KAPITEL 9 Splinefunktionen 9.1 Spliner¨aume und Approximationsg¨ute · 2007. 11. 21. · KAPITEL...

30
KAPITEL 9 Splinefunktionen 9.1 Spliner¨ aume und Approximationsg¨ ute Bei der Behandlung von Splines ist es bequemer, statt mit dem Grad von Polynomen, mit der Ordnung k := Grad + 1 zu arbeiten. ur eine Knotenmenge τ = {τ 0 ,...,τ +1 } mit a = τ 0 1 <...<τ +1 = b und k 1 definieren wir den Splineraum der Splines der Ordnung k durch P 1= { f :[a, b) R | f [τ i i+1 ) Π 0 , 0 i } , P k,τ = {f C k2 ([a, b]) | f [τ i i+1 ) Π k1 , 0 i },k 2. ur k = 4 ergibt sich gerade der Raum der kubischen Splines. Dahmen-Reusken Kapitel 9 1

Transcript of KAPITEL 9 Splinefunktionen 9.1 Spliner¨aume und Approximationsg¨ute · 2007. 11. 21. · KAPITEL...

  • KAPITEL 9 Splinefunktionen

    9.1 Splineräume und Approximationsgüte

    Bei der Behandlung von Splines ist es bequemer, statt mit dem Grad

    von Polynomen, mit der Ordnung k := Grad + 1 zu arbeiten.

    Für eine Knotenmenge τ = {τ0, . . . , τℓ+1} mit

    a = τ0 < τ1 < . . . < τℓ < τℓ+1 = b

    und k ≥ 1 definieren wir den Splineraum der Splines der Ordnung k

    durch

    P1,τ = { f : [a, b) → R | f∣

    ∣ [τi,τi+1)∈ Π0, 0 ≤ i ≤ ℓ } ,

    Pk,τ = {f ∈ Ck−2([a, b]) | f∣

    ∣ [τi,τi+1)∈ Πk−1, 0 ≤ i ≤ ℓ }, k ≥ 2.

    Für k = 4 ergibt sich gerade der Raum der kubischen Splines.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 1

  • Lemma 9.1. Es gilt:

    dimPk,τ = k + ℓ .

    Bemerkung 9.2. Fehlerschranke für eine beste Näherung im Spline-

    raum Pk,τ . Sei

    h = maxj=0,...,ℓ

    (τj+1 − τj) und ‖g‖∞ = maxx∈[a,b]

    |g(x)| ( g ∈ C([a, b]) ) .

    Für jedes k ≥ 2 existiert eine positive Konstante c < ∞, so daß fürjedes m ≤ k und jede Funktion f ∈ Cm([a, b]) gilt

    minSk∈Pk,τ

    ‖f − Sk‖∞ ≤ chm‖f(m)‖∞ .

    Dieses Resultat kann für den Fall m = 0 verbessert werden: Sei f ∈C([a, b]) und k ≥ 1 beliebig, dann existiert für jedes ε > 0 ein h > 0, sodaß

    minSk∈Pk,τ

    ‖f − Sk‖∞ ≤ ε .

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 2

  • Bemerkung 9.3.

    Da jedes Polynom insbesondere ein stückweises Polynom ist, das zu-

    dem sogar unendlich oft differenzierbar ist, gilt natürlich

    Πk−1 ⊂ Pk,τ .

    Außerdem sieht man leicht, daß

    (τi − x)k−1+ ∈ Pk,τ , i = 1, . . . , ℓ,

    wobei, für m ≥ 0,

    xm+ =

    {

    xm für x > 0 ,0 für x ≤ 0 ,

    die sogenannten abgebrochenen Potenzen sind.

    Die k + ℓ Funktionen

    xi, i = 0, . . . , k − 1, (τi − x)k−1+ , i = 1, . . . , ℓ,

    sind linear unabhängig.

    Diese Funktionen bilden also eine Basis für Pk,τ . △

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 3

  • 9.1.1 B-Splines

    Eine viel bessere Basis für Pk,τ bilden die sogenannten B-Splines.

