KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMA SE … limit ada, Ὄ −3Ὅ harus di eliminasi dari...

16
KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMA SE-SULUT SOLUSI BABAK SEMI FINAL Rabu, 22 Februari 2017

Transcript of KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMA SE … limit ada, Ὄ −3Ὅ harus di eliminasi dari...

KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMA SE-SULUT

SOLUSI BABAK SEMI FINAL

Rabu, 22 Februari 2017

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

1

1. Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑐 dan 𝑓(1) = 𝑓(3) = 𝑓(5) = 𝑓(7) = 𝑓(9).

Berapakah nilai a?

a. 25

b. 15

c. 10

d. −25

e. −15

Penyelesaian:

Misal 𝑓(1) = 𝑓(3) = 𝑓(5) = 𝑓(7) = 𝑓(9) = 𝑘 dsibentuk persamaan polinomial:

𝑔(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑐 − 𝑘

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑘

Jelas bahwa 𝑔(1) = 𝑔(3) = 𝑔(5) = 𝑔(7) = 𝑔(9) = 0

Berarti bahwa 1, 3, 5, 7 dan 9 adalah akar-akar persamaan polinomial 𝑔(𝑥) = 0.

𝑥5 + 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑐 − 𝑘 = 0

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = −𝐵

𝐴 = −

𝑎

1= −𝑎

Karena akar-akarnya adalah 1, 3, 5, 7 dan 9 maka :

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = − a

∴ a = − 25

2. 2017 lampu dikontrol oleh 2017 tombol saklar yang diberi nomor 1, 2, 3, …, 2017. Menekan tombol

saklar satu kali akan merubah nyala lampu (hidup atau mati). Pada awalnya semua lampu dalam

keadaan mati. Pada hari pertama, semua tombol saklar ditekan satu kali. Pada hari kedua, semua

tombol saklar bernomor 2 atau kelipatan 2 ditekan sekali. Dengan melakukan hal yang sama pada hari

ke-n, semua tombol saklar lampu bernomor n atau kelipatan n ditekan sekali. Demikian seterusnya.

Berapa banyak lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada hari ke-2017 dilakukan?

a. 40

b. 41

c. 42

d. 43

e. 44

Penyelesaian:

Pada awalnya seluruh lampu dalam keadaan mati. Untuk mengubah kondisi lampu menjadi

hidup, maka saklar lampu harus ditekan sebanyak k kali, dengan k merupakan bilangan ganjil.

Diketahui saklar lampu yang bernomor kelipatan i akan dioperasikan pada hari ke-i. Artinya,

saklar lampu bernomor i hanya akan dioperasikan pada hari-hari yang merupakan faktor dari i.

Untuk mengetahui saklar lampu yang ditekan sebanyak k kali, dengan k merupakan bilangan

ganjil, maka harus diperoleh bilangan yang banyak faktornya adalah ganjil. Bilangan yang

memiliki sifat demikian adalah bilangan kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat sempurna yang

kurang dari 2017 ada sebanyak 44. Dengan demikian, banyaknya lampu dalam kondisi hidup

setelah operasi pada hari ke-2017 adalah 44 lampu.

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

2

3. ∫ sec4 𝑥 tan4 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

a. tan8 𝑥

7+

tan6 𝑥

5+ 𝐶

b. tan7 𝑥

7+

tan5 𝑥

5+ 𝐶

c. tan8 𝑥

7+

sec6 𝑥

5+ 𝐶

d. tan7 𝑥

7+

sec5 𝑥

5+ 𝐶

e. sec8 𝑥

7+

sec6 𝑥

5+ 𝐶

Penyelesaian :

∫ sec4 𝑥 tan4 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ tan4 𝑥 sec4 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ tan4 𝑥 sec2 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ tan4 𝑥 sec2 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ tan4 𝑥 (tan2 𝑥 + 1) sec2 𝑥 𝑑𝑥

= ∫(tan6 𝑥 + tan4 𝑥) sec2 𝑥 𝑑𝑥

Mis:

𝑢 = tan 𝑥

𝑑𝑢 = sec2 𝑥 𝑑𝑥

∫ sec4 𝑥 tan4 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(tan6 𝑥 + tan4 𝑥) sec2 𝑥 𝑑𝑥

