Vaje: prevajanje toplote

1. Pokazite, da je stacionarna resitev difuzijske enacbe Tt

= 2T

x2pri

robnih pogojih T (x = 0) = T1 in T (x = l) = T2 enakaT (x) = T1 +

T2T1l

x!

2. Dolocite toplotni tok in potek temperature v vecplastnem zidu za sta-cionarno stanje. Zid je sestavljen iz vec homogenih plasti z debelinamili in toplotnimi prevodnostmi i, ki imajo vse enak precni presek S.Temperaturna razlika med eno in drugo stranjo zidu je T1 T2.

1

Prevajanje toplote v 2 D

Stacionarno stanje

Prevajanje toplote skozi ravni steni, ki se stikata pod pravim kotom

Iz knige: Handbook of heat transfer fundamentals, W. M. Rohsenow, J. P. Hartnett, E. N.

Gani

Na predavanjih izpeljali (zapisali) izraz za primer, e steni enako debeli. Potem je rezultat:

Celoten toplotni tok skozi izbrani vogalni del stene je enak,

2121 2ln

21 TTh

L

TTyxhPPP yx

,

ali,

2121 559,0 TT

L

TTyx

h

P

.

2

1) Pokaimo, da iz enabe v omenjenem ubeniku sledi formula, ki smo jo napisali na predavanjih!

Iz gornjega rezultata sledi, da prisotnost vogala povea toplotni tok na enoto viine za 0,559(T1 T2).

2) Premislimo in izraunajmo pri danih materialnih lastnostih kako prispeva kot pri "debeli" steni in pri

tanki steni.

3) Izraunajmo, koliko se povea toplotni tok skozi steno, e namesto ravnega zidu, na polovici doline

zida "zamaknemo", kakor je narisano na spodnji sliki.

4) Izraunajmo, koliko k toplotnemu toku prispevajo koti v prostoru s tlorisom kvadrata! Vse stene naj

mejijo na zunanjost.

Izoterme v kotu:

1

Vaje 2: Prevajanje toplote - Stacionarno stanje

Osnovne enabe

Toplotni tok q je sorazmeren z gradientom temperature dT/dx,

dx

dTq .

Toplotni tok

21 TTl

SP

.

Toplotna upornost

S

dxdR

.

1) Zaporedne plasti

20 cm debela stena iz plinobetona ima povrino 14,6 m2 in toplotno prevodnost 0,12 W/mK.

Na zunanji strani stene je nalepljena 5 cm debela plast stiropora s toplotno prevodnostjo 0,04

W/mK.

a) Koliken toplotni tok tee skozi sestavljeno steno, e je notranja temperatura stene 17oC,

zunanja pa -5oC?

b) Kolikna je temperatura na stiku betona in stiropora? Narii potek temperature v steni!

2) Vzporedni prehodi toplote

Zunanja stena z dolino 10 m in viino 3 m ima 4 m2 veliko okno. Zid stene je debel 30 cm in

ima toplotno prevodnost 0,40 W/mK. U-faktor okna je 2,5 W/m2K. V prostor postavimo

radiator z mojo 1100 W. Kolikna temperatura se ustali v prostoru, e je zunanja temperatura

-12 oC?

Za koliko odstotkov zmanjamo toplotne izgube, e okno zamenjamo z novim, ki ima U =

0,9 W/m2K, in stene obloimo s stiroporom z debelino 8 cm? Toplotna prevodnost stiropora

je 0,04 W/mK.

3) Krogelna lupina

Na enak nain lahko obravnavamo tudi prehod toplote skozi krogelno lupino z notranjim

polmerom r1, zunanjim polmerom r2 in toplotno prevodnostjo (slika 15.3). Temperatura na notranji povrini krogelne lupine naj bo T1 na zunanji pa T2 < T1.

2

21

11

4

1

rrR

.

4) Taljenje ledu

Vzemimo kos ledu, ki smo ga potopili v vodo s temperaturo T1 > 0 C. Doloi hitrost taljenja

ledu ob predpostavki, da ni konvekcije.

tq

TTr

dt

dm 0104

.

Za r0 = 10 cm in T1 = 10 C ter e upotevamo, da je toplotna prevodnost vode 0,6 W/mK,

sledi dm/dt = 0,02 g/s.

V koliknem asu se ta koek ledu popolnoma stali?

5) Prestopni koeficienti

S kako debelo plastjo stiropora = 0,04 W/mK moramo obloiti openat zid z debelino 29 cm

in toplotno prevodnostjo = 0,56 W/mK, da bo celotna toplotna prepustnost (ali prehodnost)

U obloenega zidu manja od predpisane vrednosti U= 0,4 W/m2K? Prestopni koeficient na

notranji strani zidu je hn= 8 W/m2K, na zunanji pa hz= 25 W/m

2K.

6) Parna cev

Po elezni cevi z notranjim polmerom r1 = 10 cm in zunanjim r2 = 10,5 cm se pretaka vroa

voda s temperaturo T1 = 80 oC . Zunanji polmer plaa izolacije je r3 = 20,5 cm in ima toplotno

prevodnost = 0,05 W/mK. Toplotni prestopni koeficient s povrine izolacije na okoliki zrak je h = 4 W/mK. Kolikne so toplotne izgube na enoto doline cevi, e je temperatura

okolikega zraka enaka T0 = 10 oC?

