GAUS’KRIGEROVA PROJEKCIJA

4. KONVERGENCIJA MERIDIJANA

KONVERGENCIJA MERIDIJANA (γ) je ugao koji u zadatoj tački u projekciji zaklapa tangenta na sliku meridijana sa pravom paralelnom x osi (mereno u pravcu kretanja kazaljke na satu). 

Tačke istočno od srednjeg meridijana imaju pozitivnu kovergenciju meridijana, dok tačke zapadno od srednjeg meridijana imaju negativnu konvergenciju meridijana.

Značaj: Pomoću konvergencije meridijana (γ) na osnovu azimuta geodetske linije na elipsoidu (α) moguće odrediti geodetski (Gusov) direkcioni ugao (θ) (nagib) u iste linije u projekciji. 

α  = γ + θ 

θ  = α ­ γ 

γ  = α – θ

Računanje konvergencije meridijana u ravni na osnovu geografskih koordinata φ,l

Kako je ugao između meridijana i paralele u projekciji prav to je: 

γ = dx/dy

Kako se tačka T2 ’ po pretpostavci nalazi na slici paralele to će dφ = 0 pa će važiti: 

odnosno:

Potrebni parcijalni izvodi u imeniocu i brojiocu mogu se odrediti na osnovu ranije izvedenih formula za računanje pravouglih koordinata na osnovu geografskih, te će biti:

U daljem izvođenju se ­ najpre oba predhodna izraza podele sa N*cosφ, ­ zatim se nađe recipročna vrednost drugog izraza na osnovu formule za razvijanje u red funkcije (1+x) ­1 , ­ te se konačno, obavi množenje dobijenih izraza, zadržavajući isključivo one članove u kojima se pojavljuju veličine η i t do stepena  η 2  i t 4 , što ne utiče na tačnost računanja, te se dobija sledeća jednačina: 

Ako dalje primenimo formulu za razvijanje u red funkcije arc tg γ: 

a za , tgγ,  tg 3 γ, tg 5 γ  koristimo predhodnu formulu zadržavajući samo one članove koji utiču na tačnost računanja, onda formula za računanje zbližavanja meridijana izgleda: 

odnosno u sekundama:

Na osnovu poslednje formule može se računati konvergencija meridijana sa tačnošću od 0,001" ako je l ≤ 3,5° 

Konačno ako uvedemo oznake: 

definitivna formula za računanje konvergencije meridijana biće sasvim jednostavna:

5. LINEARNA RAZMERA I RAZMERA POVRŠINA 

Pođimo od poznate jednačine linearne razmere: 

Kako je reč o konformnoj projekciji, razmatranje možemo pojednostaviti ako potražimo formulu za linernu razmeru u pravcu paralele n. Kako je duž paralele je dφ=0, to će totalni diferencijali dx i dy biti: 

pa će dalje važiti: 

Predhodno smo odredili izraze za ∂x/∂l i ∂y/l:

Te ćemo ih najpre kvadrirati: 

a, zatim podeliti sa N 2 *cos 2 φ te dobiti izraz za razmeru površina, jer je kod konformnih projekcija p = c 2 : 

Odnosno ako je φ u stepenima: 

Izraz za linearnu razmeru dobija se stepenovanjem predhodnog izraza eksponentom 1/2 koristeći formulu za razvijanje u red funkcije (1+x) 1/2 :

Odnosno kada je φ  u stepenima: 

Ili konačno uvođenjem koeficijanata (koji zavise samo do φ): 

definitivno:

Neki zaključci: ­ Kod Gaus­Krigerove projekciji uvek je c ≥ 1, ­ dakle, preslikane dužine su veće nego na površi elipsoida, ­ Iako je linearna razmera f­ja od φ, l na njenu promenu mnogo više utiče promena geografske dužine nego geografske širine, jer se cos φ menja sporije i u mnogo užim granicama (od 0 do 1). ­ Najveću vrednost funcije c i p imaju na presečnim tačkama meridijanskih zona preslikavnja, a na polovima imaju u vrednost 1. ­ Na srednjem meridijanu, gde je l = 0, je c=1 i p=1, prema za unapred zadatim uslovima za projekciju.

6. ODREĐIVANJE ŠIRINE ZONE PRESLIKAVNJA 

­ Širina zone preslikavanja, odnosno veličina područja koje se može preslikati u jednom koordinatnom sistemu,  zavisi od tačnosti koju zahtevamo od projekcije. 

­ Kako kod konformnih projekcija nema deformacija uglova, to linearna deformacija predstavlja glavni kriterijum. 

­ Imajuću u vidu predhono razmatranu funkciju linearne razmere problem određivanja širine zone preslikavanja svodi se na na određivanje maksimalne vrednosti geografske dužine lmax za koju linerna razmera dostiže maksimalno dozvoljenu vrednost cmax. 