= ∫(u6 + u4) 𝑑𝑢

=1

7u7 +

1

5u5 + 𝐶

=1

7tan7 𝑥 +

1

5tan5 𝑥 + 𝐶

4. Diketahui matriks 𝑆 = (2 0

−1 3) dan 𝑀 = (

1 20 −3

). Fungsi 𝑓(𝑆 + 𝑀, 𝑆 − 𝑀) = ...

a. (4 204 −40

)

b. (4 204 −30

)

c. (4 −84 −38

)

d. (4 20

−4 −40)

e. (4 −8

−4 36)

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

3

Penyelesaian :

Diketahui matriks 𝑆 = (2 0

−1 3) dan 𝑀 = (

1 20 −3

)

Jika 𝑓(𝑆, 𝑀) = 𝑆2 + 𝑀2 maka 𝑓(𝑆 + 𝑀, 𝑆 − 𝑀) = (𝑆 + 𝑀)2 − (𝑆 − 𝑀)2.

Menentukan 𝑆 + 𝑀

𝑆 + 𝑀 = (2 0

−1 3) + (

1 20 −3

)

= (3 2

−1 0)

Menentukan 𝑆 − 𝑀

𝑆 − 𝑀 = (2 0

−1 3) − (

1 20 −3

)

= (1 −2

−1 6)

Menentukan (𝑆 + 𝑀)2

(𝑆 + 𝑀)2 = (3 2

−1 0) (

3 2−1 0

)

= (9 − 2 6 + 0

−3 − 0 −2 + 0) = (

7 6−3 −2

)

Menentukan (𝑆 − 𝑀)2

(𝑆 − 𝑀)2 = (1 −2

−1 6) (

1 −2−1 6

)

= (1 + 2 −2 − 12

−1 − 6 2 + 36) = (

3 −14−7 38

)

𝑓(𝑆 + 𝑀, 𝑆 − 𝑀) = (7 6

−3 −2) − (

3 −14−7 38

) = (4 204 −40

)

5. Diketahui 𝑓(𝑥) =𝑥−2017

𝑥−1. Jika banyaknya f pada fungsi komposisi adalah n dan 𝑛 = 2017, maka

(𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜 … … 𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓)(𝑥) sama dengan….

a. −𝑥+2017

𝑥−1

b. −𝑥−2017

𝑥+1

c. 𝑥+2017

𝑥−1

d. 𝑥−2017

𝑥+1

e. 𝑥−2017

𝑥−1

Penyelesaian:

𝑓𝑜𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥))

Diketahui : 𝑓(𝑥) =𝑥−2017

𝑥−1

𝑓𝑜𝑓 = 𝑓(𝑓(𝑥)) =(

𝑥 − 2017𝑥 − 1

) − 2017

(𝑥 − 2017

𝑥 − 1) − 1

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

4

=

(𝑥 − 2017) − 2017(𝑥 − 1)𝑥 − 1

(𝑥 − 2017) − 1(𝑥 − 1)𝑥 − 1

=𝑥 − 2017 − 2017𝑥 + 2017

𝑥 − 1×

𝑥 − 1

𝑥 − 2017 − 𝑥 + 1

=−2016𝑥

−2016= 𝑥

Sehingga, (𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥

(𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓)(𝑥) =𝑥 − 2017

𝑥 − 1

Karena 𝑛 = 2017(ganjil) maka (𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜 … … 𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓)(𝑥) =𝑥−2017

𝑥−1

6. Jika tan (1

4𝜋 + 𝑎) = 4 tan (

1

4𝜋 − 𝑎), dan tan 𝑎 = 𝑝, maka 𝑝 = ⋯

a. 𝑝 =1

2 atau 𝑝 = 2

b. 𝑝 = −1

2 atau 𝑝 = −2

c. 𝑝 =1

3 atau 𝑝 = 3

d. 𝑝 = −1

3 atau 𝑝 = 3

e. 𝑝 = −1

3 atau 𝑝 = −3

Penyelesaian:

tan (1

4𝜋 + 𝑎) = 4 tan (

1

4𝜋 − 𝑎)

tan (14

𝜋) + tan 𝑎

1 − tan (14

𝜋) tan 𝑎= 4

tan (14

𝜋) − tan 𝑎

1 + tan (14

𝜋) tan 𝑎

1 + tan 𝑎

1 − tan 𝑎= 4 ∙

1 − tan 𝑎

1 + tan 𝑎

(1 + tan 𝑎)2 = 4(1 − tan 𝑎)2

1 + 2 tan 𝑎 + tan2 𝑎 = 4(1 − 2 tan 𝑎 + tan2 𝑎)

