Kristallphysik - tu-freiberg.de

Kristallphysik

erneut J. Kepler, der sich Gedanken zur „Sechsstrahligkeit von Schneekristallen“ machte Begründung der Kristallphysik (Strena Seu de Nive Sexangula, 1611) mikroskopische Eigenschaften sind für makroskopische Muster verantwortlich

https://www.degruyter.com/downloadpdf/j/dmvm.2012.20.issue-4/dmvm-2012-0090/dmvm-2012-0090.pdf

1

Kristallphysik1. Thermische Ausdehnung

- Kristallstab: Länge 𝑙0→ Erwärmen → Länge 𝑙

𝑙 − 𝑙0𝑙0

=Δ𝑙

𝑙0= 𝛼Δ𝑇 𝛼 … linearer Ausdehnungskoeffizient

- 𝛼 ist abhängig von der Richtung in der Stab aus dem Kristall herausgeschnitten ist

- Ursache: (anisotrope) Schwingungen der Atome um ihre Gleichgewichtslage

- Schwingung ist mit Bindungs-stärke verknüpft

0°C … J … 100°C

W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

2


- Ca(OH)2 [𝑃ത3𝑚1]- Schichtstruktur (CdI2-Typ)- schwache Bindung ∥ 𝑐- starke Bindung ⊥ 𝑐

c

𝛼∥ = 33 ⋅ 10−6𝐾−1

𝛼⊥ = 10 ⋅ 10−6𝐾−1

- Anisotropie stark ausgeprägt, wenn die Bindungsverhältnisse (Stärke, Länge) in den Richtungen stark unterschiedlich sind

- Verhalten wird isotroper, wenn diese Unterschiede abnehmen

3


- Kristall → Kugel mit Radius 𝑟0 herausschneiden → Erwärmen → Kugel wird Ellipsoid- wenn 𝛼𝑎, 𝛼𝑏, 𝛼𝑐 die Ausdehnungskoeffizienten entlang der 3 (zueinander

senkrechten) Hauptachsen 𝑎, 𝑏, 𝑐 sind, dann hat der Ellipsoid die Hauptachsenlängen

𝑙𝑎 = 𝑟0 1 + 𝛼𝑎Δ𝑇𝑙𝑏 = 𝑟0(1 + 𝛼𝑏Δ𝑇)𝑙𝑐 = 𝑟0(1 + 𝛼𝑐Δ𝑇)

- Lage von X ändert sich nach X‘- Vektor Ԧ𝑟 = Ԧ𝑥2 + Ԧ𝑥3 wird zu

𝑟′ = Ԧ𝑟 + 𝑢 = ( Ԧ𝑥2 + 𝑢2) + Ԧ𝑥3 + 𝑢3

- damit:

Ԧ𝑥2′ = Ԧ𝑥2 1 + 𝛼𝑏Δ𝑇 → 𝑢2 = 𝛼𝑏Δ𝑇 Ԧ𝑥2Ԧ𝑥3′ = Ԧ𝑥3(1 + 𝛼𝑐Δ𝑇) → 𝑢3 = 𝛼𝑐Δ𝑇 Ԧ𝑥3Ԧ𝑥1′ = Ԧ𝑥1 1 + 𝛼𝑎Δ𝑇 → 𝑢1 = 𝛼𝑎Δ𝑇 Ԧ𝑥1

𝜀𝑖 = 𝛼𝑖Δ𝑇 (𝑖 = 𝑎, 𝑏, 𝑐)W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

4


- für nichtkubische Kristallsysteme wird das normierte kartesische System der Eigenschaften in seiner Orientierung möglichst sinnvoll auf bestimmte kristallographische Elemente des Kristalls festgelegt

5

Kristallphysik2. Symmetrie physikalischer Eigenschaften

Regeln:

Neumannsches Prinzip

- Die der Eigenschaft des Kristalls innewohnende Symmetrie- muß auch die Symmetrie des Kristalls wiederspiegeln - darf der Symmetrie des Kristalls nicht wiedersprechen

Die Symmetrie einer Eigenschaft kann nicht kleiner als die Kristallsymmetrie sein.

