LA CARTA DE SMITH

- Pensada para resolver ecuaciones muy repetidas en microondas:

- Representación de plano de impedancias y del c. de reflexión

- Líneas r=cte. -> círculos centro [r/(r+1)+j0], radio 1/(r+1)

- Líneas x=cte -> círculos centro [1+j1/x], radio 1/x

- z=1 (Z=50Ω), Γ =0

- z=jx -> Γ =1 0<ϕ<180o (x>0), 180<ϕ<360o (x<0)

- z=1+jx -> Γ=jx/(jx+2) círculo superior,

z=1-jx -> Γ=-jx/(-jx+2) círculo inferior

- z=r+j1 -> si r->0+ => Γ->radio unidad,

si r<0 => Γ sobrepasa circulo unidad

- z=-1 -> Γ=∞

- z real, z<1 => Γ se aproxima a círculo unidad

- Re(z)<0 => Γ sigue en círculo de radio ∞

- Región externa al círculo unidad: impedancias con Re(z)<0

2.1

1

19

r centro radio +∞ 1 0+2 2/3 1/3+1 1/2 1/2+1/2 1/3 2/30 0 1

-1/2 -1 2-1 -∞ ∞-3/2 3 2-2 2 1-5 5/4 1/4

r centro radio Circunferencias deresistencia constante

Líneas r=cte ⇒círcunferenciasCentro: r/(r+1)+j0. Radio 1/(r+1)

-1 1

+j1

-j1

20

r+j1

r-j1

r-j2

r+j2

r+j0

Circunferencias de reactancia constante

1+j1

Líneas x=cte ⇒ circunferenciascentro [1+j1/x], radio 1/x

APLICACIONES DE LA CARTA DE SMITH

Conversión impedancia-admitancia

2.2

Impedancias con parte real negativa

2.3

Respuesta en frecuencia de redes

Medida de la Q de una cavidad

En las frecuencias (f1, f2) de potencia mitad r=x (z=r+jx)

si r=1 => centro en ±j1 y radio 21/2

Q=f0/(f2-f1)

2.4

2

21

Q cargada de un circuito resonante: 0

LfQBW

=

Q de un nodo de un circuito: Sn

S

XQ

R=

Donde ZS=RS+jXS es la impedancia equivalente vista desde dicho nudo

Sn

S

BQ

G=

Donde YS=GS+jBS es la admitancia equivalente vista desde dicho nudo

22

Contornos de Qn constante.

2 2

2 2 2 2

2 2

22

2

1 1 21 (1 ) (1 )

21

1 11

n

n n

U V Uz r jx jU V U V

x UQr U V

U VQ Q

+Γ − −= + = = +

−Γ − + − +

= =− −

+ ± = +

U jVΓ = +

Centro (0, -1/Qn) x>0

Centro (0, 1/Qn) x<0Radio (1+1/Qn

2)1/2

1

23

-0.010.01-0.50.5505011final (f)

0.010.010.50.5-5050-11(A’)

00.020105001inicial (i)

B (Ω -1)G (Ω -1)bgX (Ω)R(Ω)xrPuntos

admitanciaimpedancia

(a)(b)

Adaptación de impedancias con la carta de Smith.

Zi=50Ω Zf=ZA=50+j50Ω0.5

1.0

2.0

1.0

-0.5-1.0

-2.0

(a)

(b)

A’

A

50 Ω

50+j50 ΩXC

BL

1 1

1( ) 50 0 50

1( ) 0.01 0.01 0.02 ; 50

C A i

L f A

a X X XC

b B B B LL

ω

ωω

− −

= − = − = − − Ω = − Ω

= − = − = − − Ω = − Ω = Ω

Uso de topologías específicas.

24

0.0080.0160.40.8-2550-0.51(B’)

-0.010.010.50.5505011Punto final (f)

-0.0080.016-0.40.825500.51(B)

00.020105001Inicial (i)

B (Ω-1)G (Ω -1)bgX (Ω)R(Ω)xrPuntos

admitanciaimpedancia

(a)(b)

Adaptación de impedancias con la carta de Smith.Zi=50Ω Zf=ZA=50+j50Ω

'

1 11 '

1

2 2

1( ) 25 0 25

1( ) 0.008 0.008 0.016 ; 62.5

( ) 50 25 25

C B i

L B B

L f B

a X X XC

b B B B LL

c X L X X

ω

ωωω

− −

= − = − = − − Ω = − Ω

= − = − = − − Ω = − Ω = Ω

= = − = − − Ω = Ω

(c)

0.51.0

2.0

1.0

-0.5-1.0

-2.0

A

B

B’

(a)(b)

(c) 50 Ω

50+j50 Ω

XC

BL1

XL2

25

Uso de topologías específicas. Restricción de impedancias.