1 + 2 tan 𝑎 + tan2 𝑎 = 4 − 8 tan 𝑎 + 4 tan2 𝑎

3 tan2 𝑎 − 10 tan 𝑎 + 3 = 0

(3 tan 𝑎 − 1)(tan 𝑎 − 3) = 0

tan 𝑎 =1

3 atau tan 𝑎 = 3

𝑝 =1

3 atau 𝑝 = 3

7. Berapakah nilai 𝑘 agar limit berikut ini ada : lim𝑥→3

4𝑥2+𝑘𝑥+7𝑘−6

2𝑥2−5𝑥−3

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

5

Penyelesaian:

Faktorkan penyebut :

2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 2𝑥2 − 6𝑥 + 𝑥 − 3 = 2(𝑥 − 3) + 1(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

Setelah penyebut difaktorkan. Dapat di lihat bahwa limit tidak akan ada karna (𝑥 − 3) pada

penyebut. Agar limit ada, (𝑥 − 3) harus di eliminasi dari penyebut. Jadi, kita harus menemukan

nilai 𝑘 dimana (𝑥 − 3) dapat difaktorkan keluar dari pembilang, ini hanya dapat dilakukan jika 3

adalah akar polinomial pada pembilang 4𝑥2 + 𝑘𝑥 + 7𝑘 − 6. Artinya, kita harus mendapatkan

nilai 𝑘 dengan mensubtitusikan 𝑥 = 3.

4(3)2 + 𝑘(3) + 7𝑘 − 6 = 0

= 36 + 3𝑘 + 7𝑘 − 6 = 0

= 10𝑘 + 30 = 0

= 𝑘 = −3

Subtitusikan 𝑘 kemudian faktorkan,

4𝑥2 − 3𝑥 − 27

= 4𝑥2 − 12𝑥 + 9𝑥 − 27

= 4𝑥(𝑥 − 3) + 9(𝑥 − 3)

= (4𝑥 + 9)(𝑥 − 3)

Sekarang kita bisa mengeliminasi (𝑥 − 3) pada penyebut,

lim𝑥→3

(4𝑥 + 9)(𝑥 − 3)

(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

lim𝑥→3

(4𝑥 + 9)(𝑥 − 3)

(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

lim𝑥→3

(4𝑥 + 9)

(2𝑥 + 1)

=21

7

= 3

Jadi, untuk nilai 𝑘 = 3, limitnya ada, yaitu 3

8. Himpunan penyelesaian dari |𝑥+5

2−𝑥| ≥ |

𝑥

𝑥+3| adalah…

a. 𝑥 ≤ −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 3

b. 𝑥 ≤ −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 2

c. 𝑥 ≥ −3

2

d. −3 ≤ 𝑥 ≤ 2

e. 𝑥 ≤ −3

2

Penyelesaian:

|𝑥 + 5

2 − 𝑥| ≥ |

𝑥

𝑥 + 3|

(𝑥 + 5

2 − 𝑥)

2

≥ (𝑥

𝑥 + 3)

2

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

6

(𝑥 + 5

2 − 𝑥)

2

− (𝑥

𝑥 + 3)

2

≥ 0

[(𝑥 + 5

2 − 𝑥) + (

𝑥

𝑥 + 3)] . [(

𝑥 + 5

2 − 𝑥) − (

𝑥

𝑥 + 3)] ≥ 0

[(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)+

𝑥(2 − 𝑥)

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)] . [

(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)−

𝑥(2 − 𝑥)