Bsp.: - durch Temperaturänderung darf sich die Kristallklasse (=Punktgruppe) nicht ändern

(Ausnahme: Phasenumwandlung)- kubisches System: alle Achsen ändern sich identisch- tetragonales/hexagonales System: Änderung von a, c und c/a- monoklines System: Änderung von a, b, c und b, sowie deren Verhältnissen

- Tensorkomponenten werden zusätzlich durch das Auftreten von Symmetrieelementen der Kristallklassen bestimmt

6

Kristallphysik2. Symmetrie physikalischer Eigenschaften

- äußere Symmetrie der Eigenschaftstensoren, bestimmt durch die Kristallklasse- „Welche Form hat eine aus dem Kristall herausgeschnittene Kugel nach Erwärmen?“

Hauptachsensystem

Ellipsoid invariant gegen kristallographische Achsen

beliebige Lage des Ellipsoids gegen kristallographische Achsen

Lage des Ellipsoids nur durch eine kristallographische Achsen definiert

2 gleich lange Hauptachsen

W. K

leb

er, H

.J. B

auts

ch, J

. Bo

hm

, Ein

füh

run

g in

die

Kri

stal

logr

aph

ie,

Old

enb

ou

rgV

erla

g, M

ün

chen

(2

01

0)

7

Kristallphysik2. Symmetrie physikalischer Eigenschaften - Tensordarstellung

- Komponenten eines Tensors 2. Stufe → quadratische Form (Hauptachsensystem):

- allg. Gleichung eines Ellipsoids:

- die Halbmesser des Ellipsoids sind damit:

𝑖,𝑗

𝜆𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝜆11𝑥12 + 𝜆22𝑥2

2 + 𝜆33𝑥32 = 1

𝑥1𝑎

2

+𝑥2𝑏

2

+𝑥3𝑐

2

= 1

1

𝜆11𝑏𝑧𝑤.

1

𝜆𝑎1

𝜆22𝑏𝑧𝑤.

1

𝜆𝑏1

𝜆33𝑏𝑧𝑤.

1

𝜆𝑐

𝜆𝑎 , 𝜆𝑏, 𝜆𝑐 > 0


8

Richtungskosinusse

- Winkel eines Vektors mit den Achsen des Koordinatensystems

a

b

c

Gc

Gb

Ga

Ԧ𝐺

ra rb

rc

Ԧ𝐺 =

𝐺𝑎𝐺𝑏𝐺𝑐

Ԧ𝐺 = 𝐺 = 𝐺𝑎2 + 𝐺𝑏

2 + 𝐺𝑐2

𝜌𝑎 = ∠ Ԧ𝐺, 𝑎

𝜌𝑏 = ∠( Ԧ𝐺, 𝑏)

𝜌𝑐 = ∠( Ԧ𝐺, 𝑐)

𝐺𝑖 = 𝐺 ⋅ cos 𝜌𝑖


9


- mit den Richtungskosinussen:

𝑖,𝑗

𝜆𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 =

𝑖,𝑗

𝜆𝑖𝑗𝑟2 cos 𝜌𝑖 cos 𝜌𝑗

𝑟 … Ortsvektor, welcher die Tensorfläche charakterisiert

𝜆𝑟 = 𝑟−2

- 𝜆𝑟 für alle 0…𝜌𝑖…360°→ Indexfläche- Indexfläche genügt den Symmetriebedingungen des Tensors → repräsentative Fläche

10

Kristallphysik3. andere richtungsabhängige Eigenschaften

- Wärme- und Temperaturleitfähigkeit- elektrische Leitfähigkeit- dielektrische Suszeptibilität- Piezoelektrizität- Doppelbrechung- mechanische Eigenschaften- …