26

1 11 1 12 21

2 21 1 22 2 111

2 2

'/

L12 21 -j2L11 LL

L22L

b S a S ab S Sb S a S a S + = = - 2S ea 1- Sa b

θ θρ θ

= +⎧ ⎫⎪ ⎪ Γ= + ⇒ = = Γ⎨ ⎬

Γ⎪ ⎪Γ =⎩ ⎭

cot ; tan

-j211 LS = = 1 -2e

1+z = = -j y j1-

θ θ

θ θ

′ ΓΓ

=Γ

11'tan ; cot

-j2LS = - = 1 180 - 2e

z = j y j

θ θθ θΓ

= −

-1 -10 Loc sc

c 0

R X= ( ) = ( )tg tgX R

θ θ

• Parámetros S de líneas de transmisión

• Línea terminada en carga ΓL:

•ΓL=1 circuito abiertoopen stub: reactancia capacitiva

• ΓL=-1 cortocircuitoshorted stub: reactancia inductiva

• Dada reactancia Y longitud eléctrica:open stub: empieza en 0o y rota en sentido horario 2θshorted stub: empieza en 180o y rota en sentido horario 2θ

• Cada λ/4 la reactancia cambia de signo- útil cuando no se pueden hacer cortocircuitos.

shorted stub 45o = open stub (90-45)o

- secciones λ/2 para separar componentes- a mayor longitud más selectivos

z=3.08jz=1.35jf=1.2GHz

θ=162oθ=45·1.2=54ºf=1.2GHz

-jcot135o=1jz=jtg45o=1jf=1GHz

o.s. 135ºs.s. 45of=1GHz

S11=S22=0S12=S21=e-jΘ Θ=ωl/c=2πl/λ

Adaptación de impedancias con líneas de transmisión

a1

a2b1

b2

ΓL

0.125

0.250

0.375

0.500

Circuito abierto

Sentido: alejarse de la carga.Criterio: hacia el generador

l

Z ,0

in o= e-2j

0.125

0.250

0.375

0.500

Cortocircuito

Sentido: alejarse de la carga.Criterio: hacia el generador

l

o

o

o

o

o

o in o= e-2j

Z ,0

o

o o

o

Sentido: alejarse de la carga.Criterio: hacia el generador

l

o in o= e-2j

Z ,0 ZL

in

2

Topologías de elementos distribuidos

- Conexión serie de open-stub y shorted stub difícil con microstrip

- Para conseguir la tierra para polarización y el elemento serie para corregir

inductancias parásitas de transistores y cables:

Shorted stub paralelo TLs + línea de transmisión TL

- Origen → A': círculo de conductancia cte. =20 mmho ⇒ BL=-20mmho

longitud shorted stub = desde 180o hasta encontrar el circulo de susceptancia

normalizada -1 =(180-90)/2=45o

- Línea de transmisión: Γ→Γ' rotando en sentido horario

A': θ1=116.6o, A: θ2=63.4o ⇒

longitud eléctrica=-(63.4-116.6)/2=26.6o

- condensador de desacoplo si es necesario

- "Bypass" en el shorted stub: condensadores u open stub λ/4 (buena tierra RF a

frecuencia determinada)

2.7

27

Si Zin, ZL ∈ ú Y Zc∈ ú y se puede trasladar ZL6 Zin con línea λ/4

Ej.: 50Ω 6 20Ω con λ/4 de impedancia Zc=(50·20)1/2=31.62Ω

20Ω en círculo que pasa por A Y añadir línea de longitud-(63.4-180)/2=58.3o

tantan

L cin c

c L

2co

in c in LL

+ jZ Z = Z Z + jZ ZZ= = , =90 Z Z Z ZZ

θθ

θ ⇒

Impedancia característica de líneas … Impedancia de referencia.