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)] ≥ 0

[𝑥2 + 8𝑥 + 15 + 2𝑥 − 𝑥2

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)] . [

𝑥2 + 8𝑥 + 15 − 2𝑥 + 𝑥2

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)] ≥ 0

(10𝑥 + 15

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)) . (

2𝑥2 + 6𝑥 + 15

(2 − 𝑥)(𝑥 + 3)) ≥ 0

(10𝑥 + 15)( 2𝑥2 + 6𝑥 + 15) ≥ 0 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 ((2 − 𝑥)(𝑥 + 3))2

(10𝑥 + 15)( 2𝑥2 + 6𝑥 + 15) ≥ 0

5(2𝑥 + 3)( 2𝑥2 + 6𝑥 + 15) ≥ 0

2𝑥2 + 6𝑥 + 15 definit positif dimana nilai diskriminannya 𝐷 < 0 maka tidak bisa difaktorkan.

5(2𝑥 + 3) ≥ 0

2𝑥 + 3 ≥ 0

2𝑥 ≥ −3

Titik kritis di −3

2

Jadi 𝐻𝑃 = 𝑥 ≥ −3

2

9. Diberikan segitika siku-siku ABC yang siku-siku di A dengan 𝐴𝐵 = 3 dan 𝐴𝐶 = 4. 𝐴𝐷 merupakan

garis berat. Jika 𝑟 dan 𝑠 berturut-turut merupakan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐷 dan

𝐴𝐷𝐶 maka nilai dari 1

𝑟+

1

𝑠= ⋯

a. 5

12

b. 7

12

c. 17

12

d. 7

6

e. 17

6

Penyelesaian:

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

𝐵𝐶2 = 32 + 42

𝐵𝐶 = 5

−3

2

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

7

Karena ∠𝐵𝐴𝐶 = 90°, maka dapat dibuat sebuah lingkaran melalui titik 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 dengan 𝐵𝐶

sebagai diameter sehingga 𝐷 adalah pusat lingkaran.

Jadi, 𝐷𝐶 = 𝐷𝐵 = 𝐷𝐴 =5

2

[𝐴𝐵𝐶] =1

2∙ 4 ∙ 3 = 6

Jarak 𝐷 ke 𝐴𝐶 = √(5

2)

2− 22 =

3

2

[𝐴𝐷𝐶] =1

2∙

3

2∙ 4 = 3

[𝐴𝐵𝐷] = [𝐴𝐵𝐶] − [𝐴𝐷𝐶] = 6 − 3 = 3

[𝐴𝐵𝐷] =1

2𝑟(𝐷𝐴 + 𝐷𝐵 + 𝐴𝐵) → 3 =

1

2𝑟 (

5

2+

5

2+ 3) → 𝑟 =

3

4

[𝐴𝐷𝐶] =1

2𝑠(𝐷𝐴 + 𝐷𝐶 + 𝐴𝐶) → 3 =

1

2𝑠 (

5

2+

5

2+ 4) → 𝑠 =

2

3

Maka, 1

𝑟+

1

𝑠=

4

3+

3

2=

17

6

10. Diberikan dua parabola 𝑦 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 dan 𝑦 = 𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah 4 buah

bilangan bulat (tidak harus berbeda) yang diambil dari himpunan 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Peluang

kedua parabola memiliki sedikitnya satu titik persekutuan adalah …

a. 57

64

b. 43

64

c. 7

64

d. 7

8

e. 1

8

Penyelesaian:

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

𝑥(𝑎 − 𝑐) = 𝑑 − 𝑏

Akan dicari dulu peluang kedua parabola tidak memiliki titik persekutuan.

Agar kedua parabola tidak memiliki titik persekutuan, maka 𝑎 = 𝑐 dan 𝑑 ≠ 𝑏.

Banyaknya cara = 8 × 8 × 7.

