,1

mm.)

Par définition :

demi grand axe (GRS80) a = 6 378 137,0 m

demi grand axe (WGS84) a = 6 378 137,0 m

aplatissement (GRS80) f = 1/298,257 222 101

aplatissement (WGS84) f = 1/298,257 223 563

Par calcul :

demi petit axe (GRS80) b 6 356 752,314 140 355 847 852 106 m

demi petit axe (WGS84) b 6 356 752,314 245 179 497 563 967 m

première excentricité (GRS80) e 0,081 819 191 32

première excentricité (WGS84) e 0,081 819 190 842 622

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