• Línea terminada en cortocircuito o circuito abierto:

• Γ para línea terminada: expresión compleja- renormalizar carta, rotar y volver a normalizar

• Caso simple especial: línea λ/4 Zc…Z0

0 0- cot , cotc s sZ jZ Z jZθ θ= =

0.50.2 1.0

0.51.0

2.0

Z =31.6 c Ωθ=90o

Z =50 c Ωθ=58.3o

Zin=50+j50 Ω50 Ω

A

63o

PARÁMETROS S DE TRANSFERENCIA

Útil para combinar redes en cascada

Ondas de salida como variables dependientes:

(problema con redes unilaterales)

2.9

DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL

1) Cada variable a1, a2, b1, b2 se

designa como un nudo

2) Cada parámetro S es una rama

3) Rama de nudo de variable

independiente a dependiente

4) b1, b2: variables dependientes, a1, a2:

v. independientes.

5) Nudo= suma de variables que

convergen en él

Aplicaciones

1) Generador de tensión (ver apéndice)

2) Carga

3) Carga conectada al generador 4) Red entre generador y carga.

2.10

REGLA DE MASON O DE LAZOS NO TOCANTES

Lazo de 1er orden: producto de ramas en un bucle siguiendo flechas

Lazo de 2º orden: producto de 2 lazos de 1er orden no tocantes

Lazo de n orden: producto de n lazos de 1er orden no tocantes

Cálculo de un nudo de la red (Ej: b1):

1) Identificar variables independientes (bs)

2) Identificar caminos entre bs y b1 siguiendo flechas (S11, S21ΓLS21)

3) Encontrar lazos no tocantes respecto a los caminos encontrados (S22ΓL no toca

con camino S11)

4) Regla de lazos no tocantes:

Pi: camino i

ΣL(k)i: suma de lazos de orden k que no tocan con camino i

ΣL(k): suma de lazos de orden k

Regla útil para encontrar expresiones de ganancia y potencia:

2.11

Potencia entregada a la carga: Pdel= Pincidente- Preflejada= a' 2- b' 2

Potencia disponible en la fuente: potencia

entregada a una carga adaptada conjugada

Pavs=[ a' 2- b' 2]=[ b 2- a 2]

Ganancia en tensión: cociente entre tensiones

totales

Ganancia de transducción: potencia entregada a la carga entre potencia disponible

en la fuente Gt=Pdel/Pavs

Objetivo fundamental: maximizar ganancia de transducción.

2.12

DEFINICIONES DE GANANCIA

Ganancia de transducción Gt=PL/Pavs (reorganizando el denominador)

Ganancia de potencia Gp: cociente entre potencia entregada a la carga y potencia

de entrada a la red Pin

Ganancia de potencia disponible PA: cociente entre potencia disponible en la red

Pavn y la potencia disponible en la fuente Pavs.

¡Cuidado con el factor 1/2!

2.13

ESTABILIDAD

Maximizar Gt => adaptar de forma conjugada salida y entrada.

Inconvenientes: puede oscilar el amplificador con ciertas impedancias.

- Red condicionalmente estable: Re(Zin), Re(Zout) > 0 para algunas impedancias

positivas de fuente y carga a una frecuencia específica.

- Red incondicionalmente estable: Re(Zin), Re(Zout) > 0 para cualquier impedancia

real positiva de carga y fuente ( Γs ≤1, ΓL ≤1)

Γin =1 : límite de separación de regiones estable y no estable.

Ecuación de circunferencia de radio y centro:

Para ZL=50Ω (ΓL=0) Γin = S11

Si S11 <1 región estable.

No situarse próximo al borde por

problema de alteraciones por

temperatura, envejecimiento,

sustitución de transistores.

2.14

Estabilidad incondicional

Estabilidad en un rango de frecuencias: se construye círculos donde pueda existir

problema. Proceso tedioso. Mejor experiencia:

- Región plana de S12 S21 la más preocupante

- Inductores con comportamiento capacitivo a altas frecuencias.

- Diodos túnel: investigar estabilidad fuera de rango de trabajo

2.15

Apéndice: Representación de un generador de tensión mediante el diagrama de

a

bbsflujo

Vs

Zs

Ig+

-

Vg

a

b

Potencia cedida a carga Z0

Se demuestra de esta manera que la variable bs tiene el mismo carácter que las

variables a y b, es decir, su módulo al cuadrado nos da idea de potencia (con el

factor 1/2)

2.16