1

Kwantowe oscylacje Rabiego

2

Wnęka rezonansowa

krótka: duża odległość między rezonansami

3

Hamiltonian Jaynesa–Cummingsa

HA = ω0σz/2

HR = ωa†a

Hint = E · d Ω2 (a

†ωσ− + aωσ−)

Całkowita liczba wzbudzeń zachowana

pole

zachodzą oscylacje pomiędzy

E. T. Jaynes and F. W. Cummings,

Proc. IEEE 51, 89 (1963)

Ωn =√∆2 +Ω2(n+ 1)

|n, e〉 ↔ |n+ 1, g〉

Ntot = a†a+ σz

4

Wykrawanie podprzestrzeni

• Ntot=1

|ψ(t)〉 = α(t)|0, e〉+ β(t)|1, g〉

α = iΩ1β

β = iΩ∗1α

5

Cavity QED

6

Cavity with n photons

n = 0

Frequency of Rabi

oscillations:

pe( t)

n = 1

n = 2

n = 3

Ωn = Ω1√n+ 1

Hint = E · d Ω2 (a

†ωσ− + aωσ−)

jak to zmienić?

7

Excited atom in an empty cavity

co to za stan?

8

Entanglement

wpuszczamy drugi atom, żeby dostać:

(|g, e〉+ |e, g〉)/√2

Jakie warunki?

9

Inżyniera stanów

|ψ〉 ∝ |0〉 ⊗ (|egg〉+ |geg〉+ |gge〉)

10

Wnęka stratna

β(t)e−iωteikz + e−ikz√

2L

normalizacja po z

ψ(t− z/c)√c

eikz−iωt

φ(t+ z/c)√c

e−ikz−iωt

11

Wnęka stratna

Transmisja T

obliczmy wpływ

po pełnym obiegu

β(t)√2L

Γ =T

4L/c

√T

β(t)√2L

=ψ(t)√

c

φ(t)/√c

√1− T

β(t)√2L

+√

T/cφ(t)

12

Wnęka stratna

β(t)e−iωteikz + e−ikz

2L

β = −Γβ +√2Γφ

ψ =√2Γβ

ψ(t− z/c)√c

eikz−iωt

φ(t+ z/c)√c

e−ikz−iωt

13

Wnęka stratna

α|0, e, 0〉+ β|1, g, 0〉+∫

dτψ(τ)|0, g, 1 : τ〉

ψ =√2Γβ

α = iΩ1β

β = iΩ∗1α− Γβ

14

Silne i słabe sprężenie

α|0, e, 0〉+ β|1, g, 0〉+∫

dτψ(τ)|0, g, 1 : τ〉

ψ =√2Γβ

α = iΩ1β

β = iΩ∗1α− Γβ

Ω1 =E1ω · d

= d · ek,λ√

ω

2ε0V

15

Relaksacja w atomie 2-poziomwym

16

Poszerzenie niejednorodne

Inhomogeneous broadening

np. Cr3+:Al2O3

17

Poszerzenie dopplerowskie

p(vx) = e−mv2x2kT

profil Voighta

α(ω) ∝∫

dω0p(ω0)1

1 + (ω − ω0)2T 22

18

Poszerzenie niejednorodne – T2*

|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

∆∆∆∆

19

Echo

fotonowe

20

Relaksacja podłużna – T1

|0〉

|1〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

〈σz〉 = −〈σz〉T1

21

Relaksacja podłużna – T1

ale stan przestaje być czysty…

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉

T2<2T1

|β|2 → (1− t/T1)|β|2

〈σz〉 → (1− tT1)〈σz〉

〈σx〉 → (1− t2T1)〈σx〉

(1− t

2T1

)β

|ψ〉〈ψ| →(α|0〉+ (1− t

2T1)β|1〉

)(. . .)† + t

T1|β|2|0〉〈0|

22

Zadanie

1. Zapisać ewolucje macierzy gęstości odpowiadającej dowolnie wybranemu stanowi czystemu o rzeczywistych współczynnikach pod wpływem relaksacji podłużnej T1.

Zaznaczyć trajektorię na sferze Blocha (w odpowiednim przekroju) dla stanów:

|1〉 (|0〉+ |1〉)/√2

23

Równania Blocha z relaksacją|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

d〈σ〉dt

= 〈σ〉 ×

ΩΩ∆

−

〈σx〉/T2〈σy〉/T2

(〈σz〉+ 1)/T1

24

Stan stacjonarny|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

ΩΩΩΩ

∆∆∆∆

0 = 〈σ〉 ×

ΩΩ∆

−

〈σx〉/T2〈σy〉/T2

(〈σz〉+ 1)/T1

25

Stan stacjonarny

dla słabych pól

〈σ〉 = 1

1/T 22 +∆2 +ΩT1/T2

Ω∆Ω/T2

−(1/T 22 +∆2)

0 = 〈σ〉 ×

ΩΩ∆

−

〈σx〉/T2〈σy〉/T2

(〈σz〉+ 1)/T1

〈σx,y〉 [Ω∆, Ω/T2]

1/T 22 +∆2

〈σz〉 −1

26

Niespójne oddziaływanie z

polem

27

Polaryzacja atomowa

Część dyspersyjna Część absorpcyjna

Polaryzacja

2i∂E0∂z

= −ωcP0ε0

〈er〉 = 〈σx − iσy〉deiωt

P = n〈−er〉 〈σx,y〉 [Ω∆, Ω/T2]

1/T 22 +∆2

28

Profil Lorentza

Część dyspersyjna

Część absorpcyjna

〈σy〉 = ΩT2 11+∆2T 2

2 〈σx〉 = Ω∆

∆2T 22

1+∆2T 22

29

Zadanie domowe 2

2. Niech Ω będzie czysto urojona.

Jaka musiała być faza pola elektrycznego?