1

Vaje 3: Nestacionarni pojavi pri prevajanju toplote

1)

V veliki ravni steni je ob asu t=0 povsod temperatura T2. Nato na eni strani na hitro

spremenimo temperaturo na povrini stene na T1. Kako se spreminja temperatura znotraj stene

in ocenimo po koliknem asu se vzpostavi stacionarno stanje?

Na predavanjih izpeljali: Temperatura v palici kot funkcija kraja in asa je enaka

1

/21

211

/sin)(2),(

222

n

Ltn

n

LxneTTx

L

TTTtxT

.

Nariemo potek temperature za razline materiale in debeline L s poljubnim programom

.

Vsota v izrazu za temperaturo hitro konvergira na raun faktorja n

2 v eksponentu, tako da je dominanten prvi

len v vsoti. Zato je stacionarno stanje doseeno praktino po asu, za katerega velja t = L2. V tem primeru je

eksponentni faktor v prvem lenu enak 2e 10-4,3 = 5,0 10-5. e imamo 1 m dolgo bakreno palico s toplotno

prevodnostjo = 380 W/mK, gostoto = 8,9103kg/m3 in specifino toploto c = 385 J/kgK, potem je termina

difuzivnost = /c = 11110-6 m2/s. as, v katerem se vzpostavi stacionarno stanje, pa je enak

t = L2/ 104 s = 2,8 h.

Kako je as v katerem doseemo stacionarno stanje odvisen od debeline stene? Zakaj se v gradovih temperatura

manj spreminja tekom dneva kakor v novejih stavbah?

2

2)

Slika 1.17 Zunanja stena zgradbe. Temperatura v prostoru (na sliki leva stran stene) naj bo konstantna T0,

zunanja naj periodino niha okoli T0.

Fig. 1.18 c) Temperature distribution in the wall at various times as determined by eq.(1.38b).

The remaining parameters are the same as in Fig. 1.18a.

.

(1.38b)

3

3)

Doloimo porazdelitev temperature v odvisnosti od asa v dveh neskonno dolgih ravnih palicah z enakim

prenim presekom in terminima difuzivnostma 1 in 2, ki se stikata na enem koncu. Zaetna temperatura ene palice naj bo T1, druge pa T2 < T1. Zakaj se nam betonska tla zdijo hladneja od lesenih?

Naloga: Fazno spremenljiva plast

FSP (Fazno Spremenljiva Plast) ima debelino L in temperaturo Tt Ts. V trenutku t = 0 se

temperatura na eni povrini povia na Tt + Tl in ostane stalna. Temperaturo druge povrine

pa vzdrujemo na zaetni vrednosti. Doloi debelino staljenega dela FSP potem, ko se

vzpostavi stacionarno stanje. Oceni tudi as, ki je za to potreben. Predpostavi, da sta gostoti

kapljevinske in trdne faze priblino enaki.

Uporabimo enabo:

,

ki sledi iz ohranitve energije na meji med fazama. V stacionarnem stanju je odvod po asu enak ni. Dobimo:

.

Vzemimo, da je FSP ledena ploa in da velja, Tl = Ts. V tem primeru imamo

. e upotevamo l =

0,6W/mK in s = 2,1W/mK, sledi

. Stali se torej 22% ledu.

Ocenimo e as taljenja. V ta namen izraunajmo Stefanovi tevili za vodo in led.

,

.

Iz gornjih izrazov sledi, da sta Stefanovi tevili v eni in drugi fazi majhni v primerjavi z 1, e je Tl Ts 10K.

V tem primeru lahko privzamemo, da se med taljenjem FSP v eni in drugi fazi vzpostavi kvazistacionarno stanje

in smemo za temperature v obeh fazah zapisati,

,

,

Dobimo diferencialno enabo za xM(t). Reimo jo z integriranjem:

.

Karakteristien as , ki doloa priblievanje k stacionarnemu stanju je oitno

.

Za Tl = Ts = 10K in ledeno ploo debeline 10cm sledi,

.

e v enabi za t izberemo

sledi za izbrane podatke,

.

Fig.1.24: Comparison of temperature distribution in a slab of ice, for various values of time, as obtained by

numerical solution of the corresponding equations(thick solid line), Stefan-type solution(thin solid line) and the

linear approximation(dashed line) derived in the previous example. The graphs were calculated and plotted by

Dejan Kolari. The material constants are given in the previous example.

Fig.1.24: Comparison of temperature distribution in a slab of ice, for various values of time, as obtained by

numerical solution of the corresponding equations(thick solid line), Stefan-type solution(thin solid line) and the

linear approximation(dashed line) derived in the previous example. The graphs were calculated and plotted by

Dejan Kolari. The material constants are given in the previous example.

Vaje: sevanje

1. Primerjajmo izgube skozi 8m 3m veliko zunanjo steno zaradi pre-vajanja (prehodnost U = 0,4 W/m2K) in sevanja! Okolica naj imatemperaturo 0 C, stena 3 C (mejna plast!), notranjost 20 C.

2. Med dvema vzporednima stenama, katerih toplotni prepustnosti sta U1in U2, vzdrzujemo stalno temperaturo TN . Temperatura zraka na zu-nanji strani ene in druge stene naj bo T (L)z , T

(D)z > TN . Gostoti neto

sevalnega toka na zunanji povrsini sten oznacimo z j(L)sol in j

(D)sol . Doloci

gostoto toplotnega toka, ki priteka iz zunanjosti v prostor med ste-nama in temperaturne skoke na notranjih povrsinah sten. Emisivnostino