Peluang kedua parabola tidak memiliki titik persekutuan = 8 × 8 × 7

84 =7

64

Peluang kedua parabola memiliki titik persekutuan = 1 −7

64=

57

64

∴ Jadi, peluang kedua parabola memiliki titik persekutuan =57

64

11. Untuk x > 0, y > 0, didefinisikan f(x, y) adalah nilai terkecil diantara 𝑥,𝑦

2+

2

𝑥, dan

1

𝑦. Nilai maksimum

yang mungkin dicapai oleh f(x, y) adalah ...

a. 3√5

b. 1

2√10

c. 2

5

d. 0

e. 3

5√5

Penyelesaian:

Misalkan 𝑎 = 𝑥 dan 𝑏 =1

𝑦 sehingga 𝑎 > 0 dan 𝑏 > 0

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

8

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) = min (𝑎, 𝑏,1

2𝑏+

2

𝑎)

Jika 𝑎 = 𝑏 =1

2𝑏+

2

𝑎

𝑎(2𝑎) = 5

𝑎 = 𝑏 =1

2𝑏+

2

𝑎=

√10

2

Jika 𝑎 ≤√10

2 atau 𝑏 ≤

√10

2 maka 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤

√10

2

Jika 𝑎 >√10

2 dan 𝑏 >

√10

2 maka 𝑓(𝑥, 𝑦) =

1

2𝑏+

2

𝑎<

1

√10+

4

√10=

√10

2

Maka 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤√10

2 dengan tanda kesamaan terjadi jika 𝑎 = 𝑏 =

√10

2

Jadi, nilai maksimum yang mungkin dicapai oleh 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah √10

2

12. Untuk bilangan real positif 𝑥 dan 𝑦 dengan 𝑥𝑦 = 1

3, nilai minimum

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 adalah …

a. 0

b. 2

c. 3

d. 4

e. 9

Penyelesaian.

Gunakan ketaksamaan AM-GM untuk menentukan penyelesaian ini.

Ketaksamaan AM-GM :

𝑎 + 𝑏

2 ≥ √𝑎𝑏

19𝑥6 +

14𝑦6

2 ≥ √

1

9𝑥6.

1

4𝑦6

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 ≥ 2 · √1

9𝑥6 .1

4𝑦6

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 ≥ 2 · 1

1

2√

1

𝑥6𝑦6

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 ≥ 1

3√

1

(𝑥𝑦)6

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 ≥ 1

3 ·

1

(𝑥𝑦)3

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 ≥ 1

3 ·

1

(13

)3

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

9

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 ≥ 1

3 · 27

1

9𝑥6 +1

4𝑦6 ≥ 9

Jadi, nilai minimum dari 1

9𝑥6 +1

4𝑦6 adalah 9

13. k adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari tiga

bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai k.

a. 1324

b. 1154

c. 925

d. 876

e. 65

Penyelesaian.

Misal ketiga barisan aitmatika tersebut adalah :

a – b , a , a + b

Kuadratnya adalah :

(a − b)2 , a2 , (a + b)2

(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab = 36 + k

a2 = 300 + k

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 596 + k

a2 − (a2 + b2 − 2ab) = 300 + k − (36 + k) = 264

b(2a − b) = 264 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

a2 + b2 + 2ab − a2 = 596 + k − (300 + k)

b(2a + b) = 296 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

296(2a − b) = 264(2a + b)

592a − 296b = 528a + 264b

64a = 560b

4a = 35b

Dari persamaan (1) didapat

b(2a − b) = 264 ………………..(x2)

b(4a − 2b) = 528 ⇒b(4a − 2b) = 528

b(35b − 2b) = 528

b(33b) = 528

33b2= 528

b2 = 16

b = 4

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

10

substitusi nilai b = 4 ke b(2a − b) = 264

b(2a − b) = 264

4(2a − 4) = 264

8a – 16 = 264

8a = 280

a = 35

Nilai k :

(a − b)2 = (35 − 4)2 = 312 = 961 = 36 + k

k = 925

(catatan : ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 31, 35, 39)

14. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 2 dan rasionya adalah 𝑟 =𝑚

𝛼=

𝛽

𝑚 untuk nilai

𝑚 > 0 dan 𝛼, 𝛽 akar-akar 𝑥2 − (3𝑚 + 2) + (4𝑚 + 12) = 0, maka jumlah deret geometri tak hingga

tersebut adalah ...

a. 2

b. 3

c. 5

d. 6

e. 7

Penyelesaian:

𝑥2 − (3𝑚 + 2) + (4𝑚 + 12) = 0 memiliki akar-akar 𝛼 dan 𝛽 maka

𝛼 + 𝛽 = 3𝑚 + 2

𝛼. 𝛽 = 4𝑚 + 12 𝑚

𝛼=

𝛽

𝑚

𝑚2 = 𝛼𝛽

𝑚2 = 4𝑚 + 12

(𝑚 − 6)(𝑚 + 2) = 0

Maka 𝑚 = 6.