    Wir betrachten erst den Fall k = 1. Die charakteristischen Funktionen

    Nj,1(x) := χ[τj,τj+1)(x) :=

    {

    1 für x ∈ [τj, τj+1) ,0 sonst,

    j = 0, . . . , ℓ,

    bilden eine Basis für P1,τ . Der Träger (”support“) der Funktion Nj,1

    wird durch

    suppNj,1 := {x ∈ R | Nj,1(x) 6= 0}

    definiert. Die Basis Nj,1, 0 ≤ j ≤ ℓ, ist lokal.

    S(x) =ℓ∑

    j=0

    cjNj,1(x)

    läßt sich mit dem Koeffizientenvektor c = (cj)ℓj=0 identifizieren.

    Es gilt

    ‖c‖∞ = ‖ℓ∑

    j=0

    cjNj,1‖∞.

    Die Basis ist in diesem Sinne stabil.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 4

  • Der Fall k = 2.

    Es werden zwei Hilfsknoten τ−1 < τ0 = a, τℓ+2 > τℓ+1 = b und zu-

    gehörige Hilfsfunktionen N−1,1, Nℓ+1,1 eingeführt:

    N−1,1 := χ[τ−1,τ0), Nℓ+1,1 := χ[τℓ+1,τℓ+2).

    Die Funktion

    Nj,2(x) :=x − τj

    τj+1 − τjNj,1(x) +

    τj+2 − x

    τj+2 − τj+1Nj+1,1(x) , j = −1, . . . , ℓ,

    hat folgende Eigenschaften:

    1) sie nimmt von Null verschiedene Werte nach Definition von Nj,1(x)

    und Nj+1,1(x) nur auf dem Intervall [τj, τj+2] an;

    2) auf jedem der Intervalle [τj, τj+1], [τj+1, τj+2] ist Nj,2(x) linear;

    3) Nj,2(x) ist stetig.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 5

  • Hutfunktionen Nj,2

    -xa = τ0 τ1 τ2 τ3 = b

    1

    6

    ������XXXXXX���

    ���XXX

    XXX������XXXXXX

    N−1,2(x) N0,2(x) N1,2(x) N2,2(x)

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 6

  • Definition 9.4 (B-Splines). Sei t1 < t2 < . . . < tn eine beliebi-

    ge Folge von paarweise verschiedenen Knoten. Dann werden die

    B-Splines Nj,k der Ordnung k (1 ≤ k < n) rekursiv definiert durch

    Nj,1(x) := χ[tj,tj+1)für j = 1, . . . , n − 1 ,

    Nj,k(x) :=x − tj

    tj+k−1 − tjNj,k−1(x) +

    tj+k − x

    tj+k − tj+1Nj+1,k−1(x),

    für k = 2, . . . , n − 1, und j = 1, . . . , n − k.

    Lemma 9.5. Für diese B-Splines Nj,k gilt:

    (i) suppNj,k ⊂ [tj, tj+k],

    (ii) Nj,k(x) > 0 für alle x ∈ (tj, tj+k),

    (iii) (Nj,k)∣

    ∣[ti,ti+1)∈ Πk−1,

    (iv) Nj,k ∈ Ck−2([t1, tn]).

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 7

  • Für 1 ≤ j ≤ n − k: die dividierte Differenz [tj, . . . , tj+k](· − x)k−1+ ist

    als führender Koeffizient des Lagrange-Interpolations-Polynoms der

    Funktion fk−1(s) := (s−x)k−1+ an den Stützstellen tj, . . . , tj+k definiert.

    Explizite Darstellung für die B-Splines:

    Satz 9.6. Die B-Splines Nj,k haben folgende Darstellung:

    Nj,k(x) = (tj+k − tj)[tj, . . . , tj+k](· − x)k−1+ ,

    für 1 ≤ k < n, 1 ≤ j ≤ n − k .