11

Kristallphysika. spontane Polarisation/Pyroelektrizität

Anwendungen:=> hervorrufen einer Spannung

bei sehr geringen Δ𝑇- Temperaturfühler- Mikrowellendetektoren- Infrarotbewegungsmelder

Erzeugung hoher Spannungen (~ 100 kV) auf kleinem Raum

Miniaturröntgenquellen (Beschleunigung von e- durch Feld des pyroelektrischen Kristalls)

„pyroelektrische Fusion“ (Beeinflussung von 12𝐻)

12

https://cdn.infratec.eu/_processed_/3/a/csm_sensorik-mehrkanaldetektoren-infratec-pyromid-einkanaler-grafik_01e6468e1b.png

Kristallphysikb. Piezoelektrizität

- Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf- mechanische Energie → elektrische Energie

https://hibiscusmooncrystalacademy.com/power-of-quartz/

Esoterik (Kristallheilung…) 13


- Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf

Quarz[001]-Projektion

- -

-

+

+ +

Abstraktion der Dipolmomente

14



X … [100]elektrische Achse

Y … [120]mechanische Achse

Z … [001]Blickrichtung

https://de.wikipedia.org/wiki/Piezoelektrizit%C3%A4t#/media/File:Piezoeffekt350px.gif

X

Y

- Quarz: 1 𝑃𝑎 → 𝑄 = 2.3 ∙ 10−12 𝐴𝑠/𝑚2

Eigenschafts-koordinatensystem

15



longitudinal transversalScherung 16




http://wiki.polymerservice-merseburg.de/images/0/02/Piezoelektrischerkraftaufnehmer1.jpg


- Oberflächen eines piezoelektrischen Kristalls laden sich bei einachsiger Belastung auf- Effekt ist umkehrbar

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartz_clock#/media/File:Inside_QuartzCrystal-Tuningfork.jpg

Quarzkristall als Schwingungsgeber einer Uhr(𝑓 = 32.768 𝑘𝐻𝑧)

17


Z (001)R (101)x (2ത10)r (101)m (100)

https://www.fcd-tech.com/sites/default/files/images/fig21-02_1-e-968x536.png

https://www.ndk.com/catalog/AN-SQC_GG_e.pdf

AT-cut optimiert

18

https://i.warosu.org/data/jp/img/0105/87/1362856742818.gif






- Deformation bzw. äußere Spannung sind symmetrische Tensoren 2. Stufe- Deformation erzeugt Polarisation: = Tensor 1. Stufe (= Vektor)

(Richtung der Ladungsverschiebung)- Polarisation ist i. Allg. lineare Funktion der Komponenten des Spannungstensors

𝑃𝑖 =

𝑗,𝑘

𝑑𝑖𝑗𝑘𝜎𝑗𝑘

𝑃1 = 𝑑111𝜎11 + 𝑑112𝜎12 + 𝑑113𝜎13+ 𝑑121𝜎21 + 𝑑122𝜎22 + 𝑑123𝜎23+ 𝑑131𝜎31 + 𝑑132𝜎32 + 𝑑133𝜎33



𝑑𝑖𝑗𝑘 … piezoelektrische Moduln- Materialkonstanten- lineare Verbindung zwischen Tensor 2. und

Tensor 1. Stufe- 27 Komponenten: Tensor 3. Stufe- da 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖 ist 𝑑𝑖𝑗𝑘 = 𝑑𝑖𝑘𝑗

18 unabhängige Komponenten- Symmetriebetrachtung:

- für alle Kristallklassen mit Inversionszentrum & 432 : 𝑑𝑖𝑗𝑘 = 0

=> kein piezoelektrischer Effekt- verbleibende 20 Kristallklassen

können Piezoeffekt zeigen19


- 20 Kristallklassen können piezoelektrischen Effekt zeigen

- auch polykristalline Aggregate, deren Texturen einer der (erlaubten) kontinuierlichen Punktgruppen angehören -> PZT: Pb(ZrxTi1-x)O3