Persamaan kuadrat tersebut adalah 𝑥2 − 20𝑥 + 36 = 0 yang memiliki akar-akar 2 dan 18.

Karena syarat barisan tak hingga adalah −1 < 𝑟 < 1 maka 𝛼 = 18 dan 𝛽 = 2.

Jadi, 𝑟 =6

18=

1

3

Karena 𝑎 = 2 maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah 2

1−1

3

= 3

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

11

15. Jika (𝑥, 𝑦, 𝑧) memenuhi persamaan-persamaan

log(2𝑥𝑦) = log 𝑥 log 𝑦

log(𝑦𝑧) = log 𝑦 log 𝑧

log(2𝑥𝑧) = log 𝑥 log 𝑧

Nilai minimum dari 𝑥𝑦𝑧 = ⋯

a. 1

4

b. 1

2

c. 1

d. 2

e. 4

Penyelesaian:

log(2𝑥𝑦) = log 𝑥 log 𝑦

log 2 + log 𝑥 + log 𝑦 = log 𝑥 log 𝑦

log 2 = log 𝑥 log 𝑦 + log 𝑥 + log 𝑦

log 2 + 1 = log 𝑥 log 𝑦 + log 𝑥 + log 𝑦 + 1

log 20 = (log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1) … (1)

log(𝑦𝑧) = log 𝑦 log 𝑧

log 𝑦 + log 𝑧 = log 𝑦 log 𝑧

0 = log 𝑦 log 𝑧 + log 𝑦 + log 𝑧

1 = log 𝑦 log 𝑧 + log 𝑦 + log 𝑧 + 1

1 = (log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1) … (2)

log(2𝑥𝑧) = log 𝑥 log 𝑧

log 2 + log 𝑥 + log 𝑧 = log 𝑥 log 𝑧

log 2 = log 𝑥 log 𝑧 + log 𝑥 + log 𝑧

log 2 + 1 = log 𝑥 log 𝑧 + log 𝑥 + log 𝑧 + 1

log 20 = (log 𝑥 − 1)(log 𝑧 − 1) … (3)

(1) × (2) × (3)

log 20 ∙ 1 ∙ log 20 = (log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1)(log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1)(log 𝑥 − 1)(log 𝑧 − 1)

(log 20)2 = [(log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1)]2

±(log 20) = (log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1) … (4)

(1) dan (4)

±(log 20)

log 20=

(log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1)

(log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1)

±1 = (log 𝑧 − 1)

(log 𝑧 − 1) = ±1

o (log 𝑧 − 1) = 1

log 𝑧 = 2

𝑧 = 100

o (log 𝑧 − 1) = −1

log 𝑧 = 0

𝑧 = 1

(2) dan (4)

±(log 20)

1=

(log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1)

(log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1)

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

12

± log 20 = (log 𝑥 − 1)

± log 20 + 1 = log 𝑥

log 𝑥 = ± log 20 + log 10

o log 𝑥 = log 20 + log 10

log 𝑥 = log 20 ∙ 10

log 𝑥 = log 200

𝑥 = 200

o log 𝑥 = − log 20 + log 10

log 𝑥 = log10

20

log 𝑥 = log1

2

𝑥 =1

2

(3) dan (4)

±(log 20)

log 20=

(log 𝑥 − 1)(log 𝑦 − 1)(log 𝑧 − 1)

(log 𝑥 − 1)(log 𝑧 − 1)

±1 = (log 𝑦 − 1)

(log 𝑦 − 1) = ±1

o (log 𝑦 − 1) = 1

log 𝑦 = 2

𝑦 = 100

o (log 𝑦 − 1) = −1

log 𝑦 = 0

𝑦 = 1

Jadi, nilai minimum dari 𝑥𝑦𝑧 =1

2∙ 1 ∙ 1 =

1

2

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

13

Essay

1. Sebuah kode produk terdiri atas 10 digit. Kode tersebut “unik” jika digit-digitnya memuat angka nol

dengan jumlah genap atau tidak memuat angka nol. Banyaknya kode yang “unik” adalah …