    Die dividierte Differenz wirkt auf das Argument · . Zum Beispiel:

    [tj, tj+1](· − x)m+ =

    [tj+1](· − x)m+ − [tj](· − x)

    m+

    tj+1 − tj

    =(tj+1 − x)

    m+ − (tj − x)

    m+

    tj+1 − tj.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 8

  • Folgerung 9.8. Für k ≥ 3 gilt

    N ′j,k(x) = (k − 1)

    {

    Nj,k−1(x)

    tj+k−1 − tj−

    Nj+1,k−1(x)

    tj+k − tj+1

    }

    ,

    d.h., die Ableitungen von B-Splines sind gewichtete Differenzen

    von B-Splines niedrigerer Ordnung.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 9

  • 9.1.2 B-Splines als Basis für den Splineraum

    Ziel der bisherigen Überlegungen war, eine stabile Basis für Pk,τ zu

    gewinnen. Sei Pk,τ der Splineraum wie in (9.1). Zur Knotenmenge

    τ = {τ0, . . . , τℓ+1} mit a = τ0 < τ1 < . . . < τℓ < τℓ+1 = b definieren wir

    eine erweiterte Knotenmenge T :

    T = {t1, . . . , tn} mit n := 2k + ℓ,

    t1 < . . . < tk = τ0,

    tk+j = τj für j = 1, . . . , ℓ,

    τℓ+1 = tk+ℓ+1 < . . . < t2k+ℓ .

    Zu dieser erweiterten Knotenmenge T werden die B-Splines Nj,k,

    1 ≤ j ≤ n − k = k + ℓ, wie in Definition 9.4 definiert.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 10

  • Die Funktionswerte Nj,k(x) sind für alle x ∈ R definiert. Im Splineraum

    Pk,τ sind nur die Werte Nj,k(x) mit x ∈ [a, b] von Interesse.

    Wir definieren nun

    Sk,T = span{Nj,k∣

    [a,b]| 1 ≤ j ≤ k + ℓ }.

    Folgendes Hauptresultat zeigt, daß die (auf [a, b] restringierten)

    B-Splines Nj,k eine Basis für den Splineraum Pk,τ bilden.

    Satz 9.9. Es gilt

    Pk,τ = Sk,T .

    Bemerkung 9.10. Die Definition von Sk,T ist unabhängig von der

    Wahl der Hilfsknoten t1, . . . , tk−1 < a und tk+ℓ+2, . . . , t2k+ℓ > b.

    Man läßt sie deshalb oft auf den jeweiligen Intervallenden a bzw. b

    zusammenfallen.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 11

  • Beispiel 9.11.

    Wir betrachten [a, b] = [0,1], k = 4, l = 5, t1 = t2 = t3 = t4 =

    0, t5 = 0.1, t6 = 0.3, t7 = 0.45, t8 = 0.65, t9 = 0.8, t10 = t11 =

    t12 = t13 = 1. Für j = 2,3,4,5 werden die kubische B-Splines Nj,4unten abgebildet. △

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    j=2

    j=3

    j=4 j=5

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 12

  • 9.1.3 Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines

    Jeder Spline S ∈ Pk,τ hat eine eindeutige Darstellung

    S(x) =k+ℓ∑

    j=1

    cjNj,k(x) , x ∈ [a, b].

    Seien c1, . . . , ck+ℓ bekannt.

    Hilfsgrößen für eine effiziente Auswertung von S:

    c[p]j (x) =

    cj, p = 0

    x − tj

    tj+k−p − tjc[p−1]j (x) +

    tj+k−p − x

    tj+k−p − tjc[p−1]j−1 (x) sonst.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 13

  • Algorithmus 9.12 (Auswertung von S).

    Gegeben: x ∈ [a, b] und c1, . . . , ck+ℓ aus der obigen Darstellung.

    • Bestimme m mit x ∈ [tm, tm+1). (Es ist k ≤ m ≤ k + ℓ.)

    • Setze

    c[0]j (x) = cj, j = 1, . . . , k + ℓ.

    • Für p = 1, . . . , k − 1 berechne

    c[p]j (x), j = m − k + 1 + p, . . . , m.

    S(x) = c[k−1]m (x).

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 14

  • In analoger Weise kann man Ableitungen von Splinefunktionen behan-

    deln. Es ergibt sich folgende Darstellung der p-ten Ableitung:

    S(p)(x) =k+ℓ∑

    j=1+p

    c(p)j Nj,k−p(x)

    als Linearkombination von B-Splines der Ordnung k − p.