- Quarz: Phasenumwandlung bei 𝑇 = 573°𝐶: Tiefquarz -> HochquarzWechsel der Kristallklasse: 32 -> 622

=> Hochquarz zeigt keinen piezoelektrischen Effekt, obwohl lt. Kristallklasse möglich- andere Piezoelektrika: Pb(ZrxTi1-x)O3, LiNbO3, SbSI, Seignettesalz (NaKC4H4O6∙4H2O),…

20



- PZT: Pb(ZrxTi1-x)O3

- Perowskit-Struktur- unterhalb der Curie-Temperatur

wandert das 4+-Kation aus dem Oktaederzentrum heraus=> Dipol (Polarisation)

- PZT-Keramiken sind meist polykristalline Aggregate

- Polykristall: Orientierung aller EZ statistisch:Körper ist isotrop

- Werkstoff muss polarisiert werden

https://de.wikipedia.org/wiki/Blei-Zirkonat-Titanat#/media/File:Phasen_PZT.png

https://de.wikipedia.org/wiki/Blei-Zirkonat-Titanat#/media/File:Perovskite.svg

21


- PZT-Keramiken sind meist polykristalline Aggregate- Polykristall: Orientierung aller EZ statistisch: Körper ist isotrop- Werkstoff muss polarisiert werden: Glühen im el. Feld unterhalb der TC- alle EZ mit ihren Dipolen richten sich aus- bleiben nach Abkühlen und Abschalten des el. Feldes „eingefroren“

Sintern Polarisieren fertig

Anwendungen: Klopfsensor, Beschleunigungssensor, Füllstandssensor, Luftmassenmesser, Zahnsteinentferner, Ultraschalldiagnostik, Schallerzeugung, aktive Schwingungsdämpfung, Füllstandssensoren, Feuerzeuge, Zerstäuber, Gitarrentonabnehmer, Uhren,…

https://www.ceramtec.com/files/mf_broschure-piezoapplications_en_de.pdf

22

Kristallphysikc. optische Eigenschaften (Doppelbrechung, Calcit)

http://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/bilder/sk2_25.jpg

23

Kristallphysikc. optische Eigenschaften

Welche Materialeigenschaft bestimmt die optischen Eigenschaften?

https://de.wikipedia.org/wiki/Permittivit%C3%A4t#/media/File:Dipole_im_elektrischen_Feld.svg

er: Wieviel besser leitet ein Festkörper das el. Feld als das Vakuum (e0)?

24


- Lichtstrahl, der einen doppelbrechenden Kristall durchstrahlt wird in 2 Strahlen aufgeteilt

- ein Strahl gehorcht dem Brechungsgesetz (ordentlicher Strahl)- anderer Strahl folgt dem Brechungsgesetz nicht (außerordentlicher Strahl)

Erklärung:- ordentlicher Strahl: Ausbreitung der

Welle wie in isotropem MediumWellenfläche = Kugel

- außerordentlicher Strahl: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle richtungsabhängig

Wellenfläche = RotationsellipsoidRotationsachse des Ellipsoids = c-Achse des Kristalls

0 … optische Achse (c-Achse)𝑆0 … ordentlicher Strahl𝑆𝑒 … außerordentlicher StrahlAB … Wellenfronten (Tangenten)

25

W. K

leber, H

.J. Bau

tsch, J. B

oh

m, Ein

füh

run

g in d

ie K

ristallograp

hie, O

lden

bo

urg

Verlag, M

ün

chen

(20

10

)


Grenzfälle:Lichteinfall parallel optischer Achse Lichteinfall senkrecht optischer Achse

- 𝑆𝑒 = 𝑆0 (𝑁, 𝑣)- optisch isotrop

- 𝑁0 = 𝑁𝑒- 𝑣0 < 𝑣𝑒 (max.)- |Δ𝑛| = max.