Które składowe σ odpowiadają wówczas za polaryzację powodującą absorpcje a które za dyspersję?

Prześledź względne fazy i uzasadnij odwołując się do równania ewolucji pola elektrycznego.

30

d〈σ〉dt

= 〈σ〉 ×

ΩΩ∆

−

〈σx〉/T2〈σy〉/T2

(〈σz〉+ 1)/T1

Równania kinetyczne|1〉

|0〉

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

T2 T1

31

Równania kinetyczne

T2 T1

d〈σ〉dt

= 〈σ〉 ×

Ω00

−

〈σx〉/T2〈σy〉/T2

(〈σz〉+ 1)/T1

〈 ˙σy〉 = 〈σz〉Ω− 〈σy〉/T2〈 ˙σz〉 = −〈σy〉Ω− (〈σz〉+ 1)/T1

−ΩT2

32

Równania kinetyczne

A B

n1 = IB(n0 − n1)− An1n0 = IB(n1 − n0) + An1

d〈σz〉dt

= −Ω2T2︸ ︷︷ ︸2B

〈σz〉 −〈σz〉+ 1

T1〈σz〉 =

n1 − n0N

33

Absorpcja promieniowania

B

prawd. absorpcji

dla każdego atomu/s

∆z

I = cε0E

2

2[W/cm2]

moc absorbowana NR · ω N = nA∆z

absorption cross section

attenuation coefficient

R =Ω2T22

=E2d2T222

∆I

∆z= −nR · ω = −In

d2T2ω

ε0c= −Iα = −Inσ

34

Porównanie

absorpcja, emisja

wymuszona

nadpromienistość

d małyd duży

Zanik do równowagi

nasycenie

Oscylacje Rabiego

Niespójnie

1/T2>>Ω

Spójnie

Ω>>1/T2

35

Efekty wielofotonowe:

polaryzacja nieliniowa

36

Lightshift (AC Stark shift)

|0〉

|1〉∆

Potraktujmy to jako

=0

∑

m =0

1

4

|Edm0|2ω − ωm0

H =

(ω0 Ωeiωt/2

Ω∗e−iωt/2 0

)

Hint =

2

(2∆ ΩΩ∗ 0

)

(∆ 00 0

)

︸ ︷︷ ︸H0

+

2

(0 ΩΩ∗ 0

)

︸ ︷︷ ︸V

E0 = E(0)0 + 〈0|V |0〉+ |〈0|V |1〉|

2

∆

37

Pułapka dipolowa

38

Optical Lattice

39

Rachunek zaburzeń w obrazie

oddziaływania

id

dt|ψI(t)〉 = Hint(t)|ψI(t)〉

|ψI(T )〉 = |ψI(0)〉+∫ T

0

dtHint(t)

i|ψI(0)〉

+

∫ T

0

dt

∫ t

0

dt′Hint(t)

i

Hint(t′)

i|ψI(0)〉

40

Duże odstrojenie

|0〉

|1〉

|0〉+ c1|1〉

Hint =Ed1,04

e−iωt σ+eiω10t +H.c.

|ψI(t)〉 |ψI(0)〉+∫ t

0

dtHint(t′)|ψI(0)〉

〈1|ψI(t)〉 E(ω)d1,02

∫ t

0

dte−i(ω−ω01)t =E(ω)d1,02

e−i(ω−ω01)t − 1ω − ω10

41

Przejścia wielofotonowe

|0〉

|1〉

|m〉

Boyd, Nonlinear optics, rozdz. 3

Hint =Edm,02

e−iωtσ+0meiωm0t +Ed1,m2

e−iωtσ+m1eiω1mt +H.c.

〈1|ψI(t)〉 E2d1,mdm,0

42e−i(2ω−ω10)T − 1

(2ω − ω10)(ω − ωm0)+ . . .

〈1|ψI(t)〉 Ed1,m2

Edm,02

∫ T

0

dte−i(ω−ω1m)t∫ t

0

dt′e−i(ω−ωm0)t′

42

Podatność wielofotonowa

|0〉

|1〉

|m〉

|0〉 −→ |0〉 + c1|1〉 + . . .

〈d〉 = . . .+ d01c1e−iω1,0t

Boyd, Nonlinear optics, rozdz. 3

P = . . .+ χ(2)EEe−i(ω+ω)t

c1 E2d1,mdm,0

42e−i(2ω−ω10)T − 1

(2ω − ω10)(ω − ωm0)+ . . .

43

Różne konfiguracje

|0〉

|1〉

|m〉

|0〉

|1〉

|m〉

…SHG

SFG

DFG

PDC