    Die neuen Koeffizienten c(p)j sind p-te Differenzen der ursprünglichen

    Koeffizienten:

    c(p)j =

    cj, p = 0,

    (k − p)c(p−1)j −c

    (p−1)j−1

    tj+k−p−tj, 0 < p ≤ k − 2.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 15

  • 9.1.4 Stabilität der B-Spline-Basis

    Einer der Hauptgründe für die Wichtigkeit der B-Splines:

    Für jedes k ∈ N existiert eine positive Konstante c, so daß für alle

    Knotenmengen T = {tj}nj=1 wie in (9.10) und alle {cj}

    k+lj=1 gilt

    c maxj=1,...,k+l

    ∣cj

    ∣ ≤ maxx∈[a,b]

    k+l∑

    j=1

    cjNj,k(x)

    ≤ maxj=1,...,k+l

    ∣cj

    ∣ .

    Das heißt kleine Änderungen in den Koeffizienten bewirken nur kleine

    Änderungen in der entsprechenden Splinefunktion und umgekehrt und

    zwar unabhängig von der Lage der Knoten.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 16

  • 9.2. Splineinterpolation

    Der folgende Satz (von Schoenberg und Whitney) charakterisiert,

    wann ein Interpolationsproblem eindeutig für alle Daten lösbar ist.

    Satz 9.15 Sei T = {tj}nj=1 wie in (9.10).

    Seien x1, . . . , xk+ℓ ∈ [a, b] Stützstellen und f1, . . . , fk+ℓ die zu-

    gehörigen Daten. Das Problem der Bestimmung eines S ∈ Sk,T ,

    so daß

    S(xj) = fj, j = 1, . . . , k + ℓ

    gilt, hat genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn

    xj ∈ (tj, tj+k), j = 1, . . . , k + ℓ,

    d.h., wenn in den Träger jedes B-Splines mindestens eine Stütz-

    stelle fällt. Man kann sogar zeigen, daß die Aussage für Hermite-

    Interpolation gültig bleibt.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 17

  • Kubische Splineinterpolation

    Wir gehen nun auf den wichtigen Spezialfall der kubischen Splinein-

    terpolation nochmals ein. Dies betrifft den Fall, daß k = 4 ist und

    Stützstellen und Knoten übereinstimmen:

    xj := tj+3 = τj−1 für j = 1, . . . , ℓ + 2 .

    Dies liefert allerdings nur ℓ + 2 Bedingungen.

    Mögliche weitere Bedingungen (dimS4,T = 4 + ℓ):

    (a) Vollständige kubische Splineinterpolation:

    S(tj) = f(tj), j = 4, . . . , ℓ + 5, S′(a) = f ′(a), S′(b) = f ′(b).

    (b) Natürliche kubische Splineinterpolation:

    S(tj) = f(tj), j = 4, . . . , ℓ + 5, S′′(a) = S′′(b) = 0.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 18

  • Lemma 9.18. Sei g ∈ C2([a, b]) und S ∈ S4,T , so daß

    g(ti) = S(ti) für i = 4, . . . , ℓ + 5 ,

    S′′(b)(

    g′(b) − S′(b))

    = S′′(a)(

    g′(a) − S′(a))

    .

    Dann gilt∫ b

    aS′′(x)2 dx ≤

    ∫ b

    ag′′(x)2 dx .

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 19

  • Für die vollständige kubische Splineinterpolation ergibt sich folgendes

    Resultat:

    Satz 9.19. Zu jedem f ∈ C1([a, b]) existiert ein eindeutiger Spline

    I4f ∈ S4,T , so daß

    (I4f)(tj) = f(tj), j = 4, . . . , ℓ + 5,

    (I4f)′(a) = f ′(a), (I4f)

    ′(b) = f ′(b).

    Ferner erfüllt I4f die Extremaleigenschaft

    ∫ b

    a(I4f)

    ′′(x)2 dx ≤∫ b

    ag′′(x)2 dx

    für alle Funktionen g ∈ C2([a, b]), die die gleichen Interpolations-

    und Randbedingungen wie I4f erfüllen.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 20

  • Völlig analog kann man folgendes Resultat für die natürliche kubische

    Splineinterpolation beweisen:

    Satz 9.20. Zu jedem f ∈ C2[(a, b]) existiert ein eindeutiger Spline

    Î4f ∈ S4,T , so daß

    (Î4f)(tj) = f(tj), j = 4, . . . , ℓ + 5,

    (Î4f)′′(a) = (Î4f)

    ′′(b) = 0.