­ Kriterijum linearne tačnosti definisan je na osnovu propisane relativne tačnosti meranja dužina u poligonskoj mreži od 1:3000 (tačnost  dužina je u trigonometrijskoj mreži IV reda je oko 1:10.000), te je za kriterijum tačnosti projekcije uzeta vrednost od 1:10.000. 

­ Na taj način, ako su greške projekcije 3 puta manje od grešaka masovnih lineranih merenja u radovoma na premeru, smatralo se da se deformacije dužina se mogu zanemariti.

­ Stoga se širina zone (imajući u vidu predhodno izvedenu formulu za c) računa kao: 

odnosno: 

Na osnovu predhodne formule može se načiniti tabela: 

što bi za naše područje ( 40° ≤ φ ≤ 50°) iznosilo 2° 07’ ≤  lmax ≤2° 31’.

­ Kako se područje Ex­Jugoslavije prostire longitudinalno na oko 10°, to bi u ovim uslovima bilo potrebno 4 do 5 koordinatnih sistema. 

­ U cilju smanjenja broja koordiantnih sistema uvedene su negativne linerane deformacije koje bi na srednjem meridijanu iznosila d = ­0.0001 ( c = 0.9999), a na krajevima zona preslikavanja d = + 0.0001  ( c = 1.0001). 

­ Linerna deformacija se stoga menja u opsegu ­0.0001 ≤ d ≤ + 0.0001, odnosno │d│≤ + 0.0001, odnosno širina opsega iznosi 0.0002, te ako se ova vrednost uvede predhodno razmatranje biće: 

odnosno važiće tabela:

­ odakle je očigledno da se za područja severnija od 40° mogu koristiti meridijanske zone od 3°, odnosno 1.5° istočno i zapadno od srednjeg meridijana, a da pri tom linerne deformacije po apsolutnoj vrednosti ne premašuju vrednost od 0.0001, t.j. │d│≤  0.0001. 

­ Promene linerne razmere u zavisnosti od širine zone (izražene u km) data je na grafiku:

­ Dakle, kod isključivo pozitivnih deformacija (1dm na 1km) možemo se udaljiti od srednjeg meridijana oko 90 km, dok uvođenjem negativnih deforamcija (±1dm na 1km) zona se povećava na oko 127 km.

7. REDUKCIJA KOORDINATA 

­ Predhodno izvedene jednačine preslikavanja date su pod uslovom da da je linerna deformacija na srednjem meridijanu jednaka 0, odnosno linerna razmera jednaka 1.0000. 

­ Ako se uvde uslov da na srednjem meridijanu linerana deformacija iznosi ­0.0001, odnosno lineran razmera 0.9999 (koji je uveo Gaus), onda i vrednosti koordinata koje su takođe linearne veličine treba pomnožiti faktorom m0=0.9999. 

­ Faktor m0 nazivamo linearnim modulom, a koordinate pomnožene ovim faktorom redukovanim koordinatama (modulisanim koordinatama). 

­ Uobičajene oznake za redukovane pravogle koordinate su: x, y , dok se neredukovane koordinate daju u oznakama ¯x, ¯ y, gde je njihova veza data sa:

8. DRŽAVNI PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM 

­ Marta 1924. Stručna komisija je Gaus­Krigerovu projekciju usvojila (među prvima u Evropi) za projekciju premera državne teritorije. 

­ Projekcija je usvojena, najpre, zbog relativno malih linijskih i površinskih elemenata, a pored toga i zbog: ­ relativno jednostavnih formula za direktno računanje pravouglih koordinata iz geografskih i obrnuto, ­ jednoobraznosti koordinatnih sistema, ­ malim konvergencijama meridijana, ­ najmanjim brojem koordiantnih sistem u odnosu na ostale razmatrane (Gaus­Šrajberova, stereogrfska i kosa konformna clindrična projekcija). 

­ Za srednje meridijane usvojeni su: 15°, 18°, 21°, odnosno 3 koordinatna sistema. 

­ Usvojene su tri zone: 5, 6, 7. 

­ Granični merirdijani među zonama su: 16.5° i 19.5° 

­ Apsicise (x) su uvek pozitivne, dok su ordinate (y) pozitivne za tačke istočno od srednjeg meridijana, negativne za tačke zapadno od srednjeg meridijana.

­ Da bi se izbegle negativne vrednosti ordinata, svim ordinatama dodaje se 500.000 metara, po predlogu nemačkog geodete Baumgarta. 

­ Da bi se obezbedila jednoznačnost koordinata, ispred vrednosti ordinate dodaje se broj koordinatnog sistema, odnosno npr. u 7­oj zoni dodje se 7.000.000.