[Δ𝑛 = −0.172] für l = 589 nm

- maximale Doppelbrechung, aber keine Strahlaufspaltung (𝑁0 =𝑁𝑒)

Strahlaufspaltung zwischen den Grenzfällen:Maximum bei

𝜈 = arctan𝑛𝑒𝑛0

Calcit: 𝑛 = 41.9° => Aufspaltung: 6.2°Quarz: Aufspaltung: 0.3°

Δ𝑛 < 0:=> 𝑣𝑒 > 𝑣0

26


W. K

leber, H

.J. Bau

tsch, J. B

oh

m, Ein

füh

run

g in d

ie K

ristallograp

hie, O

lden

bo

urg

Verlag, M

ün

chen

(20

10

)

Kristallphysikd. Magnetismus

- Suszeptibilität ist Eigenschaft der Atome- Magnetismus ist die gekoppelte Wechselwirkung der atomaren Momente

=> interatomare Wechselwirkung der Elektronenspins

Ferromagnetika (Fe, Co, Ni, Gd, MnP, CrTe, SmCo, Fe14Nd2B):- parallele Anordnung permanenter magnetischer Momente (Spins)- parallel nur innerhalb eines Weißschen Bezirks- unmagnetisiert: Momente der Weißschen Bezirke kompensieren sich- magnetisiert: Momente der Weißschen Bezirke am externen Feld ausgerichtet

- Richtungen leichter Magnetisierbarkeit:- kfz: ⟨111⟩ Ni- krz: ⟨100⟩ Fe- hcp: ⟨001⟩ Co, Gd

- nicht linearer Zusammenhang zwischen 𝐽 und 𝐻: 𝜒 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., 𝜒 ≫ 0 => Hysterese

27W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

Kristallphysikd. Magnetismus

- Suszeptibilität ist Eigenschaft der Atome- Magnetismus ist die gekoppelte Wechselwirkung der atomaren Momente

=> interatomare Wechselwirkung der Elektronenspins

Antiferromagnetika (MnO):- ob ferro- oder antiferro: abh. von der

Art und Stärke der Spinwechselwirkungen(Austauschintegral)

- kein resultierendes magnetisches,makroskopisches Moment

=> Paramagnetika- aber magnetische Anomalien, die

Paramagnetika nicht aufweisen

Ferrimagnetika (v.a. Spinelle):

- Einsatz in Hochfrequenztechnik(magn. Suszeptibilität ↑, el. Widerstand ↑) Kristallklasse: 𝑚ത3𝑚 (NaCl-Typ)

∥ [1ത10]

∥ [1ത10]

∥ [ത110]

Mn2+ auf (111)

oder

Mehr zu Magnetwerkstoffen?=> Vorlesung „Physikalische Materialkunde II/2“

(Prof. Leineweber, 9. Sem. WW)

28W. Kleber, H.J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie, Oldenbourg Verlag, München (2010)

Kristallphysikd. Magnetismus (Symmetrie)- Kristallographie unter Berücksichtigung von atomaren Eigenschaften: Richtung des

Elektronenspins (2 zusätzliche Merkmale je Atomposition: ±1)

Kristallklasse: 𝑚ത3𝑚 =4

𝑚ത3

2

𝑚

f

a

c

a

Symmetriereduktion: 4

𝑚→ 2

- 230 Raumgruppen → 1421 Antisymmetrieraumgruppen (Shubnikov-Gruppen, Schwarz-Weiß-Gruppen)

Empfehlung: ‚There‘s plenty of room at the bottom‘ – R. Feynman (1959)https://web.archive.org/web/20120315111630/http://www.its.caltech.edu/~feynman/plenty.html

29

W. K

leber, H

.J. Bau

tsch, J. B

oh

m, Ein

füh

run

g in d

ie K

ristallograp

hie, O

lden

bo

urg

Verlag, M

ün

chen

(20

10

)