    Ferner erfüllt Î4f die Extremaleigenschaft

    ∫ b

    a(Î4f)

    ′′(x)2 dx ≤∫ b

    ag′′(x)2 dx

    für alle Funktionen g ∈ C2([a, b]) die die gleichen Interpolations-

    und Randbedingungen wie Î4f erfüllen.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 21

  • Bemerkung 9.21.

    Sei

    h = maxj=1,...,ℓ

    (τj+1 − τj)

    und f ∈ C4([a, b]).

    Man kann beweisen, daß

    ‖f − I4f‖∞ ≤h4

    16‖f(4)‖∞

    gilt, wobei ‖ · ‖∞ die Maximumnorm auf [a, b] ist.

    Der Vergleich mit Bemerkung 9.2 zeigt, daß die kubische Interpolation

    (unabhängig von der Lage der Knoten!) die bestmögliche Approxima-

    tionsordnung realisiert. △

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 22

  • Berechnung der vollständigen kubischen Splineinterpolation

    Sei I4f die vollständige Splineinterpolation einer Funktion f ∈ C1([a, b]).

    Wegen Satz 9.9 hat I4f die Form

    (I4f)(x) =ℓ+4∑

    j=1

    cjNj,4(x).

    Die Lösung des Interpolationsproblems verlangt nun, die Koeffizienten

    cj über die Interpolationsbedingungen (9.25) zu bestimmen.

    Es gilt

    c1 = f(t4), cℓ+4 = f(tℓ+5),

    c2 =f ′(a) − f(a)N ′1,4(a)

    N ′2,4(a),

    cℓ+3 =f ′(b) − f(b)N ′ℓ+4,4(b)

    N ′ℓ+3,4(b).

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 23

  • Es sind lediglich noch die Koeffizienten (c3, . . . , cℓ+2)T = c zu bestim-

    men sind. Dafür ergibt sich das Gleichungssystem

    ATc = f ,

    wobei

    f = (f3, . . . , fℓ+2)T

    mit

    f3 = f(t5) − c2N2,4(t5),

    fℓ+2 = f(tℓ+4) − cℓ+3Nℓ+3,4(tℓ+4),

    fj = f(tj+2), j = 4, . . . , ℓ + 1,

    und

    AT =

    N3,4(t5) N4,4(t5)

    N3,4(t6) N4,4(t6) N5,4(t6)

    N4,4(t7) N5,4(t7). . . ∅

    ∅ . . . . . . Nℓ+2,4(tℓ+3)Nℓ+1,4(tℓ+4) Nℓ+2,4(tℓ+4)

    .

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 24

  • Beispiel 9.22.

    Seien

    τj = j ∗ 0.1, j = 0, . . . ,14,

    fj = 1, j = 0, . . . ,5,

    fj = 0.5, j = 6, . . . ,14.

    Die entsprechende natürliche kubische-Splineinterpolation ist in Abb.

    9.4 dargestellt. Man stellt fest, daß wegen des Sprunges in den Daten

    Oszillationen auftreten. △

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    1.1

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 25

  • 9.3 Datenfit-Smoothing Splines

    Gegeben seien Messungen fj, j = 1, . . . , m, die gewissen Abszissen xj,

    j = 1, . . . , m, in einem Intervall [a, b] zugeordnet werden.

    Eine Approximation S ∈ Sk,T läßt sich dann folgendermaßen bestim-

    men: Finde c = (c1, . . . , ck+ℓ)T , so daß S(x) =

    ∑k+ℓj=1 cjNj,k(x)

    m∑

    j=1

    (

    S(xj) − fj)2

    = minc̃∈Rk+ℓ

    m∑

    j=1

    ( k+ℓ∑

    ℓ=1

    c̃ℓNℓ,k(xj) − fj

    )2

    erfüllt. Hierbei ist i.a. m ≫ k + ℓ, und die xj müssen natürlich nicht

    mit den Knoten tj übereinstimmen. Diese Aufgabe ist ein lineares

    Ausgleichsproblem der Form

    ‖ATc − f‖2 = min,

    wobei hier

    AT =(

    Nj,k(xi))m,k+ℓ

    i=1,j=1∈ Rm×(k+ℓ) ,

    f = (f1, . . . , fm)T ∈ Rm.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 26

  • Auch beim obigen Ausgleichsansatz können stark fehlerbehaftete Da-

    tensätze und starke”Datenausreißer“ ein

    ”Überfitten“ mit entspre-

    chenden Oszillationen bewirken.