Penyelesaian:

Kasus 1: Jika 0 ada sebanyak 0

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

= 910

Dan banyaknya cara mengisi 0 angka 0 pada 10 tempat yang tersedia adalah (100

)

Jadi,

= 910 (100

)

Kasus 2: Jika 0 ada sebanyak 2

9 9 9 9 9 9 9 9 1 1

= 98

Dan banyaknya cara mengisi 2 angka 0 pada 10 tempat yang tersedia adalah (102

)

Jadi,

= 98 (102

)

Kasus 3: Jika 0 ada sebanyak 4

9 9 9 9 9 9 1 1 1 1

= 96

Dan banyaknya cara mengisi 2 angka 0 pada 10 tempat yang tersedia adalah (104

)

Jadi,

= 96 (104

)

Kasus 4: Jika 0 ada sebanyak 6

9 9 9 9 1 1 1 1 1 1

= 94

Dan banyaknya cara mengisi 2 angka 0 pada 10 tempat yang tersedia adalah (106

)

Jadi,

= 94 (106

)

Kasus 5: Jika 0 ada sebanyak 8

9 9 1 1 1 1 1 1 1 1

= 92

Dan banyaknya cara mengisi 2 angka 0 pada 10 tempat yang tersedia adalah (108

)

Jadi,

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

14

= 92 (108

)

Kasus 6: Jika 0 ada sebanyak 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= 90

Dan banyaknya cara mengisi 2 angka 0 pada 10 tempat yang tersedia adalah (1010

)

Jadi,

= 90 (1010

)

Jadi, banyaknya kode yang “unik” ada sebanyak

910 (100

) + 98 (102

) + 96 (104

) + 94 (106

) + 92 (108

) + 90 (1010

)

2. Dua buah lingkaran Γ1 dan Γ2 dengan titik pusat 𝑀 dan 𝑁 berturut-turut berpotongan di titik 𝑆 dan

𝑅. Garis lurus melalui 𝑀 dan 𝑁 memotong Γ1 di titik 𝐴 dan 𝐶, dan memotong Γ2 di titik 𝐷 dan 𝐵

(urutan titik-titik adalah 𝐴, 𝑀, 𝐷, 𝐶, 𝑁, 𝐵). Garis lurus 𝑅𝐷 memotong Γ1 di titik 𝐾, dan garis lurus 𝑅𝐶

memotong Γ2 di titik 𝐿. Buktikan bahwa Garis lurus 𝑅𝐷 memotong Γ1 di titik 𝐵, 𝑆, 𝐾 segaris jika

𝐴, 𝑆, 𝐿 segaris!

Penyelesaian:

KOMPETISI MATEMATIKA SMA SE-SULUT

FMIPA UNSRAT

FMIPA

15

Misalkan:

∠𝑆𝐴𝑀 = 𝛼

∠𝑆𝐵𝑁 = 𝛽

Dari gambar terlihat bahwa ∠ SRL = α = ∠ LBS karena menghadap busur yang sama; ∠ SNM = 2β

dan ∠ SMN = 2α

Karena ∠ SRK = β, maka ∠ KMS = 2β, dan jika titik – titik A, S, L kolinear maka :

180o = ∠ ASL = ∠ ASN +∠NSL

∠ ASN = 180o - ∠ SAM - ∠ SNM = 180o – α - 2β

∠ NSL = 90o – ½ ∠ SNL (karena segitiga SNL sama kaki ) = 90o – α

Jadi : 180o = 180o – α - 2β + 90o – α, diperoleh

α + β = 45o atau 2 ( α + β ) = 90o

∠ KSB = ∠ KSM + ∠ MSB

∠ KSM = 90o – ½ ∠ KMS ( karena segitiga KMS sama kaki )

∠MSB = 180o - 2α – β

Jadi, ∠ KSB = 90o – ½ ( 2β ) + 180o – 2α – β= 90o - 2α - 2β + 180o= 90o – 90o + 180o = 180o

Kesimpulan, titik – titik K, S, B kollinear