Kristallphysike. Mechanische Eigenschaften

Bsp.:

30

AlN (HP)NaCl-Struktur

Kristallklasse 𝑚ത3𝑚

AlNWurtzitstruktur

Kristallklasse 6𝑚𝑚


Bsp.:

31

ZrO2 (t)

Kristallklasse 4/𝑚𝑚𝑚

ZrO2 (m)

Kristallklasse 2/𝑚


- 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 hat 34 = 9 × 9 = 81 Komponenten- es gilt: 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖, 𝜀𝑘𝑙 = 𝜀𝑙𝑘, daher 6 × 6 = 36 Komponenten

- in Voigtscher Notation:

- 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 ist symmetrisch, daher: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙 = 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘 = 𝐶𝑗𝑖𝑙𝑘- es verbleiben 21 unabhängige Komponenten des Elastizitätstensors- Anzahl der unabhängigen Komponenten wird durch Kristallsymmetrie reduziert

(Neumann-Prinzip)- im isotropen Fall: 2 Komponenten des Elastizitätstensors verbleiben (C1111, C1122)

𝜎𝑖𝑗 =

𝑘,𝑙

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙

2𝐺 =𝐸

1 + 𝜈

Gilt nicht für kristalline Materialien! Auch nicht für Kubische! 32

𝜎11𝜎22𝜎33𝜏23𝜏13𝜏12

=

𝐶1111 𝐶1122 𝐶1133 𝐶1123 𝐶1113 𝐶1112𝐶2211 𝐶2222 𝐶2233 𝐶2223 𝐶2213 𝐶2212𝐶3311 𝐶3322 𝐶3333 𝐶3323 𝐶3313 𝐶3312𝐶2311 𝐶2322 𝐶2333 𝐶2323 𝐶2313 𝐶2312𝐶1311 𝐶1322 𝐶1333 𝐶1323 𝐶1313 𝐶1312𝐶1211 𝐶1222 𝐶1233 𝐶1223 𝐶1213 𝐶1212

𝜀11𝜀22𝜀33𝛾23𝛾13𝛾12

=

𝐶11 𝐶12 𝐶13 𝐶14 𝐶15 𝐶16𝐶21 𝐶22 𝐶23 𝐶24 𝐶25 𝐶26𝐶31 𝐶32 𝐶33 𝐶34 𝐶35 𝐶36𝐶41 𝐶42 𝐶43 𝐶44 𝐶45 𝐶46𝐶51 𝐶52 𝐶53 𝐶54 𝐶55 𝐶56𝐶61 𝐶62 𝐶63 𝐶64 𝐶65 𝐶66

𝜀11𝜀22𝜀33𝛾23𝛾13𝛾12


System triklin monoklin orthorhombisch rhomboedrisch tetragonal hexagonal kubisch isotrop

Klassen alle alle alle 3, ത3 32, 3𝑚,ത3𝑚

4, ത4, 4/𝑚 4𝑚𝑚, ത42𝑚,422, 4/𝑚𝑚𝑚

alle alle

Komponenten 21 13 9 7 6 7 6 5 3 2

http

s://d3

2o

goq

mya1

dw

8.clo

ud

fron

t.net/im

ages/NA

GTW

orksh

op

s/min

eralogy/m

ineral_p

hysics/tab

le_9.v1

3.p

ng


Plastizität- Anisotropie der Plastizität liegt in der Art der aktiven/erlaubten Gleitsysteme

Mechanische Eigenschaften der Werkstoffe: zentraler Teil der WW=> Vorlesung „Physikalische Materialkunde“ (Prof. Leineweber, Dr. Martin, ab 5. Sem. WW)=> Vorlesung „Eigenspannungen“ (Dr. Schimpf, 6. Sem. WW)

34


Kristallphysik - tu-freiberg.de

Documents

Transcript of Kristallphysik - tu-freiberg.de