    Das Konzept des”Smoothing-Splines“ schafft da Abhilfe.

    Ein”Strafterm“ soll starke Ausschläge unterdrücken und die Daten

    ”glätten“. Für ein θ ≥ 0 sucht man dasjenige S ∈ Sk,T , das

    m∑

    j=1

    (S(xj) − fj)2 + θ2‖S′′‖22 = min

    S̃∈Sk,T

    m∑

    j=1

    (S̃(xj) − fj)2 + θ2‖S̃′′‖22

    erfüllt.

    Wegen (9.17) und (9.20) für p = 2 gilt für S(x) =∑k+ℓ

    j=1 cjNj,k(x)

    c2k+ℓ∑

    j=3

    (

    c(2)j ‖Nj,k−2‖2

    )2≤ ‖S′′‖22 ≤ C

    2k+ℓ∑

    j=3

    (

    c(2)j ‖Nj,k−2‖2

    )2.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 27

  • Man erhält also im Wesentlichen das qualitativ selbe Funktional, wenn

    man ‖S′′‖22 durch∑k+ℓ

    j=3 ĉ2j , mit ĉj := c

    (2)j ‖Nj,k−2‖2, ersetzt.

    Dies führt zu folgendem Minimierungsproblem:

    Finde S(x) =∑k+ℓ

    j=1 cjNj,k(x) so daß,

    m∑

    j=1

    ( k+ℓ∑

    i=1

    ciNi,k(xj) − fj

    )2+ θ2

    k+ℓ∑

    j=3

    ĉ2j

    = minc̃∈Rk+ℓ

    m∑

    j=1

    ( k+ℓ∑

    i=1

    c̃iNi,k(xj) − fj

    )2+ θ2

    k+ℓ∑

    j=3

    ĉ2j .

    Hierbei gilt

    c(2)j =

    (k − 1)(k − 2)

    tj+k−2 − tj

    [

    1

    tj+k−2 − tj−1cj−2

    −( 1

    tj+k−1 − tj+

    1

    tj+k−2 − tj−1

    )

    cj−1 +1

    tj+k−1 − tjcj

    ]

    ,

    für j = 3, . . . , k + ℓ.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 28

  • Mit ĉ := (ĉ3, . . . , ĉk+l)T ergibt sich ĉ = BTc,

    BT :=

    b3,1 b3,2 b3,3b4,2 b4,3 b4,4 ∅

    ∅ . . . . . . . . .bk+ℓ,k+ℓ−2 bk+ℓ,k+ℓ−1 bk+ℓ,k+ℓ

    ,

    dj :=(k − 1)(k − 2)‖Nj,k−2‖2

    tj+k−2 − tj, bj,j−2 :=

    dj

    tj+k−2 − tj−1,

    bj,j :=dj

    tj+k−1 − tj, bj,j−1 := −

    (

    bj,j−2 + bj,j)

    .

    Das Minimierungsproblem erhält dann die Form

    ‖ATc − f‖22 + θ

    2‖BTc‖22 = min

    c̃∈Rk+ℓ‖AT c̃ − f‖

    22 + θ

    2‖BT c̃‖22 ,

    was wiederum gleichbedeutend mit∥

    (

    ATθBT

    )

    c −

    (

    f

    0

    )∥

    2

    → min

    und somit ein Standard-Ausgleichsproblem ist.

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 29

  • Beispiel 9.23.

    Messungen (xj, fj), j = 1, . . . ,20 (∗ in Abbildung).Zur Approximation (und Glättung) dieser Daten benutzen wir kubi-sche Splines mit äquidistanten Knoten τj = j ∗ 0.1, j = 0, . . . ,10.

    Für drei Parameterwerte θ = 0, 10−3, 10−2 werden die Splinefunktio-nen S(x) =

    ∑13j=1 cjNj,4(x) gezeigt. △

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    Dahmen-Reusken Kapitel 9 30